Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu...

Michał Łazicki 1

Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu dyskretnego

Michał Łazicki 2

Agenda

• Szyfry blokowe – opis oraz wymagania konstrukcyjne

• Teoria chaosu – podstawowe pojęcia • Zastosowania dyskretnych układów

dynamicznych z własnością chaosu do budowy szyfrów blokowych

Michał Łazicki 3

Co to jest szyfr blokowy?

• Strumień informacji (bitów) dzielony na bloki o skończonej długości

• Szyfrowanie – przekształcenie bloku bitów (tekst odkryty) w inny blok bitów o tej samej długości (szyfrogram)

• Formalnie:ll

KF }1,0{}1,0{:)( →⋅

Michał Łazicki 4

Wymagania dla szyfrów blokowych

• Funkcja F powszechnie znana• Legalny użytkownik powinien łatwo wykonywać

operację szyfrowania FK i odszyfrowania FK-1 o

ile zna tajny klucz K• Potencjalny przeciwnik ma trudności z:

– szyfrowaniem i deszyfrowaniem, gdy nie zna klucza K– znalezieniem klucza na podstawie pary tekstów:

odkryty i zaszyfrowany– uzyskaniem jakiejkolwiek informacji na podstawie

znajomości tekstu zaszyfrowanego.

Michał Łazicki 5

Budowa szyfru blokowego

• Funkcja FK – n-krotne złożenie pewnego przekształcenia fKi nazywanego funkcją rundową– Ki – klucze rundowe otrzymane z klucza K– i = 1,…, n – numer rundy

• Funkcja rundowa fKi złożona z:– operacji nieliniowych, czyli podstawień– operacji liniowych, czuli permutacji

Michał Łazicki 6

Wymagania konstrukcyjne

• Mieszanie i rozpraszanie• Lawinowość i zupełność• Dyfuzja i konfuzja

Michał Łazicki 7

Mieszanie i rozpraszanie

• Mieszanie – losowe i równomierne rozprowadzanie wiadomości tekstu jawnego po zbiorze wiadomości tekstu zaszyfrowanego

• Rozpraszanie – bity znajdujące się obok siebie przed wejściem do rundy, po wyjściu z tej rundy wpływają na bity odległe od siebie (każdy bit wejściowy wpływa na wiele bitów wyjściowych)

Michał Łazicki 8

Lawinowość i zupełność

• Lawinowość – zmiana jednego bitu na wejściu rundy wywołuje zmianę co najmniej dwóch bitów na wyjściu rundy

• Zupełność – każdy bit bloku wyjściowego jest skomplikowaną funkcją wszystkich bitów bloku wejściowego

Michał Łazicki 9

Dyfuzja i konfuzja

• Dyfuzja – rozmycie wszelkich związków pomiędzy bitami tekstu jawnego lub klucza w całym bloku– Miarą dyfuzji jest prawdopodobieństwo aproksymacji

różnicowej DP• Konfuzja – maksymalne wymieszanie bitów

bloku klucza z bitami bloku tekstu szyfrowanego i uczynienie ich związku skomplikowanym– Miarą konfuzji jest prawdopodobieństwo aproksymacji

liniowej LP

Michał Łazicki 10

Teoria chaosu

• Dział matematyki zajmujący się opisem układów zdeterminowanych, które jednak zachowują sięw sposób kapryśny, nieprzewidywalny i na pozór przypadkowy

• Dla pewnych wartości parametrów równania zachowują się chaotycznie, podczas gdy dla pozostałych - regularnie

Michał Łazicki 11

Teoria chaosu – pojęcia (1/4)

• Dyskretny układ dynamiczny – para (X, φ) :– X – przestrzeń stanów (przestrzeń metryczna)– φ – ciągłe odwzorowanie z X do X

• Trajektoria (startująca z punkt x0) – ciąg elementów X uzyskanych przez iteracje:

xn+1 = φ(xn) lub xn = φn(x0)

Michał Łazicki 12


• Niestabilność – wrażliwość na warunki początkowe („efekt motyla”)

• Matematycznie: dodatni wykładnik Lapunowa• Cecha systemu niestabilnego to wykładniczy

wzrost między sąsiednimi punktami przestrzeni fazowej– xn+1 = axn => po n krokach otrzymujemy zależność:

xn+1 = anx0 = x0enlna

– lna – pokazuje, jak zmienia się odległość między punktami

Michał Łazicki 13


• Ergodyczność – przestrzeń stanów X nie może być nietrywialnie (względem miary μ) podzielona na kilka części– Trajektoria startująca z dowolnego x0 ∈ X nigdy nie

lokalizuje się w pewnym podzbiorze przestrzeni X

Michał Łazicki 14


• Mieszanie – własność silniejsza niżergodyczność, bardzo silnie przekształca każdy wybrany na początku obszar przestrzeni X i rozprowadza go po całej przestrzeni nie zmieniając jego miary. – Układ jest mieszający, gdy startując z dowolnego

x0 ∈ X, w wyniku iteracji osiągamy dowolny podzbiór X z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do rozmiaru tego zbioru w całej przestrzeni stanów.

Michał Łazicki 15

Ergodyczność, a mieszanie (1/2)

• Odwzorowanie xn+1 = xn + a (mod 1), gdzie 0 < a < 1

• Dla liczby niewymiernej a trajektoria rozpoczynająca się z dowolnego punktu x0 nie jest okresowa i w nieskończoności pokrywa ona gęsto cały przedział => ruch ergodyczny

• Jest to układ stabilny – odległość między punktami nie zmienia się.

Michał Łazicki 16

Ergodyczność, a mieszanie (2/2)

• Odwzorowanie xn+1 = 2xn (mod 1), gdzie 0 < a < 1

• Dla liczby niewymiernej x0 trajektoria rozpoczynająca się z tego punktu będzie gęsta na całym przedziale

• Ruch niestabilny – punkty będą się rozbiegaćwykładniczo z czasem, jednakże miara jest zachowana

• W konsekwencji układ jest mieszający

Michał Łazicki 17

Odwzorowanie logistyczne (1/2)

• xn+1 = rxn(1-xn) na odcinku jednostkowym [0,1]• Dla wartości r ∈ [0,4] odwzorowanie

przeprowadza odcinek jednostkowy w siebie• Dla różnych wartości r, układ generuje różne

trajektorie – 0<r≤1 – wszystkie ciągi x1, x2,…,xn zbiegają do zera– 1<r≤3 – punkt 1-1/r jest atraktorem – zbiegają do

niego wszystkie ciągi x1, x2,…,xn

– r>3 – atraktor staje się wielopunktowy

Michał Łazicki 18

Odwzorowanie logistyczne (2/2)

Michał Łazicki 19

Transformacja piekarza (1/2)

• Najprostszy dwuwymiarowy układ chaotyczny, przekształcający pole figury

• Figura jest rozciągana dwukrotnie w poziomie, a ściskana do połowy w pionie, następnie rozcinana na 2 połowy i umieszcza się prawąpołowę nad lewą

xn+1 = 2xn (mod 1)yn+1 = 0,5yn dla 0≤xn ≤0,5

yn+1 = 0,5 + 0,5yn dla 0,5<xn ≤1

Michał Łazicki 20

Transformacja piekarza (2/2)

Michał Łazicki 21

Szyfry blokowe oparte o chaos

• Trajektoria przypomina funkcję FK szyfru blokowego zbudowanego z n rund

• Trajektorie są bardzo wrażliwe na zmiany stanu początkowego => rozpraszanie, lawinowość lub dyfuzja w konstrukcji szyfrów blokowych

• Mieszanie układu dynamicznego to warunek mieszania w konstrukcji szyfrów blokowych

Michał Łazicki 22

Pierwszy szyfr blokowy w oparciu o chaos dyskretny (1/5)

• Propozycja Toshiki Habutsu na konferencji EUROCRYPT’91

• Wykładnik Lapunowa dla danego α:λ = -αlogα – (1 – α)log(1 – α)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<−−

=

≤≤=

+

+

111

0:

1

1

nn

n

nn

n

xdlaxx

xdlaxxF

αα

αα

Michał Łazicki 23


• Odwzorowanie odwrotne ma postać:

• Odwzorowania F i F-1 mają właściwości:– F jest odwzorowaniem 2:1– F-1 jest odwzorowaniem 1:2– Fn jest odwzorowaniem 2n:1– F-n jest odwzorowaniem 1:2n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

=

−

−−

1)1(lub:

1

11

nn

nn

xx

xxF

α

α

Michał Łazicki 24


• Dla każdego n i dla każdego x∈X = [0,1]spełniona jest równość: X = Fn(F-n(X))

• Tajnym kluczem jest parametr α∈[0,1]• Szyfrowaną wiadomością (blokiem) jest liczba

P ∈[0,1]• Szyfrowanie:

C=F-n(P)=F-1(F-1 (… F-1(P)))• Deszyfrowanie:

P=Fn(C)=F(F (… F(C)))

Michał Łazicki 25


• Wartość kryptogramu może przyjmowaćjedną z 2n wartości.

• Dla dowolnie wybranego kryptogramu Cwiadomość P jest odtwarzana jednoznacznie

Michał Łazicki 26


• Zalety:– Bezpieczeństwo szyfru oparte na ścisłej teorii

matematycznej: teorii dyskretnych w czasie układów dynamicznych z własnością chaosu

• Wady:– Nieodporny na różne rodzaje ataków, m. in. atak

wybranym szyfrogramem, atak wybranym tekstem jawnym

– Operuje na liczbach rzeczywistych, zatem wynik obliczeń zależy od implementacji sprzętowej

Michał Łazicki 27

Discrete Chaotic CryptographyDCC (1/7)

• Twórcy: Z. Kotulski i J. Szczepański• Uogólnienie pomysłu T. Habutsu• Tajny klucz jest związany z warunkami

początkowymi układu (a nie z parametrem układu)

Michał Łazicki 28


• Tekst jawny: P∈ (0,1)• Tajny klucz: k• Szyfrowanie:

C=φ-n(P)= φ-1(φ-1 (… φ-1(P)))• Deszyfrowanie:

P= φn(C)= φ(φ (… φ(P)))

Michał Łazicki 29


• Przykład systemu opartego na układzie dynamicznym opisującym ruch cząstki w pudle podlegającej szczególnemu prawu odbicia– Ruch cząstki może być opisany przez 2 współrzędne:

pozycję xn oraz kąt vn

Michał Łazicki 30


• Definiujemy prawo odbicia dla naszego systemu:

TD: (0,π) → (0,π) TD(vinc) = vref

• Mapa TD powinna mieć własności mieszania i chaosu

Michał Łazicki 31


• Ruch cząstki opisywany jest przez dwuwymiarowe odwzorowanie:

FTD: [0,L) x (0, π) → [0,L) x (0, π) FTD (xn, vn) = (xn+1, vn+1)

• Przekształcenie FTD musi mieć właściwość, że transformacja drugiej współrzędnej jest całkowicie niezależna od pierwszej

Michał Łazicki 32


• W takim systemie kluczem K jest początkowa wartość współrzędnej kąta, czyli v0

• Pierwsza współrzędna, czyli x0 jest blokiem tekstu jawnego

Michał Łazicki 33


• System ten, podobnie jak poprzedni operuje na liczbach rzeczywistych

• Żeby poprawnie zdeszyfować wiadomość to szyfrogram musi mieć znacznie więcej bitów niżtekst jawny

• Konkretne obliczenia mogą być wykonywane różnie, w zależności od implementacji sprzętowej

Michał Łazicki 34

Szyfrowanie obrazów (1/4)

• Twórca: J.Fridrich• Wykorzystanie dwuwymiarowego

przekształcenia chaotycznego do zaszyfrowania obrazu komputerowego o rozmiarze N x N– Zastosowano uogólnioną transformację piekarza do

utworzenia przekształcenia chaotycznego

Michał Łazicki 35


• Utworzenie dyskretnego przekształcenia transformacji piekarza sprowadza się do permutacji bloku pikseli wg danego schematu

Michał Łazicki 36


po 1 iteracji po 9 iteracjach

Michał Łazicki 37


• Wprowadzenie elementu nieliniowego do szyfru uzyskujemy poprzez rozszerzenie przekształcenia do 3 wymiarów:– podstawienie za piksele innych odcieni szarości

po 1 iteracji po 9 iteracjach

Michał Łazicki 38

Szyfr blokowy z S-boxami (1/9)

• Twórcy: L. Kocarev, G. Jakimoski, G. Rizzotto, P. Amato

• Propozycja budowy klasy szyfrów z użyciem S-boxów wygenerowanych przy pomocy chaotycznych układów dynamicznych

Michał Łazicki 39


• Propozycja szyfru:– Dane wejściowe: blok bitów o długości 64 bitów– Klucz: blok bitów o długości 128 bitów– Dane wyjściowe: blok bitów o długości 64 bitów– Liczba rund: r

Michał Łazicki 40


• Generacja kluczy rundowych:– K – klucz: K=K0K1…K15

– Ki,k+1=Ki-1,k⊕fk-1[Ki-1,1,…, Ki-1,k-1,ck-1]– zi – klucz i-tej rundy, zi=RH(Ki)– gdzie:

• i=1,…,r• k=1,…,16• f0=c0, Ki,16=Ki,0, Ki,17=Ki,1

• c0,...,c15 – stała liczba• fk-1[Ki-1,1,…, Ki-1,k-1,ck-1] = fk-1[Ki-1,1 ⊕… ⊕Ki-1,k-1 ⊕ ck-1]• RH – funkcja, która zwraca prawą połowę klucza Ki

Michał Łazicki 41


• Szyfrowanie: – X – dane wejściowe: X=X0X1…X7

– Xi,k+1=Xi-1,k⊕fk-1[Xi-1,1,…, Xi-1,k-1,zi,k-1]– gdzie:

• i=1,…,r• k=1,…,8• f0=zi,0, Xi,8=Xi,0, Xi,9=Xi,1

• zi – klucz i-tej rundy• fk-1[Xi-1,1,…, Xi-1,k-1,zi,k-1] = fk-1[Xi-1,1 ⊕… ⊕Xi-1,k-1 ⊕ zi,k-1]

Michał Łazicki 42

Szyfr blokowy z S-boxami (5/9)Runda szyfrowania danych

Michał Łazicki 43


• Deszyfrowanie: – X – dane wejściowe: X=X0X1…X7

– Xi-1,k=Xi,k+1⊕fk-1[Xi-1,1,…, Xi-1,k-1,zi,k-1]– gdzie:

• i=r,…,1• k=1,…,8• f0=zi,0, Xi,8=Xi,0, Xi,9=Xi,1

• zi – klucz i-tej rundy• fk-1[Xi-1,1,…, Xi-1,k-1,zi,k-1] = fk-1[Xi-1,1 ⊕… ⊕Xi-1,k-1 ⊕ zi,k-1]

Michał Łazicki 44


• Propozycja (1) generacji S-boxów przy użyciu chaotycznych układów dynamicznych:– funkcja– skrzynka podstawieniowa tworzona poprzez operacje:

– yj= x1 ⊕… ⊕xj⊕ zj

– a jest liczbą naturalną, generatorem grupy

)1(mod1nx

n ax =+

⎩⎨⎧

=<

2560256)257(mod

)(ydlaydlaa

yfiy

j

Michał Łazicki 45

Szyfr blokowy z S-boxami (8/9)• Propozycja (2) generacji S-boxów przy użyciu

chaotycznych układów dynamicznych:– odwzorowanie logistyczne: – Procedura generacji S-boxa o m wartościach:

1. Dzielimy przestrzeń stanów na n+1>me obszarów i każdemu z obszarów przypisujemy liczbę od 0 do n

2. Punkt w obszarze i ma wartość i3. Wybieramy losowo z każdego obszaru punkt i poddajemy go N

przekształceniom4. Znajdujemy zbiór punktów startowych S, które mają unikalny obraz

(tzn. do jednego przedziału wpada tylko jeden punkt) oraz wybieramy podzbiór A o m elementach

5. Przypisujemy mu nowe wartości od 0 do m-1 i tak samo ich obrazom, zachowując porządek starych wartości

)1(41 nnn xxx −=+

Michał Łazicki 46

Szyfr blokowy z S-boxami (9/9)S-box wygenerowany dla N=1000 i n=767 (#S=259)

Michał Łazicki 47

Podsumowanie

• Układ chaotyczny posiada doskonałe właściwości z punktu widzenia kryptografii

• Dyskretyzacja układów chaotycznych jest trudna• Obliczenia matematyki chaotycznej są

skomplikowane i długie• Generacja skrzynek podstawieniowych przy

pomocy chaosu wydaje się być ciekawym rozwiązaniem

Michał Łazicki 48

Literatura• T. Habutsu, Y. Nishio, I. Sasase and S. Mori, “A secret key cryptosystem by

iterating chaotic map”, in Proc. EUROCRYPT’91, LNCS, vol. 547, pp. 127–140, 1991

• Z.Kotulski, J.Szczepański, K.Górski, A.Paszkiewicz, A.Zugaj, Application of discrete chaotic dynamical systems in cryptography - DCC method, International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol. 9, No. 6, pp. 1121-1135, (1999).

• J. Fridrich, “Symmetric ciphers based on two-dimensional chaotic maps”,Int. J. Bifurcation and Chaos, Volume 8, Issue 6, Pages: 1259 – 1284, 1998.

• G.Jakimoski and L.Kocarev, Chaos and cryptography: Block encryption ciphers based on chaotic maps, IEEE Transactions on Circuits and SystemsI (2001), 48(2), 163-169

• L. Kocarev, “Chaos-based cryptography: a brief overview”, IEEE CircuitsSyst. Magazine, vol. 1, pp. 6–21, 2001

• Z. Kotulski, Budowanie szyfrów blokowych: nowe możliwości, Matematyka Stosowana, 4 (45), str. 1-24, (2003)

• „Classical and Quantum Chaos”, http://chaosbook.org/

http://chaosbook.org/

Michał Łazicki 49

Dziękuję za uwagę.

Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu...

Documents

Transcript of Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu...