Szeregi czasoweEwolucja stanu układu dynamicznego opisywana jest przez funkcję

czasu f(t) lub przez szereg czasowy jego zmiennych dynamicznych. Szeregiem czasowym jest zbiór dyskretnych wartości liczbowych dowolnej wielkości zmiennej w czasie. Ze zmiennej ciągłej szereg dyskretny można otrzymać poprzez próbkowanie lub całkowanie w określonych interwałach czasu (zazwyczaj w stałych przyrostach czasu). Zbiory danych, niekoniecznie związanych z czasem, mogą być reprezentowane poprzez szeregi „czasowe”. Np. zmiana parametrów ośrodka z głębokością otworu wiertniczego.

Szeregi czasowe mogą być scharakteryzowane przez nieciągłości, składową trendu, składowe okresowe i stochastyczne. Trend jest długookresowym wzrostem lub maleniem szeregu.

Wiele fizycznych procesów w Naukach o Ziemi wykazuje długookresową korelację - zjawisko Hursta i silną wrażliwość na warunki początkowe wywołane nieliniową dynamiką procesów.

Zjawisko HurstaWprowadźmy szereg Xi, i=1,...,N średnią i średnią ruchomą (running) definiuje się Zakres definiuje się jako

• zakres przeskalowany (rescaled range) • • wykładnik Hursta otrzymuje się ze związku • Gdy H= 0.5 szereg jest nieskorelowanym białym szumem, kolejne kroki są

niezależne i najlepszą predykcją jest ostatnia wartość mierzona.• Gdy H 0.5 proces jest skorelowany z charakterystycznym zachowaniem

potęgowym: D = d-H• H>0.5 lokalny trend w przedziale kontynuuje się i najlepsza predykcja bazuje na

ekstrapolacji lokalnego trendu.• H<0.5 lokalny trend odwraca się i najlepsza predykcja bazuje na uśrednieniu w

przedziale. A widmo mocy: • Dla H = 1 • Proces losowy ma widmo typu 1/f i jest nazywany 1/f szumem. W przeciwieństwie

do białego szumu f0 czy szumu Browna f-2  

N

iiN

XX1

n

iin

XX1

minmax)()(

nnNXXR

N

NR

H

N

N NR

1)( ffS12)( HS

Analiza spektralna

0

0

0)(2

0

0)(

dttin

etfn

a

ntin

enatf

Analiza widmowa funkcji f(t) jest przedstawieniem jej jako superpozycję składowych okresowych - jest procedurą określania udziałów poszczególnych składowych.

Funkcja okresowa przedstawiana jest szeregiem Fouriera - sumą składowych o częstościach będących całkowitymi wielokrotnościami częstości podstawowej - jest rozłożeniem jej na szereg sinusów (lub cosinusów), których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej 1/T. Składowe o wyższych częstotliwościach n/T (n=1,2...) nazwane są harmonicznymi.

Okresowa funkcja może być przedstawiona w dziedzinie czasu – wyrażając zależność jej amplitudy od czasu

i w dziedzinie częstotliwości – wyrażając amplitudę i fazę składających się na nią funkcji sinus w funkcji częstotliwości.

Funkcja nieokresowa ma okres nieskończenie długi. Przez analogię z funkcją okresową może być rozpatrywana jako mająca nieskończenie małą częstotliwość podstawową. Konsekwentnie harmoniki pojawiają się w nieskończenie małych odstępach dając ciągłe widma amplitudowe i fazowe.

Aby uzyskać formę analityczną trzeba zcyfrować sygnał. Widmo ciągłe ma nieskończoną liczbę składowych funkcji sinus i aby go opracowywać dzieli się go na pewną liczbę "warstewek" przedziałów częstotliwościowych przypisując każdej warstewce jej średnią częstotliwość oraz amplitudę i fazę proporcjonalną do obszaru paska odpowiedniego widma. To cyfrowe wyrażenie ciągłego widma przez skończoną liczbę dyskretnych składowych częstotliwościowych daje przybliżoną reprezentację w dziedzinie częstotliwościowej funkcji nieokresowej w dziedzinie czasu.  

Transformata Fouriera jest reprezentacją funkcji nieokresowej i widmo zawiera kontinuum częstotliwości.

Kwadrat modułu transformaty nosi nazwę widma mocy funkcji f(t).