Uniwersytet Mikołaja Kopernika

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej

Instytut Fizyki

Romaric Abdoul nr albumu: 177643

Praca magisterska na kierunku fizyka doświadczalna

Swobodna ekspansja kondensatu Bosego-Einsteina o skończonej temperaturze, poza

reżimem Thomasa-Fermiego

Opiekun pracy dyplomowej Dr Michał Zawada Zakład Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optycznej

Toruń 2008

Pracę przyjmuję i akceptuję Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej

................................................................ ..................................................................

data i podpis opiekuna pracy data i podpis pracownika dziekanatu

2

Dziękuję dr Michałowi Zawadzie za życzliwą pomoc w

trakcie pracy w laboratorium FAMO, jak i całemu zespołowi,

z którym miałem kontakt: Marcinowi Witkowskiemu i

Jackowi Szczepkowskiemu. Dziękuję również wszystkim

profesorom i wykładowcom, u których miałem zaszczyt

pobierać nauki w czasie studiów. Dzięki ich wiedzy i

staraniom również i ja mogłem pogłębić swoje rozumienie

otaczającego nas świata.

3

UMK zastrzega sobie prawo własności niniejszej pracy magisterskiej w celu udostępniania dla potrzeb

działalności naukowo-badawczej lub dydaktycznej.

4

Spis treści

1. Wstęp ……………………………………………………………………………… 7

2. Teoria kondensatu Bosego-Einsteina …………………………………………… 11

2.1. Opis w ramach wielkiego zespołu kanonicznego ………………………… 11

2.1.1. Przypadek nieoddziałujących atomów. Obsadzenie stanu

podstawowego ……………………………………………………………… 11

2.1.2. Pułapka harmoniczna ……………………………………………… 12

2.1.3. Przypadek oddziałujących atomów ………………………………… 16

2.2. Równanie Grossa-Pitajewskiego …………………………………………… 18

2.3. Przykłady rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego …………………… 18

2.3.1. Przybliżenie gaussowskie ………………………………………… 18

2.3.2. Przybliżenie Thomasa-Fermiego …………………………………… 20

2.4. Równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu ………………………… 21

3. Aparatura i proces powstawania BEC ………………………………………… 23

3.1. Poziomy energetyczne rubidu ……………………………………………… 23

3.2. Układ chłodzący …………………………………………………………… 24

3.2.1. Etapy otrzymywania BEC ………………………………………… 24

3.2.2. Układ próżniowy…………………………………………………… 25

3.2.3. Geter ……………………………………………………………… 26

3.2.4. MOT 1 ……………………………………………………………… 26

3.2.5. Transfer …………………………………………………………… 28

3.2.6. MOT 2 ……………………………………………………………… 29

3.2.7. Pułapka magnetyczna ……………………………………………… 30

3.2.8. Przeładowanie ……………………………………………………… 34

3.2.9. Odparowanie ……………………………………………………… 35

3.3. Układ laserowy …………………………………………………………… 37

3.3.1. Laser pułapkujący ………………………………………………… 37

3.3.2. Laser repompujący (repumper) …………………………………… 40

3.3.3. Wiązki ……………………………………………………………… 41

3.4. Przebieg eksperymentu …………………………………………………… 44

5

3.5. Obrazowanie ……………………………………………………………… 45

3.5.1. Układ obrazujący ………………………………………………… 45

3.5.2. Swobodny spadek i swobodna ekspansja ……………………….. 46

4. Wyniki pomiarów ………………………………………………………………… 49

4.1. Frakcja skondensowanych atomów w zależności od temperatury ………… 49

4.2. Zależność AR od czasu dla dużych kondensatów ………………………… 54

4.3. Zależność AR od liczby atomów w kondensacie ………………………… 58

4.4. Zależność AR od frakcji kondensatu ……………………………………… 61

5. Podsumowanie …………………………………………………………………… 63

6. Literatura ………………………………………………………………………… 64

Załączniki ………………………………………………………………………… 67

Z.1. Teoria chłodzenia i pułapkowania neutralnych atomów …………………….. 67

Z.1.1. Chłodzenie – melasa optyczna ……………………………………. 69

Z.1.2. Pułapkowanie ……………………………………………………… 77

Z.1.3. Granica chłodzenia dopplerowskiego ……………………………… 84

Z.1.4. Chłodzenie subdopplerowskie …………………………………… 84

Z.1.5. Pułapka magnetyczna …………………………………………… 85

Z.1.6. Chłodzenie przez odparowanie …………………………………… 87

Z.2. Doppler-Free Dichroism Lock (DFDL) ………………………………………. 90

Z.3. Właściwości rubidu 87

Rb i podstawowe stałe fizyczne ……………………… 92

Z.4. Zdjęcia aparatury …………………………………………………………… 94

Z.5. Spis oznaczeń ……………………………………………………………… 95

Z.6. Spis rysunków ……………………………………………………………… 98

6

7

1. Wstęp

Każdy człowiek, niezależnie od tego, jak bardzo byłby przygotowany

na niespodzianki niesione przez zadziwiające prawa przyrody, gdy tylko zetknie się

z mechaniką kwantową, wpada w szok. Nie może pojąć reguł rządzących mikroświatem. Jego

umysł nie dopuszcza nowych, niewyobrażalnych dla niego pojęć. Nic w tym dziwnego.

W końcu żaden człowiek w czasie milionów lat ewolucji nie miał do czynienia z fizyką

kwantową. Rozwój naszego umysłu kierowany był przez dobór naturalny. Objawiał się on

tym, że szansę na przekazanie swojego materiału genetycznego miały te osobniki, które lepiej

potrafiły sobie poradzić w życiu bądź też w ogóle potrafiły przeżyć. Z pewnością bardziej

przydatną cechą umysłu była możliwość wyobrażenia sobie niedźwiedzia wyłaniającego się

zza krzaków lub skutków spadającego z góry głazu (myślenie trójwymiarowe),

niż wyobrażanie sobie czterowymiarowej czasoprzestrzeni lub cząstek wirtualnych, które są,

choć ich nie ma. Ewolucja naszego mózgu kierowana była doraźnymi potrzebami, a sposób w

jaki myślimy jest skutkiem nabytych w ciągu życia doświadczeń. Jak dotąd dobór naturalny

nie zdążył wypromować przez np. znacznie większe zarobki, tych ludzi, którzy lepiej niż inni

radzą sobie z „kwantami”. Również żaden człowiek o dostatecznie bujnej wyobraźni nie

wzrastał w środowisku, gdzie oczywistą cechą materii byłaby chociażby zasada

nieoznaczoności Heisenberga. Skutkiem tego nie mamy dziś prawdziwie „kwantowo

myślących umysłów”. W świecie, gdzie nawet niepodważalne dowody nie są w stanie

przekonać niektórych do istnienia atomów, potrzeba naprawdę dużo pokory i wiary, aby

zaakceptować to, że mechanika kwantowa i stosowane przez nią pojęcia dobrze opisują nasz

świat.

Podstawową przyczyną sceptycyzmu ludzi w stosunku do tej dziedziny jest fakt,

że nikt nigdy naocznie nie obserwował tunelowania, fal materii, ani interferencji elektronu

po tym, jak przeleciał jednocześnie przez dwie szczeliny. Są jedynie doświadczenia, których

wyniki udało się na razie wyjaśnić tylko tą dziwaczną teorią kwantów. Ale przecież nie musi

to oznaczać, że innej, bardziej „zdroworozsądkowej” teorii nie ma.

Problem tkwi w naszym tomaszowym niedowiarstwie – „Dopóki nie zobaczę, to nie

uwierzę”. Trudno się dziwić. Kto z nas nie wierzy własnym oczom. W końcu 80% informacji

dociera do nas za pomocą zmysł wzroku. A ponieważ rzeczy odpowiednio małych

i wszelkich zjawisk dziejących się w skali atomów nie da się oczami zobaczyć, dlatego w nie

8

wierzymy. A nawet gdyby ktoś chciał uwierzyć, to jak ma to sobie wyobrazić, skoro nigdy

tego nie widział.

O ile do pewnego czasu polemizować można było o racjonalności odmiennego świata

kwantów, o tyle od historycznego czerwca 1995 r., gdy dał się on zobaczyć ludzkim oczom,

znikły ku temu jakiekolwiek podstawy [1-3]. W owym bowiem czasie, w Kolorado,

pracującym niestrudzenie kwantowym zapaleńcom udało uzyskać się KONDENSAT

BOSEGO – EINSTEINA – okno do świata kwantów.

Kondensat Bosego-Einsteina (w skrócie BEC od ang. Bose-Einstein Condensate)

to obiekt makroskopowy o wymiarach nawet kilku milimetrów (takie rozmiary udało się

dotychczas otrzymać). Jest to twór o tyle niezwykły, że jego zachowanie potwierdza

przewidywania szacownych teraz już fizyków kwantowych. Dla przykładu, dwa takie

kondensaty skierowane na siebie nie odbiją się jak kulki, nie zlepią jak plastelina, ani nie

przenikną jak gaz, lecz będą ze sobą interferować! I naprawdę można to zobaczyć.

Co stało za tym, że dopiero 70 lat po rozwinięciu idei kwantów znalazł się dowód jej

prawdziwości? Otóż dowody znane już były wcześniej. Interferencja elektronów na siatce

krystalicznej, tunelowanie cząstek alfa przy rozpadzie atomowym, stany stacjonarne atomu,

cała fizyka półprzewodników i oparta na tym elektronika. Wszystko to nabrało realnych

kształtów, gdy pojawił się przed oczami prosty, widzialny dowód.

Ale czemu dopiero teraz stworzono BEC? Czemu nie wcześniej? A no dlatego,

że w tym celu dokonać trzeba naprawdę niebanalnego przedsięwzięcia. Należy schłodzić

atomy gazu, mającego stać się kondensatem, do temperatury kilkudziesięciu, czasem kilkuset

nK. Do tego zaś potrzebna jest naprawdę wymyślna aparatura, u podstaw której stoją

nowoczesne lasery o bardzo wąskiej linii widmowej, specjalistyczna elektronika i technologie

wysokiej próżni, będące osiągnięciami końca XX wieku. Poza tym sam proces chłodzenia za

pomocą laserów też trzeba było wymyśleć.

Aby uzyskać BEC, trzeba nie lada wysiłku, cierpliwości, pragnienia odkrycia prawdy

i oczywiście pieniędzy. Zadanie to udało się zrealizować również w Polsce, w Krajowym

Laboratorium Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optycznej (w skrócie KL FAMO) w Toruniu.

Wykorzystując możliwości finansowe i intelektualne wielu ośrodków naukowych z całej

Polski, w 2007 roku udało się skondensować do pożądanego stanu atomy rubidu 87

Rb.

Praca niniejsza ma na celu stanowić pomoc dla każdego, kto chciałby dokładnie

przybliżyć sobie wiele szczegółów dotyczących aparatury służącej do uzyskiwania

9

kondensatu, jak również procedury do tego prowadzącej. Zawiera ona również wyniki kilku

podstawowych doświadczeń przeprowadzonych na otrzymanym już kondensacie.

Rozdział 2 zawiera teorię kondensatu Bosego-Einsteina w popularnym ujęciu.

Omówiona jest w nim kondensacja z termodynamicznego punktu widzenia oraz

przewidywania płynące z przybliżonych rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego –

przybliżenia Gaussowskiego i przybliżenia Thomasa-Fermiego. Rozdział oparty jest na [4],

ale wyprowadzenia są tu dokładniejsze.

Rozdział 3 zawiera dość dokładny opis aparatury służącej do otrzymywania BEC, jak

i procedury do tego prowadzącej. Zawiera on również opis procesu obrazowania produktu

kondensacji. Może on też służyć pomocą w odnalezieniu się w chronologii następujących po

sobie etapów dochodzenia do kondensatu. Nie zostały w nim jednak wyjaśnione zasady

działania stosowanych pułapek magneto-optycznych i magnetycznych oraz procesu

wymuszonego odparowania, kluczowych dla uzyskania kondensatu. Czytelnika

niezaznajomionego z tymi zagadnieniami odsyłam do Załącznika Z.1., gdzie wszystko

to zostało jasno opisane. Zaznaczę, że załącznik ten w znacznej mierze oparty na [5].

Rozdział 4 to wyniki przeprowadzonych przez nas doświadczeń, w skład których

wchodzą:

1. Pomiar frakcji kondensatu w zależności od temperatury

2. Pomiar zależności AR od czasu ekspansji dla dużych kondensatów

3. Pomiar zależności AR od liczby atomów w czystym kondensacie

4. Pomiar zależności AR od frakcji kondensatu

Rozdział 5 to już krótkie podsumowanie wyników i wniosków przedstawionych

w rozdziale 4.

Mój osobisty wkład w otrzymane wyniki polegał przede wszystkim na obsługiwaniu

i regulowaniu aparatury pomiarowej. Brałem przy tym udział w projektowaniu układu

optycznego służącego do obrazowania. Wykonałem również pewną część pracy przy

archiwizacji i obróbce wyników pomiarów.

10

11

2. Teoria kondensatu Bosego-Einsteina

Kondensatem Bosego-Einsteina nazywamy układ oddziałujących ze sobą cząstek,

z których makroskopowa ilość znajduje się w tym samym stanie kwantowym [4]. Różne

dopuszczalne stany kwantowe takiego układu zawsze obsadzone są w pewien statystyczny

sposób. Spośród wszystkich pojedynczych mikrostanów najbardziej prawdopodobne są te,

które mają najniższą energię. Stąd, jeśli chcemy sprowadzić makroskopową liczbę cząstek

do jednego stanu kwantowego, najodpowiedniejszym kandydatem będzie stan podstawowy

układu, ponieważ to on jest najmniej energetyczny. Obsadzenie najniższych stanów, w tym

stanu podstawowego układu, wzrasta wraz z obniżaniem temperatury. Domyśleć się można

więc, że obniżanie temperatury będzie warunkiem koniecznym sprowadzenia dużej liczby

atomów w układzie do stanu podstawowego.

Jednak nawet przy niskiej temperaturze jest ogromnie dużo obsadzanych choćby

w niewielkim stopniu stanów. Stąd liczba cząstek obsadzających którykolwiek stan, nawet

niskoenergetyczny, jest bardzo mała. Jak się jednak przekonamy, z rozważań

termodynamicznych wynika, że dla układu bozonów istnieje pewna temperatura krytyczna,

przy której nieoczekiwanie duża część cząstek układu zaczyna obsadzać stan podstawowy.

Taka raptowna zmiana przy określonej temperaturze nazywana jest przejściem fazowym.

Dlatego właśnie mówimy, że następuje kondensacja, a produkt tej kondensacji nazywamy

kondensatem Bosego-Einsteina.

2.1. Opis w ramach wielkiego zespołu kanonicznego

2.1.1. Przypadek nieoddziałujących atomów. Obsadzenie stanu podstawowego

Załóżmy, że w pułapce mamy układ N nieoddziałujących ze sobą bozonów.

Przyjmijmy, że może on wymieniać z otoczeniem nie tylko energię, ale również cząstki.

W takim razie opisującymi go parametrami kontrolnymi będą temperatura T i potencjał

chemiczny µ. Prawdopodobieństwo pojedynczego mikrostanu n0, n1,... o energii całkowitej

E jest równe

( )

Z

eρ

T/Nµ-E- Bk

= , (1)

12

gdzie Z – funkcja rozdziału z warunku normalizacyjnego, ∑∞

==

0i ii ENE , Ni – obsadzenie

i-tego satanu, a ∑∞

==

0i iNN . Każda cząstka znajdować się może w jednym z dozwolonych

stanów o energii Ei. Wartości tej energii zależą od rodzaju pułapki (jej potencjału). Liczba N

cząstek w układzie nie jest ustalona i może być dowolna. We wszystkich kolejnych

rozważaniach potencjał chemiczny µ jest mniejszy od energii stanu podstawowego, µ < E0.

Przy założeniu czysto kwantowego efektu, którym jest nierozróżnialność cząstek,

otrzymać można z (1) statystykę Bosego-Einsteina, opisującą średnie obsadzenie i-tego

poziomu energetycznego

( )1

1Bk −

=T/µ-Ei

ieN , (2)

a następnie średnie obsadzenie stanu podstawowego

( )1

1B0 k0

−=

T/µ-Ee

N . (3)

Zauważmy, że gdy µ → E0, obsadzenie stanu podstawowego ogromnie rośnie. Niedługo

zobaczymy, że potencjał chemiczny µ może osiągnąć wartość E0 w skończonej temperaturze,

co oznaczać będzie kondensację Bosego-Einsteina. Z termodynamicznego opisu należy wtedy

wyłączyć stan podstawowy.

2.1.2. Pułapka harmoniczna

Przyjmijmy, że nasz układ N cząstek znajduje się w trójwymiarowej pułapce

o potencjale harmonicznym. W takim razie energia każdej cząstki przyjąć może wartość

( )zzyyxxi iωiωiωE ++= h , (4)

gdzie ωx, ωy, ωz są częstościami pułapki w kierunkach x, y i z, natomiast liczby ix, iy, iz

numerują poziomy energetyczne pułapki. Przyjmować one mogą wartości całkowite od 0 do

nieskończoności. Dla uproszczenia rachunków zakładamy, że stan podstawowy ma energię

równą zero E0 = 0 (czyli liczby ix, iy, iz przyjmują wartości zero).

Policzmy średnią liczbę cząstek w pułapce.

( )∑∑∞

=

∞

=−

==

001

1

zyx

Bi

zyx , i, ii

Tk/µ-E

, i, ii

ie

NN (5)

Wskazane sumowanie należy przeprowadzić po wszystkich możliwych wartościach liczb ix,

iy, iz. Odłóżmy te liczby na trzech prostopadłych osiach. W ten sposób rozpięta zostanie przez

13

nie pewna przestrzeń, w której każdej trójce liczb ix, iy, iz odpowiada sześcienna komórka o

jednostkowej objętości i współrzędnych opisanych tymi liczbami. W takim razie konieczne

sumowanie można utożsamić z sumowaniem po wszystkich komórkach rozpiętej przestrzeni.

Jeżeli teraz przyjmiemy, że pomiędzy poziomami energetycznymi w pułapce różnice energii

są bardzo małe, tzn. ∆E << kBT, to funkcję dyskretną objętą sumą można zastąpić funkcją

ciągłą, przejście od komórki do komórki przejściem z punktu do punktu, a sumowanie

całkowaniem. W efekcie dostajemy

( )∫∫ ∫∞

=

∞

=

∞

=−

0

/

0 01B

z

i

x y i

Tkµ-E

zyx

i ie

dididi, (6)

gdzie całkowanie przeprowadzić należy dla dodatnich wartości liczb ix, iy, iz. Dokonamy teraz

zamiany zmiennych postaci: xxx iωE h= , yyy iωE h= , zzz iωE h= , zyxi EEEEE ++== .

Daje to w wyniku

( )∫∫ ∫∞

=

∞

=

∞

=−

0

/

0 0

31

1

B

z

i

x y E

Tkµ-E

zyx

E Ezyx e

dEdEdE

ωωωh, (7)

gdzie jak poprzednio całkowanie przeprowadzić należy po dodatnich wartościach Ex, Ey i Ez.

Każdej wartości energii E odpowiada pewna ilość różnych trójek liczb Ex, Ey i Ez, które

spełniać muszą jedynie warunek, by zyx EEEE ++= . W takim razie całkowanie po

elemencie objętości dExdEydEz zastąpić można całkowaniem po elemencie objętości d3E w

którym wartość E byłaby taka sama, ponieważ tylko od niej zależy funkcja podcałkowa. To

natomiast można zastąpić całkowaniem po dE. Koniecznie jednak należy przy tym pamiętać,

że na każdy element dE przypada nie jeden, lecz pewna ilość elementów dExdEydEz. Funkcja,

która określa liczbę elementów dExdEydEz przypadających na element dE nazywana jest

funkcją gęstości stanów g(E). Przez nią należy pomnożyć funkcję podcałkową

( )( )

( )∫∫∫ ∫∞∞

=

∞

=

∞

=−

=−

0

/3

0

/

0 0

31

1

1

1

BB Tkµ-Ezyx

E

Tkµ-E

zyx

E Ezyx e

dEEg

ωωωe

dEdEdE

ωωωz

i

x y

hh. (8)

Aby poznać jej postać, najpierw znajdujemy liczbę G(E) wszystkich stanów, których energia

znajduje się w przedziale od 0 do E

( )6

3

0000

EdEdEdEdEdEdEEG

yxxEEE

z

EE

y

E

x

E

zyx === ∫∫∫∫−−−

. (9)

14

Granice całkowania biorą się z warunku zyx EEEE ++= . Szukana przez nas gęstość

stanów wynosi

( ) ( )2

2E

dE

EdGEg == . (10)

W takim razie, podstawiając (10) do (8), otrzymujemy

( )∫∞

−=

0

/312

1

BTkµ-E

2

zyx e

dEE

ωωωN

h, (11)

gdzie ω to średnia geometryczna częstości pułapki w różnych kierunkach ( ) 3/1zyx ωωωω = .

Rozwijając w szereg

( )( )∑

∞

=

=−

1

/

/B

B 1

1

l

Tkµ-El

Tkµ-Ee

e i (12)

dostajemy

∫∑∞∞

=ω

=

0

/

1

/

33BB

2

1dEeEeN

TklE-2

l

Tklµ

h, (13)

a następnie stosując podstawienie Tk

lEx

B

= oraz korzystając ze wzoru

( ) ( ) 2223dxex

0

x2 =Γ=Γ=∫∞

− , (14)

otrzymujemy

( ) ∑

∞

=ω

=

1

3

/

33

3B

B

l

Tklµ

l

eTkN

h. (15)

Załóżmy, że można przeprowadzić eksperyment, w którym średnia liczba atomów

N w pułapce jest stała. Przy takim założeniu obniżamy temperaturę T. Wymuszać to będzie

na potencjale chemicznym zmiany, ponieważ wszystkie inne symbole we wzorze (15) to

stałe. Ponieważ wyraz przed sumą maleje z trzecią potęgą temperatury, aby N pozostało

niezmienione, eksponenta w sumie musi rosnąć. Zauważmy, że temperatura znajduje się

również w mianowniku wykładnika. Spadek temperatury powodować będzie wzrost

wykładnika, jednak ze względu na ujemną wartość potencjału chemicznego, tempo

wzrastania eksponenta wraz ze spadkiem temperatury jest wolniejsze nawet od pierwszej

15

potęgi T. W takim razie w wykładniku eksponenta musi rosnąć potencjał chemiczny.

Graniczna wartość jego wzrostu to µ → E0 = 0. W konsekwencji dla pewnej skończonej

temperatury, zwanej temperaturą krytyczną Tc, potencjał chemiczny osiąga wartość µ = 0. Jak

wiemy, następuje wtedy ogromny wzrost obsadzenia stanu podstawowego, czyli kondensacja

Bosego-Einsteina.

Skoro tylko potencjał chemiczny osiągnie wartość zero, wzór (15) przyjmuje postać

( ) ( )

( )31

N33

3

B

1

333

3

ζω

Tk

lω

Tk c

l

cB

hh== ∑

∞

=

. (16)

Suma widocznego szeregu to tzw. dzeta Riemanna, czyli funkcja ( )xζ określona wzorem (17)

( ) ∑∞

=

=

1

1

l

xl

xζ . (17)

W ten sposób wzór na temperaturę krytyczną przyjmuje postać

( )

31

3

/

B

cζ

N

k

ωT

=h

. (18)

Widać, że jest ona zależna od liczby atomów N w pułapce i średniej częstości ω pułapki.

Przy dalszym obniżaniu temperatury potencjał chemiczny pozostaje równy zero µ = 0,

a ze względu na konieczność wyłączenia stanu podstawowego z opisu termodynamicznego,

wzór (16) opisuje tylko atomy w stanach wzbudzonych tN ,

( )

( )333

3

ζω

TkN B

th

= . (19)

Ponieważ liczba atomów w pułapce jest stała, więc liczba atomów 0N w stanie

podstawowym jest równa

−=−=

3

0 1c

tT

TNNNN (20)

lub w stosunku do liczby wszystkich atomów w pułapce

−=

3

01

cT

T

N

N. (21)

Otrzymany wzór (21) opisuje liczbę skondensowanych atomów w stosunku do wszystkich

atomów w pułapce (tzw. frakcja kondensatu), gdy temperatura T jest niższa od temperatury

krytycznej Tc. Graficznie przedstawia to rys.1 (linia przerywano-kropkowana).

16

Rys.1. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej

względem temperatury krytycznej). Linia przerywano-kropkowana prezentuje zależność opisaną równaniem

(21) dla nieoddziałujących atomów. Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem (22), uwzględniającą

oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów. Linia

kropkowana obrazuje jeszcze inne przybliżenie [6]. Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z

pracy [6].

Zależność (21) wyprowadzona została w tak zwanej granicy termodynamicznej, tzn. przy

założeniu, że N → ∞ , ω → 0 oraz const3 =ωN .

2.1.3. Przypadek oddziałujących atomów

Równanie (21) otrzymane zostało dla idealnego gazu nieoddziałujących ze sobą

bozonów. W przypadku gdy to oddziaływanie zostanie jednak uwzględnione, opis frakcji

kondensatu staje się nieporównywalnie bardziej skomplikowany. Jeśli jednak w naszym

rozważaniu przyjmiemy:

- model Hartree-Focka zaniedbujący oddziaływania atomowe w nieskondensowanej

(termicznej) części chmury

- przybliżenie Thomasa-Fermiego zaniedbujące energię kinetyczną skondensowanych

atomów

- istnienie efektów skończonych rozmiarów próbki

to otrzymamy [6] zależność liczby skondensowanych atomów od temperatury postaci:

17

( )( )

5/2

0

23

0

3

2η1

−

−=

N

N

T

T

T

T

N

N

cc ζ

ζ, (22)

gdzie η jest parametrem skalującym

( ) ( ) 526131153

2

1η

///aNζ= , (23)

opisującym siłę oddziaływań atomowych w kondensacie, natomiast a jest długością

dwuciałowego rozpraszania rubidu. Uwzględnienie odpychających oddziaływań atomowych

w kondensacie powoduje obniżenie frakcji kondensatu i znaczącą zmianę kształtu wykresu

opisującego jej zależność od temperatury (rys.1 - linia ciągła).

Kolejne przybliżenie, zakładające mały wpływ ostatniego członu w równaniu (22) daje

( )( )

5/2323

01

3

2η1

−

−

−=

ccc T

T

T

T

T

T

N

N

ζ

ζ. (24)

Wykres tej zależności przedstawia rys.2 (linia kropkowana).

Rys.2. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej

względem temperatury krytycznej). Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem (22) uwzględniającą

oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów, natomiast

linia kropkowana uproszczoną zależność (24). Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z pracy

[6].

18

2.2. Równanie Grossa-Pitajewskiego niezależne od czasu

Jeżeli wszystkie cząstki w rozważanej już pułapce harmonicznej są skondensowane

(czysty kondensat) to znajdować się muszą w tym samym stanie jednocząstkowym. Oznacza

to, że funkcja falowa kondensatu przyjmuje postać

( ) ( ) ( )NN rrrrr

Krr

Kr

φφ=ψ 11 ,, . (25)

Jeżeli atomy oddziałują między sobą, to taka sytuacja jest tylko przybliżeniem stanu własnego

układu N cząstek. W takim wypadku można zapytać, jaki należy wybrać stan jednocząstkowy

φ , aby funkcja falowa (25) była najlepszym przybliżeniem stanu podstawowego. W tym celu,

używając metody wariacyjnej, minimalizuje się energię układu w przestrzeni funkcji (25).

W wyniku dostaje się równanie Grossa-Pitajewskiego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rµrrNgrUm

rrrrhφ=φ

φ−++∇−

20

22

12

, (26)

gdzie m – masa cząstki, U - potencjał pułapki, µ – potencjał chemiczny. W równaniu tym, dla

dużej liczby atomów N, zwykle zaniedbuje się „-1” w nawiasie. g0 – to parametr modelowego

potencjału (pseudo potencjału ( )rgr

δ0 ) oddziaływania pomiędzy atomami, zwany też

długością rozpraszania i równy m

aπg

2

0

4 h= . Otrzymane równanie jest bardzo podobne do

równania Schrödingera dla cząstki w pułapce, za wyjątkiem nieliniowego członu, który jest

skutkiem średniopolowego oddziaływania atomu z resztą atomów. Każdy atom widzi

pozostałe atomy jako dodatkowy potencjał proporcjonalny do gęstości chmury atomowej

( ) 20 r

rφNg . Od znaku a zależy to, czy oddziaływanie międzyatomowe jest przyciągające czy

odpychające.

2.3. Przykłady rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego

2.3.1. Przybliżenie gaussowskie

Rozważmy jak wcześniej atomy w pułapce o potencjale harmonicznym

( ) 2/r 22rmωU =

r. Dla takiego potencjału równanie Grossa-Pitajewkiego przyjmuje postać

( ) ( ) ( )rµrrNgrmωm

rrrhφ=φ

φ++∇−

20

2222

2

1

2. (27)

19

Dla przejrzystości zapisu energię wyrazimy w jednostkach ωh , a długość w jednostkach

oscylatorowych mω/h (jest to tzw. rozmiar stanu podstawowego pojedynczej cząstki w

potencjale harmonicznym). Dostajemy wtedy

( ) ( ) ( )rµrrNgrrrr

φ=φ

φ++∇−

20

22

2

1

2

1, (28)

gdzie mω

ag

/

40

h

π= .

Jeżeli g0 → 0, to nieliniowość w równaniu (28) znika i rozwiązaniem dla stanu

podstawowego jest funkcja Gaussa

( )2/34/3

2/22

σπ

er

σr-

=φr

. (29)

Jest to rozwiązanie dla pojedynczej cząstki w potencjale harmonicznym, a stąd w przypadku

braku oddziaływania międzyatomowego, również dla wszystkich cząstek w stanie

podstawowym.

Jeżeli natomiast g0 ≠ 0, ale niewiele różni się od zera, to używając metody wariacyjnej można

poszukać rozwiązania w postaci funkcji Gaussa, przyjmując jako parametr σ. Wstawiając (29)

do funkcjonału energii i przeprowadzając całkowanie dostajemy

[ ] ( )3

2

2

*

24

3

4

3,

σ

χσ

σσEE ++==φφ , (30)

gdzie

/mω

Na

πχ

h

2= . (31)

Pierwszy człon w (30) odpowiada energii kinetycznej, drugi energii potencjalnej pułapki, a

trzeci energii oddziaływania międzyatomowego, proporcjonalnej, jak widać, do gęstości

atomów w pułapce ~ 3/ σN .

Jeżeli chcemy znaleźć stan podstawowy układu, to musimy znaleźć minimum funkcji ( )σE ,

( )

0d

d

0

0 =σ

σE, skąd χσσ += 0

50 . (32)

Okazuje się wtedy, że dla a > 0 (odpychanie pomiędzy atomami), dla małej liczby atomów,

czyli χ << 1 odtwarzamy rozwiązanie dla układu nieoddziałującego, tj. σ0 = 1. Natomiast dla

dużej liczby atomów, czyli χ >> 1 otrzymujemy σ0 ≈ χ1/5 ~ N

1/5, czyli gęstość

prawdopodobieństwa ( ) 2rr

φ rozciąga się przestrzennie tym dalej, im więcej jest atomów w

pułapce. Jest to skutek wzajemnego odpychania się atomów.

20

W omawianym wypadku energia kinetyczna zachowuje się jak ~ 1/N 2/5

, energia

potencjalna pułapki jak ~ N 2/5

, energia oddziaływania między atomami jak ~ N 2/5

. W takim

razie dla dużych N energia kinetyczna jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z innymi

rodzajami energii i stan przestrzennej równowagi kondensatu osiągnięty zostaje przez

przeciwdziałające sobie potencjał pułapki i wzajemne odpychanie atomów.

2.3.2. Przybliżenie Thomasa-Fermiego

Widzieliśmy, że dla układu niewielu cząstek przestrzenny rozmiar każdej cząstki

znajdującej się w potencjale harmonicznym w stanie podstawowym, identyfikowany z σ0, w

jednostkach oscylatorowych wynosi σ0 = 1, czyli mωσ /0 h= . Natomiast dla dużej liczby

cząstek przestrzenny rozmiar chmury σ0 ~ N 1/5

, co oznacza, że σ0 >> mω/h . Ze względu

na wzajemne odpychanie cząstek rozmiar chmury jest tym większy, im więcej cząstek ona

zawiera. Jeżeli za jej promień R przyjmiemy σ0, to

R >> mω/h . (33)

W takim wypadku stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej pułapki

2

222

2

2

=≅

R

/mω

Rmω

mR

E

E

harm

kin h

h

<< 1. (34)

Można zatem w równaniu Grossa-Pitajewskiego (27) zaniedbać człon ( )rm

rhφ2

2

2∇−

i otrzymujemy

( ) ( ) ( )rµrrNgrmωrrr

φ=φ

φ+

20

22

2

1, (35)

a stąd bez problemu dostajemy

( )Ng

/rmωµr

0

22 2−=

rφ , (36)

gdzie dla 22 2µ/mωr > , ( ) 0=φ rr

. Potencjał chemiczny znajdujemy z warunku

normalizacyjnego

52

152

/

/mω

Naωµ

=

h

h. (37)

21

Zastosowane przybliżenie, polegające na zaniedbaniu energii kinetycznej cząstek, nazywane

jest przybliżeniem Thomasa-Fermiego dla kondensatu Bosego-Einsteina.

Przypatrzmy się bliżej otrzymanej funkcji jednocząstkowej ( )rr

φ . Ponieważ wszystkie

cząstki w kondensacie znajdują się w tym stanie, więc gęstość prawdopodobieństwa chmury

w skład której wchodzi N cząstek wynosi

( )0

22

0

222 22

g

/rmωµ

Ng

/rmωµNrN

−=

−=

rφ . (38)

Jak widać gęstość chmury jest zależna od kwadratu odległości od jej środka. Przedstawia to

czerwona linia na rys.3. Taki profil gęstości nazywamy profilem Thomasa-Fermiego (TF).

σ0 R

Rys.3. Wykres zależności gęstości chmury od odległości od jej środka. Linia czerwona przedstawia profil

Thomasa-Fermiego (skondensowane atomy), natomiast linia niebieska profil gaussowski (chmura termiczna

czyli nieskondensowane atomy). R to promień Thomasa-Fermiego, natomiast σ0 to przestrzenny rozmiar cząstki

w stanie podstawowym, opisanej funkcją Gaussa.

2.4. Równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu

Dla uogólnienia rozważań na przypadek zależny od czasu można przyjąć, że funkcja

( )rr

φ w (25) jest zależna od czasu. Przeprowadzony wtedy zależny od czasu rachunek

wariacyjny prowadzi bezpośrednio do zależnego od czasu równania Grossa-Pitajewskiego

( ) ( ) ( ) ( )t,rt

it,rrNgrtmωm

rh

rrhφ

∂

∂=φ

φ++∇−

20

2222

2

1

2 (39)

22

23

3. Aparatura i proces powstawania BEC

W tym rozdziale opisana jest aparatura służąca do otrzymywania kondensatu. Zawiera

on również opis całego procesu prowadzącego do jego uzyskania.

Całą aparaturę służącą do uzyskiwania kondensatu w naszym laboratorium podzielić

można umownie na następujące obszary:

1. obszar I, w którym następuje cały proces chłodzenia atomów i ostatecznie

otrzymywanie BEC. Zawiera on między innymi komory próżniowe i pompy, zbiornik

z rubidem i cewki wytwarzające niezbędne pole magnetyczne

2. obszar II, w którym otrzymuje się wszystkie potrzebne wiązki światła laserowego o

różnych częstotliwościach, niezbędne między innymi do procesu chłodzenia i

obrazowania otrzymanego kondensatu.

3. obszar III, obejmujący elementy odpowiedzialne za zasilanie cewek magnetycznych i

sterowanie prądem w nich płynących; zaliczyć można do niego również układ

chłodzenia cewek.

4. obszar IV, do którego należy aparatura kontrolująca przebieg całego eksperymentu.

Jako, że całe chłodzenie odbywa się w obszarze I, to właśnie przy omawianiu jego działania

opisywany będzie również cały proces otrzymywania BEC (kondensatu Bosego-Einsteina).

3.1. Poziomy energetyczne rubidu 87

Rb

Jak to już zostało wspomniane we wstępie, w naszym laboratorium BEC otrzymuje się

z atomów jednego z izotopów rubidu - 87

Rb. Ponieważ do procesu chłodzenia niezbędne jest

rezonansowe oddziaływanie tych atomów ze światłem, dlatego częstotliwość wiązek

laserowych musi być dostrojona do różnicy poziomów energetycznych, pomiędzy którymi

zachodzi przejście. Na rys.4 przedstawione są poziomy energetyczne rubidu 87

Rb.

W naszym doświadczeniu w pułapkach magneto-optycznych wykorzystuje się linię D2

o długości fali 780 nm. Odpowiada ona przejściu 5 2

S1/2 → 5 2

P3/2.

24

Rys.4. Poziomy energetyczne rubidu 87

Rb. Linie po lewej obrazują strukturę subtelną, a linie po prawej strukturę

nadsubtelną. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D2 rubidu o długości 780 nm. Na rysunku oznaczone

są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w doświadczeniu wiązek: wiązki

pułapkującej, repompującej i pompującej. Rysunek wzięty z [7].

3.2. Układ chłodzący

3.2.1. Etapy otrzymywania BEC

Dla przejrzystości i lepszego rozeznania poniżej przedstawione zostały kolejne etapy

prowadzące do otrzymania BEC:

1. w górnej pułapce magneto-optycznej (MOT 1) następuje wychwyt atomów rubidu

87Rb z chmury termicznej o temperaturze pokojowej i naturalnym składzie

izotopowym oraz wstępne chłodzenie przechwyconych atomów

2. dokonywany jest transfer, czyli przepchnięcie zgromadzonych atomów z górnej

pułapki magneto-optycznej do dolnej komory próżniowej

3. następuje przechwycenie przepychanych atomów przez dolną pułapkę magneto-

optyczną (MOT 2) oraz ich dalsze chłodzenie

4. atomy przeładowywane są z MOT 2 do pułapki magnetycznej (MT)

5. następuje chłodzenie przez wymuszone odparowanie przy użyciu oscylującego pola

magnetycznego o częstości radiowej (RF)

Pierwsze trzy etapy odbywają się jednocześnie (tzn. transfer odbywa się w sposób ciągły).

repompowanie

pompowanie optyczne

chłodzenie,

pulapkowanie i

detekcja

25

3.2.2. Układ próżniowy

Cały proces chłodzenia atomów odbywa się w układzie próżniowym złożonym z

górnej i dolnej komory próżniowej oraz łączącej te komory rurki. W górnej komorze odbywa

się wstępne chłodzenie atomów, a w dolnej komorze dalsze chłodzenie i kondensacja.

Schemat całego układu przedstawia poniższy rysunek (rys.5).

Rys.5. Schemat układu próżniowego: górna i dolna komora próżniowa oraz łącząca je rurka. Górna komora

wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z pyreksu, przez które wprowadza się wiązki. Dolna

komora jest komórką z kwarcu. Grafitowe wnętrze rurki łączącej komory zapewnia pompowanie różnicowe. [8]

Górna komora próżniowa wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z

pyreksu, umieszczonych parami wzdłuż trzech ortogonalnych kierunków. Okienka te pokryte

są warstwą antyrefleksyjną, dopasowaną do długości fali 780 nm. Górna komora to ogólnie

przestrzeń dla MOT 1. Niezbędnym warunkiem jego sprawnego działania jest próżnia, dzięki

której chłodzone w pułapce atomy nie są podgrzewane przez swobodne, nie uchwycone

atomy termiczne. Dlatego komora ta wyposażona jest w pompę jonową o szybkości

pompowania 25 l/s. Dzięki temu w górnej komorze udaje się uzyskać próżnię na poziomie

około 10-8

mbar. Z jednej strony jest ona wystarczająco dobra by zapewnić sprawne działanie

MOT 1, z drugiej natomiast atomów rubidu jest na tyle dużo, by proces ich wychwytywania z

chmury termicznej był wydajny.

Rurka łącząca obie komory próżniowe również wykonana jest ze stali nierdzewnej.

Ważniejsze jest jednak to, że izoluje ona od siebie dwie komory, nie pozwalając na to, by

słabsza próżnia w górnej komorze pogorszyła tą w dolnej (pompowanie różnicowe). Dlatego

do

pomp

dolna

komora

rurka

pompowania

różnicowego

górna

komora

26

posiada ona wewnątrz grafitową rurkę o długości 120 mm i wewnętrznej średnicy 4,5 mm,

której celem jest pochłanianie padających na nią atomów rubidu.

Dolna komora próżniowa to kwarcowa komórka, niepokryta warstwą antyrefleksyjną.

Do uzyskania próżni w tej komorze stosuje się pompę jonową o szybkości 55 l/s oraz pompę

sublimacyjną. Skutkiem działania tych pomp i grafitowej rurki łączącej obie komory jest

bardzo dobra próżnia, o trzy rzędy wielkości niższa niż w górnej komorze (10-11

mbar).

3.2.3. Geter

Do górnej komory atomy rubidu o naturalnym składzie izotopowym dostarczane są

przez podgrzewany emiter rubidu (tzw. geter). Grzany jest on prądem o natężeniu 3,3 A, przy

którym, jak stwierdziliśmy doświadczalnie, w MOT 1 gromadzi się najwięcej atomów. Przy

podanych warunkach geter emituje około 2 x 107 atomów w ciągu sekundy.

3.2.4. MOT 1

Jest to pierwsza pułapka magneto-optyczna w procesie chłodzenia. Dokonuje się w

niej wychwyt atomów z par rubidu znajdujących się w górnej komorze.

Do komory tej przez okienka wprowadzane są trzy wiązki kołowo spolaryzowanego

światła, które po skrzyżowaniu się w środku komory wychodzą przez przeciwległe okienka.

Następnie dzięki ustawionym za nimi ćwierćfalówkom i lusterkom, wracają do komory po

tych samych torach, którymi przybyły, ale już z przeciwną polaryzacją. W ten sposób

dostajemy sześć parami przeciwbieżnych i przeciwnie spolaryzowanych wiązek laserowych,

krzyżujących się wzdłuż trzech ortogonalnych kierunków (rys.6.).

Wiązka

przepychająca

Wiązki górnego

MOTa

Wiązki dolnego

MOTa

Rys.6. Wiązki w układzie chłodzącym.

27

Częstotliwość wiązek laserowych dopasowana jest do linii D2 rubidu, a ściślej do

przejścia 5 2

S1/2 2=F → 5 2

P3/2 3'=F (rys.4). Wiązki te nazywa się wiązkami

pułapkującymi. Ze względu na ich funkcję chłodzącą ich częstotliwość odstrojona jest w dół

od rezonansu o 2Γ/2π, gdzie Γ to naturalna szerokość omawianego przejścia, wynosząca

Γ = 2π · 6 MHz.

Aby możliwe było oddziaływanie wiązek pułapkujących z atomami, a w konsekwencji

samo chłodzenie i pułapkowanie, atomy muszą znajdować się w stanie 5 2

S1/2 2=F

Tymczasem po absorpcji fotonu z wiązki pułapkującej, istnieje niezerowe

prawdopodobieństwo, że nastąpi przejście atomu do stanu 5 2

P3/2 2'=F . Ze stanu tego

atomy podczas emisji przechodzą z największym prawdopodobieństwem do stanu

5 2

S1/2 1=F . Po znalezieniu się w nim przestają oddziaływać z wiązkami pułapkującymi i

chłodzenie staje się niemożliwe. Dlatego wiązki pułapkujące miesza się z tzw. wiązką

repompującą, o częstotliwości dostrojonej do przejścia 5 2

S1/2 1=F → 5 2

P3/2 2'=F

(rys.4).

Moc każdej z wiązek pompujących wynosi 40 mW, a wiązki repompującej 25 mW.

Średnice wszystkich wiązek wynoszą 17 mm.

Można by się zastanawiać, czy w przypadku przyjętego rozwiązania z odbijaniem

wiązek nie ma miejsca sytuacja, w której odbita wiązka, ta która już przeszła przez chmurę

atomów, nie jest dużo słabsza niż była pierwotnie. Jednak ze względu na moc wiązek

i związane z tym wysycenie chmury, osłabienie to jest niewielkie, a kształt otrzymanej

chmury i tak na tym etapie nie ma znaczenia.

W skład górnego MOTa wchodzi również niezbędna para cewek, ustawionych w

odwrotnej konfiguracji Helmholtza i tworząca kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w

miejscu krzyżowania się wiązek laserowych. Wytwarzane przez nie pole posiada osiowy

gradient o wartości 12 G/cm. Dodatkowo górny MOT, obok wspomnianej już pary cewek,

posiada jeszcze trzy cewki, (w tym dwie w ustawieniu Helmholtza), których zadaniem jest

umożliwienie przesuwania zera pola magnetycznego w dwóch kierunkach.

Ostatecznie w MOT 1 otrzymujemy chmurę o wymiarach 5-7 mm, składającą się z

109 atomów o temperaturze około 500 µK i gęstości 10

11 cm

-1.

28

3.2.5. Transfer

Jednocześnie z działaniem MOT 1 następuje przenoszenie schłodzonych w nim

atomów do dolnej komory próżniowej, gdzie zostają przechwycone przez MOT 2. Odległość

pomiędzy tymi pułapkami wynosi 415 mm i jest do właśnie dystans, jaki muszą przebyć

atomy. Transferu dokonuje się kierując na chmurę chłodzonych w MOT 1 atomów wiązkę

światła laserowego zwróconą w dół (rys.6 i 7). Wiązka ta, zwana wiązką przepychającą,

działa na atomy dodatkową siłą i powoduje ich ruch w dół przez grafitową rurkę do dolnej

komory próżniowej.

Częstotliwość wiązki odstrojona jest od rezonansu ku czerwieni o 2Γ/2π, a jej moc

wynosi 4 mW. Przy takich bowiem parametrach wiązki stwierdziliśmy najlepszą efektywność

transferu atomów. Dodatkowo wiązka ta jest pozbawiona domieszki repompującej. Dlatego

po tym, jak atomy zostaną wypchnięte z pułapki, przepompowywane są do stanu 5 2

S1/2

1F = i przestają oddziaływać z wiązką przepychającą. Dzięki temu nie są dalej

przyspieszane (podgrzewane), lecz raz wypchnięte kierują się przez grafitową rurkę

do MOT 2.

Zadaniem wiązki przepychającej jest wypchnięcie w dół atomów z górnego MOTa.

Nie powinna ona już jednak wpływać na działanie MOTa dolnego. Aby to uniemożliwić,

wiązce przepychającej nadaje się odpowiedni kształt (rys.7). Mianowicie zanim trafi ona na

chmurę atomów w MOT 1, skupiana jest przez znajdującą się 15 cm powyżej soczewkę.

Skupiona przez nią wiązka tworzy ognisko o szerokości 50 µm, 0,5 cm powyżej chmury

atomów w MOT 1. Stąd natężenie wiązki przechodzącej przez chmurę jest znaczne i dlatego

działa ona na atomy z dużą siłą. Po przejściu przez ognisko wiązka zaczyna się rozbiegać

i 415 mm poniżej jej natężenie jest już ponad 6 tyś. razy mniejsze. Dlatego wpływ tej wiązki

na MOT 2 jest prawie niezauważalny.

Warto jeszcze wspomnieć, że wiązka przepychająca nie przechodzi centralnie przez

środek chmury atomów w górnym MOT’cie (rys.7). Gdyby nie to, w MOT 1 nie było by

atomów prawie w ogóle. Ustawieniu wiązki przepychającej przy którym transfer jest

najbardziej efektywny znowu jest wynikiem prób doświadczalnych.

29

3.2.6. MOT 2

Dolny MOT to druga pułapka magneto-optyczna. Przepchnięte w dół atomy po

przejściu przez grafitową rurkę są przez nią wychwytywane i chłodzone we wnętrzu

kwarcowej komórki.

Do realizacji pułapki używa się sześciu oddzielnych, parami przeciwbieżnych

i przeciwnie kołowo spolaryzowanych wiązek, skierowanych wzdłuż trzech prostopadłych

kierunków i przecinających się we wnętrzu komórki. Częstotliwość wiązek, podobnie jak

w MOT 1, dopasowana jest do przejścia 5 2

S1/2 2=F → 5 2

P3/2 3'=F i odstrojona w dół

od rezonansu o 2 Γ. Jednak w odróżnieniu od sytuacji, z jaką mamy do czynienia w MOT 1,

w tej pułapce każda wiązka jest niezależna, tzn. żadna z nich nie powstaje przez odbicie

wiązki po przejściu przez chmurę chłodzonych atomów. Dzięki temu każda z wiązek

pułapkujących ma taką samą moc. Ma to na celu wyeliminowanie wszelkich nieregularności

pułapki, a przez to i odkształceń powstającej w niej chmury atomów. Jest to bardzo istotne,

ponieważ od kształtu tej chmury zależy efektywność przeładowywania atomów do pułapki

magnetycznej. Każda z wiązek pułapkujących ma średnicę 10 mm i moc 40 mW. Dodatkowo,

zanim wiązka pułapkująca zostanie rozdzielona na sześć wiązek, mieszana jest z wiązką

repompującą o mocy 80 mW. Przydział mocy wiązki repompującej dla każdej z wiązek

pułapkujących nie jest równy, ale nie ma to większego znaczenia, gdyż szybkość

repompowania jest bardzo duża i światło z tej wiązki nie zdąży nadać atomom znaczącego

pędu.

MOT 2 zawiera również niezbędne do pułapkowania dwie cewki ustawione

w odwrotnej konfiguracji Helmholtza, które wytwarzają kwadrupolowe pole magnetyczne

z zerem w miejscu przecięcia się wiązek. Osiowy gradient tego pola wynosi 10 G/cm.

Działanie obu pułapek magneto-optycznych oraz transfer atomów pomiędzy nimi

odbywa się jednocześnie i trwa przez 40 sekund. Następnie MOT 1 i wiązka przepychająca są

Rys.7. Znajdująca się nad MOT 1 soczewka ogniskuje

wiązkę przepychającą tuż nad chmurą atomów i wybija

je w dół. Nie przechodzi ona centralnie przez środek

chmury. Rozbiegająca się wiązka ma zaniedbywalny

wpływ na MOT 2.

soczewka

MOT 1

MOT 2

30

wyłączane, kończąc tym samym dostarczanie atomów do MOT 2. W tym momencie

w dolnym MOT’cie przeciętnie znajduje się 109 atomów o temperaturze 500 µK i gęstości

1011

cm-3

.

W kolejnym kroku włączana jest dodatkowa cewka, znajdująca się pod komórką. Jej

zadaniem jest przesunięcie środka MOT 2 o 3 mm w dół, w miejsce, gdzie rozpocznie się

pułapkowanie w pułapce magnetycznej.

Następnie powiększane jest odstrojenia wiązek laserowych z 2 Γ do 6 Γ (z 12 MHz do

36 MHz). Stan taki utrzymywany jest przez 3 ms i nazywany jest fazą zimego MOTa (Cold

MOT). Ma to na celu zwiększenie gęstości fazowej chmury. Potem wyłączane jest pole

magnetyczne dolnego MOTa. Tym samym wiązki laserowe przestają pułapkować atomy, a

tworzą jedynie melasę optyczną. Faza melasy trwa przez 12 ms. W nieobecności pola

magnetycznego ujawnia się efekt chłodzenia subdopplerowskiego – chłodzenie z gradientem

polaryzacji. Efekt ten prowadzi do schłodzenia atomów do temperatury 40 µK.

3.2.7. Pułapka magnetyczna

Pułapka magnetyczna (MT) realizowana jest również we wnętrzu kwarcowej komórki.

Wokół komórki jest bardzo mało miejsca, jako że musi tam znajdować się aparatura do

wytworzenia zarówno pułapki magnetycznej jak i dolnej pułapki magneto-optycznej. Stąd

wiele rozwiązań konstrukcyjnych obu pułapek jest wynikiem kompromisu pomiędzy chęcią

wytworzenia silnego pola magnetycznego w kuwecie przy stosunkowo małym prądzie (MT),

a umożliwieniem dostępu do komórki szerokich wiązek laserowych (MOT 2).

Zadaniem pułapki magnetycznej jest stworzenie harmonicznego potencjału

z minimum w środku pułapki. Odpowiedzialny za to jest układ trzech identycznych

stożkowych cewek, pokazany na kolejnym rysunku (rys.8).

r

z

r

Rys.8. Układ trzech identycznych stożkowych

cewek wytwarzających pole magnetyczne o

potencjale harmonicznym oraz dwóch cewek

wytwarzających pole offsetowe. Środkowa

cewka stożkowa zwana jest cewką Joffego. Jak

widać stożkowe cewki mają wzdłuż swoich osi

otwory, którymi do MOT 2 doprowadzane są

wiązki laserowe. Oś z zwana jest osią pułapki

magnetycznej. Rysunek wzięty z [8].

31

Dwie przeciwległe cewki w odwrotnej konfiguracji Helmholtza odpowiedzialne są za

powstanie pola kwadrupolowego, zarówno w kierunku osiowym (oś środkowej cewki) jak

i kierunku radialnym (każdym prostopadłym do kierunku osiowego). Pole kwadrupolowe w

tych kierunkach ma postać jak na rys.9a. Ze wzoru (85) wynika, że siła działania takiego pola

na moment magnetyczny będzie miała postać jak na rys.9b. Daje to potencjał o postaci

przedstawionej na rys.9c. Niestety minimum potencjału przechodzi przez zero, niezależnie od

momentu magnetycznego mF. Stwarza to możliwość odwrócenia momentu magnetycznego

atomu przy jego przechodzeniu przez minimum potencjału (tzw. Majorana spin flips).

Dlatego używa się trzeciej cewki, zwanej cewką Joffego. Wzdłuż osi z w pobliżu środka

pułapki pole tej cewki jest praktycznie stałe (powoli maleje wraz z odległością od cewki), ale

w kierunku radialnym wytwarza ona potencjał harmoniczny z minimum na osi z. Nałożenie

się pól wszystkich trzech cewek skutkuje powstaniem potencjału przedstawionego na rys.9d.

W pobliżu środka pułapki jest on harmoniczny w każdym kierunku - radialnym i osiowym.

Rys.9. Wykresy podanych wielkości w zależności od odległości od środka pułapki (kierunek radialny i osiowy);

a) indukcja magnetyczna B dwóch cewek w odwrotnym ustawieniu Helmholtza; b) działająca wtedy na atomy

siła F; c) odczuwany przez atomy potencjał V; d) potencjał V przy włączonej trzeciej cewce Joffego.

Użycie cewki Joffego powoduje bardzo duże rozsunięcie minimów dla różnych

poziomów zeemanowskich, co również jest niekorzystne, bo utrudnia wymuszone

odparowanie. Dlatego omawiana pułapka magnetyczna posiada dwie dodatkowe cewki,

tzw. cewki offsetowe, ustawione w kierunku osiowym i wytwarzające w tym kierunku pole

r r

B F

r r

V V

a) b)

c) d)

32

jednorodne o zwrocie przeciwnym, niż pole wytwarzane przez cewkę Joffego. Skutkuje

to przesunięciem minimów potencjału pułapki magnetycznej bliżej zera, ale i ściśnięciem

potencjału w kierunku radialnym.

Ostatecznie pole pułapki ma postać przedstawioną na poniższym rysunku (rys.10).

Rys.10. Kształt pola magnetycznego powstającego ostatecznie w naszej pułapce. Przez środek rysunku w

kierunku poziomym przechodzi oś pułapki. Jak widać wzdłuż osi pułapka jest znacznie szersza niż w kierunku

radialnym. Rysunek wzięty z [8].

Potencjał harmoniczny pułapki opisuje się jednym parametrem, mianowicie częstością

kołową potencjału ω. Przy natężeniu prądu w stożkowych cewkach równym 39 A, dla

kierunku osiowego wynosi ona w naszej pułapce ( )19,007,122π ±×=zω Hz, a dla kierunku

radialnego ( )31372π ±×=rω Hz.

Kształt cewek podyktowany jest chęcią umieszczenia ich jak najbliżej kwarcowej

komórki, przy zachowaniu dostępu dla wiązek laserowych. Jak widać na rys.31 cewki wzdłuż

swojej osi posiadają otwór umożliwiający wiązkom wymagany dostęp. Dzięki takiemu

rozwiązaniu w cewkach płynie nie za duży prąd o natężeniu 40 – 50 A. Każda ze stożkowych

cewek składa się ze 161 miedzianych zwojów o średnicy 1 mm. Są one chłodzone przez wodę

opływającą miedziane przewody w wnętrzu obudów cewek. Taki sposób chłodzenia

umożliwia odprowadzanie 500 W ciepła wytwarzającego się na każdej cewek. Zdjęcie

na rys.11 przedstawia omawiane cewki już w obudowach.

33

Rys.11. a) zdjęcia cewek stożkowych w obudowach, przez które płynie woda; b) zdjęcie tych samych cewek

wraz z otaczającymi je pierścieniami, służącymi jako karkasy do nawijania cewek offsetowych.

Położenie cewek offsetowych pokazane zostało na rys.8. Nawinięte są one na

plastykowe pierścienie otaczające cewki stożkowe (rys.11). Każda z tych cewek składa się

z 31 zwojów przewodu w postaci cienkiej miedzianej rurki o zewnętrznej średnicy 3 mm,

a wewnętrznej 2 mm. Wewnątrz nich przepływa woda odbierająca wydzielane przez

przepływający prąd ciepło.

Po włączeniu pułapki natężenie prądu płynącego przez cewki wzrasta stopniowo tak,

że potencjał początkowo jest płytki i ma kształt bliski kształtowi chmury atomów, a następnie

jego ściany stają się coraz bardziej strome. Dzięki takiemu dopasowaniu unika się strat

i przeładowanie atomów z MOT 2 do MT staje się bardzo wydajne. Początkowo pole

wytwarzane przez pułapkę jest dużo słabsze niż ostateczne i dlatego w momencie włączenia

pułapki minimum wypadkowego potencjału pola pułapki i pola grawitacyjnego znajduje się

niżej, niż przy ostatecznym natężeniu prądu. To obniżenie wynosi właśnie około 3 mm,

o które poprzednio przesunięty został środek dolnego MOTa.

W skład układu pułapki magnetycznej wchodzą również prostokątne cewki

kompensujące niepożądane zewnętrzne pole magnetyczne.

a) b)

34

3.2.8. Przeładowanie

Całe omówione wyżej oprzyrządowanie służy do wytworzenia odpowiedniego pola

magnetycznego. Jednak nie będzie ono w stanie pułapkować atomów, jeżeli nie zostaną one

wcześniej odpowiednio przygotowane. W naszym doświadczeniu wszystkie atomy rubidu

pułapkowane są w stanie 2;2 == FmF . Aby się w nim znaleźć przechodzą przez

następujące procesy.

Po zakończeniu etapu melasy optycznej wyłączone zostają wiązki pułapkujące

dolnego MOTa, przy jednocześnie dalej działającym repumperze. Powoduje to przerwanie

oddziaływania atomów ze światłem i zapewnia, że wszystkie atomy znajdują się

w stanie 2=F . W dalszym ciągu jednak wszystkie stany zeemanowskie obsadzone

są równomiernie. Aby spolaryzować gaz do stanu 2;2 == FmF dokonuje się pompowania

optycznego. Cewki kompensujące wytwarzają słabe pole magnetyczne, o kierunku osiowym

i wartości około 1 Gs. W jego obecności następuje zniesienie degeneracji poziomów

zeemanowskich. Następnie atomy zostają oświetlone krótki impulsem spolaryzowanego

kołowo światła σ+, dostrojonego do przejścia 5

2S1/2 2=F → 5

2P3/2 2'=F . Impuls ten

jest na tyle słaby (3,4 mW/cm2) i na tyle krótki (1 ms), że nie powoduje podgrzania atomów.

Przy założeniu, że wiązka repompująca nie została wcześniej wyłączona, skutkiem impulsu

jest przepompowanie optyczne wszystkich atomów do stanu 2;2 == FmF , jak pokazuje

poniższy rysunek (rys.12)

Rys.12. Przejścia następujące w wyniku pompowania optycznego. Wiązka pompująca jest wiązką kołowo

spolaryzowaną σ+, dostrojoną do przejścia 5

2S1/2 |F = 2> → 5

2P3/2 |F’ = 2>. Stan do którego przepompowywane

są atomy jest stanem ciemnym. W wyniku niedostrojenia mogą z niego następować jedynie rzadkie przejścia

(linia przerywana), przez co słabo oddziałuje z wiązką. Przez cały czas opisanemu procesowi towarzyszy wiązka

repompująca. Rysunek wzięty z [9].

35

W trakcie pompowania optycznego, atom pochłaniając foton z wiązki σ+, przechodzi do stanu

wzbudzonego o mF o 1 większym, a następnie emitując kwant światła wraca do stanu

podstawowego 1=F lub 2=F . Jednak podczas emisji fotonu atom ma możliwość

wrócić do stanu o mF o 1 większym, o 1 mniejszym lub równym temu, jakie było w stanie

wzbudzonym, niekoniecznie do stanu, w jakim znajdował się pierwotnie. Ostatecznie więc

średnio atomy będą przechodzić do stanów o coraz wyższym mF, aż wreszcie wszystkie

znajdą się w stanie 2;2 == FmF . Ze względu na bardzo małe prawdopodobieństwo,

że w stanie tym jakikolwiek foton z impulsu pompującego zostanie pochłonięty, stan ten jest

stanem ciemnym, ponieważ nie oddziałuje ze światłem. Istnieje co prawda nikłe

prawdopodobieństwo, że nastąpi przejście oznaczone na rys.12 linią przerywaną, ale po

powrocie atom i tak znajdzie się z powrotem w stanie 2;2 == FmF .

Około 0,5 ms po opisanym impulsie następuje wyłączenie wiązki repompującej.

Kolejność wyłączenia jest bardzo istotna, ponieważ zależy od niej, w którym ze stanów

nadsubtelnych 1=F czy 2=F ostatecznie znajdą się atomy.

Gdy atomy znajdują się już w pożądanym stanie 2;2 == FmF mogą być

pułapkowane. Następuje więc ich przeładowanie. Włączone zostają cewki wytwarzające pole

magnetyczne pułapki. Przez stopniowe zwiększanie wartości natężenia prądu głębokość

pułapki jest adiabatycznie zwiększana. Dzięki temu gęstość chmury wzrasta, przy

jednoczesnym zachowaniu objętości w przestrzeni fazowej. Po tej kompresji chmura atomów

ma temperaturę T = 100 µK, gęstość n = 1012

cm3 i liczy około N = 10

8 atomów. Wydajność

przeładowania wynosi zwykle około 70 %.

3.2.9. Odparowanie

Ostatnim etapem prowadzącym do otrzymania BEC jest chłodzenie atomów przez

tzw. wymuszone odparowanie. Dokonuje się go przy użyciu oscylującego pola

magnetycznego RF o częstotliwości radiowej. Jest ono wytwarzane przez cewkę z dwoma

zwojami, nawiniętą 1,5 cm od kwarcowej komórki i podłączoną do wzmacniacza dającego

sygnał RF. Moc wytwarzanego promieniowania wynosi 6,4 W. Symetrycznie po drugiej

stronie komórki znajduje się jeszcze jedna taka sama cewka, obciążona opornikiem 50 Ω.

W wyniku indukcji wzajemnej pomiędzy tymi cewkami skutek jest taki, jakby wzmacniacz

był obciążony opornikiem 50 Ω.

36

Częstotliwość otrzymanego promieniowania dopasowana jest do różnicy energii

pomiędzy poziomami zeemanowskimi w miejscu, z którego chcielibyśmy atomy wyrzucić.

W ciągu kolejnych 57 s maleje ona od 18 MHz do 0,7 MHz. Zależność częstotliwości pola

RF od czasu jest tak dopasowana, by atomy w chmurze zdążały termalizować i nazywana jest

rampą. W trakcie tego procesu maleje liczba atomów N w chmurze. Maleje również

temperatura i wzrasta gęstość w przestrzeni fazowej. W pewnym momencie, gdy gęstość

ta będzie odpowiednio duża, a długości fal de Broglie’a atomów staną się porównywalne

z rozmiarami próbki, zaczyna pojawiać się BEC.

Rys.13. Zależność częstotliwości oscylującego pola magnetycznego od czasu (tzw. rampa). Jej kształt jest tak

dobrany, aby podczas odparowania atomy w chmurze zdążyły termalizować. Częstotliwość pola maleje

od 18 MHz do 0,7 MHz.

37

3.3. Układ laserowy

Wszystkie potrzebne w doświadczeniu wiązki laserowe wytwarzane są przez dwa

przestrajalne i stabilizowane lasery diodowe o mocy 1 W każdy. Pożądane odstrojenia

częstości różnych wiązek uzyskiwane są dzięki modulatorom akusto-optycznym (AOM).

3.3.1. Laser pułapkujacy

Do pułapkowania służy nam laser diodowy o mocy 1 W i długości fali 780 nm,

posiadający możliwość regulacji temperatury i natężenia prądu zasilania.

Za stabilizowanie pracy lasera na wybranej częstotliwości odpowiedzialny jest układ,

którego schemat przedstawiony jest na rys.14.

Rys.14. Schemat układu stabilizacji lasera pułapkującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D - detektor ,

λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, AOM – modulator akusto-optyczny, Rb – komórka z rubidem, PBS –

polaryzująca kostka światłodzieląca, f - soczewka.

W układzie tym z lasera wyprowadzana jest wiązka próbna, przemiatająca wybrany zakres

częstotliwości. Na pierwszej kostce światłodzielącej rozdzielana jest ona na wiązkę

próbkującą (idącą dalej prosto) i wiązkę pompującą. Ta ostatnia przechodzi następnie przez

AOM 1, który zwiększa jej częstotliwość o jedną z dwóch wybranych wartości ∆ν = 86 lub

121,5 MHz. Po odbiciu w drodze powrotnej następuje ponowne zwiększenie częstotliwości

o ∆ν. Następnie wiązka pompująca kierowana jest do komórki z rubidem Rb. Pod wpływem

wiązki następuje nasycenie przejść w komórce. Jednocześnie wiązka próbkująca

po przebiegnięciu przez komórkę Rb wpada do detektora. W ten sposób uzyskiwany jest

Laser

pułapkujący

f = 200mm f = -50mm f = 100mm

D

Rb

AOM

1

PBS

solenoid

38

sygnał spektroskopii nasyceniowej rubidu 87

Rb, przedstawiony na poniższym rysunku (rys.15.

górna linia). W wybranym przez nas zakresie odpowiada on linii D2, a ściślej przejściom ze

stanu podstawowego 5 2

S1/2 2F = do stanów wzbudzonych 5 2

P3/2 3,2,1'F = .

Rys.15. Górna linia - sygnał spektroskopii nasyceniowej rubidu 87

Rb linii D2, odpowiadający przejściom ze

stanu podstawowego F = 2 do stanów wzbudzonych F’ = 1,2,3. Linia jest nieco zniekształcona polem

magnetycznym w solenoidzie. Dolna linia – uzyskany metodą DFDL sygnał różnicowy górnej linii.

Na skutek dokonywanej przez AOM 1 zmiany częstotliwości wiązki pompującej sygnał ten

jest na wykresie częstotliwości przesunięty w prawo o ∆ν. Oznacza to, że gdy aparatura

wskazuje określoną częstotliwość, laser pracuje w rzeczywistości na częstotliwości wyższej o

∆ν.

Omawiany układ stabilizacji lasera wykorzystuje tzw. Doppler Free Dichroizm Lock

(DFDL) [10]. Opis tej metody zawarty jest w załączniku Z.3. W naszym układzie laser

stabilizowany jest w miejscu, gdzie sygnał spektroskopii odpowiada pikowi co13. Oznacza to,

że częstotliwość lasera w zależności od nastawienia AOM 1, jest o 86 MHz lub 121,5 MHz

wyższa niż częstotliwość odpowiadająca pikowi co13 (rys.16). Nastawienie AOM 1 zależy od

etapu chłodzenia. Podczas pracy MOT 1 i 2 w zwykłym trybie wynosi ono 121,5 MHz,

natomiast w fazie zimnego MOTa i melasy optycznej 86 MHz.

2-2

co12

co13 co23

2-3

2-1

39

.

Rys.16. Na górnej osi częstotliwości przedstawione są odległości pomiędzy pikami, natomiast na dolnej

oznaczone zostały dokonywane przy pomocy AOM-ów zmiany oraz umiejscowione otrzymane w efekcie

częstotliwości. Na czerwono oznaczone są możliwe częstotliwości lasera, natomiast na zielono częstotliwości

wiązek pułapkujących w dolnym MOT’cie na etapie pułapki magnto-optycznej i zimnego MOTa.

2-2 2-3 co12 2-1 co13 co23

266 MHz

212 MHz

133 MHz

157 MHz

80 MHz 121,5 MHz

86 MHz 80 MHz

2Γ/2π = 12 MHz

6Γ/2π = 36 MHz

139 MHz

40

3.3.2. Laser repompujący (repumper)

Do repompowania służy laser diodowy o mocy 1 W i długości fali 780 nm, taki sam

jak laser pułapkujący.

Laser stabilizowany jest dzięki układowi którego schemat przedstawia rys.17.

Rys.17. Schemat układu stabilizacji laserarepompującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D -detektor,

λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, Rb – komórka z rubidem, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca.

Podobnie jak poprzednio układ ten wykorzystuje metodę DFDL (nieco

zmodyfikowaną). Jednak w tym przypadku częstotliwości wiązek nie są w żaden sposób

zmieniane i laser pracuje dokładnie na częstotliwości wybranej na wykresie sygnału

różnicowego. Rys.18 przedstawia sygnał różnicowy otrzymywany przez detektor.

Rys.18. Wykres sygnału różnicowego repumpera. Laser lokowany jest na przecięciu oznaczonych osi.

Repumper

Rb

solenoid

D

PBS

41

3.3.3. Wiązki

Laser pułapkujący nie służy jedynie do wytwarzania wiązek pułapkujących górnego i

dolnego MOTa. Pochodzą z niego również wiązka przepychająca, wiązka do pompowania

optycznego i wiązka obrazująca. Każda z nich charakteryzuje się inną mocą i odstrojeniem.

Do otrzymania ich wszystkich służy układ optyczny przedstawiony na rys.19.

Rys.19. Schemat części układu optycznego służącego do wytwarzania wiązek laserowych o wymaganej

częstotliwości. Użyte symbole oznaczają: λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, AOM – modulator akusto-

optyczny, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca, f – soczewka, Shut - przesłona.

Główna wiązka wychodząca z lasera pułapkującego przechodzi początkowo przez

przesłonę, której celem jest stworzenie możliwości powstrzymania dalszego biegu wiązki.

Przed przesłoną znajduje się soczewka ogniskująca wiązkę na wysokości przesłony, dzięki

czemu wiązka przy jej zamknięciu może zostać odcięta w bardzo krótkim czasie.

Następnie wiązka przechodząc przez kolejne kostki światło dzielące, rozdzielana jest

na wiązki: pułapkującą do MOT 1, pułapkującą do MOT 2, do pompowania optycznego,

Laser

pułapkujący

f = 150mm

f = 500mm

f = 500mm

f = 50mm

f = 50mm

światłowód

Shut2CH 4

światłowód

A OM

4

Shut1CH3

A OM

2

A OM

3

filtr

A OM

5

f = 200mm f = -50mm

f = 100mm

D

Do górnego

MOTa

Do obrazowania

i przepychania

Do pompowania

optycznego

Do dolnego

MOTa

f = 1000mm

f = 500mm

Shut2CH1

f = 50mm

f = 500mm

Repumper

D

Shut2CH 2

Do górnego

MOTa

f = 500mm

f = 500mm

AO M

5

PBS

PBS

PBS

tłumik

tłumik

42

przepychającą i obrazującą. Każda z kostek poprzedzona jest półfalówką. Od jej ustawienia

zależny jest podział natężenia wiązki przypadający na polaryzację pionową i poziomą. Tym

samym reguluje ona podział wiązki na kostce światłodzielącej.

Na pierwszej kostce światłodzielącej oddzielona zostaje wiązka, która posłuży do

utworzenia wiązek MOT 1. Przechodzi ona przez AOM 3, gdzie zostaje odstrojona o 80 MHz

(rys.16). Następnie przez układ lusterek kierowana jest na górną część stołu optycznego

(rys.20). Tam zostaje rozdzielona na trzy wiązki. Jedna z nich mieszana jest z wiązką

repumpera. Następnie wszystkie wiązki zostają skierowane w stronę górnej komory

próżniowej, przechodząc wcześniej jeszcze przez ćwierćfalówki zmieniające ich polaryzację

z liniowej na kołową.

Rys.20. Schemat układu w górnej części stołu optycznego. Wiązka pułapkująca zostaje zmieszana z wiązką

repumpera a następnie rozdzielona na trzy wiązki i skierowana do MOT 1. Użyte symbole oznaczają: λ/2 –

półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca, f – soczewka, Shut - przesłona.

Shut1CH1 Shut

1CH2

MOT 1

Do obrazowania

Do przepychania

repumper

PBS

polaryzator

f = -25mm

f = 500mm

f = 500mm

f = 50mm

43

Główna wiązka biegnie dalej (rys.19) i na kolejnej kostce światłodzielącej oddzielona

zostaje wiązka służąca do wytworzenia wiązek MOT 2. Przechodzi ona przez AOM 2, gdzie

zostaje odstrojona o 80 MHz (rys.16), a następnie zostaje wprowadzona do światłowodu

jednomodowego, zachowującego polaryzację. Ma to na celu nadanie wiązce przekroju

gaussowskiego. Jest to konieczne, aby pułapkowana przez tą wiązkę w MOT 2 chmura

atomów miała pożądany regularny kształt. Następnie wyprowadzona ze światłowodu wiązka

zostaje zmieszana z wiązką repumpera i skierowana na sąsiednią część stołu optycznego. Tam

na kostkach światłodzielących zostaje rozdzielona na sześć oddzielnych wiązek, które służą

do pułapkowania w MOT 2. (rys.21).

Rys.21. Schemat układu na drugiej części stołu optycznego. Wiązka zostaje rozdzielona na sześć identycznych

wiązek, które następnie zostają skierowane do MOT 2. Droga jednej z wiązek pułapkujących częściowo

pokrywa się z torem wiązki służącej do pompowania optycznego. Użyte symbole oznaczają: PBS – polaryzująca

kostka światłodzieląca, λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka

Na kolejnej kostce oddzielona zostaje z głównej wiązki wiązka, która posłuży

do pompowania optycznego (rys.19). Przechodzi ona przez AOM 4, który zmniejsza

jej częstotliwość o 139 MHz, dostrajając ją tym samym do częstotliwości przejścia 2-2.

MOT 2

góra skosdół skos

dół skos

góra skos

poziomo

wiązka do

pompowania optycznego

PBS

44

Pozostała część głównej wiązki przechodzi przez AOM 5 (rys.19). W zależności

od tego, do czego używana jest akurat wiązka, zwiększa on jej częstotliwość o 80 MHz,

gdy będzie to wiązka przepychająca, lub o 92 MHz, gdy ma to być wiązka obrazująca

(rys.16). Jak nietrudno zauważyć wiązka obrazująca jest w rezonansie z przejściem 2-3.

Następnie omawiana wiązka kierowana jest przy pomocy światłowodu prowadzącego ją na

górną część stołu optycznego.

Wiązka repumpera po wyjściu z lasera rozdzielana jest na dwie. Jedna z nich

kierowana jest na górną część stołu optycznego i tam mieszana jest z wiązką pułapkującą

górnego MOTa, jak to widać na rys.21. Druga wiązka mieszana jest z wiązką pułapkującą

dolnego MOTa po tym, jak wyjdzie ona ze światłowodu (rys.19).

3.4. Przebieg eksperymentu

Rys.22. Przebieg czasowy eksperymentu (oś czasu nie jest liniowa). Na kolejnych poziomach rysunku

przedstawione są: okresy działania lasera pułapkującego i repumpera, odstrojenie lasera pułapkującego, pola

magnetyczne MOT 2, pola magnetyczne pułapki magnetycznej, częstość pola RF podczas odparowania.

40 s 3 ms 12 ms 2 ms 57 s

laser repompujący 1-2

laser chłodzący 2-3

pompowanie opt. 2-2 obrazowanie 2-3

odstrojenie częstości lasera pułapkującego

-12 MHz -36 MHz

pole kwadrupolowe

MOT 2

pole przesuwające MOT 2

pole pułapki

magnetycznej

pole offsetowe

MOT 2 zimny MOT melasa

pompowanie optyczne pułapka magnetyczna

pole jednorodne pompowania optycznego

18 MHz

700 kHz

odparowanie

obrazowanie

45

3.5. Obrazowanie

3.5.1. Układ obrazujący

W naszym doświadczeniu chmura jest obrazowana przy pomocy spolaryzowanej

kołowo wiązki dostrojonej do przejścia 2-3 [11]. Oddzielona wcześniej na górnym stole

wiązka obrazująca zostaje najpierw poszerzona, a następnie wyregulowana przy użyciu

przesłony (rys.23). Ma to na celu uzyskanie w przybliżeniu jednorodnego przekroju natężenia

wiązki.

Rys.23. Schemat układu do obrazowania wyniku kondensacji. Wiązka po wyjściu ze światłowodu jest

poszerzana, a następnie regulowana przy użyciu przesłony. W kolejnym kroku ćwierćfalówka zmienia jej

polaryzację na kołową. Wiązka pada na chmurę atomów, przez którą jest rozpraszana. W efekcie za komórką

dostajemy cień chmury, zawierający informację o gęstości atomów. Przy użyciu układu złożonego z dwóch

soczewek na kamerze CCD otrzymywany jest ostry obraz chmury atomów w dwukrotnym powiększeniu.

Dalej wiązka przechodzi przez ćwierćfalówkę, nadającą jej kołową polaryzację, a następnie

wpada do komórki, gdzie jest częściowo rozpraszana przez znajdujące się w niej atomy. Tym

samym wiązka za komórką zawiera pewną informację o rozkładzie gęstości atomów

w chmurze, ponieważ im głębszy cień za komórką, tym większa musiała być gęstość atomów.

46

Następnie wiązka przechodzi przez układ dwóch soczewek skupiających, odpowiedzialnych

za powiększenie obrazu, a następnie rzutowana jest na kamerę CCD. (Powiększenie obrazu

wynosi 2,222 i zostało wyznaczone na podstawie obserwacji swobodnego spadku chmury

zimnych atomów w polu grawitacyjnym.) W ten sposób otrzymywane jest cyfrowe zdjęcie,

które może zostać poddane komputerowej obróbce. Przykład takiego zdjęcia przedstawiony

jest poniżej (rys.24).

Rys.24. Zdjęcie kondensatu wykonane przy pomocy światła rezonansowego. Zimne kolory oznaczają głęboki

cień, co oznacza dużą gęstość optyczną chmury.

Należy bezwzględnie zaznaczyć, że samo zastosowanie omówionej metody obserwacji

kondensatu powoduje jego zniszczenie. Światło rezonansowe padające na atomy

w kondensacie wzbudza je, co prowadzi do zmiany ich stanu, a w konsekwencji do

wyrzucenia z kondensatu. Dlatego w tym wypadku kondensat może być zaobserwowany

tylko raz, a jakiekolwiek serie zdjęć wykonywane są na różnych kondensatach, o których

możemy powiedzieć, że są takie same. Istnieją jednak metody nieinwazyjnego obserwowania

kondensatu, np. tzw. obrazowanie za pomocą kontrastu fazowego i kontrastu polaryzacji

[12-18].

3.5.2. Swobodna ekspansja i swobodny spadek

Obserwacja kondensatu nie następuje w monecie, gdy znajduje się on w pułapce

magnetycznej, lecz po pewnym czasie t od jej nagłego wyłączenia. W naszym przypadku czas

ten wynosi zazwyczaj t = 15 ms. Następuje wtedy swobodna ekspansja kondensatu,

47

a towarzyszy temu jednoczesny swobodny spadek w polu grawitacyjnym, jednak nie ma on

wpływu na samą ekspansję.

To, że zdjęcie wykonywane jest dopiero po t = 15 ms swobodnej ekspansji

wymuszone jest dużą gęstością początkowego produktu kondensacji. Wykonane na początku

zdjęcie nie dostarczałoby żadnej informacji na temat gęstości przestrzennej, a byłoby jedynie

głębokim cieniem w wiązce obrazującej. Dodatkowo, duża gęstość przyczynia się do silnych

efektów nieliniowych, a przez to do fałszowania wyników pomiarów. Tymczasem wykonanie

zdjęcia po pewnym czasie pozwala na osiągnięcie wystarczająco niskiej do obserwacji

gęstości kondensatu.

Impuls światła rezonansowego, za pomocą którego wykonuje się zdjęcie trwa 150 µs.

Gdyby rzeczywiste wykonywanie zdjęcia trwało tak długo, byłoby ono rozmazane

(poruszone), ponieważ jednocześnie cały kondensat spada w polu grawitacyjnym. Tak jednak

się nie dzieje.

Atomy podczas obrazowania pochłaniają fotony z wiązki i przejmują tym samym

ich pęd. Po pewnej liczbie takich aktów absorpcji atomy uzyskują na tyle dużą prędkość,

że w wyniku efektu Dopplera przestają oddziaływać z wiązką obrazującą.

Oszacujmy jak długo atomy będą oddziaływać ze światłem lasera. Ponieważ czas

przebywania w stanie wzbudzonym τ można przyjąć jako średni czas życia w tym stanie,

więc

Γ

1=τ , (40)

gdzie Γ jest całkowitą szerokością połówkową linii przejścia 2-3 równą MHz6π2Γ ×= .

Wiązka obrazująca jest na tyle silna, że atomy w chmurze nieustannie pochłaniają i emitują

fotony, znajdując się średnio tak samo długo w stanie wzbudzonym jak w stanie

podstawowym. W takim razie czas jednego cyklu absorpcji i emisji to 2τ, a całkowity czas

oddziaływania atomu ze światłem lasera wyniesie

lτtc 2= , (41)

gdzie l to liczba koniecznych do zaabsorbowania fotonów przed ustaniem oddziaływania.

Aby ono nastąpiło, odstrojenie widzianej przez atom częstotliwości wiązki od częstotliwości

rezonansowej musi być równe co najmniej połowie szerokości linii, czyli ( ) 2/π2/Γ=∆ν .

Skutkiem efektu Dopplera jest odstrojenie wyrażające się wzorem

λc

ννvv

==∆ , (42)

48

gdzie v jest prędkością atomu, a λ to długość fali lasera. Konieczna do uzyskania prędkość

wyniesie νλ∆=v , a konieczny pęd νmλmp ∆== v , gdzie m to masa atomu. W takim razie

liczba aktów absorpcji fotonów przez atom wyniesie

h

νmλ

k

νmλ

p

pl

f

∆=

∆==

2

h. (43)

Ostatecznie z (41), (42) i (43) czas tc po jakim atom przestanie oddziaływać z wiązką

πh

mλ

h

νmλτtc

22

22

=∆

= . (44)

Dla rozważanego przypadku wynosi on µs21=ct , czyli jest znacznie krótszy od czasu

naświetlania. Tłumaczy to brak dużego rozmycia, jednak jest przyczyną błędu

systematycznego, którego nie można zaniedbać.

49

4. Wyniki pomiarów

Rozdział ten zawiera wyniki czterech rodzajów pomiarów:

1. Pomiar frakcji kondensatu w zależności od temperatury

2. Pomiar zależności AR od czasu ekspansji, dla dużych kondensatów

3. Pomiar zależności AR od liczby atomów w czystym kondensacie

4. Pomiar zależności AR od frakcji kondensatu

4.1. Frakcja skondensowanych atomów w zależności od temperatury

Pomiar ten ma na celu odtworzenie krzywej opisującej frakcję skondensowanych

cząstek w zależności od temperatury. W szczególności chodzi o potwierdzenie odstępstwa

wyników pomiarów od krzywej opisującej frakcję nieoddziałujących cząstek (rys.1 linia

przerywano-kropkowana) i wskazanie, że model Hertree-Focka i przybliżenie Thomasa-

Fermiego dla oddziałujących atomów jest bliższe prawdy (rys.2).

Aby odtworzyć wspomniany wykres potrzebna jest seria pomiarów, w których

zmierzone zostaną parametry chłodzonej chmury atomów, takie jak:

- liczba atomów w kondensacie N0

- liczba wszystkich atomów w chmurze tNNN += 0

- temperatura chmury atomów

Pomiar tych parametrów realizowany jest w jednej procedurze, omówionej poniżej.

Źródłem wszystkich informacji o produkcie kondensacji jest otrzymane zdjęcie,

ponieważ obrazuje ono rozkład natężenia rozproszonej przez kondensat wiązki lasera, a przez

to i rozkład gęstości samego kondensatu.

Podstawą do określenia gęstości atomów w obserwowanej chmurze jest prawo

Lamberta-Beera [19]. Ponieważ wielkość absorpcji promieniowania rozchodzącego się

wzdłuż osi x jest proporcjonalna do grubości warstwy dx, gęstości jąder rozpraszania n

(gęstości atomów w chmurze) oraz natężenia promieniowania I, więc

nσIdx

dI0−= , (45)

50

gdzie σ0 jest współczynnikiem absorpcji w rezonansie. Rozwiązanie równania (45) prowadzi

do wzoru

( )zynσI

I

i

f,~ln 0−=

, (46)

gdzie ( )zyI f , jest rozkładem natężenia światła po przejściu przez chmurę, iI jest wartością

natężenia światła przed chmurą, a ( )zyn ,~ jest rozkładem gęstości kolumnowej chmury, czyli

( ) ( )dxzyxnzyn ∫= ,,,~ . (47)

Pozornie wystarczy więc znać rozkład ( )zyI f , i wartość iI , aby określić ( )zyn ,~ . Do tego zaś

wystarczyłoby jedno zdjęcie wiązki za obrazowaną chmurą. To jednak za mało, ponieważ

sama wiązka nie ma do końca jednorodnego rozkładu natężenia, a kamera CCD nawet

nienaświetlana daje na wyjściu jakiś sygnał. Dlatego w celu dokonania każdego jednego

pomiaru wykonuje się kolejno trzy zdjęcia. Najpierw zdjęcie obserwowanej chmury, co daje

rozkład natężenia ( )zyI f , , następnie zdjęcie samej wiązki bez rozpraszającego przejścia

przez chmurę, co daje rozkład ( )zyI i , , a na końcu zdjęcie przy wyłączonej wiązce

obrazującej, co daje rozkład ( )zyI d , . Aby uzyskać rozkład kolumnowej gęstości chmury

obserwowanego kondensatu od każdego z rozkładów natężenia ( )zyI f , i ( )zyI i ,

odejmujemy natężenie ( )zyI d , , a następnie dzielimy je przez siebie. Otrzymujemy tym

samym

( )( )

( )zynσII

II

di

df,~ln 0=

−

−. (48)

Powyższy wynik stanowi punkt wyjścia do wyciągania dalszych wniosków, przede

wszystkim do określenia rozkładu gęstości kolumnowej ( )zyn ,~ , a przez to i zwykłej gęstości

chmury ( )zyxn ,, .

Po wykonaniu trzech niezbędnych w każdym pomiarze zdjęć otrzymywany jest

rozkład gęstości kolumnowej chmury ( )zyn ,~ . Wiadomo, że część z występujących w tym

rozkładzie atomów znajduje się w stanie skondensowanym, a część w chmurze termicznej.

W takim razie otrzymany rozkład jest nałożeniem rozkładu kolumnowej gęstości atomów

w jednym i drugim stanie

( ) ( ) ( )zynzynzyn tc ,~,~,~ += . (49)

51

Znając przewidywaną postać kolumnowej gęstości atomów w kondensacie ( )zync ,~

i w chmurze termicznej ( )zynt ,~ można określić parametry kondensatu i chmury.

Kształt profilu gęstości opisującego skondensowane atomy zależy od ich liczby. Dla

niewielkiej liczby atomów jest to profil gaussowski, a dla dużej liczby profil Thomasa-

Fermiego (TF). Dla chmury termicznej natomiast zawsze jest to profil gaussowski.

Przewidywania te jednak dotyczą zwykłej gęstości chmury ( )zyxn ,, . Tymczasem na

podstawie pomiarów otrzymujemy nie zwykłą gęstość chmury, lecz jej gęstość kolumnową

( )zyn ,~ . Dlatego znając przewidywaną postać zwykłej gęstości, wyprowadza się

odpowiadającą jej postać gęstości kolumnowej, a następnie z tą właśnie funkcją porównuje

się wyniki pomiarów.

( ) ( ) ( )zyxnzyxnzyxn tc ,,,,,, += (50)

↓

( ) ( ) ( )dxzyxndxzyxndxzyxn tc ∫∫∫ += ,,,,,, (51)

↓ ( ) ( ) ( )zynzynzyn tc ,~,~,~ += (52)

Profilowi TF odpowiada funkcja

( )

−−

−−=

2/322

1,0max0~),(~

z

c

y

c

ccR

zz

R

yynzyn , (53)

natomiast profilowi Gaussa odpowiada funkcja

( )

−−

−−=

22

2

1

2

1exp0~),(~

z

c

y

c

ttσ

zz

σ

yynzyn , (54)

gdzie ( )0~cn i ( )0~

tn są kolejno maksymalnymi gęstościami kolumnowymi dla kondensatu

i chmury termicznej. Z dopasowania złożenia funkcji (53) i (54) do wyniku pomiaru ( )zyn ,~

otrzymujemy następujące parametry: yc i zc – położenie środka chmury, Ry i Rz – promienie

TF w kierunku radialnym i osiowym, σy i σz – rozmiary chmury termicznej w kierunku

radialnym i osiowym oraz wartości ( )0~cn i ( )0~

tn [19].

52

Rys.25. Przykład dopasowania złożenia funkcji (53) i (54) do wyniku pomiaru kondensatu z chmurą termiczną.

Rycina po lewej przedstawia zmodyfikowany na podstawie (48) wynik trzech zdjęć, a pozostałe dwie ryciny

pokazują jakość dopasowania otrzymanej funkcji na przykładzie przekroju osiowego i poprzecznego. Na ich

podstawie widać, że wnętrze chmury opisywane jest zmodyfikowanym profilem TF (53), natomiast jej krańce

profilem Gaussa (54). Na osi pionowej odłożona jest gęstość optyczna (OD*1000), a na pionowej rozmiar

obrazu otrzymywanego na kamerze CCD.

Rys.25 obrazuje przykład omówionego dopasowania. Wnętrze chmury, na które

składa się głównie kondensat, dość dobrze przybliżane jest zmodyfikowanym profilem TF

(53). Jednocześnie brzegi (skrzydła) chmury, na którą składa się głównie chmura termiczna,

dobrze przybliża profil Gaussa (54).

W omawianym doświadczeniu niezbędne jest określenie liczby atomów

w kondensacie 0N i w chmurze termicznej tN . Poniższe wzory określają te liczby na

podstawie wyznaczonych wartości parametrów

( ) ( ) 2

0 015

8,~

yzcc RRnπdydzzynN == ∫ , (55)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0002,~ 22/3

yzttt σσnπdydzzynN ∫ == . (56)

Dodatkowo na podstawie parametrów chmury termicznej określana jest temperatura

całej chmury (w tym kondensatu)

+=

2222

B2

1k

2

3yyzz σωσωmT . (57)

Ten sposób pomiaru temperatury wprowadza jednak pewne ograniczenie. Ponieważ jest on

dokonywany na podstawie części termicznej chmury, musi być ona wyraźnie widoczna.

53

Tymczasem dla dużych frakcji kondensatu jest ona zbyt mała i pomiar temperatury staje się

niemożliwy. W naszych doświadczeniach taką graniczną wartością frakcji, przy której można

jeszcze dokonać opisanego pomiaru, jest frakcja N0/N = 0,6.

Dla małych kondensatów opisana metoda dopasowania pozostaje skuteczna. Mimo,

że niewielki kondensat, podobnie jak chmura termiczna, opisany jest profilem Gaussa,

to można go od niej odróżnić, ponieważ profil kondensatu jest dużo węższy, a sam kondensat

jest znacznie gęstszy niż chmura.

Rysunek rys.26 przedstawia wyniki wykonanych przez nas pomiarów zależności

frakcji skondensowanych atomów od temperatury.

Rys.26. Wyniki 160 pomiarów zależności frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc ze współczynnikiem

rozszerzenia niepewności k=2. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest

to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność

przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (21), natomiast linia przerywana dla oddziałujących

atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (24) dla parametru η=0,387.

Jak widać punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest to opisanym

wcześniej ograniczeniem pomiaru temperatury. Trudność w mierzeniu temperatury wpływa

również na niewielką liczbę pomiarów przy dużej frakcji, a to skutkuje dużymi wartościami

niepewności (rys.27).

Rysunek rys.27 przedstawia uśrednienie otrzymanych wyników. Linia ciągła obrazuje

przewidywaną zależność dla przypadku nieoddziałujących atomów (21). Natomiast linia

54

przerywana obrazuje zależność (24) dla oddziałujących atomów w modelu Hartree-Focka

i przybliżeniu Thomasa-Fermiego. Widać stąd, że oddziaływanie pomiędzy atomami

rzeczywiście obniża frakcję kondensatu, choć nie do końca w sposób opisany przez (24).

To, że na wykresie wyniki pomiarów zostały porównane z zależnością (24) a nie

z dokładniejszą zależnością (22) wynika z tego, że są to tylko jedne z wielu przybliżeń,

natomiast zależność (24) jest dla nich wszystkich najbardziej w lewo wysuniętą granicą.

Rys.27. Uśrednione wyniki pomiarów zależności frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc ze

współczynnikiem rozszerzenia niepewności k=2. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane

jest to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność

przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (21), natomiast linia przerywana dla oddziałujących

atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (24) dla parametru η=0,387.

4.2. Zależność AR od czasu dla dużych kondensatów

Przy badaniu właściwości kondensatu w osiowych pułapkach magnetycznych bardzo

często wyznaczanym parametrem jest aspect ratio (AR), czyli stosunek promieni profilu

Thomasa-Fermiego w kierunku poprzecznym Ry i osiowym Rz

z

y

R

R=AR . (58)

Każdy proces wewnętrzny zachodzący w kondensacie i każda jego własność odbija się w

jakiś sposób na dynamice kondensatu. Ta natomiast wpływa na jego rozmiary, kształt,

55

oscylacje czy tempo ekspansji. Dlatego badanie zależności AR od rozmaitych czynników jest

sposobem na wniknięcie w to, co dzieje się w głębi kondensatu.

Przykładem takiego doświadczenia jest badanie, jak z czasem będzie ewoluować

kondensat po wypuszczeniu go z pułapki magnetycznej. Jeżeli pułapka, w której pierwotnie

kondensat się znajdował, jest stabilna, to nie będzie on podlegał żadnym oscylacjom, a po

wyłączeniu pola pułapki nastąpi jego swobodna ekspansja. Przedstawiona poniżej seria zdjęć

spadającego w polu grawitacyjnym kondensatu, obrazuje jego właściwości.

Rys.28. Seria sześciu zdjęć kondensatu spadającego w polu grawitacyjnym Ziemi. Każde kolejne zdjęcie zostało

wykonane po dłuższym od poprzedniego czasie t po wypuszczeniu kondensatu z pułapki. Kondensat, który

pierwotnie był wydłużony w kierunku poziomym, w czasie ekspansji zmienił kształt i po pewnym czasie był już

wydłużony w kierunku pionowym.

56

Stosowana przez nas osiowa pułapka magnetyczna nadaje kondensatowi wydłużony kształt

cygara w kierunku poziomym. Dlatego też krótko po wypuszczeniu kondensatu z pułapki ma

on właśnie taki kształt (rys.28 z lewej). Z czasem następuje jego ekspansja i przybranie

kształtu kulistego. Nie ma w tym nic dziwnego, ponieważ tak właśnie zachowałaby się

chmura termicznego gazu doskonałego. Dążyłaby ona do kształtu kuli, ponieważ

ekspandowałaby tak samo w każdym kierunku i ostatecznie początkowy kształt nie miałby

żadnego znaczenia. Inaczej dzieje się w przypadku kondensatu. Jak widać na rys.28 po prawej

stronie, zaczyna się on wydłużać w kierunku pionowym. Za takie wydłużenie z pewnością nie

jest odpowiedzialny kierunek spadania w polu grawitacyjnym. Gdyby odwrócić pułapkę tak,

żeby powstający kondensat był początkowo wydłużony w kierunku pionowym, to w trakcie

ekspansji przybrałby kształt wydłużony w poziomie.

Można się zastanowić, skąd bierze się ta różnica w porównaniu ze zwykłym gazem.

Otóż ma ona źródło m.in. w tym, że kondensat to obiekt kwantowy. Z tym natomiast wiąże

się możliwość obserwowania zasady nieoznaczoności Heisenberga.

4

∆∆h

≥⋅ px (59)

Kondensat, który początkowo miał kształt wydłużony w poziomie, ma w kierunku

większą nieoznaczoność położenia ∆x niż w pionie. W takim razie w kierunku pionowym

musi mieć większą niż w poziomie nieoznaczoność pędu ∆p. Jeżeli przyjąć, że atomy

w kondensacie nie poruszały prawie wcale, to większa nieoznaczoność pędu skutkuje tym,

że średnio w kierunku pionowym poruszały się szybciej niż w kierunku poziomym.

To natomiast bezpośrednio, jak widać, wpłynęło na ekspansję.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga ma przeważające znaczenie w wyjaśnieniu

opisywanego zjawiska w przypadku niewielkich kondensatów, w których zaniedbać można

energię oddziaływania pomiędzy atomami (przybliżenie gaussowskie).

Natomiast w przypadku dużych kondensatów oddziaływania wewnętrzne mają równie

duży wpływ na sposób ekspansji jak zasada nieoznaczoności. Stosując do takiego kondensatu

przybliżenie Thomasa-Fermiego oraz podejście hydrodynamiczne można dostać zależność

AR kondensatu od czasu t swobodnej ekspansji [20]. Zależność tą przedstawia poniższy wzór

( )( )

( ) ( )

+−+

+=

22

2

1lnarctan1

1AR

tωtωtωε

tωεt

rrr

r, (60)

gdzie .

57

Przeprowadziliśmy pomiary AR dla dużych kondensatów (min. 80 tyś. atomów),

aby sprawdzić zasadność stosowanych w [20] przybliżeń i założeń dotyczących

wewnętrznych oddziaływań. Rys.29 przedstawia otrzymane przez nas wyniki.

Rys.29. Wyniki pomiaru zależności AR od czasu ekspansji t kondensatu. Linia czerwona obrazuje zachowanie

AR dla gazu doskonałego (dążącego do AR=1 – linia przerywana), natomiast linia czarna obrazuje przewidzianą

dla kondensatu zależność (60) [20]. Dość znaczna rozbieżność pomiarów od tej zależności dla małych czasów,

prawdopodobnie spowodowana jest dużą gęstością kondensatu i związanymi z tym efektami nieliniowymi

i całkowitą nieprzezroczystością. Każdy punkt pomiarowy odpowiada serii co najmniej 10 pomiarów,

a zaznaczone niepewności rozszerzone są o czynnik k=2. Coraz większe wartości niepewności związane są z

coraz większym rozmyciem na skutek opadania kondensatu.

Na wykresie linia czerwona obrazuje zachowanie AR dla nieoddziałującego gazu

doskonałego ( ( )21AR tωtω zz += ) [21]. Jak widać AR dąży wtedy do wartości 1

(linia przerywana). Natomiast czarna linia obrazuje przewidywaną dla kondensatu zależność

(60). Dla czasów ekspansji t większych od 15 ms, widać jej zgodność z otrzymanymi przez

nas pomiarami. Natomiast brak tej zgodności dla krótszych czasów prawdopodobnie

spowodowany jest zbyt dużą gęstością kondensatu. Przyczynia się ona bowiem do zaistnienia

procesów nieliniowych w oddziaływaniu z wiązką obrazującą (np. do samo ogniskowania),

a nawet całkowitej nieprzezroczystości chmury. Skutkiem tego wyniki pomiarów mogą być

przekłamane. Jednocześnie coraz większe niepewności pomiarowe dla dłuższych czasów

ekspansji związane są z rozmyciem obrazu na skutek coraz szybszego opadania kondensatu.

58

Na podstawie wyników przeprowadzonego doświadczenia można stwierdzić,

że zależność AR od czasu ekspansji t (60), wyprowadzona przy założeniu przybliżenia

Thomasa-Fermiego, jest słuszna dla dużych kondensatów, co jednocześnie wskazuje

na poprawność stosowania tegoż przybliżenia do kondensatów o dużej liczbie atomów.

4.3. Zależność AR od liczby atomów w kondensacie

Jak widać z (60), przewidywania teorii [20], stosującej do czystego kondensatu

podejście hydrodynamiczne i przybliżenie Thomasa-Fermiego są takie, że AR kondensatu po

danym czasie t swobodnej ekspansji nie powinno zależeć od liczby atomów N0

w kondensacie. Przeprowadziliśmy więc kolejne pomiary, tym razem tylko dla ms,15=t

mające na celu potwierdzenie lub obalenie tych przewidywań. Rys.30 przedstawia otrzymane

przez nas wyniki.

Rys.30. Wynik pomiaru zależności AR od liczby atomów N0 w czystym kondensacie. Czerwona linia

przedstawia przewidywania wprost z równania Grossa-Pitajewskiego. Krzyżyki określają położenia punktów

pomiarowych, uzyskanych przez uśrednienie 200 pojedynczych pomiarów. Współczynnik rozszerzenia

niepewności wynosi k=1.

Gdyby AR nie zależało od N0, punkty pomiarowe powinny układać się wzdłuż

poziomej prostej, dla której odczyt z rys.29 dałby wartość bliską AR = 1,05 . Widać jednak,

że jest zupełnie inaczej. Dla małych kondensatów zależność AR od liczby atomów N0 jest

59

bardzo silna i maleje wraz ze wzrostem N0. Najprawdopodobniej ta rozbieżność

w porównaniu z przewidywaniami [20] spowodowana jest zastosowaniem w nich

przybliżenia TF, zakładającego dużą liczbę atomów N0.

Jednocześnie przewidywania wyprowadzone przez Janka Chwedeńczuka z Instytutu

Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, wprost z numerycznego rozwiązania równania Grossa-

Pitajewskiego (czerwona linia na rys.30) znakomicie zgadzają się ilościowo z otrzymanymi

przez nas wynikami. Stąd wnioskujemy, że rzeczywiście przybliżenie TF słuszne jest jedynie

dla dużych kondensatów.

Dodatkowo z tak znakomitej bezwzględnej zgodności wnioskujemy o poprawności

naszej metody określania liczby atomów w kondensacie.

Przeprowadzony pomiar okazał się dla nas pouczający również z innego powodu.

Mianowicie na rys.31 widać, że dla liczby atomów większej niż 40 tyś. wykres AR od N0 jest

już dość płaski, co sygnalizuje, że dla takiej liczby atomów stosunkowo dobrym

przybliżeniem jest przybliżenie TF, dla którego zależność ta powinna być płaska. Dlatego

podczas dopasowywania profilu gęstości dla kondensatów o wspomnianej liczbie N0

stosowaliśmy profil TF, co dało dobre rezultaty (rys.30). Jednocześnie zastosowanie

do mniejszych kondensatów profilu TF nie daje dobrych wyników, w odróżnieniu

od zastosowania profilu Gaussa (rys.31)

Rys.31. Porównanie wyników dopasowania dla małych kondensatów, przy użyciu profilu Gaussa (puste kółka) i

profilu TF (wypełnione kółka). Widać, że zastosowanie profilu Gaussa daje lepsze rezultaty.

60

Rzeczywiście, jeśli podczas dopasowywania profili gęstości, dla kondensatów o liczbie

atomów N0 większej od 40 tyś. założyć profil TF, natomiast dla kondensatów mniejszych

profil Gaussa, otrzymuje się najlepszą zgodność z nowymi przewidywaniami. Stąd w naszych

pomiarach stosujemy jeden lub drugi profil, zależnie od liczby atomów N0.

Rysunki rys.32 i rys.33 stanowią porównanie dopasowania profili TF i Gaussa do tego

samego, małego kondensatu o N0 równym około 15 tyś. Natomiast rys.34 obrazuje efekt

dopasowania profilu TF do dużego kondensatu, o liczbie atomów N0 równym około 200 tyś.

Rys.32. Wynik dopasowania profilu TF do małego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 15 tyś.

Rys.33. Wynik dopasowania profilu Gaussa do małego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 15 tyś.

61

Rys.34. Wynik dopasowania profilu TF do dużego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 200 tyś.

4.4. Zależność AR od frakcji kondensatu

Poprzedni wynik zależności AR od N0 otrzymany został dla czystych kondensatów.

Naszym kolejnym celem było sprawdzenie jak zmieniłby się ten wynik, gdyby kondensat nie

był czysty, tzn. wpływałaby na niego chmura termiczna nieskondensowanych atomów.

W takim przypadku na AR mają wpływ dwa czynniki:

1. liczba atomów w kondensacie N0,

2. oddziaływanie z chmurą termiczną.

Wpływ N0 na AR dla czystych kondensatów jest już znany (rys.30). Rys.35 przedstawia

natomiast wyniki pomiarów dla kondensatów z chmurą termiczną.

Punkty pomiarowe nie zostały otrzymane dla takiej samej liczby N0, wzrasta ona

bowiem wraz z frakcją. Dlatego widoczna zależność związana jest z obydwoma

wspomnianymi czynnikami. Aby oddzielić wpływ chmury termicznej na AR od wpływu N0,

dla każdego punktu pomiarowego odczytana została z rys.30 wartość AR dla czystego

kondensatu. Przedstawia to linia ciągła na rys.35. Z porównania jej z wynikami pomiarów

widać, że dla frakcji mniejszej niż 0,3 i liczby atomów N0 mniejszej niż 40 tyś. decydujący

wpływ na AR ma właśnie liczba N0. Natomiast powyżej tych wartości zaczyna być widoczna

rozbieżność pomiędzy czystym kondensatem, a kondensatem z chmurą termiczną. Można by

więc sądzić, że od tej wartości frakcji efekt oddziaływania kondensatu z chmurą termiczną

zaczyna przeważać.

62

Rys.35. Otrzymane wyniki zależności AR od frakcji kondensatu. Każdy punkt pomiarowy odpowiada innej

liczbie N0, która rośnie wraz z frakcją. Linia przerywana pokazuje zależność AR dla czystego kondensatu od N0,

odtworzoną na podstawie rys.31 i dopasowaną do położenia punktów pomiarowych. Otrzymane punkty są

wynikiem uśrednienia 160 pomiarów, a niepewności pomiarowe zostały rozszerzone o współczynnik k=2.

Byłoby to jednak zupełnie naiwne, ponieważ trudno, żeby zmniejszająca się w stosunku do

kondensatu chmura termiczna zwiększała swoje z nim oddziaływanie. W rzeczywistości

chmura ta oddziałuje z kondensatem już dla małych frakcji, tyle tylko, że efekt ten zaczyna

się uwidaczniać wraz ze wzrostem N0. Wniosek jest taki, że zależność AR od N0 jest różna dla

kondensatu czystego i takiego z chmurą. Dla małych kondensatów zależności te pokrywają

się, ale dla liczby atomów równej około N0 = 40 tyś. zaczynają się rozbiegać wraz

ze wzrostem N0. Przyczyną tych rozbieżności jest prawdopodobnie fakt, że równanie Grossa-

Pitajewskiego, którym posługujemy się w opisie kondensatu, w ogóle nie zakłada istnienia

chmury termicznej.

63

5. Podsumowanie

Przeprowadzone przez nas pomiary pozwoliły w dużym stopniu odtworzyć wykres

zależności frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc poniżej temperatury krytycznej Tc

(rys.27). Na tej podstawie stwierdziliśmy, że wzajemne oddziaływanie cząstek w kondensacie

obniża frakcję kondensatu, w stosunku do przewidywań dla nieoddziałujących cząstek.

Jednocześnie sama zależność frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc plasuje się gdzieś

pomiędzy tą przewidzianą dla nieoddziałujących cząstek (21), a tą wyprowadzoną dla

przybliżenia Thomasa-Fermiego i modelu Hartree-Focka (24).

Badania zależności AR (aspect ratio) od czasu t swobodnej ekspansji ukazały czysto

kwantowe właściwości kondensatu. Jednocześnie pomiary wspomnianej zależności,

przeprowadzone dla dużych kondensatów (w naszym układzie min. 80 tyś. atomów)

i porównanie wyników tych badań z przewidywaniami [20] upewniły nas w słuszności

stosowania przybliżenia Thomasa-Fermiego do dużych kondensatów.

Natomiast zbadanie zależności AR od liczby atomów N0 w kondensacie, po

porównaniu z teorią [20] wyprowadzoną na podstawie przybliżenia Thomasa-Fermiego,

pozwoliły określić stosowalność w naszym układzie tegoż przybliżenia dla kondensatów

o liczbie atomów N0 większej niż 40 tyś. Jednocześnie porównanie wyników pomiarów

z wynikami przewidywań teoretycznych zależności AR od N0, wyprowadzonych wprost

z równania Grossa-Pitajewskiego, potwierdziło zasadność tegoż równania, jak również

utwierdziło nas w przekonaniu o słuszności stosowanej przez nas metody określania liczby

atomów N0 w kondensacie. Dodatkowo porównanie wyników pomiarów z teorią dobrze

odzwierciedlającą zależność AR od N0 stworzyło możliwość ustalenia przedziałów, w których

dobrym przybliżeniem kondensatu jest przybliżenie gaussowskie (do 40 tyś. atomów) lub

przybliżenie TF (powyżej 40 tyś. atomów).

Wyniki obu ostatnich doświadczeń są niejako niezależnym potwierdzeniem tego

samego wniosku, mianowicie stosowalności przybliżenia Thomasa-Fermiego do dużych

kondensatów.

Natomiast badania AR w zależności od frakcji kondensatu pokazały, że dla małych

kondensatów efekt istnienia chmury termicznej znacznie słabiej odbija się na AR niż

zależność od N0. Efekt oddziaływania chmury termicznej z kondensatem staje się widoczny

dopiero dla N0 większej niż 40 tyś. i wzrasta wraz z liczbą N0.

64

6. Literatura

[1] M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Science,

269, 198 (1995)

[2] K. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, W.

Ketterle, Phys. Rev. Lett., 75, 3969 (1995)

[3] M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, W. Ketterle,

Phys. Rev. Lett., 77, 416 (1996)

[4] Krzysztof Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, wydawca, Instytut Fizyki im. M.

Smoluchowskiego, Kraków (2004)

[5] T. Palasz, Pułapka magneto-optyczna i nieliniowa spektroskopia zimnych atomów

rubidu, praca doktorska, Uniwersytet Jagielloński, Kraków (1999)

[6] M. Naraschewski, D.M.Stamper-Kurn, Phys. Rew. A, 58, 3 (1998).

[7] K. Dieckmann, Bose-Einstein Condensation with High Atom Number in a Deep

Magnetic Trap, Amsterdam (2001)

[8] F. Bylicki, W. Gawlik, w. Jastrzębski, A. Noga, J. Szczepkowski, M. Witkowski, J.

Zachorowski, M. Zawada, Studies of the hydrodynamic properties of Bose-Einstein

condensate of 87

Rb atoms in a magnetic trap

[9] D. Frese, Bose-Einstein Condensation of Rubidium: Towards Ultracold Binary

Bosonic Mixtures, Bonn (2005)

[10] G. Wąsik, W. Gawlik, J. Zachorowski, W. Zawadzki, Appl. Phys. B 75, 613-619

(2002)

[11] W. Ketterle, D.S. Durfee, D.M. Stamper-Kurn, Making, probing and understanding

Bose-Einstein condensates, arXiv: cond-mat/9904034 v2 5 Apr 1999

[12] W. Ketterle, D.S. Durfee, D.M. Stamper-Kurn, Proceedings of the International

School of Physics, IOS Press 67-164 (1999)

[13] M.R. Andrews, Science, 273, 84-87 (2006)

[14] C.C. Bradley, C.A. Sackett, R.G. Hulet, Phes. Rev. Lett., 78, 985-989 (1997)

[15] S. Kadlecek, J. Sebby, R. Newell, T.G. Walker, Opt. Lett., 26, 137-139 (2001)

[16] M.R. Andrews, Phys. Rev. Lett., 79, 553 (1997)

[17] M.R. Matthews, Two-Component Bose-Einstein Condensation, PhD thesis, JILA

group at the University of Colorado (1999)

65

[18] J.E. Lye, Dynamic Non-destructive of Bose-Einstein and Atom Lasers, Australian

National University (2003)

[19] M. Zawada, Collective effects In a cloud of cold, dense atoms, praca doktorska,

Uniwersytet Jagieloński, Kraków (2003)

[20] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996)

[21] F. Gerbier, Condensats de Bose-Einstein dans un Piége Anisotrope, praca doktorska,

Uniwersytet Paryż VI (2003)

[22] M. Mączyńska, Pułapkowanie i pomiar temperatury zimnych atomów, Uniwersytet

Jagieloński, Kraków (2001)

[23] W. Gawlik, Postępy Fizyki, 53D, 54-65 (2002)

[24] R. Heidemann, Verdempfungskühlung Und Bose-Einstein-Kondensation von

Rubidiumatomen, Uniwersytet w Stuttgartcie (2002)

66

67

Załączniki

Z.1. Teoria chłodzenia i pułapkowania neutralnych atomów

Kondensat otrzymywany jest u nas z atomów rubidu 87

Rb. Aby powstał, konieczne

jest uzyskanie odpowiednio dużej gęstości chmury atomów w przestrzeni fazowej.

Jednocześnie uniknąć należy dużej zwykłej gęstości, której skutkiem są intensywnie

zachodzące procesy trójciałowe prowadzące do np. krystalizacji. Stwarza to konieczność

schłodzenia chmury atomów do niezwykle niskiej temperatury rzędu kilkuset nK [4].

Temperatura jest wielkością statystyczną związaną ze średnią prędkością ruchu

postępowego atomów. Związek ten opisuje wzór

m

TBśr

k3v = , (61)

gdzie vśr – średnia szybkość ruchu postępowego w układzie związanym z chmurą, T –

temperatura, kB – stała Boltzmana, m – masa atomu. Wyższa temperatura oznacza, że atomy

poruszają się z większymi prędkościami.

W temperaturze pokojowej atomy gazu zachowują się jak kule bilardowe. Zderzają się

ze sobą nawzajem, przekazując sobie energie i pęd (rys.36a).

Jednak z każdym ciałem związana jest pewna fala materii, zwana falą de Broglie’a.

Jej długość określa poniższy wzór

v

hB

mλ = , (62)

gdzie h – stała Plancka. Widać z niego, że im większa jest prędkość v atomu, tym mniejsza

jest długość λB związanej z nim fali de Broglie’a. W temperaturze pokojowej jej długość jest

o wiele mniejsza niż średnia odległość pomiędzy atomami w chmurze. Dlatego właściwości

falowe nie są wtedy zauważalne. Wraz ze zmniejszaniem temperatury długość fal

de Broglie’a atomów wzrasta (rys.36b). Gdy temperatura obniży się na tyle, że długość

ta stanie się porównywalne ze średnią odległością pomiędzy atomami mówi się, że osiągnięta

została temperatura krytyczna Tc. W temperaturze tej fale materii związane z konkretnymi

68

atomami zaczynają się nakładać (rys.36c). Jest to początek powstawania kondensatu Bosego-

Einsteina. Ostatecznie w temperaturze 0 K fale materii tworzą jedną dużą falę (rys.36d).

Roboczo chmurę atomów nazywa się kondensatem Bosego-Einsteina, gdy osiągnie

ona odpowiednio dużą gęstość w przestrzeni fazowej i jednocześnie długości fal materii

związanych z poszczególnymi atomami są porównywalne z rozmiarami chmury.

Z omówionych powyżej zależności wynika, że najprościej osiągnąć kondensat

jednocześnie obniżając temperaturę i zwiększając gęstość chmury atomów. Pierwsza z tych

czynności przyczynia się do wydłużenia fal de Broglie’a, a druga do zmniejszenia średnich

odległości pomiędzy atomami.

Nie da się otrzymać pożądanego stanu przez zastosowanie w stosunku do próbki

z rubidem jakiegokolwiek urządzenia chłodzącego. Temperatura jaką należy osiągnąć jest na

to zbyt niska. Również duża gęstość chmury atomów nie może zostać osiągnięta przez jej

ściśnięcie, ponieważ każdy kontakt z innym ciałem prowadziłby do jej podgrzania.

Proces spowalniania atomów nazywamy chłodzeniem, natomiast skupianie atomów

nazywamy pułapkowaniem.

Mamy więc do rozwiązania dwa problemy:

- schłodzić chmurę atomów (spowolnić atomy)

- skupić je w jednym miejscu (otrzymać dużą gęstość atomów – spułapkować)

Temperatura

pokojowa T: prędkość v w temp. T

gęstość ~ d –3

„Kule bilardowe”

Niska temperatura: Długość fal de Broglie’a

λdB = h/mv ~ T1/2

„Paczki falowe“

T = Tc:

BEC λdB ≈ d

„Nakładanie fal materii“

T = 0:

Czysty BEC

„Wielka fala materii“

Rys.36. Zachowanie atomów w różnych temperaturach:

a) W temperaturze pokojowej atomy zachowują się jak

odbijające się od siebie sprężyście kule bilardowe, b) W

niskiej temperaturze ujawniają się cechy falowe atomów,

c) Temperatura krytyczna zostaje osiągnięta, gdy

długości fal materii atomów stają się porównywalne z

rozmiarami próbki, d) W temperaturze zera

bezwzględnego wszystkie atomy znajdują się w tym

samym stanie kwantowym, a opisujące je fale materii są

spójne. Rysunek wzięty z [11].

a)

b)

c)

d)

69

Z.1.1 Chłodzenie – melasa optyczna

Chłodzenia atomów, czyli ich spowalniania, można dokonać przy użyciu światła

laserowego.

Każdy foton posiada pewną określoną energię związaną z jego częstotliwością

ωh h== νE i pęd związany z jego wektorem falowym kr

hr

=p .

Wyobraźmy sobie spoczywający atom. Jeżeli skierujemy teraz w jego stronę foton,

to wiemy, że może on zostać przez atom pochłonięty albo przeleci bez zauważalnego skutku.

Pochłonięcie fotonu przez atom wiąże się z przekazaniem mu energii i pędu fotonu. Atom

zostanie wzbudzony i dodatkowo zacznie się poruszać z takim pędem, jaki miał pochłonięty

foton. Wynika to z zasad zachowania energii i pędu. Sytuację tę przedstawia poniższy

rysunek (rys.37).

Rys. 37. Przekaz pędu i energii atomowi przy absorbcji fotonu. Rysunek wzięty z [5].

Takie przekazanie atomowi pędu przez foton w akcie absorpcji lub emisji nazywamy

siłą optyczną lub ciśnieniem światła.

Ciśnienie światła można wykorzystać do spowolnienia już poruszających się atomów.

Mianowicie wyobraźmy sobie atom poruszający się z pewną prędkością w prawo. Aby

zmniejszyć jego prędkość puszczamy w przeciwnym kierunku foton (rys.38)

Rys. 38. Atom pochłaniając foton biegnący z naprzeciwka zmniejsza swoją prędkość. Rysunek wzięty z [22].

70

Pochłonięcie fotonu przez atom wiązać się będzie z przekazaniem pędu o przeciwnym

zwrocie niż pęd atomu. W konsekwencji atom zacznie poruszać się wolniej niż dotychczas.

Do całkowitego wyhamowania atomu w temperaturze pokojowej potrzeba bardzo

wielu takich aktów absorpcji (około 50 tyś.), ponieważ pęd jednego fotonu tylko nieznacznie

zmienia prędkość atomu.

W krótkim czasie po zaabsorbowaniu fotonu i przejściu atomu do stanu wzbudzonego,

atom z powrotem wraca do podstawowego poziomu energetycznego, emitując przy tym foton.

Z tym również wiąże się przekaz pędu, a w konsekwencji także siła. Jeżeli natężenie światła

w wiązce otaczającej atom nie jest zbyt duże, to emisja fotonu następuje w kierunku zupełnie

przypadkowym. A ponieważ do wyhamowania atomu nastąpić musi bardzo wiele aktów

absorpcji i emisji, to ze względu na przypadkowy charakter kierunku emisji skutki odrzutu

uśrednią się w czasie do zera (rys.39).

Rys. 39. Przypadkowy charakter kierunku emisji spontanicznej powoduje uśrednienie się w czasie jej skutków

do zera. Rysunek wzięty z [23].

Ponieważ w takim procesie zachodząca emisja fotonów jest emisją spontaniczną,

to działającą na atom siłę nazywamy siłą spontaniczną.

Pamiętać należy, że atom nie absorbuje wszystkich padających na niego fotonów.

Pochłania jedynie te, których energia E odpowiada różnicy energii ∆E między poziomami

energetycznymi, pomiędzy którymi przechodzi atom. Aby zadziałać siłą optyczną na

określone atomy, trzeba tak dobrać częstotliwość światła laserowego, aby energia fotonów

była odpowiednia.

Energię fotonów i energię przejścia pomiędzy poziomami określać będziemy przy

użyciu odpowiadających im częstości ω i ω0, według zależności ω= hE i 0ω=∆ hE .

Aby foton został pochłonięty przez atom, jego częstość musi spełniać warunek

00 ω=ω⇒ω=ω⇒∆= hh E E . (63)

71

Czy więc chcąc spowolnić lub zatrzymać atom wystarczy przeciwnie do kierunku jego

ruchu zadziałać wiązką światła laserowego i poczekać aż dostatecznie zwolni (rys.40)?

Rys. 40. Na atom poruszający się w polu wiązki zwróconej przeciwnie do kierunku jego ruchu działa siła

hamująca.

Tylko pozornie, ponieważ istnieje jeszcze efekt Dopplera.

Ze względu na efekt Dopplera częstość światła dostrzegana przez obserwatora zależy

od tego jak porusza się układ w którym obserwator się znajduje. Przy założeniu, że

obserwator nie porusza się z prędkością bliską prędkości światła, zaniedbać można efekty

relatywistyczne i w wyniku klasycznego efektu Dopplera zmieniona częstość obserwowanego

światła wynosi

vkobs

rr−ω=ω , (64)

gdzie vr

- prędkość obserwatora, kr

- wektor falowy. W naszym przypadku takim

poruszającym się obserwatorem jest atom. Dostrzeganą przez niego częstość światła

oznaczymy jako ωobs. To właśnie od niej zależy, czy foton będzie mógł być pochłonięty, czy

też nie.

Zakładając, że wiązka ma kierunek wzdłuż osi z i zwrot w stronę ujemnych z-ów,

dostajemy wzór na obserwowaną częstość

zobs kvωω += , (65)

gdzie vz to składowa prędkości atomu wzdłuż tej osi, a k jest dodatnie ( kkr

= ). Widać, że

nie zależy ona od pozostałych składowych. W takim razie całe zagadnienie można sprowadzić

do jednego wymiaru i uniezależnić od pozostałych.

Co w naszym eksperymencie zmienia efekt Dopplera. Otóż jeżeli mamy poruszający

się atom, to aby go spowolnić, należy przeciwbieżnie do jego ruchu skierować wiązkę lasera

o takiej częstości, by obserwowana przez atom częstość wynosiła ω0. Ale żeby atom widział

w swoim układzie tę właśnie częstość, to w układzie laboratoryjnym częstość ω musi być

mniejsza od ω0 o kvz.

k

wiązka lasera Siła optyczna

72

0obs ω=ω (66)

z0 kv+ω=ω (67)

z0 kv−ω=ω (68)

Jeżeli atom porusza się początkowo tak, że jego składowa prędkości wzdłuż osi z

wynosi vz i zadziałamy na niego dostrojoną odpowiednio wiązką o częstości z0 kv−ω=ω ,

zwróconą przeciwbieżnie do jego ruchu, to po pewnym czasie atom zwolni. Oznacza to,

że będzie miał inną wartość składowej prędkości vz, a to z kolei spowoduje, że obserwowana

przez atom częstość wiązki lasera ωobs nie będzie już odpowiadać częstości rezonansowej ω0.

Skutkiem tego wiązka przestanie oddziaływać z atomem i zniknie działająca na niego siła.

Aby zachować zdolność działania wiązką na poruszający się atom należy nieustannie

dostrajać wiązkę laserową tak, by w zależności od vz doświadczana przez atom częstość

światła nieustannie wynosiła ω0.

Dotychczasowe rozważania przeprowadzone zostały dla pojedynczego atomu.

Tymczasem chłodzenie odbywa się na całej chmurze.

Jak wiadomo ruch atomów w chmurze jest zupełnie przypadkowy, a statystykę

szybkości atomów opisuje rozkład Maxwella-Boltzmana. Rozkład wartości prędkości atomów

w chmurze przedstawia poniższy wykres (rys.41).

Rys. 41. Rozkład szybkości atomów w chmurze dla trzech różnych temperatur.

Już chociażby ze względu na to wykorzystanie omówionej dla jednego atomu metody

hamowania nie byłoby możliwe, ponieważ każdemu atomowi odpowiadałaby inna częstość.

-100 °C20 °C

600 °C

73

Jak w takim razie poradzić sobie z tymi wszystkimi problemami?

- konieczność szybkiego dostrajania wiązki laserowej w miarę hamowania

- przyspieszanie atomu po wyhamowaniu

- rozkład prędkości atomów

Rozwiązanie tych problemów przynosi naturalna szerokość linii widmowej atomu.

Rzecz w tym, że atom nie pochłania jedynie fotonów o pewnej ściśle określonej częstości ω0

(o określonej energii) lecz prawdopodobieństwo Pabs zaabsorbowania fotonu przez atom

opisane jest przez krzywą Lorentza. Jej wzór znajduje się poniżej (69), a jej kształt

przedstawia rys.42

( )

( ) ( )22

0

2

abs2/ωω

2/Γ~P

Γ+−. (69)

Rys. 42. Krzywa Lorenza opisująca zależność prawdopodobieństwa absorpcji fotonu oraz siłę działającą na atom

w zależności od częstości fotonu ω. Maksimum absorpcji przypada dla częstości ω0, a szerokość wykresu

opisuje parametr Γ (tzw. całkowita szerokość połówkowa). Rysunek wzięty z [5].

Jak widać prawdopodobieństwo zaabsorbowania fotonu o częstości ω0 jest największe,

ale również fotony o innej częstości mogą zostać pochłonięte. Prawdopodobieństwo tego,

że to nastąpi jest tym mniejsze im większa jest różnica pomiędzy ω0 i ω.

Działająca na atom siła F jest proporcjonalna do liczby zaabsorbowanych fotonów,

ta zaś jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa absorpcji w funkcji częstości ω fotonu.

W takim razie ona również jest funkcją częstości fotonu i opisana jest wzorem (70)

( )

( ) ( )22

0

2

2/ωω

2/~F

Γ+−

Γ (70)

oraz krzywą z rys. 42.

74

Jeśli uwzględnić teraz efekt Dopplera, to we wzorze (70) na siłę zamiast częstości ω

wstawić należy obserwowaną przez atom zmienioną w skutek jego ruchu częstość ωobs.

Załóżmy, że częstość lasera jest ustalona i wynosi ω. W takim wypadku wartość siły

jest funkcją składowej prędkości vz atomu. Jeżeli przyjmiemy, że wiązka jest skierowana

w prawo, to siła wyraża się wzorem

( )

( ) ( )22

0z

2

2/ωkvω

2/~F

Γ+−−

Γ (71)

z którego widać, że maksimum przypada gdy 0kv 0z =ω−−ω .

W takim wypadku, jeżeli przyjmiemy, że częstość lasera jest równa częstości rezonansowej

0ω=ω , to maksimum siły optycznej przypada gdy 0kvz = . Przedstawia to poniższy wykres

(rys.43a).

Rys.43. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω0, b) dla ω < ω0.

Siła optyczna działa w prawo (w kierunku dodatnich z), dlatego jej wykres znajduje się ponad

poziomą osią. Jak widać jest on symetryczny względem punktu 0kvz = . Oznacza to,

że największa siła działa na atomy nie poruszające się i maleje tak samo dla atomów

poruszających się w prawo i w lewo. Nie jest to zbyt pocieszające, ponieważ pamiętamy,

że naszym celem jest zahamowanie poruszających się atomów. W takim razie siła skierowana

w prawo powinna raczej mocniej działać na atomy poruszające się w lewo, a nie tak jak

powyższa. Wystarczy jednak, by częstość lasera ω została odstrojona trochę poniżej częstości

rezonansowej ω0, aby maksimum siły przypadało dla atomów poruszających się w lewo.

Przedstawia to wykres na rys.43b.

Dzieje się tak dlatego, że atomy poruszające się w lewo, w skutek efektu Dopplera,

zaczynają widzieć wyższą częstość biegnącej w przeciwnym kierunku wiązki lasera.

Ponieważ częstość lasera jest mniejsza od częstości rezonansowej, to w miarę tego, jak rośnie

skierowana w lewo prędkość atomów, dostrzegana przez nie częstość jest coraz wyższa

i zbliża się do częstości rezonansowej, co skutkuje coraz większą siłą. Maksimum tej siły

dla ω < ω0

a) b)

dla ω = ω0

75

przypada, gdy w skutek efektu Dopplera częstość lasera obserwowana przez atomy dostroi się

do częstości rezonansowej.

0kv 0z =ω−−ω (72)

ω−ω=− 0zkv (73)

Ostatecznie w takim wypadku większa siła działa na atomy poruszające się w lewo

niż w prawo. Nie jest to jednak do końca pożądany przez nas skutek, ponieważ po

wyhamowaniu atomy i tak będą przyspieszane w kierunku działania siły.

Podobny eksperyment myślowy możemy przeprowadzić dla wiązki laserowej

skierowanej w lewo. Siła wyraża się wtedy wzorem (74)

( )

( ) ( )22

0z

2

2/ωkvω

2/~F

Γ+−+

Γ. (74)

Rys.44 przedstawia analogiczne do rys.43 wykresy siły, z jaką działa na atom wiązka

skierowana w lewo.

Rys. 44. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω0, b) dla ω < ω0.

Szukane przez nas rozwiązanie problemu otrzymuje się stosując dwie przeciwbieżne wiązki

(rys.45). Rozwiążemy to zagadnienie przy użyciu wykresów.

Rys.45. Poruszający się atom znajduje się w polu dwóch przeciwstawnych wiązek. Wypadkowym efektem

dostrojenia się do wiązki biegnącej z naprzeciwka i odstrojenia od wiązki biegnącej w tę samą stronę co atom

jest siła hamująca.

k

przeciwbieżne wiązki lasera

k

a) b) dla ω < ω0 dla ω = ω0

76

Dla częstości lasera równej częstości rezonansowej 0ω=ω , składamy ze sobą

wykresy z rysunków rys.43a i rys.44a Po zsumowaniu działających sił okazuje się, że siła jest

równa 0, ponieważ wpływ jednej i drugiej wiązki na każdy atom jest taki sam, niezależnie

od jego ruchu (rys.46a).

Rys.46. Wykresy sił, z jakimi działają wiązki na atomy w zależności od ich prędkości. a) dla ω = ω0 siły zależą

tak samo od prędkości atomów i w efekcie wypadkowa siła wynosi zero; b) dla ω < ω0 zależność jednej i drugiej

siły od prędkości jest przesunięta i w wyniku otrzymuje się wypadkową siłę hamującą – przerywana linia.

Rysunek wzięty z [5].

Jednak wystarczy, że odstroimy obie wiązki w dół od rezonansu, a otrzymamy

przedstawioną na rys.46b zależność wypadkowej siły Fwyp od prędkości atomu.

Z wykresu widać, że na atomy poruszające się w lewo 0kvz < działa wypadkowa siła

optyczna Fwyp skierowana w prawo (powyżej osi poziomej). Jest to skutek dostrajania się

widzianej przez te atomy częstości wiązki biegnącej w prawo i odstrajania częstości wiązki

biegnącej w lewo. Podobnie na atomy poruszające się w prawo 0kvz > działa wypadkowa

siła skierowana w lewo (poniżej osi poziomej). Na atomy nie poruszające się działa siła

wypadkowa równa zero, ponieważ wpływy jednej i drugiej wiązki znoszą się wzajemnie.

Ostatecznie sytuacja jest taka, że obie wiązki lasera są tak samo odstrojone

od rezonansu. Jednak w wyniku efektu Dopplera atomy zaczynają silniej oddziaływać

z tą wiązką, która jest skierowana przeciwnie do ich ruchu i w konsekwencji są hamowane.

Stan ten utrzymuje się do momentu, gdy wpływ jednej i drugiej wiązki będzie taki sam, czyli

do wyhamowania atomu.

a) b)

dla ω < ω0

77

Rys.47. Dostrojenie obserwowanej częstości do częstości rezonansowej dzięki efektowi Dopplera. Rysunek

wzięty z [22].

Oczywiście w naszych rozważaniach przyjęliśmy, że atomy poruszają się tylko

wzdłuż jednej prostej, określającej kierunek wiązek laserowych. W rzeczywistości poruszać

się mogą w trzech wymiarach. W takim razie dwie przeciwbieżnie skierowane wiązki mogą

wyhamować tylko jedną składową prędkości, np. vz. Dlatego do pełnego rozwiązania

problemu używa się trzech prostopadłych do siebie par wiązek laserowych. Miejsce ich

skrzyżowania nazywane jest melasą optyczną. Atomy poruszają się w niej jak kulki w lepkiej

cieczy. Porównanie to jest trafne zważywszy na fakt, że w pewnym zakresie prędkości (wokół

punktu 0v = ) siła optyczna jest proporcjonalna do prędkości atomu.

Z.1.2 Pułapkowanie

Spowolnienie atomów nie zapewnia ich skupienia i otrzymania dużej gęstości chmury.

Aby tego dokonać trzeba zadziałać na atomy jakąś dodatkową siłą, która zepchnęłaby je

w jedno miejsce. W tym celu używa się magnetycznych właściwości atomów.

Protony, neutrony i elektrony, czyli cząstki będące składnikami atomu, posiadają

wewnętrzne momenty pędu, czyli tzw. spiny. Te ostatnie mają dodatkowo orbitalne momenty

pędu. Dlatego też i sam atom posiada zwykle wypadkowy moment pędu Jr

.

Jak wiemy, moment pędu jest wielkością skwantowaną i może przyjmować tylko

pewne określone wartości

( ) hr

1JJJ += , (75)

gdzie J jest liczbą naturalną i może przyjmować wartości ...,2,1,0=J .

Podobnie rzut momentu pędu na pewien wybrany kierunek, np. oś z, może przyjmować tylko

określone wartości

hJz mJ = , (76)

78

gdzie mJ – to magnetyczna liczba kwantowa. Numeruje ona i wyraża możliwe wartości rzutu

wypadkowego momentu pędu Jr

na oś z, w jednostkach h . Liczba mJ może przyjmować

wartości J-J ..., ,J-mJ ,1= . W takim razie dla ustalonego J jest 12 +J możliwych

wartości Jz.

Z momentami pędu cząstek składających się na atom związane są ich własne momenty

magnetyczne. W konsekwencji i sam atom posiada zwykle jakiś wypadkowy moment

magnetyczny.

Przyjmijmy, że atom ma jakiś wypadkowy moment pędu Jr

, z którym związany jest

moment magnetyczny µr

. Może on mieć zwrot taki sam jak moment pędu atomu lub może

mieć zwrot do niego przeciwny. W naszych rozważaniach przyjmiemy, że jest on przeciwny,

ponieważ tak właśnie jest w przypadku atomu rubidu 87

Rb. Związek pomiędzy momentem

pędu Jr

i momentem magnetycznym atomu µr

opisuje równanie (77), a obrazuje

to znajdujący się obok rysunek (rys.48).

(77) h

rr J

µgµ J B−=

Symbol Bµ oznacza jednostkę momentu magnetycznego, zwaną magnetonem Bohra,

natomiast symbol gJ reprezentuje czynnik Landego, który określa stosunek momentu pędu

wyrażonego w jednostkach h i momentu magnetycznego wyrażonego w jednostkach Bµ .

Ze wzoru (77) wynika związek pomiędzy wartościami wymienionych wielkości

h

r

r Jµgµ J B−= , (78)

oraz związek pomiędzy ich rzutami na oś z

h

zJz

Jµgµ B−= . (79)

Ze względu na skwantowanie momentu pędu, skwantowane są również wartość momentu

magnetycznego i jego rzut na oś z. W szczególności rzut ten wyraża się równaniem

Bµmgµ JJz −= . (80)

W takim razie różnych wartości rzutu momentu magnetycznego na oś z również jest 12 +J .

Każdy moment magnetyczny oddziałuje z polem magnetycznym. Jeżeli atom zostanie

umieszczony w takim polu, to działać będzie na niego moment siły wyrażający się równaniem

J

µ

Rys. 48. Całkowity moment

pędu J atomu i jego moment

magnetyczny µ.

79

BµMrrr

×= . Dąży on do obrócenia momentu magnetycznego µr

, a razem z nim całego atomu

w taki sposób, by moment magnetyczny µr

ustawił się zgodnie z wektorem indukcji Br

pola.

W związku z istnieniem takiego oddziaływania, z ustawieniem momentu magnetycznego

w polu magnetycznym można związać pewną energię potencjalną Ep. Przyjmując że zero tej

energii jest wtedy, gdy moment magnetyczny jest ustawiony prostopadle do pola,

otrzymujemy wzór na energię potencjalną momentu magnetycznego w polu magnetycznym

BµE p

ro

r−= . (81)

Na rys.49 atom po lewej stronie ma mniejszą energię niż atom po prawej.

Rys.49. Różnym ustawieniom momentu magnetycznego w polu magnetycznym odpowiada różna energia. Atom

po lewej stronie ma niższą energię niż atom po prawej.

Oznacza to, że od ustawienia momentu magnetycznego atomu w polu magnetycznym zależeć

będzie energia tegoż atomu. A ponieważ każdemu ustawieniu momentu magnetycznego

atomu jednoznacznie przyporządkowane jest ustawienie momentu pędu, więc można

powiedzieć, że dla różnych rzutów Jz atom będzie miał różną energię potencjalną. Skutkuje

to efektem Zeemana, czyli rozszczepieniem poziomu energetycznego na 12 +J

podpoziomów. Rys.50 przedstawia przykład takiego rozszczepienia, gdy 1=J . Po lewej

stronie przedstawione są poziomy atomu nie znajdującego się w polu magnetycznym,

natomiast po prawej te same poziomy w obecności pola magnetycznego.

Rys.50. Rozszczepienie poziomu energetycznego w wyniku efektu Zeemana. Po lewej poziomy atomu poza

polem, po prawej poziomy atomu w polu magnetycznym.

energia J = 1

J = 0

mJ = 0

mJ = -1

mJ = 1

mJ = 0

z

B

J

µµJ

80

Fakt, że poziom energetyczny dla 1=Jm znajduje się wyżej niż pozostałe wynika jasno

z rys.49 i wzoru (81). W dalszych rozważaniach nadal będziemy posługiwali się opisanym

przykładem.

Przyjmijmy, że stan podstawowy atomu to ten, dla którego 0=J . Jeżeli teraz

będziemy chcieli przejść do stanu wzbudzonego 1=J , to możemy to uczynić działając

na atom odpowiednio dostrojoną energetycznie wiązką, której fotony w naszym układzie

mają rzut momentu pędu równy 1 (σ +) lub wiązką, której fotony mają rzut momentu pędu –1

(σ -). Pochłonięcie przez atom fotonu z wiązki σ

+ spowoduje przejście do stanu o 1=Jm ,

ponieważ oprócz energii, atom przejmie również moment pędu fotonu. Podobnie

zaabsorbowanie fotony z wiązki σ - spowoduje przejście do stanu o 1−=Jm . Obrazuje

to kolejny rys.51.

Rys.51. Zaabsorbowanie fotonu z wiązki σ + lub σ

– powoduje przekaz momentu pędu i przejście do stanu

wzbudzonego o odpowiednim mJ’.

σ+σ-

J’ = 1

J = 0

81

Wyobraźmy sobie teraz układ dwóch cewek kwadrupolowych, czyli takich, w których

prąd płynie w przeciwnych kierunkach (rys.52).

Rys.52. Układ pozwalający chłodzić i pułapkować atomy w jednym wymiarze. W cewkach prąd płynie

o przeciwnym kierunku, wytwarzając kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w środku. Wiązki biegnące

wzdłuż osi z są kołowo i przeciwnie względem siebie spolaryzowane.

Jeżeli założyć, że punkt 0z = znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy cewkami, to pole

magnetyczne przez nie wytwarzane wzdłuż osi z jest takie, jak przedstawiono na rys.53.

W punkcie 0z = wartość indukcji magnetycznej jest dokładnie równa 0. Natomiast poza tym

punktem pole skierowane jest do środka tego obszaru, a jego wartość wzrasta proporcjonalnie

z odległością od tego punktu.

Rys.53. Wykres pola magnetycznego wytwarzanego przez cewki w zależności od położenia na osi z. Zależność

jest liniowa.

z

B

cewka cewka

pole magnetyczne

z

atomy

82

Jeżeli umieścić teraz w takim polu nasze przykładowe atomy, to ich poziomy energetyczne

rozszczepią się tak, jak pokazuje to kolejny rysunek (rys.54).

Rys.54. Rozszczepienie poziomów energetycznych w liniowo malejącym polu magnetycznym wytwarzanym

przez cewki. Częstości wiązek σ + lub σ

– są odstrojone w dół od częstości ω0, ale z powodu przesunięcia

poziomów energetycznych dostrojone są do energii przejścia na lewo lub prawo od punktu z = 0. W wyniku tego

silniej oddziałują z atomami znajdującymi się poza tym punktem i spychają je do niego.

Przyjmijmy następnie, że oświetlamy te atomy wiązką σ - skierowaną w prawo (rys.52).

Dodatkowo załóżmy, że wiązka ta jest odstrojona energetycznie w dół od rezonansu (linia

przerywana na rys.54) w stosunku do nie rozszczepionego poziomu atomu znajdującego się

poza polem magnetycznym. Pochłonięcie fotonu z takiej wiązki prowadzi do przejścia atomu

do stanu 1−=Jm . Jak widać na rys.54, ze względu na niejednorodność pola, częstotliwość

wiązki w większej mierze dostrojona jest do atomów znajdujących się na lewo od środka

układu. Ponieważ siła optyczna omawianej wiązki działa w prawo, to atomy znajdujące się

po lewej stronie przepychane będą w kierunku punktu 0z = .

Podobnie jeśli skierujemy na wspomniane atomy wiązkę skierowaną w lewo (rys.52), tak

samo jak poprzednio odstrojoną w dół, to przede wszystkim będzie ona przepychała w lewo

atomy znajdujące na prawo od punktu 0z = . Ostatecznie dzięki odpowiedniej polaryzacji

wiązek i umieszczeniu atomów w kwadrupolowym polu magnetycznym, otrzymujemy sposób

zgromadzenie atomów w jednym miejscu.

Opisany proces odnosi się do jednego wymiaru. Aby zrealizować skupianie atomów

w trzech wymiarach można po prostu potroić ten układ wzdłuż trzech prostopadłych osi.

z

energia

mJ’ = -1

mJ’ = 1

mJ’ = 0

mJ’ = -1

mJ’ = 1

mJ’ = 0

83

Nie trzeba jednak tego robić, ponieważ już jeden układ kwadrupolowych cewek wytwarza

pożądane pole w trzech wymiarach (wzdłuż osi układu). Wystarczy więc wzdłuż tych osi

skierować odpowiednio spolaryzowane wiązki, a otrzymamy trójwymiarowy układ

pułapkujący (rys.55).

Rys.55. Trójwymiarowa pułapka magneto-optyczna. Dwie cewki wytwarzają omówione wcześniej pole wzdłuż

trzech prostopadłych osi. Użycie sześciu, parami przeciwbieżnych i przeciwnie kołowo spolaryzowanych wiązek

zapewnia pułapkowanie i chłodzenie atomów. Rysunek wzięty z [5].

W ten sposób otrzymuje się zamierzony cel, tym bardziej, że już poprzednio

posługiwaliśmy się odstrojonymi w dół od rezonansu wiązkami. Można więc oba procesy –

chłodzenia i pułapkowania – realizować jednocześnie.

Jeżeli zostaną spełnione warunki takie, jak:

1. atomy już poruszają się powoli tak, że Γ<vkr

or

,

2. magnetyczne odstrojenie częstości jest mniejsze od szerokości przejścia Γ<⋅β z ,

gdzie ( )JJJ'J' gmgmB

⋅−⋅⋅∂

∂⋅

⋅µ=⋅β

z

zz B

h,

to w omawianej sytuacji atomy poruszać się będą jak oscylatory harmoniczne tłumione.

W ten sposób otrzymujemy pułapkę magneto-optyczną (MOT), która umożliwia

zarówno schłodzenie chmury atomów, jak i jej skupienie w jednym miejscu w celu

zwiększenia jej gęstości.

84

Z.1.3 Granica chłodzenia dopplerowskiego

Z przeprowadzonego dotychczas rozumowania wynika, że atom porusza się w pułapce

magneto-optycznej tak, jakby doznawał sił oporu skierowanych przeciwnie do kierunku

ruchu. W takim razie spodziewać się można, że po dość długim czasie, atom początkowo

mający jakąś prędkość, wreszcie się zatrzyma. Tak jednak nie jest. Pamiętać bowiem należy,

że siła spowalniająca atomy, to siła optyczna związana z przekazywaniem atomowi pędu

fotonu podczas jego pochłonięcia i odrzutu podczas emisji. Wcześniej była mowa o tym,

że pęd przekazywany atomowi podczas wielu aktów emisji spontanicznej uśrednia się do

zera. Jednak po każdym takim odrzucie atom ma jakiś pęd, a stąd prędkość i związaną z tym

temperaturę. Konsekwencją jest ruch dyfuzyjny atomu. W związku z tym po pewnym czasie

ustali się graniczna temperatura gazu, będąca wynikiem dwóch przeciwstawnych efektów:

hamującej siły optycznej i chaotycznej dyfuzji atomu. Taką minimalną temperaturę, jaką

możemy osiągnąć omówioną wyżej metodą, nazywamy granicą chłodzenia dopplerowskiego.

Wyraża się ona wzorem (82)

B

min2 k

T⋅

Γ⋅=

h, (82)

gdzie kB to stała Boltzmana. Dla atomów rubidu wynosi ona K142min µ=T .

Z.1.4 Chłodzenie subdopplerowskie

Dalsze obniżanie temperatury atomów odbywa się za pośrednictwem tzw. chłodzenia

z gradientem polaryzacji (PGC). We wcześniejszych rozważaniach nie braliśmy pod uwagę

wpływu struktury fali światła laserowego na atom, a nawet zakładaliśmy, że nie ma

żadnego wpływu. Tak jednak nie jest.

W opisanej jednowymiarowej pułapce magneto-optycznej wykorzystuje się dwie

przeciwbieżne wiązki światła laserowego, spolaryzowane kołowo. Nałożenie się tych wiązek

tworzy wzdłuż ich kierunku rozchodzenia się falę stojącą. W każdym punkcie polaryzacja tej

fali jest ściśle określona. Zmienia się jednak przy przechodzeniu z punktu do punktu, tworząc

kształt helisy. Przedstawia to kolejny rys.56.

85

Rys.56. Gradient polaryzacji pola elektrycznego wytwarzanego przez nałożenie przeciwbieżnych kołowo

spolaryzowanych wiązek σ + i σ

– o tej samej amplitudzie i częstości. Polaryzacja zmienia się z przejściem z

punktu do punktu.

Poruszający się odpowiednio wolno atom niejako „widzi” strukturę tej fali, czyli jej

pole. Gdy porusza się on z punktu do punktu, zmienia się kierunek wektora natężenia

elektrycznego pod którego wpływem znajduje się atom. Każde takie przejście wymaga

pewnego wydatku, czynionego w tym wypadku kosztem energii kinetycznej atomu.

W konsekwencji atomy stają się coraz zimniejsze.

Aby proces ten był w ogóle możliwy, atomy muszą poruszać się na tyle wolno, by

dostrzegać strukturę fali. Dlatego niezbędne jest wcześniejsze ich dopplerowskie schłodzenie,

odbywające się opisaną już metodą. Aby jednak mogło nastąpić chłodzenie z gradientem

polaryzacji, wyłączyć należy używane w MOT’cie pole magnetyczne. Otrzymujemy wtedy na

powrót stan melasy optycznej i nie działa pułapkowanie atomów. Nie stwarza to jednak

żadnego dodatkowego problemu, ponieważ atomy poruszają się już na tyle wolno,

że w krótkim czasie trwania melasy optycznej ekspansja chmury jest zaniedbywalna.

Z.1.5. Pułapka magnetyczna

Opisane wyżej metody chłodzenia dopplerowskiego i subdopplerowskiego

wykorzystują siłę optyczną związaną nieodłącznie z pochłanianiem i emisją fotonów z wiązki

laserowej. W konsekwencji nie jest możliwe obniżenie średniego pędu atomów poniżej

wartości kr

h , jaką uzyskuje każdy atom przy odrzucie, podczas emisji zaabsorbowanego

fotonu. Jest to właśnie przyczyną istnienia granicy chłodzenia z użyciem opisanej metody.

Granica ta określona jest wzorem (83)

86

mk

TB

PGC⋅

⋅=

22 kh, (83)

gdzie m – masa atomu rubidu, k – wektor falowy wiązki laserowej. W naszym przypadku

wynosi ona 366 nK.

Zwróćmy ponownie uwagę na fakt, że metoda ta opiera się na hamującym

oddziaływaniu ze światłem, a za jej niedoskonałość odpowiedzialny jest właśnie skutek tego

oddziaływania, czyli przekaz pędu przy emisji fotonu. W takim razie niezbędnym warunkiem,

aby zejść poniżej wspomnianej granicy chłodzenia, jest zastosowanie metody, w której taki

odrzut by nie następował. W konsekwencji metoda ta nie możne już być oparta na hamującym

oddziaływaniu ze światłem. Przeciwnie, atomy należy umieścić w tak zwanym „stanie

ciemnym”, gdzie nie odczuwałyby już grzejącego wpływu światła. Takie podejście stosuje się

m.in. w pułapkach magnetycznych, których idea opisana jest poniżej.

Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór atomów o momencie magnetycznym µr

i momencie pędu Fr

(nie mylić z siłą). W zewnętrznym niejednorodnym polu magnetycznym

na takie momenty magnetyczne µr

działa siła Sterna-Gerlacha, określona wzorem

( ) ( ) ( )BmµgBmµgµB FBFFBF ∇−=∇−=∇−=r

orr

F , (84)

gdzie w danym punkcie przyjmujemy jako oś rzutowania kierunek wektora indukcji Br

.

Jak wiadomo, tak określona siła będzie działać w tą stronę, w którą wartość

w nawiasie maleć będzie najszybciej. W szczególności spychać będzie ona momenty

magnetyczne do miejsca, gdzie znajdować się będzie minimum wartości w nawiasie,

a odpychać od miejsca gdzie znajdować się będzie jej maksimum. Podobną temu,

jednowymiarową sytuację przedstawia rys.57.

( )Bmz

µg FBz∂

∂−=F (85)

Rys.57. Siła działająca na moment magnetyczny w polu magnetycznym z zależności od rzutu mF i gradientu B.

z

Fz Fz

Fz Fz

mF B

87

Naszym celem jest oczywiście skupienie atomów w jednym miejscu, dlatego stworzyć należy

sytuację, gdzie istnieć będzie minimum wartości określonej w nawiasie. W połączeniu

z faktem wynikającym z równań Maxwell’a, że nie może istnieć maksimum wartości indukcji

B pola magnetycznego, a jedynie jej minimum, warunki pułapkowania spełnią jedynie

przypadki, dla których iloczyn czynnika Landego g i magnetycznej liczby kwantowej mF jest

dodatni. Stany atomu, w których warunki te są spełnione nazywamy stanami szukającymi

minimum pola magnetycznego.

W naszym doświadczeniu atomy rubidu utrzymuje się w stanie 2;S5 2/12 =F .

W takim razie możliwe rzuty momentu pędu przyjmują wartość mF = –2, -1, 0, 1, 2. Wśród

tych stanów stanami szukającymi minimum pola magnetycznego są tylko te, dla których

mF = 1, 2, ponieważ tylko dla nich iloczyn czynnika Landego i mF przyjmuje odpowiedni

znak. Atomy w stanach o mF = -2, -1 są odpychane od minimum pola, a stan o mF = 0 nie

oddziałuje w znaczącym stopniu z polem.

Z.1.6. Chłodzenie przez odparowanie

Przyjmijmy więc, że mamy pole magnetyczne z minimum wartości B. Załóżmy

dodatkowo, że pole to ma taką postać, że siła z jaką działa ono na momenty magnetyczne

prowadzi do powstania potencjału harmonicznego (tak jest w przypadku naszej pułapki).

Jak wiemy, w takim zewnętrznym niejednorodnym polu magnetycznym wyszczególniony

poziom 2;S5 2/12 =F rozszczepia się na pięć poziomów zeemanowskich, odpowiednio dla

każdego rzutu mF , jak to przedstawiono na rysunku poniżej (rys.58).

Rys.58. Rozszczepienie poziomu

energetycznego na pięć podpoziomów

zeemanowskich. Kształt potencjału jest

harmoniczny, ponieważ pole

magnetyczne również jest takie. Krzywa

gaussowska przedstawia rozkład

gęstości chmury atomów w stanie mF =

2 w zależności od odległości od środka

pułapki. Rysunek wzięty z [24].

z

88

Załóżmy teraz arbitralnie, że wszystkie atomy znajdują się w stanie pułapkującym o mF = 2,

czyli w stanie 2;2;S5 2/12 == FmF . Mówimy wtedy, że ich momenty magnetyczne

są spolaryzowane, ponieważ wszystkie mają ten sam kierunek. Siła działająca na te atomy

spycha je do naszego minimum potencjału ( 0z = ) i dlatego mówimy, że atomy znajdują się

w pułapce magnetycznej.

Prędkości, a więc i energie kinetyczne naszych atomów, opisane są rozkładem

Maxwell’a-Boltzmana. W 0z = energia potencjalna atomów jest najmniejsza. Każde

oddalenie od tego punktu wymaga od atomu zwiększenia energii potencjalnej kosztem energii

kinetycznej. Wśród wszystkich atomów znajdujących się w pułapce tylko te o największej

energii kinetycznej będą mogły oddalić się znacznie od środka pułapki. W takim przypadku

rozkład gęstości atomów w zależności od odległości od środka pułapki przedstawia krzywa

gaussowska (rys.58).

Jako że znaczne oddalenie się od środka pułapki wymaga od atomu posiadania

względnie dużej energii kinetycznej, dlatego daleko od jej środka znajdą się te atomy, które są

najcieplejsze. Gdyby udało się je z pułapki usunąć, to spadłaby średnia energia kinetyczna

atomów pozostających w pułapce, a co za tym idzie również ich temperatura. Można tego

dokonać używając oscylującego z częstością radiową pola magnetycznego. Jeżeli tylko

energia takiego promieniowania dopasowana będzie do różnicy energii pomiędzy poziomami

zeemanowskimi o różnym mF w miejscu, gdzie chcielibyśmy dokonać odcięcia

najcieplejszych atomów, to w miejscu tym nastąpi wyrównanie obsadzeń dla wszystkich

poziomów zeemanowskich (rys. 59).

Pamiętać przy tym należy, że stany o mF = 0, -1 i -2 to stany nie pułapkujące. Jeśli jakiś atom

znajdzie się w którymś z tych stanów, to zostanie z pułapki wypchnięty. Wyrównanie

obsadzeń pomiędzy poziomami w tym przypadku będzie się więc sprowadzało do wyrzucenia

Rys.59. Na skutek oscylującego pola

magnetycznego o odpowiedniej energii

następuje wyrównanie obsadzeń pomiędzy

podpoziomami zeemanowskimi w

konkretnej odległości od środka pułapki, a

przez wyrzucenie z niej atomów

najbardziej odległych czyli

najcieplejszych. Rysunek wzięty z [24].

89

z pułapki wszystkich atomów, które w trakcie istnienia naszego tunelu ucieczkowego

osiągnęłyby taką odległość od środka pułapki, w której nasz tunel się znajduje. Tym

sposobem odetniemy ogon najbardziej odległych, a przez to i najcieplejszych atomów.

Nasze cięcie nie tylko zmniejszy rozmiary chmury atomów w pułapce, ale i zmieni

dotychczasowy rozkład energii kinetycznej. Jeśli odczekamy jakiś czas, na tyle długi, aby

atomy w chmurze zdążyły na skutek oddziaływań dwuciałowych wymienić między sobą

energię (stermalizować), to rozkład energii powróci do poprzedniej postaci, tyle że teraz

z niższą średnią energią kinetyczną. Postępując dalej w ten sam sposób, zmieniając jedynie

częstotliwość promieniowania radiowego na coraz mniejszą i zmniejszając tym samym

promień odcięcia, konsekwentnie wyrzucać będziemy z pułapki najcieplejsze atomy. Tym

samym stale będziemy obniżać ich temperaturę. Trzeba jednak zwrócić przy tym uwagę na

fakt, że atomów w pułapce będzie coraz mniej, dlatego na początku musi się w niej dużo ich

znaleźć.

Ostatecznie dopasowując odpowiednio tempo obniżania częstotliwości RF (tzw.

rampa) uzyskać można określoną temperaturę i gęstość atomów w chmurze. Tempo jednak

nie może być zbyt duże, ponieważ w przeciwnym wypadku pozostające w pułapce atomy nie

zdążą termalizować i zostaną wyrzucone z pułapki.

Podczas obniżania temperatury atomów w pułapce nadchodzi moment, w którym

zaczynają przechodzić one w stan kondensatu Bossego-Einsteina.

90

Z.2. Doppler-Free Dichroism Lock (DFDL)

Zarówno wiązka pompująca, jak i wiązka próbkująca (rys.13) to wiązki

spolaryzowane liniowo, jednak można je traktować jak złożenie wiązek spolaryzowanych

kołowo σ - i σ

+. Komórka Rb, przez którą przechodzą obie wiązki, znajduje się w polu

magnetycznym. Na skutek efektu Zeemana następuje rozszczepienie poziomów

odpowiadających poszczególnym polaryzacjom (rys.60).

Rys.60. Przesunięcie poziomów zeemanowskich dla polaryzacji σ - i σ

+.

Wiązka próbkująca po przejściu przez komórkę Rb wpada do detektora D, którego budowę

przedstawia rys.61.

Rys.61. Schemat detektora rozdzielającego sygnał σ - i σ

+. Na ćwierćfalówce polaryzacje kołowe zmieniają się

na prostopadłe do siebie polaryzacje liniowe, a te następnie zostają rozdzielane i skierowane do fotodiód P.

Każda ze składowych σ - i σ

+ wiązki próbkującej, traktowanych teraz już niezależnie, zostaje

na ćwierćfalówce zmieniana na odpowiadającą jej polaryzację liniową, a następnie przy

użyciu kostki światłodzielącej kierowana jest do odpowiedniej fotodiody. W ten sposób

dostajemy sygnał spektroskopii nasyceniowej, rozdzielony dla różnych polaryzacji σ - i σ

+.

W zasadzie sygnały te są prawie identyczne, tyle tylko że na skutek efektu Zeemana

są względem siebie nieco przesunięte. Przedstawiona na rys.15 górna linia jest właśnie

sygnałem z jednej takiej fotodiody, przesuniętym nieco w stosunku do normalnego sygnału

spektroskopii nasyceniowej. Odejmując następnie od siebie sygnały z obu fotodiód dostajemy

P

P

σ - σ

+

91

tzw. sygnał różnicowy. Podstawową jego cechą jest to, że w miejscu, gdzie w pierwotnym

sygnale spektroskopii znajdowały się piki, teraz znajdują się strome zbocza. Sygnał

różnicowy otrzymywany w naszym układzie przedstawia dolna linia na rys.15. Sygnału tego

używa się do stabilizacji częstotliwości lasera na wybranym zboczu. W naszym przypadku

częstotliwość lasera lokowana jest na piku co13 sygnału spektroskopii, któremu w sygnale

różnicowym odpowiada zbocze oznaczone kropką na rys.15. Gdy zostanie już dobrane

zbocze, to dla wybranej częstotliwości (pionowa przerywana linia) określony jest pewien

poziom sygnału (pozioma przerywana linia). Przyjmuje się, że wynosi on zero. Każda zmiana

częstotliwości lasera powoduje przesunięcie wykresu, a to z kolei odstępstwo sygnału

od przyjętego poziomu dla wybranej częstotliwości. Na podstawie wartości tego odstępstwa

(zwanej sygnałem błędu) elektronika na zasadzie sprzężenia zwrotnego koryguje

częstotliwość lasera.

92

Z.3. Właściwości rubidu 87

Rb i podstawowe stałe fizyczne

Rys.62. Poziomy energetyczne rubidu 87

Rb. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D2 rubidu o długości

780 nm. Na rysunku oznaczone są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w

doświadczeniu wiązek: wiązki pułapkującej, repompującej i pompującej.

chłodzenie, pulapkowanie i

detekcja

repompowanie

pompowanie

optyczne

93

prędkość światla m/s580924297=c

przenikalność magnetyczna próżni 27

0 N/A104 −⋅= πµ

przenikalność elektryczna próżni ( )2

00 /1 cµε =

stała Plancka sJ10)52(76068626.6h 34 ⋅⋅= −

kreślona stała Plancka sJ10)82(596571054,1 34 ⋅⋅= −h

ładunek elementarny C10)63(462176602,1e 19−⋅=

magneton Bohra J/T10096274,9 24

B

−⋅=µ

atomowa jednostka masy kg10)13(73538660,1u 27−⋅=

promień Bohra m10)19(2083177529,0a 10

0

−⋅=

stała Boltzmana J/K10)24(3650380,1k 23

B

−⋅=

Tab.1. Podstawowe stałe fizyczne.

masa ( ) kg1011060160443,1m 25−⋅=

procentowy skład do rubidu naturalnego %)2(83,27=η

liczba atomowa 37Z =

całkowita liczba nukleonów 87NZ =+

spin jądrowy 2/3I =

połówkowy czas rozpadu lat1088,4 10⋅=nτ

gęstość w temp. 25°C 3

25 g/cm53,1=ρ

Tab.2. Proste właściwości rubidu

87Rb.

długość fali (w próżni)

długość fali (w powietrzu)

naturalna szerokość linii (FWHM)

szerokość dopplerowska (300 K)

natężenia saturacji

prędkość odrzutu

temperatura odrzutu

rozszczepienie ze manowskie 5 2

S1/2, F = 1

rozszczepienie ze manowskie 5 2

S1/2, F = 2

długość rozpraszania s, F = 1

długość rozpraszania s, F = 2

λ = 780,246 291 629(11) nm

λp = 780,03708 nm

Γ = 2π * 6,065(9) MHz

516 MHz

IS = 1,6 mW/cm2

vrec = h/mλ = 5,8845 mm/s

Trec = mv2/2kB = 180,921 nK

mF * (-1/2) µB = - mF * 700 kHz/G

mF * 1/2 µB = mF * 700 kHz/G

a-1-1 = 105 a0

a22 = 98 a0

a11 = 94,8 a0

a12 = 98 a0

Tab.3. Właściwości przejścia 87

Rb D2 5 2S1/2 → 5

2P3/2.

94

Z.4. Zdjęcia aparatury

Fot.1. Zdjęcie odsłoniętego układu próżniowego. Widoczna jest górna komora, kwarcowa komórka, rurka

łącząca komory i ujścia do pomp.

Fot.2. Zdjęcie aparatury służącej do wytwarzania BEC. Widoczny stół optyczny ze wszystkimi układami

optycznymi i laserami, zasilacze cewek magnetycznych i system ich chłodzenia.

95

Z.5. Spis oznaczeń

B – indukcja pola magnetycznego

c – prędkość światła

E – energia kwantu promieniowania lub energia mikrostanu układu cząstek

E0 – energia stanu podstawowego pojedynczej cząstki

Eharm – energia potencjalna cząstki w pułapce harmonicznej

Ei – energia i-tego poziomu energetycznego pojedynczej cząstki

Ekin – energia kinetyczna cząstki w kondensacie

Ep – energia potencjalna momentu magnetycznego w polu magnetycznym

∆E – różnica energii pomiędzy poziomami energetycznymi lub różnica energii pomiędzy

mikrostanami układu

F – siła działająca na atom

Fwyp – siła wypadkowa działająca na atom

Fr

- wypadkowy całkowity moment pędu atomu

g(E) – funkcja gęstości stanów

G(E) – liczba wszystkich stanów, których energia znajduje się w przedziale od 0 do E

g0 – to parametr modelowego potencjału oddziaływania pomiędzy atomami

gJ – czynnik Landego

h – stała Plancka

I – natężenie promieniowania wiązki laserowej

( )zyI f , - rozkład natężenia światła po przejściu przez chmurę atomów

( )zyI i , - rozkład natężenia światła przed przejściem przez chmurę atomów

( )zyI d , - wskazanie kamery CCD przy braku naświetlania

i, ix, iy, iz – liczby numerujące poziomy energetyczne

Jr

- wypadkowy elektronowy moment pędu atomu

kB – stała Boltzmana

kr

- wektor falowy wiązki laserowej

l – liczba koniecznych do zaabsorbowania fotonów przed ustaniem oddziaływania z wiązką

obrazującą

m – masa atomu

mF – to magnetyczna liczba kwantowa całkowitego momentu pędu atomu

mJ – to magnetyczna liczba kwantowa elektronowego momentu pędu atomu

96

n – gęstość atomów w chmurze

N – liczba atomów w chmurze

ni – obsadzenie i-tego poziomu energetycznego

( )zyxn ,, - rozkład gęstości chmury

( )zyn ,~ - rozkład gęstości kolumnowej chmury

( )zynt ,~ - rozkład kolumnowej gęstości chmury termicznej

( )zync ,~ - rozkład kolumnowej gęstości kondensatu

( )0~cn i ( )0~

tn - maksymalne gęstości kolumnowe dla kondensatu i chmury termicznej

Pabs – prawdopodobieństwo absorpcji

pr

- pęd atomu

Ry i Rz – promienie TF w kierunku radialnym i osiowym

t – czas od wyłączenia pułapki magnetycznej, po którym następuje obserwacja kondensatu

T – temperatura

Tc – temperatura krytyczna

Tmin – temperatura graniczna chłodzenia dopplerowskiego

TPGC – temperatura graniczna chłodzenia z gradientem polaryzacji

U - potencjał pułapki

vśr – średnia szybkość ruchu postępowego w układzie związanym z chmurą atomów

vz - składowa prędkości atomu wzdłuż osi z

Z – funkcja rozdziału

Γ – szerokość połówkowa linii (w skali częstości)

η – parametr określony przez (58)

λ – długość fali światła laserowego

λB – długość fali de Broglie’a

µr

- moment magnetyczny atomu

µ - potencjał chemiczny

ν – częstotliwość światła laserowego

∆ν – zmiana częstotliwości lasera przez AOM

σ +/ σ

- - wiązka prawo/lewo skrętna

σ0 – współczynnik absorpcji w rezonansie

σ (σ0 )– rozmiar cząstki opisywanej funkcją Gaussa (w stanie podstawowym)

σy i σz – rozmiary chmury termicznej w kierunku radialnym i osiowym

97

τ – czas przebywania atomu w stanie wzbudzonym

χ – parametr określony przez (66)

ω – częstość światła laserowego

ω0 – częstość rezonansowa pomiędzy dwoma poziomami energetycznymi

ωobs – częstość światla laserowego widziana przez atom

ωx, ωy, ωz – częstości trójwymiarowej pułapki harmonicznej

ω – średnia geometryczna częstości pułapki

( )xζ - dzeta Riemanna

98

Z.6. Spis rysunków

Rys.1. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej

względem temperatury krytycznej). Linia przerywano-kropkowana prezentuje zależność opisaną równaniem

(21) dla nieoddziałujących atomów. Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem (22), uwzględniającą

oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów. Linia

kropkowana obrazuje jeszcze inne przybliżenie [6]. Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z

pracy [6].

Rys.2. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej

względem temperatury krytycznej). Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem (22) uwzględniającą

oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów, natomiast

linia kropkowana uproszczoną zależność (24). Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z pracy

[6].

Rys.3. Wykres zależności gęstości chmury od odległości od jej środka. Linia czerwona przedstawia profil

Thomasa-Fermiego (skondensowane atomy), natomiast linia niebieska profil gaussowski (chmura termiczna

czyli nieskondensowane atomy). R to promień Thomasa-Fermiego, natomiast σ0 to przestrzenny rozmiar cząstki

w stanie podstawowym, opisanej funkcją Gaussa.

Rys.4. Poziomy energetyczne rubidu 87

Rb. Linie po lewej obrazują strukturę subtelną, a linie po prawej strukturę

nadsubtelną. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D2 rubidu o długości 780 nm. Na rysunku oznaczone

są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w doświadczeniu wiązek: wiązki

pułapkującej, repompującej i pompującej. Rysunek wzięty z [7].

Rys.5. Schemat układu próżniowego: górna i dolna komora próżniowa oraz łącząca je rurka. Górna komora

wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z pyreksu, przez które wprowadza się wiązki. Dolna

komora jest komórką z kwarcu. Grafitowe wnętrze rurki łączącej komory zapewnia pompowanie różnicowe. [8]

Rys.6. Wiązki w układzie chłodzącym.

Rys.7. Znajdująca się nad MOT 1 soczewka ogniskuje wiązkę przepychającą tuż nad chmurą atomów i wybija

je w dół. Nie przechodzi ona centralnie przez środek chmury. Rozbiegająca się wiązka ma zaniedbywalny

wpływ na MOT 2.

Rys.8. Układ trzech identycznych stożkowych cewek wytwarzających pole magnetyczne o potencjale

harmonicznym oraz dwóch cewek wytwarzających pole offsetowe. Środkowa cewka stożkowa zwana jest cewką

Joffego. Jak widać stożkowe cewki mają wzdłuż swoich osi otwory, którymi do MOT 2 doprowadzane są wiązki

laserowe. Oś z zwana jest osią pułapki magnetycznej. Rysunek wzięty z [8].

99

Rys.9. Wykresy podanych wielkości w zależności od odległości od środka pułapki (kierunek radialny i osiowy);

a) indukcja magnetyczna B dwóch cewek w odwrotnym ustawieniu Helmholtza; b) działająca wtedy na atomy

siła F; c) odczuwany przez atomy potencjał V; d) potencjał V przy włączonej trzeciej cewce Joffego.

Rys.10. Kształt pola magnetycznego powstającego ostatecznie w naszej pułapce. Przez środek rysunku w

kierunku poziomym przechodzi oś pułapki. Jak widać wzdłuż osi pułapka jest znacznie szersza niż w kierunku

radialnym. Rysunek wzięty z [8].

Rys.11. a) zdjęcia cewek stożkowych w obudowach, przez które płynie woda; b) zdjęcie tych samych cewek

wraz z otaczającymi je pierścieniami, służącymi do jako rusztowanie do nawijania cewek offsetowych.

Rys.12. Przejścia następujące w wyniku pompowania optycznego. Wiązka pompująca jest wiązką kołowo

spolaryzowaną σ+, dostrojoną do przejścia 5

2S1/2 |F = 2> → 5

2P3/2 |F’ = 2>. Stan do którego przepompowywane

są atomy jest stanem ciemnym. W wyniku niedostrojenia mogą z niego następować jedynie rzadkie przejścia

(linia przerywana), przez co słabo oddziałuje z wiązką. Przez cały czas opisanemu procesowi towarzyszy wiązka

repompująca. Rysunek wzięty z [9].

Rys.13. Zależność częstotliwości oscylującego pola magnetycznego od czasu (tzw. rampa). Jej kształt jest tak

dobrany, aby podczas odparowania atomy w chmurze zdążyły termalizować. Częstotliwość pola maleje

od 18 MHz do 0,7 MHz.

Rys.14. Schemat układu stabilizacji lasera pułapkującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D - detektor ,

λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, AOM – modulator akusto-optyczny, Rb – komórka z rubidem, PBS –

polaryzująca kostka światłodzieląca, f - soczewka.

Rys.15. Górna linia - sygnał spektroskopii nasyceniowej rubidu 87

Rb linii D2, odpowiadający przejściom ze

stanu podstawowego F = 2 do stanów wzbudzonych F’ = 1,2,3. Linia jest nieco zniekształcona polem

magnetycznym w solenoidzie. Dolna linia – uzyskany metodą DFDL sygnał różnicowy górnej linii.

Rys.16. Na górnej osi częstotliwości przedstawione są odległości pomiędzy pikami, natomiast na dolnej

oznaczone zostały dokonywane przy pomocy AOM-ów zmiany oraz umiejscowione otrzymane w efekcie

częstotliwości. Na czerwono oznaczone są możliwe częstotliwości lasera, natomiast na zielono częstotliwości

wiązek pułapkujących w dolnym MOT’cie na etapie pułapki magnto-optycznej i zimnego MOTa.

Rys.17. Schemat układu stabilizacji laserarepompującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D -detektor,

λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, Rb – komórka z rubidem, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca.

Rys.18. Wykres sygnału różnicowego repumpera. Laser lokowany jest na przecięciu oznaczonych osi.

100

Rys.19. Schemat części układu optycznego służącego do wytwarzania wiązek laserowych o wymaganej

częstotliwości. Użyte symbole oznaczają: λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, AOM – modulator akusto-

optyczny, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca, f – soczewka, Shut - przesłona.

Rys.20. Schemat układu w górnej części stołu optycznego. Wiązka pułapkująca zostaje zmieszana z wiązką

repumpera a następnie rozdzielona na trzy wiązki i skierowana do MOT 1. Użyte symbole oznaczają: λ/2 –

półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka, PBS – polaryzująca kostka światłodzieląca, f – soczewka, Shut - przesłona.

Rys.21. Schemat układu na drugiej części stołu optycznego. Wiązka zostaje rozdzielona na sześć identycznych

wiązek, które następnie zostają skierowane do MOT 2. Droga jednej z wiązek pułapkujących częściowo

pokrywa się z torem wiązki służącej do pompowania optycznego. Użyte symbole oznaczają: PBS – polaryzująca

kostka światłodzieląca, λ/2 – półfalówka, λ/4 – ćwierćfalówka

Rys.22. Przebieg czasowy eksperymentu (oś czasu nie jest liniowa). Na kolejnych poziomach rysunku

przedstawione są: okresy działania lasera pułapkującego i repumpera, odstrojenie lasera pułapkującego, pola

magnetyczne MOT 2, pola magnetyczne pułapki magnetycznej, częstość pola RF podczas odparowania.

Rys.23. Schemat układu do obrazowania wyniku kondensacji. Wiązka po wyjściu ze światłowodu jest

poszerzana, a następnie regulowana przy użyciu przesłony. W kolejnym kroku ćwierćfalówka zmienia jej

polaryzację na kołową. Wiązka pada na chmurę atomów, przez którą jest rozpraszana. W efekcie za komórką

dostajemy cień chmury, zawierający informację o gęstości atomów. Przy użyciu układu złożonego z dwóch

soczewek na kamerze CCD otrzymywany jest ostry obraz chmury atomów w dwukrotnym powiększeniu.

Rys.24. Zdjęcie kondensatu wykonane przy pomocy światła rezonansowego. Zimne kolory oznaczają głęboki

cień, co oznacza dużą gęstość optyczną chmury.

Rys.26. Wyniki 160 pomiarów zależności frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc ze współczynnikiem

rozszerzenia niepewności k=2. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest

to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność

przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (21), natomiast linia przerywana dla oddziałujących

atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (24) dla parametru η=0,387.

Rys.27. Uśrednione wyniki pomiarów zależności frakcji kondensatu N0/N od temperatury T/Tc ze

współczynnikiem rozszerzenia niepewności k=2. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane

jest to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność

przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (21), natomiast linia przerywana dla oddziałujących

atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (24) dla parametru η=0,387.

101

Rys.28. Seria sześciu zdjęć kondensatu spadającego w polu grawitacyjnym Ziemi. Każde kolejne zdjęcie zostało

wykonane po dłuższym od poprzedniego czasie t po wypuszczeniu kondensatu z pułapki. Kondensat, który

pierwotnie był wydłużony w kierunku poziomym, w czasie ekspansji zmienił kształt i po pewnym czasie był już

wydłużony w kierunku pionowym.

Rys.29. Wyniki pomiaru zależności AR od czasu ekspansji t kondensatu. Linia czerwona obrazuje zachowanie

AR dla gazu doskonałego (dążącego do AR=1 – linia przerywana), natomiast linia czarna obrazuje przewidzianą

dla kondensatu zależność (60) [20]. Dość znaczna rozbieżność pomiarów od tej zależności dla małych czasów,

prawdopodobnie spowodowana jest dużą gęstością kondensatu i związanymi z tym efektami nieliniowymi

i całkowitą nieprzezroczystością. Każdy punkt pomiarowy odpowiada serii co najmniej 10 pomiarów,

a zaznaczone niepewności rozszerzone są o czynnik k=2. Coraz większe wartości niepewności związane są z

coraz większym rozmyciem na skutek opadania kondensatu.

Rys.30. Wynik pomiaru zależności AR od liczby atomów N0 w czystym kondensacie. Czerwona linia

przedstawia przewidywania wprost z równania Grossa-Pitajewskiego. Krzyżyki określają położenia punktów

pomiarowych, uzyskanych przez uśrednienie 200 pojedynczych pomiarów. Współczynnik rozszerzenia

niepewności wynosi k=1.

Rys.31. Porównanie wyników dopasowania dla małych kondensatów, przy użyciu profilu Gaussa (puste kółka) i

profilu TF (wypełnione kółka). Widać, że zastosowanie profilu Gaussa daje lepsze rezultaty.

Rys.32. Wynik dopasowania profilu TF do małego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 15 tyś.

Rys.33. Wynik dopasowania profilu Gaussa do małego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 15 tyś.

Rys.34. Wynik dopasowania profilu TF do dużego kondensatu, o liczbie atomów N0 około 200 tyś.

Rys.35. Otrzymane wyniki zależności AR od frakcji kondensatu. Każdy punkt pomiarowy odpowiada innej

liczbie N0, która rośnie wraz z frakcją. Linia przerywana pokazuje zależność AR dla czystego kondensatu od N0,

odtworzoną na podstawie rys.31 i dopasowaną do położenia punktów pomiarowych. Otrzymane punkty są

wynikiem uśrednienia 160 pomiarów, a niepewności pomiarowe zostały rozszerzone o współczynnik k=2.

Rys.36. Zachowanie atomów w różnych temperaturach: a) W temperaturze pokojowej atomy zachowują się jak

odbijające się od siebie sprężyście kule bilardowe, b) W niskiej temperaturze ujawniają się cechy falowe

atomów, c) Temperatura krytyczna zostaje osiągnięta, gdy długości fal materii atomów stają się porównywalne z

rozmiarami próbki, d) W temperaturze zera bezwzględnego wszystkie atomy znajdują się w tym samym stanie

kwantowym, a opisujące je fale materii są spójne. Rysunek wzięty z [11].

Rys. 37. Przekaz pędu i energii atomowi przy absorbcji fotonu. Rysunek wzięty z [5].

Rys. 38. Atom pochłaniając foton biegnący z naprzeciwka zmniejsza swoją prędkość. Rysunek wzięty z [22].

102

Rys. 39. Przypadkowy charakter kierunku emisji spontanicznej powoduje uśrednienie się w czasie jej skutków

do zera. Rysunek wzięty z [23].

Rys. 40. Na atom poruszający się w polu wiązki zwróconej przeciwnie do kierunku jego ruchu działa siła

hamująca.

Rys. 41. Rozkład szybkości atomów w chmurze dla trzech różnych temperatur.

Rys. 42. Krzywa Lorenza opisująca zależność prawdopodobieństwa absorpcji fotonu oraz siłę działającą na atom

w zależności od częstości fotonu ω. Maksimum absorpcji przypada dla częstości ω0, a szerokość wykresu

opisuje parametr Γ (tzw. całkowita szerokość połówkowa). Rysunek wzięty z [5].

Rys.43. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω0, b) dla ω < ω0.

Rys. 44. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω0, b) dla ω < ω0.

Rys.45. Poruszający się atom znajduje się w polu dwóch przeciwstawnych wiązek. Wypadkowym efektem

dostrojenia się do wiązki biegnącej z naprzeciwka i odstrojenia od wiązki biegnącej w tę samą stronę co atom

jest siła hamująca.

Rys.46. Wykresy sił, z jakimi działają wiązki na atomy w zależności od ich prędkości. a) dla ω = ω0 siły zależą

tak samo od prędkości atomów i w efekcie wypadkowa siła wynosi zero; b) dla ω < ω0 zależność jednej i drugiej

siły od prędkości jest przesunięta i w wyniku otrzymuje się wypadkową siłę hamującą – przerywana linia.

Rysunek wzięty z [5].

Rys.47. Dostrojenie obserwowanej częstości do częstości rezonansowej dzięki efektowi Dopplera. Rysunek

wzięty z [22].

Rys. 48. Całkowity moment pędu J atomu i jego moment magnetyczny µ.

Rys.49. Różnym ustawieniom momentu magnetycznego w polu magnetycznym odpowiada różna energia. Atom

po lewej stronie ma niższą energię niż atom po prawej.

Rys.50. Rozszczepienie poziomu energetycznego w wyniku efektu Zeemana. Po lewej poziomy atomu poza

polem, po prawej poziomy atomu w polu magnetycznym.

Rys.51. Zaabsorbowanie fotonu z wiązki σ + lub σ

– powoduje przekaz momentu pędu i przejście do stanu

wzbudzonego o odpowiednim mJ’.

103

Rys.52. Układ pozwalający chłodzić i pułapkować atomy w jednym wymiarze. W cewkach prąd płynie

o przeciwnym kierunku, wytwarzając kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w środku. Wiązki biegnące

wzdłuż osi z są kołowo i przeciwnie względem siebie spolaryzowane.

Rys.53. Wykres pola magnetycznego wytwarzanego przez cewki w zależności od położenia na osi z. Zależność

jest liniowa.

Rys.54. Rozszczepienie poziomów energetycznych w liniowo malejącym polu magnetycznym wytwarzanym

przez cewki. Częstości wiązek σ + lub σ

– są odstrojone w dół od częstości ω0, ale z powodu przesunięcia

poziomów energetycznych dostrojone są do energii przejścia na lewo lub prawo od punktu z = 0. W wyniku tego

silniej oddziałują z atomami znajdującymi się poza tym punktem i spychają je do niego.

Rys.55. Trójwymiarowa pułapka magneto-optyczna. Dwie cewki wytwarzają omówione wcześniej pole wzdłuż

trzech prostopadłych osi. Użycie sześciu, parami przeciwbieżnych i przeciwnie kołowo spolaryzowanych wiązek

zapewnia pułapkowanie i chłodzenie atomów. Rysunek wzięty z [5].

Rys.56. Gradient polaryzacji pola elektrycznego wytwarzanego przez nałożenie przeciwbieżnych kołowo

spolaryzowanych wiązek σ + i σ

– o tej samej amplitudzie i częstości. Polaryzacja zmienia się z przejściem z

punktu do punktu.

Rys.57. Siła działająca na moment magnetyczny w polu magnetycznym z zależności od rzutu mF i gradientu B.

Rys.58. Rozszczepienie poziomu energetycznego na pięć podpoziomów zeemanowskich. Kształt potencjału jest

harmoniczny, ponieważ pole magnetyczne również jest takie. Krzywa gaussowska przedstawia rozkład gęstości

chmury atomów w stanie mF = 2 w zależności od odległości od środka pułapki. Rysunek wzięty z [24].

Rys.59. Na skutek oscylującego pola magnetycznego o odpowiedniej energii następuje wyrównanie obsadzeń

pomiędzy podpoziomami zeemanowskimi w konkretnej odległości od środka pułapki, a przez wyrzucenie z niej

atomów najbardziej odległych czyli najcieplejszych. Rysunek wzięty z [24].

Rys.60. Przesunięcie poziomów zeemanowskich dla polaryzacji σ - i σ

+.

Rys.61. Schemat detektora rozdzielającego sygnał σ - i σ

+. Na ćwierćfalówce polaryzacje kołowe zmieniają się

na prostopadłe do siebie polaryzacje liniowe, a te następnie zostają rozdzielane i skierowane do fotodiód P.

Rys.62. Poziomy energetyczne rubidu 87

Rb. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D2 rubidu o długości

780 nm. Na rysunku oznaczone są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w

doświadczeniu wiązek: wiązki pułapkującej, repompującej i pompującej.