1

Statystyka – zadania 4

Janusz Górczyński

2

Zadanie 1

Rozkład prawdopodobieństw ocen egzaminacyjnych ze statystyki w grupie studentów studiów dziennych i zaocznych można przedstawić w postaci takiej tabelki:

2 3 3,5 4 4,5 5Dzienne 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03Zaoczne 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03

Przyjmując umownie, że rodzaj studiów jest zmienną losową X o wartościach odpowiednio 1 (dzienne) i 2 (zaoczne), a oceny reprezentują zmienną losową Y otrzymujemy f.r.p dwuwymiarowej zmiennej losowej.

3

Zadanie 1 - cd

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5 pi.x=1 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03 0,50x=2 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03 0,50p.j 0,17 0,26 0,27 0,16 0,08 0,06 1

Funkcję rozkładu p-stwa tak zdefiniowanej dwuwymiarowej zmiennej losowej XY (gdzie wartości zmiennej Y są „naturalne”, a zmiennej X „sztuczne”) można przedstawić w poniższej tabelce.

W tabelce tej podano także rozkłady brzegowe obu zmiennych losowych.

4

Zadanie 1 – co chcemy wiedzieć?

Interesują nas odpowiedzi na następujące pytania:

Czy rozkład ocen w obu grupach studenckich jest taki sam?

Jeżeli nie, to jaka jest przeciętna ocena w obu grupach studenckich?

Jaki jest rozkład ocen dla ogółu studentów?

Jakie są charakterystyki tego rozkładu (średnia, wariancja, odchylenie standardowe, dominanta itd).

5

Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5 pi.x=1 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03 0,50x=2 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03 0,50p.j 0,17 0,26 0,27 0,16 0,08 0,06 1

Interesuje nas rozkład zmiennej Y niezależnie od tego, jakie wartości przyjmuje zmienna X.

Zielony prostokąt „przykrył” niepotrzebne w tym momencie p-stwa pozostawiając tylko p-stwa brzegowe zmiennej Y. Korzystając ze znanych wzorów wyznaczamy potrzebne charakterystyki.

6

Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5 pi.x=1 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03 0,50x=2 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03 0,50p.j 0,17 0,26 0,27 0,16 0,08 0,06 1

06,05...26,0317,0201 EYm 365,3

06,05...17,02 22202 EXm 008,12

22202 EXEYYD 6843,0365,3008,12 2

8272,06843,0 DY

7

Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów

Wyznaczoną wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y można zinterpretować następująco:

przeciętna (średnia) ocena egzaminacyjna ze statystyki dla ogółu studentów to 3,365.

Przeciętne zróżnicowanie ocen (wokół wartości średniej) jest równe 0,8272.

Dominującą oceną egzaminacyjną jest 3,5

8

Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?

Rozkład ocen będzie taki sam w obu grupach studenckich wtedy, jeżeli zmienne losowe będą niezależne. Musimy więc sprawdzić, czy rzeczywiście nasze zmienne są niezależne. Jedna z metod to wyznaczenie kowariancji, jeżeli zmienne są niezależne, to CXY jest równa 0.

Jeżeli CXY będzie różne od zera, to będziemy mogli wyznaczyć jeszcze miarę siły związku między obu zmiennymi, czyli wsp. korelacji.

Z kolei w sytuacji, gdy CXY będzie równe zero, to dalsze pytania nie mają już sensu (rozkład ocen w obu grupach jest dokładnie taki sam!).

9

Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?

Wyznaczenie CXY wymaga wcześniejszego wyznaczenia innych potrzebnych charakterystyk. Wcześniej już wyznaczyliśmy EY=3,365 oraz D2Y=0,6843. Musimy jeszcze wyznaczyć EX, D2X, EXY.

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5 pi.x=1 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03 0,50x=2 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03 0,50p.j 0,17 0,26 0,27 0,16 0,08 0,06 1

5,15,025,01 EX 5,25,025,01 222 EX

25,05,15,2 22 XD

10

Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?

Obliczenie EXY wymaga wykorzystania f.r.p. dwuwymiarowej zmiennej losowej:

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5 pi.x=1 0,06 0,12 0,15 0,09 0,05 0,03 0,50x=2 0,11 0,14 0,12 0,07 0,03 0,03 0,50p.j 0,17 0,26 0,27 0,16 0,08 0,06 1

03,052...12,03106,021EXY 99,4Możemy już obliczyć CXY:

365,35,199,4CXY 0575,0

11

Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?

Jak widzimy CXY=-0,0575 jest różne od zera, tym samy zmienne losowe są zależne.

W praktyce oznacza to tyle, że rozkłady ocen w obu grupach studenckich są inne, tym samym mogą być też inne ich charakterystyki.

Wyznaczymy jeszcze miarę siły związku między zmiennymi:

139,04136,0

0575,0

6843,025,0

0575,0

12

Zadanie 1 – rozkłady warunkowe

Wiemy już, że rozkłady ocen są różne, wyznaczymy więc warunkowe funkcje rozkładu p-stwa zmiennej losowej Y przy założeniu, że X=xi

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5Y/x=1 0,12 0,24 0,3 0,18 0,1 0,06 1,00Y/x=2 0,22 0,28 0,24 0,14 0,06 0,06 1,00

Łatwo zauważyć, że rozkłady te różnią się np. dominantą, która w grupie studentów dziennych (X=1) jest równa 3,5 , a w grupie studentów zaocznych (X=2) odpowiednio 3.

13

Zadanie 1 – rozkłady warunkowe

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

2 3 3,5 4 4,5 5

Y/x=1

Y/x=2

A tak wyglądają wykresy obu warunkowych f.r.p

14

Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju

Wiemy już, że rozkłady ocen są różne, mamy wyznaczone warunkowe funkcje rozkładu p-stwa, możemy więc dla każdej z nich wyznaczyć wartość oczekiwaną.

X\Y 2 3 3,5 4 4,5 5Y/x=1 0,12 0,24 0,3 0,18 0,1 0,06 1,00Y/x=2 0,22 0,28 0,24 0,14 0,06 0,06 1,00

06,05...12,02)1/( XYE 48,3

06,05...22,02)2/( XYE 25,3

15

Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju

Wyznaczoną funkcję regresji I rodzaju można przedstawić graficznie:

E(Y/X=xi)

3,20

3,25

3,30

3,35

3,40

3,45

3,50

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

16

Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju

Wyznaczoną funkcję regresji I rodzaju można także zapisać w postaci wzoru:

225,3

148,3)(

xdla

xdlaxm

a wyznaczonym warunkowym wartościom oczekiwanym nadać interpretację:

W grupie studentów dziennych średnia ocena egzaminacyjna jest równa 3,48

W grupie studentów zaocznych średnia ocena jest równa 3,25