Sklad: lwona StaniecProjekt okładki: Mariola Fijałkowska

Recenzent: prof. dr hab. Tomasz Michalski

Copyright @ by D. Witkowska, I. Staniec, A. Szmit

Kopiowanie, przedruk, skanowanie i rozpowszechnianie całości lubfragmentów niniejszej pracy bez pisemnej zgody właścicieli prawautorskich j est zabronione

All of the products and software mentioned in this book are registeredtrademarks of their owners.

AleluandraMatuszewska

lsBN 83-921116-1-3

Wydawnictwo: 4'a\|.b. - Adan Domagała Łódź,, u|. Zbaraska 2|54Druk i oprawa: lNTERDRUKŁódź,, ul feligowskiego 4/6Wydanie INakład 500 egz.

Spls rnrŚclWPRowADzENIE

l. ELEMENTY RAcHIJNKU PRAwDoPoDoBlrŃsrwł...................9l.l. PoDSTAWowE PoJĘcIA ..............9|.2. Zvtgl.łNł LoSowA I JEJ RoZKŁAD..'.......'.'.... ...................l1

1.2.1. Podstawowe definicje...... ....................,111.2.2, Rozktadzntiennej \osowej............... ......................121.2.3. Parametry rozWadu zmiennej losowej ....... .............181,2.4. Zmienna losowa dwułvymiarowa,,,,,,..'.., ,.,.'.,'.,.,....22

l.3. RoZKŁADY TEoRETYCZNE ZMIENNYCH LosowYcH ..........................f41.3.1. Rozkład dwupunktowy i zero.jedynkowy.,.,,,,..'. ...,..241.3.2. Rozktad dwumianowy (Bernoulliego) ..........,,.,.......261.3.3, Rozkład Poissona...,.....,..'l,3.4' Rozkład prostokątny (jednostajny) '''...291.3.5. Rozkład nornlalny ,.',.,,',,' 301'3.6. Rozkład chi-kwadrąt. .......35].3.7, Rozkład t-studenta ...'......381.3.8. Rozkład F-Snedecora..,... .,.......,.,....'...4]

f. BADANIE STATYSTYCZNE I JEGO ORGANIZACJA....................43

2.|. PoDsTAWowE PoJĘcIA STATYSTYCZNE..'..'........... ..........432.2. BADANTE srATysryczNE................. ...........452.3. MprooyDoBoRUPRoBYoosłołŃ ...........462.4. METoDY ZBIERANIA INFoRMACJI STATYSTYCZNEJ, PoDSTAwoWE

ŻpooteDANYcH '.........'..........552.5. GRUpOwnNIE I PREZENTACJA DANYcH STATYSTYCZNYCH................ 5 8

f.6. PRZYKŁAD BADANIA STATYSTYCZNEGo'....'...... '..'.'........65

Spls rneŚct

3. ANALTZA STRUKTURY ZBIOROWOSCI ......................71

3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.

WSKAZNIKI STRUKTURY ......,...71MnRy oPISUJĄCE PRZECIĘTNY PoZloM ZJAWISKA '.,....,73MrARy DyspERSJr .....................93MrARy AsyMETRrr .................103Pn,q.TTyCzNE WYKORzYSTANIE ANALIZY STRUKTURYzsIonowoŚCl ............... ...'.....l 14

4. ANALIZA wsPÓŁzALEżNoŚcI zIAwIsK ................121

4.|. RozrL.łoDwUwYMIARowY, BRzEGowY, WARLINKoWY;TABLICA KoRELACYJNA.............. ...............121

4,2. ZelpzNoŚc sToCHAsTYCzNA I KoRELACYJNA................. .'.,...........' |f44'3' PoostawowE MIARY wSPoŁZALEzNoŚcI cECH...'..........................' l254.4. PnłrryczNE wYKoRzYSTANIE ANALIZY wspÓrzel-EzNoŚcI

ZJAWTSK ..............143

5. ESTYMACJA PARAMETnÓw ZBloRowoŚcl GENERALNEJ.147

5.l. PoDSTAwoWE PoJĘcIA ..........|475,f . Esryu,ąc;e PoDsTAwoWYcH PARAMprnÓw zslonowoŚcl

srATysryczNEJ................ .....1525.2.1, Miary średnie.,,.... .,....... 1525.2.2, Przedział ufności dlawskaźnika struktury'.,.. .....,,I575.2,3, Przedziały ufności dla miar dyspersji.,,.' ,...',.,.,..,, 159

5.3. WyzNaczpNIE NIEZBĘDNEJ LlCZEBNoŚct pnosy .,.,,...|6f5.4. Esryu,łcle PARAMETRoW KoRELACJI I REGRESJI LINIowEJ .......'... 1 66

5.4,1, EsĘmacjawspótczynnika korelacji liniowej '..,.',.'....,.,.'.,..',.'.' 1675.4.2. Analiza regresji....... ....... 168

Sps rneŚcl

6. WERTT'IKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH .......................... 1 85

6.l. PoDsTAwoWE PoJĘcIA... ......l856.2. TEsry NTEPARAMETRYCZNE ..................... 189

6.2. ] ' TesĘ weryfikujące hipotezę o losowości próby .... l906.2'2. Test zgodności rozktadu ł .......'.........,..192

6.2.3. Testy zgodności dwóch rozkładów empirycznych..,.'..,..',,...,.,., ]976.2.4, Test niezależności t ....,....204

6.3. Tssrv pARAMETRyczNE........... .................2086. 3. 1 . TesĘ weryfikuj ące hipotezę o wartości oczekiwanej

w populacji ...................2086.3.2. TesĘ weffiląłące hipotezę o równości dwóchwartości

oczekiwanych ................. ...................2166.3.3. Analiza wariancji..,. ......2236.3.4. Test weryfikujący hipotezę o wariancji w populacji

generalnej ....................2276.3.5. Test weffikujący hipotezę o równości dwóch wariancji

w populacji generalnej.. ....................2306,3.6. Test weryfikujący hipotezę o jednorodności wariancji ....,.....,..2326,3,7. Test weryfikujący hipotezę o wskąźniku struktury

w populacji generalnej.. ....................2346.3.8. Test weryfikujący hipotezę o równości dwóch wskaźników

struWury .... ...................2376,3,9. Weryfikacja hipotez doĘczących współczynników korelacji.... 2396,3.I0. Weryfikacja hipotez o istotności parametrów funkcji regresji,.242

7. ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK ................f45

7.1. SzeRpcr czASowE ................2457.f . INDEKSv TNDvwTDUALNE ............ .............2507.3. INDEKSY AGREGAToWE (zEsPoŁowE) ....'.......... .,..'.,,.'2557.4. INDEKSY GIEŁDoWE.. ..,,..,,,.,.2647.5. ANALIZA SZEREGÓw czAsowYcH ...,.,,...',269

7.5.1. Szereg czasowy bez sHadowej systematyc2nej............,.............2707.5.2. Szereg czasowy z trendem...... ...........2727.5.3. Szeregi czasowe ze sWadnikiem sezonowym.............................281

Spts rneŚct

8. STATYSTYCZNAKONTROLAJAKOSCI...............................fgl

8.l. ANeLIzł PARETo...... .....29f8.2. KARTY KoNTRoLNE ,.,.,,f94

B.2.1, KarĘ kontrolne dlą cech ilościo|vych.,..............,...'.......,..2968.2.2. KarĘ kontrolne dla cech jakościowych ..,....' 305

LITERATURA 311

Tłnucr sTATYsTYczNE 3t7

Wartości lcryĘczne rozkładu bstudenta ' .. . .. .... ... .. .. ' . 3 l 7

Dystrybuanta rozkładu normalnego ..'.. 3l8Wartości lcryĘczne rozkładu l ,..,....'.......3foWartościlcryĘcznerozkładuFishera-Snedecora, a:0,],,,,.,.... ...322Wartości lcrytyczne rozWądu Fishera-Snedecora, a=0,05........ '..324Wartości krytyczne rozWadu Fishera-Snedecora, a:0,025.,,... ...326WartościlcryĘcznerozkładuFisherą-Snedecora, a:0,0]....,.'. ...328|łartości lcrytJczne rozktadu serii............ ........'....... 330

Wartości lcryĘczne rozkładu znaków ..,332Wartości lcrytyczne rozkładu Durbina-Watsona.......,,.. ....'........... 333

Tablice parametrów kart kontrolnych,..........' ...,..,...334

WpnowADzEN!EZarządzanie jest terminem, dla którego wymyślono wiele definicji

okreś|ających to pojęcie w bardzo wąskim |ub szerokim znaczeniu. Niezalezniejednak od tego, jaką definicj ę zarządzania przyjmiemy, niewątp|iwie jego istotąjest podejmowanie decyzji zarórvno odnośnie do bieżącego funkcjonowaniazarządzanej przez nas firmy czy insĘltucji, jak i dotyczące przyszłego jejrr izerunku' Sukces w zarządzaniu jest wynikiem:- znajomości reguł i mechanizmów funkcjonowania zarządzanego obiektu oraz

otoczenia, w którym ten obiekt się znajduje,umiejętności szybkiego reagowania na określone, bieżące zachowaniaotoczenia (np. zmiany na rynku, czy w systemie podatkowym),

- zdo|ności przewidywania prrysĄch stanów gospodarki,umiejętności dokonywania oceny różnych wariantów działania i wybórnaj|epszej spośród wielu moŹ|iwych decyzji.

Podejmując decyzje zazwyczaj bierze się pod uwagę wtasną wiedzę,dośrviadczenia innych, ana|izuje aktualną sytuację i często wybiega myślamirr'przyszłośó: planując, przewidując lub tworząc własną wi{ę ..nowej

rzeczywistości''. Stąd teŻ d|a każdego menedżera waiznejest, jakimi dysponujenarzędzi ami wspomagaj ącym i proces decyryj ny.

Należą do nich szeroko rozumiane nretody ilościowe, których podstawyteoretyczne dostarczyły pewne dziaĘ matematyki. Niniejszy podręcznik zawieraopis wybranych metod staĘstyki opisowej i matematycznej oraz ana|iryrrspółzależrrości zjawisk. Metody statystyczne umoż|iwiają prowadzenie ana|izi dokonywanie ocen istniejącej sytuacji oraz pozwalają wnioskować na tematzagadnień, odnośnie do których brak jest pełnej wiedzy. Są również pomocnerv wyszukiwaniu wzaj emnych re|acj i między obserwowanymi zj awiskami.

Podręcznik niniejszy został prrygotowany dla studentów wszystkichł,pów studiów realizowanych na kierunkaclr Zarządzanie i Marketing orazZarządzanie i Inzynieria Produkcji jako materiĄ do wykładów, ćwiczeń i zajęóprowadzonyclr w laboratorium komputerowym w ramach przedmiotówstatystyka, statystyka w zarządzaniu oraz statystyka ekonomiczna. Został onzatem poświęcony szeroko rozumianym metodom statystycznym ze wskazaniemna możliwości ich wykorrystania w praktyce menedżerskiej.

Rozdział pierwszy poświęcony został powtórzeniu i uzupełnieniurviadomości z rachunku prawdopodobielistwa. Rozdział drugi stanowirvprowadzenie do statystyki. Zdefiniowano w nim podstawowe terminystatystycznę, pokazano etapy badania statystycznego, omówiono metody doborupróby do badari, atakie wstępnąobróbkę danych.

WpRoweozsHre

W rozdziale trzecim przedstarviono podstawowe mierniki statystyczne,takie jak miary średnie, dyspersji i asymetrii. Rozdział czwarty nwieraomówienie zagadnień związanych z ana|izą wzaj enrnych re|acj i występującychmiędry badanymi zjawiskami.

RozdziaĘ piąty i szósty poświęcono wnioskowaniu staĘstycmemu' czyliestymacji i weryfikacji podstawowych parametrów zbiorowości statystycznej.Przędstawiono równ ież zagadn ien i a dotyczące ana|izy regresj i.

Rozdział siódmy dotyczy ana|iry dynamiki zjawisk. Rozważania dotycząpodstawowych pojęć, rnetod dekompozycji szeregów czasowych oraz mode|ipozwalających opisać, zmieniające się w czasie' procęsy. omówiono w nimrównież indeksy statystyczne indywidua|ne i zespołowe oraz indeksy giełdowe.

Rozdział ósmy dotyczy zastosowania statystyki w kontro|ijakości.Wszystkie omawiane w podręczniku metody zostaĘ bogato zilustrowane

przykładami. Wskazano na warunki stosowalności omawianych metodi mierników. Całośó została uzupełniona spisem |iteratury, w którym starano siępokazać bogatą |iteraturę przedmiotu oraz tab|icami statystycznymi.

Serdecznie dziękuję Ko|eżankom i Kolegom z Zakładu MetodIlościowyclr w Zarządzaniu Politechniki Łódzkiej Za pomoc w ostatecznejredakcj i niniej szego podręcznika.

Łódz 25'I0'2004r. Dorota Witkawska

1. EleueruTY RAcHUNKUPRAWDoPoDoBlEŃsrwł

1 ,1. Podstawowe pojęcialjarriska o c|rarakterze lllasow-vll1 (a takinri zajrnuje się stat,vstyka) tlloże-

;lr o.qól traktorvać jako zdarzerria losolve. Nie oznacza to, ze rozpatrLr1enry' je.1crrralritt od ich przycz',n, a tylko podkreśla, ze tlie jesteśnly lr'statlie 1lrze-lzicć rq,ni|i1 zjawiska ze zbyt drrzą dokładrlością. Przy opisie poslrrgLrjenly

' rrtirr'czas ternlirlologią zaczerprriętą z raclrtttrku prarvdopodobieristrva, tnó-' .:; o zdarzeniaclt losowych, pralvdopodobieristrvie zdarzeń, rozk'ladacb prarv.. :].tiObieliStrva. Przedstarvinry teraz podstarr'otr,e 1lojęcia z tego zakt.cstt.

Cal'v rachurtek pralvdopodobieństlr,a opiera się tla aksjonrataclr. Pierrvot-.. lrl (zatetrr ttiedefittiorvaln1,rlr) pojęciem rv racltutlktt pl.alvdopodobicristrva jest

u tlltrzclrie clementarne a,l' W każdyrlt zjarvisku (dośrviadczeniri) nlożna defi-.rrlc zbiór zdarzcli elcmentarlrych Q. Zdarzenil losorve to dorvolne pod-

..ior.1, zbioru zdarzeń elementartlych. Jeżeli p|Zy tynl zdarzenie losorve A c ś)J)t Zbiol.eln zdarzeń eletrrelrtarnycll rd1, aĄ....' Ot, to nrórvinly, Że zdarzenia, (o), ,.., ł,1- sprzyjają zdarzelirt A,

Wśród zdarzeń losowych w,1,róznia się zdarzenie pervne fż, o któl.vnl na..'\\'l1o rviadomo. ze zajdzie (sprzy,jają nru rvszystkie zdarzerlia elenrentarne):lz zrJarzenie nienroż|irvc a, o którynr I]a pewno lviadotlro, ze nie zajdzie (nie

'i)I.Z}ja nru zadne ze zdarzeń elenrentarllych).Na dowolnynr zbiorze zdarzeń eletrrelrtatlrYch określa się furlkcję prawdo-

1iclt|obieństwa' P 'u

taki sposób, ze:ll kazdemu zdarzenitt |osor'venlu ,4 odpor,viada określona |iczba p : P(A)

Zwalla prarvdopodobietistrr,enl zajścia zdarzenia A, przy czynl liczba ta za-rr,iera się rv przedziaIe dorrrklliętynr <0'1>:

0śP(l)śl'll) prar,vdopodobieIistwo zdarzenia pervnego jest równe l:

P(A) = 1'

(1.1)

(i.2)

Jest to tzrv. aks.ionlatyczna definicja Kolntoqororva. CzyteInikorvi znana.jest Zapewlle rórvlrieżkIasyczna definic.ja prarvdopodobieristrva l-aplace'a Iub inIle (porórvna.j np. Z. IlelIrvig Il980ls. 10-50). Definicja podana pow'1,zej jest jednak cenna Z ttrva.qi na rvażtle cechy prarr'dopodo-b ietistrva. które uw'vou]<la.

'10 Et-Elrilrrutv RAcH L N KU PRRWDoPoDoBlEŃSTWA

(Ill) prawdopodobieristrvo zdarzelliil będącego sunrądrvócllzdarzeń A1i A7lvza-jenltlie rtykluczających się jest r.órr'ne sunrie prawdopodobierist\\,tych Zda-

rzeń.'

P(A, w Az) = P(A,) + P(.]. ) dla ,'1' . .4' rvvkluczających się. ( I .3)

Z pollyŻszej definicji ur rlika Ill'irl.]. ie prar'vdopodobielistrvo zdarzerianienrożliwego jest rór,vne zcro'

Przyklad 1.1

Sklep nreblorr1'sprzcdl.1c kl.zcsil z .'lt.crltle sost.1o\\'cgo. Wyroby te są wykonanez dręrvlra rv jedn1'ln z drrócIl odcrcrli:.ilśrri..jszirrl Itrb cicnltticjsz,vnl. Meble pakolr,arre sątak, Że nie da się ustalic odcicllia rr tltagazrllic'. ale dopiero po rozpakolvaniu rvsklcpie.Wiadorrro, ic \\'lnagaZ}.Ilic.jcst i6 kl.zcscl. jak I.órrIlicz. że lnebli jaśniejszych jest trzy.krotnic rvięccj lliz cicInrlic.jsz1,ch' l)elvicn kIicllt pragllic ktlpic cztcry krzesła' chce jed-nak, aby Iniały olre jedlrakorvy odcień' W zri'iązku z tYm sprzedarvca przynióslzmagazynu 4 zapakorvanc krzęsla. okr-eśl, jakie jest prarvdo1lodobieństrr'o. Że przynie-sione krzesła są w tyn1 saln)/lll odcieniu.

Rozwiazanie

Zdarzeniem elenrentarnyIn rv tyln przykładzie jest dolr,olna czrvórka krzeseł spo.śród szcsrrastu (zakładarn1,, Że 4 z nich to nlęble cięnlniejszc, a 12 - jaŚniejszc). Zbior

zdarzeń cletrręIrtarlrr,ch Iicz."- zate rll C,ao = l 820 zdaruęń, KaŻdc zę zdatzeń elęlnentar.

llych jest tak sanlo prarvdopodoblle, Zatem prarł'dopodobieństrr'o kazdego z nich wynosi

P(a\ =I 820

Irrteresuje nas zdarzcnie l polegające na tr,ln. ze rvszystkie 4 krzesła rnająten saIn

odcieri. Zdaneń elclnentarnych sprz},jających zdarzcIliu l .icst clrz =495 dla odcieniajaślriejszcgo i c| = l dla odcie nia cicninie.jszcgo. Pralvdopod<lbieństrl'o zdarzetria

I rvynosi zatcnr

p, z'_ 495-l -łi)6

I 820 r 820

Mozna zatenr porvicdzieć, ie pr.arr'dopodobietistivo. iŹ prz'vnicsiol1c przez sprzedarvcękrzesła są rv jcdrlakolvynr odciellitl rt-r,lrosi 0'27. e

Z innynli rvlasnościanii pralvdopodobieństrva nroże się CzyteInik zitpozllać nl.in. rv pracachZ. Flellrvig [980] s.50-63, S. Zubrzycki !9661 s. 63-75, A. A. Bororvkorv !9751 s.27-35.

Zl,tteltruR LosoWA IJEJ RozKŁAD

1 ,2' Zmienna losowa i jej rozkład

', 2.1. Podstawowe definicjeZnlienną losolvą X nazywanry kazdą funkcję o wartościach liczbowych

' ',, r rr istr.clr), okreś|orrą na zbiorze zdarzeń elenlentarnych.

Przr'kład l.2J':zlllr' zbior zdarzen clelnetrtarnych z przykładu l.1 i określmy na ttiln ztlrienIlą

..'xll .\. jako liczbę krzcse ł lv jaśnicjszynr odcicrriu lvśród przy'nicsion;'ch cztercch.

,.,l:liclttla 'Y rnoic przyjrnou.ać rr.artość 0' 1' 2' 3 lub 4'.,rz-cclsiębiorstlvo plodtIkującc pralki prowadzi badarria dot).czące okrcsu bczar,vary,j-

]]JLr) tlż}(kowania swoich rryrobórv. Zdarzcnienr elcInelrtarll1,lrr \\'fy|n prz)'padku jest

i.izJa z pralek, zlrrienną losorvą - ,,ży.rvotność'' lryrobórv rłyrażona n1l. rv nricsiącach.

z1lllictltla ta przyjnltrjc lr'artości będące liczbanli naturaln1,mi począ\\'szy od zera.i;ilrllą granicę trudno ustalić - teoretycznie zlnienlla mozc osiągac dowolllie duŹe.'r ltrtości.l)t-trir--It początkujący gracz gieldorvy zainrvestorvał srvoje oszczędności rv akcje jed-

llcj zc spó]lek i z niepokojem ślcdzi jej kur.s z dIlia lla dzień. W tynl przykładziezttlienllą losorvą będzic np. kurs akcji rr'spontnialrej spólki następlrego dnia. Jezelizllatll1' kurs dzisiejszy i rvynosi oll -T0. to kurs.jutrzejsz), lnozc być dolvolną liczbąl, przedzia|v < xn . 10oń, x,1 + |0oń> ' e

Jezeli znrienna losowa X przyjnlrrje skoIiczoną lub przeliczalną (rórt,no-

:1'nL|ze zbiorenr Iiczb naturalnych) liczbę rvartości. to llazywalny ją zlllieIlItąso\\'ą typu skokowego (znrienną losorvą skokorvą lub dyskretrlą)' Jezeli na-

. rlliast zbiór rvar1ości zmiennej losowej jest przedziałetrr rv zbiorze |iczb rze-. 'lr rl istych (w szczególności całynt zbioreln R)' to rlówinly, że Zmielll]a losowa..i t}.pu ciągłego (est ztlrienną losorvą ciąg,lą).

Przyklad 1.3

\\/ prz1'kładzie 1.2 zntierrne losorve z punktów A) i B) Są t}'pu skokorvego - pierrv.

''.l o skoticzonej. druga o przeliczalnej liczbie rvartości, natonliast zIrricntla losotva rv

lkcit' C) jcst zrrrienną ciąglą. e

Z pojęcienr ztnierlllej losorvej silnie lviąże się pojęcie jej rozkładu praw-.l.l1lodobieństwa' określa on, któle z rvańości zmiennej są przy'jnlorvane naj..rr.ściej - mają najrviększe prarvdopodobieństrvo zaistnienia, które rzadziej.:(.lzklad prarvdopodobieIistrva znrietlnej Iosorvej (lub po prosttl rozkład zlrriell-

11

4a'L EleNrrurv RAcHUNKU PRA\^JDoPoDoBleŃsrwł

nej losor,vej) llloze byc określallr' \\ t.óZll\ sposób: dla znliennej losolvej skoko.tvej przez podanie funkcii prau'doptrdrrtricristua lub d1'strybuanty, dla zntiennejlosorvej ciąglej prz}' polllocy lilllkc.ji g..stości praridopodobielistli'a lub clystry-buanty. Poniżej zdefinitIjenlr por.llllc llL).j!. jll

1.2.2. Rozkład zmiennej Iosowej

Znlietlna losorv.aItr.pLr skokorrego 1ll.zr jtltLrje riartości Xt,Xz,.'. (skoIiczo-ną lub nieskoliczotlą ilośó) z prarr'dtl1ltlcloLlicristliatlli7,l;, ]):, ... . Funkcją pra}Y-dopodobiclistrr'a zllrietltlej Iosolvej )'llazr'ri atll\ prZ) pol.ządkort,aIlie

r/HP(,ri)=p,, i=1,2..... (1.4)gdzie P (x ) j est prarvdopodobieri stu.ettt rv1'stąp ien i a rr artośc i x, oraz

ś,, =lllrl

dla zmietlnych osiągających skoriczoną |iczbę waftości,

( 1.5 )

Y,, =l/-! ! ( I 6 )

d la zIn ietlrlyclr os iągaj ących przel iczal Ilą l iczbę waft ośc i.Dystrybuantą zrrrieIlltej losolvej X typu skokorvego llazywalny funkcję

F(x/ określoną dla wszystkich |iczb rzeczyrvistych rv następtrjący sposób;

;r+F(x)=P(X Śx): Zp6 ='t,) dlakazdego r e R'-t, ś.I

oczyri,iście

( 17)

dla x < -r,.

dlax, <r(-r*,,

+ pt dla "r, < x < ,r-.( 1.8)

lol-F(.r)=]1''

Io'

ZłilteltruR LosoWA IJEJ RozKtAD

Przy skończonej liczbie rvartości ztniennej dystrybLrallta osiąga rvartość l dla 'trr'iększ,vch lub rorvnvcli najrviększej z osiąganych l'var1ości. Przy nieskoIiczonejliczbie lvaftości znrierlnej, lvartość dystrybuanty dązy do 1 dla x -) co . War1opodkreś|ić podstarvorve rvłasności dystrybuanty:

> .Ęr(") = 0, Jim F(.t) = l, ( 1.10 )

Y F(x) jest funkcjąnienlalejącą plzedzialanli stałą i prarvostrotlnie ciągłą.

Przyklad 1.4

określinly teraz ftrnkc.ję prarvdopodobicristrva idystr1'brrantę dIa danychz przykładu l.2 A).

Rozn,iazanie

Prarr'dopodobicństlvo' Że rvsz1'stkic krzcsla mają odcień ciclnniejszr' rr'vtlosi

"' 'ci l.l IP(X =0)=a " =:-::-:= -:-]-:-ł0,00055,Cło l820 i820

gdzie C ] - |iczba możlirvyclr kombiIlacj i czterech krzcseł cienrniejszy,ch (spośród

cztercch),

C|, - liczva sposobórv, na którc mozlla wybrać zero krzescł jaŚniejsz;,ch spoŚród

drvunastu.

Ci, Ci- Iiczba kornbilracji z czterelna krzcsłami cienrniejszynri i zeretn jaśrliej.

szych,

C,au - liczba rnożlirv-vch czrr,órck krzeseł spośród szcsllastu sztuk.

odporviedllio pozostalc rvartości znr ienlrcj losou'cj \\\'|loszą:

"' 'c| 48P(.Y=l)=Ę =U.UJ9cin 1820

^t 'c.,t i96P( X =2) = !J!- ł U.] jciu 1820

ci cl 880P(.Y=])-.I] "..'łcil 1820

14 . C: .ł95P(_Y=4)='l:. =u.j/Cło 1820

Wykres ftrnkcji prarvdopodobieństrva rrygląda jak lra rystrnku l.l'

IJ

14 ELerutEnrv RAcHUN KU PRA!l/DoPoDoBIEŃSTWA

Ą0,5 .l

0,45 ll

o o,ai;to u,Jc l

.q os l

T VZ1

= o1s-oo- 01

0 o - ł -|_-.- i>

0't 234|loŚć rrebli jaśniejszych

Rys. l. l ||,lkres funkcji pralldopodobieńsilla z pr:ykładu ],1

Funkcję pr.arvdopodobicristrva dla zlnieltnyclr o skończonej liczbie rvartości przed-starvia się rórvnicż często w postaci tabcli. onlarr'iane dane rv postaci tabc|arycznej wy-glądają następująco:

Zdefiniujerny te raz dysh.ybuantę tego rozk,ladu. Zgodnie ze wzoret]l ( l.8) dystrybtr-anta ma oostać:

F(x) =

0I

I 82049

I 820445

I 820t325

I 820I 820

I 820

dlax<0dla0<.rcl

dlal<.r<2

dla2<,r<3

clla3<;u<4

dlax>4

0

0,0005

0,0270,24

0,73

1

dla.r<0dla0<.r<ldlal<.r<2dla2<x<3dla3<x<4dlax>4

Tabcla 1.1

495

I 820

396

r 820

Wvkles tcj lirnkcji przcdstarviony jcst na ry'suuku 1.2

ZrvleruruR LosoWA IJEJ RozKŁAD

xLL

1

0,9

0,8a70,6

0,4

^ą0,2

0,1

-rrr€

-

dladowolnycha<b.

wazlla własność funkcji gęStości:

2

x

Rys. I 2 lt'ykres funkcji d1'.st4'[111,rsY pr:vkludtt l 1

d

Dla zrrriennej |osorvej rypil ciąg'łego nie da się okreś|ić funkcji prarr,dopo-dobieristrva. gdyż na ogól prau'dopodobieristrvo osiągrlięcia przez tą ztlrietlnąkorlkretllej. pojedynczej rvańości jest rórvne zero i nlożna co najwyzej nlólvic oprarvdopodobielistrvie, Ze Ztl]iellna losolva nalezy do pervnego przedziałtr. Dla-tego definirrje się tzw. ftrnkcję gęstości prarvdopodobieństlva.

Funkcją gęstości prarvdopodobieństrł'a zmiennej losorvej typrr c iąg,lego

llazywanly firnkcję/.ł), określoną na zbiorze 1iczb rzeczy'rvistych i spełrliającąrlastępujące warunki:

"f (,)> 0 dla każdego x e 'R, ( l.lt )

( 1.12 )

hI r, r ,

)IG)ar=P(a<x<b)

Z poir1,zr."idefi nicj i ny' i ka

ll\x)a;=1.

Frrnkcją gęstości prarvdopodobielistrva może b1,{ zatenl kazda funkcja cał-kor'va|na o lvartościach nietljenrnych i spełniająca rvarullek ( 1 .13).

Graficzna interpretacja rvarunku (1.12) jest taka, ze prawdopodobieristwoosiągnięcia przez nllienną X rvartości z przedziału (a,b> jest równe poIu podlrykresettl funkcji gęstości na odcinku (c,ó>.

( 1.13 )

to Et-Elr,teruly RAcHUN KU PRAWDoPoDoBleŃsrwł

Przyklad 1.5

RozpatrzIny tcraz dalte z prz1'kladLr ].] C). Zbudt1cnl1. ftrnkcję gęstości prarr,dopo-

dobieństrr'a przy załoŻeniu, Źc kazcla \\3rtosc kLrrstr.jcst jcdllakorr'o prarvdopodoblla".Przyjnlijnly llp', Źc bieżrya \\artoSc ktll'stl itltcrcstr.ja.clch nas akcjix6 jest rórrtla l0'

Wobec tego lrloilirve rł'ar1ości zIllicllll.-,j lc.sorl't-.j llalcŹą do przcdziałtl < 9,l 1>' Dla

rvszystkich.T spoza poclancgo pr.zt-dzillltr tirnkcja gęstosci lnusi b1''c zatent rórvlla zeru.

natomiast rvtyrn przedziale-. rtobcc zalozcnia .jcdnakoucgo prawdopodobictistrva, po-

rviIlna olla b1'ć frrnkc.ją stalą czr'li "/

(.r.) = c' dla kazdcgo -T €< 9,1 1>. Wartość c obli-

czylny korzystając z rr'lasIlości (l.l3):+t) 9 ]l +c 9 || +ą

1= Ifiu)ctx= lltx)c)x+ If@)dx+ I/G)dx= Jodx + Jcdx+ lodx=_ą 9 l| -.n 9 ll

= 0 + c.rl; + 0 = c(l | - 9) =2c.1

zate|n c = - . ogóllla postac ftlnkcji gęstości przedstarvia się następu jąco:

Io ala r<9,lr

/(.r) ={_ c||a 9ś'r'śl l,l)l0 dla r>ll.

Wvkręs tcj ftrllkc.ji pt.zcdstarr,iolly jcst na rysulrkLr 1.3

Ą)

:

I

T

I

o J...-......- l10 t1 12 13

R-t,s' 1'J l|,),kres Jilttltcji gęstości z \lrzyklaclu ],5 e

Dystrybuantę zlniennej losorvej typu ciąg.tego określinly jako funkcję

F(x) = P(x ś x) = _l

7ę1al c1la kaidego x e R .

1

s os

.. .l.o nieuzasadnione założenie prz1,jnlu.jenll, oczyrr.iście dla uproszczenia przyk|adu

( r.14)

ZMlENNA LosoWA l JEJ RoZKŁAD

Podobnie jak dystlybuanta znliennej losorvej skokorvej, dystrybuanta znriennejlosolvej ciąg,Iej:

> 0 ś F(x) Ś 1 d|a kazdego x, ( l.l5 )

'ż |im F(x) = Q, |irlr F(x) = l, ( l.16 )

.> F(x) jest t.unkcją nienlalejącą i ciąglą.

r.a podstawie dystrybuanty n1oZlla t.Ż ob|iczyó pr.arvdopodobielistwo, zex e (a,b >:

P(a<xŚb)=ha

=P(X śó)-P(X<a7= lfQ)dx- I.fG)a*= (l.l7)

= F(b)- F(o).

Przvklarl 1.6

określinly dystrybrrantę dla firnkcji gęstości z prz1'kladu l.5. Zgodnie z definicją:

17

,I

F(x) = I "f (,)a, =

'[o at.,,,n,*ila,

dla9śłśli =' .!)-@e" lll

'-)0dt+ )_cłt* ))dt d|ar>lI

--, 9J ll

dlax<9

[o , dlar<9 [,0 dla.t<e

= 1o*ż(,-9) dla9Ś.TŚl1 = 1'('-9) dla9Ś'r.ś1l

[o+t+0 dla-r>li I t dla-r>llWykres tcj funkcji został przcdstarviony'rra rys. l.4.

18 Ei.Etr,lEnry RACH UNKU PRAWDoPoDoBlEŃstwR

,it

1r-xrl

Rys. l .J l|,l,kres dystry"bttctnt.l, t|ltt ro:kłatltt : 1lr1'klaclu l'6

Zla1ąc dvstrr,brrarrtę lnoŻenrv oblicz1'ć prarr'dopodobicristr,vo tego. Że lval-tośćzn)ienncj losorvej osiągnie zaloŹony l)fzez |tas pozioll1' Spróbujrny'policzyc np. prarr,do.podobieństu,o tego, żęa) kurs akcjirvzrośnic o pottad 50ń.tztl. osiągnic rtartoŚc porrad 10.5:

P(x > 10,5) = 1 - P(;r ś l0,5) = 1 - r(l 0'5; = 1 _ ;

(10,5 _ 9) = 1 - 0,75 = 0,25 ,

b) cena akcji llic będzie u1'Ższa niŻ 9.8, tzn. kurs w1'niesie o<l 0 do 9,8:

P(0 < x < 9'8) = P(x ś 9.8) - P(x ś 0) = F(9,8) - F(0) =;(9,8 - 9) _ 0 = 0,4,

c) rvartość akcji zmicni się o nlniej niŻ3uń, tzn' prz1'jmic u'ar1ość zprzedziałv(9,7;10.3):P(9,7 <r < 10,3) = P(9,7 <.t < 10,3) - P(r = 10,3) : P(9,7 <.r < 10,3) -0 =

= P(x < l0,3) - P('r ś 9.7) = F(l0,3) _ F(9,7) =

1r=-(10,3 -9)--(9^7 -9)=0,65-0.35=0.3. C

1.2.3. Parametry rozkładu zmiennej losowejRozkład ztniennej losorvej jest charakteryzo\\any przez pewne parametly.

PrzcdstarviIll1' tu tt.z1 ]

|)o(|Sta\\ o\\ e - rr artość oczekiu allą. rr ariartcjęi odchylenie standardorve. Podobrrie jak fullkcje określające rozkład' parallletryte definiuje się osobrlo dla zmienn1'.'-' 1o'o1r,ych skokowych i ciąg,lych.

Wartościr1 oczekirvaną (nad ziej ą lnatenratyczną, rvartością przeciętną)ztttiennej losolvej,Yri'pu skokowego |1azywalrly rval.tość:

11 1a IJ 14

ł Mclitra rvynrienió rórr'Iliez In|le \\razne paranletr)'rozkladu. takie jak pafallletr\'poz5,c1jne' rrro.lnenty zrr'1,kIe icentralne' rr.spółczvrrnik asr,Illctrii iinne. Częśó z nich będzie onlórviona'jakol)aran]etlY zbiororvości statr'st1'cznej, z illnr,Ini nloie się Cz1'teIlrik zapozlnć rr, pracachS.ZuLlrz5,cki[1966]s'125-l30.Z.IIe)Ivig Il980/s. lI5-I63,J,Jóżlviak,J'PodgórskiIl995Js'.{ó-56'

Ztr.tl Et.t t.tR LosoWA I JEJ RoZKŁAD 10

E(X)_ź,,,,

dla znlientlych osiągających skoriczorlą liczbę lvaftości oraz:

E(X) =Zr, p,

( r.r8)

( 1. re),=1

d la zmiennych osiągaj ąc1,ch przel iczalną l iczbę lvaft ośc i.

Dla ztrrienltej losorvej L,v-pu ciągłego zdefinitrjenry rvaftość oczekir'vaną ja-ko:

E(X) = Ir7"(t),Lr

Waność l.,.ki''u'.,a odzrriel.ciedla przeciętn1 pozioIlt osiągalrr, przezztlrienną losorvą. Niekonieczrrie rt'aftośc ta jest najbardziej prarvdopodobna,llatollliast jest to średnia wartośc znliennej losorvej rł-vnikająca z jej rozkladu.

Warrość oczekirt.aIra posiada pewne wlasności, które sfornrułowane zosta])'rr' postaci porriŻszy,ch trvierdzeli':l . Nadzieja I-tlatetrrat-yczna (rvartośó oczekirvana) stałej róu'na się tej stałej.

cz.vli:

E(c)=ę. ( l.2l)

]. Wartość przeciętna sumy drr'óch zIlliellnych losor,vy,ch X i }'rórvna się sllnricrvartości przeciętnych tych zrlrieIln1,ch:

( r .20)

/ I aa\\ r.!L)

losorvych X i )'

( 1.24)

E(X + Y) = E(X) + E(Y) .

3. Waftośó przeciętna iloczynu dwóch niezależny,'ch ztniennychrórvlla się iloczyrlorvi rvaltości przeciętnych tych znlietlnych:

E('YY) = E(X)' E(Y) ( 1.23)

Pozostale drva paranretry: lvariancja i odchylenie standardowe Są trriaratlrizróŻtlicorvatlia (t.ozrztrttr) rozkładu' Inr ich lvaftości są nlniejsze, tynl rozklad jestbardziej skupiony rvokóI rvaftości oczekirvaIlej.

Wa ria n cj 11 zttr i e n tl ej lo sorvej,Y tt azYrr,anly'nvafi ośc :

D2 6) = E(X - E(X))', = I (.r, - E(X))', p,

dla znriennych losorvych typu skoko\vego oraz:

..[rrierdzeIriłteorazichdorvodynla|e,Źćnloinalll'in.wpracyZ. IlelIrvigII980],s. l0.1-l06

20 tLEMENTY RAcHUNKU PR'AWDoPoDoBIEŃSTWA

Dt (x) = E(,y- t(-y)): = -i,r

- r(.r'))t./ (r)1Lr

dla znriennyclt losorr.rch t}ptl ciągle-so.WariaIlcję lllozl]a róri.nież obliczyc jako:

Dt('Y) = E(X:)-Er(X).SfbrnlLr'lujenly, podobrlie jak dIa rvaftości oczekiwanej,

wyc h trr,i erdzeli(' dotyczącyc h lvari aIlcj i.l . WariaIrcja stałej rórr.Ila się zertl:

D21c; = g .

( 1.25)

( 1.2"r)

się stltltie

kilka podstar.vo-

2' Wariancja iloczytltt stałej c przez zrnienną losorvą X rór'vna siękrvadratu tej stałej przezwariatlcję znliennej losorvej X

D2 1cxy= c2 D2 (X) .

( 1.26)

iloczynou'i

3. Wariancja Sumy dlvóch ltiezależrtyclr znriennych loso*ych rórvtrawariancj i tych znriennych :

nt (x +Y)= n'6)+ n2 gy ( 1.28)

3. Wariancja różnicy dr,r,óch lliezaleŻlych znriennych losorwch ró,,vna się sr:-lllie wariancji tych znliennl'ch:

n. (X - },) = D. (X) + n2 ęr1. ( l .29)

Jako ze satna rvariatlcja llie posiada rvłasnej inter.pretacji, definiuje się na-i ej podstarvi e odcllylen i e standardou'e znl i ennej .

Odchylenicm standardowym D(X) zn.ńennej losotvej X nazyrvamy pier-wiastek krvadratorvy z rvariallcj i:

( r.30)

Przyklad 1.7

obliczyrny rvartość oczekilr'aną. rr'ariancję i odcltylenie staIldat.dorvc clla dallr,chz przy kładtI l .3.

Rozrviązanię

W przykładzie tyln znrienlla losorva X (ilość krzescł) osiąga .rvańoś ć 0, |, 2, 3' 4odpor,viednio z prarvdopodobieństr'varlri 0,00055, O,026, 0,22, 0,48 i 0,27. Nadzie |a ma-telnatycz|la liczby krzescł rvynosi rvięc:

D(,Y) = ^Jo'6)

Ó .frr'ierdzenia i ich <Jorvody z.rla|eŹc Iliozna ttl.in. \\,p|ac-\, Z. He||rvig Il980] s' l l3.l 15

Zt''tleunR LosoWA IJEJ RoZKŁAD a41l

5

t('Y) = Z',=,',1', : 0 ' 0'00055 + 1 0,026 + 2'0,22 + 3 ' 0,48 + 4 '0,2'7 =3 '

Wariancja tcj zrnicnnej uynosi zatcrn:

D) 6)=t(.r, -3)r/,, = (0-3)r .0.00055+ (l -3)2 .0,026+

.; r)) .0,22+ +(3 - 3)2 . 0.48 + (4 - 3)2 .0,2i =

= 0,6.

odchyIenie standardorve jest róu'nc:

D(X)=J0,6 = 0,7716.JcSt to wartość stanolr'iąca ok.f6,ń rr,artości oczckirr,anęj. co nic.iest zbyt duż;,ln odchv-lellictrr' zatcIlr rvańości bardzo odlegle od 3 są stosunkolvo lnało pr.arr'dopodobne . e

Przyklad 1.8

obliczlny rvaItość oczekirvatlą kursu akcji rla podstarvic f-ullkc.ii prarvdopodobieri.stwa wvznaczonej rv przykladzie 1.5:

+@ 9 lL l +ą l 1 ^Ill.E(-Y)= j,"/ttl,i.r= I*.0r/r+ Jx

.;ttr + Jr"0rlr=0+; ;...t1 * O=

=i.,,r*srrlro L tt L ' te

4Wariancja tego rozkladu rrlnosi

+,D= (x y = J{.r - l o)r./(.r),Lr' =

;- ll l +ąrz ,^ 1 '' '^' !d** i(..-10)t.0,1r.== J(l'-lU)-.Udt-J(1-lU)- -) J

=0*; (ł '. -'o'-100")|' *o=}i:;; |-.zsi=!,natolniast odclrylellie Standardo\ł.e

FD(X7 =./: = 0.5773.

t:Bardzo ntała lv stostttrku do w'artoŚci oczckilvanej (ok. 6%) rvartość odclr;,lenia

standardorvego jest tynr raze nl spo\\.odorr.ana ograniczolrylll przcdzia}eln u'attościzlniennej losorvej. 13iorąc pod urr,agę dlugośc przedziałv <9. ll> występorrallia zllriennejlosorvej odchylenie standardowe rr1'nosi ok.29o,Ą tej długości. e

E t. Et',l p ll ry RAC H U N K U P RA\ill D o P o D o B I E Ń STWA

'1.2.4. Zmienna losowa dwuwymiarowaW rvieltr gaIęziach Stat\ St\ ki. zrr laszcza ll atlalizie lvspółzalezności zja-

'u1.ę 11,ykorz1'sttrje się pojęcic \\ ie]t)\\\.llliat.tlrre-i zIrrieIlnej losorvej' Jest to, po-

dobnie jak rv przlpadku znricnncj Iosoucj jedno*1'nriarorvej (onrarvianej do-tychczas). firnkcja określotla Ila zbitlrzc zclarzeti elctnetltarIlych. Jednak rv rversjilr-rvynliarorr,ej kazdetliLt zdarzcIlitt pI'zr pclrzi1c1kou uje się łi liczb rzeczyrvist1'c|t.Przedstalvirny teraz bliŹe.i pojęcie zrllieIlllc.j drr.ttlir.nliarorvej,.

Drl'urvvmiirrorr'l1 zmiettltą losclrr,ą (,\, )'l rlazy'rvarrr1, funkcję. przyporząd.korvującą kazdenlu zdarzeIlil-l eletuetltat.llelllLl ., pa|ę |iczb rzeczyrvist1,ch (x,y).

Zntienną losorvą drvurvyltiiarolią (,\i}) rllozcltl1, tr.aktorvać rów,niez jakoiloczyll kartezjaliski drvoch zllliellll1.ch losorrr,ch,\ i }., okreś|onych na tytll Sa.

nlynr zbiorzę zdarzeń eletrrentarnyclr f).Drvuwyntiaro.ul,a zttlielllra losorva jest Ę'pu skokorvego. jeśli przyjnlrrje

skoriczoną lub przeliczalną liczbę rvaftości (.t,,.r,,), i:l,2,.... Zlnienna |osolva('{ },) jest Ępu skokolvego, jeśli tn'orzące ją zIriienne -Ł i I są obie typLr skoko-rvego' odpolviedlrio. drv'urv-vtlliarorva ztrlietltra losorva jest Ę'pu ciąglcgo, jeŻeliobie zlllieIltte losolve'{ i I sąt1'pu ciągłego'

Rozkład znliennej losorve.j lv przypadku clrvuwytlriarow),l-n okr.eślany jesttak sanro, jak rv jednowynriarowynl, to znaczy przy pomocl' tirnkcji prarvdopo-dobieństrva lub dystrybLranty dla znliennej skokolvej oraz filnkcjarli gęstościprarvdopodobieristrva i dystrybuarltą dla znlienIlej ciąglej, Poniżej podanry r'r\'-

mien i orte def i n icj e d la przypad ku drvurvynr iarowego.Funkcją pralvr|opodobieIistrva zmiennej |osolr'ej tlrr,ulv1'miarorr'ej

(.{ }) ty pu skokorv e go 11 az}'\\,allly przy,porząd korvatr i e

(x'.y,) ń P,l = P('Y = x,.I =];,) dla i.7 =1,2,... ( l.3l)

W postaci tabelarycznej fuIlkcję pr.arr.dopodobieristri,a znriennej losotvej drr.u-uynr i ar.olvej lllozn a przed stalv i c li a stę p Llj ąco :

7 o rvieIolq'nriarorr,5,ch znlienn1,cll losorr'r,ch IrloŻIra

fl 9751 s. 14-45. S. Zubrz;'oki !9661 s. 208-215.przeczrtaÓ *, pracach A. A. Bororr'liori,

ZH,tlEllrun LosoWA IJEJ RoZKŁAD ZJ

Tabcla 1.2Fu'kc.ia pra*'dopodotrielist*'a dla znriennej rosowej drvurvyuriar.ou.ej_x - -\--t't. - L- Il tj

.T1

X2

X1,

Ptt Ptz Ptt

Ptt P:t pzt

Ptt Pt:. ptt

PrPz.

P t..k

n --\- -.l'oy - L Ira Pą P.z P.tKIY^ -\-,. *rLPto - LIr.1- t

t=l t=l

Zbiór rvar1ości p,. =Ł,,, , i:|,2,''.,k nazywa|l-ly rozk|adem brzegolvvm

dla znlierlnej losorvej X Jest to jednorv.v-rniaro\Vy rozkład Znliennej X rozpatry-wally w oderwaniu od znlienności zmiennej |osorvej Ł Natonriast zbiór waftościp.1,j:1. 2,...,/jest rozkladenl brzegowynr dla zrniennej L

Dystrybuantą zntiennej losolvej thvurvymiaro}Yej C( }] typu skokorve-go tlazywallry fullkcję:

F(-t,v):I Zp, (1.j2)J' ś'Y'l/<}]

Funkcją gęstości prawdopo(|obielistrr,łr drvurvl'miarorvej zmicnnej |o-sowej (X ]) typu ciąg|ego nazywamy fllnkcję

f(.r.l;= liln P(r<X<.r-+Ąl.. l< )'< y + A_1,)

Zródlo: opracort'anie rr'lasne

Ąr+0,A1.+0 Ąt.AvFunkcj a gęstości lna następuj ące rv.lasnośc i :

} /(.r"",y)>0 dlax,yę4,+@ +r

z J JJ 6,1')d-rrlt'= l.

;:'-.F. J J.l r'' y)d.tdy = P(r:t < 't ś -r-2, }l <.l, ś J,] ) .

'rt .l l

( 1.33)

( r .34)

( l.3s)

( 1.36)

24 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDoPoDoBiEŃSTWA

Lączna dystrr'buantlt ztllienIllch '\- i )'nla następtljącąpostac:

F(r,),)=P(.Y <,r.)'<f )= .J ll(rr.r')cirr,/r' ( 1.37)

1.3. Rozkłady teoretyczne zmiennych losowychPlzedstarvinry teraz rr'aznicjsze teoręt\'czl]e rozkład-v ztlliennej losorvej jed-

norvynliarorvej. Zacznienly od rozkładórv zniieIlnej skokorvej: zero.jedynkorvego, dr'vulllialrowego i Poissona. a llastępnie onrórr.itlly u' skr.ócie rr1,.brane t1.py rozkładórv znriellnej ciąg'Iej: prostokątny, norlrla|ny, t-Studenta, chi.krvadrat i Fisllera-Snedecora.

1.3.1. Rozktad dwupunktowy i zero-jedynkowyZ rozkladem dwupunktowynt lnalny do czvnienia tvórr,czas, gdy

r,r, wyniku dośrviadczenia nlożellly tlzyskaó tylko jedną z drvóclr r'vańości zt-trien.

nej losorvej: r:1 lubx2 z prarvdopodobietistrvarni odporviednio p oraz 1.p' onló.lr'inry ten rozkIad szerzej dIa jego szczególnego przypadktl' Zwanego rozk|ac|enlzcro-jcdynkolvym, potliervaz ztllielrtla losorva osiąga rv trinl r'vartości 0 lub l.Funkcja prarvdopodobielistrva lr,tyt-ll rozk]adzie Illa oczyrviście postac

Tabcla 1.3

Podobnie łatrvo jest \\yznaczyc d1,str)'buatltę dla tego rozk'ladu:

f o dla,,r<0.

f(.i)=1,_, dla0śx<l.

L I dla.r->1.

Wartość oczekirr'ana ztnicnrle.j rr't.ozkladzie zer.o-.jedynkowyll] rlrytlosi:

6(,Y)=0 (l-p)+l't')=t), (1.39)

llatol'nrast wailancJ a:

D=(X)= (0*p)t .(1 - p)+ (l -7;)r . p -- p(t - p)

( r.38)

(r40)

Rozrmov re oRETyczNE z[,4tENNycH LosowycH 25

Przyklad 1.9

Klicntarni sklcpu z u'yposaŻenierl wtlętrz są kobiety i l.l^tęzczyŹtli.

70% kuptljących. W opisanvnl pr.zy'padku llrozna zdeflniorvaó znliennąna poprrlacji klicntórv sklcpLI, np. prz1,jnltrjąc:

rl, jcżcli klicntcln jcst kobicta.x:0' jcżeli klicntcnl jcst lnęzczyzna.Tak zdcfiniorvana zl.uiellna nia rozklad zero-jedy'nkot*y z p:0,7 .

podobicIistlva tej zrrriennej Wyraza się rvzorenr

[0,: dlar=0,P(X = k\:1

| 0.7 dla r' = l.Jcj r,i1'krcs został przedstarviony na rysrrnku l.5.

Kobicty stanorviąlosorvą okreŚloną

Funkcja prar.r'do-

1i'nq0,80,7

0,6

0,4

0,3 ?0,2'l0,1 l

-----0+--0

ł1,s. 1. 5 P r:ykład ov,y lD)kre s .f ltlkc ' , pravtlo;;odobie ńs Iv a d la ro:klad u :e ro-jeclvttkoltego

Dystrybuanta rv op i sylr'an1,m przyk]lad zie j est r.ólvna :

Io dla.'r'<0,I

F(x)=ło.: ctlu0<x<1'I

[1 dlax>lijest przedstar.viona na rl,sunku I .6.

-l

zo ELEtvlErury RAcHUNKU PRAWDoPoDoBIEŃSTWA

-1tt12Ą; s. l 6 P rz y k l a tl ov v lt, 1. k r e s tĄ,,s t rl, Ll u a n t 7- tl l u r o: k l ad u : e r o -'j e c|y n k ov e g o

1.3.2. Rozkład dwumianowy (BernouIliego)Rozk-ład drvttnriallorry występuje rvótvczas, gdy przeprol'vadzanry ll jedna-

kow1,ch doświadczeri, z których każde trloze zakończyć się jednym z dwóchrvynikórv: ,,sukcesen1'' z prawdopodobieI,lstrvetll p lub ,.porażką''zprawdopodobieristrvel-n l-1r. Znrietlną losorvą X ul tytll eksper1'tnencie jestliczba sukcesórv rv ir probach' Łatrvo zattlvaiyc, Że rnoŻe ona prz5,jtllorvać lvar-tości z przedzia|u (0,n}.

Funkcja prar,vdopodobieristrva rv rozkładzie Bernoulliego jest określoIla\\rzorelt-l:

( 1 .41)

Dystrylbuantę, podobnie jak poprzedllio, lr,yznacza się rr.g rvzoru ( 1 .8).Wartość oczekirvatla i lvariancja rv rozkładzie drvunlianowytrr są rórr,tle:

E(X)= np, ( r.42)

n'6) = np(r - p) . ( 1.43)

Przyklad 1.10

Pclvien aklvizytor prorvadząc1' sprzcdaz kalkuIatoróiv kontaktuje się z l 0 kliclltalnidzicnnie. Z dośrviadczcnia ri.iadonlo, ze prarvdopodobieristlvo zakrrpu kalkulatora przczklięnta rt1'nosi 0,2. Jaki jcst rozkład praivdopodobicńst\\'a liczby sprzcdanyclr kalkulato-róiv? obl iczr'c .j cgo paramctr.1,'.

RozKŁADY TEoRETYCZNE zMlENNYcH Losow/cH

Rozrviazanie

Znricrlną losorvą rv tynr przykladzic jcst liczba sprzedatr;'clr przez sprzedarvcę cg.zenp|arzy rv ciągtr jednego dnia. Ma ona rozk,lad dlvttlniano*y z n:10 i p=o,z. Ftrnkcjapralvdopodobięństlva, obliczona wg wzoru ( l .4 l)' przy.imtrje rvartości:

l0lp(-y =0) = '"' (0.2)0 .(0.g)rn = 0.107374 .

0!.1 0t '

co oznacza' że akrvizlor nie spr.zeda zadnego kalkulatora z prarvdopodobieIlstrvenr 0. l,t0l

P(X = 1; = .J-10.2)' .(o.s)o ł 0,268435 'l!.9! '

cz1'li prar.vdopodobieristrvo sprzedania jcdnego kalkulatora ri1'nosi 0,3 itd.Wykrcs tcj frrnkcji przedstart,ia się jak na rys. l .7:

0,3

^)ą0,2

0,1 5

0,1

0,05

0 -, o_'=,r=>10 11zJ+col/ÓY

Liczba sukcesów (sprzedanych sztuk)

Rys.1.7 Pr:vklatlotty wykres./ilnkc:ji prav'dopotlobictishra :ntiennej o ro:klatlzie Rernoulliego

Wartośc oczekirvana liczby sukcesórv rv opisan1,nr doślviadczeniu rryIiosi:

E(X)=rtp=10'0,2=2.Wariancja jcst rólvna:

D= (X) = np(l - p) = 10' 0,2 ' 0,8 = 1,6,

natomiast odchylenie standardowe:

D('Y) =,1;\x) =1,26 '

1.3.3. Rozkład PoissonaRozklad Poissona jest rozkładenl znliennej losor,vej skokorvej, z którynl

lllallly do czynienia w przypadkLt okreś|allia prarvdopodobietistr,r,a zajscia zda-

27

Ea.c.9

o

;oo-

ł

0

28 ELerueNry RAcHU NKU PRAWDoPoDoBlEŃSTWA

rzeri stosunkolvo rzadkich. takrcll -jak liczba Ltsterck ri'produkorvanej paftii ma-teriału. Iiczba zgłoszeri szkód. liczba czi1steczr-.k I.aclioakt1'lvnych cnritorratt1'chprzez substarlcję rr'klcitkilll okr.csię it1l' Jest to rozklad, rv którym poszczególnezdarzenia są niezalezlle cld siebie i pralrclopodobielistr,vo zajścia pojedynczegozdarzenia 1est takie salllo dla lvszr'stkich przedzialórv o stałej rozpiętości'

Rozk'ład Poissona jest przr'bliżetlielll rozkładLr Bernou||iego dla dużychprob (ll>1000) i Pt.z1' '-'.'.',.'-''

pralvdopodobielistr,vie zajścia zdarzenia (.'strkce-su") - prakn cznie p<0.1 .

FLrrlkc.ja prawdopodobieristrva rr. rozkładzie Poissotla o paranletrze i jestclatra u'zorer.n:

P('Y =o,=*, dlał= 0,1,2,,,,' ( 1.44)

ZarórvkiŹarórvek

gclzie:

e - podstarva logarytrlórv naturalllych,)" - sta|a, która jest rvaftością oczekirvallą i rórr'nocześnie .ivariancją |oZ-

kladu, czyli:

E(f)= n21X1=tr.

PrzS'klad l.l 1

W zakładzie rrytrvarzającynr Żarórvki lvadliu'ość produkcji rvynosi 40ń'pakorvaIle są rv paczki po 50 szttrk. WyzItaczyć rozkład Iiczby rvadlirv1'ch

( r.4s)

w paczce.ZIlricllrla Iosorva Iiczb1, u,adlirr1'clr Żlrórr'ck l.rra rozklad Poissona. WartoŚć oczcki-

rvana uvnosi:E(X) = )" = ł1P= 50. 0,04 : 2 .

Funkcja prarr.dopodobicńst*'a |lla Zatclll postać:

)^ -)l'( .\ - Kl---c -

K|.

i dIa kolcjllvch ł prz1jlnLrIe rr,ar1ości:

)0P(X =O)=:-e_) ł 0,135335,

0!

co jcst to w'artością prarr'dopodobicństrva, ie w paczce rvszystkie Źarórvki są dobrcj jako-ści,

)rP(X = 1) = 1- u-: = 0,21067 I

II

- prarr,dopodobieristir.o. ie \v paczcc nla|azla się jcdlla rvadlirr'a Żar.órr'ka. i dalc'i

RozxrRoy TEoRETYczNE ZMIENNYcH LosoWYcH 29

P(X =U=+, =0,2'706J1.,

)3P(X =3)=1_e_J ł 0'l80447,.''

W.vkres tej funkcjiprzcdstarviony zostal na rysunku (1.8):

Ą0.3 .j

OO

0,05

l-,=-__---- ? . .--a*-+-o l-.-.'r-.-o-. -e-o->0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

Liczba w ad|wych żarów ek W paczce

.t1.s. 1'8 Pr:1,kladowy llykres 'l^

tltk. .'

Jłrav.tlr4lotlobielistta dla ro:kladtt Pr;issrltltt

Na portyŻszyrn rrykrcsic latrvo zaurr.az1uc, Że najczęściej (z pr.arvdopodobień-

stweItl 0,27) w paczce zrlajdtrją się 2 ltrb 3 Żarólvki rr'adlilvc. c

1.3.4. Rozkład prostokątny Uednostajny)Jest to najprostszy Z rozkładów Zlniennej losorvej ciąglej. Matlly Z I-linl do

czynietlia rvtedy,, gdy prarr,dopodobieristrvo za.iścia zc|arzelia jest stale\\'pervrlym przedziale <a,b>. Przypadek opisany rv przyktadach 1.5 i 1.6 doty-czył rvł'aśn ie rozkładu j ednostaj nego'

3 ^^a u.z.c.9

o o 1ĄO -"-o-o3 nl6'"

Ia

a

30 Eleveruty RAcHUNKU PRAWDoPoDoBlEŃSTWA

Funkcja gęstości tego rozk-ladu jest daIla \\,Zorel]l

I o dla ..r.- < c,l1

"f(x)=i;- d|aą<x<b,lD-o[ 0 dlax>ó'

od jej rvłaśrrie ksztattu (patrz rysunek l.3) bierze llaz\rę rozklad pr.ostokątIr1'.

Dystrybrranta znliellrlej losorr'ej o rozkładzie jedlrostajnynr rvyraża się rvzo.renl:

( 1.46)

( |.47)

IoIlx-ć7

lł (x; = 1 'lD-a

L1Wartośó oczek

rórvne odporviedrrio:+Ó

?E(x) = )xJ Q

dlax<a.

d|aa<x<ó,

dlarżó.

irvana

)dx =

i rvariarlcja zrlliellnej o I.ozkładzie prostokątnynl są

Ó.^ | l ^ ą+bU+ l.r-t/.Y+U3-.) b-a 2

( r.4B)

( r.4e)

1.3.5. Rozkład normalnyNajczęściej spotykall1,'nl \\' natufze rozkladenl ztniennej |osor,vej ciąglej jest

rozl<ł:rd normalny, Zwall\, rozkIadcnl Gaussa-Laplace'a. Ciągla ztll ietrna Iosowa

X lrla rozklad tlonllalny (co oznaczanlr '\ - i'(l,. o)). .ieśli jej ftrnkcja gęstości .

określona dla wsz-vstkich rzeczl,rr'ist1'clt ri'artości r da się przedstalvić za pomo-cą wzortl:

[ (.-r,)t )

r^,-.\_ I -[-;]-l"/(.r)= t^ e'O.,l flT

gdzie:

x €(_ -;+.o),ll:E6.) - rvartośc oczekirvana,o:DlX) - odchylenie standardou'e,

tr:3 -141 59 .

( r.s0)

Rozxrnov TEoRETYCZNE ZMIENNYCH LOSOWYCH

Przykłady firnkcji gęstości dla róznych rvaftości paranletrórv p i o przed-starviono na r1's. 1.9:

ł-r-_N(oJ I

Rys. l.9 Funkcje gęstości rozklatlu nornnlnego dla ró:n1''ch lt,ttrlości ! i a

w arktlszLt kalkrrlacyjn5,rtr EXCEL rvystępuje funkcjaROZKŁAD.NORMALNY - daje otla tV lvyniku normalny rozkład łączny dladarlej średniej i odchyletria starldardowego.Skladnia:

ROZKŁAD.NoRMALNY (x,'ś r e d ni a, s t a ncla rcl _odc h, s ku nl ul ),gdzie:

J - argullrellt funkcji gęStości lub dystrybuanty,śreclnia - rvartość oczekirvana rozk,ladu,stąndard_odcł - odchylerlie staItdardowe rozktadu,skuntul - rvaftość logicztra' która określa rodzaj firnkcji. IeŻe|i skunnil na

rvartość PRAWDA' rvórvczas firnkcja ROZKLAD'NoRMAt,NYdaje rv l,ytliktr łączrlą funkcję rozkładtl - dystrybrrarltę. a jeśliFAŁsZ, rr'órvczas frrnkcja ta daje rv ltyniku funkcję gęstościprarvdopodobięIistrva'

Natomiast firnkcja ROZKŁAD.NORMALNY.ODW oblicza rvańość funkcjiod rvrotnej sku nru lorvan e go rozkład rt nortrra l tr e go,

Składrlia:ROZKŁAD.NoRMALNY.oDW(praw clop, ś redni a, s t andard

-odc h)

gdzie:pruwdop - jest to prarvdopodobieristwo odpolviadające rozktadorvi nor-

malnenlu.

31

i

l

I

ELrtr,leruTy RACH UNKU PrłnWDoPoDoslEŃstwR

średnia - jest to średrria arytnlct} cZna rozkladLl.statldąrd*odcł - jest to standardorr'e odchylerrie rozk,ladrr.

Charaktcrystyki liczbotrc zrllienncj Itlso\rlj ,Y - .V(7l.o) są rlastępujące:

p_E(Xl - rvaftość oczekirr'ana'

V(.n:d - uaria-nc.ia.

)v[e:p - l'nediana",

Ir4o:trt - uroda.

FLrnkcja .f('r) rtra następLrjące wlasności:_ vtasnośC Synrctlyc:ności - jest syrlletryczrla w'zględenl prostej "\:l/, co

oznacza, że speln iona jest zalezność :

P(Xrp)=P(,Y<tr)=0.5. (1.51)

- y'łasność jecłnomodalntlści - rv pLrllkcie "t:1l osiąga rvaftość nlaksynlal-llą. która rv1'llosi:

J6=-+, (r s2)6^,t zft

_ vlą'sno'ść :tlliettno'ści - rallliona f"r) lna.ją punkt1' przegięcia dlax= /!-O orazI- lt+ o' W|asnośó ta rviąze się z tzrv. rcgulą trzechsigm, u'g której przyjlrlLrje się, ze realizacje znrieIltrej Iosorvej ciąg,l'ej Xnie będą się rózrliI1 (irl plus. ill nlirlirs) od rvartości oczekirr'anej rvięcejniŻ otrzy odch1,Icrlia stanclardorte (rys.l.l0) rr,ytlosi lv przvbliżeniu l.czyli:

PU, _3o < X < 1t +3o)i= 0.9973 ł l . (1.s3)

R1,s. }.l0 l!ustracjtl gra.fic:tn regulł tr:ech signl

8 Mediuna inloda sąnriaralui średlriIlri, o któr;,cIl szczegółorr,o lllórvic bęclziellll, lv Rozdziale lll

RoZKŁADY TEoRETYCzNE ZMlENNYCH LoSoWYcH

- yvłosność określotlości - ksztah fLrnkcji gęStości za|eĄ od rvartościdrvóch paranretrórv.' 1t i o. Paratrretr 7l decvduje o przestttlięciu krzy.rvej, ttatom iast paratlett. o dec1'drrj e o ..snrukłości'' krzyrr,ej.

Przy rvykorzystaniu krzyrvej nornralnej r,v procedurze u,nioskor'vania staty-St}.czllego celorvę jest takie przeksztalceIlie jej rór'vnaIlia, ab1, [1,1" ona niezalez-lla od paratrletrórr.' Należy rvięc prz1'jąc, że zanliast obserrvorvanej znriellne.ilosolvej ciąg]lej X lr,prolvadzal-try tzrv. zmienną starrd:rryzorvaną U -

^"(0'l)'która iest zdefiniorr'atla jako:

( l.s4)o

Wl,korlanie statldar1'zacj i dla lvielLr ztrrientrr.clr jest irciążlirve. dlatego też Micro-soft EXCE'L prz1,'szedł |lall Z poll-locą i rv5'stęptr je w t.lil.tl f unkcjaNoRMALIZUJ(x'. średnia,' standcu.d-ot|ch';, która daje standaIyzolvanąrvartoścznlienrlej losorvej o rozk]adzie Ilort-llalIlvl-tl rv stosunku do r.ozkładu charaktery-Zowallego przez argllll,lenty średnia i stątldard odch, \Y skladni tej funkcji nla-rlry:

x - rvartośc" którą chcenl1' statrdat.1,zorr,ac'

ś r e d ni ą - śred n i a ilrvtll]etycZna r.ozkład Lr.

,s l a nd ur tl -otlcł

- od chy I ell ie standardolr'e rozk,lad Ll'

Fr.rnkcja gęstości rozkladtr ztlliellnc'i standat.yzolvane.l (tj. rozkładu nol-ma|nego standaryzorvancgo) o pafźulit-t|ach E(L):0 i o(L;):1 prz1,imuje po-staó:

r -l ,,:

f (,) = Ęn ',, (1.55)ltn

Wal.tości liczborr,e fLrnkcji f(u) są zestarviolle rv specjaln1'ch tablicach Stat\'-stycznyche.

F rrnkcj a ROZKLAD.NORMALN Y' S obl icza prarł'dopodobielistrvo standa-ryzowallego rozkład rr llot.tlral Ilego l o.

S kł ad'l i a f Ll nkcj i :

ROZKLAD.NORMALN Y. S(z)gdzie:

: - jest to rvat.tośc, dla ktore.i chcellly określió prarr'dopodobieristr,vo'Waność funkcji gęstości dIa standarvzowallego rozkładLl llornralttego l-lrożna

uzyskac przy polxocy fornluły

n Tablice statyStYcZI)e podstirlr,orr1'ch rozkładóri' zattlieszcztltlo rrl.' Poróu'na.j N,I. Praiilslia. J. PraIiriski: I]atlania s'!(1!1,,sl.,,L,:ne :

Warszarva 2001. s. 107- I ll.

koIicori.e.j części książki.excelettt, Wrdiirvniotrvo SGCW.

J.+ ElevEnlv RACH u NKU pRA'v^/DopoDoBrEr'rsrwA

ROZKŁAD'NORN'IALN\:(1, 1/ l. liLls:.)Fullkcja ROZ-KLADN()I{\l,'\l-\\..S oD\\j daje rr' rr1,ltiku tilnkc.ję od-

wfolllą do d-".str.1'buantr stltll,.illI.\ Z( )\\ llllclo t.oz-kladlt Ilorllraltlego' tZI-l. poda.jąc

rr,artośó pt.au'dopot1obic-listrt;t l-l-tclŻclllr tltt.zr Illać. dla jakie.| rr,artości .I jeSt ol)aos ią-caIl a. S k'I acl Il i a :

I{oZKł-A D'N O R \'I,'\ l,N \.' S. o D \\ (1l t. t tlt' t| c, p)gdzie

Pl.(lvLłop - prirrr clrl;li.lcltlbictlstri o |)rl})o\\ iadl1ące tiot.ttraltlcIntt rozkładorvi.

Prz1'kł:rd 1.12

Czas dokonania pl'zclcn'u finansoucgo nli konto Lrankolr'c (rv dniacli) llla rozklad

ltortrralIll' Ą (7:2) ' okre ślić:

a. jakic jest prarvdopodobieństir'o tlzr'sklllie picniędzi' lla kolrcic rr' czasic lricdłuŹszvnl llii 3 dni od zleccliia crperac.ji?

b. jaki plocent zlcceri zostiurie zlcalizouanvch * czasic od 10 do 14 dni?

Rozrviazan ic:

Czas dokorrania pl.zclcrl'lt jcst zlnietllla losorr'ą o r.ozkladzic X - ]lrQ:2). Zatcnl,

rr,artość oczekilr,aIla czastt dokotrania przclc*tr '"wnosi 7 clrii. a oclclr1'lcnic stirtrdarciolr'e

L Znricnnu staudar)ro\\ana 11 = + - 'V(O:t).

( v-t r-z\a' P(x ś3)=Pl

=ś1+ l=p(,, Ś_f)

Korz1,'stając z rvlasltrlści n,.),'aioaor,,.,u.-1 n.,a,rlv P(it Ś _2) =o(- 2)PonicrvaŻ lr,tablicach nlatrlr'ptlilłnc rral.toŚci Lllstrrbtrantv Lozklaclrr Iltlrlllalllego standa.ryzow.a|lego ti.lko dla ri.artości dodatnich. Zateln nrttsinly skorz)'stac z rv,lasllclści st,rnę-tr1'czllości rozkIadu not.tllalllcgo:*/ ^\ -/ -\-r D!,,.)\-l,/'(ł <-l)= P(ł >:t-, -r \.,' -/-' O(l)odczytu jąc rvar1osć z tab jic stalldart zcltr.ancgo rozkladtl llorlllalllcgo lllaln\':

o(2)= 0,9772.stąa/tr-1-\I A

- I 1- / I

r(,ł.s 3)= Pl +ś+ l= P(,, Ś -2)= l-o(2) =|-0.9712= 0.0]]8\Llj

Pr.arr.dopodobieIistlr'o Ltzr,skariia piclliędz1'na kottcic iv czasic nic dlrrisz-r'ln lliz jdni od zlcccnia opcracj ijest rriunc 0.0228.

b. P(l0 Ś X <I4)= "(Y =,ł=uł)= P(l'5 < ł ś 3'5)

Rozxr,cov rEoRETyczNE zMtENNycH LosowycH

7 rr'łasIlości prarr'dopodobieństrr'a lnal11\':

P(l.5 Ś tt <3.5) = P(tt< 3.5)- P(z < l,5).

I)ollicrr,aŻ rozklad nornlallll' jest lozkladcll ciąg,li,ln w,ięc P(u = l,5)= 9 Zatcrtl

P(L <1,5)= P(r, < 1,5).

Stąd

/, , (ro-7 ^--1

r4-i) ,r(lo <.r Ś 11)- Pl\2 2 2)

: P(tt Ś 3'5)- P(, < l.5)= o(3.5)- o(l's) = 0.99976] - 0.9332 = 0.06656,650ń z|ccęti zostanic zI'ca|izoir'alll'ch u.czasic od l0 do l.ł dni. c

1.3.6. Rozktad chi-kwadratJeżeli rozpatrznly'ciąg niezaIeżnych znrienIlych losorvych r1. 12,..',-T,,'

Z któr1'gh każda rtra r.clz-klacl Ilorttraltly'' ,V/l'o) oraz ciąg ztnielltt;.,ch Standaryzo-

ri,atlych Ll1,LĄ l... )L!]1 o rozk'laclzie ry10: l )' to ztllielrnl Iosort a f (chi-klvadrag

.jcst stttllą krvadr.atórr, zlllienllej losorr'ej L, ^tzll'.'

z. =ź,,.. = ś (', -J,). .

/=l t=l O-

przy czyur zmienna losorva y2 (tlla I'rO)podobicI.lstrva określorly wzorenl :

r(z')=tr*t- (r..)"'"-' ,-(t'5/ , (1.s7)

gdzie:k - liczba stopni su'oboclr'lt .

f (0'5ł) - funkcja ga|lll)la o argttIneIlcie 0,5ł:

r(o.sł) =-1,,,',o', n-,,l, .

0

Ztllicllna losorr,a i prz1,jrnttje rr,aItości cloclatllie

określony przez |iczbę stopni srvobod1' /r. Rozkład tenoraz odclrvletl ię statldat.dou,e rólvnc:

( r .5e)

.' Stopicri srr,clb6d.- to Iiczba niezaIeŹnr'clt rr,1'nikórr obser*ac.ji ponlniejszona o Iiozbę zlviązkórr,.kttire łącz-il rr1niki obser.rr'ac.ji ze sob11.

35

( l .5ó)

llla rozk}ad ftlnkcji gęstości prarvdo.

(1.s8)

i rtta rozklad calkou icietria u'artość oczel<irvallą

EI-El','lrxry RACHU NKU PRAWDoPoDoBlEŃSTWA

D|a ,t:1 oraz k:2 rozkład 72 jest rozkłaclerll skrajIlie asyn]etryczlll'Ill; dla

/r:3 rozkład jest jeszcze siltlie asyntetf)cZll\ ' Pt.zr rvzrastającej liczbie stoprri

srr'obody staje się bardziej Syn]etf}'czll}'. dla /r>j0 rozklad jest szy'bko zbieinly

do rozkładtr norrllaltlcgo' Wykres ftrrlkc.ji .tęstości rozkladu 7' d1a różnej liczbystopni su'obod1' przedstarviono na rysutiku I .I L

ti, tli

Ą,'s' }. } } |I.vkrts /itnkt'ji g(s1ol.ci ro:kladtt clti.hyaclrut

Rozkład 7 3"'t stablicorvany dla łś 30 lv ten sposób, Że d|a określonej

liczby stopni slvobod1.t iustalollej rr'aItości a(gdzie 0<a<l) odc;rytarre rvarto.

ści 7ir spellliają relację P]z' > z-.r,l= a, czy|i f:,.k jest taką rr,ar.tością

ztlliennej z), d|a ktcirej pole pocl kl.zrrrą gęstości - l.}a prawo od te.i u.artości -

jest rórvrre a, JeŻe|i /..>30, korz1'Sta Się tablic rozkladu llornralnego.Chcąc policzy,ć rvartość prarr'dopodobietistrv'a lLrb znliennej chi-krvadrat

trrożtra rr.ykorzystac arkttsz kalku lacy'.1 rrr, E XC E L.FLrrlkcja RoZI(tAD.Ct{I podaje itartość jedtlostrotttlego prarvclopodo-

bielistu,a rozklaclu 7r 1poclaje wal1ośc a).Sk]aclnia:

ROZKŁAD.CHI(x, s topn i c -sll

o b ody)gdzie:

't - rvartośó, przy' której nale4, oclczytaó prarvdopodobietistrvo,stctpnie_stt,obody - liczba stopni sw'obody.lrLrnkcja ROZKLAD.CIlI.oD\\, podaje rvartość fLlnkcji odrvrotllej do pra-

rvostronnej, skttnrulorr'aIlej firnkcji gęstości prar,vdopodobieristrva rozkJadu 7r'Podaje rvar1ośó f", . Składnia:

I{oZKŁAD.CH l. o DWQ, r alt' cl o7: o d o b i eń s hl o, s l oplt i e sv, o b o dy ),

Rozxt,ąoy lroRETYczNE ZMIENNYCH LoSoWYcH

gozre:

pralrdopodobialis^l,o - prawdopodobieristlvo zlviązatte zt.ozk|ac1erll 72 ,

slopnie_sv,obody - liczba stopni slr,obody.

Przykład 1.13

Zlnicnna ]osorva ,Y lna rozkład clli-krvadrat z 10 stopnianri su'obod.v. PoIicz1'cprau'dopodob ieristl'a:

a) P('ł' > 3,940) ,

, P(X <13,442),

Podaj rr'artość xo lr,icdząc. Źc:

c; P(X t "o

)= 0,9 ,

d) P(x < .ro )= 0.1 .

Prz1.klady b, c. d sądo rozrr,iązalliaprzy uŹ1,ciu pakictu konlputt.'t.orr'ego. np. Excc|.

Rozrviazan ic

a) Wartość P(x ' 3.910) = ,(,;n > 3.940) |nozcl11\. bezpośr.cclIrio oclczr,tacz tablic. W rviersztr o litllllcrzc rórvlrvnr l0 stopnionr sri'obod1'oi1najdujelny, liczbę 3.9.ł0.Liczba ta znajcirrjc się rr. kolunlnic dla której cr:O,95. JVlalll1' zatelll:

P(X ,3,940) = pki, > 3.9.ło):o,o.;.Korzysta.jąc z arkusza kalku|acyjnego na|cŻv tlzvć funkcji

ROZKLAD.CHI(3.940; l 0)' która dir rórr'rlicŻ trr.nik 0.9'5'

, b) Korz5,,stając zc ztlanr'ch u'lasności prarrdopodobicIistiva l11oŻcl-tl}, zapisaćP(X .13,442)= l_P(.\- > 1j.112) i z tablic nlozIla oc.lcz1,tać rr'artoŚÓ prarr,dopcldo.

biell'strr.a P(X >13,442). W1,nosiona zz:0.r. T.ak ll,ięc

p(x .i3,442)=l - p(x >13,442)=r- p(22 > I j.442) = t - 0.2 = 0.8.

, W tyrn przypadktr arkLrsz kaIkuIac1'jnr';nozc b;ć przl,cJatll1'tylko clo policzclliaP(.r > 13,412).

c) W celu zllalczicllia rvartośó -xo spelniająccj rr.arr'rnek P(x > "Io ) = 0,9 sztlkalnr,rr' tablicach ivartości nn pl.zecięcirt ir jcl.sza odpori,iadająccgo l0 .stopnioln srl,obodyi kolrrrlrnv odporviadająccj prarl.dopodobieIistrr.u q':0'9. Wartość "ro .jcst rórr.na 4,86.52.

W1'korzystując EXCEL w 1}'nl prz1'padku naleŻ1' uĄ'ć filnkciiROZI(LAD.C l-l LOD\\/(0.9: I 0).

37

d) Prati'ą stro|1ę podallego róri'Ilania lllozelny zapisać jako:p(x.xu)=l -p(x>,tn). cz;,li l-p(X>.ro)=0,1. Zatent

P(-Y >.Io )= 0.9 - co przcds1arr'iollo rr,pLrrrkcie c.) lliiriejszcgo pr.zrkłaclu. Arkusz kaIku-iac/rly lllozIla rr,1'kcll.z1''stać juz po przcksztalcclliach. ł

38 Errrutenty RAcHUNKU PRAWDoPoDoBIEŃSTWA

1.3,7, Rozkład t-StudentaJezeIi znliclll-la losolrlt Ć,.tt-tli rtlzkIacl }(0;l). zIuietltra iosorr.a ],rlla rozklad

1) o |iczbic stopni sltoboc1r ,ł i .jeś1i ztrlieIlrlc U i }'st1 lliezaleztlc. to zntientta

Iilosou,a 1= -ll k l]rZ}JlnLUe rozklatl t-Stutlcnt:r o ł stoplliach slvobody.

"1YFun kc.j a gęstośc i tego rozl< I adu prz;,, j nlr.rj e postllc :

./\ l-(0.5k ^-\ ' uilll)J\r)=--rJ] '-1.i 1l.oo;

r(O.5JV,t,r \. ł igdzie:ł - liczba stopni s.nvobod.',,

-( \ ^t \P) - lunKcJa ganillli.r o a|guurcr)cle p:

f (lr) = l'''' r-' Ur. ( l.6l)0

\\,irrtość oczekilr'alia i odcll1 lerlie statldardorr.e znlieltrle.j .lcrsorvej

są ocl-polr iedn io rótr'lle l ]:

aLr(')= o. D(t)= ł;;. (l'62)

I ^ --

Rozkład tego t\.ptl l]o raZ picrri'szl otrzr'lllał Goosset (pseudollinr Sttldent -

stąd llazrr.a rozkladrr).Rozk]lad t-StLtcle llta posiada Ilastę;.lLrjąe e ti łastlości:

- jest s1'trletr1,czIrt' z osią s1'tlletr.ii li pirIlkcic r:0,

- jecl1'rr1'n} parallict|elll tego roz.kłlrdtt .jest liczba sttl1ltli srvobodv t,- ,jego .'v5'kres przf i:omiila standaryzori'an1 rozhlad nornralnl', tzn. jest nieco

bardziej splaszczt-rny (patrz r,r's. l. !2),

- dla /r>30 jest zbieŻny do statldaI-vzo\\'allegLr r.ozkladu norrnalIrego.

..Rozkłlrd1-Studcntanlł'\1l1|1c\sćoczekirr'aIlądotlierodIa,ł>l.cldchlIeniesiandardolr,edlad.>2.

RozxrRov rEoRETyczNE zlltENNYcH LosowYCH ?o

ri

:;iśil;e;t'lnornra Iny

R.l.s. 1, /] Pot.rjlyttultie v,'.vh.asLt futtkł' jl gę.llojcl ro:klcttlu t-Srut|clt!tt : ro:kltuleiit tttlrlllalłry,tlt

Tablica lozkladtl t-Studenta jest skonstruo\\'alla \\l tell Sposób, ze przy da-

Ile.j liczbie sto1lrli 51yg[rtlcly,k i dla tlStalonej lr',artości rr (dia 0<a<1) odczytarla

rr'artość l.,.* speItlia r.u.lację I,|t|> t,,,,)= a , P,,'y cz\:|"n t 0.L jest taką rr'artością

zllrictine'i losou'ej t-Sttrdenta, Ze pole pod krz-vtr'a gęstości lla pra\Vo od /'', jest

t.órvtic polou'ie a i na ]err'o oc1 -1.'., takze połorr'ic rł (zatettl rr'' stttlrie cr).

"fablice rozkładtr t-Stuclerlta są tla ogol bttc]orvatle dla /c<=30. Jezeli liczbastopni srl,oboclv jest lr iększa od 30, kol.z'\ stallil z t.ozkIlrclii 110;l )'W arkuszu kal|<r-rlacyll1'lll EXCEL, ll,r.stęptlje [Lrrlkc.ja RoZl(LAD.T, która ge-

tteruje rozltład t.Stttdellta (a). Składrlia:RoZI(LAD'.fi.r' s/r-7'llllcslroI:otĄ,, slt.tlltl'),

gdzie:r - rvartość liczborr'a dla |:tóre.j szttkatrlr' prarr'do1lclclobiętistrr,a.

-t|tlpttie-'ttrobot]l,- Iiczba natLtt.aIna ozIiaczająca Iiczbę stopni srrobodv'.\'1t,ot1l, - oznacza'..iltlStroll|.}\'.. rlla by,ć rozklad (ieże1i .\IrOl1-1,): l" funkc.ia

RoZl(LAD'.I da'i.- u' rr.r'llikLt l.o.z'klad jcc1nostrontl5'' jeŻeli 'sll.rlllr,:]. firllk.cja ROZI(LAD.T da.ie rr. rr'r'tlililt r.ozkład cllr'ustrotlny).

Natonliłrst firnkc.ia ROZKŁAD.T.OD\\'- daje ri'uyniktr fLrnkcję odu'rottrą roz-

kladLr t Stuclenta dla podanych stopni sw'obodr'(daje u'rvvniktt lo.t ).SkJadrtia:

RoZ I( Ł A D. T. o D W Qlrł v c{ o p,' s t a p ll i e _s, v, o b o d v),

gclzie:pl.tnrclop - dlvustrolllre prarr'dopodobieristri.o zw'iązane z rozkłader-rl

t-StLrc'lenta.

s t o1t t t i e,str ct b o dy - I icztra stopn i srvobocil' rozkl acl Lr.

40 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA

Przykłar| l.14Zlnicnna losorva Ilna rozklad t-Studc'nta o l5 stopniach srvobodi,. oblicz |lastępu-

j ące prarr,dopodobieństrva:

^l r(rl> lJ4t).

ut r(rl < 2,13l),

cl P(r > ,ł,OT).

Znajdź rvartość lp:

alr(rl >tr)=0,002,

e) P(t>/o)=0,05.

Rozu'iazanie

a; ,n(l| > 1,34l) odcz1,tu.jenly bezpośrcdnio z tablic rozkladtr t.Sttrdellta. W rvier.sztt

odporviadającym l'5 stopnioIn srr,obod)' zrlajdu.icmy rr'altość l.34l. War1ość ta zrriqdttjc

się rv kolullrnie . dIa której a-0"2, czylir(rl > l.;,t l)-o.zWykorz1'stując firllkcjc arkusza kalkulac11ncgo uzrvalny formrrl1

I{OZKLAD.T( 1 ,31 1 ; I 5;2) i otr zy'nrujcnry *';'nik 0,2.

b)P(/l < 2,l31) nic da się. bczpośrcclrrio odcz1',tać z tablic' ale rr1'korz'vsttrjąc lrll-

strości prarvdopodobiclistua l)]oż-!.|l)\'zlrpisać r(l|<:,l;t)= t-,n(l|>z,t3l). oacz.-

tując z tablic P(l| > 2.l3l) rt iclllt. Żr.- rł:0.05' Zatcnl/,, \

Pltl<2.131)=1 0.05 = 0.e5.

Przv porlroo' arkusz kalkulacyjnego nrozclny policzyc \\' tYnl przypadku ty'lko

1,(]l|> 2.l.i.l) tRoZIiLAD.T(2'l;1;15;2)), pozostałe operacjc jak u.prz1,padku odczy-

tv*,anin z tablic.

c) P(r > 4,013) trie nloże by.ć bczpoŚrcdnio odcz1tanc z tablic. aby jc oblicztitvrvict.szu odporviada.jip.vnr l5 stopIrionr srvobody szukanry u,ar1ości 4.073. odpori'ia.i.'

ona kolurnnic dIa której a--0.00l. Nic jest to jednak szukane pfzez nas prau'dopodobicti.

strr,o. Zc rrzględtr lla sl,nictrię |trnkc.jigęstości rozkladu t-Studenta sztlkallc pr.arr.dopotii,-

bicristrr,o rr,1'nosi ,ł(r > .+.oz;)= ł! = 0.0005 .

W przy,paclktl korzr'staIlia z arkttsza ialkulac1,irle go nalcz.v rvpisać:

ROZI(LAD.T(4,073,15; I) i otrzl'nrarnl' rv1'nik 0,0005.

Rozrr,o,oy rEoRETyczNE zMlENNycH LosowycH

d)Wartość t., spcllliającą rr'al.ttltek r(l|> r.,)= o,ooz odczyttljellll' z tablic na

przccięciu rvicrsza odporviadająccgo 15 stopniorn srr.obod)' i kolunlny'odpori,iadająceja=0.002. Jcst to liczba 3,733.

W przypadku EXCEL-a należy uzvć ftrnkcji ROZKŁAD.T.oDW(0'002;l5), któradale rvynik 3,733.

c) Ab1, zna|cźc rvaftość to spcIrliającą tr'l.tt.tttlck P(t > t,,) = 0.os. korzr,staIn1''

z ułasIrości sY|11ctf\,cznoŚci ftrnkc.1i gęstości rozkładtr t-Studcnta, czyli pzl.jnrtrjenlya=2*0'05=0.l. co przcc1stalr.iono tta r\,sttnktt l.l3. Wanośó odczrtujelrry'z tablic na

Ill.zccięciu u'iersza dla ł_l5 ikolulurl1'odporviadające.j a=0,1" zatenr /.,=l,7.53. NicstetvEXCEL ltie daje ttrtai uproszczenia tak jak rv poprzcdnim przypadku. tzn. sanrcrnu trzebaznricnjć rrartoŚć aidopiero skorz1'stać z ftrllkcjiROZKLAD.T.oDW(0,1;l-5)' d

Ił.l,s' 1' ] 3 Iltt.strat'jtt gt.tt|it':ttu pr:l'kltlt]tt l. ] 3 c)

1.3.8. Rozkład F-SnedecoraRozldadcm F-Snetlecora, z ry i 12 stopnianri sr.vobody nazy\vanry rozkrad

prarvdopodobieristrva ilorazu :

F,rr. (l.6ll

i zi,'ąn i ezal eżn1,tll i zrlr i etrIr1, tll i l osclrr,t,t-t-l i"

ttla rozkł'acl chi-krvadr.at Z i.l Stoplliallli srvobody,

41

t.y'- r,

rl

i,r)

),

//vr

Ergivrnlv RACHUNKU pRAWDopoDoBtENsrwA

7,, nalozklacl chi-ku,aclrat z 12 stollnialui su,obocly.

Wartość oczr.kiwana irvariallcja zlllieIttlej loscllrej {.,. ,Ąoclporr,iedtlio róu'Ile:

r,(r';, )= -:,,1,, i 1,.-(,i +r'. -l)I\/,,'/=, Lr2-! r(r.-2J-(r.

Rozk'lad F-Snedecola jcst stablico\\ar)\' \\ ten spo

ttt ,(r.:)l(,.-+)

sposób. ze clla darl1'cll rr'artościpra"r,dopodobieiistrv i ustalonej liczbie stopni snobodl' licznika łr i nlialioultikan (dla llr>ll). podatla je st rr'artclść Ę' spe]lnia.1aca zaleŻnośc:

P(Ą.,,żF,)=o. (r 64)

2, BnołrulE STATYSTYcZNE t JEGo oRGANtzAcJA

2.1. Podstawowe pojęcia statystyczneStatyst1 ka jest rlatrką o nlctoclaclt Llacletlia 1lt.arr idloll'ości rr'vstępLrjąc1'ch

rr' zjarviskach nlasorr.y.ch. Zj:rrr'iskarni Inasort'r'nli tlaz1'u'a się takie z.iari'iska,które rr' duzej nlasie zdarzeń r'l'1'kazu ją |)u'\\,|iC prrrr.icllclrr'clści. .iakich llie nloztrazaobserrvorvać lv pojedvnczvlll prz1,pacll<tt. N,logą orle zacIrodzić rlieott.aliiczorląilość raz1'.

Przednliotenlr lradari statl'sty''czll1'ch jest zbiol.orr'ość stat}'St-'Yczllil. częstctl]azy\val]a rórvriież populac.ją lub masi1 statystvczną. Pod t1'rll 1lojęcieril rozLl-lllie się zbiór jedrrostek (osób. rłeczJ_ lrrb ziarr'isk) objęt1clr badarlienr staty-Stvczll},lll' które stallorvią zbiór eletlrelltórr. (edllostek) porr'iązan1'cll ze sobąlogicznie i.jednocześnie nie ident'vcznycll. Badana z-bioI.o.'vość staty'stl czna lllttsib1'.c jednoznacztrie okr.eślona i rv1,9d1ę1,'.'iolla' Dokonirje się tcgo trstalając celbadarlia iprecyztljąc kto lub co ttalez\,do baclarrej zbiclrou'ości. Poszczególnejednostki (elernerrt1.)' które u'chodzą rr, sklird badanej zbiororrości staĘ'sty'cznej,posiadają ri'spólną cechę (rvłaścIrr.ość). a jec1nocześnie roŹnia. się nriędzy sobąi nrlylri i. sob i e lr,łaśc i rr.vti-t i. cec hant i.

\\/1,lliki otrz\,l)]alle poclczas analizr' Statyst\cZnL'j odlloszą się jedvnie dobadanej zbiorou'ości stat1'sĘ,cznej. \Vllioski w\'SIll|te na podstarr'ie t1'ch lwni-kórv są popra\\'lle (tj. mają charaktei.r.ealIlr')' jeŻeii badalla zbiorolvość jest jed-ttorodlla, tj. sk,lada się z jedrloste-k. które rlie I.tiznią się ocl siebie z ptttlktu rr'idze-ilia celu badarlia' Jcdllostki stallorr'iące zbiororrośc jcdnorodllą I1luSZą pozoSta-rr.ać pod rr.plyrr,enl h'clr satllYch p|Z\,cZ}'|l głórrrlr'ch. a \\'YStęptljące Irliędzy'rlilllizróztr i corr'a Ii i e rwtl i |<a z dzi ał a n i a pl.Z\lcZ\ l.l tlboczrl'l.c h.

W literatttrz.c l"ozróŻllia się dr.'a r.oclz-Ąc zbiot.tlll,ości: Qctleraltlą i próbIlą'Zbiororr'ość ge neraIIlir.jest z,biorerll clorrclllty'cIr clcIrletltciri' (pl.zednliotórr,, zda-rzeli) rlieidelltl,czliych z ptlnkttt r','iclzenia badarlej cechr', obe.jnlrrjącrrl1 \\SZ}.St-

kie elentellty, będące pt.zedIllioteIlt badartia. ri' oclniesietlitr clo któr.1.ch cltcelt'lylormułoit.ać lr'nioski ogólne' [-iczba e,|elllentrlrr' z-Lliororr.ości generalnej tllozebyć skończolla, u.óttcZAs.jej liczelrność ozllaczalll}, pfzez,\,, ltlb nieogralliczotta'Natonriast zbiororr'ość próbna (próba statyst-vcznrr) .|est podzbiorelu zbioro-rr,ości getlet.alnej. obe.irlitrjący'llr część .ie'1 eletlreIltilrr,. rrt'branych rl'określonvsposób' Podzbiór tell podlcga birdallitt. a uzysliaIle rr.r''rliki są trogó1nialre na zbio-ror,vość getleralną. t'iczbę e leIllcIrtólv próbr''' 1cz1'li liczebllośc prób-v*) oznacza.ul\ przez n. ptzv cz5 rn ł < A'.

lj W literaturze cZęsto rrprori,adza sięprób},' q. pC)\')/żej -1[) obscI.rrac ji (por

po.ięcie ntllcj próbr' liczące.i do 30 eictnentós, i dużc,iK. Za.iąc Il988] s'52).

BeoerurE srATysryczNE I JEGo oRGANIzAcJA

Jednostkami statysty'czn1'mi (ednostkanri badania lub obseru'acji) nazy-wallly elemetrtv lvcltodzącc lr' sklad badanej zbiorow,ości statysry*cznej, będąceobiektanli obsertr,ac.i i podczas stat}'St}cznego badania zbiorolvości. Przy ustala-niu celu badania. określając zbiclrorr'clśc Statystyczl-lą nalery'rórvniez ściśle usta-lić' co jest rv danvtll przr'paclktt j cdIlostką badaną pod lvzględem: rzeczo\\.yll (colub kogo badarn;'). pI.Ze St|Zc|ll1\ Ill (gdZiL. odb1,.rva się badanie) oraz czaso\\yl]l

fiaki okrc's jest objct1 baclallictll lLrll u jakie.j chrvili ono się odbyu'a). Niedo-kładne okre ślellie jeclIlostek stat\ st\ czlll cll tlloŻe sporr'odorr,ać nieporórvnyrr,al-llośc otrz\'InaIil'ch clnll1'ch.

Pod pojęcietrr cechr,St:lt\st\'cZllcj roztlttlit.'sie rr'łaścirvości, clrarakter1.ztt-jące jednostki lr,chodzące rr' sklad badaIlej zbiororrości. Cechy te stanorvią kry-terittn podzialLl zbiororvości ltrb jej klasyfikac.1i. W zaleztlclści od celrr badania.lv atlalizach urvzględnia się t1'lko te z llicil. które są iStotne dla zjarvisk będącychprzednliotenlr badania. Na.iczęściej cechy statyst\,cZl]e dzieli się na:

ccchy mierz:rlne (ilościou'e. rvynlierne) to jest takie, które nlozlla lvyrazic za

l]oll-locą licz'b z. podanienr octporviednich jeclnostek nriary, (np' rviek rv lataclr'l1]asa w kilogratlach. dlugość rv t-trctrach. cZaS \V godzinacli, wartośćrr' złotórvkaclr),ccchv lriemierzir|Ire (akościorr.e. llieuytrlierne)' któr1'ch Irie nrozna znlie-rzyc, a.iedrrlie strtict.dza Się \\}'Stęporvarrie (ltlb nie) określollego rrariarlttldalrej cechy (np' plec. kolor, zau'od, rvykształcellie' dyscyplina naitkorva).

Chcr1c pozllać badarlą zbiorou.ośó Stafyst).czllą z pLttrktu rr'idzenia danej ce-chy, tlalezy ustalió rvariantv tcj cechy'rvystępLrjące u poszczególrlyclt elenletttórvzbiorolr.ości. Cecha ilościorva, z punktu lr'idzenia lllatelnat\'cZrlego, jest ztlrieIllląprzyjmującą rózne lr,at1ości dla pojedynczych jedrrostek badarlia' Ztniellna tanloże b5'c cią.ula lub skokorr'a' W pierlr'sz)llll przypadkLl zlnieIlna nloze przyj-tnorr,ać kazdą rr,artość z określotlego, skoticzonego przedzialLr liczborr'ego

'I, € {Y,u;,., 'r'.,n'>. W drlreiln prz1'.padktr ztliielltla rlloie przyjlliorrac jed1'Iiie crkre-ślotle l'artości z tego przeclzialLr. często naieżące clo zbiorLr liczb calkorr'it1,cIl.

W celu przcprorvaclzenia poplar"nc.j iulalizl, stat),st)'cznej konkretnej zbio-rorvości IlaIeży rr'1'brać takie cech1'' które rr istotny sposób charakteryzirją bada-Ile zjarr'isko nlasowe. Jeżeli elcrlretltr' zbiororr.ości gerleralnej pocldajeIlv bacla-iliotlt ze rr,'zględtl lla jedną cecllę. to tllatll\' do czl,niertia ze zbiororyością jcd-norr'ynriarorr'ą (jedllocechorr,ą). W prz1'padktl |ozpatl-a/watlia rvielLl cech nlórvi-Iny. cl zbio rorvości rvie|orr,t'm ia rtlrvcj (lvie l ocec Il orvej ).

Przvklad 2.1

Ailaiizując strLlkttlrę dcnlclgr.a1lczllą w.ojcri.ództri'a icidzkiego zbior.orvirścią statr.st\'czl1ą są \Vs7-\,Sc}' ttlicszkaticl' lro.jcrrÓdztrl'a. Jcclnostką staf5r511,g''-l. rv tcj zbirrrorrości

.jcst kazd1' rllie szkallicc. a ccchalrli charaktcry'ztrjący nli tę zbiorori,'osc inogą być: plec,

PoDSTAWoWE PoJĘclA sTATYsTYcZN E

l'llic.isce ZanlicSZkal1ia, w\.ksztalce|lie (- ccch1'nicrlricr.zalne) oraz rvick. dochód na oso.bę, rvielkośc (lub ivar.tość) spoz1,cia na osobę (- ccchy Inierzalnc).

Z danych opublikoivan;'ch rv Biulctl.'nie Staty'stycznlnr GUS rv stvczniu 1994 ro-ku, ll'vnika Że rv dnitr 30.09.l993 roku lnicszkańcórv rr'ojcrvództrva łódzkicgo bylol127,1tysięc)', co stanowilo liczcbność tej poptrlacji gcrreralrlcj. Stost1ąc jako kry,tcriunrklas1,fikacji ceclrę rricn-ricrzalną jaka. jcst plcć strr,icrdzotro. Żc kobict b1'lo 603,7 1-vs.

a |llęZcz\'zl] - 523.4 Ęvs. Z koIei klasl'1ikrrjąc jcdnostki stat)'St),czne (t.j. nlicszkańcólirr.ojervództrr'a) z pLlnkttr rr'idzcllia nlic.isca ZaInicsZkania okazaIo się. że rv lniastach za-lllięszkirvało rvt),nl czasic l048'8 t1's.. a |la \\,si - 78.3 t)'s' lliicszkańcólv' e

2.2. Badan ie statystycznePrzez badanie statystycz|le rozlll11ie się ogół prac nającycIl na celu po-

znanie określonej zbiororvości statystycznej. W stat1'sĘ'gę 11'1,róztiia się drvapodstarvorve dział},:

statysĘ'kę opisorvą, zajnlrr1ącą się statr,st1,cztly.nl opisenl badanej zbiororvo-ści,statystykę matematvczrrą, która lla podSta\\'ie infbrnacji pochodzącychz lvybranej prób1', rvykorzysttrjąc rrletody wnioSkowallia statr'stYcz|]ego'tttnozlirr'ia oszacolvaIlię l)arallletfó\\.zbiororr'ości gerleralrllj lub 1lozrvalazlvet1fikorvaó hipotez1' Stat),St).czlle o strLlktLtrze lttb parattletI.ach zbiororvo-ści geIleralnej na podstarr.ie pr.ób1''.

W zalezności od przijęĘ'ch celóiv l]ozlla\vcz\'clt, lr1'różriia się drvie pod-sta\\ o\ve nletodr badali stat-r str czrlr cll:

brrdirnia peltte (zrvatie itlaczej badarliiirlli \Wczerplliąct,tłli lttb calkotvitynii).obej nrtrj ące rvs:rystkie j ed nostki dane.j zb iolorvośc i staĘ'stycznej.badania niepe|rre (częścioll'e), obejnlujące niektóre jednostki badanej zbio.I.orr ości stat1'st5 czIlej '

Wybór korlkretrlej nretod1,.iest ściśle ztviązany Z celell] baclania. liczebno.ścią zbiororr'ości stitt1.sfi cznej, lllożiirr.ością dostęptr do poszczeeóllly,ch jedno-stek statysty.cz|l}/ch itp' \\/ praktyce rr.vbór rrietody wal.Llljko\Yan-v jest tcrtlritleIll(- okresenr czastl). rv jakinl nalez1', przepfowadzić badallie oraz środkatni finan-sonynli prze^laczonynli na ten cel' Badanie pe'łne nlittro niervątplilr1'ch zaletjest rv rvielu prz1,padkach tlietllożlirve.., a czasetll jest ztrpelnie niepotrzebne.Wórvczas przeprorvadza się badarlia częściou'e' Co llla llliejsce szczególnie lr'sytuacjach, kiedy:

przeplorvadzenie badania pełnego jest zbyt kosztou.tle lLlb lr,ynlagałoby zbytdługiego okresu czastr (llp. badarlie opinii publiczllej rvszystkich dorosIy'ch

45

'. ChociaŻb1' dlatego. że nloglob1' prolvadzić c1o dezorganizirc.ji ż1,cia s1lolecznego.

BłoRNlE sTATYsTYcZNE I JEGo oRGANlZAcjA

tllieszkaIicólr, Polski tla wybrarly tenlat),badanie porvoduje uszkoclzenie lub zniszczenie badanvch.jcclnostek (np. kon-tr.ola jakości prodr'rktórr' lnająca tra cellt określenie nlaks1'lllalnego czasu ichuzytkou'ania).celetl badaIlia.iest uz\'skanie rr'yllikórv przr'bliżollych - orientacyjnych (Ilp,okr.eślerrie zaitltereso'nvania nabyrvcórr' norr'ytl produktenl nrającynr rvejść narynek).

Przykłaclcrtl badallia pcllrego są splis1 Stet\ st\ CZ|lc" l.ejestrncjc stat1 styczlte i

sprarvozdarvczośó staĘstvcZna. Spośrod ntclod badania częściorvego lla Ll\\agęzasłrrgL1e nlctoda re1rrezcntacyjnrt. rv ktclrej do badallia StaĘ'styczllego rr1'bierasię jedynie pewną llczbę jednostek (próbę stat)'St}'czną) reprezetltLrjących baclarlązbiororvość' N,Ietoda ta jest najbardziej praii.idloir ą fortlli1badarlia częściorvego'ponieivaz zastosorvanie rachuuku prarvdopodobieristua plzy pfzenoszenirr ur'-nikórr'z losorr,ej próby na całą zbiororrość unroŻlirviit okt.cślerlie wielkości po-pe'lrrianego blędu, czego nie dają illne nretody.

W kazd1,Itl badaIliu sta1yst)'czl])'trl tllożtla ll}'nliellić kilka etapólv:1) l]r4'goto\\'arrie badattia. czvli trstaiellic cęltt oraz trletod1' baclania, określerlie

zbioror,r'ości Stat}StycZt]e.j i cech. które zostaną objęte baclanieIll,2) zbieranię tllatcriału Stat}'StYczllego poprzez Llezpośredllią obserlr'ację (pier-

\Votne zródlo) lLtb korzr,stante ze sprarvozdarr'czości statr'sĘczrlej ., (rt tórneŹródlo in|ornracji),

3) opracor.''atrie i prezentacja nraterialtt Stat)'St\'czllego, obejrnLr jące gt.upowallici zliczanie oraz odporviednie przedstarvienic danych stat.vstyczuych rv posta-c i szerególv Stat) Styczll\'ch. talr l i c. rr,l'kresów'. d iagranlórr' i tp.,

4) opis lLrlr rvllioskorvanie statysĄ'czIle.

2.3. Metody doboru próby do badańWykorzystywana w badaniach Stat\St}czll\ch próba poil'inna być reprezell-

taĄ'ir'tla, tzll. rvitllla opisrlvac strLtktut.ę zbiorortości uener.alnej z przyjętą do-k]I'adnością. Reprezentatylr'rlość prcib1. zalc.z1' ocl clrr'och cz1'tltiikólv: sposobudoborLr próby,oraz lr,ielkości (liczebllości) prób1.. ogtil nletod doboI.Ll pLób1,'dobadaIi rlożtlr podzielić na drvie grLlp}' a trlianorr'icie Itletod1'doboru losorr'egoi metod;' doboru nielosou'ego.

l. Przl'kIadenl dostęprlrc|r rJan1 ch stat1st1'czIll'ch s11 pub!ililrc.ie Clćxl,nego LJrzędu Statr'st},cznego(RoczrliIii i Biulet1'ny Statt'str'czIte) ol.az Wo.ierl,ód;:liich Urzęclórr, Statr'str'czIt1'ch.

MEroov ZBIERANIA lNFoRMACJI STATYSTYCZNEJ. PoDsTAWoWE ZRoDŁA DANYCH 47

Dobór |osorvy jest zlr.iązarly' z dokorlyrvatiienr losorvalria poszczegó|rl.vchjedrlostek. l)rzy cz}'lll kaida jedrrostka baclancj zbiorclrr,ości tlrusi tniec takie sa-

Iilcl prarl.dopodobielistrr,o lvejścia do pl.ólly,. Dla zastosou'allia tlretod clobot.tl

losorvego nie jest \!\|llagalla zllajoIllość paranletrórv cal'ej zbiororvości. .Ieżęli

.jeclnak parall1etĄl te Są Znaltc, to tllożlirr,e.jest lr}.korzvstattie takich rlletod, którezlnrlieiszą rr,ielkośc pr.ob1'(a t\'|1l Sal]l\'ll1 liosztl'prorr'adzotrr'ch badari)'o próbic. która spełniłl postLllat Iosolvego ll.l'bot'tt lllolr'it"lly. Że .iest nieobciążo-na. tzti. że je.i strtlktura jest podobna do stl.LlktuIy zbiorolvości gerreralnej. Jeślipróba jest rlieobciąŻona i odpotr iednio cluza (liczna). to.jest rc1rrezentat\'}vna.'.'.lezeli prótla jest losowa. to \vfaZ Ze \\.ZfoStel]l liczebności rr'zl.asta stopierl repre-zelltatyrvności. W t1'nl przy'padkrr dzia|a prawo ri, ielkich liczb.

W praktyce rr,ykorzystLtje się rr,icle różnych schentatórv losorvania eletrretl-

torv do prÓLl.i'. Losorr,atrie może llliec charakter jeclnoetaporvr' Ittb rvieloetapor;tr''l "\alezy prz1' t1'nl zazrlaczy.ć, ie .jednostki losolvania tlie za''r,sze są rórr,trocześlliejednostkanli badania (czyli jedrlostkanli statystyczrlvnli). W zrviązku z Ę'rn lo-sou'anie dziclirny na:

Iosorr':rlric indyrr.idualnc, rr' któt-vrri jednostka losorvatlia .jest .jec1llocześniejednostką badania !ednostką zbiorou.ości).losorv:ruie zespo|orr.e. rr, którt,trl jec1Iltlstka losorvatria sklada się z perrncjI iczby, jednostek baclan ia.

Innvnri sIorv1,, dobór zespoIorir'' jest tllctodą polegającą na losolr'atrilt triepojedyncz-vch jedrlostck. lecz zespolóri' .jecllrostek badania. Pt.zy losorvallitl ze-spolorv"vtlt jedIlostki loscrlr'allia obejnlrr.ją clrr'ie lrrb uięcej jcclIlostek badania'Przy'kladenl losou.atlia zespołolr.ego nloze br'ć r'n.vlosorr'atlie zespolu ulic clanegotlliasta, zespolu lllieszkaricórv datlego osiedla. grupy ziirr'odolr'ej itp. operorvaIlierózrlynri kategorianli jednostek porvodLrje. Ze to Salr1o losorr'attie nloze b-vć raztlrr'ażallc za zespolou'e. a drlrgi [aZ za irldl,rviduaIne rv zalezności od tego. cz1.

odllosi się ono do jednostek badarria czy losorvallia. Na prz'vklad losorr,anieperr,ne.j liczby gospcldarstrv donrorv1'ch będzie Iosorvatr iem zespolorvynlri'odniesiettitr do poszczególrlr,ch osób. tlatotliast losorvatlienl irrdvlvidr.ralnl'llru.odniesietliu do gospodalstrv dotllolvych' Mozlla Zateln Zatlwai.:,ć, ż'e losor,va-

tiie zespolorr'e nla cechy hierarchiczrlości.Podstarr'orvyllr rvarlttlkierll realizacji któr.egokolu,iek ze schenratólr' loso.

rr.atlia jest posiaciatrie tz'uv' operatu |osorvani:r próby, czyli rr'y'kazil obejmuią-cego wszystkie jednostki badanej zbiororł,ości i zarvierającego szczcgólorveinfornracje umozlirr.iające bezblędną identyfikację rr'ylosorvaIl.vch jedrrostekzbiorolvoŚci' W prą'klat|zię 2.l operatetu losorr'atria jest konlpletn1' spis tlriesz-kalicórv lvojervództrva łódzkiego.

'" Por.órr'na.i pr.acę: K. Zrrj.p Il9!t8|' s. 52

BADANIE STATYSTYCZNE I JEGO ORGANIZACJA

Wyróznia się drva podstarvorve scherrraty losorr.alria do proby:losorvanie nicograniczonc. w któr1.rlr lvylosorvatlie pervnej jednostki loso-wania nie ograIlicza n-roilirr'ości rrvlosorr'ania do tej prób;' jakiejkoIrviek in-nej jednostki losolania.losorvallie ograniczotre. któr.e l)c\\n\'|)l jednostkorl losorvallia nie pozr'valazlaleźc się lv tej próbie rórv'trocześllie,

Nieogralliczon1, dobór losolrr .|e st podstarvou'ą Ilietodą tlzyskilvania Iepre-zentatyrvnej zbiororvości probllej' \\r tllctoclzie tej każda jednostka lna Zape\V-llioną szansę dostania się do prób1' lla zasadzie cz\'Stego pr.z1'padku.

Przyklad 2.2

Pr.zr'kładeln losorr'allia nico!|.alliczt.llL'ro Są gry' Iiczbori.c w svstcn)ic Lotto.W zależriości od t1 ptr gD' (np. ..|Vlal1 Lotck'.. ..Dui1' Lotck'' itp.). za ponlocą tzw. ma-szyny losująccj, dokolrtrje się doboru Zcsta\!'u kilku liczb. W t'vnl przvpadku nrallry doczr'llietlia z losorvalrictn indylvidua1n1'lll' a operateIn losorvallia są rrszystkie liczb1'bio-rącc udzial rv losorr.anitt (np. liczby od l do 80), spośród który,ch rvybicra się kilkucle-lnelltorvą 1lróbę. e

W prakt1,cc stosuje się rólvltieŻ irlrll,podzia,l schetllatórv losolvania'a tlliattorvicie losorr'irnie Iticzirlcżne. ZwAlle inaczej losorr,aliielll ze zrvracallietlloraz losorvanic za|cżne, cz1.li lg5o11.llie bez zwracania. W pl.zypadkll losorvaniirze zr,vracatrienr prarvdopodobieristrr'o rvYlosorr'ania darlego eIeIlreIrttl do próbyjest zarvsze takie sanlo, podczas gdy tv przypadkLr losorvaltia zaleznego, pratv-dopodobieristrvo rvylosorr'atlia konkretnego eletlretrtu do pr.óby zrviększa sięwraz Ze znln iej szatt ietlt s ię prob1''.

Przedstarvionv u' przykladzte 2.2 schemat losorvania jcst losorvanielll za-leżtrytlr, borvienl kaŻda z rr,ylosorvatty'cli liczb nra być itlna, tr'zrr,iązktt Z czynluylosolalle rrcześniej kLrleczki z liczbanli nie polvraca.ją do bębna l]lasz)'ll},losLrjącej. Intl1,llli slolvy er1, liczborrc- tr,pLr Lotto stanorr'ią przykIad losorvaniitindyrvidualnego. uieograniczonego i zaleznego. Losorvanie indyrvidLralne, nie-ograniczolre i niezależne (tj. ze Zwracal]iell-l) tlosi Ilazrvę |osorvania prostego(porórvnaj przykład 2.3.)'

Przyklad 2.3

ZapaIki pakori'alle są do ptrdclck pt.zr, rr-r,korz1,stttritt pclvttcuo trrządzenia. którcodlicza odpori.icdnią liczbę zapaIek. l)o zapakorr'arlitr pcrr'llcj par(ii z.lrpalck kollieczllejcst spralr.dzcnic czr, ll,Iosou'o *1'br.arl1'ch ptrdcIkach znajdujc się okrcś|ona ich liczba.W t1,nl celu lostljc się z partiijcdno pudcIko' przclicza liczbę zapalck' a tlastępltie- rr'I.ztt-

ca się to prrclclko do pojcnrnika z pozostal1'llli pudcłkanri. z którcgo lostrje się kolcjncpudcłko. Porr'racające do pojcnrnika, po pt.zcliczcrritr jcgo zatvartości, pudclko bicrzcr-rdzial lv kolejriynr losorr'aliitt. ctc. Jcst to prz1,klad losolvalria ze zrvracatlicnr. ''v któr1,m

METoDY ZB|ERANIA |NFoR|VAoJl sTATYsTYczNEJ. PoDSTAWoWE zRoDŁA DANYCH 49

p|awdopodobieristrvo rrylosolvania jest zar,vsze takie sanlo. Moze się teŻ zdarzyć, Że

ivieIokrotnic będziclny losorvać to salno pudelko zapalek' Jest to przykład losorvaniaprostcgo. rv który,m jedllostkami losou'ania i badania są pudcłka zapałck. e

Do rlajbardziej rozporvszechnionych schenlatórv losorr,,allia ogratliczollegolllożl]a za|iczyć: dobór lvarstwowy' dobór rvielostopniorv1' i dobór rvielofazor,vy'

Stosorvanie |osorr'ania rr'arstrr'orvcgo zaleca się, rv sytLracji gdy badarlazbiororvość riykaztrje siIne zróznicowall e pervnej interesującej llas cechy. Me-toda ta \\ymaga podzielenia całej zbio orvości lla \\.arstwy (gr.upy), rv obrębiektórych następrrje oddziellly dobór lr'sowy' Losorvania dokonLr1e się zrvyklerv stosunku rvprost proporcjonalnynl d.l liczebności danej lvarstlvy. Efektyr,vnośćstosorvatlia tej rletody za|eiry od p ', yjętego kryteliuln rvarstlvotvallia. Nalezydryyć do tego, aby poszczególnc warstwy by'ły w miarę jednoroclneijednocześnie rózniły się nliędzy sobą rv sposób istotny. Maksynlalny efektrvarstwolr,aIlia osiąga się lvórvczlts, gdy za podstar,vę podzialu przyjnlLrje sięcechy nlozlirvie silnie skoreloir,alre z cechatrli badarlynli. Stąd na przykładrv badaniaclt nlarketingorvych najczęściej, jako kryteriunr podziahr, przyjnlujesię: doclród, rvielkość gospoclarstrva dotrrowego, lviek. płeó. region zanlieszkaniaitp.

Przykład 2.4

Badanic czastt śiviccenia zarórvck jest rutynori1,ln działanie m. którego ce lcrn jcstkontrola jakości prciluktórv flrlny X. która rł1,trvarza 4 tr'py żarórr'ck o róincj nlocy.Dzienna produkcjr zarórvek o |noc)/ 25 W nyllosi 1000 szt., o lxocy 40 W - 2000 szt.,o mocy 60 W - 1500 szt. i o rnocy 75 W - 500 szt. Z uivagi na to, ze rv trakcie badaniaiarórvki ulegeją zniszczeniu, kontrolą jakości objęto 1% dzicnnej produkcji. W celuzapcrr'llienia reprezentatyrvIlości próby rvykorzystLrje się losorvanic rvarstrvorve, lv któ.ry'ln podział tra lvarstrry zdetcrnlinou'an'v jest asoft}'lnc|lteln prodLrkcji' Następlrie ustalasię liczebności Żarórr,ek poszczcgóln1'ch typólv rv próbic. Liczcbnośc całcj próby lrynosi50 zarórvek, co stanoivi l% calej prodtrkcji rrynoszącej 5000 szttrk. W tcj próbie polvin.l.to an|cżc się l0 Żarórr,ck o lnocy' 25 W (co stallorvi l% prodtrkcji zarór,vek te go typu).20 żarórvck o ll1ocy 40 w' 15 szttrk zarólr'ck o Inoc)'60 W i 5 zarórr'ek o Inocy 75 W.Wystarczy tcraz *ylosolvać odpolvicdnią liczbę zarórvck kaŻdcgo typu i poddaó je kon-tLoli jakości

Dobór wielostopniorvy stosuje się, kiedy tnozliwe jest podzielenie badanejzbiorolvości (przy rv.vkorzvstaniu określonego kryteriLrrn) na kolejne, coraz torrrniejsze grllpy, np.: podział kraju na rvojervództlva, rvojervództrr, na grliny itd.Zatemjest metodą kolejnego losorvaItia jedrlostek do próby z zespołólv coraz to

óADANIE STATYSTYCZNE I JEGo oRGAN|ZACJA

niższego stopnia (potvstający'ch z podziału zespołów rvyższego stopnia). Naj-pierr'v rr'ybiera się jednostki losorvania pierr,vszego stopnia, sk,ładające się z dtr-

Ąch zespolólv jednostek badania, następIlie jednostki te dzieli się tla lnniejszezespoły, Zwalle jedllostkami losorvaIlia drLrgiego stopnia itd., aŻlv koticu docho-dzi się do jednostek badalria.

Przyhl:rd 2.5

Badając popvt lla tzri.. krcdr'tv sttrdcnckie ballk postarlorvił przeprorvadzić bada-nie ankietoive lvśród stttdentóu'. Jcdllakzc z ull'agi na ogt.alriczorrc środki filransorvcpostalrorviolro skonstrltoil'ać odpolr.icdIlią próbę. stosując schenlat Iosorvatlia lr'icIostop-lliolvego. W pier.r,vsz5lnl kroku spoŚród kiIku uczelni zlla.jdLrjącvch się lvlnieście rv1,lo-sowano jedną. W kolejn1,lll kroktr lr1,losori'ano jcderl spośróci kilku rvyclziałórv tej uczel.ni, następnic dla kaidcgo roku sttrdióri.rr,\'Iosou'ano po.jcrlnej grupie clziekanskie.;. wkońcoivej |azie, rv trakcic zajęć odbyrvaIly'ch ri.grupach clzickariskich, przcprorvaclzonoankictę u,śród studcntórr' rvylosorr'arl1'c h grilp.

Manrv ttltaj do czy'nicnia z losou'anicnl trzl'stopnioulrn. W piclrvszcj fazic loso-w'ania jednostkallri losoivania b1'ły trczclnie. W druginl rvydzial1, rr'czcśniej wylosorvaIlejtlczclni. W trzecicj fazie jcdllostkallri ]osori'ania br'ly grupy dziekańskie dla każdegoroku studiórv. Natonliast.jcdnostkalni badania b1'li studenci naleŹący do lv1'losorvan1''óItgfup. c

Dobór lvic|ofazorvv|. jest poclobny do doboru rvielostopnioir''ego. róilli sięjed1'nie rvyboretll znacz.ńe liczniejszej próby od pożądanej. Z tej to próby nloz-na rvybraó dr,vie lub rvięcej rnIliejszy'ch prób, które nlogą być wykorz1,styrr,atrerv badaniaclr. Losolvanie rvie lo|azorve stosuje się' gdy uzyskatlie informacji.jesttrudne |ub zbyt kosztolvlle i llalezr,' ogr.aniczyć badania do stosunkorvo Iliewiel.kiej grirpy. Wór'vczas dokonuje się rvstępneeo losorvania duzo większej proby, zktórej, po odpolviedniej selekcji' rvy'biera się ostatecztrie nlniejsząpróbę losorvą.

W praktyce losor'vanie do prób1' polega |]3 l]ollLllllefo\\,aniLl wszystkich jed-llostek dane.j zbioror,vości idokoIlarliu rl'vboru losorvego pervnej ich liczby' Naj-częściej, oprócz Iosorvania llieogralliczoIlego. u,l'kot.zystr.rje się drvie podstarvo-lve techniki losorvania. a trlianolvicie: losou'atlie Za polllocą tablic liczb loso-u,ych oraz rn etod ę d obo rtr Syste lll atyczll e.qo.

Losoryanie Za ponrocą tablic liczb losorr'Ycłrls polega na odczytaniurv ttstalollej koIejności liczb rv niclt zalnieszczolly,ch' Innymi slorv1', pocz1'riającod jakiegokolu'iek nliejsca tablicy, rvybieranry lvec1łtrg Lrstalonej zasady tyleIiczb, i|e jednostek nla Iicz1'ć daIla próba losorva' oprtszczanry przy lylli wSZySt.

', Poróu'Iraj pracę: l'. Carbarski. I. Rutkorvski. W' Wrzosek' Il994]' s. l47,..I.ablice te są zbudorraIle na tlkiej zasadzie. ze licz'b1'cz\'tal]e rv dclrr,oIlrr'lrl porząclku (pionorr.o'pozionto, u'przód, rr,stecz. cirłościorr'o lub sellnentorr,o). zachorr'u'ją zalr,sze cechv prz1,paclko-rr'ości' n iezaIeŹrr ie od nliejsca ich rr'r'stępori'an ia.

Mrroov ZBIERAN|A |NFoRfulAcJI STATYSTYCZNEJ, PoDSTAWoWE ZRoDŁA DANYCH 5.l

kie liczb1,. które są rviększe od liczebrlości badanej zbiot.orvości. cz1,|i rviększeod 1/. W1'notowalle rv ten sposób liczby' losorve rvskaztlją lllllllery jednostek,które zostały rv1,.losor,l.ane do próby. NaleĄ przy tym zattwaŻyc, ze liczba np'00f7 oznacza f7 . elenlent zbiororvości statl,st,vcznej, 0()05 oznacza elenlentpiąty itd.

Istnieje tlrozlirr'ość zatltotrrat1,zorr.atlia procestt r,v1'bielania eletnetltóu' dopt.óbr', rr1,korzy'stttjąc rv tyttl celLl od;lolr'iec1nie .ucneratory liczb losorvych zlla.j.dLrjące się rr.e rvszy'stkiclr pakietach Stat).st\ czll1 ch oraz \\r arkuszach kalktrlac1,j-nvch np. u' EXCEL-u (firnkc-ie LOS. RANDBEI-WEEN). W przy'padkLr kolzr,-staIlia z progralllów gerlerując1'ch Iiczb1' losor,l'ę możelny albo rvprorr'adzic cha.raktery'st1'ki rvszystkiclr jednostek Stat\,Styczllych badane.j zbiororvości i rvórv-cZaS otrzvlnrrjerny goto\vą listę jednostek Ilalezącyclt do próbr', albo \Ę/gęllero-rvać jed'r,ltie zbiór liczb losorvych, które będą Ilttllleratrri kole.jnych elerrtentólvzbioror,vości generalrlej ł1'losor,vaIlyclr do próby.

Przylilad 2.6

Bada.jąc stan zdrolvia nricszkańcóu' 1lcri llc-j Illicjscorr.ości liczącc.j 7500 nlicsz-karicórv. postanorr'iclno przcbadac l0() osobotrą losorvo rv1'braną próbę. W 1l'ln cclttpotltlnlel.o\\'a|lo rvszr'stkich lllieszkal1cóiv od l do 75(X) i przy'stąpiollo do Iosorr.allia zirpoIt'locą tnbIic lostlu1 ch' \\' tlrbIicncIl cZ\ 1:liqC rr ie l.szlillli \\\.l)(lt()\\ilIlo z picl.rrszcr:tllr'icrsza rrastęprrjącc dzic-sięć liczb lL]so\\\cIr.

,: l5.]-.t. 7l06. 2tJ3ó. 7[t7j. 5574. 7545.

7j9(). 5574. 1202, 11l2. W zrr'iązktl Z t\,|)). zc liczba Inicszkaricórr'rrl-tlttsi 7500, odr.zrr-cić nalczr, rr'sz1'stkic liczby. losolr'c iiiększc od 7500. czr'li li'|lasz}.lll prz1.padku są toIiczby,: 7873; 75zł5; 7590l 77l2. -I.ak rrięc z dzicsięciu odcz1'taIl1'ch liczb losorr-vchotrzyIlraliślrrl' llumcrv jedy'llic szcściu clcnlclttórv plób1, staty.sty'czllcj. któryIrli są: l534;./106;2836:

5574; 55.74,, 1202. odczi,tu.1ąc kolcjnc |iczb'v z tablic liczb losorvy,ch (od-rzucając te o rval1ościach przekraczających 7500) trz;'skanly odporviednio liczllą próbęstatyst}'czną. e

Dobór s1'stemaĘ''czny polega tla rvl'borze z Lrporządkowanego zbiorrr od-porr,iedniej liczb,v jednostek rv rórvtlych oclstępach (inter.rvał'aclr)' Najpierrr' trsta-la się liczebnośc (N) ca'iej zbiororrości. a llastępllie liczebnośc (ll) próby'irla tejpodstarr,ic ustala Się interlr'a'ł losolr'atlia ł = 1Y l tt' Poczynając IlastępIlie od lo-sou'o obratlej jednostki pierlvszego itltet.rvaltt dobiera się kole.jIlo co ..,t'. jedrlo-stek z kaŻdego interlr,al'lr po jednej jedrlostce, aż osiągnie się pożądaną rvielkośćpróby losorvej.

lu Dane pclchodzą z tablic zaIllieszczoIlt,ch rl,pracr, W' Starzvliska, .l..

lvlichaIski Il996] s.218 -

) !()

BRołltte STATYSTYCZNE I JEGo oRGAN |ZACJA

Przyklad 2.7

W pcrvnyIn supernlarkccic dzicnrlic robi zakupy okolo ty'siąca osób. Kicrorvlric-two postallo\\'ilo zbadaó opinię kticlrtów rla telnat działalnoŚci supcrtuarkcttr. Z,decydo-rvano się na przcprowadzcnic allkicty rr'Śl.ód 50 losolr-o rvybranyclr klicntórv. stostliącprzy tym s\,stematyczn1'ich dobtir. Ustalollo dlugość interrvału losorvania ł: l000/50:20. Następlric rW|osoir'allo jcdrlą |iczbę zc zbiortr od l do 20. którąokazalir się być licz-ba l3. W zrviązku z ty'ln picrlrszy.rll badarll,In klientcrn b1.l klicnt, któr5, jako l3-ty,opuszczał sttpcrlnarket, nastepn\'ll] bl.l klicllt o lltllllelZc 33. a dalej 53. 73,...' 993. e

Jak rr'sponrIliallo tta początkll tego podrozdzialu. drugą grupę nletod doborLrjednostek do badali stanorvią metody' cloboru nielosorr.ego2o. Polegają olle nart1,borze korrkretnr,'ch jedrlostek o tlStalon},ch Z góry charaktelystykach.W nletodach Ęch lvr'stępuje dttza doza subie.ktr.rvizIlrtt zlviązatlego Z Sanlyllldobieranienl jednostek do próby, prz1, jedIloczeSll}'Il1 Zachowa|litl obiektyrviznlurryboru kry'teriólv doboru. Nie rządzi ttl Zatelll pr.zy'padek' ponier,vaz dobór nie-losorvy jest zlviązally z takitll sposobetrr postę1lolł'ania. rr' któryttt ostateczny.ri.ybór jednostek porvierza się strbiekt1/wllvl]l clecy'zjoIll osrib pl.zepl.orvadzają-cy'cll badaIlia. Dec1'zje te porviIltty opierać się rla zrlajotttości paraIlletrórv danejzbiororvości' Metod1' te nalez1'' rv1,kor4'st.vrvać dopiero rvtedy, gdy dobór loso.lrr, jest ltieIllożlirvv lttb ekotlortlicztlię nieuzasaclttiony.. Do najbardziej rozpo-rvszechnionych lrletod dobor.u Ilielosorvego za|icza się: clobór jednostek t1'po-rrych (dobór celow},), dobór proporcjonalny (dobór krvotor,ly) oraz dobór nazasedzie elirninacj i.

Dobór jednostck tYporr'ych.. polega lla Ęln. ze osoby prorvadzące badaniawybierają do próby (na podstalr'ie rvłasnych decyzji) te jednostki, które irlvażąiązir typorve (odpowiadające przeciętny'rll) c.lla danej zbiororr.ości. Mogąto być np.affykut)' llajczęściej kttporr'alre przez llab;'rvcori'(koszyk zakupórv). przedstarvi-ciele okreś|otlych grup zalrodorrYch. typowe gospodarstrva donlotve, osobi''o przeciętrryclr zarobkach. Metoda ta Ilie daje jednak rvłaścirvego obrazu zrozni-corvania badanych cech.

Dobór propolcjonaln.v]. (krr,otorvy) jest nletodą polegającą na lvyborzeliczbowo określonych segnlentórv prólry, w proporcji odporviadającej strukturzezbioror'vości generalnej' Liczebrrośc segtlleIltóvr. pr.óby ustaIa się na podstalr'ieprocento\\.ego rozkladu cech zbiorolvości geIleralne.| ponlnozollego pfzez ogólnąliczebność próby. W ten sposób uzyskuje się skład liczebny próby odpolviadają-ce.I lvarutlkotll llortrialllego losor,l'ania. JednakŻe sarl dobór jednostek nie tllacech iosorvości zw'laszcza lv fhzie kolicorveso kollrpletolvaIlia stlttkttlt.y zbioI.Ll.

".' Porórvna.i pracę: S. Mr,Irarski. Il98ól. s. l9 - 20.-. Por.órvna.i 1rracę: L. Carbarski, l' Rutkorvslii, W. Wrz.osek. Il99;ł]' s' l59.l60'-. Porólvnaj prace: S. NIr,narski. Il98ó]' s. l9 - 20' L. Carbal.ski, Il994]' s. l59.

MErooy ZB|ERANtA lNFoRMAcjl STATYSTYCZNEj. PoDSTAWoWE ZRoDŁA DANYcH 53

Inl rvięcej rvyróżnia się cech zbiororr'ości. ty'nl ttzyskuje się rvięcej podzia|órvSegn]elltoW)'clr i tyIl trudnicj skonlpletowac odporviedni skIad zbiororvościprobnej. Dlatego najczęściej poprzestaje się na drl,óch, trzech cechaclt dającychllie rr,ięcej niż l0 seglrlelrtórr' określorry.ch krr'otorvo dla skonlpletorvaIlia składLr

liczebnego zbiororvości. ReasurrlLrjąc, tlietoda ta polega na lvyborze jednosteklv taki sposób, ab1'strttktura próby, z pttnktu lr'idzenia okr.cślony'ch cech (najczę-ściej silnie skorelorvan1'ch z badanr'rll zjalviskierrr), by'la zblizona do strukturyzbiororr,ości, z ktorej zostala lr1'bralra.

Dobór na zas:rdzie elimin:rcji jest przecirr'ietistlr.etrr doborLt jednostek ty-por,v1,ch. W tynl przvpadku elinlirruje się jednostki nietypou,e odbiegającenlaczn,ie od przeciętnyclr. Usurr'ając ze zbioru przy'padki skrajne uryskuje się.podobnie jak orzy rnctodzic doboru jednostek t,vporvvch, splaszczenie obrazustrukttrry z.jalr'isk do rvięlkości przeciętny,ch. Dlatego nretoda ta bYr,va rórvtliezrzadko stoso\\,alla.

W prakt1'ce częSto rr,ykorzystuje się korlbiIlo\\'ane nletody dobortr polega-

.jące na lączerliu róznych Illetod. Char.akterystvkę rr.ybranvch tnetod doboru pro-by stosorvanych r.r' badaniach marketingouych przedstarvia tabela 2.1 .

EA BRołt'llE sTATYSTYczNE I JEGo oRGANlZAcJA

-l

a-

a=>f

>,='->==

., a-,.ź;

-..ON

>,5''J1

\

Ń.:

-- c

=

>,-2ź,lń - -

G

Ta --,

L!

z,

t

N:1

N=-=

!! .-

-C

.7 tł-5;c*

- A>-.2a

.2>!.4

2=-')

'') I

:J:i x.ź '- _ ł'/ *=

N

-€N.'

=7,i łś\:a-;

Ó|

rą

-a

F

\..

N

F:J

a

\

ęN

ś-

!

c-

-oE1:

^

4

ś

M EToDY zB IERAN |A IN FoRMACJl STATYSTYCZN EJ. PoDSTAWoWE ZRoDŁA DANYCH 55

2.4. Metody zbierania informacji statystycznej, pod-stawowe źrodta danych

Irrfbrrlacjc gronradzotre lv toku badaIi statystyczllyclt lnogą pochoclzićztzly. źroc|eł pierrvottl1'cIl Itrb rrtóI.rllcllr... wtórIte źród|a informacji obejnltrjątc rvszl,,stkie źrodła, które Ilie został-v o!)I.aco\\'aIle z rll1'śląo badallylll problenlie.Glórr'ny'rlri rłtórtlvtlli źród'lanli irlfor.rllacji są pr.zede rvszystkirti:

- otrblikacje organórv patistrvou'r'ch.

publikacje pIacorvek naukou o-badarvczych.

lll atc.r i a |y rvelr'tl ętrzll e p rzed s i ęb i oI.strv,

b iu letyn), agencj i badari opinii pLrbl iczne.i lLrb badari rynkorvych.Na szczególną lrrvagę zasługują publikacje Głórvnego Urzędtr StatysĘ'cz-

nego (GUS) i Urzędórv Wojelvodzkich (WUS)' takie jak Roczniki i BitrleĘnyStatystyczne. lr, których na|eŹć l.llozlla dane staĘstYczne dotr'czące poc1starr,o.

lr1.ch charaktery,styk spoleczno-ekotrotlliczIlvch rv ujęciu IoCZny|ll. krvat1altlvtll i

rlriesięcz-tlt,nl, rv odtliesieniu do arlaliz rr'skali trlakt.o, regionalnej ibrarlzorr,ej. atakze doty'czącc s1,ttracj i nliędzvttarodorr,ej.

Werr'tlętrzne lltaterialv przeclsięLlior.stii' zaw'icrają poclstalr.orr,c darle doty-czące llr.itl. prz1,chodórv i koszttirv flrlllv, stalltt zatrudnieltia. lllajątktr' Są ollerr')'korzr'st\,rvalle \\' analizach bic-zącego firnkcjorlorvaIlia przedsiębiorstrva orazdo planorvania jego przyszłego rozlro.jLl, bez ktor1,ch nienlożlirve b1loby cho.ciazb1'ttzyskanie kled1'tu barrkolvego. Zaz'*,yczaj datle te rllającharakter pottlny,co ozllijcza. ze dostęp do nich posiadają jedynie pl.acorr'nicy danej firllly orazprzedstalvi ciele or.ganólv kotltrolny'ch.

Publikacje orgturcirv paristrvorvy,ch lub terenou'ych. a takze plac(ru'ek ria-Lrkou,o-bltclarr.cz1'ch naiczęściej zarvier.ają opraco\\,al]V jtri nlateriał Stat\'St}.cZllY.Natontiast c1ostęp do clatl1'ch źrocllorwch rtla z regtl,lv dość ogr.aniczoIlr'krągoclbiorcórr'. W przr,padkLr rvyspecjalizorratrr,ch agerlcji badania r.1'rlkLr ltrb opirliis1loleczrlcj korz1'staltie z rvy'nikórr' badari rliąże się z pervlll.nli (czasetll Zllacz-nyrrri) kosztarni, a zlecenie badali jest zaz*1,czaj bardzo koszlo*ne. Podobnien.esztąjak LrdostępniaIlie dallt'clr zródlolr.ych przez np. Urzędy' Statysr,"*czne.IrifoI.lllacja statystyczIla stala się dość droginl ',totvaręl1"t'', czego dolroclenl jest1ilnkcjorlorr'atlie lr'iellt insty'tLrcji (rórrllic-ż pryrr,'atrlych) zajlntljący'clr ql.otrladze-nierlr i opraco\\'y\\,anienl danych statvstl czn) ch.

Picrlr'otlle źródła grotlladzetlia irl|orniacji obe.jnlują te rr'szystkie zlóc]'la,

'. \\'Iiter.aturze dclść często stosuje się okreś|erril..desli researolt.'oraz'.fleId reselrclt... pLrr' S

lvllnarski. [93{i]. s 7

56 BRoRNre srATysryczNE I JEGo oRGANtzACJA

które zostały prz\.gotowane specjalIlie dla badania wvbraliego probleIllLl. Pod-start,otrynli pierrvotnynli źrodłanti infol.nlacji są przede wszystkim studia empi-rycz|le' takie jak obserr'vacja i badania lvykorzystujące krvestionariusze'

Anliieta jest najpopularniejszl'm i najbardzie-j masorvy'nr sposobenr zdoby-rvania infblnracji, rvy'korzy'stvwanvur u'badaniach opinii ipostaw ludzi oraz rvbadaniach masolr'vclr. Mater.iał atlkietolrv grotnadzony jest przez zbieranie od-por,viedzi na przenryślany i

^'z eóry trstalony zespół pvtań. skierolvanych do rry-

brane.i grllpy lespolrdelltórvr]' któl.ą rtloŻe bvć zarórvno rvąska grupa ekspertóir,,jak szerokie rzesze osób zailltet.esorratll,ch daną problemaĘ'ką. W tyrrl przypad-kLr nie bada się zbiororvości staĘst1'czrlej bezpośr.ednio, lecz Z\Vraca się do insty-tucji lub osób z prośbą o r.rdzielellie irllbl.lllacji lla konkrettt1'tetlrat25.

Podstarvorr,ynl tlarzędzieIrl jcst ktr estiollat.ittsz ankietorr.y2ó. stanorr,iącvprzygotowany i podporządkorvaIlv celot-n badania zbiór pytari. Zalvat1ew. ankiecie pytania polvitlIly charaktervzorr'ać się rozlączrtością, a Sllgerowanervarianty' (odporviedzi) \\,yczerpy\\,ac cały zbior nrozlirn,ch odpou,'iedzi.W badarliach allkietou5'ch zródłem irtforlllacji .jest ',r,l.porr.iedz badanej osoby.odnośnie zjalviska będącego przednriotenr badari. Dlatego zasadniczą sprawąjest redakcja lbrnlttlarza. W zrviązkLr z ty'rn sporządzorly projekt krvestionariuszapou,iIlieIl by,ó poddany rveryfikacji nlet.ytorycznej i tbrrnalnej. Dokonu je się tegozrr'ykle rv toku badaIi problly'cll (pilotaŻorvych). Zadanienl tcgo typu badali jestellnlinacja blędólt, rv1'stępu jących rr, konstrukcji klvestionariltsza i dostosorvaniego do celórv i rvaltttlkórv ich przeprorvadzania' Badania ankietor,ve są barclzorozpo\Vszechlliorle ze rvzględLr tla relatr'rr,trą łatrvośc ich przeprorvadzenia. Zapolllocą ankiet bada się llp.: Sta|l trroralll1. Illłodzieży, pozioltl dobrobytu. struktu-rę gospodarstlv dotllolr'1'ch, postarvy konsunrentór'v, popularność politykórv'opinie na tenraty spoleczlle. W odróznięIriLl od spisórv, które dostarczają możli-rvie pełrll.clr infornlacji o badaIty'nl 4arr'iskLr. rv arlkiecie clrodzi ZawSZe o l]a-ślvietlenie jakiegoś ściśle okre śloI-lcgo zagadnienia'

BadaIlia ankietorve są zazrrlczaj orgltIlizorral]u'pl.ZeZ rr1specjalizorratte in-stytucje' np': ośrodek BadaIlia opinii Prrblicznej prz'r,Polskitlr Radiu. PENTOR.OBOP, CBOS, Placorvnia Badari Spoleczuych i inne.

.. Porólvnaj pracę: E. ]VlichaIski. Il97l], s. l59.

... Jed1,liie rr'prz1'padIiu Spistirv Porr'szecIrnr,ch i RoInr'ch bacliL się ca|ą zbiot.or''osc Stat\,St\cZną.chociaŻ odpclrviedz-i nlt zadane rr'ankiecie prtanil ltlrrlltrIrrii1 z r.egulv irtzedstarviciele gclspo-

- darstl'donlorvy'ch..'W batlaniach ankietorr.r'ch 1lodstaworl,rnl pl.obIernenl jest tzrl . bll1d braIiu odpolrieclzi. będącr,róirlic11 llliędzr'lr,rznaczoną liczebllością prób1 a Iiczbą ot|z\'nlan)'ch lrnliiet, co nla rllie.jscezlr'laszcza rv sr'tuacji. gdi,ankicti'sl| |oZS)|aItc pclcztą |ub rrręczallc |ęspolldentoll1 z prośLrą orr'r'1leInienie. DIategtl lez. zułaszcza lr prz'rpldliu złozonr,cll ankiet. często rt.r,kol.zr'stLl.je sięodporriednio przesz-}'olonl'ch atlkieterćlrl'. któr1 clr z,adallienl .jest li.y'peInieIrie ankiet5 na pod-starr ie udzielorlr'cIl respondctlto\\'i p\ tań.

Mprooy ZBlERANlA |NFoRMAcJl STATYSTYCZNEJ, PoDSTAWoWE ZRoDŁA DANYcH 57

Przy ana|izie nrateriałólv uz1'skanych na podstarvie ankieĘ nalezy zacho-rvaó daleko idącą ostroznośc. W1.ciąganie zbyt pochopnych rvnioskórr,i rrogólnieri jest bardzo niebezpieczIle, gdyi zebrane dane stat.vsty.czne odzrvier-ciedlają opinię określoIrej glupy respolldeIltólv. Prz1, zbieI.arliLr danych Za polno.cą arktlsza allkietoWego niezInierllie \\.azl]ylll problenlenl jcst to. aby został orl

lv]aścir,vie zredagorvally,' Z|e s1brtlłtllorvirne pvtaIlia porvodtlją na ogół nielvła-ścir'l,e odporviec1zi. Sporządzenic dobregcl fortrlttlarza sprarr.ia zazll,yczaj dtzokłopotórv, dlatego przy jego rcc1agotvaltitt należr'stosolvać l)astęptliące zasady.,:

pytania polvinnv być |orrntrlou'atle jasno i kl.ótko, u, sposób nie budząc1'lvątplirvości. a otrzt,tttatle odporviedzi porr'intl1' być jedrloznaczlle.pytań polr'illno b1'ć lllożliw'ie nlalo, trzeba się ograrliczy,c do py'taIi kolliccz-nyclr z pullktu lvidzetlia prol'adzonego badarria, gdyż wie lka liczba pytari nu-zy tiypeł n iaj ącego fortliu larz'pl'tania polr,illlly br'ć zrozuIlliale, aLr), nie tlastręczał-v zb1'tniclr trrrdrlości przyudzielaniu odpou,iedzi,naj|epiej fornlu'lorvać p1,'tania tak, aby odporviedź tnogla brznicć ..TAI('' lub"NIE".na|ezy unikac pytali, które utttozlilvialyby lendetlcyjrrość odporviedz'i orazpytari drażl i rvych' rv l,trla gaj ąc1'ch od porvi edzi potrfi l1'ch.pytania rralezy tlszert.go\\,ać ri'edltlg jakiegoś porządku logiczIlego. ab1' od-polviadaj ący' nlógł zrozutll i cć c e l bacian i a.

pytania porr,itll-lY Zostac u1;oI.ządkoriane pod kątenl łatri,ości t)p|.aco\\a|lixzebt.arlego ll1ateIialu. co jcst szczegtiItlie rraŻtie 1lLz1, ukladarlitt tablic stzrty-

sĘ'czn1'ch,rv fornltllarztt konieczne jest ttlllieszcze llie pr'tarlia kontrolltego. które nrogło-by śil iadczr,'c o pr.arr idlorr ości odpoli,iedz-i'naleiY zadbać o stosorr'l-lą fbrlllę fortllttlarza i odporr'icdrri druk.

Do fbrrlltrlarza ankictorr,'ego zrwkle dołącza się objaśnienia. Jeśli Są onekrótkie, tttrrieszcza się.ie bezpoślcdnio pr.zy pvtaniLr' Jeśli py,tarrie lr1'tttaga do-datkolvego, dłrrższego objaśnienia lub Ilarvet pcldania przy'klac|u odporvieclzi'naIezl' objaśnienie urllieścic osobtro, na koticu fortlrtllarza. objaśnienia pott,itltl.v

obejnlorr,ac tlt'irl' infbrnlac.|ę. kto i kiedy nla 1brntttlat.z lv1,,pe lrlic oraz kto i korltuporvinien go przekazac' Badania atlkietorve nlogą być prorr'adzolle rv kilkLr lbr-rnach' jako: u'r'lviadv bezpośredlrie. ankiety konlerc1'jIle. ankietr, praSo\ve, aI]-

kietv pocztorvels.

]] Porórl'na.i 1;racę: I(. 7'a.it1c,Il99.ł], s. (l3-(l.l.rs Szelze'i na ten tenral \\ prac)'S. Nlynarski, !9tt6l. s. I I

58 BRoRUE srATysryczNE I JEGo oRGANtzAcJA

2.5. Grupowanie i prezentacja danych statystycznychW w1'niktr obserlr.acji Statl.st1,gz11ęj otrzl tllujettly zbiór darlych liczborrych,

zlvanYclr danymi statysĘ'czrrvmi, które należy Llporządkolvaó. UporząclkorvaIlienlaterialu statvsĘ.czlle-go je.st określalle nlialrelll {rtlpolt.allia Stat\,St)/cZIlego.PoIega ollo |la (nlniej lLrb bardziej zrózrlicorr.atlyrli) poclziale niejeclnoroclńejzbioror,voŚci rla llloŻliii.ie.jcclrrol.odne glupy' rved]lug obran1'cIl kry'teliórr., charak.tcr)'zLljąc1.cIl poszczegó|Ile grtl1ly. i odporr iedrlitlr ze starvierliu clarryclr staty-sty,cztlych29' I(lasylikację jedrros**k zbioiorr'ości Statvst),cznej przeprou,adza sięzazv,yczaj rvedltIg rr r bl.aIll cIl ct-ch. któr}'e |l prarr.icllorva allaliza jest nlożlirr,adopielo rv ranrach otrzl,nranl ch jednoroclnl'ch erup. podstau,olynri cz5,r.uro-ściilllli po dokollanitt segr.egac.j i Iulrtcrilltl l]a -q|[lpy jest zliczanie clanychri' poszczególn1'ch grLrpaclr ot.az pt.ezetltac.jl ol)|aco\\,ellcgo rllateriaItr lv postaciszere gu sratystycznego.

Szeregiem stittłstr'cznym |lazy\\ial]l1' zbiór ul.llikórr. obserrt'acji tlporzącl-kotr'anyclt rvedlrrg okr.eślony'ch ccch (krr,terióu.). ktcir1,ch rllier.nikieIll są zIllien.ne' Itlaczej nlólviip, SZe|.t.gic|u stat)St\'cZn\l|ll llaZ},\\,i.tlllr'ciąg liczborvy l.llono-to|1icZlly. ogratliczotiy,z góry j'.z dołtr (t1 . taki. które-qo \\'):l.ilz\ rr,'ystępLrjąty'lko rr,pcwllyn-} przedzialc lr'artości)-,.,. Szereg sk'lada się zazu'yczaj z drvóclr koltllnn. zktcirr'clt jedna podaje rvieIkości cechr' Iub czas, druga zaś iIlfbrIlltIje o liczbiejedllostek przypadających Ila dallą kategorię przedrrliotóli' ltrb zjarrisk lub lnorvio ich rlatęŻenitt rr1'stępLljącynl rr,.dalrylrl cza:;ie. Na.jczęściej rr'y,róznia się dr,vaklr tcl ia podzialu szcl'cgo\\':

krvteriunr ftlrnlaltte, zw,iązane z btldową Szeregll, na podstau,ie któr.egi;lllożclu1. lrl.odrębnić; szcregi szczeQó}orr'e, szcregi tozt|zięlcz'e i szeregi ku.rnu lacr j ne .

|in'teI.ium mer1,'tory'czne. rrr'Ilika.jące z 1).ptr baclalle.j cechy zbiororvości' rr.gktórego rr,vt.óŻtlia się szcrcgi cZ.1So\\'e i szeregi przcstI.zetltle.

Podziały te jednak nie rr'yklttczają się riza.jclllnie. gc11'i rlp.: Szereg rozdzie|czyInoże b.r,ć jednoczcśnie szeregictll cZaSo\'t\.lt.l lttb przestrzellt-l\,lll.

:9 Szczególorr,e in|orlrlacje na tclllat qt.t|po\\an!a

"-. K. Za.iąc Il988]. s. 72 -.]1.T. \lichltlslii |199ój..'., Por(lrvIta.i K. Zając Il99a]' s. 79

Stat\'st\/c ZIl e go z'n a| eź'c IllclŻn a lu' i tl. ri' prac irclrs..łó - 6().

G RU poweue I pREZENTACJA DANycH srATysryczNycH

Szercgicnr szczegó|olvynr nazywaI]]y Szereg rv ktć.lryrrl Zawańo opis bada-nej zbioror,vości podając inforniację o rvartości cech badanej kazdejz obserrvorr,anych jednostek rvcIlodząc1,ch rv sk'lad zbiororvości statr,stycztrej,..zatem jcst to zestarvienie darlvch o rvariantach poszczegcilnvch jednostek.

Szelegienl szczegcilorr1'nl jest llp. lista plac. pocl rvarttllkielll, że prz5,

tttrlieszczaIliu. na niej poszczególll1''ch osób zastosolr'atlo określone kryteriurrlporządkorr'e..'. Dttza przydatność SZeregtl szczegóiolvego tkrvi rv tyt-l-l. ie daje orlcalkorvity rnateriał Stat}'St}'czll\'. od którego rnoŹtla rozpocząć pracę badarvczą..Test oIl jedrlak nlalo przejrzvst1', d|ategcr stosuje się gcl ty'Iko lv tych przypad-kach, .ud1' z'allezy |1źllll l].l dtrŻc.i clokladllości. a Iiczlra obserrvacjijest stoslttlkolvoIrie"vielka.

Chcąc lvłaścirvie scharakteryzowac Zebrally Ilateriał statyst1,czny, rozdzie-la się lvsz1,stkie rvańości zrniennej X lla klasy (grupy) pod rvzględerll różtt1,cllrvat.tości, jakie przybiera tl l]oszczególrl1,'ch jednostek badanej zbiorolvości inte-l.esująca lras ceclra' \\/ tetl sposób otrzr,tllLtje się tak Z\\.ally Szere.q rozdzie|cz5,.Innr,nri slorvy, Szel.eg rozc1zie|czy przedstarvia empil.1'cztly rozk'ład znliennej.której rr,artości charakteryztrją poszczególne lvarialrt\, badanej cechy statystycz-ne.j. Dla cechy skokorvej jest to rozk]ad pttnktou.y, a clla cechy ciąglcj jest torozkład przedziaIorvy (c iągl1').

Szcrcgielrl rozdzielczvnl lraz\,\\allrv uporzllclkorvany i pogl'upowanv (rve-dług przrjęt1'ch kry'teriórr') zbiór intbl.nlac.ji dotyczi1c1,.clr badarlej cechy rvvstę.prrjące.j rv określollej zbiorolrclści ltrb próbie. otrzvnlttje się go dzieląc zbioro-lvość statl,styc7-l1ą na klasl' zbiorcze ri.eclltlg pcrr'nej ccchy' i podając liczebnościkażdej z t1'ch klas. zlr'atle Iiczcbnościallti klasollr'tlli li,. l:l ,2,''.,k. Szeregi roz-dzielcze rnogą dot.vczr'ć z-iirórr'tro ceclrl .jakościoll,e.i..jak i ilościou.ej. Chal.aktc-r1,ztrją otle strltkttlt.ę danej zbiororvtlści stąd Ilaz1'li.allc Są cZaSetrr szcregamistrul<turalnymi.

cruptrjąc tllateriał badalvczy, rozpatrttie się rvszr,stkie rlloilirr,e rvariantybadan1'ch cech stat\'stYcztlr'ch r.. W pt.zvpadku cech jakościorv1'cli i lrlierzalrlyclrskokolvl.ch. poszczeuóllte rr'ariatrtv badanvclr ceclt -t, tlloitra rr,vnlienić jiiko:-T1..I2,...,.r1' W przecir,r.iellstwie do cech ciągł;.'ch, któle lnogą przyjrllorvać nie-przelicza|nie rviele rvartości r, e {I,n1',, 'tn."'), a lvięc llie tllozlla ich rvszystkichu'ynlienić. W takirn pr.z1'padku tworzv się klas1' dzieląc obszar znrienności.'..:(-I,,.i,, - .I,.....) ceclly lla tZ\\', przcdzi:rły kllsorve, określone przez ich dolną - r,.7i górną - -r-," gratlicę' Rózrricę ruięclzr' ll,artością.T,t - J,.i. I-}aZ}'\Yall]\, rozpiętościąllrzedziirl u lilaso'n'cgo.

.,Porórvna.i pracę: S' Abt [1999]. s' 22.

.. Porórr.nlrj pr.acę: D. Urbanelt, i\1' Krzy'sztolilrk. Il979|' s. ó2.,.' obszar znlicttIttlści (rozstęp,1 ccchr', de1lniclrran'r,.jest.jalio róŻrrica Irliędz1' rra.j*,yŻszą a lla.iniż.

szi1 rral.loŚciąnaleŹl1c11 tloda:legrrs7'cl.egtl'cz-rIi: 'r',.'..'i..'.;'.'

Ęo

60 BnoRNlE srATysryczNE I JEGo oRGANTzAcJA

Prz'edzia|y klasorr.e zarr.iera.i:pe po kilka wariantórv badallej cech\' ll-loztlarórvnież utr'vorzyc dla cech skokorrr'ch'

.I.rr,orzelrie przedzialórv klasorvych dla

tego tvptl ceclr trroze by'ć tl1'nikiclll grtlpo\\arlia stat1 st) cZ|lego. kiedy toz porvodu cltrżej liczbr, lvarialrtćlrr ceclll clccrdLrjenlr,się lla agregację niektcin,chz nich rv klas-v lub tez mozc zostrlc uarzricone jcszcze u'tlakcie zbielania danychstatysty'cznych, kiedy tcl zgodnie z cclenr badania u, tbrnlularzu ankietorvyrlrpytanry się rlie o koIlkretttc lrat.ialltl'cllrrrc'j ccclly. a o prz}'Ilależllośc do z.eór.vokreś loIry,ch przeclzialóu,.

Przykład 2.8

Badając zakIadv p|ac),z ptrnktLr rriijzclril lrczbr tlscjb rr'nicIr zatruclllionvch tnoż-na p\'tac o dokładrlą liczbę pracorrIrik(lrr ltlb 1lr.lsić o rlskazirIlic do jakie'i griipr, przcd-siębiorsti,v dany zakIad prac1'llalcŹr'. tt1lt.zcr.illitl t-oI.IlltlILrja.c odpclrr'iednic przcdzialy'klasorr'c np. do 5 pracorr'llikórr'. od (l do ](). od l] . 5(). cld 5l do l00 olaz porvyzcj l00pracorr'n ikórr'.

\!' 1licrlvszl'tlr przr,1ladktr btrdtr.1ąc s1(l-e ! S1llt\ )t\ cZ11\, nrclzlirr,c jcst rr,voclrębrlic-nie konkrctncj liczbr, 1lracou.llikórr,rrr'str-'1lLI.jllercll ri [rlldltllr'ch zakladach pl.ac\'tlp. xi :l.2. 5' l0' 1l. l9.2ó.50. 51 '12, s5. I(X). I.]l- \\'tjrrczas szcfcg tozclzlc]czs, rvy'rlądalb1.następtrjąco:

Tabcla 2.2Szereg rozdziclcz1 z rr1'róŻlliolr.r llli rrat.iltlltltlll j e c;lll skilkou'ei' opisrrjące.j Iiczbę zatrudnio.nvch u badanych zaklaclaclt prao

Wlll.tości cecltt' r1 ) 5 I0 ll l( 50 57 't2 35 100 137L-icze.Llrrtlści Il I 6 u I l5 I'7 IJ )

I

'J'::":illiil.;, oczl*isrc icsr zcróżlriac poszczcgólIl1'cli ll'trriattttjri, bltt|lrlle j

llr'ch). a jed1,rlic przcdzia15' rr'.jakich llloŹc sic

Tabcla 2.3Szereg l.ozdzie lcz1,ze skLttlluIollartrtlli rlltrilrtlilttllieccllr'skokcl*e.i. opisującc-.i liczbę zł1rudrrio.rtvclr * budaurch z-aklrdach irracr

Wartości cechr'-t, do 5 nracouniktiri () - l0 ll-50 5t l(x) |()I i rrięccil-iczebIlości ll s -18 I

ZrLitllo. [)ane unl()\\ nc

Ocz1 ri.iścic tabclę 3..3 tll()ZIll| 1l)tld()\\ile na poris1arr'ic tlarr1 t.h statr,str,czlll,cli za-rrartlch * tnbcli 2,?. ytoprzcz. tistaicnic ociprr*icdnich 1l'zcdzial(lu klasori'r'ch. Na pod-starric tabcli 2.2 llltlzlla rórillicŹ z-lltrcjilri'ać irtllc szcrcgi rozdziclczc ttdporvicdnitl agrc-gtrjąc clarlc irldl'rr'idtrlrllrc ri'ltittt Zltrrltl.tc ()I.aZ tldpolr'inclac Ila riiznc p1'tallia szczcgtllorr'c(np. ilc zlkładóri'1lracr'zatt.ut1llialtl pori1zc.j 2() pr.acori'llik(lrr'). podczas gd1,rna.jąc dancstat\.st\'czl.lc postaci 2.3. charak1u-rr'ztrjącc slrLrkttrrę badilll1'clr zakladtjrr. prac\. z punkttl

\\ 51cfcgl'l stat\'st\'cZn\'nl nic będzic Się tt'l''ecclr\ stat\sn'czncj (brak stoso\\'nvch da-

')nii zlla.itlo\\'ac. czl li:

G Ru powRt'l I E r pR EZENTAC JA DANyc H srATysryczN yc H

rl'idzcnia stallu zatludlliellia' nic rvięccj z nich się jtri nic odcz1'ta. lrclrr'icnl ltiellloŻlirvcjest przejścic z tabc|i 2.3 do danr'clr zdczagrcgou'ant'clt postaci 2'2. c

W przypadkLl badania cech jakościorvych zazlvyczaj rvyróznia się tyle lva-t.iatrtórr,cęclr, ile jest kolliecznr''clr clo rcalizacji celu badania' Czasenr jednakokaztlje się, z regLrly lv trakcie opracowywźlnia Ilraterialu Stat}'St}'czl1ego' Zepewlle rvarianty ceclry r,v1'stępują barclzo rzadko i rllerytorycznie uzasadllionajest agregacja rriektórych jej rvariarltórr. Wórr.cztls nlożtla utrvoI-z1'ć klasy zawie-rające po kiIka rr'ariatltólv badalrej cech}.. pollieu.az ocldziellrę ich rozpatr;rvattieltie trra ll,iększego SellSt|.

Przyklad 2.9

Rozrvair-n1'' s1'tuację' kicdy badając opillie rcspondentóu. na r'rybI.any tclnat pro-pontrjcrny, kilka rr'ariantórv occlr1': bardzo z|a, z|a, przcciętlla. dobra i bardzo dobra.a arralizując zcbraIl1' nratcriał dec1dtrjcm1' się lla prezcntację w''vnikólv badaI'lrv katcgoriach occll: negatvrvna (tj. bardzo z|a i z|a). przeciętna i pozyt1,rvna (dobraibardzo dobra). Warto rr,tr'ltl IlliejscLt usll.lrnllieć o tzw. rangol'aniu ccclr jakościo.rr'ych, polcgając),|n na tynl, Ze kcrnkrctttvln rr,nrialltoln ccchy prz1'pistrjc się pcir.nc cha-rakter1'styki Iiczbou,e Z\\'ane rangallri. Dla oInari'iancgo przykładu badarlia opinii re-spolldcrltórl' llrożlta zastąpió słorvlly, o1lis rr,arialttórv cechy, occtlatrli punktorr1'lni rrr,ra-Ża]ąc skalę ocell \v postaci np' ocl l dcl 5,.rdzic 3 jcst rórvnoz|laczllc occllie przcciętnejltlb skalę t.lccll .2, -l, 0. |. 2,

']dzit. Zr-rL} (rz|lAcZA su'ego rodzaju lrctttl.allly' stostlnck re-

spondcnta do badallcgo zjarviska. ł

Budtrjąc Szeregi roz(lzie|cze naleZ\' zdccl'dorvac o liczbie klas, ich rozpię-tości i Sposobie określania grallic przedzialóll.. NaleŻy panliętać. że dobra k|asy-fi kacj a porvi Il lla spe'ln iać drva pod starvo\\'e \\'ar[ll1ki :

nrusi bt'ć przeprorvadzona w sposób roz\ącz|1y, co ozllacza. że poszczególnejednostki o określonych cechach pou,itln1'byc rv sposob jedtloznacztl}' p|Zy-dzielolte do poszczegó|nych kIas (grup).nlusi bl'c przeprorvadzol]a w S}rosób zLrpcItty, co Z|aCZy. ze klasy pow.innyobjąć rr,szystkie cechy lvystęptliące lv danej zbiorolvości' W przecirvllynl ra-zie konieczne jest trvorzenie klas zbiorczych. ujrntrjących te cech1,'. które ma-ją istotlle Zllaczenie z punktu rvidzenia celtl badarlia.

61

62 BRonrurr srATysryczNE I JEGo oRGANTzAcJA

Tabcla 2.4Przy klud szercsu r ozrlzielczero

Nr klasy War.tość zlnicnncj(plzedzialv klasorve)

L-iczcbność klasy

(,t, r: .t,,, > 11,

I

2(-rr,r i -rrr,>('t:,l . 'ł:c >

u

11l

llz

11t

W pI.aktyce rvybór liczby klas zalezy od Iiczby obserr,vacji iod charaktertrdallych. Należy Llstalić takie przedziały klasorr'e, które obejnlrrją rr'szystkie darleoraz Zadbac o to, aby l<azda jednostka rllogła trafić tylko do jednej klasy. Rólv-l]ieZ wazllą rolę odgr1'r'r,a liczebrrośó rv przedziale klaso*ylll. gd;,i zat-cirvlro

mala liczba obserr'vacji podzielona na *,iele klas, jak i duza podzielona na nie-liczrlę klas;" ttie tljalvni obraztl StrtlktLlr),Zgodnego Z rzecz\,\Yistością.W literattlrze postulLl.1t. się stosori allic llastępt1ące.j zasad1. prz,v ustalaniu liczby,klas rr' zaleŹIlości od liczebności badanei zbiot.olt'ości'u:

Tabcla 2.5Postulo\\.cna liczebrltlśc przc'działó* klasorrr'clt s zalczltclści cld Iiczebności próby

Liczbl obsclriacii (ir l l'ie zblr zllcclrIlr ch klas (,ł).+() - 60 (r -S

ó0 - l00 7 -10100 - 200 9 -12200 - 500 t2 -r7

Zr.ódlo: K' Za.1ąc. Il991'|. s, 82

Długość przedz|alu na|eŻ'y dobierac rv taki Sposób, abv rvartości cechyoscylorvaly rvokóI ptttlktu śr.odkoliego klas1 .... I(otlstruor,v,irnie SZe[cgLl rozdzie|-czego polega przede rvszystkinl na rvlaścirv1.lll doborze lr'ielkości przedzial'uklasorr.ego' przy Llstalalliu którego należ1' rl'ziąć pod Llwagę pcwne kryteria (llieZawsze jednolite), pozr,r'alające rv prarvidlorr1' sposób ustalić StrLlktLlrę badanejzbiororr'ości. Prz1,dobolze prz'edziatórv klasorr1'ch porvilttto się dążyć do tego,aby Szereg rozdzie|czy darvał nrożIilt,ie szczególow'v i przejrz1,sty obraz struktu-t.), zbiot.orvości Statystycznej z pttrlktrt rvidzellia ccltr badarlia.

Poza tr,ielkością przedziaIórr'. dLrzy lvplyrv Ila l.ozkIad liczebności nla rów-Iliez prz1'jęcie odpor'viedrriej rr.aftości doIrlej grarricy piel.ri,'sze.i klasy' Gclr. pr.ze-

dzia\, klasolve oznaczone są rr, taki sposób, ze górna grallica przedziałtl poprze-

," Przv tu,orzeniu szerególl'roz'dzie|cz5.ch, G. U. Yu|e iJ. S. NeynlaIt za|ecają na ogól podzial

.. cale.i zbior.ow'ości na niervieIką liczbę klas. clkolo 10.20 (poróri,na.i K. Za.jqc It994] s. 85}.,, Szczególorve inlbl.nlacje |la ten tenrat nloŻna znaleŹó \\' pracY: K. Zirjąc, I l 994], s. 80-85.

GRupowRNle I pREZENTAoJA DANycH srATysryczNycH

dzającego jest I.ólvtla dolnej granicy, pr.zedziałtr rlastępllego (- przedziaĘ ot\\'ar-

te). wórvczas prz1,jrllrrje się zrvykle. ze rr,artości cechy odporviadające gornejgrarlicy przedzia'lLr za|icza się do pI.zedziału następnęgo. [-iczebności przedzia-lórr. klasolvy.ch nlogą bYc lvyrazttlle u' liczbach bezu'zględnych (trbsolutny'ch)Itrb lv liczbach li'zględnr'ch. tj. u stosttnktt do liczebności całej zbiorolvości(llajczęściej l'V pr.ocentach). W b.lll przr,padktt lllat-lly do czy'llieniaz liczebnością lr'zględną (częstością rvzglętlnr1) inaczej nazywa|]ą rvskaźni-lricm struktu11'. I,iczebności lvzgIędnę stanorvią jeclrrą z fortll opistr roz-kladudanej ceclry. ulatrviają rórvlliei pot.órvtly'rvanie struktury zbiorou.ości.

Reasulllując. budując szeregi rozdzie|cze moŹetrty rozpatryrvać albo po-szczególne lvarianty skokotvych ceclr statyst1'czllych. trrórr.itrrv rr'tedy o tzw.przedziałach klasorvych.iedrlojednostkor,v1,clr, albo nloztla fbrIllulorvać przedzia-ły, klasorve clla cechv ciągłe.], a także obe.jnlujące po kilka rr'ariatltórv cechy sko-korvej, czy|i tzw, przedziały u,ielo.iednostkolr'e, W niektórych prz1,padkach lry-godnie je'st arralizorvać cecli\'będące ze srr.ej llatttry cechatlti ciągłr,Illi jako ce.chy skokorve, rvórvczas zanriast calego przedzia|u podaje się zazr,r1'cza.i środekprzedzialu 'i' (gdzie -i, =I,* -'Yut). albo jego górllą x,- (eśli szer.eg uporząd-

kowany jest rostrąco) lLrb dolną r,.' (dla Szeregll nlaie.;ącego) graIlicę. Przyk,ła-

danli cech ciągĘch definiolr.arlych rv postaci cech sliokorrr,cli nlogą być: stazpracy podany ll pelnl'ch latach rnierzonvch od dnia zatrudnienia. czas dojazdudo prac1,'zaokrąglonr'do pelllyclr tllillLtt. ri'ydatki na zakup określorrylch dóbrzaokr.ą.-elolle do pełnr'ch zlot1'ch lLrb setek złot1ch itd.

W prakt1ce rr'.yróŹllia się rórvniez szeregi rozdzic|cze kumuIacvjne. któreporvstają przez dodanie liczebności kole.irlych 1lrzedzialorv i obliczając pl.ocelltliczebności kltlrrttloll'atlych rv stoslttlku do ]iczebllości calcgo zbiorrt.'u. Szeregikutlrulacine irrforIntrją dla ilLr jedrlostek badanej zbiororr.ości ztrrietllla prz1,,bie-

ra rvartości nllliejsze od górllej gfallic\/ kollkretIlego przedzialu (szereg kutllula-cr.jny rosnąc1,). lrrb dla ilu jednostek Statyst}czll\'clr zl-llietltla przyjmtrje rvattościrviększe od doInej granicy określoIlego przedzia}tr (szereg ktllllLllacrjnv nlaleją-cY - kunlulacyjny rozkład malejący)'

Podarvane rr, szeregach staĘstycznych liczebności rvzględne tzrv' wskazni-ki struktirry 11,' odporviadają prar,vdopodobieristrvu pojarvienia się określoltegorr,ariantu cechy'rv badanej zbiororvości. Natotliiast skttIrrttlol'''atle rvskaźrlikistl.ttkturV. opisLrj4e częstość rvzględIlą dla rvszr'stkich ''variantólv cechy nlniej-sz1,ch od górIlej grarricy u1'bratle.eo przedzialu' czyli { -};: X<'r,} tlazyrvaIre sątlystr1'b ualrtą cmpiryczn11.

Szeregi statystyczne nlogą przedstarviać badallą zbiorou'ośó rv Lrkładzie sta-

',, Porórr'naj pracę: T. Puclra|ski, Il973]' s' 35

64 BRoRlllE srATysryczNE I JEGo oRGANtzAcJA

tycznyIll, char.akteryzując .iej Stall w ściśle określonynl tnotrletlcie (np.rv określonynr dniu, ItliesiipLr. rokrr). Znlially zbiorou'ości lrrb zjarviskw pewlly|ll okresie opisLlją tz\v. szercgi czasorvc. Porvstają one, gdy podstaivągrupovvania jest czas, a celenl badania jest analiza zlllian pe\vnego zjarviskarv czasie (np' produkcja przerlty'slu rv latach 1990 - 1995). Tak rvięc szeregi cza-sor've przedstarr.i aj ą badallą zb iorolvośc lv irkładzi e dyllanl icztlynr.

Szeregi 1rrzcstrzentre (geograficzrle). opistlją roznrieszczelrie pev'nyclrzjarvisk w przestrzeni (części śrriata, patistł.a, regiony, gospodarcze' jednostkiadrlliltistracy,jne)' Budując Szereg przest|Zenl)}' lllozlla (podobnie jak przy szere-gaclr rozdziclczyclt) dzielić zbiorolvość tla lriększą lub nlniejszą liczbę grup(klas) r,l, zalezności od przyjętej jednostki ter1'torialllej.

Oprocz tabelarycznej lbrmy prezentacji zebranego nlateria.ly statysfyczllego(w postaci szerególv Statystyczllych). często stosuje się prezerltację graficzrląlv postaci r,r1'kresórv, diagranlórr' itp' PorliŹej przedstarr,iono przykład graficznejpr.czentacji drvóch szeregórv czasorr'yclt doty'czących nriesięcznych przychodór'vi kosztólr, pervnej firrrly lv okresie styczeli l995 . nraj l997.

0 i _= - 2 ńesiąc. -

Zródlo: Danc Llll10\\|lc'

Rvs, 2 l. Pr:ychotlv i kos:t1,/irnry- Xv, okresie st1'c:eń l995 - naj l996

Prezentacja graficzna nraterialu statyst)cznego stanorvi rrzupelnienie formy'tabelar1,czIlej' borvietl-l nlrlogośó danych zarvańych lv szeregach statysfycznychczęsto jest rllalo czyteltra, lvórvczas rvygodnie jest korzystać z różnego typu lły-kresórr,.

PRzvxrRo BADAN tA STATYSTYCZN EGo

2.6. P rzykład badania statystycznegoW lliniejszynr poclrozclziaIe onlórvillty przr,k|acl.7 baclallia Stat},StycZllego,

które zostało przeprorvadzone lv lipctr i sierpnitr l995L' na tet.eliie Łoc|zi, rlr.branyclt Iliast rr'ojervództrr'a łódzkiego, którego celellr b1'ła aIlaliza sieci.it strybucji produktórr' clreniii gospodarczc.j i spoz1'rvcze.|. Material Stat}'Stycztlyz'tlstal zebran}' Za ponlocą specjalnie skolrstruorvanej arlkiety. którą tlrypelniałipt.zeszkoleni r,l' tynr celtr ankieterzy (nlctoda lvyrviadu osobistego). Ankietępt.zeprolvaclzono w lrurtorr'niach oraz sklepaclr branż1, clrenriczlrej i spoŻr,rvczej.lnnynri slorvy, jednostkami statysty'cznynli rv t1'nt badaniu b1'ly punkty sprzecla-z1'o określonej branĄ' Brak dan1'ch (ze rvzględtt lla duze koszty'tląls|i.111^

.'-'-

forrlacji Z s}'ste|l-}tl Il.egon) obejnltrjących badaną poptrlac.ję sporvodorval. że niezostało przeprorvadzotle fortllaltre losolvalrie próby, z popirlacji gerleralnej' Do.bór jednostek do próby odbyl się na zasadzie '|atrvości clostępu. oznacza to, zeatlkieterzy'lv badaniu urvzględnili tylko te jednostki, clo któr1,ch nrogli dotrzeći lv któryclr lvyrażoncl chęć irdzielenia odporviedzi lla zadarvalle p.l,tania.

Allaliza sieci dystrybuc.ii zostala przeprowadzona dla następLljącr'ch cechjakościolvych: rodzaj punktu sprzeclaz1'' branza' typ lvlasności, charaktel. pttIlktLt

sprzedazy. forma sprzedaŻ.v, ocena lokalizacji placórvki, fbrnry akt1,rvizacjisprzedazy stosowane rv atikietou'anyr.n lrrtrrkcie sprzedazy, kry'teria x'vboru do-Sta\\'cy i potrzeba rvprolvadzettia na ryllc'k produktórv ekologicznr'ch oraz dlakiIku cech ilościorq,ch, a nlianolvicie: liczby pracolvrlikórv, rvartości roczllegoobrotu oraz porvierzclin i sprzedazy,.

Badarlitr poddano 50l pirrrktólv sprzedaŻ-v tla terenie Lodzi, p|ZY czylllz porvodtt br.akórr, odporl,iedzi lla niektóre py'tania rv analizach urr,zględniono494 ankiety, które starlorviłv pieru'otne zrodlo informacji na tenrat sieci clystry-btrcjilv pięciLr dzieInicach trriasta. Badanielll objęto t.ólvniez 4l4 placórvek han-dlotych Pabialric, Zgierza, ozorkou'a. Aleksatlclr.orr'a i Konstalltyno\\'a Łoc|z-kiego. Uzy,skally nlateriał statr'styczrry zosta,l pocldany grttpowanitt i zIiczaniLr.

Jak r'vspomIriano, jedno z ysytań tlmieszczoIr\,ch lv ankiecie dotycą'ło ocellylokalizacji ptrnktórv sprzedaży. Jest to przy'kład cech1, nienlierzaInej' odzrr'ier-ciedlającej opinie respondentórv. Wyrózniono pięć nożlirr1,ch ocetl, kttire rvrazz |iczbą odporviedzi rvskazujących lla rv1'blat)y przez respotldentórr, rvariant tcjcechy przedstarviono w szeregu rozdzielczvm.

,, w1,niki badań syntetvcznie przedstarviono rv pracach: D. \\/itkotr'ska' J. Witkotr'ski Il997|'[ 1 e98].

65

oo BnoRlre srATysryczNE I JEGo oRGANTzACJA

Tabcla 2.6Ocerra lokaliz'acji punktolv spl.zerlaŻy

Ocena lokalizacii |-ięzba otrtiktóri' sorzc d ażvbardzo dobra 11

dobra 178prZec lętl]a !,r3

złlt 4lbaldzo zla 20

Zrtirilo: opracoivanie rrlaslle lra pocistarric A' N1azur [|99ól. s' 50

Irrną badaną cecl]ą b1,la liczba osob Zatrt|clniolly'ch \V al]kieto\\'arl1'ch punk-tach sprzedaiy, ktora jest przy'kładeIll cecil1. ilościorvej skokolvej. Dla tej ceclr1,określotro przedzialy klasorve .irrz rv tr.akcie badania ankietorvego (prz1' czvtllostatni z przedziałou, klasorrt'clr jest otrvar.t1')' co \\,)'l]ika'lo z prz1'jętego podzia-łu placorr,ek handlolv1,clt'

Tabela 2.7Liczba pl.acolr.n ikórr' w' badanyc)l punktacil sprzedaŻy rv [-cldzi

Liczba pracorvnikóri. Liczba ptlnktów Sp|Zedaz) Liczcbllośc i sktttlru.lorvane

llolriŹci 3 290 290J -4{ 85 -l755-8 42 4t7

po*r'zci fl '7'7 494

Zród|o: opracou'anie ulasne na por|starr'ic A' Mazur Il996] s. ]7

Podatle rr, ostatniej kolttnlrlie liczebrlości sklttrltllou,alle pozrvalają odpo-rr,iedzieć lla p1'tatlie: ile przebadallych.iednostek zatrudtlialo pracownikór,v polli.Zej wartości górne.i gra|1ic}'przedzialu. Przvkladorvo, rr, 375 przeba(lallych pirnk.taclr harrdlolvy,clt zatrtldtliatlo do cztelech pl.acowllików, podczas gdy lv 290placórvkach zatrudIliotla byla jedna ltlb drvie oSoby.

Ko|ejna tabela jest przykladeIll szeregtt l.ozdzie|czego. w któr1,m badarriedo$,czyto cechy ciąglej, a liczebności podarre Zostały rv liczbaclr bezrvzględnyclli rvzględnych (lvskaźlliki strLrktr:r1'), określając1,ch procentotvy Lldział jednostekcharakteryztljących się określollr'Ilr rvariantenl cech1' lv calej badanej zbiorotvo-ści. W Szeregtl tyItt podano rórvrlież liczebności sklttrrttlorvaIle.

PRzvxu.o BADANTA srATYsrYczNEGo 67

Tabeln 2.8Porvierzchnia badanych punktórv sprzedaŻy rv Lodzi

Porvierzchn iasorzedazr' ( nrr)

Liczba punktórvsnrzedaiv

Liczebnościskunru lorvarre

\Vskazn i kistlukturv (0z6)

Skunrulowane I iczebno-ści ri,zqIedne (91'.)

0-15 93 c)t I tJ.8 r8.825 -50 l3t 22.4 26.5 15.3

50-75 105 329 66.675 - 100 39 368 1.9100 - r25 4t 415 g5 84.0125 150 5 420 1,0 85,0150 - r75 t2 432 2.1 81,41',75 - 200 ) +)/ 1.0 88.4200 - 400 il 468 6.3 91.1400 - 600 l5 183 3.0 97,1600 - 800 ll 49.ł )) 99.9

Sunra 49.1 99.9 = 100

Zródlo: Opracorvanie rrIasne lta poclstarvie A. N'lazur Il996] s. 57

Analizując datle zarvarte rv tabęli 2.8 lr,idac' Ze Skol]Strllowano przedział)'klasolve o róZnej dltr.sości' Do 200 tllr rozpiętość przec|'ijalólr' rvynosi 25lll],tlatollliast punktv Sprzedaży posiadające po\\}'iej 200 rn. klasyfikorvallo dlaprzedziałórv *1o'o1l'ych o rozpiętości 200lll. . Wlnika|tr to z |akttl, Ze da|le teby,|y szacutlkorve, a \V prz}'padkLl nlałe.i porvierzchtli rr,iększi1riagę prz1'klada siędo każdego ..I]letra'' niŻ przy dLrzej porvierzchtii. Porladto obiekq, halldlor'r'eo porvierzcllni do 200 trl] staIrou'iI}. 88.40/ó rr'sz\.stkicIl przcbadanych.jedrrostek.podcZaS gdy lv ostattlinl przedZiale klasoti'y'lll zllalazlo się.ic.d1'llie ll analizo-\\'allych punktów Sprzedazy, co Stano\\i|o 2.2oń ankietowall}'ch obiektólv harl-cllou,ych.

ostatni lviersz rv tabeli 2.8 spelnia firnkcje koIrtrollle, poda'iąc sttIlę jedno-stek stat1's|ycznych, ktore zostaly rvr,różnione z punkttl lr'idzenia konkretrly'chrvariantórv al]alizo\\'anej cechy. Jak rvidac rv przypadku liczebności bezwzględ-|lych Sunla jednostek rórvna jest liczbie ankiet. Ilatomiast w pr4/padkll liczebno-ści rvzględlrych ltlanlr,do czyrlienia z blędenl zaokrągleri (sttnta rv1'llosi 99,9oń,anie l00%). B'łąd ten.jest tynr rviększy, irn rr.ięcej lr,ariantórv darlej cechy rozl]a-trttjetlry, nierlllliej jednak ttie porvittiett oll przekraczać 0,3oń. Poda.iąc liczebno-ści skttInulowane, Iiczebnośc całc.i badanej zbiororvości uzvskttjetny dla ostat-niego rvariatrtu cechy, stąd dla koltttllll wyrazającyc|r liczebności sklttnuIorvatle

rlie rvypel'nia się już danych lv lvierszu ..St|l1la'', co oznaczollo symbolenl (x).Przedstau'ione rv tabeli 2.8 dane doĘczące pou.ierzchni sprzedazy mozl]a

pogruport,ać rv inny Sposób, biorąc pod ttrvagę częstot|ilrcrści rv1'stęporvania

1lIacórvek handlolvych o określonej port'ierzclttli. jak rvidać. 85o'ó placórvek tlla

68 BRołt'łte STATYSTYCZNE I JEGo oRGANlZAcJA

porvierzchlrię ltlniejszą niż l50 rrlr. Zbuc1ujnl1, rvięc pr.zeclzialy klasolve o różnejl.ozpiętości i skonstruujnly lla podstarvie danych z tabeli 2.8. inny szereg staty-st)'czny.

Tnbela 2.9Poivierzchnia badanyc|l pullktórv sprzedaz1 rr l-i''dzi

Z'rodło:-[abelu 2'8

Jak rvidaó, tabeIa 2'9 polvstaIa poprzez zItiiatlę dłLrgości przedzia|órr, kla-sorvyclr (agregację darly'ch)' ale rvciąz zarviera te sallle dalle statyst}'czl]e' cołatlvo prześ|edzić na przykładzie liczebności sktltrrtllou.aIly,ch. PrzedS1awiolledalre statyst}rczlle |lloz|la róu llież przedstawic na lly'kresach'

Fow ierzchnia punktów sprzedaiy250 -

2oo ), T-l.oll'3 rqn. I IE '-- l I

!,oo l I | |

': _Ll_L_l _-n_0 - 50 50 - 100 100 - 150 150 - 200 200 - 800

Pow ierzchnia (m2)

R|,s. 2 2. ll'ykres kolutnttotvy clln clunvclt : tabeli 2.9

Porvyżs;ry rr.ykres przedstarvia liczebIlości bezrr,zględne dIa rr1'ztraczoll1 ch

przedziałólv klasorwclr.

[)orvierzchn iasprzedaŹy (nl:)

Liczba punktórrsprzedazy

L iczebn o śc i

skunrulor anc\\'skaŹn ilii

strLrkturr'(9ó)Sktttrltt lolvatre l icz-ebnośc i

rr,zględIle (%)

0-50 )'),1 224 15.3 ..ł 5 .3

50- 100 t44 3ó8 29.2r00 - r50 )2 .120 r0.i 85.0150-200 t1 431 3 ".ł 88,1200 - 800 57 491 I 1.5 99.9

Surna 494 x 99.9 = 100

PRzyxt-Ro BADAN lA srATysryczN EGo 69

Fow ierzchnia punktów sprzedazy

D0-50 i

tr50- 100

tr100-1s0itr150-2001

lr2OO-soo

Ił'1,5' 2.'. II\,kyg' 1.,1n',, danycll : tabali 2,9

Wykres kołouy obrazrrje liczebności rvzględne lq,róztlionych rvariautór,vporvierzchrli sprzedaŻy' Natonriast przedstarviol1y na rysul-lktr 2.4 rvykres rada-rowy wskazuje na ..I]asycenie'' poszczególnych rr,ariantórv ceclr1,rv1,razone licz-bą punktórv sprzedazy charakteryztljących się określorlynl rr'ariatltenl badane.jcechv. Wszystkie typy lvy'kresórr, przedstarvione na r1,sunkach 2,l - 2.4 są starl-dardollylli rvykresanłi oferorvatlytrri rv pakiecie E,XCEL i niogą zostaó rvzboga-corre dodatkolvytll i obj aśnien ialn i'

Powierzchnia punktów sprze dazy

200-800 .,,,- 50-100

\r oo-r so

Jak rvcześni"j ,,','ff'iJ|:,,'.;:;;"::::i:,,:;ru,:;"|' ...t' jako ciągł'e lLlbskokorve nloże byó dość unrorvtle i rv większynr stopIlil.t rtynika z celu badania,a co za tyrn idzie z formy prezentacji danych niz z sarnej "naturv" konkretnej

150-2001

200

10

70 BRoRnre srATysryczNE I JEco oRGANtzAcJA

cechy. Za przykład posłuży natn badatlie porvierzchni ptlnktórr' sprzedaĄ, za.okrąglonej do pelnych ln., co prz'edstarr'ia ponizsza tabela:

Tabcla 2.10Porr'ierzchnia punktórv sprzedaz1' w'40 badanycIr pIacórvkach harrdIorv1''ch rr'ozorkorr'ie

[)orvierzch n iasprzedazv (nlr)

Licz-ba 1lLrnktór\' Spt.Ze-

daŻ,v

Porl,ierzch n ia sprzeda-zy (mr)

Liczba punktórvsorzedażv

l7 4l 2

20 50 )25 2 52 )26 ó0 4

f'l 70 6

30 4 80 1

32 100 )40 400

Zrćldlo: obIiczellia rr.lasnc na porlstarvie Nl. Kubiak Il996]. s'88

Jak łatw.o Zauważ},ć. ana|iza danych Zawań),cIl rv tabeli 2.10 jest dość trud-na, a Zbyt Szczególowa prezentacją 1.''ynikórv badania tlie pozrvala Ila analizęstruktut'v placórvek llalldlor,rych z punktr-r lvidzenia rvyrożniollej cechy. Dlategonalezaloby odporr'iedIlio zagregorvać rvarianty cechy' trvol.ząc przec|zia|y kIaso-\\,r:, aczkolwiek ich gl.tlllice i r.ozpiętośc llltlSZą byc zupelIlie intle niz dla obser-rvacji prezetttow'atl1'ch rr' tabelaclt 2.8 i 2.9. cllociazby dlatego, ze 39 placórr,ekhandlorr,ych 1l' ozorkoir ie (co stanorvi 9./5%) m iało powierzclln ię nln iej szą lLrb

równą 100 rll..W koIejnej tabeli podano przykl'ad Szeregu przestrzellllego, w któryl-l"l p|Ze-

prowadzolta analiza dot1,czy'la cechy rrienlierzalnej. jaką była stosolvana fbrt-tra

sprzedazy.

Stosorvatle lbrlny spl.zedażv rv lradalrr''cIl placówkach handlorrl.ch lra terenie o,u.." <l]J,|.il",l"#Formy

sprz-edażvDz-ieln ice [,odz-i

Widzeri' SLódnlieście Polesie G(l'na Balutv ocólenltl advcvina 52 8.1 99 4rJ t5l 134

sart'loobslu row'a 8 7 7 ) t0 JJlnlte ) 9 li zo

Surlra O. L)f I l5 5t 174 J9,,1

Zr(rdio: Opracorvanie nllsnc r)a p(rds1a\\ie A. NlazLlr [1996]. s. S3

Przedstalvione lv tabeli 2. i l dane urnozlilł,iają terytorialną analiZę zrożrń.colvania stosorr,anych fornl Sprzedazy. W ostatrlitlt wiersztl podarlo Iiczbę prze-badanych.iednostek rv kazdej z dzielnic. a ostatnia kolunlna inforrnLrje, ilc obiek-tólv handlorvych rv calej przebadanej zbiororvości stosorvało konkretną formęsprzedaży.

3. AruRulzł STRUKTURY zBloRowoŚclAnalizując zjatviska tllaso\ł'e. rv tl'tt-t zjarr,iska gospodarcze, ulvagę sku-

piatl1' na lv-vbraIlych 1jednej lLrb kilktr) cecllach charakteryzujących zbiorowośćSta|ysĘ'czl]ą. W niIliejsz-vnr rozdziale zajttiołać się bęt1zierny opiseln badanej

zbiororvości z punktu rr.idzenia perr.Ilej cech1''Ę która nloze prz1,jnlolvaó rw.t.ózniotte rvarianty: .T1, 'Tl'.... .I7,

P:rr:rnrctralrri opisorv1'mi zbiorot'ości statystycznej tlazyr,va się charakte-11st-r'ki liczbowe, rrlllozlirviające Slllllar\'czlly i skrócolly,'opis zbiorowości stary-

sfycznej. Paranretty o1lisowe pozlvalają lra określetrie.'o:

l) przeciętnej rvartości arlalizorvarlcj cechy statysĘcznej, przez rvy*bór po-jedynczej lr,artości. tj. llriary przeciętnej (połozenia)'

2) zrltienności (d1'spersji, rozproszeIlia) lr,at.tości cec|ry rv obserrvorvanejzbiorolvości. tztl. tltiary znriellności.

3) rv jakim stopniu badany szereg odbiega od idealnej s1'nretlii, lnianasyrnetrii.

Analiza paratnetrórv opisorr,ych pozrvala rvykryć różIlice rlriędz1' zbiorolvościa-rli, które sprolvadzają się do trzech przypadkórr.:

l) rozkłady nlogt1 się różnić połozettielti. tzll' lvartclścią cechy' rv pobliżuktórej skupiają się obserlvac.ic.

2) spostrzezenia lllogą się skilpiać wokół tej same.j lvartości. |ecz roŻnicobszarenr zntienności'rozkłady lr1ogą \\'reszcie roznić się jednocześnie cote r1'styk I iczborvl'ch.rozklacly ll1ogą \\'feszcie rózliic się jedIlocze śtlie cotervstvk Iiczbou'vch.

3.1. WskaźnikistrukturyJak już zosta}o porviedziane rv poprzednitn rozdziale. struktura zbior.orvości

lub prób"v tltoże zostać przedstarviolla Za polllocą liczb absolutrtyclr lub lvzględ-nych' Liczby absolutlle sąto lvielkości, które otrzynitrje się rv llyniku nlierzetlialub sutllor-vania jedrlostek zbiororvości, są zatenl liczbanli nliaIrorvaIlvlrli' Liczbyrr,zględne są rvielkościanli, które \\ryZllacza się jako stosuIlek drvóch liczb abso-lutrrych. Ze lvzględu lla to' Ze liczby absolutne sąna ogól nrało przejrzyste (po-

1t

4)

do obu tych charak-

do obu ty'ch charak-

'' $. 1,''.1, I(' ZĄąc. Il991]' s. l40 lv1,róŹnia się .jeszczecech;' rr,zbiorze' przez obliczetrie ltroIllelrtóu, orazi splaszczenia (ekscesu) rv stosunku do ksztaltu krzlscjspłaszczen ia'

określellie rozlllieszczetlia rr,arialltórvl'skazanie skupienia (koncentracji)

nornlalrre.j, przez obliczenie rvskaŹnika

72 ANALlZA sTRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

rólvnaj chociażby datre zalr'arte rr,tabeli 2.l l), to do oceny struktury zbiororvo-śc i nykorzysty\\'al]e są często l i czeLrnośc i lvzględne, llazywalle rvskaźni kanl i'

Wskaźnik strukturr' (częstość rr'zględną) ir', clefinitrje się jako stosunek

liczebności części zbiororrości do liczebności całej zbiororł,ości, cry-|i:

ł1,1r, = --:L (3. l)

t1

gdzie:tt, - |lczbajedIlostek Stat},St}'cZll\'ch cltarakteryztljąca się l-rynl \Varia|lteI]1

danej cechy,ll - liczba rr'sz1'stkich jeclrrostek Sta$'St\,cZ|l\'ch objętvclr badanietlt.

Wskaźnik struktury illlbrnlLrje, jakijest udzial jednoStek Statystycznvch po-siadających i.ty r'variant cechy w całej badaIlej zbiororvości' Jeśli lr', prze|lltlo-

zyt.ny przez l00, to ott.zylnatlry udziały procento[,e.WskaŹniki struktttrv nie zrnieniają proporcji ponlięclz1,, liczbarrii absolut.

nylrli. Wnioski forrllu|o\\ane przy ich uzyciu lllozl]a rvyciąglląc na podstarvieliczb absolutnycll' jednak nlacznie łatrviej poznaje się struktur.ę zjalvisk. jeślijest orla przedstittl,iolla Za l)olllocą liczb rvzglęclnycll. W przypadktr analizy cechjakościorr,1.ch rr.skazniki strukturv stanorvią jeden z podstarvorvych sposobórvanalizy' stt.uktttrl, baciane.j zbiororr'ości. Częstości rvzględne l]]ozlla kuIrlulorvacrrz5,skrrjąc l,v ten sposób rrdzialjedriostek statysfyczlly'ch, cltarakteryzrrjących sięlvarialrteIlr ceclr1' sięgającyrlr 1;ozionlrr górrlej granic.r,rr,ybranego przedzialu' dIaktór.ego \\,Yzlraczono sktttllttlorratlr' rvskazllik strttktr.rly (porolr'rlaj dane lv tabe-lach 2.8 i 2.9)

Przykład 3.1

W tabelach 2.8 i 2.9 plzedstarliono proccnto\\'c l'skazniki struktury, \ryznaczoncna podstarvic reIacji (3.l). AnalizLrjąc porr.icrzchnię splzedaĄ, (tabela 2.9), nożna po-rvicdzicć, Żc bylo 45% badanych placóri,ek handlo''vr'ch o por,vierzchlli mnicjszcj niż50n2, ?9oń posia<1ało polvierzchnię od 50ln2 - l00ln2, l17o porvierzcltnię od 100nr] -

l50rrr],37o powic^rzchnię od l50lu2 - 200ln], a l2% clraraktcryzolvalo się porvicrzclutiąod 200rn. - 800lll.. W sposób gra1iczny zostało to przcdstarvioIle tra rysutlku 2.3' Z kolcirvskazlriki sklttnulorvalrc wyz|laczolle rv tabeli 2.9 inforrnują ze pralvie 757o pullktólvhandlow1'ch posiadalo porvicrzchllię ponizej 100nl2.85% - poniŻcj l50 nr2. a88.47oponiżej 200llr2' e

MlARY oPIsUJĄcE PRZEc|ĘTNY Poz|o|V ZJAW|sKA

3.2. Miary opisujące przeciętny poziom zjawiskaMiary śreclnie (zrr,atle też tltiarallti przeciętnvnti albo położenia) słuzą do

określania rvartości znlienIle.i. rr'okó,l ktorej skupia się rviększość rvartości. Są

one najbardziej rozporvszechniolty'llli nliat'anti statvstycznyuli ttzyw'allvllli rv

praktyce. Za pottlocą jednej liczby pod.Uą one charakterysty'kę pozionlu ztrrietr-

nej, czyli cetltralIlą telldencję (stąd tez częSto llaz),\\'al1e są rórrrliez llliaranri

teńdencji centralnej). Istnieje killia rożrlych ryporr' nriar średrlich. lch stosor'vanie

rrie jest jedrrak dclrr,ollle , za|eŻy bou,iellt od celu badania oraz posiaclany'ch da-

n-vclr staty'sĘczn1,ch. Wyróinia się drva podstarr'clrr.e rodzaje trriar średrrich:

) nri:rr-v klas.vczttc, do których za|icza się: średniąaf}'tllęĘvczl1ą, Ilartnoniczną

i geotletry'czllą.} nriary ptlzycyjne, clo których za|icza się: clonlillantę ikrr,afty'le.o, przy czytll

szczególnie rvyrózrria się luediallę. czyli krvartyl drLlgi.

N4iary klasy'czne są obliczalle jako lvypadkorve u'at.tości lvszystkich rva-

riantórv cechy, rvystępujrpych u badarrvch jednostek zbiororvości. podczas gd1'

rlliar1'1lozycyjtlc rrskaztrją rla okreś|oną 1lozycję jcdnostek Stat\SDCzn}'ch'

Śrcdnia arytmcĘ'czn:r jest to rvartoŚc cechy,, którą posiadałaby kaida jed-

rlostka zbiororvości. gd!'b}, podział sLtIlly lvattości cech b1'ł lórvllotlriertly tzn.

rr kazdej jedlrostki zbiororr,ości \\'}lstępo\\'alaby ta satlla rvat1ośc cechy. Srednią

atytnletyczltą de1irlitrjeln1, jako Stlnlę \\.artości cechy'' rnierzallre.i 1lodzielonąpizez |i,czbęjedrlostek skorlczorle.j zbiorori.ości statr.strcznc-j. \\/artość średniej

at1,ttrletycztrcj rvyzllacza się Ila podstari'ic rr.zorórr' uuzględniających sposób

prezentacji danych w Szeregtl Stat).St}.czll}'rrl. W prz1.padku Szeregtl szczegó'}o.

r,vego korzysta się z relacji:

73

Dla szeregu rozdzie|czego zarvicrającego k przedzia|'órt' klasorvych, rv których

zlrlielltta rcprezentująca badaną ceclię statystvcztląjest skokorva. a przedziały,

klasorve jednojednostkorve (punktolve) stosLrje się rvzór tla tzr,r,. średnią łvażo.

na:

lś-t = - f .J,

tt1

tkl\-.T=- ).I,Itt,ttA

(3 2)

(3 3)

]9 oprócz krvart1'|i lr,yróżrria się rórvniei decy|e, percentyle itp., zrvane ogólnie krr.ant},Ianri

74 ANRt-lz,ą sTRUKTU RY ZB toRowoŚcl

natollliast rv przypadku zlltiettIly'ch ciąglyclr lvystęprrjącyclt rv szeregu rozdziel-

cZ).ln o przedzialach klasorvyclr lvielojednostkorvych. średnią arytrnetyczl-lą

w)]Zllacza się jal<o:

r--!i,rr,. (3 1)ll t=l

gdzie :

x, - waftości znriennej, l-ty .'variaIlt badanej cechy'

n;. Iiczebtrość grup reprezentr'rjąc1'ch l.fy przedział klasorvy (tzrv. rvagi).

ll - liczba jednostek objęq,ch badallietrl, n =|n, ,

k - |iczba rvyloznion),cll rvariatltó'v badanej cechy statystyczne.j, liczbaprzedzialórv klasorłych,

i, . środek przedzia|u klasorvego'

Przvklad 3.2

ZaIoŻl'l'lx,' Zc ll1aI]1\, Szcreg stat\st\'cZ|l\'. zari'icra.jąc1'. l0 obser.rr'ac.1i dotyczących

rvieku sttrdcntórr II rokLr. (r |lll5t!.ptljąccj postaci: ]0.l9. 20. 20, 2l, 20' 2?., f3,2|.24.W celu 1.,'t'znaczctlilt śLcdnicj aI\tlnct\cztlc..j riickrr sttrdcllttirr,badanej grupy naleŻy sko-

rz)'stac Ze \\'Zorll (3.3). gdy'z llratllr do czrnicllia z szcl.egictlt szczcgólorv'vrn. Stttna rvar-

tości zlrliclllrcjl0

I t, = 2lo'

stądśr.edniaaryt|11et)'cz|larr,1'nosi: 2l0ll0=f|,czyliśredni rviekbadan1'chstudentólv

u1 nosi 2l lat. C

Przyklad 3.3

Wyznaczrny średnią ar).tn1ct).czną rr'ickrr strrdclltórv na podstarvie polliŻszego szc.

"^.,,,^.A.intn.onn.

MleRv oRtsu.lącE PRzEc|ĘTNY PoZloM ZJAW|sKA

Tabcla 3.1

Nurnct'klasv

Waliantv cech1,(rvick u latacli) .t,

l-iczebnościn,

X1 tll

t9 J 57

2 20 t2 240J fl 6 t264 )2 J 665 2.3 3 69o ')l 3 '7)

X Sunra l0 630

ZródIo: Danc u!ll()\\'tle

W celr-r rwztlaczeliia średniej arytlnct}.cznej nalcżv skorzr'staó zc rvzoru (3.3)in1'zIlaczr'ć sun1ę ilocz)'nórv rvar.tości znlierltl1'ch xl przez liczbę strrdentórv będącychrv konkl.ctrtt.llr rviektr li,. Następllie dzicląc surnę:

)-v,n, = 636

przcz |iczbę obserrvacj i n : 30, otrzylrluje Iny' śre dnią arvtlnetyczllą lórvną 2 l lat. e

Prz1'kłrrd 3.4

Wl'zllaczając średlli11 al\'llnct\'czt]ą porr'icrzchni sprzcdaz1, rr, prze badan\,ch pla-córvkach halrdlow1,c|r u, Ozorkori.ic (darlc z tebcli 2.l0). Lrz1'skaln1':

ló

Z,,,, =2396 ' co d|n ll=.ł0 dljr': r = 59.9 lll , '

Stąd przeciętna por'vicI.zchltia sprzcdaz;', rr' przcbadallr'c|l pl,rc ,rikach

handlorryc|t rvOzorkou'ic \\'ypo. 59.9 lllr. C

Przy|rład 3.5

Wvznaczniy średnią a|},tn)et)'cZną porvierzchni badanvch punktórv sprzedaiyrvŁodzi (Ira podstarvie dalr1,cli z tabcli 2.9). Wl'korzystall1)'rv tvnr celu rclację (3.4).

Nalci;, ir'ięc rryztracz1.c środki przcdzialólv klasow1ch i.' , co robinry rv tabeli stat,v-

styczncj.

76 ANłt-lz,ą sTRUKTURY zBIoRoWoŚCI

Tabcla 3.2

Numerklasy

Porvicrzchniasprzedair' (lnr)

.łl

Srodkiprzcdzialólv

i,Liczcbności

n, x!lll

I 0-50 25 aa l 56002 50 - 100 15 144 r 0800J r00 - 150 125 52 6500I r50 - 100 175 l-t 2()155 200 - 800 500 57 28500X Stuna 494 )+J /)

Dzicląc sulrlę5

\i,tt, = 54375 przcz ł=194^ otrzl,rnujernv i =I10.07nt2 .

Srcdnia arytlnetyczna \r)lznaczona dla <Janych inclvrl'idualn1,,ch tj. nie pogruporvanychrv przedziall' klasori c rv1'n iosla'u

x=100.30Ór2. e

Jak rr'rllika Z po\\\Zszcgo pr.z}kładLr. wartość średrliej Za|eŻ-\,od agregac.jidany'ch Stat}St\czll\,cIr i sposobLr kollstrukc.j l prze.dzialóii'klasolv'ych.

Prz-vklacl 3.6

a.) \\' pcri,,lll.nl przcdsiębiorstu'ie zatrtrdllia się drr.ic grtrp1.' l.obotrlikórv: r,wkrvalifl-ko*'allvch illiovvkrvaliflkoiiarlvch. Srcdnic placc obu gnlp oraz ich udzialy procentowerv ogólncj liczbic pracolr,nikórv przedstarviorlo rv tabeli.

Tlbcla 3.3

Srcdnia placa -r UdziaI %o IIi ,t;11';

2500 20% 0.2 500I 100 809/o 0.8 880Sruna 100% 1,0 1380

Zródlo' danc tllllo\\lle'

ob]icz średnią placę rv caly,ln zakladzic.b.) Rozrviąillly to sirn]o zadanic u'iedząc, Że pracow.tlikóri'w)'sokich kivalifikacjach

jest 10, a pozostalych 40.

"', Porórvnaj D. Witkclrvska, .I. Witkor'vski. Ii997] s. 253

MlaRv oelsu.lącE PRZEClĘTNY PoZloM ZJAWIsKA

Rozrviązanie:

a') Zatrrvażnr;'. Źe liczcbllości obu rvariantólr' attalizorl'ancj ccchy zostal'v przedsta-rviolte za potltocą liczb ri'zględll,v-ch. tzn. rl,skaznikóri.slrukttl|y. Na 1rostarvie rcIacji(3. 3 ) otrzy'rrlalrt1, rl'zór:

lri=:t.Y,/' -r.' a=|r.r, .

n -..t T, il -,Który'ir1'korz)sta|1.l\.rr.ccltl obliczc'nia srcdnic.j placl'rr'calr'tn zakladzic. Stąc| na

podstarvic obliczerl z tabeli 3.3 stn'ierdzarnr'. ie pracorinicl'analizowancj 1irny,prze-ciętnic zarabiają l j80zI.

b.) W t1'm przr,padktl Średllią placę rrr,zllaczaltly zc ri'zorLr (3.3). Potr.zcbne obli-czcnia plzedstau'iono u. tabeli 3..1.

Tabcla 3.,1

Srcdnia placa -r', Liczcbnośćn;

xt llt

2500 t0 2s000r r00 10 4.ł000Srrrlra 50 ó9000

Zródlo: dane lll.llo\\,|le '

Src<jnia ulnosi t: uot::o = l380zl. Jcst zatcrn icrc6tyczla jak \\,\,z.aczo.a punk-

50cic a.)' ponierr,ai zachou'alla zostaIa proporcja nriędzr' dri'ictlra urupatni pl.acorvllikórv.Wskazlriki Strukttu.)' w obu prz\,l]adkach są idcllt1.czlle . e

Warto Zwrócić uwagę rla lti||ia l)o(|Sta\}o\r'l'clr rv'lasności średniej ar1't-metYcznej.

l' Jest ona Wypadko\vą \\,SZYStkich \vartości badanej cechv, rv zrviązkuZ Cz7l1.11 llie moze by'c tlizsza od llajmniejSZej \\artości zaobserrvorvallejrv badaIliu i nie ltloze b},ć rrt'ższa od wartości rlajrviększej, zatern za-chodzi relacja -r,'',, < r ś x'.'.,. .

2. Wartość średniej zalezy nie od Iiczebności klas, lecz od ich lvzajetrlne.jproporcji. W prakt5ce oz|1acza to. Ze lllozlla ją rólvllieŻ lv.vztlaczs,ćz takicIl szeregótl.. gclzie zallliast liczebności tnaIl-lv li'skaznlki strukttl-rv' a otrzymane rr,vnilii będą.jedrlakolve (pot.olvIlaj przykład 3'6).

3. Surlla odchyleI,l lvartości badanej cechy od średniej aryt|.lletycZIlej jestrórr,na zertl.

1. Sunia krvadr.atórr, odchyleri poszczególn1'ch rvartości zIltiennyclr bacla.nej ceclly od średniej arytIlletycztlej rozklaclrr jest najnlrliej sza, oz|la.cza to, ze Stll1la krvadratórv odchl'leri poszczególnych rr'at.tości zttlien-nej r.ozk]ladu od lr,artości rciżnej od średniej będzie ZawSZe rviększa.

AnRllzn sTRUKTURY zatoRowoŚcl

Sredllia al.),tlllet\,czl-la .icst rvpt.arvdzie rlajprostSZą Z rlliar śreclnich. jednaknie zarvsze jest ona dolrrvm nrielniliienr tendencji centralnej. Chodzi tuo sytirację, kiedy Ila.jrviększe liczebności skLlpiają się rvokół najniższych lubnajrvyższ1'ch rr'artości cecll1'. Niekiedy' średnia afY1l-I]eq'cz|1a wprorvadza poprosttl w błąd' D1ieje się tak wo\\'czas' gdy rrr'zllaczanly średnią ze zbiorórvniejedIlorodnych". oraz gdy u'ystępu.ią obset.tracje Ilietyporr'e, poniervaż średniaarytlll et\Iczn a zacier a rózn i c e i ll dr',rv i d tta I Il e.

Itltl1,ttl przypadkiern. kiec11, śreclnie ar}'tn]et}'czlla nie porvittna b1.ć Stosowa.rla jest rvystęporvanie zbiolorvości z jednostkallli rlierypou.vt-lli, poniervai śred-tlia zalvierać będzie r,vartości niet'vporre. a t,\'Ill Salli)'Ill Ilie będzie poprari'nieopisyrvać połozenia. W tej S}'ttlacji llrozria policz1 c średrlią art,ttrret1'czną odrzu-cając jednostki rlietyporr'e pod rr'al.ullkielll. zc staIlolr'iil olle co na.irvvżej 5%l iczebności całej zbiororvośc i.

Stostrjąc rvzór (3.4) llrożna oblicz1,ć średnią al.\'tl]let)'czllą dIa zalltklliętychprzedzialórv klasort'ych' poIrierr,az tylko rvtedy daje się rr,''-ztlaczr.'ć ślodki tychprzedzialórv. W przypadku. gdy przedziały klasorr'e (pierrvszv i ostatni) sąotwarte, a ich liczebIrości są stostttlkort'o |naIe*., lllozna dokonac utlrorvtrego ic|r

zatllknięcia itrstalić u'artości środkórv przedziałorv. Nie lltoŻna jednak tak po-stąpic rr'1lrzvpaclktr. gd1' trclzial liczebllości otlr'artych przcclzia'lorv tv ogolnejsunrie liczebnościjest ZIl3cZI))'. tzrl' rr tej s1,tLracji rlie da się rvyznacz1'c średniejalytnletl'cznej .

ltlltą nliarą klasr'czItą jest śretlnia harmoniczna, którą wvznacza się dlaszeregu rozdzielczcgo o plzedzialach klasorvy'ch iednojednostkorvych jako:

t1xl, =J-

I

Il",l=l ,rt

(3 s)

gdzie oznaczenia jak tlyżej. W przypadkLl pr.zedzialórv klasorvych rvielojednost-kolq'ch rvartości zttlieIinej \\'e \\'Zol.Ze (3.5) zastęptrje się u,attościanli środkórvprzedzialórv, a cila Szel.egll p|ostego rraqi lli określające liczebności są rór'vnejeclen' Sreclnią hat.lnoIliczIlą stosuje się lv sytuac.jach, gdy rvartości zlliellnychpodatle są rv przeliczetritl lla stałąjednostkę. a lvagi (liczebności) rv.iednostkaclllicznikórr, rr,artości ztl]ietltl1,gl1u'. W przr'padkrr takich cech jak:

Ztiior;- niejetlnot.odne tllają rtlzklad), z kilkonla ośrodkallli dclnlinu jącr nli.Sclbcz.vk Il995]' s' 35 podaje. Ż'e oznacz.| to jeś|i one nie przekracza.ją 5% liczc.bności calcjzb iororl,ości.

r:. Pot.órutla.i ostasiervicz Il997 |' s. 5l

Mnnv oetsu.lącE PRZECIĘTNY PoZIoM ZJAWIsxR

- spoĄ'cie lv kilogr.allrach lla osobę [kg/osoba] - liczebIlość jest określonadla cechy podanej rv kglgęstość zaluc|nienia rv Iiczbie osób Ila krlt: [osoba/knlr] - liczebność

jest określona dla liczby' osob;

-- pracochlonnośc [nlin/szttlkę] - liczebnoścjest okreś|ona dla czastl;

- cena jedlrostkorva [zllsztLrkę] - liczebllośc dla ceny.

Przykład 3.7

NaIeiy, oblicz.vć średrlią gęstość zaludnicllia dla lniast Tró.jrniasta: Gdariska, Gdynir Sopottl. lr'icdząc, zc gęstości zaludllierria rl. ty,ch lniastaclr \\\'|loszą odpou'icdllio*-:l165.1852 i 2553 osób/kllr.. natonliast liczba lLrdności lr'ty'siącaclt 162.3^ 251.9 i43,.ł'

Srcdnią gęstoŚć zaItrdIlicnia ltalciv rvyznaczyć jako stosullek Ja.czliej liczby ludno-ści do lącznc.i porr'icrzcItlli badalrych Iniast. co prZY po\\,)JiSZvc|r dan),cIr prorvadzi dośredllicj lrarllroniczlle.i z gęstości zaltldnierlia. Zatcln korzystając ze r'vzorLr (3.5). otrzy-rnuienrv:

462300+251900+43400 157600*-462300 25 1900 43400 41s.4s

1765 1852 2553

= 1823,56

Zatenr śrcdnia gęstość zaltrdnicnia rv Tr.ójmieście rr'y'nosi l824 osob1'/kln-

Przyklad 3.8

Danc są drr.a gospodarstrva dolllorr.c. którc koIlsunltr.'jq tę saln.l ilość ryb.

Zrtidło: ditnc tlnlo\\'Ile'

W1,2'lu.. śrcdrrię spoz5cic ryb rla glorvę nricszkańca rv allalizolvatlvclr gospodar.strvach.

Bsayr-qzallę.Srednic spoż.vcic l.y'b na glou.ę nrieszkanca lv obu analizolr'ltnvch gospodarstrvach

lllozna obIicz1'c jako sunrę spozytych ryb podzielolrc pftez liczbę osób rv obu gospodar-strvacll dornorvych. co rry nosi:

79

ć'

Tabclrt 3.5

Liczba osób rr gospodar-st*'ic donron'l'nr rl,

SpoŹ1'cie ryb przcz gospodar.strra doruorrc n kg t,

Konsumpcja r1'b nag'lorr'ę .t, _ :rl,/nl,

2 l0 ) KŚl

5 l0 2ks

'" Zródlo: Rctcznik Staty'st1.czn1' I l997]' str'99

Arunlrzl STRUKTURY zB|oRowoŚcI

\-LY l0 * l[r 20

L= 2-5' jJcśli nic zt]allly tlll oraz.1', (ale rvicln),. Żc rr'1,nosi tyle sanro). ź.t Z|lallly średnie spo-

ż1,cie ryb na glorvę 'Y/. to n]tlsitll\, trz)'c śrcdIiic.j harnloniczncj (3 5) d|a n,: l porlicrvaŹanalizorvany szcreg jcst szcrcgicnr prost) nl. IVlanl, zatcru:

rr2)20,t, =-nłl]l]<-

Fl,r 1-lAx,' 5 2 10

Jest, lvięc identr,czne dla obLr sposobórr liczcllia. Przcciętnc spoży,cic r1,b na glou'ęttlieszkańca rv analizorr,arlr,clr prz1.padklcll rirrlosi 2.86 kg. cd1 b1'dla cechy stosttltko-lvej -Y; zastosou'ać śrcdnią ary.t|llct\'cZlla.. tL] śr.cdnie spoŻ1,cic ryb rv1,rrioslo[rr'

.\. = :---. = 3'5ł.s . co tric jcst po;lr.arr.nvm rr'5'nikicllr. e

Przl'kl:rd 3.9

W badaIliach urr,zględniono 45 dri'u- i pięcioosoborr',vch gospodarstw' donlorr1'cliopisaliy'ch rv przykladzic 3.8.

Zród lo: daIle ulnorvne.oblicz śr.cdrlic spoi1.cic ry'b rra gloir'ę lliic.szkaticil \\' attalizolr,an;.clr gospo<Jar-

stwach.

Rozrviazanie :

Sredrlie spoĄ'cic ryb na głorvę nricszkańca rr,allaIizorvalrych gospodarstrvach' obli.czolle za po|l1ocą śrcdlricj harnloniczne.1 (3.5)rr1vnosi:

inn f5+20 TJ aJ a

5+10 l51- 1{-l

2

Mając daItc o llczbic osób rr,r.odzinic śrcdllic spoą,'cic llloŻlla rórvIticz policzyć ja-ko:

cąkovite spo:po:lł ry,b

=-=-ś l ,, !.,.*2x" 5 -'

450łg

-

= 1k<,

150

Tabcla 3'ó

Spozycic na glorręxl: |)Ł/lJ|l

Liczba tospodarstu, dolno-rr) ch obu tvpcl*'ł,

SpoĄ,cic ryb przcz ll, gospodarstlr'donlou'vch yi : xl t)lint

5kg 25 5kt '2'25 = 5ke'50 : 2-50ks' t_(t l() 2k{r'5'20 : 2kg' I 00 = 200k9

Srrrlra .+5 450 k'.

lic:bct osób

MlłRv orlsu..l4cE PRZEclĘTNY PoZIoM ZJAWIsxR

Przeciętlre spoŻycic ryb na glolvę nlicszkańca rv alializorvan1.ch gospodarstlr'achrq'nosi 3 kg. e

Przykl:rd 3.10

W drl.óch gospodarstrr.ac|l clolnoul'ch o tc.j same.j liczbie osób spoz1'cic rr'b jcstprzcdstau'ione rv tabcl i.

Zit'r.llo: dane umo\\'ne.

Ile rrr.rlosi śrcdllic spożycic r;'b lla glorrę nlicszkatica rv analizorvatr1'ch gospodar.strvach?

Rozu,iazanie:

ŚLcdnię spoŹycic r1',b na glolve nlicszkatica rv obu analizorvatr1,ch gospodarstrr'achrq'nosi:

Fu ')rJ rJ/_/1 l\t-a- --

_: r -tf(t

T,,, '-f I -'- "tL"'IJcśli llic zl1all1v lit, (alc rr'ictll;.. Źc rr'l'liosi t\,le saIno rr'obLt lospoclarstrr,'ach) oraz),]'

a Zl1alny r, , to lnusit:tv rrz1'ć śrcdnic.j arr'tlnc1}'czIlu.j:

Y.' {,1i =

/---, -. -:T- = _t-i,(r,

n I -'-s

Przcciętnc spoż)'cie r1''b na glorr'ę lllicszkruicastrvach wynosi 3,5 kg.

Przyklad 3.11

W badartiach trrr'zględniono 45 dlvtrosoborvyclrrvpr.z1,kładzic3'l0.

81

u' obu allalizorvanvch gospodar-e

gospodarstw dorno$1,ch opisanych

Tabcla 3.8

Tabcla J.7

Liczbr osób rr' gosPoJltr- Spoi)'cię r.1,b 1lrzez goSpodar. Konsurnpcja r1'b nastrvie domow"r'nl Ór stu'a do uou'e r.r'kg 1,,

Spo4'cic na głowęxi:,,i/ntl

Liczba gospodal'st\v domo-w\'ch obu t1'póu, ll'

Spoiycie r5'b przez rr1 gosltodarstrvdotlorv\'ch yi = x].lł11't1!

5 25 5ks'2'25 = 5k{:'50 : 250krr/K 2t) fks.'2'f): 2ks'40 : 80ku

Suma 330 krr

ZródIo: dane ulllo\\ lle

Óz ANALlZA sTRUKTURY zBIoRoWoŚCI

Wl,ztracz Śr.ednie spoi1,cie r1,b rla glowę Inicszkańca rv aIraIizorr,atlyclr gospoclar-strł'aclt.

Rozr,viązanie:

Przcciętne spoŻycic ryb Ila glolvę rv obu Ę-pach gospodarstrv obliczone zgodrlie z(3 .3 ) u'1'nosi:

- - I-t,,t, 5 '25 + 2.20 l2-s + 4o r65=-=-:;=j'(:/tt 45 15 45

Przcciętnc spożr'cie IlA ułorię llloŻlra róri.tlicŻ oblicz}'ć jako:c'łlkt'lttitc spo:pu:|cit l.).b * j j0łl'

= i (fl !.<tlic:bu o.yóh 9() -..','.$

Przcciętlle spoż1,'cie ryb lra g-lorvę nrieszkańca rv obu analizorr'atll'c|t gospodar-strvach uynosi 3.67 kg. C

Przvklad 3.12

B ad a ll o drva go spodarstrva spoiy'rvaj ące ryb'v.

Tabcla 3.9

Irttdltr. dalrc unlo\\Ic.

lle rr'r'rlosi śl.edllic spozl'cic rr'b Ila glou.ę lllieszkańca rv analizor'vatr;,ch gospodar.stu'ach?

Rozu,iazanie:

Slcdlljc spozycic r1,b na glorrę rnieszkatica rv obu analizorr.allych gospodarstr,vachuynosi:

\',,L), lU+Ó |6i--=

--i.-\ "' Ir-lLur :+J )

JcŹcli rlic Z|loll1)''l''i. alc zltanrl,-Y, i l,i,i, tt'lozcltl1, Lrz1'ó średnią \\.ażollą liczbą osób (rvgospodarstrvic dornorv1'nr) obliczoną *,cdIug rr'zor-u (3.3) cila lł,'

k

).r-,rr, \.?+f.l- ,:-'" = )--,L,,,,

Przeciętne spozycie ryb na glorr,ę nlicszkatica ti' obtr analizorr,ally'ch gospodar-strvaclt w'\'nosi 3,2 kg.

c

Liczbl osób rr goslrgjr1.-stri'ic clotttorrr ttt ril,

Spozvcic rr,b przcz gospodar-st\\a donio\\c w kg t,

Konsuntltcja rr,b na

!lorr'ę 'r-, : 1,,,,/ttt,

?, l0 -5 kcJ 6 lkg

M lnRv o p ts u..lRc E pRZEc I ETNy poztotv4 zJAWts KA 83

Prz-vklad 3.13

Przcbadano .15 gospodarstrv dotlorr'r,ch du.óchz przykładu 3.1 2).

ty'pórv (zgodltych z opiseln

l'abcla 3.10

Spozycie na gIorł,ęt,:1;/ttt,

Liczba gospodarstn' donro-rvr'ch obit tl,pórr. ll,

Spozycic ryb przez ł, gos1rodarstrvdolnouych li : xiiltitli

5ku 25 5kg'2'25 = 5ks 50 : 250ks2 20 2ke'3 20:2ks'60: l20keSunra /ł5 370 kq

Ile r5-nosi śledllie spoz1.cie ryb na głou'ę nricszkatica rv analizorr'aIlych gospodar-strvach?

Rozrviązan ie:

Sreclrric spclzycie ryb na glorvę nrieszkańca rv obu anaIizorr.anvch gospodarstrvachobliczanry'za pon]ocą śrcdnicj (podr,vójnie) rr.ażonej liczbą osób lv rodzinie (nt1) orazl iczbą gospodarstrv (lz') :

Yr,,,,,L",""",- _ /=l..,, ---l-- -

5 '2.f5 + 2 .3 .20

2.25 + 3 .20

)śorl?o ?7n-:

-:A

50-60 r r0Y,,,,,/-Jr=l

lVIożemy rórvnicżcalkolv ite spożptlz):ci e ry,|:l

lic:bą osóbf)--.,^i^,.,^ -,.^-,.^ ier rz!lrt(rrr JPUa)L

strvacll u1'nosi 3,36 kg.

śrcdllią korlsrrnlpc.ję |la glorrę obIicz1,ć .jako:3 7Okq=

l l0 = .l..)oł.( .

Arlalizując Znliany Zachodzące w czasie, średnie tenlpo Znliall mozlla opi-sać Za polllocą średniej geometrycznej, którą wyzl]acZa się jako pierr,viastekll-tego stopllia z iloczylltt // wartości zntiennej, czyli:

ry'b Ira glou.ę niicszkatica rl. obu allaIizorr'all1'ch gospodar-c

(3.6)Ę=fi;Przyklad 3.14

Parl Zrvoliński klvotę 1000zl Lrllrieścil na 5-letnicj lokacie bankorr'ej, które'i opro-centou'alrie rv kazd1''rn roktr bylo iltltc. a odsctki b1'ly dopis1'rvane do kapitalu początko-

8Ą ANAL|ZA sTRUKTURY zBIoRoWoŚcI

\\'cgo. u'icdZąc. żc op|ocel]to\\'at]ic rv lradan1'nl okrcsie rr\'nos.lo odporl'icdllio: 5%o,3,.,o.2j%,2% i | ,7 5%, podaj przcc ięttlc ol)Ioccl]torr'atric rv badalry'nr okrcsic ',

Rozrviazanic:

Po picrrvszv roku uzvskattc odsctki \\n'|loszą 50 zt. a posiadallv po picrrvszvln roktrkapital będzic rvynosi l050 zł. co obliczaltly jako (l + 0.f)5) l000 - l05() zl' Czyli zgro-

tltadzotrY po roku kapitai zostal rvvzllaczcllly jako ilocz1rr kapitału początko\\'cgo przezl*oprocclltorr,anie. W podobll1' sposób \Wznaczynlv kapital po dri,óc|t latach' jako:(t + 0.03) l05t) = (l + o'o;) (t + o,os) l000 = l.03 . l.05 1000 zł oraz po trzcch lalaclr:

l.025. 1.0j . l.05 . l000 zl. Stąd oszczędrlości Palra ZlvoliIiskicgct pcl pięcitr Iataclt rv1'11g.

szą: l.0l75'|,2.l.025.l,03'].05.l000=1.l-5 1000=ll50z|,czi,'liwzros|ląo l50zl.W celtr lr1'znaczeltill przeciętrlego (dla r.ozpatlywall1''ch pięcitl lat) oprocentorvallia

średlrią geonlctrvcz|la z ilocz1rltt:

'*:iffi=1Ą.'5=l,0]81Stąd pzcciętlle rocZ|lc oprocellto\\.a|lic oszczędlloŚci rv1 Ilosi 2,8"ło,ó. e

NIedirrn:r jest rniar.ą pozyc1,jllą, która r.ozdzieIa ca,lą popLrlację lta drvie czę-ści rr' tcll Sl]osób. ie rv jednej z Iticlt zrlajdLr;ą się jednostki o lvartościacll niz-szrch lttb rciriIl1.ch od ttlec|iarlY' a lr'clrLr*iej o rr'artościach rvvŻszr,clt ltrb rólr'-Ilr'ch od lllcdiall1'. a kazcla część zarr'ic'ra przy'liajrllniej 50% zbiot.orvości.. \\/yni-ka z tego. zt'' clla zllalczir-.llia lltecliall)'t|Zcba llajpieru'uporządkorvać zbiororvoścrvedItlg ri.ie Ikości.jcj elerrlclltii\\'. tZn. trcl iclr ri'.artości na.jnlIliejszej do najlr'ięk-szej (lub odivrotrlie). PLzedzialy skrajne It]ogą pozostać otrvarte, gcly'ż nie lnająorte bezpośr.edniego lr plr.rvtt na rvat1ość krvarr."*li,

W cęltl rvyznaczelria ttledialry ol.lliczatlly lltllller rlrediany lvedług wzorLl

N,,. =L. W przypadku gcly lltlnler llledially jest liczbą niecałkor,vitą zaokrągla.

IllY go rv górę do pier.rvszej liczb)'calkou'itej. NastępIlie lv uporządkowal]y|llSzercgLt*u zllajdLljeni1' jedllostkę o llt|lllcrze tlledialll' i jej rvartośc jest Illeclianą.

Jak j Llż rvspotrltl iilllo, tllcd iallę nlozllil \\,\'Z|]acZ}'c IlJ\\'et Z szeregórv,rv którvch przedzial1' skrajrle Są ot\varte, a llie ll]ozlla ich unlorr,nie zanlklląćrv cellt obliczenia średrlie.i alYtnlefycznej. W Sze|egach o duŻej asyIlletrii,a takie rv itltlr,,ch pr.z1,'paclkach. kiedr' llic llloŻlla posltrż1,ć się średIlią arvtll1ę-tyczrlą do liczborvej chal.akter.y,styki przeciętIlego pozionlrt zjarviska, nalezl.rvy,korzyst1''ivać Illed i arię.

'. \\'ięce.i l1a telua( rr,l'korzr'stlllia śretlrliej geollletr.y'cznej z-lllridzie Cz1telIlik rr'l.ozt|ziale dot}czą-cynl analizv dynarniki z,.jau isli.

.o W szeregacIl rozdzielczr'ch l'orz1starni' z Iiczcbrrości sIitttlrutorr'ltlycll.

MlłRy oplsuLncE PRZECIETNY PozIoM ZJAWlSKA

W podobn-v sposób jak rlledialla (krvarh.l dlugi) skolrstl.tlolr'ane są drva po-

zostalę krvarty|e]] (lr'artości clviartkorr,e). Krvartyl pierrr'szy (p') jest to \\'aI-

tość jeclnostki, która c1zieli szereg rv taki sposób' ż'e 1l4.iedllostek rrra od nicji,vartości nie lviększe, a 3l1nie tnniejsze. Krr'art1 | trzcci (8.) to taka rt,artośc,

od ktorej 3/4 jednostek zbiororvości nla rr'artości nie r'viększe ocl Q3' a 1/4 nielllIlicjsze, Nutrrery odporr'iadające krr'ar11,|9n1 zllajdLtjenl1, rvedltlg rvzorólv:

rrt

-4

Z przedstarvioIlych r'vzorólr. lvynika, Ze llLlnlely klr,artyli ,V.,, tllogą bvcliczbalni calkorvitynli bądź mieć część ulamkorvą. W tvIlr drugittr przy'padktr|lumer krval1yla zaokrąglanly rv górę do najbliższej liczby caIkorvitej

Przyklad 3.15

Dla Lrporządko\\'ancgo Szcl.cgu licząccgo 7 elementórv postaci:

ltuIncr lrrcdiany rv'v-nosi N'" =; = 3,5 = 4, zatetn lrlcdiaIra rórvlla.jest

go elelrrcntu irv1,llosi 5. Nunlcrkrl,art1,Ia l-ego rzędLl rr1tlosi ^'.

=+= l.75=f . zalcnr+

krr,artyl I-cgo rzędu jcst rórvllv rvartości dl.trrricgo eleIllcllttt i rlr ltclsi Q, = 3 . Nuntct

krvarty'la IIl-ego rzędu rr'r'llosi ^

=:-1 = 5.]5 = ó. zatenr klrat.tr,l IIl-cgcl rzędu .iest+

rólvnr' lvartości szóstego e]el,ncIrtu i rr'r.nclsi Q. = "/ .

Gdyby, odrzrtcic ostiitnią obscrrvację' to dla 6.cio elellrelltorr.cgo szcrcgtl l. 3' 3' 5.

{t6, 7 llttllrer lncdially rr'r'ltosi N ,," = ź=

3 , zatcrn mcdiana l.óri.lra.jest rvaftości trzcciego

clclncllttt i rrvllosi 3. Nttlncr kivart1,Il I-cgo rzęcltl u1'tlosi ^'

, = 9

= l.5 = ]. z.ltctl]

krvanr'l l-ego rzędu jcst l.órvny r,vartości clrtlgicgo elcInelltu l ,.'1 noli Q, =3. Nulrler

ku,artyla lIl-cgo rzędu rir,nosi N.,. =+=4,5ł5' zatcltr krrirr.t1,| III-ego rzędu jcst-.łrórr'riy rvaftości szóstcgo clenletrttt i rv1,llcrsi Q^ = 6 ' ł

l, 3, 3, s,6,1,9rvartoŚci czlvańc-

u' Krr,artyle nie sąjedIlak ttriaraIrli tendencjicentr.alnei. bo nie rr1'raŹają rvar.tości pl.zee iętrrei z.jarri-ska. Zostal1,tu zaniieszczcllle ze ivzg|ędu na podobieristw'o raclrunkcllve rr'stosunktt dtl Illcdiallr,.

Óo ANALIZA sTRUKTURY ZBIoRowoŚcl

W przypadku liczebnie dtrŹej zbiororvości, trjętej rv Szereg rozdzie|czy,przy poszukiwanitl nlediany r,r,ykorzystLrje się szereg skunlulorvallych liczebno-ści' Mediana zrlajdLrje się rvórvczas rv {rupie' u'której skttt-tlltIorvalle liczebnościprzekr.aczają ltlb co llajmnie.j osiągają tltlllel.kolejlry jechrostki śroc|korvej. Wy-znaczanie nrediany kompliktrje się. jeśli lvartości cechy są przedstarvionetv przedziałach klasorv1'ch, Za pomocą kunrtrIacji lnożellly LrstaIic. rr' który,Illprzedziale znajdLrje się środkorva.iedllostka, llatonliast trudno jest tlstaIió, któraz rvartości tego przedziału jest nlediaIlą' W sposób przy-blizony obliczaIny nle.dianę opierając się na \\,Zorze iltterpolacrjn1'rn:

lv[c = x,, * L(x ,," - tt,^.,)

t1,

gdz|ę:

X11 - dolna granica przedziah"r nlediany,hn - rozpiętość przedzialu nledially,n0 - liczebność przedzialtr lllediarl1',1V,17, - nut)ter nlediany,i?Jł'.l - Sullla Iiczebności rvszystkich przedzia1órv klasorvl'ch poprzedzają-

cr ch przedziarl nrecliany.Wartości pozostałr'cIl krrartr'li dla szer.egóu rozdzielczych r,v'vznaczallly

odporr'iec1liio z rlastęptrji1cr ch ir zclróu :

It

?, =-r, - ---1.\ ' rr r )

ł1,.

lt9, = -T,, + f ('\- ,, - r,,,., ) (3 9)

tl,,

gdzie ozrtaczenia są analogiczIte jak r,(3.7)'Wzory (3 . 7)-(3 .9) daj 11 prz5,b l i Żotte lr'artości tych ztrr ien ll\'ch'

Przykład 3.1ó\\,r'zllaczlllr' rlledianę dla dalli,cli z tabcli 2.9, tv której \\,yzllacZotlo juŹ liczcbności

sktttłrulorr'alre.

(3.7)

(3 B)

MtRRy oplsuLĄcE PRZEClĘTNY PoZlo|\4 ZJAWISKA 87

Tabclu 3.11

Nrrme r

k I asr'Poli'iel.zcIlnia sprzedaĄ

(rn-.)

,t;

Liczba ptulktórr,^.---^i,-+.,5Pl ZUttJć)

ł1,

Liczebnosci sku-nrulou,ane

l1 sk

1 0-50 ]]-ł 11,1

2 50 - 100 l4{ 368

J 100 - I _i0 5l 120A 150 - 200 I1 +) I

5 200 - 800 51 49Ą

Zródlo: danc u|l)o\\ |]e'

Rozpocznijnry od \\'')'z|laczcnia ntuncItt nlr-diall1' rórr'tlego nlZ.: 24,7 , Zatęnl nlcdia-na znajdujc się rv drtrgiIn przedzialc klasorrr,nl. Rozpiętość tego przcdzialu lv;-riosi 50,

liczebrloŚó - l4;1. liczębr1ość szcregtl skuttlttlorvattego, poprzedzającego plzcdział media-ny \\ynosi 224. Podstari'ia.iąc tc dane do lvzortr (3.7)' otrzylntljclny:

trąa=50* 50 (z,ą.l- 2]4)=50+

50']3 =:o*

l l50 =5.1,99,l4.ł. l.]] l44

czyli rncdiana \V)/zllaczo|1a dla pol.icrzchni sprzcdaz1' placóriek handlorr',vch rv Lodzi\\'ynosi 58 ln2. co Qz|l^cza, Zc w bada|lcj zbioI.oirclŚci polo\\,a ptrnktóri'splzcdai}'nliałapowierzchnię lnnic.jszą lub r.óll.IląokoIcl 58 lll-. a ptliolr'a rr.iększą ltlll rćlullątc.| lr'artości"

ł

Przyklnd 3.17

Dla porórvllania podajlny, zc nlcdiatla \\\Z|liIcZollll dla dall1'cli z taLlcli 2.8 rvynosi:

'Vc=50- .5

. 241 _:2]\_50 -ł ij_50- i75=55.]8.I 05 ' 10.i 105

czyli jest n iczllaczll ie nlŻsza'

Przl'lilad 3.18

Przeprorr,iidzono badania psychologiczrlc, których celeIn b;,lo strvicrdzenic rr'1''stę-

porr,ania zdolności przy'ri.ódczych u dzieci i nllodziezy'. W lr'y'niku przcprowadzonychtcstórv strviet.dzono, żc takie zdolności ri.y,kazLrjc 30 trczestlrikólv badania. Kolcjlry'nletapeln analiz bl'lo badarlic stt.ttktul.r, rr,y'róŹnioncj grtrp1,' pod rvzględenr rvieku' Danczarvicra tabcla. oblicz ślednia rvieku.

e

88 Annrtzn sTRUKTURY zsloRowoŚct

Tabela J.l2

r.r'iek u' latach liczcbrlosć 11,t

Donizci 4

od4do(r ) 6

od6do8 .l l0odSdo12 o to

od 12 do 18 5 2lnoulzci I 8 9 30

suttlA 30

Zródlo' dlrne tllno\\ |le

Rozri'iazan ie:

Nic nloŻIia policz1'ć śrcdIricj ar1'tnlet1,cznej. ponicrvaż przcdzialy klasorve są otwar-te, n ierllal 3 096 oirscrrvacj i zari,iera s ię il' ostatll iIll przcdziale.

Mozna policzyć |ncdianę z \\,Zoru (3.7)' którcj llulrlcr \\\,nosi Ąi17": l5.4

Mc =B- - (15- l0) = 8+0.2-s.5lo

Jcdyną średnią. jaką nlozclll1' \\\znacz)'c.i09ó uczcstIlikóll'badallia nta co tla.iIntlic.i 9 lat.

Przvklad 3.19

\\'r'znacznrv rtartosci knarty'la pierirszcto itrzccicgo dla danych z tabcli 2.8. Nu-ttter krr,artl'la pict.rrszct]o rr'l'llosi: N(,] - l].ł. czr,li znajdujc się on rv drugiln przcdzialcklasoll.l,llt. l'tór.cgo rozpiętość rl}'llosi 25. a Iiczcbllość l3l. Z kolci liczebność skttmuIo-rl'alra 1lrzedziaIu poprzcdza.|ąocgo przedziat, rr'którynl zrrajdtrjc się 9r, lvy,llosi 93. Pod-starvia.jąc do w,zoru (3.8) maIn1':

- 9 ?5 = I

\v t)'n1 prz)'padku, jcst mcdiana. Zatcma przvnajrrrnicj 507o co naj*yŻcj 9 |at' €

?50, = l-s + -- (l2t - 93)

tallJ t

25.i I '715=l-i__=l-i__=-i0gl .

lil l3lco oZ|]acza. Że 25o/o badally'ch obiektólr, halidlotl'y'ch charaktcryzorr'ała porvierzchnia nierviększa niŹ 3l llr2. a 750ń posiadalo polvierzchllię nie nlnicjszą od 3l ln2. Z kolei dIakrvar1r,Ia tt.zecicgc-l 03, którcgo |)Llt-ncI w\.tlosi t\p: = 37l, otrzylllrrjcrnv:

/1Q, = l0O + u3ll-368) = 100+1.6 = 101.6,

co śrl'iadczv o t1'nr. Że 75oń obiektóri'hallc1low'ych lliało porvicrzc|inię nie rviększą odl02 nlr, a pozostale 259ó pori'icrzchllię nie nniejsząIriŻ l02 lu2. c

.Iak rr'idać z p|Z\:toczoll)lc1., o'.zr'*'adórv, przedSta\viollc nriary nlogą by'ćLlzywź]lle do charakter1'sty'ki zbiororvości tra rólr'tri z inItvtlli Iniarallri, nlają bo-

MlARY oPIsUJACE PRZEclĘTNY PozloM ZJAWIsKA

rr'ietn lvyraźny SellS logicznl'. Ponadto nlogą byc zastosolvane przy ltrierzcttittdyspersji i asynletrii, o czYnl będzic |llowa rv dalszej części.

Najpopularrliejszą rvśr.ód ttliar przecięttlvch pozr,'c1,jnych jest dornillanta.Zwat]a niekiedy r,vaftością donlintr jącą, tllodalną (nlodą)' DonlittaIttą |]azv\Va|]-lytaką rvaftośc zlllicntlej. której odporl.iacla rla.jlviększa Iiczba spostrzezeIi, czyli1est ona najczęście.j rvystępLrjącą rvartością ztnienne.j, reprezcIltLljące.j określorly,lr'ariatrt badanej cechy. DotllillaIlta jest rr'1'godrlą charakter1,sty'ką zbioror'vości.Mozlla ją stosorvać zarórvllo do cech tlietnierzaltlvch, jak i tllierzalnvch. Majączbiór indyrvidtralnych infbrlnacji. Iatrr.o tllozl-la wyzllacz},c donlinatltę przęzzliczellie jednostek o danej rvaftości cechy. Wariarrt cech1', który lna najrviększączęstotl irvość. jest dollt illarllą.

Jeżeli dyspolltliellll' szeregiellt z. 1lrzedzialranli klasorv.,,nli, nrożeltly rvórv-czas 'łatu'o dostrzec, który przedzial tlla doIninLljącą liczebność' W celLl wyzna-czetria prz1'.blizone.j lvartości donlillatlty Ila podstarvie szeregtt rozdzielczegoo przedzialach klasorvych lvielojednostkorqlch kor.z,vsta się z rlastęptIjącegowzot'u:

Do=xr* n._-11 ,

h,, (3. r0)(n,,-r-.')+(r,, - r.,r) "

gozre:

x6 - dolna granica przedzialil clontinant_r'.

np - liczebIlośó przedzialu c]olllinaIltr .

ł.1 . l iczebność przec1zialr'r poprzcdzającego 1lrzedział doIllitlallty,łl11 - Iiczebnośc przedzialtr rlastęptl'jąccgo po przedziale doIllinarl|y,/r9 - rozpiętość przedziałtt dotlliIlanty.

Dla cechy ciągłej clotrlitriuita porvillna być raczej \\yzllaczal]a z danycIl po-gruporvanych.

Nalezy podkreśIić, że dotninantę l]lozlla rr,1,zllaczyć t1'lko lvtecly, jcśli sąspełrl ione pon iższe lvaruIrkias:i rozklad nrtlsi nlieć jeden lvyraźnie zaznaczon1, ośrodek dominu.jący (rvyraźIle

skrrpienie najrviększej części jednostek rvokół jednej rvarlości),ż jeŻe|i rvartości cechy są podarle w przedzia1ach k|asorvyclt' to przyna.jmniej

przedział donlirlanty i dlva z llinl bezpośr.edrrio sąsiadujące przedzia,lv rnusząbyć jednakolr,e.j rozpiętości (a pozostale przedziały nie porr'inny lllieć rozpię-tości nniejszej).

t szereg lrie nloze byc skrajnie asynretr)'czuy ze skrajnynl przedzialent clonti-ntrjąc1'm (ostatninl lub pier.lvszr''nl w Sze|egtl).

.o Poróu,rlaj pracę: lt' Kassyk - Rokicka. Il991]. s.36.

AnRltzR STRUKTURY ZBIoRoWoŚCl

Przyklad 3.20

Wl'znacznrv dorninantę dla danych z tabcli 2.8. Jak rr.idaó rr.śród badallycIr jcdno-stek, najczęściej sptltykane są obickt1.handlorr.e o porr'ierzchlri zarviclająccj sięrv pr.zedzialc 25 . 50 ln:. Stąd tcŻ tcn przcdziaIjcst przcdziale lrl <iolnitrallty, jcgo rozpię-tość rv1'nosi 25, liczebltość - 131. Liczcbllość pI.zcdziału poprzedzająccgo przedziałdonlinant1'rrł'llosi 93, a przedzialu llastępująccgo - l05. Podstari.iając tc ll'artości dorvzoru (3. l0) otrzy'rnujcmy:

l3l-e3Do=25+(l3l-93)+(i3l-105)

.25 =25. rr}u 25 =25*:rs = 3s,84.

Mozna zatcnl porviedzieć, zc lv b^adancj zbiororvości najczęściej r.v1,stępqjąsprzcdaŹ1, o porvict.zchni okoIo 40 llr..

Przykład 3'2lDla danl'ch zau'artvch rv tabcli 3.1 ułznaczcnic dolninan$' jcst naty,chmiastotvc,

botvieln odczytujclny lvartośc tego pa|a|nctl.u bczpośrcdllio z szcrcgtt rozdzie lczcgo diarr'arialrtu zrriicltnej o najri.iększcj liczebllości n,. czyli l2 obscrrtacji. Zatcn rvśród sttr-dcntóiv donrinu jc rvick 20 lat' ł

Przykł:rd 3.22

Donlinantę lnoZtlil \\'\,Zl1aczr'ć róli'Ilicz dla danych jakościorv1,ch, i tak alralizLrjącobickty handlorvc z punktu riidzcnia occny ich lokalizacji na podstau'ic szcrcgu prezen-torvatrego lvtabe li 2.ó, od raztt ri'idaó' ic najczęścici spot1kanąjest ocella..przcciętna.., a

lr'ięc rv tr'nl przypadktr donliIltrjąc1'ni.jcst tcrl rr'ariant ccclt1'. c

I'rzyklad 3.23

Cz1, nrozna lv\'ztlaczr'ć śrcdrlią nf\tlnct\'czną i donlillantę dla danvclr zatllicszczo-llvclt \\' IaDclr l. / .'

Bqz-ttrazdlrcJak juŻ r'vspotrltiiano. dolnirlalltę i Śrcdriiq af)'tIl]ct\czllą llie,zarr'sze |noŹIla rwznacz\'ó.Zaurvainrl'. zc ostatni zprzcdzialow klasori-..rch jest otrvarlyu" i dlatcgo nie moina poli-cz1'ć śrcdniej ar1'tnlctr'czllcj. Dolnirlanty' nic nlclzna w}'znaczyc. gdy'z najrviększa liczeb.ność rvystęptrję r'i'picrrr'szynl przcdziaIc, a zatcm jcst to szcrcg skrajllic asl'rlretryczlry. d

punkty

.., \\,prirlvdzie przedział 1liel.li'szy rórr,tlieŹ nie .jestale la1rr'o się clonl1,śIic. że okreŚlenir. pr.zedzilrlu<1.2>.

zapisatl1, lbr'nlalnie .jakcl przedzial donlkrrięty'\V l]oStaci ''porlizej 3 osób'.. o7)lac7'^ prz'et|,l'ia|

MlnRy optsu.lAcE pRZEctETNy poztoM zJAWIsKA

Przl'lilad 3.24

Dolllitlantr, Ilic lllozIra rÓ*,nieŻ wlznacz}'c dla rviększoŚci szel.cgólv rvystępującrch rvponizszcj tabeli:

Tabcla 3.13Punkty, spl.zedaŻl' lv pięciLl dzieInicach Locizi rvedItlg obt.otu rocznego

obrót rocznr'(rt tvs.PLN)

Dzieln ice [,odziWidzet SródnrieŚc ie Pole sie Cór.na lla lutv ogó|en.

0-80 2l 3l l8 20 2'7 13',7

80 - 160 l3 t8 )l t8 46 I)Z160 - 240 20 JJ J.+ 9 .łl t)t

Surna <,1 82 109 /11 ll4 406

ZródIo ObIiczeIlia rr'lasnc na ptldstarr'ic A' N'laztlr Il99ó] s.55

W pr.zcdstaivionvch szcścit| szcrcgach statvst},czll)'ch dornillantę *,;'znacz1,ć fbr.InalnicrlloŻlla jcdyrlie dla Baltrt. chociaŻ i dla tej dziclnic1,nriasta nic by.Iaby,oIla lniarą dobrzcopisLljącą badaną zbiororiość, gdyż róznice w),stęptljącc międz1, środkorvyIll i ostatllilnpr.zcdzialenr sąnicrvielkic (dok,ladllic 4,3%). W przl,padku dany,ch dla całcj Łodzi szcrcgjcst dll.trnlodalny, (binlodalny). Dla pozostalych dziclnic najliczniej rcpfezentowa|le sąskrajrre przedzia|y, przv cz\|n-i dla Widzcu,a iSródr-nieścia rózrlice w. liczcbllościachprzedzialóri. ostatlliego i1licrri'szego są llicznaczlrc. podobllic jak I.ózrliccrv liczebnościaclr drr'och picr\vsz\'ch plzedzialó\\' dla Cill.llcj i Polcsia. Dodatkorvo.obickt1,halldlorr'e na Polesirr clraraktcrl'zuią się il, Iniarę.jcdlltlr.tldllr'ln rozkladcnl dlaw\,niic|liollych rvariantóri'tcj ccch1.. co jcst szczcuóInic rricloczIlc u tabcli j.l3 1lrczcnttl-j ącc'j rvskaŹrii ki strLlkttrrr'.

Tabela 3.1'1PuIrlt11'sprzedażv rr 1lięciu dziclrricach Loclzi iredlLIg ob|OtLl I()clncgo. allaliza procellto-rr.r'c]l ri'skazn ikti* strukturr

obrót rocznv(rv tvs. PLN)

Dzielrr ice Lodz-i

Widzerr Sródnlieśoie Polesie Ccirna Ba lutr' oqóleIn0-80 3 8.9 3 7.8 34.9 23.7 33.180- 1 60 )i1 ?IA 33.9 Jó.J 10.3 .11.6

ló0 - ].ł0 37.0 40.3 ) I.Z 19,2 jó.0 33.1Sunla 100.0 100.0 r 00.0 r00.0 100.0 t00,0

ZrÓrllo: ObIiczcllia u]asllc ltll podstart ic A' Nlaztll' II9t)(l] s 55.

Allaliztrjąc Iiczebllości rrzględnc wvrazllic rridac, ze przedzl,a|5, klasow,c zostały' z|esko|lstruow'źule: są zbyt szclokic i nic pozrvalają na uch\\)'ccnie zróznico''vania lvvstępir.jąccgo nliędzy badanvnli jcdllostkami S1at),styczn}'llli. Nic |lloz|la analizorr'ać strrrktur1,zbiororr.ości z ptrnkttr rvidze lria badancj cechy dIa tak pogrtrpor'r'alr1'ch dalrych. d

Przt'kl:rd 3.25

Srcdnie płacc ot.az liczba obser.rr.acjipl.ze.dstau'ic;rlc zostal1 rr.tabc]i.

YI

92 ANAL|ZA sTRUKTURY ZBloRoWoŚCI

Tabcla 3.15

śrcdnic olace licze.bllość śl.odek przcdziałtl

0-600 JU 300600 * r 000 40 800

r000 - r500 l0 I 250I500 i uiccci i0 x

Zródltl: l)anc tllllo\\'llc

oblicz donrinantę i Śrcdllią a|}tlnct\.cZną.

Rozlviązarrie :

Ivlanr;, do czynienia z szcrcgienr rozdziclczl'nl o plzedzialach klasorv;,ch, zatenrdonliIlarltę lllożlla rv1,znaczr'ó Zc \\.Zor[l (3.l0). PrzcdziaI donlillanty to przcdziat od 600do 1000 zł.

Nicstct1, zastosorvallic rt.zortr (3.l0) jcst blędne , tc11'z przcdstair iorl1, szr--reg llicspelnia jedIlcgo z za|oicli. lzn. przedzial dorlrinant1' isąsiadrriące z ninl y:rzcdzia11'sąo rózncj I.clz1liętości. Rozpiętośc przedzialLl donlillantr,.ies1 lllrlicjsza niz rozpiętość prze-dzialórv sąsiaduj ąc5'ch.

Dla szcrcgu przcdstarvionego rv tabcIi 3.l5 nie lnozna policzyó śrcdnicj arvtlTlc.t;',cznc.j, poniclvaz nic da się u'yznaczy'ó środka ostatnicgo z przcdzialórv klasollych -przedzialjcst otn'arty. C

Przy'lilad 3.26

Place lr,zł rr. pewliylll przcdsiębiorstu'ic przedstau'iono rv tabe li'

Zrcitilo. I)lurc un10\\ nt

oblicz średnią placę tr,tej firrrric.

Rozrviazanie:

DIa tcgo szc|cgtl nic lt-tc.lzlta policz1,ć śrcdnici ar\t|nct\.cznc.i. polricrr,aŻ skl.ajlrcprzcdzia|5'kIasolve są ot\\'ilftc i ich liczcbność s1atlori'i 50%. W ccltt rrr,znaczcnia Śl.cd-niej placy policz1 nl-v" doIllinantę i lllt-c1iaIlę. Ponie rr'az jcst to szcrcg rozdzteIczyo przcdzialach klason'vch stosujcmy ii'zoLy (3.10) i(3.i).

Przcdzial dorninanty' jcst drugirn przcdzialcnl \\, szcrcgu.

Tabcl:r 3.16

średnic nllcc l iczcbnosc l1,k

ponizci 500 30 JU500 - 1000 40 70

1966 _ l-s00 l0 80

DO\\\'ZCi l-500 20 100

MtARy optsuJAcE pRZEcIETNy pozroM zJAWlsrcł

= 500 + 0,25.500 : 625Nullicr rncdiany rvr'Ilosi 50, zatcnl przcdzia| nlcdiall'u- jcst ten sa|n co przcdział do-

nrillanty. Stąd:

500

40-30Do=500+

(40-30)+(40-10)

Me = 500 * .ło t50 - jOl :

l0500 = 500+

-.500

=I U*:U

NajczęŚciej \\)'stępująca płaca rv te.j firnliekórv zarabia co najlnnicj 150z| i 50% co llajlryŻcj

500+12,5.20=750

rv1'tlosi okolo 625 zł, a 50oń pracolrni-150 zł. e

3.3. Miary dyspersjiMiary średnie określają pl.zeciętny poziolll zjalviska, nie inl.orrnLlją jedllak

o znlienllości badarlcj cechy. W tyrll prz1'padku niezrvy'kle pollloc|]e okazLrją sięnliarv dvspersji, zlvallc'illaczej llliar.altli rozrzuttt, zróżnicorvaIlia lirtr |ozpl.o-szeIlia. Należąlvięc one do charaktel.y.st1k opistrjący'ch rozklacl cechy, pozrvala-ją borvienl Illierzyć zt.óitlicorvaIlic rr,'aI.tości zIllielltle.j rr. ralltach badallej zbioro-rvości, a Zateln illl.ornrt1ą, .jak duże są róŻllicc (odch1,lellia) nliędzy po.szczególn1.nli rvartościarlri jcc1llostek zbiorou.ości a nlialt1 przeciętllą. Stopieri.rv jakinr poszczególrre rr'artości odbiegają ocl liartości śrecllliej. czyli stopieriznlieItności, dec1,drrje rlie.jednokrottlie o znaczeIriu danej średniej jako charakte-rystyki badanego Szefegtl. Ilrl lliniejszl' jest stopieri ztllietrtlości, ty'nl u'iększe jestznaczellie danej śr.edIliej. Prakty'cznie rr'sz1'stkie zbiororvości statystvczne cha-rakteryzLrje rviększa ltlb rllniejszir zl.lrielltrośc, cz1'li rr,ar1ości jcdnostek r.óznią sięod siebie r,r,rviększytll |trb Illniejszvnl stoptliu. Byrva często tak, ze średnie ar1,t-trlet.vcztre drvóch szeregórv są jednakorve, a nlitllo to szet.egi róznią się bardzonliędzy sobą stopniellr ztrrielrności i sktrpienielll poszczególnych lvattości r,vokólśredrriej arytnreĘcznej' Wllioskol'vanie o badanych zbiorort,ościach wy'łączniena podstarvię ich Iniar śr.ednich jest lvięc niewystarczające ijednostronne,a niekiedy lnoze l1awet prorvadzió do falszylvej oceny badarlego zjarviskaju'

Przyklad 3.27

Danc są drr'a szcrcgi A i B o l0 elcnle ntach:A: l ;2;3;4:5;5:6;1 ,8,9 oraz B: l,3;3:5,5;5:5;7:]:9. ob|icz nriarv śr.cdnic dla kaide-

go szercgÓrv.

50 Poróii,lla.i K' Zając Il99a], s. l79

94 ANAL|ZA sTRUKTURY zBIoRoWoŚcI

Rozwi4zatlic:

Średlria arytmetyczna, lncdiana i doIninanta dla obu szcregórr' wynoszą odporvicd.nlo:

A: r=5,1{e=5,D:5B: I = 5 , it[e=S, D:5.i=Me=D=5

I

2 4 6 I 10

.i.= ]itą: D:) -- _1i..r. J 1 Pre:ettlucju gt,a;fic:na s:eregół, ''1 i B

Zatcrll dla obtt szcrc'qcjrr. Illiat.r'śrcdllie są idcntvczne. clrociaż Szcrcg A znacznic sięrózni od szcrcgtl B. co uidać Ila I.r.sutlktt. IVliar.alni Za po|lloc4 któr1''ch okrcśli się zróżni-corvatlic obu szcregórv są llliaI\' d1 spcrsji (rozrzutu, zróŻnicorvarlia). ł

Miar1'' dyspersji dzieli się na dwie podstawowe g|upy:bezrvzględne (absolLrtne) lrriary Zl11iellllości, które są r'vielkościanti tlliano-lvatlytni (podobnie jak nliary średnie),rvzg|ędne (rclatyrvne) tlriary znliellności, które są rvielkościatni nienrianolva-nymi ltrb mogą być \\ryfazone W procentach.

Z urvagi na fakt, Ze miary/ rozrzltL| określają odchylenia od średniclr, w;.rózniarny rvśród niclr:

rlliary klasyczlle, takie jak odchylenie przeciętnę i stalldardorr'e,

- nliary pozycyjne, do któryclr rtaleząrozstęp iodch5llcnie crviartkorł'e.Najprostszą llriarą rozproszenia jest rozstęp' l]azywally irlaczej obszarem

zmienności, który jest rv-vznaczany jako różnica llliędzy najr'vyższą i rlajniŻsząlvartością cechy rv badanej zbiororvości statystyczIlej, czy|i:

R.. = I,,.n* _ -ł'.'i'' (3.l l)

Miara ta ltzylvatia jest tylko pfzy wstępnej aIlalizie danych. ponierr'az opie-rając się tta dr,vóch skrajnych rvartościaclr trudtro jest określic rzeczy'r'vistą dys-pe rsj ę r,lystęp tlj ącą rv bad an ej zb i o rorvo śc i'

MtłRy oyspERsLl

Odchylenie przeciętne określa, o ile lr'artości rvszystkich jednostck bada-nej zbiororvości średrlio róznią się od rr,artości średIiiej ar\tn1er\,cz|1e.j. Wyzna-cza się je jako średnią arytlnet}'czllą beztr,zględnr'clt lvartości (IllodLrlórv) odchy-leri poszczególnyclr rvaftości zbiorolvości statystyczIlej od średrric.i. Dla szeregLrproStego rvaftośó tego odchylellia rr,1'zllacza się.jako:

(3. r 2)

Dla szeregów. lozdzielczych stosrrje się r,vzoty rra odchvlenie przeciętnelvażolre. które rv plzy'padkLl przeclzialórv klasou';'ch.iedIlojedrlostkorr1.ch \\yl.azarelacja:

95

ilr -Fi--r , I

,-l-u-

klsl.r -rlłs - 7t' t'

,,,a d la przedzi alów rvi e loj ec1nostkorvych r,vzór:

Ś l. -|. f- l.t, - rl /i,

(ł' _

-- lt

r,-lZt*, -t1'

,s = 1l '='

lnrv przypadku szeregu prostego,

gdzie : r/. - odchylellie przeciętllc. l? = i,,, , pozostale oztlaczetlia jak prz1,

średniej arytnletyczrlej. / |

odchylenie przeciętne jest barc1zo jastll'nl. logiczIl'''tlr i prostynr parallle-trem rq,korzyst\'wallvlll do opisu znliellności badarlej cechy.

IIltrytlr często stosorvaIrytrr nrielItikienl dy'spersji jest odchy|enie stanclurr-dorve. Wyznacza się je.iako pierlviastek krv'adratorvy z rvariancji. będące.i śred-nią atytnletyczną ku'adratórv odcltylerl poszczególnych rvartości ztrioI.orr.ościstaĘsĘczrtej od ich średniej at'vtttlet1,cztlej. odchylenie staIldardorve S oblicza-ne jest Za polllocą Ilastępujących rvzorólv:

(3.r3)

(3. r4)

(3. l s)

(3. r 6)

AnRllz,ą sTRUKTU RY ZBloRoWoŚCl

dla szeregu rozdzie|czego o puIlktolr,ej prezerltac.ii rvariantólv danej cech1w szel'egu. oraz

(3.t1)

dla szelegu rozdzielczego z prz.edzialauli klasou'r'nli. Wszl,stkie stosou'ane werr'zorac h ozIl aczen ia zosta 11' okreś l otle j a|i poprzedn io.

Można u1'róznić kilka iIlteresując1'ch rv'lasrrości odchr,lellia przeciętriegoi standardorvego:l. są oIle u'ielkościanli obliczatlr'mi na podstarvie u'szvstkich obserrvacji

i tlroztla j e poddar,vać przekszta iccll i onr a l gebra i czn1'lll,2. iclr u,artośc nie trlcga ztrriarlie, jeśli liczebIlości szeregu zostaną rvyrażoIle

rv l iczbach rvzględn1'.clr (procentach),3. dodaIlie ltlb odjęcie od tvsz1'stkich rr'artości zltliellnej lV Szefegll jakiejkol-

lr'iek (tcj sanlej) liczb1' Ilie ztlliellia ich rr'artości.4. jeśli rvsz1,stkie rr'artości SZc|egLl 1lclIlllloż1,lrlt ltrb podzieli:rny przezjakąkol-

rviek (tę salrlq) liczbę a > 0. to oclchr.|cIlia pr.zeciętne i starldar<lorve będz1rórrlliez tr'lokrotrlie ri,iększe ILrb lliIliejsze (Ilp. dla u: 3, u,attości odchyleriwZroS ll źl trzr'kro1tl i c.).

5. oba odcllr'lcIlia rr'l razają zt.óżtlicorvallie cc.ch1'' rr'' stost-tIrku do średIliej aryt-metycznej,

6. rlliędzy odchylellielll pl.zcciętll1 lll i statldardoiv}'nr z-ac|.todzą następrrjącerelacj e:

d,<,s

nrinl.v, -rl. S. nraxlr - ilrninj,r, -.T1. /. . rnaxl,r, -rlS jest bardziej rvrażlir,re na lvar.tości istotnie odbiegające ocl śLcdniej tliŻ cł,,

tztl' rv szeregach o bardzo nietypolvych rvartościach skrajnych Sjest znaczIlierviększe niŻ d,.

Często obliczaIlą charaktery''styką jest rr'ariatlcja, która jest krvaclratenl od-chylcnia standal'dou cgo i jest oznaczana plzcz .S

We rr,szystkich pakietach kotllptlterorr'1'c|l5| o1ltócz oclchr'Iellia starlclardo-wego wyztlaczallaJest rvariancja obciążona jako krvadrat odchylenia standardo-rvego i rvariancja nieobciązona jako:

(3. | 8)

5l Prórr,Ila.j Lusznierr,icz A., Słaby T. |200 l]. s.3 8.

MtnRy oyspe RsJl

s*'= r. i(.', -x)'=-Jl-s' (3.19)n-l a' ' n-l

gdzie lr1jest liczbą stopIli slvobody, tzrl. liczbą niezależllt'ch wynikór,v obser-rvacjirv zbiorze n rvynikórv.

Niekiedy lv analizach Statysb'cznych chodzi o rł),dzielerlie z badanej zbio-rowości takiego podzbioru, któl1, sk'lada się z najbardziej t1'pow1,ch jednostek.

S1uĄ tellt| t)/po\\.}' przedzial zlllienności' określan1' zr.u1'kle jako:

(.i_s;;+s), czyli jest to przedział o długości dr,vóclr odchyleIi staIldardo-

rvych.

I'rzyklad 3.28

Wr'znacznrv rozstęp oraz odchylenia przeciętllc i stalldardorr'c dla darlyclrz przrkladu 3.2.

Tabela 3.17

WartoŚć ccchy,.t, l.', - il (r - x)

l9 -2 l 4

20 I

!\, I

20 I

20

2t 0 0 U

2t 0 0 U

22

23 ) 2 .ł11 J J 9

Sruna U 12 '))

Z rclacji (3.l 1) rr1.nika, żc obszar ztlricnllości (Lozstęp) dla tcj cechy,'lvyllosi 5 lat,co stalror'vi róznicę nliędzy rvickiem najstarszego inairlllodszcgo strrdcntl lv badane.j

grupie. odchylerrie przeciętlrc \!)'Znaczyn1},Zc wzortl (3.l2). W tabcli 3.16 podana zosta-ła rvartośc licznika relacji (j. l3). czr'li

lr)

tl', - tl= 12,

97

stądnie1)

dla

odclrylcnic przeciętllc rvYttosi d,_ |,2 lat. oznacza to. ie rr'ick stucletttórv przecięt-odclryla się od śrcdnicj arytlnctr'czncj rórrnc.i 2l lat co do rr'al1oŚci bezlr'zględncj o

lat.

Z kolci odchylcnic standardorvc \\)/znaczvmy na podstau'ic relacji (3.16) irnanry,, 6;It.' * r). = 2]. odch1'lcllic: .s =,'/; - ł:.] = l.48. któr.c irltcr1lrc{prvallc jcsl lr

Y IU

Arułllze sTRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

podobll1, sposób jak odchylenic 1lrzcciętlle' Zatcnl lr,ick stuclcntórvod śrcdnie.i o ],48 lat. Jak lt'idac rclacje (3.l9) - (3.20) sąspelnionc.

narr'ickttsttrdelltórr'rvr'ltosi S. =2.2,alr'ar.iirnc.iallicobciąiona S*'

przeciętnic róŻIli sięWalialrcja obciąio-

= 19:.2 =2.45 e9

Przyklłcl3.29W1'znaczrnl' rnialv dy,spers.ji dla danl,ch z przy'kladu 3.3

Tabela 3.18

t.\ ttnterklasr'

Wariantvceclr\,.T,

ll t .r- -i l', - rl I,r, - iln (.r ,\') (.r - i)-n

l9 _1 2 ) Ó .ł I22 !\) \2 t2 I t2J fI 6 0 0 0 U 0/1 22 -) J J

f L) J 2 1 A J t26 ),1 J J J 9 o 21x Srrnla i0 36 66

obszar zIllicnlloŚci jcst idcllt5czlly jak rv popl.zcdniIn przr,kladzie. Natolttiast ko-rzystając z rr'r Iiczcti zallrieszczclllt'ch u'tabcli 3. t7 odch1'lcnic przeciętlle \WzllacZatn},zervzoru (3. I 3) i otrzl"niujcrny:

,1,. =Ł =1.2 ''30a odchylcnic stalrdardorl,c \\tzllacZonc lla podstari'ie re lacji (3.ló) rvynosi:

l a)f)S =./- = ^l.2: = 1.48.

Y 'rUobic lniary lv\,raŹonc są rv latach i są ideIrt1czrlc jak rr.poprzedrlinl prz1,kladzic. gd;'iri'obLl prz),kladach rrystępuią dokladnic tc saltic uarianty cechy, a liczcbności Szercguz tabeli 3.l8 są rvięlokrotnością (polrrllozo|1c p|.zcz 3) liczcbności z tabeli 3.l7. e

Przyklad 3.30

W1,znaczlllv Irliar;' rozrzutir dla dallr.ch ivr'stęptljącyclt rr' szercgu rozdzielcz'"'nrz prz1.kIadu 3.5, zaoklą.ula.jąc rrar.tość śrcdllicj ar1'tlrlctrczllcj dcl pclrl1'ch jcdrlostck, czvli

r = I l0in l.

MtnRv ovspERsLt 99

Tabela 3.19

lnWariant

cechy (rv rn2)

,r/

Srodkiprze-

dzialórvi

LiczebrloŚci

tl,

t.-lI'r' - rl I't, - rln i) (.r, - .r )' /?

0-50 l5 .)-) Ą -85 S5 l90.ł0 1225 l6 l8.ł00

2 50 - 100 15 l.ł4 -35 i5 5040 t225 l76.ł00J r00 - 150 125 )l l5 l5 780 225 I 17001 i50 - 200 175 t7 ó5 65 I 105 4225 2101255 200 - 800 500 51 390 390 22230 152100 3669700X Surna 494 x 48195 t01 46925

Dia powyższego szercgu rozstęp wyllosi 800 nl2, Maksyrrlalnie Zlnięnnośc tej cechy

tnoŻęw},nosic800In2. odchylrlieprzeciętnejestrórr'ne: .'.=.:]:'=9J,56nł' 49.1

natolniast odchylenie standardo\\'e rvynosi :

^ /l 0716915\

- l-

-u - 1lv 494: 147,50 = 148Ór

r .

oznacza to. że por,vierzchnia badanych sklepór,v róŹlri się p|Zeciętnie od l-ł8 llr.. Jaklatrvo zauważyć, odchylenia od średrriej ary,tmet.vcznej Są bardzo \\'vsokie. co śrt,iadczvo malej przydatności tej nliary średnie.j w analiZach badanej zbiororvości p|o\\'adzonychz punktu rvidzcnia por,vierzchrri SprzedaZ}'. W;.nika to Z 1aktLl. Żc ri' pieru'szy'ch dwóchprzedziałach Z|1a|az|o się prali.ie 759'i, jednostck, e

Pozycyjną bezrvzględna lllia|ą d;spers.ii jest otlchr|cttic ćrvi:rrtkorr'e Q.będące połową róznicy nlrędz1' kri.artvlenl trze.citll a ku'artvleln pierrvszyttt :

Q- -Q,2

Z uwagi na to' że klr,artyl pierwszy oddzieIa czwaną część jednosteko wartościach najniższych, a kr,vartyl trzeci - Czwal1ą cZęść jednosteko wartościach najwyższych, odchylenie ćrviankowe lllierz}' rozpiętość po,lowynajbardziej typorvych jedrrostek zbiororvości',. Miarę tę StoSujellly wówczas,gdy do opisu tendencji centralnej Zastosowano lTledianę, SZcZególnie, jeze|i roz-kł'ad cechy jest Slffajnie asyll1etryczliy lub występllją obserwacje nietypowe.

5] oclchylenie cwialtko',ve nazvwane by'rt,a czasell-t oclchy'Ienierrl pr.atvclopoclobnylll, co oz|lacza, żez prarvdopodobielistrveln róurlynl 0.5 tI.afianl'"- na tvartości jedrlostek zbiororvości zarvarte nlię.dz1. pierwszynl i trzecinl krvartyIenl, porórvna.j K. Zając I l991l, s' 2l7.

(3.20)

'100 ArunltzR STRUKTURY zBloRoWoŚcl

Przyklad 3.31

Wyznaczrrry odclivlęrrie Ću'iafikolve dla obliczonyclr w plz.vkładzię 3.19 krvaĘli:Ql :30,92 i Q]:10l,6. Korz1'stając z lelacji (3.21)' lllamy:

. r0 1,6 - 30,9t 70,68v = _-__--_.- = )))ł ttt- ,

!L

co oznacza. ie porvierzchlria obiektórv harrdlor,vycll średrrio róini się od rnediarr1'róu,nej57.99 m. o 35'3'1 rll.. Jest to rvciąż duŻa di,sper.sja' chociaż nrniejsza riiŻ lv prz1,padktr

odchyleń od średniej arytll]etyczne.i.

Potrrilrro tego, Ze odcliylenie ćrt,iartkowe, standardowe i przeciętne Są cztl-lytli ltliaratlri rozproszenia rvartości znlietrnej, tlie ltrogą byc one używane doporównail rozkładórv drvu roinych cech. gclyż ich wartości uzależtlione są nr.in'od absoltrttlyclr u'ielkości obserrr,acji. przy cą ll] Są otle llliaratrri tlriatlolt'atly llri.wyrazanyllli w tvch jednostkaclr tniaty co lvat1ości ztttiennvch' W celrr orrrinię-cia tych trudności Stosde się r,vzględne Iniary rozrzutLt, spośród których najczę-ściej stosowane Są tzrr,. rr'spólcz"vnlliki zmicnności. Definirrje się je .iako stosu-ltek wartości bezrvz-elędllej nliar1,dyspersji do średniej wyznaczonej dla badanejzbiorowości i r,r'1,korz1'stu-je do porór'vn1'rr,alria dlvu lub kilku zbiorowości. Naj-popularniejsze z nich to rvspÓłczytlnik znliennosci V,,. opartv Ila odchyleniu

przeciętnyllr postac i :

dI/r,t, _ _ij,r

oraz współczyllnik

(3.21)

znrienności tr/. opart1, na odchylelliu standardort'ym postaci:

,, .sł),ll).ri

Współczynnik zrnienności oblicza się rórvrriez dla odchylerlia crviafikorve-

(3.23)

go:

I

. ;(%-Q1' ""'= lt, ' i

W prz.vpadku' gdy \V szeregu występują duże odch1,,letlia rvartości ękstre-nrallrych lub jezeli nie chcenly posługirvać się średnią tllożenry posłuż1,'c się takZlvallyl}l rvspólczynnilricm ćwiartkorvynr obliczanynr z następującego wzorll:

_. o. -o,/ ,, -

-" Q.+Q,

(3.24)

MIARY DYSPERSJI

Współczyllrliki znrienności charakteryzują stosunek nasilenia prz>c7ryn

ubocznyclr do przyczyn głórvn1,ch. .lako liczby nienrianowane ułatr,viają porów-nywanie znrienności rv zbiororvościaclr. rv których rvielkości cech są wyrazollew róznych jednostkach i irrforrlltrją o jednorodności zbiorowości statystycznej'Ich rvaftośc, wyrażona w procentach, zawiera się zlvykle w granicaclr |5 - 35 %.

Jezęli war1ość współczynnika ztllienrlości osiąga 607o' lnórvitl.ty, Że ztlriennoścjest ogronrna' co zwykle oznacza, ii lllatlry do czynierlia ze zbiorowościąwzględnie niejednorodną (ale tloże tez oZnaCZaC nlałą średrrią, np. tenrperaturalub przyrost _ tlrozliwe są wartości Lrjenlrre) z punktu r,vidzelria badanej cechy',.,

Duza róznica między klasyczIlymi a pozycyjnymi lniaratni oznacza zazwy-czaj, Że poprawrriejszymi (lepiej odzwierciedlającymi strukturę) niiaratni sąruriary pozycyjne.

Przykład 3.32

Korzystając z relacji (3,2?) 1 (3.23) obliczi,nry wspóIczynniki zInienności dla abso-lutrrych nliar dyspersji rv-vznaczonych w prz;lkładach 3.28 i 3.29, czy|i:

1 2 l..ł8y., - 21= 0.057 oraz V,.21 2lOznacza to, że rv przedstarvionvch szeregach zllliennośc jest lriervieika i rvynosi 5,1oń d|aodclrylenia przeciętnego oraz,79/o dIa odchr,leIlia staIldardorr'ego. Nlozna zaterrl trvierdzić,ze w tyn] przypadku średnia ary'tlllet\'czlla.jest dobrą lniarą charaktcrrztljącą 1rr.zeciętrlywięk studentó'"v

Przyklad 3.33

Wyznaczone rv przyk,ladzie 3'30 odchylenia uznane zostały zabardzo rvysokie, copotlvierdzają obliczone współcz,vnrliki znlienriości' ktÓre \łynoSzą odpowiednio:(7.:0,887 oraz V,,: l'34l . DuŻa różnica rniędzy rymi wskaŹnikarni praktycznie dys-kwalifikuje średrrią al}tmery'czną, jako miarę przeciętnego poziomu badanego zjarviska.

e

Przyklad 3.34

Wyznacznry zateln względne Iniary rozrzutu na podstawie danych z prąvkładórv3.19 i 3'3l, korzystając z relacji (3.21) i (3.25). Manly więc:

35,34 .. 10r,6-30,91 70,68, t' =- =U.OJ/ OIAZ l, )r/)r =- =U.)jj-' 55.48 Y':' 101,6-i0,92 1i2,52

Wprawdzie oba rvspółczynniki zniienności przekrocz'vły 50oń, co śrviadczy o bardzoduzynr zróŹnicowaniu badanej zbiorolvości, jednakze są one znaczt.ie niższe niż dla

101

.. Porórvnaj pracę: K. Za1ąc,|1994|, s. l99 . 20l.

102 At{,c|.tZA STRUKTU RY ZBIoRowoŚcI

średnlej af).tnletyczne.i. oznacza to, Że lvprawdzie istnieje duze zróznico'"varlie po.rvierzchni sprz'edaŻy rv badanych obiektach harldIolvych, jednak nrediana jest poprarr'nąnliarą opisującą przeciętny poziorn zjalviska. e

Przyklad 3.35

Wyznacznly rozstęp ol.az odchl'leIlia przeciętne i standardolve dla darrycIlz przykladu 3.27 .

I{ozrviazanie:ZaurvaŻIny',, ze dla obtr szel.egó.,v zróŹnicowanie jest iderrĘ"czne, bot\,iem dla szere.

gu A: 1l:9-l -S olaz dla szeregLr B: R-c)-l-S. W t;rbcli 3.16 przcdstarviorlo obliczcnianiezbędne do wyznaczeIlia odchylenia przeciętnego i starrdardorvego dla obu szeregów.

Tabcl.r 3.20

Szerec A l'r, - il (ł, - i) Szerec B x, -r l't, * il (r, - i)t

-4 .ł t6 1 --+ Ą ló2 -J J 9 J -) 2 Ą

3 ) ) -l -)f ) -t

J I llś 0 0 0

5 00 ) 0 U 0

) 0 0 ( 0

Ó l I 0 0

1 J l 2 .ł

8 J J 9 7 ) l tl

9 -t Ą ló 9 ".ł I t6

Sunra 0 20 60 S unra 0 t6 J8Zrcidlo: obliczenia tr lasne.

oclchylenie przeciętne *1rlosi ./ = ł = |O oraz o ,. = ł =, '

Odcltylertie stattdcrdo\\'e rr-trnci . -- @ - '' E: rir'Ilosi

' = r/ń = ].45 oraz

'' = r/ń = ).|9 '

WspÓlczynrliki zróztlicou'ania d]a obu szeregórv wynoszą odpor'viednio:) 45 r lq

L, , =:=" = 0,49 = 490ń oraz L,,, = 1? = 0'438 = 43,8% .))jak widać szereg A jest bardziej zróżrricowany niż szereg B o czynl śrviadczą wartościrvzgiędIrr,ch llriar rozt.zutu e

MTARY ASYMETRtI

3.4. Miary asymetriiW więlu sytuacjach badarrie średniego pozioll,lu cech1, i rozproszellia jej

wartości nie wskazuje na istnienie różnic nliędzy badan1'nii zbiorowościarlri,a obserwacja roz]<ł'adórt, empit1'cznych t1,ch cech u,yklttcza podobieristwa bada-llych zbiorolvości. W tynl prz;-padl<u cellnyll1 narzędzienr analizry mogąbyć tzw.nriar1' asymetrii (skośności). które rviązą się z tliaranli rozproszellia.

Pomiar as1''llretrii lllozna oprzeć lla Spostrzezeniu, ze w Szeregu syl-}1etry'cz.

nynr (porównaj ry.sunek 3.l) średnia arytmetyczna, dotninanta inlediana sąidentycztre tzl. r = NIe= 1)o. tlatotliast w Szeregu asvlnetryczllyll-} kształtująsię one na różnytll poziontie. Inl rviększą skośnością charakteryzuje się szereg.tyrlr większe są róztrice lniędzy rv1,żej rvytllietliotl1,llli llliarallli' Pozycja dorni-Ilallty w Szeregu nie jest stała' Mediarra zajrrruje stałe nriejsce w Szeregu' a śred-nia aryitnletyczna pozostaje pod r'vpływern rt'aftości sltrajnych. Fakty'te został'ywykorzystane clo określenia kierullku isił1,asYnretrii. którą tlożtla lllierzy'c np,jal<o róznicę ponriędzy,średnią arvtlllet\'cZllą a rvartością nlodalną. Jest to na.j-

proStSZa tlriat.a as,vtlletrii Ilazr lr atra lr.skaź-nikicnr lrsr'metrii:

,\1,=:--Do (i.l s)

: -**ffiWartoŚc cechYx

8 9 10 11

Ą,s. 3'2 Ptl,kład s-eregu S'nle|f.|,c:l1ego

Wskaźnjk asytnetrii (zwany rór,vniez lliernikietn skośności) dla szeregusytletryczlego jest równy zero. W szeregach asymetrycznvch nrlernik skośnościnroże być rviększy lub mniejszy od zera, nrówiIny wórvczas o as1,rnetrii pra\Vo-stronnej (dodatniej) lub asymetrii lervostronnej (ujernnej). W szereguo skośności prawostronlle.j rvartości slira.ine połozotre są z pralvej strony śred-niej' Powoduje to przesunięcie średniej arytnletyczl]ej w kierurlku prawynl lv

103

ł:

I

l

12

't 0

I

6

4

104 ANRllzł sTRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

stosunku do donritlatrt1,' i median;'. W szere-9u o skośności lervostrolltlej wystę-puje sytuacja odwrotna.

Illna tlliara skoŚności została skotlstrrtort'ana dzięki spostrzeŻeniu. iŻ

w szeregu S},lnetr,\,cznytn róznica ponliędzy kwafiylenr trzecinr a Iledianą jesttaka sal-na, jak róznica poniiędzy, lrredianą a kwattylenl pierwszynr. W szeregu

asyllletrYczllyl obie róznice będą niiaiy irrną war1ość. Wspólczynnik skośnościokreśla zarówno lrierullek, jak i si}ę asyrrretrii i rvyztlacza się go na podstarvierelacj i :

(Q,- A.Ie)-(tu{e-Q,)' (Q. - Afc) + (i\4e - Q,)

Istniei rówlliez współczynnik skośrrościklasycznych, czyli:

n' -i-Do

(3,.2'7)

lrrb w oparciu o odchyIenie przeciętI.le, czy|i:

I.t,' -i-Do

(3 28)

Współczyłrniki as;,Illetrii (3.27) i (3'28) inl.orllrrrją o tyll1 Salllym, dlatego na|eiyje traktolr'ac jako rr'zajerllrlie ir''y.klttczające się,*.

Wspólcz1 rlriiki skośllości są llliaratni niemianowanyIrri i unortltott'anytni,co utnozlir'via porólvnl'rr'atrie asytlłetrii róznych rozkładów. Poza przypadkanri

skrajnej as),ll1etrii, rvar.tości współczynników asynletrii I,V,, A, nalezą dodo przedziału <-l, l>, w prz;'.padku szeregu Syn]etlycznego przyjlllrtją olle rvar-tość zero'

charal(terystyce literaturze podstawowe paralnetry opisowe zbiorowościokreślane są nlianeIl lnot-nentór,v centralnych:

- średnia arytmetyczna to nrontetrt centralny l-rzędul

- rvariancja to lrrolllent centralny II.rzędLr,

- skośllośc to nlol]lent ceIltraIny lll-rzędu.

Klasyczrry współcąvnn ik skośności wyznaczany przez pakiety kotllputero-we iest określanv wzorelll:

,t-Ą,_

(3.26)

wyznaczany na podstalvie nriar

5a Porórvtlaj pracę: M. Sobcz1k Il995l, s.53

(3.2e)

MIARY ASYMETRil

Współczynnik skośności charal<teryztrje stopieIi asyrnetrii rozkładu lvokółjego średniej. Dodatni wspólczynnik skośrrości oł1acza rozkładz asytlretryczt1ylll ogonenr rozciągającynl się rv kierunku lvat1ości dodatnich.Ujemn5l lvspólczynnik skośnoścl ozllacza rozkład Z asylnetr\,czllylll ogonernrozciągającyln się w kierunku wartosci trjenlnych.

Przyklad 3.36

Wyznaczrny nliary asynletrii dla szęregu opisującego lviek studentów (danewprzykIadach: 3.2. 3.2l' 3.28' 3'29). Jak lvidac rv tabeli3.l7 war.tościądomiriującąjest20 lat, środkową (rrledianą) i rvartością średIriej arytrnetycznej jest 2l Iat, zatetn

I > Me), Drl , a na llloc\, (3'26) Ms: 1, tnanlY lvięc do czynienia z asy'rnctrią pra\Vo.stronną' Wartości wspólczynnikórv skośności, wyznaczone na podstarvie reIac.ii (3.28) i

(3 '29)' wynoszącę odpo.'viednio:?l-tn lr_)n

tll, =# =0.83 dlc odchy|erlia przeciętrlcgo i lV' -..---:'=0.68 dla odchy.' 1,2 l.4Blenia standardowego mórvią o istotnej asymetr.ii szeregu lvokól średniej opisującego wieksttrdentórv' Jak rvidać na rysunku 3.2. szereg terr jest w1'raznie asylxett}czn)1 prawostron.nie, borvielrr waftość średniej arytnletycznej zna|azła się na prar'vo od dotnirtarltv'

20 21 22

Wiek (w latach)

24

105

z3

Rys 33

Dla porórvnaniakolurnnowego na rys.arytlxef}czną - 2l lat.

IL\. kr e s l. n' ow.y s: e r e gu r esl r e: e n t Lg ąc e go vl i e k s t u c{e n t óv

z rysunkieur 1.3, te same dane przedstarviono u, tbntrie wykresu3.4, na którym u1'taŹIlie widać dorninaIltę rólvną 20 lat, średnią

^I

l

tuo AlRltzR sTRUKTURY zBIoRoWoŚCI

""-l

.o'ac-o0)N.9)

/1-l |..:::".'.:-tls- | |tlĄ|lzt | |tttl1r---lllll0 L_J L_t Ll n n _ n_--19 20 21 22 23 24

W iek (lata)

Rr's- ']'/ I|,ykras l.oluntt1()| ego S:eragu rcpre:entttf rpego ł iek stutłetltólre

I'rzvlilad 3.37

Korzl,sta.ja.c Zc rlzot.Órr (j.]7) . (3.29) rvlznacznry'rvs1lÓłczilnrliki skośnosci dla.1.". ,'l' n,'r. .- ,^' .'1l'.^,, ; "", '1.,.; '.''. ' 1 ", , - - -i<

!'' l'U\tl!lZ!lIllt \lJllru!t/-\ .. pl.zrkIldó\\: j'-i,.. j.ló. j.lc) i 3 j0).

Z rcluc.ji ( i.l7 ) ot|r) nru-i(nr\ :

(||;||^_iśJsl_'śj..-l S ]0..l]l -+6.1]. ]].5() ]l.5ó-t = : :,

' -----:- I :t,-.,,\-' (l0l'36 _.55..18)f (5-5,.ł8-30'92) 46,I2+24.56 70'68

a z rclacji (3.28) i (3.29) rnanry odporviednio:

I t0,07 - j9.8J 70,tiI|--=:-:.-=U./]d|aodcn\.|en|al)rZec|ętl.lc:.lo' 9l,56 91,56

oraz

| 10.07 - j9,81 70.:iII =' 147,5 141,5

obliczyliśIn.v dwa rr'skazniki tyIko rv ceIach d1,dakĘcznvclr. generalnie poda.1e siętylko jeden z nich.

Szereg reprezentujący por,vierzchnię sprzedazy jest as1'nletr1,czny dodatnio, przyczylll \vartośc rniernika skośności opatlego tra tniarach poz1,cyjny,ch jest niska, podczasgdl dIa tltial. budowlllr ch rł' oparciu o średllią al\'tt]]et\'cz|]ą .jcst zllacznie ri\ Ższa.

awar1ości rvspÓlcz;',nnika IV' zaleŻą od uĄ,te.j lriirry l.ozrzutu zIrrieIlIlej. Na rvykresie

.. W obliczeniach przy,jęto. ze średnia ary,t|lletycz|la \V)/Znaczona dla szeregu danego ri' tablicy 2.8jesf równa średniej rr'vznaczone.j dla szeregu Zagregowanego podanego rv tablic1'2.9.

MIARY ASYMETRII 107

przedstawicnyln na rySunku 3.4, wartoŚci zrniennej reprezentują środki przedziałórvklasowy'ch. Jak rtynika z rvvkresu (o czyrll była róivniez lnowa prz}/ analizie rt'skazlrikórt.strtrktury), najrvięcej obserwacji skupialo się rv drvÓch pierrvszyclr przedziałach, stądnliary pozycyjrrie dobrze opisują przeciętrrą porvier.zchnię sprzedaży badanych placórvek

handlowych, a rvięc rvyznaczona na ich podstarvie wartość tlliaw asylletrii ,4, jest niska'Wynika to z faktu, że w ..ogonie'. znalaz}.v się wartości o stosunkor'i'o nlałej częstotliu,o.ści rrystępolr.arria, które jednak rv istotny sposób odcziałują na średnia1 alJtlnet-Yczną,czego wyrazetn są ztlacztlie ltryisze rvaffości rvspÓłczyrlnikórv skośności obliczonych rlajc.i podstarvie' Dotltitiatlta \\.\'znacZoIla dIa tego Szercgu rt'vnosi j9.E-ł lllr. rllediaIla 55.8-łnl2, a średnia przekracza l00rnr, co rvskazLtje na pfawostronną asyrnctrię.

150

|9 łnnó |vvE!0)

J

300 450

D-.rł iorznhni: /Ln, m?\

1,'s. 3'.i I|,'l,'kra,s'linioł.l'1'ltlłier:c|ltti 'spt.:,,lu-.l lt!utlt,: tl|,.cli )',\)

Porórvnując rvykres 3.5 z ry'sunkienr 3.j trr'razllie rr'idnc. że tlba szeregi są silnieasymetryczne prawostronnie, chociaz..o-qon1l,nlają inne ksztirłty. Przy tyrrr szereg1)re.zentowanv r1a rysunku 3.5. zawiera w "ogonie" relatywnie nrliej obserrvacjii charakteryzuje się znacznie większą dyspersją stąd lvyznaczotre r'vartości wspólczvnni-ków skośnośct If, sądla tego szeregu niŻsze niZ dla szeregr-r przedsta\\,ionego na ltykre-sie 3.3.

Przykład 3.3tl

Jak juz Zostclo powiedziane rv poprzedllirl rozdziale. sposób klasyfikolvaniai gruporvania danych statystyczn.Ych, a r,vięc budolva przedzialów klasoltych. ma istotti1'rvpłyrv na analizę badanego zjawiska, w t\'m na rvartości paranletrÓrv je opisując1'ch.Wystarczy chociazby porórvnać prz1'kłady 3.l6 i 3.l7, rv których przedstarviono r,vartości

lllediany \\'}Znaczollę dla dany,ch zar'vart1,ch iv tablicach 2'.9 i 2'8 oraz przyklad 3.5 'Ę'-nlaczania średniej ar1tnieĘcznej dla szeregu zagregowanego i dla danych Z szeregu

prostego' Dla zobrazorvar-ria tego problenltt przedstaivilny rvy'kres ilustrujący Zagrego\\.a.ne dane prezentowane w tabeli 2.9.

108 ANRLtzn sTRUKTURY ZBloRoWoŚcl

250 )l

200 r.3 rąn ]

R rno l

Jl

50l

100 200 300

Powierzchnia (w m2)

400 500

Rys 3.6 ll'y'kres linicnttt pott'ier:cltni spr:eda:y (danc : tabeli 2.9.)

Przeclstarvionv na n,sunku j.6 I.ozkład l-tosi nazrvę lozkladtl siodłowego56. Rótvrlieżna rys. 3.6

"vidoczna jest asl,tnetria prawostronna e

Przyklad 3.39

W tabeli 3.3J przt.clstariitltlo trlt.zr'kład szet.cc.|'l charakterr'zLljącego się u.ierllną asy-metrią. W celu s1lrart'dzerlil. cZ}'tilk jcst r.zec4'lviście' lvystarczy r,vyznaczy,ć lrliaty śred-11ie. tz|l. śre dnią ar\,tIl]et)'cZną oIaZ |lledianę i dorllinantę. który.ch rvyznaczellie jest lla-

Ę"chnliastorr'e, bolvienl przedzial-v klasolve są jednojednostkorve.

Tabcla 3.21

Wariant cechy.r/ Liczebność ll Liczebrrośćskurnulowaua

x il'l t

I 1 1

2 1 z z1

4 1 Ą 4Ę z o 10o z 8 12

11 a1zl

8 5 tn 409 19 2710 z zl 20

Sunla 21 140ZrÓdło: Dalle unlo\\|lc

56 Porórr'naj pracę M. Sobcz1,k Il995l, s.28.29

MlnRv Rsvlr,telRlt

Dla niniejszego przykładr.r donlinanta r'v1,nosi 8 (borviellr dla tego wariantu cech1' li-czębność jest najlviększa i wyrrosi 5), rnediana prz1jrnuje rvartość 7 (nunrer lnedianyrvynosi 1l)' a średnia arytnletyczna jest rórvna 6,61. Zachodzi rvięc relacja:i < 1t4e < Do, co świadczy o Ę'l1l, Ze przedstarviony rv tabeli 3.19 szereg jest asyIne-

tryczn;' le'"vostronnie, co jest rvidoczne na ponizszvnr rv,vkresie.

'--->

104567Warianty cechy

Rys' 3.7 l|/ł,kres ttąnych:ttlvtlrhlc|tł tabeli 3.l9

109

6

'9ąoXc0)N.YZJ

1

n

Przyklad 3.40

Wykreślrny dane zirw'artc lv tabcli 2'6 clot1'czacc ccc|lr'ocena lokalizacji punktu sprzedaz1'(porórrlla.; przrkiacl ].9). \\dzono, ze dom inu.j ąc1'nr lvariantelll cech1'

"i est ocerl n lrl.ZL-c ięt|l il.

250 t

0

przeciętna

Oceny

200.o'3 rsoc

!'ł . ^^ij rvv

-JĄn

c

niclllicrzalne'i. jaką byłaprzy kladzie 3.22 str.vier-

zta

R'rr. J'8 I]1'kres littiott. ,- occnv lokclli:acji r'lbiektóv hundlolt,vclt

b. dobra

110 ANAL|ZA sTRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

l.\a podstarvie w;,,kresu 3.8 lnozna b-v"loby twierdzic. Że przedstarvia orr szereg asy-lnetryczny lęrvostrolrnie. JedltakŹe rantując oceny respondentów, to znacZ\, zasteptrjąc jeocenami lv skaIi od l do 5 i analizLr|ąc rt1'kres koltttnnorvv dla tych sanrych darlych stat-r'.

Sn,czl)ych uporządkou.an1,ch rv tcn sallr sposób. r'vy,l.aznie rvidać, żc średrlia a|.\t|net\'cZnabędzie się znajdowała l1a pfawo od dolrlinallty. Łatlr'o bowienl policzyc (odporviedniedatie r'l'tabeli 3'20), ze dla liczbou'o w\'razoIl)'ch rval.iantórv occn. średnia ar\tllle1vcznarvlnosi 3,j7. donrinanta jest rr, |rnl prz;,kładzic r.órvrla ocęrrie j ijest to jedrrocześnieśrodkolł'a rval1ość Szefegu, czr,li lllediana 1któlej nunler ''vynosi 247). odchylelrie prze-

ciętne rór'vIle jest r/':0.73''[abcla 3.22

Ocenl' Liczebności Liczcbnościskumulorvane

.Y,i/l-t, - tl lx, - Fln,

I 20 20 l0 2.31 17.t02 4t 61 8l r.37 56,1 7

J 213 211 ó39 0,3 7 78.814 178 lil 112 0.6i l l]. I-ł

5 ,1) 494 2r0 1,6i 68.16Suma 494 1óó-] 3 ó2.98

Tak rr,ięc \\' 1\,ll) przrpadkLr zachodzi I > Nle = Do, co jcst rt,idoczne na w1'kr.esie

kcllltntnou vrtr.

250200150

100

50n

Ocena

R1,.,;. 3'9 IIi.kres koluntnovv') ()('c|1l' lolrali:acji tlbiektów lruntllovych

Nalezy zatetrr stlvierdzić, ze ttie zart'sze lllozna jednoznacznie ocęnić kierunekas;-nletrii lra podstarvie San]ego ri.yklesu rozkladtr obserrvacji' Warto jest prą'najlllnie.;porównać ze sobą rrriary średnie i dopiero na ich podsta''vie Inożna coś porviedziećo kierunku as1,nletrii, a wyznaczając rr,spólcz1'rlrriki skośności rór,vnieŻ o jej sile.

Biorąc pod urvagę rvar1ości fall{l wyznilczone dla otnarvianej cechy tlrozna zatl\\,x-Ży,Ć, Że nltnler pierrvszego klr'ańvla rvynosi |2,ł. a r,vięc krvat11'Ie piervr'szy i drugi są

.(.)'aoEoOJN.oJ

MrARY ASYMETRII

sobię rórvrię (i wynoszą 3). z kolei rvar1ość krvart1'la trzeciego jest rólvna 4. W zrviązktr z

tym współczyIttiik skośnosci rlynosi l.' = l. Ilatolniast obliczona na podstawie odchyle-

nia przeciętnego rvar1ość W, jest rórvna:

j.37 - j.00It'=-' =0.51.' 0,73

a wyznaczona na podstalvie odchvlenia standardorvcqo rl'artość I{' bl'laby jeszczetnniejsza. NaleŹy oczyrviŚcie palniętaĆ. Źe rozpatl1'wanaprzez rras cecha jest jakościorva,stąd war.tości lvszystkich nliar staĘSl),czn1'clt są uzaleŻliione od rvartości liczborvych,nadanych poszczególnyn rvariantotn tej cechy. Niernniej jednak juŻ satna analiza rvykre-stt kolutrlnorveeo (ry's.3.8) rvskazLrje. ze średnia arytlnetvczrta (niezaleŻnie od przyjętychrvar-tości rangLrjąc;'clr rvarianty cechy o ile tvlko przyjIrliemy, że irn lvyzsza ocena b/n1wyŻsza rvartoŚc liczborva) leii, po prarvej stronie dornirranty.

W zasadzie dla cecli nienrierzalnych r.angolł'an,vch nie polvinno iicz1'ć się miarklasycznych. C

Warto przy tylll ZaLIwazyc, Że w przypadku analizy cech l1iel.nierzalnychnajczęściej poprzestajelny na analizie lvskaŹnikól,l, struktury i skunri'rlowanycltczęstości względrr1 cIl oIAZ lla lł,yzttaczetliil najczęściej w5'stęptljącego wariaIltttcechy, czyli dorrrinatlcie, co oczywiście nie rvy'klucza nrozlirvości graficznejprezentacj i danych statysty'cznych.

ocenę asymetrii uZL|pelllia tzlt'. rr,vkres pttdelltorł'r'. składa się onz prostokąta, którego ri'y'soltośc rr'r,znaczają pafallletr\' krrartl'li Q1 i Q2.'. We-wnątrz pudełka zaznacz.a się Illediallę' \\. roz]iłaclzie sr'tlletrr.cZI1),l1l lnedianadzieli pude}ko dokładnie lla pól. Gd1 as1llle[r.ia.jest 1lrerroStroll1la' to odleglośćllliędzy lrzecil]l krr artr'Ietll jcst ri iększll tl iz 1rg111jqJzr krr at.tr lelll piertt s4 tlla nediatlą. W przypadku as1'nletrii leu'ostrollej tllalll), odwrotną SytLlację. Do-datkorvo na wykr.esie zaznac7'a się rvar'tości:

111

Ql -3Q jeśli -t,..,,. . Q, _3Q

Q: +3Q jeśli .r',',''' > Q; +3Q

obserrvacj e Spehiaj ące warullek:

xi <Qt-3plub x,>Qr+3Q

naąv\,va się rv statystyczrlej korrtrolijakości duŻymi błędanli

(3.30)

(3.31)

(3.3f)

57 Szerokość puclełka.jest dorvolna

112 ANALlZA sTRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

Przyklad 3.41

Dla danych z tabell 2.8 nlediana lv1'nosi 55,48. krvańyl Qr=30.92' a Q3:l01,6. Mi-nitnaIna rvartośc Zero, a nraksynlalna 800. odchylenie ćrviartko.uve rv1'nosi 35.34- oceńasy'nretrię rozkładu przy' lvykorzy,staIliu rvykresLr pudelkowego.

Rozrviazanie:

Spralvdzanly rvarunek (3.30) i(3.3l)' Poniervaż 'Tn'iu =0 >Ql_3Q=-75,l rvięc

na rvykresie zaznaczytny ruininrun.r. Natomiast ru,o* =800>0r +3Q=2()'7,62 zatent na

rvvkresie anjdzie się wartośc 20.7,62 _ wszystkie rt'artości po\lyŻej są uznal]e za jed-nostki nietl'porve. Wvkres pudelkowv przedstar.viono na rysunku.

101,6

55,48

30,92

R.l.,rttłlet 3' I0' ||,l'krcs pttdelkoltl. dla Lkttlr,c|t : ttńeli 2.8

ivlanlv do czrynienia Z $J.razną as1'Illetl.ią prawostronną, Co oznacza znacznąprze.rvatę punktórv sprzedai1, o lllnic.jszej porr.ierzchni. d

I(urtoza charakter'v-zu je rvzglęclną spiczastość ltrb plaskość rozkładuw porównanitt z rozkładent tlortllalrlym' Dodatnia kurtoza oznacza rozkłaclo stosunkolvo duzej Spiczastości. Ujertlrla kufioza oz:rlacza rozkład stosunkorvoplaski.

Klasyczny rvspólczynnik l<trr1oz5l obIiczan1' jest wedlrrg wzoru:

n(n+t) s. (.r, -.t)' 3 (ir-t)'\J.JJ )' \ ("-l)lr-2)fu-3)j s*' (n-z)(,r-3)

MIARY ASYMETRII

Przy unliarkowanej kur-tozie przyjmuje on wartości liczbolve zprzedzia1tt(-:;3). Gdy jest nrrriejszy niz *3. występrrje n1ac7'ąCe spłaszczenie rozkładu

enrpirycznego, natonliast dla rvartości rviększ1'ch od 3 rvystępuje znacząca spi-czastośc tego rozkładtt. Kurioza równa Zero oZnaCZa rozkład nonnalny. Zaternrozkład o kuftozie rviększej od zera jest rozkładell bardziej wysrlrukłyll niżrozkład nortlraltty -charakteryzuj ący nr się iviększyrl skupien ienr j ednostek rvo.kół średniej. Natotliast rozklad o kuń. zie rrlniejszej od zera jest rozkładenrbardziej spłaszczotlynr od rozkładu nor llalllego, czyli charakteryzuje się zltacz-l-}yln rozproSzeniem j ednostek r,vokół śI -.drri ej .

Przyklad 3.,12

Wy'znaczrlly' klas1,czrly r'vspółcz;-llnik asyrnetrii i kurtozę dla danvch z prz1''kładu3.28.

Rozu'iazanie-Wyznaczrny (r, -i)' oraz 1.v. -i)' .

Tabel:r 3.23Wartość cechy -r:, (x -r) (-., -,T)' (.r, - r)'

19 -) -8 l6202A

20

20

21 0 0 0

21 0 0 0

22

!) 2 8 l6.A J 21 8t

Suma n 24 il8

Wiedząc, Że wariancja nieobciązona lvvnosi .S *. =]!2.2=z,us

wzoru (3.29)

I tJ

( 'S* = \E/l5 = l,56 ) obliczarny rvspółczynnik asyrnetrii zę

r0 )4A, =

-: := = 0,812 . Kurtozę obliczanly z. 9.8 l.5ó.

10.11 il8 3.9'- _n n.)c)

9.8.7 t.56' 8.7

Wiek studentów charakteryzuje się silną i istotrlq asymetriąuIniarkowaną kur1ozą.

\,vzoru (3.33)

prawoStronną oraze

114 At.tRltzR sTRUKTURY zBIoRoWoŚcI

3.5. Praktyczne wykorzystanie analizy strukturyzbiorowości

Przedstarviorre do tej pory rozwazania były prorvadzone w odrliesieniu do

pojedyncąvch nriar opisujących zbiorowośc statystyczną. Rozpatrąvnly ZatelTl

ki lka przykładÓw koIn p I eksou'ej ana|izy danyclr.

Przyklad 3.43

Na rrylosowanej niezaleŹnie grupie 2000 pracorvników zatrudnionych ''v rózn1,clr

zakladach przenryslo*,1'ch przeprolvadzono badania ankietorve, z których otrzymano

następujące dane:

- |260 pracownikórv nie posiadalo zadrrego środka lokolnocji,_ 3 l 5 pracorvnikÓw posiadało nrotoc1'kl lub Skuter,

_ 425 pracownikó.'v posiadało sanrochód.

Scharakteryzuj wybraną grupę praco\\.ników pod względenr posiadanego środka loko-

mocj i wykor.zystując odporviednie nriary.

I{oziviazanie:

Ba<lana cecha: posiadarrie środka lokonrocji jest cechą niernierzalną (akościową)

i występu.je w trzech wariantacll:

- brak środka lokornocji.

- posiadatlic niotoru lub skutera,

- posiaclaniesanlochodu.Zatęnr nlozetlly schar.akte IJ'Zowac tę grupę pracou'ników pod rvzględenl posiadania

środka lokonlocji przi,' uży'ciu donlinanry, i rvskaŹników struktury.

W badanej grupie pracownikórv najlvięcej jest osob' któr.e rrie posiadają Żadnego

środka lokolllocji (tetrlu rvariantorvi ceclry odporviada największa liczebrrość).

Pracownicy którzy nie posiadają rvlasnego środka lokornocji Stałlowią:

,,, =P60 = 0,ó3 = 63% analizorvanej próby.' 2000Pracow.nicy posiadając-v lvłasny rnotor lub skuter stanowią;

,u. = 3l5

=0,l575 =|5,.l5,,,o respondentów.' 2000Pracorvnicy posiadaj ący rvłasny samochód stanowi ą:

,,', =ffi=0,2125 =21.25% badanych

PRłxrycznr WYKoRZYSTANIE ANAL|ZY sTRUKTURY ZBloRoWoŚc| 115

Przyklad 3.44

Dokonaj ana|izy struktury zbioror,vości z ptrrrktu rvidzenia każdejZ ZapręZentowanych cech klierltórv dokonujących zakupó.'v w jednyrn z osiedlorvychsklepórv rv Łodzi. Dane na tenat 20 klierrtórv przedstarviorro rv tabeli.

Tabela 3.2;{

Rozi'viązanie:

W tvm pt.zypadku rnaIny do czyrrielria z jedną cechą riiernierzalną jaką jest płećoraz czterelra cechanri mierzalnyr.ni.

Cecha jakościowa przyjrnuje dlva rvarianty: kobieta l męŻczyzna, ZateIn jest zlnieIr-rrą dwuwarlościorvą. Szereg rozdzie|czy dla tej cech przedstarviono w tabeli 3.25.

P,}eć Miesięcznie w-vdat-

kowana kwota [r'v złlWiek kupujące.so lrv latach]

Liczba osÓbrv rodzinie

Liczba rozpoznanychlnarek oroduktów

kobieta !) | 20 ) 20

|ięzczyn1a t3l l5 I t2

kobieta I6 20 ) 4

|11ęzCZyzna 208 ?.5 J 4

|nęzczyzoa 240 l8 I t2

|1ęzczy^)a :+) 20 2 20

InęZCzyA1a ')/< l9 2 43

kobieta 201 f) J 36

kobieta 203 40 Ą 55

kobięta-Jź

t8 ) 22

kobieta 205 30 J 36

kobieta 204 25 2 39

kobieta 204 40 4 1:1

kobieta 208 50 5 22

kobieta f4o l8 ,1 :)n1ęŻCzyn)a )t1 ló J 1A

|11ęŻCZyzna 2il t0 ) 20|71'ęZczyzna 233 l5 t2

kobięta 2r6 l0 ) A

kobieta 208 25 J 4

116 Anłrlzł STRUKTURY ZBIoRoWoŚcI

Tabcla J.25

płeć 11, V"

kobieta t2 0.(r

,nęzczyn1a 8 0,4

Surna calkorvita 20

Zrói]ło: obliczeIl ia rr lasltc

Kobiet-v Stanowią 60o,ó badany,ch klientórv' a fięŻCzyżni 40%' Wśród l.ęspondentówdominu.1ą kobieĘ'.

Analizolvatre cęch nlierzalnę to:

o n1iesięcznie rr'ydatkoil'ana k\l',ota _ cecha cią-tła,o wiek kupującego - cecha ciągła, reprezęIltowalla prZęZ Zlnienną dyskretnąo liczba osób rv rodzinie cecha skoko\\'a.o liczba znan),ch nlą|ęk krajo\\,ych i irnportowallycłl- ceclia skokorva'

Dane zaprezento\,Vane są w postaci szeregu szczcgólo\\'ego i obliczenie rvszystkichcharakterysĘvk pozostarvianly rv laltrach ćrviczeri Czytelnikor,vi. W obliczeniach tnoŹnaskorzrvstac z Excela, który rv ratnach dodatku anali:tt tlunych Wyznacza sta|ystyki opiso-lve. Wydruk z Excela przedst'ai,viono w tabęli'

Tabcla 3.26

W tabeli 3'27 opisano, jak nalezy |ozulliięć kaŻdąz zapręZellto\Vanych charaktety-styk.

Charakte rr.'stvka i\{ iesięczrl ie ri'r dat-kou ana ku ota

Wiek kLr-

pLr j ąc egoLiczba osób lv

rodzinięLiczba rozpozna-

nvch nrarek

Sledn ia 1r1.08 Ii.95 ? śś 21,8

Błąd stand j.98 l.l 0.25

Mediana 22 3,5 20 2 2lTryb 208 20 ) 4

Odchyleniestand.

17.81 9,31 1.09 r.t, I 9

Wariancja i 17,i5 87 '71 r.l9 20 r ,43

Kurtoza t,615 2.25 -0.15 0,0-s

Skośność n?l t.ó5 0 i1 0.65

Zakles 5l i5 Ą_51

Minirnum 203 l5 I .i

lvlaksinrurn 50 5 ))Zródlo: obliczetlia ri,lasne na podstau'ie Exccla

PRAKTYcZNE WYKoRZYSTANIE ANALlzY sTRUKTURY zBloRoWoŚCl 117

Tabela 3.27

Sre dnia Podajc rvat1ośc średniej ar1,tmeĘcznej (3.2)

Bląd standar-do\\,y

Błąd standardorvy Średniej ary,trnetycznej \Wznaczony Za po|llocą wzo-

oSru #: -p jest on *ykorzystywan)'w procesic estynracji i rverl'fika-

1n 1t1

cii o któnrn będzie nrolva rv dalszei części pracy

Mediana Podaje rvartość rnediany . Jest ona dla szere-qu szczegółolvego o parąv.

stej liczebności obliczana jako średnia arytlnelyczna z dwóch Środko-rwch elenlentórv.

Trvb Podaic ri artość dolrrinanty

Odchyleniestandardowe

Podaje lvartośó odchylenia star-rdardowego (3. 1 6)

Wariancjaoróbki

Podaje waftośc nieobciąione.i wariancji (3.20)

Kurtoza Podaje wartość klasyczne-Ęo rvspólczynnika kurtozy, (3.33)

Skośrlość Podajc warloŚć klasyczncgo rvspólcą'nnika skośności (3.29)

Zakres Podaje wańość rozstęptt (3.1 1)

Minirnum Podaie war1ość lrrilliInaIną

Maksirnum Poda1e rvartość nraksyInalną

Zr(rdlo. Obliczertiir ulasnc lra podstarvie pontoc\ (lo progrttrltl I;rccl

Dokonajnry interpretacji \\'\'Zl1Acf oll\'ch charaktcrr'str k dla poszczególn1'ch cech.

Klienci dokonujący zakttpciu' ll'sklcpiktr tlsiccllorlr'tll rrr'kaz'ali się pr.zeciętrlie zlla-jorrlością 22 tllarek produktÓrr. 509o klicIlttilr'roz1ltlzIla.jc co rra.jlllll1ej 2l lnarek. a 50-o/o

co na.jrv,viej 2l lnarek' NajczęŚciej klicIlci r.oz1lozIlajil .ł lllarki produktÓlr'. Liczba t.ozpo-

znanvch nlarek plzez klierltólr' dokonujący,ch zltkupórr rv sklepiku osiedlorv1'rrl róŻni sięprzeciętnie od średniej o l.ł. oclch1'leIlie standardorr'e stanorvi 65% średnięj zatetn zroi.nicorvanie liczby rozpozlrarr'anvch lnarek jest bardzo lt1,sokie - średnia nie jest d|a tej

cechy dobrą miarą, gdyz jest ona wyl.aznie niejednorodna (program oblicza rvszystkie

charaktery'styki nie zwraca.|ąc urvagi na charakter danych). Rozkład |iczby rozpoznanychtnarck przez klientórv oznacza się niską i dodatIlią as1,llletrią. co oznacza przęwagę Zna-jorności nniejszej liczby rnarek. Bardzo niska i dodatnia kuńoza oZnaCZa unriarkorł'anYstopieri skupienia |iczby rc:lzpoznan1'ch nlarek przez klienta wokół średniej. Dane dor'v-

czące liczby rozpoznany,cIt lrlarek przez klierrtó'"v przedstarviono r,vtabeli 3'28 w postaciszeregu lozdzielczego punktorvego.

118 ANALIZA STRUKTURY zBroRowoscl

Tabeh 3.28

Liczba rozpoznan,vchrrlarek produktórv NI

4 4

12 J

l0 )

2) )

:).)Ą

2

i6 lia I

+J I

55 I

sr.lntA 20

7'ródłtl' O[ll tcz-cllilt rl lastlc'

W tyrn przypadkrr klasvczlle lniarr,nie lnlrjązastosorvania (średnia idonrinarlta niepowinny byc obliczarle oraz nie rna.ją tt| Zastoso\\,.inia kIasy'czrie rnierniki asymetriii kurtozy)' gd;'z rv1,stęptl.|ą.icdnostki nic$.porve za które naleŻ1, uznać klientórv rozpozna-jący'ch dokładnie 4 rrlarki oraz porr'1,zej 36 lnarek produktów.

Przeciętna rr.ielktlść gospoda|st\!'a donlolvego klientów dokonując1,ch zakupórvr,l'sklepiku osiedlorr''u"nl rr'r,ttosi 3 osoby. 50o'ó klientórv pochodzi z co najrnniej 2-osobowych rodzin, a 50oń z co najrv1,zej 2-osoborvi,,ch rodzin. Najczęściej klienci po-chodzą z dwuosobolvych gospodarstlv donlorvvch. Liczba osób lv gospodafst\\'ach do-lnort'ych klierrtórv dokonujących zakupórv rv sklepiku osiedlo''vynr róŹni się przeciętnieod średniej o.iedną osobę. odchylenie standar.dorve stanorvi ..l3% średniej zatern n.óŻni-colvanię.jest \tv}Sokie. Rozkład liczby. osÓb w rodzinie klientórv oznacza się niską i clo-

datnią asynretl.ią co oz.nacza przewagę rodzin o nrniejsze.i liczbie osób. Niska i ujeInnakufioza oziacza raczej niski stopieli skrrpienia się liczby osób w rodzinie klienta wokólśredniej. Dane dolvczące rvielkości gospodarst''va dornowego klientórv przedstawionorv tabeli 3.29 w postaci szeregu rozdzielczego punktorvego. W r-vni przypadku mamy doczynienia z jednorodną cechą.

PRAKTYCZNE WYKORZYSTANIE ANALIZY STRUKTURY ZBIOROWOSCI ttJ

Tlbela 3.29

Liczba osób w rodzinie nl

J

2 8

J 5

4 J

5

sulna 20

Zródło: oblicze nia rr'|asnc'

Klięnci dokonujący Zakupów w sklepikLr osiedlorv1,rn niają przeciętnie 24 lata.

50% klientórv lna co llajl11l-riej 20 lat, a 50% co najrvy'iej 20 lat. Najczęściej klienci tnają

20 lat. Wiek klientórv zaopatru.jących się w sklepiku osiedlorv-vrn róŹni się przeciętnie od

śr.edniej o 9 lat. odchylerrie standardow.e Stanowi ,ł0% Średniej zatę|nztoŻnicorvanie jest

wysokie _ miaty klasyczne nię powinny być stosowarre w tyll] przypadku. Rozkład wieku

oznacza się utrriarkorvaną i dodatnią asymetrią co oznacza przewagę rnłodsąvch klien-tór,v. Urnialkorvana i dodatnia kurtoza oznacza umiarkowany stopień skupienia wiekuivokół Średniej. Jeieli dane dotyczące rvieku klientórv dokonującycł1 zakupów przedSta-

winry lv postaci szeregu rozdzielczego pr-rnktorvego (porównaj tabela 3.30) to r,vyraŹnie

widać, ie lllallry do czy'nienia Ze Zbiorowością niejednorodną pod względenr wieku.

Jednostki niety'powe to klienci porv1,Żej 25 roku Ż)'cia'

Tabela 3.30

Zródlo' obI iczellia rr'łasnc'

Przeciętnie kliellci w1,datkują miesięcznie lv sklepiku osiedlowyrn 224,08 z't' 50,ń

klięntórv r'vydaje co najnrnie.| 223,50 z|, a 50oń co najwyŹej 223,50 zł. Największa liczbaklientów rniesięczrrie wydaje lv sklepiku osiedlowyrn około 208 z'łoĘch (rv tym przypad.

ku rlalęŹaloby oblicąvć przybliżoną rvańość dorninanr;- dla clanych pogrupowanych).

Miesięczne wydatki klieritórv rv sklepiku osiedlouyrn różnią się przeciętrlie od średniej

o l7'81 zł, stanowi to 8% średniej zatemzroŻn,tcorvanie jest niskie' Rozkład rniesięcznierv,vdatkorvanej krvoty oznacza się niską i dodatnią asymetrią czyli wśród badarrych rvy-

\\'iek klicntrt lll

l5 )

ló

l8 J

20 ó

25 1

40 J

50

sul-na 20

120 ANAL|ZA sTRUKTURY zBIoRowoŚcI

Tabela 3.31

.Y n1

l0i,0c 8

) 15 -71 2t 8,5( 2

228,5( I t | 1( 5

I1l t( 254,0(

ulna 20ZródIo: obI iczellia rvlasltc.

Na podstaw'ie Szercgll rozdzielczego przedziałowego widać, Że JeSt to szerego skrajllvln przedziale dolllinantv i dlatego nie pow'inna być ona wyznaczana. e

stępu.je przewaga nizszvch rvydatkólv' Ujernna kuftoza oZnaCZa niski stopierl skupieniaposzczególnych uydatkórv rvokól ich średniego poZiolllu.

Sti,vórznry dla miesięczrrie wydatkolt'anej krvoty szeregrozdzielczy o przedziałachklasorł1'ch' Liczba klas zgodnie z jedną Z teorii polvinna być z przedzia\uO,5^l; < k Ś,l;. Szereg zarviera 20 obserrvacji zatenl t e (z,zł;ł,ł.l) . PoniewaŹ Iiczbaklas nlusi by'ć liczbą całkolvitą więc ,t =3v k = 4. Przyjmrjmy t:4 . Rozpiętość tejcechy wynosi 5l zl. zatem rozpiętość przedziału klasowego będzie rrynosić |2,75zł'Otrzvnrany szeregrozdzielczy o przedzialach klasowych przedstatviono rv tabeli 3.3 l.

4. Arułl|zA Ws P oŁzALEzrvoŚc l zJAWls KDotychczas zajrllorr,aliśnly się opisetll zbiot.olvości statyst1'cnlej z punktu

rvidzetria każdej z cech. W t.zecz'vll'istości często |llalrr}'c1o cz1'nietlia z cechatrti.ktorych rvartości są rvza.iemnie zaleŹlle' \Vtedy z'azlvyczaj illtereslrje tlas charak-ter isila te.i zalezności. W t1.rrl lozdziale zqnlienly się sposoŁlalllijej nrierzeniadla dlvóch cech statystycztly.clt.

4.1. Rozkład dwuwymiarowy, brzegowy' warunkowy;tablica korelacyjna

Punktetll rq'iściorvynl do badania u'spólzaleztlości cech są dane. 'nv którychdla każdej jednostki Statystvcznej określono rvattości drvóclr cech:-Y i f. Mamywięc zbiór ll jednostek i przyporządkou'alle inr pary cech (x,, .l',), i: 1,2' '., n.

Manrv zateur szeres:

Trbe Ia 4. I

Szereg szczególorr'l, dIa d*,óch obserrvorr,an1''clt ceclt

ZrÓdlo: ()pracL,ri altic u Ia:llc

.Ieżeli liczebność zbioroirości.jcst cluza i zachodzi potrzeba poqrttpotraIliadatirch rv szeI.egi t.ozdzicIcze. lo 7-c \\zglę.lLI tla dtr'a róztle rr1tniar..r.gt.tt1loriatlia- ria k rvat.iaIltórv clIa cech1 '\ i / lialialltórr' cechy, }', otrz1'nltrjeIrly ,t,l rvarl"clscill,, .liczebności klas clIa i-tego rvariallttt ceclly X (i_1,2,.'.'ł) i1-tego rvat.iallttt

cechy f (J:I,2, ''''l). opisane przypo|Ządkorvanie llazywalll\i dlvulvymiaro-rvl'm rozkladem empir)'czn1'm cech (d)) dla danej popLrlacji. Dane pogrupo-lvatle u trl ies zcza się zrl'l'k l e \\' tzw. ta b |icy ko relacyj nej'o :

58 1y prz1'paclku cech.iakościorvr'ch. clanych syruboIicznych lnórvi się rvięcej tabIicach kontygencji

122 At.tłt-lz,c WsPoŁZALEZNoŚcl zLłwlsx

Tabela 4.2'l'abl ica korelacy'jna

X It,t - !tx ),zl - 1ł'., !t,t- !t,3 Y,, -,,r=l

'l I(l .ł lo 11 tt /l r: 11 tt ll t

-Y:l - r.zu 11:t lltt lltt llt

"Tl,t - Xr,o llkj Ilt Il *t llt

Y,, =,,'=l

ll. t 11. t 11. t

łL,,=l

=Y,, =,,L .ll= I

S,vrlbole 'T,.l, .I,g ol.oZ }i. )łE oZ|1ACza.ją odporviednio dolną i górną grallicęprzedzialu klasou,ego dla cech X i Y. W ostatninr \\'ierszLl tablicy korelacyjnejl'lll]ieszczone Zosta'ly Stlll]y liczebności wszystkich klas cech}, x dla danego wa-rialltu Ioznaczonego przez lll, twol.Zące rozkład empiryczlly cechy yrv badane.izbiorolvości' nazywallv tLrtaj rozk|aclem brzego}YYm te.i cechy. Podobnie rvostatniej kolurnnic tablicl, llo\\'staje lozklad blzcsorrr ccchy -Y, oznaczony jakołl,.

Mozcttlr teŻ rozpatr\\\ac rozkład jedrrc.j ccchv prz)' LlStalonej \\'artościdrugiej. lll]. clla cZeści popt|lac.ji ;losiada.jącc'j cechę J lr' pierrr'sZ}/ll] \Varial1cieri.i - -Ttł (ll'. jedrlostek) nlanl1 rozkład:

Tabeln 4.3

Wariant f Liczebnośc klas

Yt,t - !ts)):,t - lzl

lu - )'tvTaki rozkład naąVwamy rozkladenr \Yarunko\YYm cechy Y. Zatern

\Vwiefszach tablic,v korelacy'jnej l]]anly rozklady wa|tlnko\\re dla cechy Ła w kolllnlrach - dla cechy X.

Przyklad 4.1

Struktur.a nrieszkari pc\\'llcj spóldziclni lniesZkaniowej pod li'zględcnr rvielkościi liczby ZatllicSzkując)'ch jc osób Zostala podana rv porrizszej tabcli:

RozxrRo DWUWyMrARowy. BRzEGowy. wARUNKowy: TABLTCA KoRELACYJNA 123

Tabela 4.4

tn Po* ierzchnia Lrz)'tko\\'a(rv nrr)

Liczba nriesz-kallcórv

l 3

l.2.3.1.5.

6.'t.

8.

9.10

n1Ż

l3l.łt5

4248375ó4ó102

3311

63,Ą.)

58'72

963864

.ł

2

I

23

1,1

5

5

f3

45

I

5

2 3

16,

1',7 ,

I8,19

20,fI,f2:J1.1

2526f7282930

'75

6816'/4

85615630o?

496656r01+J

39

3

5

3

f5

44f4

I

3

3

43

2

Zródło: Danc tllllo\\,ne

Danc te pogrupowanc rv tabcli korcIacyjncj rv1'glądają następująco

labela Ll.5tK ) J J Ii.azc'nr

30-50 J + -l il50-70 J J

70-90 I I I 5

90- I l0 3 .ł

[{azenr 3 Ó '7 IJ 6 30

Rysunek 4.l przedstarvia dane z tabeli 4'5 na histogramie trójr,vynriaro-\w111:

Ą1AAt.tRl-lz,ł WsPoŁzALEf NoŚcl z.jłwlsx

GxNo

6N

4l3-

2

1

0

Liczba m ieszkańcówPow ie rzch n ia

m ieszkań

R1,s' .l.} Histogl,cttlt trćljv'yniaruv'.1, tlltt t!un'y.c'h: pr-l.k!at!tt 1' I ł

4.2. Za|ezność stochastyczna i kore|acyjnaZatlu'ażr'liśrlly jtrz. ze t1ri ic (lLrLl rr ięcej) cecIr1, rrtogą \\,}'Stępo\\lać rv sposób

niezalezIll'ocl siebie lub przeciiitlic, ttartośó jcclne.j cech. nioze rr,1l1vr,r,ac lladrugą. Wspólzalezność rv1,stęprrjąca nriędzy cechalni ,nóz" by,ć clrl,ojakiegoro0zźll tl:. funkcyjlra (dokładna), kiedy zlniatla rvaftościjednej cechy poci4ga za sobą

kotlkrettrą znlianę drLlgiej, czy|i .v-:Jix). gdzie r, 'y - tvartości cech. l - svrllbolpel'nej firnkcj i,

r stochastYczna (probabilisĘ'czlla)' gd.v rózI-l1,t.ll lvarialltollr.iednej cechy od-porviadają różlle rozk'lady drugie.i cechy' Przecirvllie, jeżeli clIa lóżlrycil u,a-riantórv jcdrlej ceclty druga llla stale taki sattl rozkIad,io cech\.sa lliezaleŹnestochust;cznic.

Szczególrlyln przypadkicnl zależności stochastycznej jest zaIeżność kore-Iacy'jna (staĘ'st1'czna). l\4órvirllv. ze iJrvie cechr, są zo|"i,",e kor.elac1,jrtie, jezeliróżn5'nr \\.ariallto|ll jedllej cechl' odporviac1ają różne śreclnie rr'aruIlkowe drir-uiej'SredIlie u'arullkorr,e to są średnie liczone cjla rozkłaclórv lvar'llkorvych.

Ze zv'iiyzkarni frrrikcyjnr,'nli nlanry niekiedy clo cz.l,niclia rv pr.zvrodziei technice. np' pole krvadratu 1. jest firnkcją dltrgości jego boku ... .,1,ii .,,:',.Natonliast rv naukac|r spoleczIu,gh rv rviększoś.i p'.y,p".lrórv spotykarny się zzalezttościatni stochasty'czlly,tlti i clla nich rvl'aśrlie pizec1starvinly, portizej pod-starvorve nriary.

ZnlEznoŚc sTocHASTYczNA I KoRELACYJNA

Datle przedstar'"'iolle rv prz1,kładzie 4'l zdają się byó za|eż'ne zarórv-no stochastvcznie, jak i korelacyjnie. Widac bou'ierl, ze nlniej liczne lodzinyzarllieszkują na ogol nllliejsze lnieszkatlia' Można sobie jednak lvvobrazic cechyza|eŻnę kore|acyjnie, alc nieza|eztre stochastycznie' tzll' posiadające stałą śred-tliąlvarttItkorvą lllinro istotrlie róznych rozk]adólv tr,artttrkorv1'ch. llp. pod w,zglę-

detrl rvariatrcji - dla różn.r'cll u,ariantćlrv jedllej ceclry lnożetny otrzynryrr'aó roz-k-lady bardziej rórr'rlonliertle lub bardziej skotrcetltrorvaIle. chociai posiadającewciąż tą satllą średrtią. Jeclrlak rla ogół pojęcia zależności stochastvczlre.i i kore.lacyjllej są ze sobą zlviązane. W dalszej części zajnlienly się rrtierzenienl sily,

rr soólzależIlości cech.

4.3. Podstawowe miary współzależności cechPodanr1, teraz kilka llajczęściej stosorr.alt;'ch rvskaztlikórv tllierzącr.clr silę

korelacji drvóch cech (uspólczytlnik korelacji liniorr'ej Pearsona, stosultek kot.e-

Iacji, r.'.społcz5,'tllrik kor.elacji rang Spearnlana) oraz tlliarę zaIezności stocha-sĘczltej - u,spółczynrlik zbiezności Czuprorva.

Prz1' badanitt rr'spólzaIeżności ceclr prz1'jnluje się zrvykIe jedną cechę za

niezależną. której zrllicllrlość jest ttlvartttlkorvana cz1'tlllikatni zerr llętrzItt'llli,a dr.trgą z.a za|e.Żnz1. tz-ll. .iE rrahallia 1;l.cibtrje się rrr'iaśllić (prz1rtajIulliu'.1 czę-śc iorvo) znl ietlnością cech1' rl iezależrle.j'

Najczęściej Stoso\\ atlr'tll llticI.tlikieIli li spółzaIeztltlści cccIl rllierzaln1'ch(ilościorr.yclr) jest rr.spó|czr'Irnik kore lacji Iiniolr ej Pearsona określany rvliteratttrze rórvnież jako rrspóIcz1'nllik ktlrt-'lac.ji p|ostolillio\\ej. Współc4rlrlikten jest oparq'lla pojęciLr |irrrr'ariancji. kt.irą clIa szeregu szczegółorvego (tab.

4.l ) ri,vznacza się rvedlt|g \vzortl:

| ]t

covrr. =-f (.r, -rlf t, -l). Il r=l

lttb rórvtrorr,aznie

lr/'scov,., =_).y,1.,_.r.)It i=l

oraz dIa Szeregu pogrtlpo\\'a|lego w tablicy korelacyjnej (tab. 4.2) rłyznacza sięze wzoru:

125

co\\) =;iI(r,-i)r j,,- ),,,,

( 4 1)

( 4.2)

lub

(13)

tzo At.tłt.lz,q WsPoŁZALEzNoŚcl z.lłwlsx

1Ktcov., =:tt.t, i, Ó,, -r v.tJ,1ŁŁl/1lIj

tt t=l !=l

Współczyllllik korelacji linioivej darry jest wzorelll:

( 4.4)

( 4.5)cov.\1.

,'=l'=-'.r,r ' tr\ SrS,. '

gdzie S,, ,S, ozttaczają odclrylenia standardorve zrrliennych X i ŁWspołczy,nllik korelacji liniolvej jest nliarą symetlyczllą i przyjlnuje wa|to.

ści zprzedzialLr <-l,l>. IIlfol.lltrje o sile oraz kierunku koreIacji liniorvej l1liędzyzur ienny'nr i.

aa0aa

05101520 a

Rvs. -l.2 Brak:ale:ności kore R),s. ], 3 Zale:tlość'futlkc.tjtta kr:tltolinio-\.o

tl

30.

25ot

'o ) ..t15 ] ^.ł

lacl,j ne j

-1

i. :1."fĘ.r-o

lo 103010

on

Rys' 1,4 Zale:ltość liniolva ttfenuta,R.l,s. ./.5 Zale:ltość liniou,a dodtttnia

PoDSTAWoWE MIARY WSPoŁzALEZNoŚCl CECH 127

i16r11

10

Ó

6

2

0

I?y s. 1. 6 Za l e : n oś ć k o re l a c y,1 n tt u nl i a r k otl'' a-na dodatnia

0 5 10 15 20

Rys' 1.7 Zalezność korelacvjna untiar-kowana ujentna

a

0 6 8i

Waftość rvspó'lczy_nnika kore|acji PearsoIra r'.: 0 (por. rys.4.2 i 4.3) ślviadczy obraku korelacji liniorvej międz1.badanynli cechanli (mozlirve, ze istnieje międzyninli korelacj a krzl,lvol iniorval ).

War.tość rvspółczyntlika korelacji Pearsotra rviększa od zera (l..'> 0) intbr.llluje nas, Ze lllal-n)l do czynierlia z korelacjądodatnią(rvraz ze wzrosteln lvat1o-

ścijednej cechy wzraSta śr.edlliir rr'artttlkou a drLrgiej). Porórr na.i ry.s. .ł..1 i 4'6.Wartość rvspóIczl'tlttika korelac.; i PearsoIla lllrlicjsza ocl zera (l..,'< 0) in.

fornluje llas' Ze korelacja jest trjellllla (rr.zrostori i rrartości .iednej ceclty torva.rzyszy spadek drugiej). Porounaj rys. -1.5 i -1.7.

Przy r,n: 1 |trb -l nla|ll)' liniori'ą zalezność tilllkc1jrlą. Żll. y:ax+b'

Przyklad 4.2

W..Gazccic Motoryzac1jlrcj,, 12197 zllajdqą się następujące dane o celrach sanro-clrodórv per,vnej lrrarki:

Tabela 4'ó

Wiek rv latach

3

7t042

3

27t'7

8

f635)/

a

ZródIo: Dane u|llow|lc

128 ANAL|zA WsPoŁZALEzNoŚcI ZJAW|sK

ob l iczvnly rvspó lczynltik kor.clacj i l i n iori'cj d la podany'cIlpodarlo dane dla ll = 6 satllocllodórv. Srcdni u,ick sanloc|toduri,r,nosila 2.ł. 17 t1.s.

cech. W tym przy,k.ladzic

to 4.83 lata. śl.eclnia ccna

Tabeln .{.7

Wiek (.t7 Cena (r'7 * _; )', - )' (.r, -r)(1, -r) (.r, .r )- (.r', i)rJ

7

l0-l

2

J

f7t78

f6i53?

1.83z,t75. t70.u3r R]

1.83

2.83-'7 l'1

-16.171,83

10.837.83

-5,t915.5383.53- I 5t] 0,ó911.16

3,361.692(r.690.698,033.3 (r

8,035I.3ó

2ó l'.jó3'3 ó

I 17.3(r

6l. jóY t..t5 X 150.8-l 16.8-j 501.83

Jak lr'idać rv tabe li .ł.7, otrz)'Inano:tqt=ł=4,83'o1J5

, == = l"r.l7.t)

-r5n 8tL('\fl

-- ----'.1{.()

r-^ /+o.aiJ\ = l- = ' /\,".\ 1l .lo

Stąd't{ I I

r.,, =-=*0.98.'.' 17c)'kqli

a to ozllacza, Zc poda|le ccchy są lrardz<-l silnic skorclorr,ane.

Wick saluochodrr jcst rrjelnnic skorclotvaltl' z jcgo cclrą. tzn. llllodszc saniochodr, sądroŻszc. Zalczrrość ta jcst bardzo silrla i linioil'a. e

Przykład 4.3

oblicz1.lnv tcraz rr'spólczlrllrik korelac.ji liniorl'e'j dla danych Z prz\'kładtl 4.l. .ta-

blica korclacljna. uzupelniona o danc koniccznc do obliczcnia S,, S, oraz cov.,, zostalaprzcdstarviona rv tabeli 4.8.

Slednie arytrnctycznc cech ua podstawic przedstawionych danych obliczarny jako:

PoDSTAWoWE M|ARY WsPoŁZALEiNoŚcI cECH tzY

Y",,L" t" 1' I R?f)f ='=' n30

Y,, ,,lż/ 1'...l

.-_/=l _9ó_,"'--- | -t -

n 3\)

Kowariancja została ob]iczona \\.g wzoru (4.4):

61R0coV,, =- ,"-60.67 3,:7 =ll.-19

30

Tabcla 4.8

x, \ y,I f l J ) ,Ti - -T

,. -.](.\-ry,. -'?0l .If/ł.

40ó080

100

30-5050-7070-9090-l l0

J 4I

I

32323ll)

3l

L2

95

.180

540400100

-f0.6'1-0,6'7

19.3339.33

1?-7 ,t 1

0.443 73.781 547.1 l

5 125.334,00

1 868.896l 88.4'1

T,. 3 ( 1 ó o 30 I 820 l31 8ó.67

)' in' i 3 ll t1 i0 98

,' _n -2.27 -t.27 -0.17 0.73 1.73

( l , - r')- 5.11 t.6 0.07 0.5-l i, -'f0'1-)')-n 1

15.:l 9.63 0.49 4.3 l8 17,8',7

kIi,Ó,,t-l

I 20 300 380 580 4l()

kI i,n,ry.,

120 600 1r40 f320 220( 63 80

odchylenia standardorvę obliczanl1'. podobnie jak Średnie. na podstawie rozkładórvwarunko\wch:

,s=-_t =20.9'7.

F7.Bj1:o

l3 r 86.67

I wreszcie współczynnik korelacji liniowej jest równ1,:

a2n At.tłt-lzn WsPoŁZALEzNoŚcl zJAWlsK

cov,, | 4,49

s .s 20,91 .t.26

Manly rv tyrn przypadku cechy wyraźnie skorelowane, choć nie tak silnie. jakrv poprzednirn przykladzie.

Porvierzchnia rrrieszkania jest dodatnio skorelorvana z |iczbą zarnieszkujących jąosób. tzn. rv mieszkaniach o rviększej porvierzchni rnięszka więcej osób. ł

Przyklad 4.4

Kowariancja nriędzy wydatkanli rra reklarnę i wielko^ścią sprzedaiy pelvnego przed-siębiorstwa wynosiła rv ostatniIn okresię ó0 000 000 zl'. Cz,v za|eŻność lniędzy tymiwielkościami jest silrla? Wiadonlo. Że rozk|ad rvięlkości rniesięcznej sprzedazy tegoprzedsiębiorstwa w ostatnirri okręsie był następujący:

Tabela ,{.9

Więlkość sprzedaĄ(rr,lrrln zł)

Liczba lniesięcy z takąwielkościa slrzedai^]

3.5-44-4.5l<ł

5-6

2nT

5

J

J

T,rtidlo: Dane !u tlowllc.

znany jest rozk]ad rniesięcznych wy'datkórv na reklame w tvrn saltlvln

Tabela,l.l0Wielkość rtydatkÓrvna reklarnę (w fvs zł)

Liczba lniesięcy z takąrvielkościa rwdatków

o.| ś

7-I c)

q-) 1

I

/1

6n

2

Zródlo: Dane uI-nowtle '

Rozrviazanie:

NaleĄ oblicz;'ć odchylenia Standardowe wielkości sprzedaŻy i wielkości wydat.ków na reklamę. W tyln cęlu konieczna jest znajorność wartości śrędnich arytlnętycz.nych. W tabelach 4.1| i 4'12 podane są obliczenia cząstkowe.

Jednocześnieokresie:

Poosrnwowe M|ARY WsPoŁzALEZNoŚcI cEcH 444

Tabela ,{.1 I

WielkoŚć sprzedaŻy-{;

.T/ Liczba luięsięcvnr

x,fr,

?i-15 3 2 f) 1.2941 3.34953,5-4 3.75 '1 l) -0.54'tl l. I 843

4-4.5 .t 1i 5 21.25 -0.0441 0.0097,{<< 3 lrt ?i 0'-ł559 0.62355-ó 5.5 J 16.5 1.2059 1^3625

Surna t7 73 9.529412Zgodnie ze rvzorern (3..ł)

i =: = 4.f941 .l'7

natotniast zę wzorl (3.l7) otrzyrnujerny

6;?q.l r ?.S = ./-'"-' "- = 0 74870lrrrln zl.*Y 1 tzAnalogicznie dla lvydatków na reklatrlę lnatny

Tabela 4.12

Wydatki na reklarnęv.

!, Liczba nriesięcyn,

! ifr, v -r:

l-l 5 1.25 -0.5706 0.3256t{t7 l.o 4 o.4 -0.220ó 0. l 946I 7-l q 1.8 o I 0.8 -0.0206 0.0025lq-?t 2 4 8 0 r79.1 0. r 288')')< 2.t 5

") 1.5 U..ł]9-ł 0.3 688

Suma ti 3 0.95 r.020294Odpowiednio

- 30,95 ^ /r .0202e-+= 1.820588. .S, =./-_--_ = 0.24-198-lrj,s. zl.- 17 \l t7

obliczymy teraz rvartoŚc r'vspólczynnika korelacji liniorvej jako rniernika sityi kierunku zależności liniorvej rvielkości sprzedaŻv od wydatków r-ra rekIattrę w badanyrrrprzedsiębiorstwie. Zgodnie ze rvzorem (.1.5)

60000000 ^

1._'rl 7-t87ol.241.98.1

Mozna zatenr stwierdzic. Że istnieje niezbyt silna zależność dodatnia między rvy.datkami na reklarnę a wielkością rniesięcznej sprzedaĄ. e

Kwadrat współczynnika korelacji liniowej R' = Ąi = r,,,, naz,vwac będzierny

lYspólczYnnikiem t|eterminacji |iniorvej. który podaje, jaka część Znienności

|Óz ANAL|ZA WsPoŁZALEŻNoŚcl zJAWlsK

cec|1.y za|eŻnej jest wyjaśniona zmiennością ceclry niezależnej. Podobnie wpro-wadzirrry poj ęcie wspó|czynniI<a ind eterminacj i liniorr'ej j ako :

Q = L- K-^ ( 4.6)

który wyraża. jaka częśc ztnienności ztniennej zależrrej nie zosta]la wyjaśniorra.

W przykladzie 4.3 mamy Zatel-n Ąl..: 0'55]= O.30 i q: 0.70 co oznacza, iervielkośc nrieszkania. tlrierzona jego powierzchnią zostalo w 30Yo wyjaśnionaliczbązamieszkujących je osób. a lv 700ń przez inlle przyczy|1y.

Ittną nriarą korelacji jest stosunek koreIacji (rvskaźnik sily koreIacji) Pe-arsona c,,. i g'',, nazywany tez współczr''nnikiellr korelacji nielirriorvej. poniewazmier;ry on siłę korelacji cech niezaleznie od ksztahu tej za|ezności' Mierzy sięgo dla darrycłt pogrupowanych, przy czyllr cecha za|eŻna rlrusi byc ceclrą lnie.rza|nąco ozllacza. ze cecha trrierzalna moze byc ilościorva lub jakościor'va. Sto.sunek korelacji Persona cechy )'doX jest dany rvzoren'l

r=lJ,':,P = l-']:r

1l ę 2

t '''^)gdzie S':, jest rvariancjąśrednich rvarunkowych cechy Y. czy|i

- 1As; =:Ltt, -1=)rir,..

.\] |.Ł-.

l

rt ,-1

natotrliast 1,. jest średnią rvarunkolvą cechy ), dla i-tego wariaItttt

czyliI

Zt',,,il. = '-' i=1.2,...k/t

ll,.

S'2 .1est wariancją ogó|ną cechy f.

Analogicznie konstruuje się stosunek e*'' korelacji X do Y,

( 4.7)

( 4.8)

cechy {

(4e)

Przyklad ,1.5

W pewnyrn przedsiębiorstrvie istnieje zrviązek potniędzy rvielkością partii wyro-bÓw gotowych a kosztenl jednostkowyrn pLodukcji. Na podstau'ie obserrvacji Z ostatnichkilku nliesięc,v stwierdzono. Że dla partii rv1'robów'rvielkości l0.20 sztuk śrędni kosztjednostkouy lvynosił 4,3 zł, d|a pańii 20-50 sztuk śrędni koszt wynosił 3,2 zł, w partiacho wielkości 50.100 -2.3 zI. rv partiach l00.l50 szt.-2,l z-l' a rv partiach najlviększych.

Poosrnwowe MlARY WsPoŁZALEZNoscI cEcH

Wielkość oar1ii(szt.) Liczba partii o tej rvielkości

i 0,20 5

20-5i) l550- I 00 f0100-150 l)

I 50-200 l0Zrridło: Dane u|Io\\T]e'

określic silę zrviązku rniędzy rvie]kością partii wyrobólv gotowych a kosztem jed.

llostkow)'tn produkcj i.

Rozwiazanie:

obliczyrny rvielkoŚć stosunku korelrcji. Średnię rvarunkowę kosztu jednostkowego

dane są w treści zadania. Na ich podstar,vie l-llozna tei obliczyć średnią ogólną jako śred-

lrlą wazo11ą:

5

Y t,'/)'' t 't'

-tlY= -': =

Y,'/-! t',_]

4.3.5 +3.4.l5+ 2.3'2()+ 2.l l5+ 2 10

5+15+20+15+10

Wariancję średnich warunkow.vch obliczy,rn} ' zgodnie ze wzoletll (4'7)' jako:

-) I.|- -.1si, =-uL0,,_y).Ą.=uJ,-l

= -!- (, o. : - z s zr s + 1 :,.t - z s 7 2

t s + 1zt - zs Vt zo* (Zt - Zs V2 1 5 + 1z - fs 1' 1 o =65'

=1.zs,q:sa G0.44520'/65

Stosunęk korelacj i j est zatenl lólvn.v.

Mozna w tym prz}padku nlówic o \łTraznyln, choć niezbyt silnyrn związku korela-

1?ą

l50-200 sztuk rvyrobów średni kosztjednostkowy wynosił 2 zl. Wiadonlo ponadto. ieodchylenie standardowę kosztu jednostkolvego rv badarlyln okresię rvynosiło 2,f z|.

Rozklad liczby par1ii o poszczególnych liczebrroŚciach podano w poniŹszej tabeli:

Tabela 4.13

167_ = :.) tT,ó5

cyJnyln

134 ANtłt-lz,c WsPoŁzALEŹNoŚcl ZJAW|sK

Stosunek korelacji nroże przyjrnowac r,vafioścl zprzedziału <0,1>. Na ogółjest to miara niesymetryczna. tzn. e ,\+ e.r,\ poza dwoma przypadkami'. e.,,: e.,*: 0

(brak korelacj i) oraz 9'q': ?1;1: 1 (za|einosć funkcyjrra nriędzy Y a X).Istrrieje za|eŻnośc między e..'' i /.,.,:

I r,,.| Ś e,,,.

która stała się podstarvą do utworzenia tlriary krzywoliniowości związku zlrrien-

nych' tzw. nriertlika krzyrvoIiniolvoŚci:

ffiv=e-,'-1,-'

i oczywiście, przy badaniu za|ezności cechy X od Y:fl

I,ł,Ix = e;v _ r;v ,

40.3+ó0.0+80.0+l00,0=40

40.4+60'1+80.1+100.0

( 4.10)

( 4.1 l)

( 4.1f)

Przyklad 4.6

ZbadaĆ. czy za|eŻność mlędą' powierzchnią tnieszkania a liczbą zamieszkującychje osób zprzvkładu 4.3 rrrozna uznać za liniową.

Rozwiązanie;

oblicąvrn.v stosunck korelacji nieliniorvej e,,, - za|eŻności porvierzchni lnieszkaniaod liczby czlonkóiv gospodarstrva domowego, a następnie wielkość rnięrnika krzywoli-niowoŚci (irn jego rt,aftośc jest rtrniejsza. tyln hardziej zależrroŚc llroŻlla uznać za linio.!vą).

Na podstarvie tabęli 4.l] rnoŻna obliczyć rt,artości średnich warunkorrrych cechy 't-powierzchni lnięszkania dla poszczególrrych rvariantórv cechy y - |iczby osób' I tak,

w grupie gospodarstw jednoosobolvy.ch są. tylko trz,v jednostki i rvszystkie rnają po-

wierzchnię nrieszkań w przedziale 30-50 ln.. zatern'1

Ytr./ż.'I''II- , -]

11 .l

W następnej grupie _ gospodarstlv drvuosobow1'ch średnia por'vierzcłrnia ntieszkańwynosi

.l\at .

) X,ł.|,l4 ''

x2 =-n.2

i analogicznie:i: = 54,28571, x1 = 72,5 ,i5 = 73.3333 .

PoniervaŹ obliczona w przykładzię 4.3 średnia wynosi 60'6./ ' zatęm wariancjęśrednich warunkowych obliczamy jako

Poosrnwowe M|ARY WsPoŁZALEŻNoŚcI cEcH 1?Ę

s; = lirr 1 -if n., =' n-.l=l

= *(oo - 60,6Dr. 3 + (50 - 60,6'D2 . 6 + (54,28571 - 60.67)2 . 7 +30 ''

+ (72.5 - 60,6D2 .8 + (73,3333 - 60.67)2 .6)=

= a 1rzsr.:: 3 + 682,666i +285,0r 59+ | l2o.2fz+ 962.6667) :30'= 144.3968

Wariancja cechy i' na podstarvie

'"z - |3l86'ó7

=Ę9.5551 .Zatęnstosunek- 30ru (4.6) jest równy:

obliczeń z prz.y-kładu 4.3 lvynosi

korelacji nieliniowej analogicznie do wzo-

natoln iast nl i ern ik krzy,rvo l in i orvośc i rv-vnos i :

11rł1, = ei,, _f.u,= 0.33-0.30= 0.03

i poniervaz jest to rt'artośc bardzo biiska zera. zaleŹnosc z prz;,kladu 4.3 Inożnauznać za liniową.

W tyn przypadku tnalnl' dcl cz1'nieniir z dti'iellla cccltalni rnierzainyrli.więc jestm ożl i lvość lv,- znaczenia rÓrvn iez rvs półcz1,nn i ko c''. .

Dla;r;: 60 su'.'-lu )}, 'nii =|.0+2.l+3.3 +1'2+5.3=34 i średnia warun-11

korva v, =:-: = 3.78 .

9

Wariancjawarunkorva wynosi s: = 2l'01

= 0.'767 .- _: _10

ln 1A1Stosunek korelacji ,,, = ^l+ = ./o,.łzos = 0,69 'I r.o

Prz1'poInrrijnry,, że rvspółczynnik koreIacji liniorr'ej Pearsona wyniósł dIa tego prąv-

kładu 1', : 0,55, czy|i zachodzl relacja

h* | .

"'-ZauwaŻrny, ię zachodzi relacja; €,., * €,'.. Miemik krzFvoliniowoŚci rv-vnosi:

enl,, = Ą: _ rjr =(o,o$' - 0,30= 0,1,/ 61.

tJo ANRt-tze WsPoŁZALEZNoŚcl ZJAWISK

Kolejną tniarą korelacji, wygodrlą i uzyteczną dla niezbyt długich Szere-

gow SzczegÓłowych z drviema cecilanri tllierzalnynri (lub przynajnlniej posiada-jącynli pewien naturalny porządek pozwalający na ustawienie wartości rosnącolub nlalejąco), jest rvspó|czynnik kore|acji kolcjnościorvej (rang) SpearmanaD

N^62rl;

p -p -t-'r1\\.1 -

t\lf -

r \

.tl

- ,t

gdzie d, są róznicami nliędzy kolejnylri ttutlreratni (ranganri), nadawan1rrrilv kolejności nierrralejącej (lub nierosnącej) osobtto dla każdej cechy od l do n'Jezeli kilka elementów w Szeregu llla taką salrrą lvańość jeclnej cechy, to nadaje

irn się rangi będące średnią arytl1letyczllą (pr4,padającYclr na te elernetlty) rang'Wartośó R.-' należy do przedziału <-l,l> inrólvi o sile oraz kierunku kore-

lacj i.

Przyklad 4.7

Pror,vadzący zajęcia Ze statystyki Zaproponował konkurs, w któryIn rlagrodarni byl-v

zwolnienia z za|tczenia i egzarninu ze statysĘki. W konkursię zdecydorvalo się wziąćudział l4 studerrtóii'. Prorvadzt1c;, postanowil zbadac, czy istnieje związek rniędzy wyni-kanri konkursLr a średnią ocen studenta' W ry*m celu zrobił zestar,vienie:

Tabcla.l.l{

(4 13)

Inlię i llazlr'iskostttdęnta

Mit-jsce u'konkursiestatYstvcznVnr

Srednia ocen

Jan KorvalskiErva KowalskaJakub KorvalskiZofia KowalskaIręna Kowalska

Zbigniew KorvalskiAnna KowalskaAdam Kowalski

Wojciech KorvalskiEryk KowalskiJerzy KowalskiStefan KowalskiWitold KowalskiPiotr Korvalski

4,4J'ó4,0

Ą)3,8A1

1R4,1,ł

C)

Z-ródło: Dane umowne

PoosrRwowp tvllRRy wspÓrzRLEf NoŚcl cEcH 137

Zbadać, czy związek porniędzy wynikami przedstawionyrni w tabeli istnieje, jeślitak, to o jakirn kierunku i sile.

Rozwiązanie:

Cechę .'niejsce w konkursie'' oznaczy|11y prZęZ J/, cechę średrria - przęZ x.W przypadku cechy nyrazonej, jak w powyiszym zadaniu, w skali punktorvej (miejsce rvkonkursie), właściwsze jest posługiwanie się tniaraltli pozycyjnyrni i takiIni teŹ n-rienri-karni korelacji. Zastosujerny zateln rvspółczynnik korelacji rang SpearInana.

Należy zwrócic uwagę' ie rniejsca osiągane przez studentórv lv konkursie nie będądokładnie równe rangotll prz1,pisall1'ln tr'nl Illiejscotn, ponielt'aŹ war.tości rang są przypi-svwane od i do liczby elementów w próbie, czyli l.ł. lratonliast miejsca były przyznaneod 1 do9.

W związku Z powyzsz)llli ulr,aganli lrspólczr'nnik koreIacji oblicz1'rny jako:

Zródlo: Danc ut}lo\\Te.

Dwoje studentów Zna|az|o Się razelll na nliejscu 2, zatenl przrypadająna nich rarrgidruga i trzecia, zatern oboje otrzynlują rangę (2+3)/2=2.5. Analogicznie ranga Czwarta,piąta i szósta przypadają na studentórv z rniejscern 3' zatetn otrzynlr'rją oni rangę równąśredniej arytmetycznej przypadającyclr na nich rang, czyli (4+5+6y3:5 itd'

Zgodnie z obliczęniami w tabeli6.658

1(,. =t------=-0,446.14'-14

Tabcla 4.15

Imię inazwi-sko

Miejscew konkursie

(r,)

Sredniaocen(l i)

Rangi dla,r(dx,)

Rangidla.r'(dv,)

Róznicarang (rf) d,2

J. KowalskiE. KowalskaJ. KowalskiZ. KowalskaI. KorvalskaZ. KorvalskiA. KowalskaA. KowalskiW. KowalskiE. KowalskiJ. KowalskiS. KorvalskiW. KorvalskiP. Kowalski

I

2

f3

3

3A

5

5

5

6

7

8o

4,43,84045

4)3,8A1

3,84,1'lo

)-z

I

)5

.7

u

9o

1lt')

1Ąl{

IJ

6

9

14

3

I 1,5

6

I 1,5

26

l08

4I

ta

-65_t)

f

1

1<'7

3I

A

o

t441) )St) )\

8l4

Ą) )sI

499

I

to8lt69

Surna 658

1?R ANAL|ZA WsPoŁZALEZNoŚcl ZJAW|sK

Istnieje zatetn rtyraźny zrviązek rniędzy badanymi cęchaIni: iIn lvyższa średrria, tynlwyŹsze nliejsce w korrkursie, co oznacza' Że irn rr.iększa liczba oznacza1ąca średnią tynnrniejsza liczba oznaczająca miejsce - dlatego współczynnik korelacji jest ujelllny. e

Przyklad 4.8

Wśród ll studęntórv kięrr:nktr Zarządz-anie i Marketing przeprowadzono drva ro-dzaje testów na inteligencję i uzyskano następujące wyniki;

Ustal czy istnieje rvsl

Rozwiązarrie:

W pierwszym krokunajniższej liczbv punktów

porządkujerny obie cechy rosnąco i nadajenry irn rangi * dlaranga rvynosi l, dla najuryższe.j ranga wr,'nosi l l '

Tabcla ;1.16

rvspółzalcżnoŚć rniędzy wynikanli obu testów.

Wynikitestu II

PoosrRwowe M|ARY WsPoŁzALEZNoŚcl cEcH '139

Tabela 4.17

Symbolstudenta

Cechax

Rangadx

Cecha

))

Rattgad),

di=d(x,)-d(1,,)d;

AA 44 8 36 7 1

AI' 30 2 22 I I

AC 38 L5 32 Ó ta ))5BA 36 3 27 J) -0.5 0.25BB 28 I l-5 : 1

BC 50 l0 t0 0 0

BD 41 7 4l 9 a A

56 ll 50 1t 0 0

CB 46 9 37 8 I

CC 38 29 J -0,5 n t{39 o 27 ?{

Suma X I7ZauwaŻnly, Że w przypadku cechy x dwóch studentów osiągnęło idenfyczne wyniki

tj. po 138 pkt., który to wynik daje tyrn studentotn niejsce eX ęquo 4.te i 5.te, stąd obuwynikom przypisano rarlgi będące średnią alyhnętyczną obu rniejsc rv rankingu, czry|i d1:4,5' Podobrra sytuacja ma tniejsce dla w1tikórv z II testu, ale dla rniejsc 3.ciego i4-tego.

W drugim etapie '"'"yznaczatnv rvartość współcz.r,'nnika korelacji rang Speannana

lIt6'I ,/-

I

R,,'' = l -_5!-- =' - uł' = 0,922r'' nt-tt (ll)r-ll

Wartość współc4'nnika korelacjijest bliska l, co świadczy o silnej współzależno.Ści wyników obu testórv.

Urvaga: lnozna uporządkowaó wyniki rnalejąco i rvtedy najrviększa liczba uzyska-nych przez studęntów prrriktów będzie nliała rangę l, a najniższa l l.

Gdyby wyniki testów uporządkorvać rnalejąco tj. największa liczba punktów daje I

rniejsce w rankingu, otrzylnalny:

140 ANAL|ZA WsPoŁzALEzNoŚcI ZJAW|sK

T:rbcla J.l8Synbol

Rangi dla x c/("ł') Rangi dla y r//yi) d, = d(x,)-d(l,i) .12

AA 4 5 I I

AB l0 lt I I

AC 7.5 6 t5 ))sBA 9 8,5 0,5 o r5BB ll 10 I

BC 2 2 0 0BD 5 3 2 4CA n 0CB J t

CC 7 0,5 0.25CD 6 x\ 6.25

Sulna X X t7Z url.agi na fakt, Że przy,uporządkow'aniu Ina|ejący,nl \\,artość sumy !d,? = 17

tzn'.jest taka sallla.jak prz}, uporządkori.alliu rosnąc1,nr. to rvar1ość wspólczynnika kore-lacji rang-jest idenqczna. e

ostatnia Z przedsta\\,ian1ch tu tlliar. wspólczvnnik zbieżności Czuprowajest nliarą zalezności Stochast\.czllej cech' Porównttje on bowiell dwuwylriaro-wy rozklad elnpiryczny z rozk'ładenr uzyskanyIlr rra podstawie rozkładórv brze-got,vych cech i przy za\oŻelliu niezależności cech (tzn. równomierlrość rozkła-dów warunkowyclr). Konstruuje się go w oparciu o rvartość testu niezależności59f w postaci:

k I ,.- :, '2,,1 - \a \r \rrl/ - /ril ,/: - /./ ------^-,i=l i=l " t.l

^ ll t.ll. Igdzle llll jest liczebrrością klasy (ij) przy teoretycznyn założeniu nie-

t'l

za|ezlości cech X,Y.Wspólczynnik zbieżności Czuprorva jest dany wzorelll

'r..1 - t,lr

( 4.14)

59 więcej o testach zla1dzie Czytelnik rv kolejnych rozdziałach,

( 4.1 5)

PoosrRwowg lillłRy wspÓrznlrzruoŚcl cecH

Jest to nriara często Stosowana dla cech nietnierza|nych, dla których trltdtlo

byłoby nrierzyć za|eŻnośÓ korelac1,jną. Wyznaczenie wspól'czynnika T-

Czuprowa w)'l.naga danych pogrupowanych, a lvar1ości współczyrrnika zbieŹno-

ści należą do przedzialu I e (0:l) .

Przyklad 4.9

Zbadano 360 punktów sprzedaŻy na terellie wojei,vództwa łódzkiego pocl kątetn

drvóch cech:rodzajlr punktu sprzedaz.v (Ą, w1'stępującego lv i,t'ariantach:

a) hurlorvnia specjalisryczna,b) hurtownia wielobranzou'a,c) specjalistyczny punkt sprzedazy detalicznej,d) rvi e lobran Źon-nl punkt sprzed aiy detal iczrrej'e) stoisko rv dolnu handlowyrn,l) inne.

* typu własności ()], w1,stęptrjącego \\' warialltach:

a) spÓldzielczy,b) spóIka Z o' o.,

c) spółka akcyjna,d) spólka cyrvilna,e) finna prywatna,l) t-inna ptyrvatna-rodzinna.

Po uporządkorr'aniu rv tablicy korelac1jIlej dane te tnaja. postać;

Tabcla J.l9

ZrÓdlo. D. Witkorrska' .I. Witkoivski Il997]. s' 3l l-323

Zbadać siłę zaleznoŚci nriędzy badanynli cechalni.

Rozrviazanie

Baclarre cechy są nietrrierzalne, zatem jed)'ną rrriarą jaką cla się zastosowac do ba-

darria zalezności, jest rvspólcz;-nnik zbieŻności Czuprorva.

141

r;\ c b c d f II,

a 0 0 6 U 8 l5b 0 0 U 2 4

c 27 , 0 Ó 38 135 210

3l 8 0 l2 f7 49 t21

I 0 0 0 0 I 2

I 0 0 0 0 0 ) 2

11. t 60 l2 I 25 ó5 t97 3ó0

lqz ANAL|ZA WSPoŁZALEZNoŚcl ZJAW|sK

W pierwszyln rzędzie nalezy obliczyć teoret}'czne liczebności klas jako

^ |1i.ł1.1łl,t = '

zatell'11

^ nt.nd 15.60

/, JOUrt, n ^ li'lr

ń,. =E-'" .. _0.5 itd.,' JOU

Tabela liczebności it,, zosta|a uzupełniona poniżej:

Tabela 4.20

Do obliczenia wartości testrr f naIczy .ięSzcze obliczyć rvaftości Qt,, _ ń,,)f

łl tj

czyli kolejno:

(ll., -ńrr)r _ (l _2.5)j =

2'25 =0.9.ń,, 2.5 2.5

(ll', -ń,:): - (0_0.5)] _? itd.firr. 0,5

Następnie, sumtrjąc obliczone rvartości wg wzoru (4.9) otrąvtnujemy

trz =151,2 '

a stąd wspólczynnik zbiezności Czuprorvajest rórvny

'r', \, ) d h c d fa )5 05 I

1t25 65; 19',7

2Jl5

b :;

2

l)

I

% t8

1il8

t9q0

4

35 7 7

12

175

nĄ+)

nI 379

l2210

d t21: 127;- 127

3 6t)

63

72

t65 l

n15019

:]ó()

tz7

1 I

f

I

I fto

5; 1l 9

802

I- I

1\

I

18{r

); 1l-io

9

802

n 60 I2 I 25 65 197 360

Poosrnwowe MARY WsPoŁzALEŻNoŚcI cEcH 143

= 0,29 ,

Zateln istnięje dość słaba za|eŻność między rodzajeIn ptrnktu sprzedaĄ,a rypem w'łasno-ści w badanej populacji. &

4.4. Praktyczne Wykorzystanie anatizy współzależ.noŚci zjawisk

Przyklad 4.10

JeŻeli dla cech ilościowych z przykładu 3.40 wykorz;-staIny rnoduł ana|jza danl.chrv Excelu otrzylnan.ly tablice korelacyjną przedstawioną poniżej. Macierz zawiera rvalto-ści współczynnika korelacji liniowej nierzonego ponliędzy poszczególnyrni cęcharl-ri.

Tabcla ,1.21

Miesięcznie wydatkorvana kwota jest ujenlnie i uIniarkorvanie skorelorvanaz rviękiern kupującego i liczbą osób w jego rodzinie. Zaten tnoiel]ly się spodziewać' żewiększe lniesięczne kwoty rvy'datkowane będą przez lnłodsze osoby oraz mniej licznerodziny' Słaba i ujernna za|ęŻrtośc w),stępuję również nliędąv rvyclatkorvaną krvotąa liczbą zrranych tnarek przez klienta, czyli wzrostowi r5-datkowanej przez klienta kwo.cie towarzyszy przeciętny spadek liczby znanych przez niego nlarek. Natomiast wiekkttpującego jest silnie i dodatnio uzależniony od liczby osób w rodzinię. Zatetrr wzrostwieku kupujących jest zwięan,- z przeciętny'nl lvzrosteIn liczby osób w rodzirrie. Rólv-nieŹ rr'ięk kupującego jest dodatnio' ale r-rIniarkolvanie zrr,iązarty z |iczbązt.tan7,ch przezklienta tnarek, rvięc starsi klierrci znają przeciętnie więcej tnarek. Liczbaosób w rodziniejest dodatnio i unliarkor,vanie związana z|iczbąznanych przez klierlta lnarek. rvięc licz-niejsze rodziny rozpoznająprzeciętnie więcej nrarek, ł

Waftości tvspółczynnika korelacji Iiniorvej Pearsona

Cecha Miesięcznie r'ty-datkorvana kwota

Wiek kupu.ją-cęl]o

Llczba osóbw rodzinie

Liczba rozpo-znanvch nrarek

Miesięcznie rłydat-kowana krvota

Wiek kupującego -0.68867Liczba osób w ro-

dzinie-0.44792 0.7952 7-5 I

Liczbarozpozna-nvch rnarek

-0. I 2538 0.36.1159 0,i3134.+ I

Zródło'' obliczenia przr, uzycitr pakietLr E'xcel.

144 At't,ąt-lzn wspoŁZALEzNoŚCI ZJAWIsK

Przykład 4.1lTabęla .1.22 stanorvi trracierz dariych. odporviednio dla kaŻdego zak]adu ubezpie.

czeniorvego6o.

Tabcla .1. 22

rcrku 20027tl o\\,arz\ st\\

..P'l uhe ZMIENNE

plęczeIrloWe X1 \z X: X.r Xs Xo Xr Xa Xq

I

ERGO-IIES'II.\S.A. .ł0690 l8 4.5 7 734 100 167 ..181 548 29 l 83:711 ) t{ 984 99.40

1 FII,AR S.A. 700 li 0.6I 6l ti00 13 l.ł0 tfo 169 (78 859 8 193 88. 7l

-l GENI'I{.\I-I S..\ -/ l-) ri 0.5 | 3tr 47t) 29 000 31 867 77 f63 11 894 100.00

4 PZU S.A.t24832

18 ó1.3 | 3 551 080 8ó i52 ó1l5295 7 391 195 4 171 75 20.91

) T'RYG S.A. I 2000 ln ll I 23 619 55 000 t57 578 l7-r 853 l4l 223 91.14

6 UNIOA S,.\. I tf60 l5 2.96 59 650 95 920 I3ó 3!)2 i:1 589 t9r .łj2 99.ló

7 \\'ART;\ S.,\. I 1 208( l1 t1,62 7'7 4 120 8r 2'77 | 317 814 1 189 210 999 640 32.5 8

ó CONIPIINSA S.A. I 2390 l3 l.l,l ó 186 | 05 98t 80 37 1.ł 5 f40 r 28 5i3 99.13

9 T,INI({ J) 5i I 0.r5 83 000 38 000 44 5i1 20 165 ll 189 100Zródlo: opracotl'anie na podsta\\ic danvclr z Rocznika Ubezpieczeri i Func]uszY Enlerytalnl'ch 2000-

2002 KNI.JiFE oraz spra\fozda|i finanstlrr1ch d|a poszczegÓ|nych zakladÓir'ubezpicczcń 7'^|aLa2000.2002.

KaŻdy z dziewięciu zak'ladórr' jest scharakteryZowany przez dziewięć znriennych\\/ charakterystyce uwzględniono następujące czynniki:

- Wynik finansony netto w tys. PLN

- Liczba grup ubezpieczenio\\'ych

- Udziat zakładu ubezpieczeri w l}nku ubezpieczeń konrurrikacvj-llych w 70

- Kapitały własne w tys' PLN

- Kapitały podstawowe w tys. PLN

- Składka zarobiona na udziale wlasnYln rv tys. PLN

- Składka przypisana brutto w Ęs' PLN

- Świadczenia i odszkodowania r,lypłacone brutto w fys. PLN

- Akcjonariuszę Zagranicznl w %o

Tabela 4.23 przedstawia wspólczynniki korelacji lniędzy \Vszystkilni c4,nl1ikanli.

xrx2

x3x1

xsxó

x7

x8

xe

o., Przykład ten zaczerpnięto Z prac\, nlagisterskiej J- Zbrożek [200a]. s. l l 9. l 24

Pnłxtyczne WYKoRZYsTANlE ANALIZY WsPorz,c|-Ezl.]oŚcl ZJAWIsK 145

Wspólczvrrnik korr actl dla c lólv charakte zaklad u teczen

ZmienllęXI XZ X3 X.ł X5 X6 X7 X8 YO

o

c)

N

XI I,000 0,5t1 0.997 0.98i 0.07 7 0,c)94 0.990 0,992 -0,782

Y? 0.52.ł 1.000 0.5 59 0.ó] J 0.65 5 0.570 0.597 0.595 -0.591

A.J 0.997 0.559 1.000 0. 89 0.100 0.999 0.998 0.998 -0,818

x4 0.983 0,620 0.989 J00 0.1 92 0s92 0.993 0.994 -0.8 l5

X5 0,077 0,655 0.1 00 ).192 1.000 0,1 08 0,131 0.14 r -0,02 r

,)(O 0.994 0,570 0.999 0.991 0.1 08 1,000 0,999 0,999 -0,839

0.990 0.597 0.998 0.993 0 t3l 0.999 1,000 1.000 -0.847

X8 0,992 0.595 0.998 0.99'ł 0.1'11 0.999 1.000 1,000 -0.8 3 5

X9 -0.782 -0.59J -0.s t 8 -0,8 | 5 -0,0t I -0.8 i 9 -0.8.ł7 -0.835 1,000

Tabcla'1.23

ZródIo: obl iczcIl ia prz\' tIzr'ciu pakictu Excc|'

Tabela 4.23. pt.zcr1stawia \\'SpółcZynnik korelacji llliędz1' ztniennr'Ini charakter1'zlr.

1ącyrni zakłady rrbeznieczcli. Najtt.iększą zirleznośc ;lorlliedz1 zrlliellnr'rni ri'idać lv przy-padku ztniennych \: l a X3. X4' X6. X7. X8. X9. Zatcltl ll)ozlla Zau\\aŻ\'ć. Ze \\f3Z Ze

Wzrostelll rvynikrr finansortego t]astęp[Ue rrzr'ost kapitałórv rrIasn1,ch. trdział zakładórvubezpieczeri rv iynku ubezpiecze Il korlluIlikac1jllrch. skladki przr'pisane.j brutto, składkizarobiollej na udziale rr,lasnr'I.ll. śrviadczeIi ol.ilZ odSzkodorr'ari jak rórvnież zrnniejsza się

r'1,sokość akcjonariattr Zagraniczllego' I(olejno najri.iększą zalezność rniędzy badanyrrlicechanii rvidać pomiędz1. cechą X3 a X.ł. X6. X7. X8' X9' Co oznacza, Że \\.raz ze \\'zro-

stenr udziaIu zakładóu ubezpieczeli * rr'llku ubezpieczeri konrunikac-r,jnvch r,vzrasta

przeciętrla w1'sokość kapitałórv rvłasn1,ch, liczba składek przypisanych bl.utto, sk,ladek

zarobionych na udziale rvłasnyttr' śrviadczeri i odszkodorvali rvyp}acanych brutto. nato.lniast nlaleje przeciętrrie rvysokość inwestycji zagranicznych. Następną wysoką zaleitrośćporniędzy ceclratni r,vidać odnośnie do zrniennej X4 a X6,X7, X8, X9, co pozwala Za-

ulvaĄć, Ze \ryZszyln rvar1ością kapitałórv r'vłasrrych, towarzyszy wyŻszy przeciętlly' po-zionr liczb;, składek prz1,'pisan1'ch brutto, składek zarobionych na udziale rvłasn1.lrr

świadczeli i odszkodoivań, lccz niŻsza przeciętna wysokość akcjonariatu zagranicznego.W przy,padkLr składki zarobionej na tldziale własnyln rvidać, Że \\)-ższym jej rvar1ością

towarzyszy wyŻszy przeciętnie poziollr świadczeń, odszkodo''vaIi i spadek akcjonariatuzagranicznego. Ciekarvą rzeczą jest fakt. iż rv przypadku ztnienn.vch takich jak Ślviadcze-nia i odszkodowania rr,1,placane przez zak|ad ubezpieczeli i składki zebranej brtltto Ina-

tny liniolvą zaleŻI.tosc funkcy1ną. Bardzo silnie skorelowane są rówrriei cechy X7 i X9

146 ANAL|zA WsPoŁZALEZNoŚct z..lRwlsx

oraz X8 i X9, dla których wspólczynnik korelacji on1acza, zę wzrostowi śrviadczerii odszkodowań torvarzyszy przeciętny spadek wysokości akcjonariatu zagranicznego jakrówniez r,vzrostorvi składki prąvpisanej brutto tou'arz;'szy przeciętn1, spadek udziałuakcjonariatu zagran icznego

5' EsryMAcJA PARAMETRoW zBIoRowoŚclGENERALNEJ

W przypadku prorr'adzellia birdari całkorr'itr'ch (pełn1,'ch) pafall]ctry opisorvewykorzystuje się do cIlarakter1,,s1y'ki badarlej zbiororr.ości. Mówinly rvtedyo opisie populacji. Kiedy' prolvadzotle są badania częściorr'e lllozellly' obliczycrvat.tości podstarvowyc|r nriar jedynie dla jednostek rvchodzących lv sklad próbysta$'stycznej.

W przypadku badari częściolvych rlie jesteśIlly w stanie r,v pełni opisac zbio-rorvości staĘstycznej |l1ozellly jednak rvnioskolvać o jej rozk'ladziei podstarvowyclr cliarakteIystykach rvykorzy'stując rv tyIll celtt rlletody lvltiosko-rvania statystycznegoor., tj. :

e stynlacj ę paranretrólr' zbi ororvo śc i ge n eral nej,

rveryfi kację hipotez statystycznych.W lozdziale trzecim onrórvione zostały podstalvor'r,e paralnetty, charakte-

ryzujące zbiororvość statysĘ'czttą takie jal<: rliary średrrie, dyspersji i rvskaŹnikistruktury. W przypadktt prolvadzenia badali częściorvych lllozl]a na ich podsta-rvie rv.vznaczyć rvartości tych parallletrórv dla.jedrlostek objęĘch badanienl, tj.

dla próby. Natonliast rr'y'korzy'stanie nletod rvtlioskorvania statyst1,cZ|]ego tll1.loZ-

lirvia oszacorvalrie' cz'v-li estyrllację t1'chze 1laranletrórv dla całej populacji gelle-ralnej.

Podstarr,orvą zaletą rr'tlioskolrallia sta['s$.czIleuo jest tllozlirvośc określe-nia rvielkości blęclu, z jakim forIrlttłorr.atie są rrIlioski ogólIle. czego nie dajązadne inne metody' Stąd tez tlletod.l' Stat) St}czne zrlajdL1ą zastosorvaIlie lv rvieludziedzinach, nliędzy illtlyllri rv ekononlii i zarządzaniLt. naukaclr spolecznvchoraz rnedycynie.

5.1. Podstawowe pojęciaParametrem zbiororvości gellera|ne j,,). ozrlaczan1'ln jako d. nazywa się

nliarę opisorvą charakteryzującą populację getleralrlą. PrzednlioteIrr zaitltereso-wania niniejszego rozdzial.u jest przypadek, kiedy r'vaftość tego paranletru nie

.'' Mclzlirr'ośó rr'tlioskoil'ania stat)'Stycznego, cz1,li podstarr'a tzw. stat}'styki nlatenlat5'cz-nej. opierasię ua prarvach rrielkich liczb - por.ó*,naj A. l.,uszniervicz, ].. Staby Il997] s. l l'ł-ll7,Z. Llellrvig [970] s. I(16-I82.

62 Poró.unaj W. Starz1'Iiska Il996], s. l'l3.

148 ESTYMACJA PARAfulETRoW zBIoRowoŚcI GENERALNEJ

jest znatla. Estymatoreln nazywa się dor,volną stat-vstykę.', |' uyznaczottą na

podstar,l.ie //-elen]ento\\'ej próby i slLrzącą do oszacorvania nieznanej rvar.tości

parametl.tl rv poptrlacji gerrer.alrlej d. lllaczej lltorviąc, estytnatoretll jcst zlilietltlalosorva (każdej próbie łl-elenreIltorvej przypisLrjenly liczbę /,,), której rozkład

za|eŻy ocl rozk|adtr SZacowallego paralrletl.Ll 'Przez rozklad cstymltorir Loztttllie

się rozklad prarvdopodobielistwa ztltiennej losor,vej f,., któr.ego paraltletranli są

rvat1ośc oczekirvana E(T,,) oraz' u,ariaIlcja D,(T,,),Kollkretną rvaftość |iczbolvą/',, jaką przy'jlrlLrje estvtlrator ?], (pararltetru Q dla okr.eślonej próby nazyrr'a się

occną estymatora parametru 0. oz.tacza to, Ze, rvaftość r,, będąca ocellą esty-

t-tlatora paratletrtl 4 jc.st realizacją ztllietlttej losolvc.i f,,'W przypadktt badania częściorvego rvartości paralrletl.órv zbiororvości ge-

lreralnej Są SZaco\\lalle (lv przccirr,ier'lstrvie do badania pc-lnego. kiedy są one

dokładrlie obliczane) Z pe\\'nylll b]lędeln. Stattdardorvy bląd szactttlktl jest odch1'-

lenienl standardorvynl, cz1'li pienviastkienl ku'aclratolv1,u1 Z rvariancji D'(7,,)

rozkładtl est},l]1atora f,,. za potlloc11 kttirego szacLtje się 1lnIatlletr d poptrlacjigeneralnej. W celtr uzl'skaIlia Illoilirr ie drrze' j precy'z.i i szacttnku, od esĘ,trratora

\\'\,n1aga się. ab1 1losiadal l)c\\llc ri łastltlści. ktilr-1 rni si1 nliędzy inrry,nli: nieob-ciążoność. zgodllość i et'cktl'li llośc.

Est;'tltatot. I,, palatllcl.rtt d llazr'rrarll1' zgodn1'm, jeśli jest on zbieżly rve.

dlug prarvdopodobieIistrr'a do u.artclści szacorr,anego p.lranletru d. tzn. gdy:

ś,,lT} PI|r,, _ o|> c|=o

Iub

A,lT] PI|r _ a|< Ą=lZapisy powyzsze oznacza1ą, Ze w przypadku estylnatora zgodnego dla do-

statecznie licznej próbl szatlsa otrzy'tllarlia ocet]\' estynratot.a róznej od rr'ar.tości

parametru jest bliska zero. Inuynli słorvy, dla estylnatora zgodnego r'vzrost li-czcbrrości próby daje lepsz'e dopasorvallie estylnatora do zbioror'vości.

Estytlator Ę, naz1.rr'anl1,' nieobciążon1'm estynratoretrl paranletru 4 jeślijego rvaltośc oczekilvana rórvna jest szacotl'alle|]ltl pa|allletlorvi. czy|i jest speł-

niorry rvarunek:

E\7,,)= 0 .

Jeze|i E|T,,) ł 0 , to estynlator jest obciążony.

o. Stat1,styka to trriara opisorr,a pochodząca z lr.eleInetltolve.i prób1' losorvej, n1r' średnia ar)'tnle-

tr,czna. odchvlerrie standardorr'e. rl,skaŹlt ik strukturv'

(s 1)

(5 2)

(5.3)

Poosrnwowe PoJĘc|A

E stynrator |, n azYrvatrry asymptotycznie nieobcir1żo nym estyrrr atorelll paf anl e-

trLr d, jeśli jest spełrliony rvarunek:

:i::E(r,,) = 0 .

Róznicę

,(7,,): z(r,,)-oIlazywamy obciążeniem estymatora I,,

Estymatorem najbardziej cfcktyrvnym paranretru 0 nazywamy ten spo-

śród nieobciązonych estynlatorórv, który |.tla llajlnniejszą rvariancjęu*,

tj. estynrator o najmniejszej rvariancji D'(7,,). Stosorvanie estynratora najbar-

dziej efektywl-}ego oznacza' że r,r'trakcie estynlacji pope-łnia się najnrniejszy blądszacunku.

Korzystarrie z estynlatora I,, posiadającego rvłasttości zgodności. nieobcią-zotlości i będącego najbardziej efektylvnynr pozrvala najlepiej oszacorvać Ilie-

Zllallą rvaftość paralnetr d, poniervaż z dLtzynr prarvdopodobietistlvenl nrożna

przyjąó, Że wynlaczolla ocena estynratora Ę, jest bliska rzecz.vwistej rvartości

ł'.Przyklad 5.1

Marny lt-elelrlelltou,ą próbę .t1.'r2.....-t,, tt,\,losotr'aną z popuIacji zau.icrająccj N(1{>ir) jednostck stat)'St)'czn1'ch' badan1'ch z ptrrlktu ri'idzenia lr1 rózrliollc.i ccch1' ,f

Zgodnie z t)'nt. co zostalo poriicdzianc n rozdzialc piertrszvn't. rozkrlad znliennejlosorvcj X rnożna scharaktct.r'zo\\'Ac Zlt l)olllocą rrartosci oczckirr.anej E('\') i rvariancji

D2(x\.

Przyjlrrijln1'. Źe cstrt].llitoIe|).| rirl.iaIle.j i ri poptlIacji gcrrcralllej or jcst warialrcja

z próby \lyznaczolla na podstarr.ic u'zortr (3.l5). cz1'li:. | !1 I ,/

.St =iI(r, -i)' . gdzie r =-t,r, .

11 i=l ll i=l

SprawdŹ, czy rvarianc.ja elrlpiryczna 52iest nicobciążonyln estynlatorcnl o.2 .

Rozrviązanie

Przckszta}ćmy u'zór rra rvariarrcję crnpiry'czną lt'prorvadzając do nalviasu rvartość

przcciętllą 4 rv następujący sposób:

oo Porólvna.i Poradnik nratemat}'czlry pod red. I. Dz-iubińskiego, T.Swiątkorvskiego Il985], s. 590o'Przegląd podstarvorv1''ch estytrratorólv nrożna znaleźó w pracy Kr1,sicki W. Il986]' s. 47.

149

(5 4)

/5 5\

150 ESrvnNnC.IN PARAMETROW ZBIOROWOSCI GENERALNEJ

'' =1i(', _ x + 1t - /,)= =li[", - ł,)*(p-')], =ili ,,;

=f i[1,, -r)' +2(p-;X,, - p)*U,-r)']=łl--

=ly1', - lĄ, *]il,, - T). * z17,-r;1;(.v, -il) =,,; ,,; ,,;

= !L(r, -,r,), -(p -t),il-

Abr, spralr'dzić. czy est).ttlxtor jcst Ilicobciąiorry' traleiy policz'vć jcgo rvartośc

oczekirvanf., zatelll korzystając z (1 ,2|)-(|.23) otrzyInrrjenry:

. I -1 t r ł-l .=O- - ---;.\-(.I /=-o-

lt- tl

Z ob|iczctlrr'r'Ilika. zt.- r(s. ) _ tt _ | o: + a, , ulvięc 52 .jest estynlatoreln obcią-

l1

żonym. obciązcnie \\\Zllaczo|lc z rclacj i (5.5) rrr llosi:

/ .\ n-l I 'o,(S'J=" 'o- -o- =--o-tl tl

obliczając granicę, nlal]lv;

tinl r(,s2)= lim n -7 oz = o]. zatctlt spcIlriony jest rvarunek (5.4). a rvięc 52

t1+'. !1)' llj est cstymatore m as\'lnptotyczn ic Ii ieobc i ąŻon1''nr.

|\llloŻąc es(\ lllator Sr przez _1-; o,,,1 ,.t-,ttjetllr' cst1'nlator:^ u -1

.t*2 = 'r st = I t(r -t)' .tt-l Ó-ll'i"który jest nicobciążon1,ln estvll]atolcln o] . ponicrvai

( .. \E(s-t )= ,l:+.sr l= -lL-r(st )= or. zatcrn spelnio.r jcst *artr.ck (5.3). c

\Ó-l ) tt-l

'" I{ellrvig Z.|9871, s.199.

PoDsTAWoWE PoJĘclA

W literaturze i praktyce ltyróznia się dwa rodzaje est1'Illacji:

estymację punktotvą, czyli rrretodę szacunku, Za pornocą której jako rvar-tość paranretlu zbioror,vości generalnej przyjmuje się konkretną rvańość es-

ĘVmatora wyzl] aczoll ego rr a pod stalv i e ll-e l e tn entowe.j proby,estymację przedziałorvą' Za polllocą które.i \\yznacza się przedział |iczbo-riy, który z ustaIonynt prarvdopodobieristlvenl zau,iera nieznanąrvaltośc sza-cowanego paranletl.tl zbiororvości generalnej. PrarvdopodobieIistrvo to nosillazwę rvspólczynnika ufności i oztlaczalre jest jako 1-a, a nla|eziony prze-dział nazywarry jest przcdziirlem ufności. Innymi słorły, przedział ufnościinfornluje, rv jakich granicacll nalez1,' spodziervaó się wartości dla poszLlki-wanego pararretru 0 z zadanyn z goty prarvdopodobieristrveln.

ogó|ną postaó przedzialtl trftości lnoŹtra zapisać jako:

P{.f,(r,,).e. J'.Q,,)\=r-a (s 6)

gdzie:P- symbol prawdopodobieristwa,7 - a . poziot.tl l.lfności'7], - estymator.d- szacorvany parametr,

f,(T,,)i .f,(T,,) - górna i cloIna granica przedziaILr uflrości.

Fullkcje./' i./' jako ftrnkcje ztltietltlej losowej Ę.. są ztlliellnr'nli losolr},lrriokreślorrymi na zbiorze rl-eletrlelltorr1.clr prob poclloclzącrch z populacji gene-ralnej.

Konstruując przedzial ufllościjesteślnl' ri' stallie określic prarvdopodobieli-St\\'o, Zjakinr oszacoualiśtllr przedziłł dla rrartości lliezIlatlego paran]etrtl, cze-

-9o nie daje estynrac.ja;ltrllktorra' Nalez1 l]l.Z\'nl]l paIniętać' ze:

_ p|.Zy zadatry,.trl poziolliie ufrlości l-rr illt rr'iększa jest Iiczebność, tyni krótszy'przedzia| Lrfllośc i.

_ przy usta|onej liczebności próby ri'raz ze rvzrostem poziomu ufl-rości rośnierozpiętość (długość) przedziałtr ufności,

- im krótszy przedzia|, tym nrniejszy błąd Szacunku, co oznacza lviększą do-k-ladność oSZaco\\ al] la'

DhIgość przet1zialLl tlfności oznaczana jest przez2rd a lvięc:

2d = fz(T,,) - .f,(7,,) (5 7)

Natonriast nraksyma|ny błąd szacunkuó7 rówIly jest po|owie tej dlugości,czyli d.

151

67 Porólr.naj Donrański Cz' Il993]' s. 109.

152 Esryutłc.lR PARAMETRoW ZBIoRowoŚcl GENERALNEJ

5.2. Estymacja podstawowych parametrów zbioro.wości statystycznej

Podstar,vouynli paranretI.anli. które Szacowane są.dla populacji gerleralnej

są: rvartośc oczekilvana (średnia) E(Ą:ltlvariancja D'(Ą:d. oclchy,lenie stan.

dardowe o oraz fl.akcja (vr,skaźIlik strtrktur1,) p. W praktyce stosLrje się rvielesposobórv estynlacji kollkr.etIl1'ch palanretrórv, co jest zr'viązalte przede wSZySt.kinl z rodzajetn posiadatlej pr.ob1,, infornlacją doĘ'czącą rozkładLl zbiorou'ościgeIleralnej' a takze Stopllien1 dokładności SzacLltlku, jaki chceniy osiągnąc.

5.2.1. Miary średnieNajczęściej szacowallYI-l] paranletlem populacji gelleralnej jest średnia

rvaftośc badanej cechy nrierzalnej. NajlepSzyrn esty|l]atorem rvar1ości oczeki.lvanej (nadziei nratenlatycznej. średniej) 1l lv poptrlacji generalnej jest średniaal}tn1et}'czna z próby f , którą wvzl]acza się na podstau,ie jednego ze wzoróu'(3 2) - (3'4)' Jest ona esry.lllatoretlt posiadając1'lll podstarr.oll'e rlłasności, czylizgodttyrll. rlieobciążon1rrl inajbardziej efckryrlrt1'rll. Wprarvclzie w rvieltr pr.z1'.

padkach praktvczur ch zastosou ari u r kolzr stLrjc sie ulniki esty'macji punkto-ri'e.1. to zrlaczlie bardzie.j bezpicczllą lnctodą jest stosorr'aIrie estynlacji przedzia-lorvej.

Konstrukcja przedzia'lLr Lrfllości jest ściśle związana z rozkładem estymato.ra. W przypadktr śr-edtiiej ar1.tlllet1,czlle.j. rv zalezności od przyjęt5,ch za|oŻeń,jest to rozk,ład normaIn1' lub t - Studel]ta.

Przypadek |. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej, gdyznana jest warian cja o2

Za|oŻrrry, iż populacja geIleralna nla rozkład nornlalny i znanly jego zroz-luicorvauie r.nierzone odchl'lenienr standardorvym (o). Wy'losor.vano z niejrr.sposób tiieograniczolly i niezależrly probę losorvą lr-elettretltorr.ą. W tyntp rzrypad krr pr ze dzia1 Lrfnoś c i j est po stac i

ó8 :

ou JeŹeli -Tl,1..,....x,, .jest ciącienl niezależny,cIr znrienn1'ch losorr1,ch' z któr1'ch kaitla nta rclzkład

N(,4 ,o) to znrierna losorrr .T = !t. .ra rozklad norrnalny t[. +ltI \ \ !/,1

Esryuec.lł PoDsTAWoWYcH PARAMETRow zaloRowoŚcI STATYSTYCZNEJ 153

o_6)-11 -----śtlt1'T+,i

-t! t u'.t avtl 1il

(5.8)

gdzie:

/l - Szacowana waftośó oczekiwana (średnia) w populacji gene|all]ej,o - A1ana rvartość odchylenia stalldat.dorvego w poplllacji generalrlej.r . średnia arytll]et\'cZIla obIiczorla dla lr-eleIlicI]to\\.e.i próby Stat}St},cZ-

nej na podstau,ie jednej z relacji (3.2) - (3.1).

zlo - rvartość zllliellnej losou'ej r/ oclcz),tana z tabIic cly'strybtlarlty rozkIadtr

trortnalnego standaryzorvanego tak. aby spełniorry byi lvarunek (po-

r.ór,vnaj ryS.5.1):tt,,, ' llt-t,l I

P(lr|< ,,,)= rjTŚtt,,|=| - o '

ltr )

I(orzy'staj ąc z rvłasnośc i prarr,dopodobieństrt,a i dy'strybLranty statrdarl,zo-\vanego rozk'ladr'r lrortlral trego nlożenly zap i saó :

P|tt|<u")= t,(_tl,, śttŚtt,,)= P(tt< tt,,)_r(.. *tto)_

= Q(i,,, )- oC ,,,,) = zal(,,,,)- t

Zatent z tablic dy,strl'buantv standanzorr'aucso rozklaclu nornralnego od-

czytLrjenly taką rr,artośc ll., . któt.a s1lclIiia róri Illrlie o(tt \ = l _a,

1i1s. .i. / Pr:ed:iał tlitości tlla sIunt]un:rl:,|'a]trg() t.t';:ktadtt llorntalltegt.l tlla 1lozionlu tlittl,śc'i !-a

Przedziałettr uflrości dla paratnett.tr ,ll jest przeclziat

(s e)

który,z pralvdopodobieristlverll 1-a pokr-vrva nieznaną wartość parallletru l/.Przv szacorvatriu rr,artości przeciętllej p tltaksynlalrly bląd szactttrktt (d) jest

rórvllr, połorvie dlugości przedzialtr trflrości, a zatetn rr'l'Irosi:

l- c, - o\\.Y-r/,, r:.r+,,,,r).\ {r, lnl

1E/ Esryrunc.ln PARAMETRoW zB|oRoWoŚcl GENERALNEJ

d =Lt "

(s. l 0)

Mozna zaurl,aŻyc, ze im nlniejsza rvartość liczborva r/' t1,nl rviększa do.kładność oszacorvatr ia.

Przvkład 5'2

Wiedząc, zc odchylenie standardorr'c krvar1alnych rvydatkó''l,na aftyku.l A dla ca.łej populacji4-osobolvych lodzill łódzkicIl rr1,nosi 50 zł' oszacorvać lla poziolnie uthości0'95 śrcdnic ku'artalne rvydatki na arty'krrl A rvśród 'l-osobortych rodzin zalnieszkaĘ,chrv Łodzi. Spośród u,szystkich 4-osoborv1.,ch łódzkiclt rodzin lvylosowallo rv sposób nie-za|eŻny ]00 rodzin iotrzvInaIlo dattc. lra podstawie któryclr stlvicrdzollo, Że dla tej próbvśrednia krr.artallla \\)'datkó\\,na ar11'krrI A rt1nosiła l80 zł.

Rozu'iazan ic

Pollierr'az 'i"'-,\(1t o) i o. zllanc (o:50z|) przcdział tlfllości obIiczanly' zc wzoru(5'9), Przedz'ial ufilości dla śrcdllich klr'arta|rlr'ch rvr.datkórr'na aft1,kuł A jcst następują.cy:

\() \tl180-r-"./too '

../1orl

gdzic Lł,, odczy'ttrje się z tablic d\str)buatlt\'standary'zolvanego rozkladu llorntalIrcgo

stanclaryzorvanego tak. abi P(Ól . ,,,, )= l - a = 0.95 .

Wykorzystując opisanc rvczcśIlicj rr.lasllości tcgo r.ozkladu otr.zylrlujclu1':a/

@(t," ) = I -; = I -0.015 = 0.975./.

Zatcn1 po odczytaniu z tablic uą -1)96. Podstarviając otrzvmanąrvat1ość do potyzszej

n ierórrriośc i otrz\,mtieln}':180-9,8</t<180+9,8,170"2 < 7r < 189,8 .

Stlr.ierdzanr1, zateln z pr.arvdopodobicllstrr'eln 0'95, Źc średnic klr,artalne rv-r,'datki

na artykul A rv populacji 4.osobowych, rodziIr lódzkich zarvierają się rv przedziale odI10'2ztdo lii9.8zł,coozltaczanlaks;'ltralIl.vblądszacunktrrórvny9.[lzł. ł

Pojęcie nlałej i duzej próby.iest [|lllo\\,ne l z'a|eż'y nriędzy inrr1'rli ocl celu badania. Dla nie.kt<it1,clr duŻą próbą.jest plóba ponad 30 - eIerrlelltorra' dla innych (.()-cio ltib rlięcej' Dla ustaleniauu.agi lv tynl podręczniku będzierll1, urrazać próbę przynajnlniej 30-e|enlentową Za duŹą.

o\! ll

Esrymłc'tR PoDsTAWoWYcH PARAMETRoW ZBloRowoŚcI STATYSTYCZNEJ 155

Przypadek ||. Przedział ufności d|a wartości oczekiwanej, gdy

(s.11)

gazte:s - odchylerlie stattdardorve obliczone dla łl-elenlentor,vej próby na pod-

stawie jednej z relacj i (3.1 5) - (3. l7),/o - lvattość znlieIlnej t odczrytana z tablicy rozkładu t-Studenta dla li-l

stopni srvobody rv taki sposób' aby spe,lniony byt lvarLrncli:

ł(rr|<t,,)=I_o (5. r 2)

Rys. 5.2 Przed:ial tfltości:lłttdołant'v clpttrc'itt o ro:k!ud t-,\tttdenta tlla ptl:irlntu ufltości l-a

Korzystaj ąc z lr'łasnośc i pralr.d opodob ieri s1rr a tll oże trl.v zap i sać :

p(ul=/,)=l-r(ul>r")

Podstarviając do relacji (5.12) otrzynrujemy r(l'| >t")=a i rvłaśnie taką r.ela.

cję podają tablice rozkł'adr-r t-Studenta'Przedzia| ufllości dIa rvar1ości średniej nra postać:

(- .s - .r )!!c'\'-l

-'

1'!t

-

''-[' ".,n^'^r,_t)

nieznana jest wariancja (mała próba)

Jeśli nranly do czynienia z rnałą próbąpopulacj i generalnej, rvórvczas estytllatora przedział ufności jest postaci:

_.s_,1x-t" f , (lll{,t+t" f ,1t1-l v//-r

losową oraz z l]|eznaną warlal]cJąśredniej ma rozk,lad t-Studenta,

(s. r 3)

Z prarvdopodobieristrr,eI-n |-a |l1ozlla trr'ierdzić, ze rv obliczonynr przedzia.|e znajdtrje się nieznatla rvaftośc średniej. PrzV szacorvanitt rvańości przeciętnej

trl nraksynralny bląd szacunktt (Ą jest rórvny połorvie dlLrgości przedzialtr ufho-ści. a zatetn rvynosi:

,s.l - t

-

r,111 -t

(s. l4)

Estyti.tp'c.lR PARAM ETRÓW ZB |oRoWoŚcI G E NERALN EJ

Przyklad 5.3

W lv1'niku badariia przcprorvadzoncgo na 26-elenrcntorr,ej próbic ]osorvo rvy,bra-ll1'ch łódzkich rodziIl, dotycząccgo rvydatkólv lia artykuly' luksusorvc okazało się. żcprzcciętna sulna rr.y-datkowalla w ciągu t1,godnia to i = l20zł. Wiadolllo, Ze rr,icIkość taIna o|la rozkład llornlalnr.. W rvy.rriku tcgo badania stlr,ierdzono' Że zroŻnicolyallic sunrrvy'datkorr.anyc|r lllierzonc rvs1lólcz1'nnikienl zltlicnllości r,lyllosilo lv bac1allcj próbic 89óśrcdlricj. Z ri'iary,godllością 95% rvyzrlacz1.ć przcdział u1llości <1la śrecllricj rv1.datkórv ltaan1,kuły luksusolve rr'śród rodzin łódzkich.

Rozrviazan ie

Z uwagi na to, ie rvylosolvano Inałą próbę (n:26) oraz odclrylerlie standardotvcrvpoptrlacji icst nieznane. rvięc przcdział ufllości \!yzl)acza|lly Zc wzortl (5.l3). Korz1'-staJąc Zc \\'zoru na rvspólczr'llnik zmicltllości nlozcmy rlyznaczyć odchylenic standardo-tt'e próby, czy'li:

\V, =

= |00oń

\8%= ,100%

120

,\ = 9.6 zL

/.. odczl'tujclnv z tablic I.ozkladu t-studcnta o 25 stopniach srvclbody i a=0,05. Okazujcsię, żc /.,-2.0(l. Podstalriając otrzr,lllatlc daIlc do (5.l3). otrz1,lntrjclny'

120-3,96 < trt <120+3,96116,04 < p<123,9(:Z prarvdopodobicIistrrenr 0.95 nrożna zatcln tu'ierdzić, Żc przcciętnc t1'godniorr'e

ir,r,datki lla al.t1'kulł' lttkstrsori'e zarricrłją się rv przedzialc ocl l l6,04 z| do |23.9(l z|'Nlaksylrrallry bląd szacurrklt rr'yIrosi 3,96 z|, c

Przypadek |||. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej, gdynieznana jest wariancja (duża próba69)

W tvnr przypadktl ęSf\'nlator f llla rozk'lad nortrlaltrv ' Przedzia] ufhości\ry'Zllaczallly Ze \VZortt (5.9)' rv którl.nr lv tniejsce lliezllallego odchylenia starr-dardowego rv poprrlacj i owstawiall-ly oszacowalią z próbl' rvar.tość S:

,, a( , -r,^'

.- (''

''uę ()*.-,-. " l

. ''. -r lIą_- ]!r? 1tl )

",Dla tego konkretnego przlpadktr A. l-uszrrieri,icz Il9!)4]. s. (ll postuILrje próbę n>l2()

(s. r 5)

EsryN,tRc.lRPoDsTAWoWYcHPARAMETRowzalonowoŚcISTATYSTYCZNEJ 157

Prz-vklad 5.4

Na podstawie danych zawarwch lv tabeli 2'9 wynlacz przeciętną powierzcliniępunktów sprzedaĄ rv I,odzi z prau'dopodobieristu'enl rvytloszącynr 957o'

Rozrviazanię

LiczebnoŚć próby wyllosi 49.ł. Sr.edllią 3l.}'tnleł'czną dla badanej próby policzollorv przykladzie 3.5 i ivyrlosi ona r = 1 10,07 rnr. a ocichy'lenie stanclardowe policzone

w przykładzie 3.l 7 rr'ylrosi S= l47.50 llr.' DIr poziottiu ufności 95oń l,t,, odczytane

z tablic dystrybuanty standaryzorvaneeo rozkładu nonllalnego przyjnluje wattośćttc = l,96 . Zaten poszukiivana lvartość przeciętna spelnia nierówność:

| 47 .50 | 17.50ll0.07_ l.96.--= < 1t <| |0.07+l.c)ó.L.ląsł "!1%

I 10,07-13,01 < 1t <110,07 +13.01

91,06<p<123,08

Z pralvdopodobieristrr'enr 0,95, przeciętna porvierzchllia punktólv sprzedaŻyrv Łocjzi za'"viera się lv prze<1ziale ocl 97.06 lllr clo |23.08 rlr.. ]Vlaks''-'.'ralni' bląd Szacull-

lku iest rÓrt'tly lj.0l llt-. e

gdzie:p - frakcja w popLrlacji generalnej ,

ll - liczebtlość badanej próby't/a - wartośc odczytana z tablic dystr-vbuanty statlclatyzowanego rozkładu

5.2.2. Przedział ufności dla wskaźnika strukturyW badaniach statyst)'czn)'cl.). zu'laszcza. kiedv urarlrv do czynienia

Z cechami jakościolv1rlli. itlteI.estrjące jest strt'ierdzellie. jaki Lrdział jednostekpopulacji generalnej charaktenzlr.1e się określon1.ln rvariantetrr baclanej cechy.Słuzy temu estvtllacja lr'skaz-rlika Struktury' (frakcj i).

Gdy próba losolt'a jest bardzo duza'.,. a populacja nra rozkład dwupunkto-Wy. przedział ufllości dla 1iakcji Wyznaczallly Ze wzoru:

p( ,,_,,..E-t;T @) _1 fr( "! ;-1P1tt'*""1-T)='-" (s'16)

70 lrorórr'naj j. Greń [l968] s.33

158 EsrvuRcLł PARAMETRoW zB|oRowoŚcl GENERALNEJ

tlorlrralnego prą, pozionrie rrthości 1-a, dla której o(rr" )=|-+

(porówrraj rys. 5. l ).

n,)[, =: - rrarcja jedrrostek z wyrozlrionym \łariantetrr cechy w badanej

t?

próbie'Pr;ry szacor,vaniu lvaftości wskaznika struktury nlaks1,nlalny błąd szacunku

(Ą jest rowny połowie cltugości prz-edziału trfrrości. a Zatell,l rvvnosi:

cł = Lla(s.1 7)

Przyklad 5.5

Wcelttprzeprowadzeniaanaliz-vkosztówprodtrkcjiwpęwnymprzedsiębiorstwiervylosowano w sposób niezalciny l00 sztuk produkor'van1,ch artykułólv i otl.z>,trlano

następujące dane:

Tabela 5.1

koszt iec'irlostkortr ri zl i]ośc prodtrktÓtv

T.5 - 21 .5 l0

27.5 - 32.5 20

32.5 - 37.5 40

37 ( /') < 20

42.5 - Ą7.5 l0

ZródIo: Dane t|tllo\\ne

Na podstau,ie tych danyclr oszacowac udziat rryrobórv, których koszt przekroczył

32'5 zł.

Rozwiazarrie

LiczębnoŚć próby to n:l00 sztLrk, a |iczba r'rryrobów, któryclr koszt przekroczył

32,5 złurynosi n,:40+20+|0=70' |v{oŻna zatern przyjąć do celów esĘmacji' Źe popula-

cjatrrarozkładdwupunktowyzdu,onrawariantanlicechy:x<32,5oraz,v>32,5.Udziałllyrobów,którychkosztprzekroczył32,5z|wpróbie\łyl]osl'70

,,' = Ł = 0,7 ' natotniast frakcję rv populacji szacowac będziemy za pon,}ocą wzoru' r00(5. l 6).

Przyjmijrnypoziornufnościrór,vrry0,99.Takwięcztablicstandaryzowanęgoroz-kładu norlrralnego odcą'trrien-ry takąrł,artość r/o , Żeb)'

(,,)fflrrl< u,'1=l-a=0'99

EstvtvlRc.lRPoDsTAWoWYcHPARAMETRoWzB|oRoWoŚCIsTATYsTYczNEJ 159

Zatęn

O1Ó-) =l-9=0,995."2Stąd iv przybliżeniu L,la =2,5B .

Podstawiając do nięrówności nrarny0,7-0,1f<p<0,7+0]20,58 < p <0,82

Z prawdopodobięństwerl 0,99 rnoŻemy uznac. Że rv tylrr przedsiębiorstwie Lrdzialrtyrobów. któtyclr koszt przekroczył32,5 zł, zalryięra się w przedziale od 58% do 82%.Maksyrnalny błąd szacunku wynosi l2%.

5.2.3. Przedziały ufności dla miar dyspersji

Przedział ufności dla wariancjiJeŹeli liczebność próby losorvej jest nralarl i poptrlacja geIreralna ll]a roz.

kład normal tly,. N11.,,o7, to dla oszacor,vania przedziałowego niezIianej wartościwariancji korzystamy ze wzoru:

( ^, ^,rI rr\' ,r\_ |

P1-:, <o'< ""; l=l-alx; x; )

(s. I 8)

gdzie: s is- - patrz przykład 5.l, a zi ' zi odcz,r'tujellly,,ztablic rozkładv i d|a

ll-1 stoprri swobody lvten sposób, aby spełniały (dla zadanego pozionru ufnościi -a) równości:

p(z' . xi)=Z(s. r e)

P(r' = z:)=+tub P(1') ,- /-i)=r - P(r'

1| I,rzy duŻ.ej liczebności próby estynlujenly zwykle odch,vlenie standardorve lvg procedur.l opisa.

_- nej ponizej"', Dla irlnych rozkładów nie da się wył1acz)-c tego przedzialu u|ności.

< rl\=t-!,':, )

160 EsTYMAcJA PARAMETRoW ZBIoRoWoŚcl GENERALN EJ

't! '"'r,l.t rr.1

,I?r's j J Pr:etl:ial uJitości :bttdov'attl, v oParciu o ro:kltld)

dla po:ionu ttfilości l-a

Przedziałellr ufności dla parallretru d jest zatentprzedział

, (Ó.S'rrS'J, l1Ó-l).S' (Ó-l).S"\,o'e 'i-: :: .lLrbo e *, . (5.20)\x, z; i \.. r; /: /

któ11' z dokladriością l -a po|irr u a I)icZlleIla \\ aftośc paI alliet,rll o- .

Prz--vhlnd 5.6

W),konano pclIlliarr lllicsiecznr ch rrr clatkóri' na kosllretyki rvśród losorvo ''v;'bra.n1'ch kobict rrzrsku.ja.c urniki tri zJl: E7: l0l: llt): 8l: 97; 93; 100; 99; 100: ll3; ll4;93:95: 8.5: |2]. 99' ZalÓzInr. ze lrla.ją olle rozkłacl rtorllla|ny. DIa |-o=0.9 A1a|eż.C prze.dzial ufllości dla irarianc.ji ltlicsięczllr'ch r1,datkórt na kosrnet;-ki lrśród kobięt.

Rozrviazanie

Obliczarny

r = l00 zł. Sr = lf r' -')' = l34.2 .

l6 ='\\/.vkorz1'stL1ąc tablicc rozkładu 7'. dla I5 stopni srr'obody, oclczytrrjellty

Il =25,Zi=7,2s.Przedziału1llości cllarvariancji\VyzliaczalnyZwzoru(5.20):

16.t34,2 ' 1ó'l34.]t5 7,16

85,76 < o' <296.76

Stąd dla odchy,lenia standardoli'ego otrrytllujetlry 9,3<o,<1 7.2.Gdybyślny obliczyli

r r,' l

s'' = +t (.' - r) = l1i.t8l<4"I J l=l

i podstar,vili do .'vzoru (5.20). otrzynralibyśnr;. ident.vczne uyniki.Z pl.alvdopodobicristrr'enr 0,9 rnoŻerny. sądzić, iŻ rvariancja nliesięcznr'ch u'ydat.

kó''vnakosnletyki rvśródkobietzarvierasięrvprzedzialeod85.7ó do296,76.d

Esrvrulec.lRPoDsTAWoWYcHpRRnverRÓwzatoRowoŚc|sTATYSTYcZNEJ 161

Przedzlał ufności dla odchy|enia standardowegoJeżeli posiadanry dużą próbę losorv4 to przedział ufrlości dla nieznanej

wartośc i odc hy| en i a stan dardowe go \\ry A1aCZa|ny Za pomocą wzoru, -' :

ftt^^lPl 't .o-. t l=r-". (5.2t)

luulllr 't l- " II Jt ^{r,,)

gdzie u, odczytrrjemy ztab|ic rozkładu ttonna|nego dla przyjętego poziotllu

ufności 1-a' aby spełniona b.vta relacja ą,(,,")=| -; ,

Przedziałenr ufuości dla paranletru ojest przedział:(l-. 's

-s iottr* ".t--t-1L i

I rT--- r-\ ,{ń

"Ęi l

15 1f\

który z prawdopodobietlstli etll l-a pokn.rr,a tlieznana lvańośc paraItletru d".

Przyklad 5.7

Spośród lvszystkich .l.osobori.r'ch łtjdzkich rodzirr u1.loso\\'allo \\, sposób nieza-lezny l00 rodzirl iotrzytnano dane. na podsta\'ic który,ch strl.ierdzono. ze dla tej próbyśrednia klvar1alna rvydatkórv na art-v.kuł A lr1'nosiia l80 zł. a odch1,lenie standardowe 50zł' Zak|adając, zę rozkład rv1'datkórr'jest zblizony do rozkładu tlonnalnego. oszacowaćna poziorrrie ufności 0.95 zróznicorvanie średnich krvar.talnych wydatkór,v rla artykuł A rv

populacji 4 - osoborvy'ch rodzin lv Łodzi.

Rozwiązanie

Dysponujeny l00-elernęntorvą próbą. Do oszacowania zl.óŹnicolvania średnichkrvartalnych u1datkórv na ar.tykuł A rv populacji 4-osobowych rodzin lv Lodzi wykorzy-stalny wzór (5.22).

Pozionl ufności wYnosi 0.95. Zatęrll

,, Jezeli J(l,x,,...,r,, jest ciągiem niezależnych znliennych Iosowycli, z których kazda nra rozkład

zb|izol.ly do rozkładu non-nalnego I(p.o), to odch1,leItie standardou'e nla rozkład as\,n1ptotycz-

,( o )IlIe |)orlnalny lv1 o.-Ę

|\ 1/.11 )7a Krysicki w' Il986], s'l5 - podaje inny przerlzia,ł'

162 Esrvrulłc.lR PARAMETRoW zatoRowoŚcl GENERALNEJ

P(Ól< tt,,)=I*a=0.95.Korzystając z otnówionych rt'cześniej własności standaryzowanego rozkłaclu nor-

nralnego i dla a= 0,05 rnan.ry:

o(',.,)= 1 - A =l - o.o2s = 0,91 s .

Stąd po odczytaniu z tablic dystl-vbuanty standaryzowarrego rozkładu noIrnalIlegot! o = |,) 6' Pod stawi aj ąc otrzJ-n]allą wanosc otrzylnuj elny :

50 50

l+0,139 l-0.139

43,9<o<58,0Z prarvdopodobieństwerrr 0'95 lloŹelny sądzić, Żę zroŻricoyyanię średnich kwar-

talnych r,vydatkórv na artykuł A Inierzone odchyleniem standardoltyrn rv zbiorort'ości 4-osobow1'ch rodzin r'v Łodzi naleir'do przedzialtr od 43,9 zl clo 58 zł. e

Przl'klad 5.8

W yznacz z prarr'dopodobieIlstlveIlr 0.9.5 21$2111qorvanie porvierzcIrni punktórvsprzedaŻy lv Łodzi na podstarr'ie danych rv tabeli 2.9.

Rozr.viazanie

Liczebnośc prÓby przedstarvione.j rv tabcli 2.9 uynosi tt=494. ZroŻnicowanie rnie-rzone odchy'leniern standardorvylll zostało policzone rv prą kładzie 3.l 7 i lvynosis:l47,50 rn.. Dla pozionlu ufnoŚci |-crO,95 Wartość oclczytana z tablic dystrybuantystandaIyzorvanego rozkładu nonnalnego rvynosi t,tu = |,96 , Z'alen zróżnicorvanie purrk.tów sprzedazy lv Łodzi wyznaczanly z nierórvności:

147,50 t47.50--_.-_* \v\_

l, l.9Ó , l.9ólT-_- l-=ę

J].49{ J]."ł9.|Stąd odchylenie standardowe naleiy do przedzialu:

138,84 <6<157,3

z95% prarvdopodobietistlvellr tnoŹtra sądzić. iŹ zróŹrlicorvanie powierzchni punk-tórv sprzedaży w Łodzi naleĄ do przedzialu od l 39, l 5 m2 do l 56,92 nr2' c

5.3. Wyznaczenie niezbędnej liczebności próbyPraktyczla uz1'teczność wyznaczonyclr przedziałór,v tlflrości za|ezy od

maksynlalrrego błędu szacunku, a więc połowy długości tegoźr' przedzia,lt.

WYzNAczANIE NIEzBĘDNEJ LIczEBNoŚcI PRoBY

Z kolei d}rrgość przedzialu jest funkcją lvspółczynnika ufności 1-a oraz |i-czebności próby li. Mozna zatem porviedziec, ze w ce|u zapewnienia odpo-wiedniej dokładności estynlacji. przy zadanym poziomie ufności. istnieje ko-nieczność obliczania niezbędnej liczebności próby ll dla przedziałórr' ufnościkonstruorvanych dIa średniej i fl.akc.ii'..

Ulyaga:Jeślin nie jest Iiczbąnatura|nąpo dokonaniu obliczeli, to zaokrąglamy n w górę.

Przypadek l. Minima|na liczebnośÓ próby dla estymacji średniejw populacji o rozkładzie normalnym przy znanym o

W prrypadku rozkładu norlnalnego N(p,o) (bądź zb|iż'onego do nonnaltle-go) i dla znanej wartości odch-vlenia standardowego niezbęclną liczebnośc próbydla oszacor,vania nieznanej rvartości średniej populacji p\y>,Znaczal]ly Ze wzorll:

ut o',=-;, (s.23)

gone:ao -waftość ztlriennej rozkładu normalnego

^(0.1) odcz,v-tana ztablic

dystrybuanty standaryzowanego rozkładu lrorlltalneqo dla 1-a, tak,aby spełniona była relacja P|ll| < tt,) = 1 _ o (patrz rys. 5. l

@(",)= r-*t,:

d - dopuszczalnv. ustalony' z gór1. lllaksr'tnalIll' błąd szacunku średrriej 7l(tj. połorr,a dlugości przedzialLr Lrfności).

Przyklad 5.9

Na pozionrie ufnoŚci 0,98 oszacorr,ac liczebnoŚć próby dla przykładu 5'2, jeŻe|i

dopuszczalny bląd szacunku ma wynosiĆ 5 zl.

Rozrviazanie

odchylenie standardorve ltynosi 50 zł, a dopuszczalny błąd r/:5 zł. więc rriezbęd.ną liczebność próby szacujemy ze rvzoru (5.23)

Korzystając z onlówionych wcześrliej rv-lasności standaryZowanego rozkładu nor-rnalnego dla a = 0,02 rnarny:

,.' W przypadku szacorr,ania nliar dyspersji liczebności próby nie da się lv1,znaczyć za ponloci1przekszlałceń rvzorórv na przedziały ufirości (porórvnaj J. Greń [ l 984] s. 46).

toJ

t04 Esrvl,lncln PARAMETRoW zBloRowoŚci GENERALNEJ

r/tD(ł,. )= I -: = I - 0.01 = 0.99.

Z

Zatem po odcąĄaniu z tablic dystry'buanty standaryzowarrego rozkładu norlnal.rrego rvietny. Że uo =/,33.

Podstarviając dar-re do wzoru otrzyniujeIny:

( z.:: so)',, =1,ffJ = (z:,:)t = 542,89 x 513

,/

Spośród wszystkiclt 4-osoborv1'ch rodzin zalnieszkujących yv Łodzi nalezy wylo-sorvać u, sposób niezaleŹrry 543 rodziny'. abv dopuszczalny błąd szacunku średnich krvar-talny,ch r,tvdatków na artykuł A nie przekroczył 5 zł' z prar'vdopodobieństlvem 98%. e

Przypadek ll. Minimalna liczebnośó próby dla estymacji śred-niej w popuIacji o rozkładzie normalnym przy nieznanym o

Jeżeli populacja ma rozkład norlnalny N(p,o) przy nieznanynr odchyleniustandardorvvrrl (ale znana jest wartość odchylenia standardolvego S otr4,tnanaznlałej próby o liczebności llg), niezbędrrą |iczebnośc próby dla oszacorvarrianieznanej rr'artości średniej populacji p\\|yA1aCZaL11y Ze wzorLl:

,l

L1

(s.24)

on71P'.

f' ',.c = l- Y l.- - r, ) lub *'yznaczouv zostanie na podstawie jednej zrelacji'- \ n,, a'"(3.15-3,17),

/o - rr'at1ośc zrriennej odczytana z tablic t-Studenta dla 1-a illn.1 stoprli

sr,r,obody, aby spełniona była relacja r(Ą< t,)= t _ o (patrzrys.5.2),

r/ - dopuszczalny, ustalony z góry lnaksyrrralny błąd szacunku średniej p(tj' połowa długości przedziału ufności).

JeŻe|i n_śt,,, to liczebnośc n., próby jest lvystarczająca, gdy zaś n>n,.trzeba jesz-cze dolosować tt.ttn elementów'

Przykład 5.l0Dla prz1kładu 5.3 wyznaczyć mininralną liczebność próby do oszacowania prze-

ciętnych wydatkórv na ar|ykuły luksusowe rvśród rodzirt łódzkich zakładając dopuszczal-ny błąd szacunku 2 zł.

Wyznłcznnle NlEZBĘDNEJ t-lczraNoŚcl pnogy 165

Rozwiazanię

Wyznaczone w przykładzie 5.3 odchylerr.ie standardowe wynosi S:9,6 zł' odczy-tana z tablic t-Studenta wartość l

":2,06, a zakładany rnaksyrnalny błąd szacunku d:2 zł.

N'linirnalną liczębność próby rvyznaczamy z relacji (5.24):

2,062 .9,62tt =-* +1 = 98,78 = 99

2'PoniewaŻ próba, rla podstawie której poIlczono odchylenie standardowe rniała li-

czebność ng:26, a więc naleĄ dodać do prÓby JęsZCze 73 rodziny łódzkie lv celu uzy-skania dopuszcza|nego błędu szacunku r,tydatków na ar1ykuĘ luksusowe w wysokości 2zł, z prawdopodobieństweln 95%o'

Przypadek lll' Minimalna IiczebnośÓ próby przy estymacji frak.cji dla dużej próby

Jeżeli rlrarriy do czynierria zbardzo dużą próbą to w przypadku szacolvaniawskaŹnika struktury niezbędną (minirnalnq) liczebnośc próby wyzrraczan1y Zewzoru:

gs e:

ł1 lW, =_!_ - rvsltaznik Struk1ur\, policzoIlr' dla próbr' //0-elelllentowej - po-

11o

rólvnaj wzór (5. l 6) _ iv przypadkll braku takiej próby nrozn a przyjąćI

' 2'ng- |iczebność próby,uo-wartośc zmiennej rozkładLr nonnalnego 1(0,l) odczytana ztablic

dystrybuanty standaryzowanego rozkładu nonnalnego dla /-a, takaby spełrliorla byla re|acja ł(lr| < u,)= | - a (patrzrys. 5.1),

d - dopuszczalny, ustalony z góry nraksylr-ralny btąd szacunku frakcji p(tj' połowa długości przedziatu ufności)'

Przykład 5.11

określ nrininlalrlą liczność próby w przykładzie 5.5, aby dopuszczalny błąd sza-cunku udziału rtyrobórv. któryclr koszt przekro czył 32,5 zł wynosił 6%.

Rozwiązanie

Próba zawiera l00 elernentórv' wskazrrik struktury policzony dla lt1,robów' któ-

/s 15\

too EsryuRc.tł PARAMETRoW ZBIoRoWoŚcI GENERALNEJ

ryclr koszt przekroc4,'ł 32'5 z| r'v-vniósł w,_0,7 . Wartość Lł o odczytana z tablic dystrybu-

ant}' standaryZowanL-go rozkładu nornlalnego jest rórt'na 2,58. Minilnalną liczebnośćpróby łyzrracza|ny Z relacji (5.25):

2,58' .0,7 . 0,3, =T = i88,2e = 38e .

Próbę naleĄ' poivięks4ć o 289 artykrrl{1r' produkorvanyclr przez to przedsiębior-strvo, aby dopuszczalrry bląd szacunku nie przekroczył 60ń z prarvdopodobieństrt.enr99%. e

Przyklad 5.12

Dla przykladu 5.4 rvyztlacz nrinitnalną liczebnośc próby, aby dopuszczalny błądszacunku nie przekroczyl | 0 rnt.

Rozr.r,iazanie

Liczebność badanej próby rłvnosila 494' odch1'lenie standardowe policzone

zprÓby 'S=l47'50 nl.' Wartosc l/.1 odcz)'talla z tab]ic d}'stry,buanty standal}Zowaliego

rozkladu nonnaltrcso przy'pozionrie ulhosci 0.95 urnosi 1,96.

NiczLlędrlą liczę.bnośc prtibl lir,znacZalll}' z rclacji (5'23). tylko zauliast odclt.vle-nia standardorvego populacji li'staw'ittl1' odch1 leIlie standardorve policzorie dla pt.óby:

1,9c .147.,i0rn=----=t=835.78=816

10'

Plynie stąd wniosek, Że nalezaloby do próby dolączyć jeszcze 342 prrnkty sprze.daz1,' rv Łodzi. aby dopuszczalny bląd szacunku przeciętnej por,vierzclirri sprzedazy nieprzekroczył 10 tnz z prawdopodobielistrvenl 0'95.

5.4. Estymacja parametrów koreIacji i regresji linio.wej

W rozdziale 4 zostaly przedstawione zagadtrierria rvspółza|eżności wystę-pującej rniędzy dwienra cechallri pozostającytlli ze sobt1w nviązku stochastycz-nyrl. Przedstawione rozrvazania dotyczy'iy zaleztlości lvystępujących międzybadanyrrri cechal]1i Statyst},czllyllli. W tyln podrozdziale zajnrieIlly się nrozlirvo.ścianri dokonyrvania uogólllień wniosków wynikającyclr z badari częściowyclrna całą populację generalttą oraz est},llacją paranretrów furrkcji regresji.

EsrylutłcJł PARAMETRoW KoRELACJI I REGREsJl LINloWEJ

5.4.1. Estymacja Współczynnika kore|acji liniowejProwadząc badanie częściorve lrlozelll)l określic kierunek i si'łę zrviązku

rv1'stępującego nliędzy dwienla cechanli Za ponlocą rvspólczyrrnika korelacjiliniorvej'o. Wspólczynnik korelacji liniolr,ej l.-'. z próby jest est,vnlatorenr para-

lnetru p.,.,. : E(t'rl .Rozk.lad teoret),cznY i'.,,, jest zaleitly od poziomu parantetrtt

p.',,' Przyjlntrje się, Że jeśli rvartość oczekirvalra Erl..,/ jest bIiska zer.a (lv prakty-

ce zprzedziahr (-0,5;0,5), to rozk'lad esb'nratora jest nolnraltry ^'(p.:,.o,,,

)

sdzie

= s,., (s.26)

Przypadek l' Duża próbaMożtl a lvprorvad zi ć ztlr ien n ą statld atyzorr,an ą:

o rozkladzie lV(0,1), (s.f7)

liniouej \\)znaczar))vPrzedzial ufrlości dla tr,spt-llczr ntlika korelacjize wzofll:

167

<I(r'.)<l.',łtt -1*ct (s.28)

Przypadek ll' Mała próbaZnlienna standar1'zorval]a nla \V tylll przypadku postać:

'u w tynl podrozdziaIe za.inlienly się est1'.lnac.ją tylko dla r,rspółcz-ynnika kor.elacji IiIriorr.ej, choćmozlla estynlorvać takie pozostale rniary' rvspólzaleŹności. I tak' nieobciąZoliynl estyltlatorelrl

rvartości oczekirt,ane.j rv populacji E(llr,) jest stosunek korelac.ii nieliniorvej e ,,' z'prob'l,

(ł:7- stosunek kore|acji nie|iniorvej rv popuIacji). Moż'na rórr'niez estyn)o\\'ac r(R'' ) prz5'

poulocy estyurarora R_., o rozkladzie uonnalnynr z oclchylenierrl startclardowlnl

ID(p )= '

!n-r

'{""- "'[,-l

/'-'',ltt

168 EsTYMAcJA PARAMETRoW zBIoRoWoŚcI GENERALNEJ

o rozktadzie l Studenta

i analo-licznie przedział uflrości wyznacza|ny na podstawie

.fn"i."'r----t" '

\ n*ą(s.2e)

(s.30)

Dla duzych co do waftości bezwzględnej E(r,,) rozkład estylnaiora l.,' jestcorazbardziej skrajnie asymetrycZny itrudno zna|eźc zadowalające metody jegoestymacji.

5.4.2. Analiza regresjiBadanie r'vspółzalezności cech ilościowych n]ozl]a przeprowadzić za po-

mocą tzw. analizy regresji. która słuzy do badania relacji nriędzy tzw. cechązalenlą i cechalrli niezaleiItvttli. W rozrr,azaniach or1raniczytlly się do Iirriowejpostaci te.j f.Lrnkcji. którą nroztla z'apisac lr, następu jącej postaci:

(5.3 l )

gdzle:

1;, - i-la obsenl'acja zntiennej zaleznej 1'.

x,t,xi2,...,x tk - i-te obserrvacje poczynione dla ,t zntiennych niezaleznycltXy, Xtr,,,, X1,

e, - składnik losowy,

dg,d1,d2,...,G - paralletry strukturalne rówllania regresji.Przedstawiony zapis oznacza, ze zostało wyróżniorrych t cech nrierzalnyclr'

opisanyclr Za potl1ocą zllienny,clt nieza|eztt)'clr (x|, 't2'..., ;r1), które nrają rr,p|ywna kształtowanie się zrniennej za\eŻnej v charakteryzującej interesującą nas ce-chę ilościową'

Przyklad 5.13

w badaniach popytu pewnego dobra (zrnienna zalezna) podstawowyrni znrienny-mi wpływającymi na jego wielkoŚć są dochody potencjalnych nabywcórv oraz cena ana-lizorvanego dobra (zIrlienne niezalezne). lnnyIni słowy popyt y,, czy|i znrienna obja.śniarra funkcją regresji (5.3l)' zostałaby rv tvllr równaniu opisana Za polnocą dochociówx,, i cen x,' , które pelniłyby rolę zrniennych objaśniającvch, czyli:

(-I 17- r'"

P1,',, - t,.,,_z1l---)- < E(/.,, ) < !..t, + r a.,,_z

I t tt-:

Esryułc.lR PARAMETRoW KoRELAcJl I REGREsJl L|N|oWEJ

li=do +d,f i| + Q.2Xi) + €i e

Występuj ące w zj aw i skach społecznyclr zal eżn o ści nl aj ą zazw y czaj charak-ter stochastyczny, co dla przytoczonego przykładu badań popytu oznacza, izenie każdy potencjalny nabywca z jednakorvą siłą będzie brał pod uwagę lvyt.óŻ-nione przez nas cechy oraz, ie niektórzy nabyrvcy w swych decyzjach rlogą siękierować inrrymi kryteriarni wyboru (np' przyzwyczajeniern do pewnych dóbr),to Znaczy nrogą brać pod uwagę inne znienne' czasell nietnierzaltte, któryclr rrieuwzg|ędniollo w relacji (5'3l). Moze równieŻ okazać się, ze clrarakter analizo-wanego związku nliędzy wyrózniorrymi cechanri nie jest liniowy. Stąd obecnoścw równaniu regresji (5'3l) sktadnika losowego e,, który nr.in' odzwierciedlafakt' ze nie kaŻdy l-ty nabywca zachowuje się tak sanro. PrzyjInuje się, ieskładnik losowy ma rozkład nornralny o zerowej waności oczekiwarrej i stałejwariancji.

Parametry funkcji regresji a , (i =0,1,2,...,k) nie są ztlane (obserrvowane).

podobnie jak składnik |osowy €,(i=1,2,,,,,n), dlatego równanie (5'3l) jest

równaniem stochastycztlyrn. W ce|u zbadania wpĘwu ł rvyróznionych znrien-nych objaśniających na ztnienną objaśrriarrą na|eŻy oszacowac paranretry struk-turalne równania regresji (5.3l). Dokonrrje sie tego na podstawie danych stat1.stycznych dotyczących ztlliennej zaleztlej i zllliennr'ch niezalezIl1'clr, ZałoŻrny,ze posiadatrry łl obserri'acj i odllośtlie do ri'szr stkich rr'r'róŻtliotlr,'ch rv (5.3 l)ztltiennyclt. Wygodnie jest je zapisec ri posteci lllacierzoriej. prz;jrlltl.;ąc rlastę-pujące oznaczenja'.

(s.3 2)

gdzie:y - oznacza wektor fnxl] n obserrvacji dla znrierrnej objaśnianej (za|eż.

nei),X - jest tlacierzą fnx(/c+l)] obserwacji dla zrrrienrrych objaśniających

(niezaleznyclr)' przy czym pierwsza kolutnna składa się z samych je-dynek, co oZnaCZa, że wprowadziliśm1, do nracierzy obserwacji dodat-kową znrienną która jest tozsanrościowo równa jeden, a lvięc stojąc

[,'']it, I

v=1"'l' x=

L,;"1

, o=

Ll:l[i;]

170 Estyt',tłc.lł PAMMETRoW ZeloRowoŚcl G EN ERALNEJ

przy pararue trze a0 daje wy,raz r,volnyT; ,

a - jest wektoreIn [(t+ l)x l ], zawierając1,In (t+ l) nieznanych paranretrówstrukturalnyclr odpowiadających ł ztniennym niezależnyrr oraz wyra-zowi wolner.nu a,,,

a- jest wektorem [nx1] składrrików Iosowych.Stosując oznaczenia (5'32) trroŹna układ n (i: 1,f,..., rl) równati (5.3l) za-

pisać jako równanie trracierzorve:

Y=Xa+sW wyniku estymacji paratnetrów regresji

otrzymuj enry następuj ąc e równan i e lltac ierzowe :

f=Xa|ub odpowiadający tnu układ n równati skalarnych:

i, = ao + a,|xi1 ł a.X11 +...+ ctkxlk

(s.33)

równania (5,33) lub (5.3 |)

(5.34)

r5 1ś.\

gdzie:

t = [i, ] - jest wektorenr [nx 1] tzw' wafiości teoretycznycl.t. wyznaczonychna podstawie rór'vnali (5.34) lub (5'35),

a = |o ',] - jest rt'ektoretlr [(t+ l)x l ] ocen estynratorów nieznanyclr parame.

trór'v strukturaltl1'c}r a =|a ' ], pozostałe oznaczenia jak poprzednio.

oceny estytrratorórt'paratlretrórv l.Lrnl<cji regresji cł,(f: |,2,',., k) infornrująjak jednostkorva ztrriatla.7-tej zlnienrlej objaśniającej wpłynie na wartośc zmien-nej objaśnianej przy zał,oŻeniv, że pozostałe ztrrientle pozostaną na tyn] Samylnpoziotnie. Innyrli słowy, jezeli rvartośc znriennej r, wzrośtrie o jeclnostkę to,pr,ry załozeniu stałego poziomu pozostałych zInienIlych objaśniających, wartoścznriennej za|eŻnej y wzrośnie (lub zmaleje) średnio o a1, Wyrazu wolnego ao

częSto się nie interpretuje' chyba ze moŻna go traktować jako pewien początko-wy stan badanej zniennej za|einej tj' pozionl, jaki przyjęłaby ta zttrieIltla przyzerowyclr waft ośc iach ztrr i en nych obj aśn iaj ących.

Jak łatwo zauwazyć, w oszacowanych równaniach (5'34) i (5.35) brak jestskładnika losowego. Wynika to z faktu, Ze oSZacowane równania są rór'vnanianlideterrrrinistycznyrri. opisują bowiem za|eŻnośc funkcyjną występującą międzył ztniennylri objaśniającyllri .r'1, X],'.., '\/.' a wartością teoretyczną zrniennej obja.śnianej y za potnocąwyzna:Zonych (w procesie estynracji) ocen paranretrów

77 Wprorvadzenie dodatkorve.i kolunlny do nlacierzy obserwacji X rvynika z uproszczenia zapisu

Esrvuecln pARRMETRow KoRELAcJT r REGRESJT LrNlowEJ

0g, a1, Q2,,',, CI1., Można Zatem powiedzieć, irc Szacując parall]etry stocl.lastyczne-go równania regresji postaci (5.3l) lub (5.33)' rv lvyniku estyrnac.ii otrzyrnujemyrównanie deternlinistyczne (5.34) lub (5.35)' r,v którynr Znal]e Są paranletry (bę-dące ocenatni estylratorów nieznanych paratnetrólł,) i zaleŻnośc jest tirrrkcyjna'jednak po lewej stronie rórvllania nie tl.1,stępLlją zaobserlvo\Vane lvafiościzlriennej objaśnianej (zaleinej) r'. ale jej ri,artości teoret\'czlle i,. lvvnikające z

oszacowanego równania detertllitlistliczllego (5'3.ł) i (5.35).oczywiste jest, że przyllajnlniej dla kiIku obserir.acji (': l.2..... i?) \\,ano-

ści teoretyczne y, będą się różnił-v od lt.artości Zaobserwo\ł'anych .l, . chociażbydlatego, zę zttrienne objaśniane generowane sąprzez procesy losowe (stocha-styczne) nie nrogą Zatem byc opisane równanienr determirristyczn1rn''. Różnicęnliędzy war.tościarni teoretycz'l}'llli i eInpirycznynri nazywac będzienly resztąempiryczną i będzie olta tniernikienl błędu' jaki popełnianry stosując do opistrstochastyczrej relacji postaci (5'31) lub (5.33) zaleznośc funkcyjną (5.3a) lub(5.35). Reszty etllpiryczne wyznacza się dla kazdej obserrvacjijako:

€i=!i_!i (s.36)

i są one traktowane jako oceny estyn]atora składnika losowego a, .

W procesie estynracji podstawowym problenteln jest zdefiniowanie odpo-wiedniego estyn,latora nieznanych paranretrów równania regres.ii. Za polnocąktórego wyznaczac się będzie r,vartości ocell rl/ ' Najczęściej Stosowaną nretodą

estyrllacji jest metoda najnrniejszy'ch krt'adratólv (MNK), u podstaw której leiynrininralizacja sullly kwadratów błęc1órv c, , Stąd llazwa tej nretody' Innytrri sło.

wy' w tlretodzie tej poszukuje się takich estyllli]torów nieznanych paranretrówStrukturalnych, aby uzyskać jak najrltniejsze błędy' czyli wyznacza się takiewafiości [Ig, a1,0l,.'.. ut, d\a który'ch osiągnie nrininrutll funkcja postaci:

i'u| =ź0,, -y,), =i|y, _(ao + cr)xi| + a)x!2 +,.'+ aox,))1r=l t=l t=l

lub alternatyr,vrrie w zapis ie mac ierzołr'ytrr :

ete = (y -i)t (y *r,) = (y - Xu)t (y - Xa)

gdzie e =[e,] jest wektorem reszt etnpirycznych, a pozostałe oznaczenia jakpoprzedrrio. W relacjaclr (5'37) i (5.38) skorzy'stano z równania opisującegowartości teoretyczne ztlriennej objaśrrianej postaci odporviednio (5.35) i (5.34).

7E Występowarrie róŻnic nriędzy rvartościanri teoretyczllynri i empirvczn5rrli znlietrnej za|eŻ'tle1

wynika rórvnieŹ z innych przyczyn' o których szczegó'lorvo porvienly w podrozdzia|e 7 .2,

171

(s.37)

(s.3 8)

172 Esryt',tnclR PARAMETRoW zB]oRoWoŚcl GENERALN EJ

Rozwiązując zadanie poszukiwania nrinitnum funkcji (5.37)względenl niewiadonlyclr zawaftych lv wektorze

^, otrzy|nujerny

rozwiązanie:

2 = 1X/ X)-rX/ y

lub (s.38)następujące

(s.3e)

prry załozeniu, ie istnieje macierz odlvrotna (x'X)_' .

Tak więc w celu oszacorr'atlia estytnatorów MNI( paranretrów równaniaregresji, wystarczy wyznaazyc waftości elelnentów r,vektora a, na podstarvie robserwacji poczynionych dla zmiennych objaśniających i objaśrrianej. Moznaudowodnic, ir'e jeżeli spełnione sązałoŻenia o składniku losowytn t i ' Iz|1.lla on

rozkład nortlalny oraz E(e,)=0,D2 (,,)=62, to estylnatory MNK są zgodne,nieobciązone i najbardziej efektyr,vne, a więc spehiająwarunki dobrych estylla-torów'

Oprocz ocen estymatorów paratnetrów r,t, szactlje się tzw, standardowe błę-dy szacunku , czy\i średnie błędy estymatora S(a, ) na podstawie relacj i:

S(ł, ) = (s.40)

gozle:

(x'x)l|',*' - jest 7*/-y'nl eletlreIltenl leiącytn Ila przekątnej rllacierzy

(X'X)-'. która tna rvyllriar1' [(ł+l)x(ł+l)], a (ł+l) jest liczbąSZacowal]yCh paraIlletróu .

S"2 - nazywane jest wariancją resztową ijest nieobciążonyl eStymatoremwariancji składnika losowego, awyraza się wzorem:

"ltl 1n-IS. : _ I(;., - i,)t =- ,^I.; = ] :: ",. (5.41)//-\^-rlr/_l n-l(+t)t=t tt_(/(+l)

c4-li:

^lS.i =--=' ^ (yty*otXty)n-(t+l)

Standardowy bl'ąd szacunku S(a,) infornluje o średnim odchyleniu wafto-

ści oszacowanej oceny estyllatora a, od rzeczywistej (nieznanej) wartości pa-

rametru strukturalnego dL. Na jego podstawie szacuje się przedziaĘ ufności

nieznanych paratnetrów funkcji regresji postaci:

P(a i _ S(a').t,, 1& l <a i ł S(ai). to.)=l_ a (5.42)

gdzie to - wartośc statystyki /-Studenta o n-(k+ l) stopniach swobody.

(xtx),]

EsryunclR pARAMETRow KoRELAcJI I REGREsJt LlNlowEJ 173

Nasuwa się pytanie, z jaką dokładnością oszacowane rórvtlatlia (5.34) i(5'35) wyjaśniają za|eŻnośc rniędzy zlnienną objaśnianą a zrriennytni objaśnia-jącynli. Mierzeniu tej dokładności słuiy rvspólczynlrik detcrminacji79 ły,,o-czanv iako:

oz_atX/v-ł1.1 )r-----l------- r

Y'Y - /?(']'')-

co jest równowazne relacji:

(5 4i)

llT/i. - i\rL)\) i -t ,

R2-i=l -lnY/,, - i;tlL\.'t ,Y )r=l

gdzie:

\-,1/ L.

=l- J\-t r' -.rl|,

=t-ez (s.44)

y - jest średnią arytmetyczlą wyzllaczollą dla zrlrierlIiej zaleznej,,r2r -Jest tztv. wspó|czynnikicm zbieżności. któ11. określa. rr jakitll stop-

niu zrrienność zrniennej objaśnianej nie została rvv1aśniona za po-lTlocą oszacowanej furrkcji regresji. Irrnymi słowy określa on rvpłylv(na zmienną zalezną) tych czynników, które rv ntodęlu ree'resii niezostały uwzqlędIl ione'

Analizując relację (5.44) łatwo zaurvaŻyc, ie określa ona stosunel<

kwadratów różrric wyjaśnionych rór,vnanietn regresji, czyli źt j,, -'). ,

my kwadratów łącznych odchyleri zaobserr'vowanyclr r'vartości y, od ich

sulxy

do su-

pozio-

róri,'nan i a średn i e.i arr'ttnetycznej(5.15 I do kri adlatrr i zsurlrorvaniu

(s.4s)

zmiennej zalez-po I oraz zasto-

nlu średriiego .l]. cąvli śt.", -r). . w relacji (5.44) zastosowano proste prze-

kształcenie postaci:

),i =i,i łe,które po odjęciu od obu strollnej t, podniesieniu obu stronsowaniu relacji (5.36) daje:

I ('l', - r)'

, , Wspólcz1,nnik ten został.już zdefiniorr,any rv rozdziale lV.

174 Esryn,łRc.lR PARAMETRoW zBloRowoŚcI GENERALNEJ

ililr, r/^ i\2 +y,,1 _L\y, - 1')- = /\),t - .' , '/ż. !l=l i=l t=l

nil

=t(i, -y)' *zo,-i)'(s.46)

Zgodnie z relacją(5'46) ogó1rla suma klvadratór,v odclr1,leń poszczególn1'chobserrvacji od średnie.j ary'tllletvczllej zrrlierrnej za|eznej (t.i' lerva Strona rór,vlla.nia), czyli całkorvita zmienność J,, rv próbie, składa się z drvóch części. Pierrv-

sza składowa po prarvej stronie znaktt rórr,t-tości rtazywana.jest lvyjaśnioną sunłąkrł,adratów odchyleIi oraz części drrrgie.j ztr.attej feszto\\'ą stttną krvadratórv,która nie zostala lv1,jaśrriona (opisana) rÓrvnanietn regresji. W zlviązktr z ty|11,

iIn lvr'zsza rvartośc, zarvierająca się rv przedziale8o <0' l>, rvspó'lczynnika de.terminacji, tym liniort,a filnkcja regresji lepiej opisu'je badaną zaleznośc. Nato-

rniast rvspółczynnik zbieżności p: illforlllLlje, rv.jakitn stopniu tnodel regresji

ll ie lv1,i aśn i l znrian zachodzącr'cIr u. znr i ellttej zależ'nej,W omalvianych nlodelach regresji liniorvej zakładaliśmy rvvstęporvanie

w}'raztl rr.oltrego. Takie zalożenie .jest poprx\\ lle i rr,.r'godne, chociazrv praktr.czIl1'ch zastosori'alliach. zri.łaszcza kied1. .jest to uzasadnione pewnąteorią czaselll przr.inlt1e się. ż-c rrartośc \\'\.faZL| llolIle-t{o jest z defillicji rórvrlazero iszactrje się t.ou'tralrie regresj i bez te.uo parallletrtl' Wórr.czas szactrjemyjedynie ł paratrtetr.óu nlodeltt, a u ięc relację (5'3 l) zapistrje się jako:

!i = &lXit + G)Xi2 +...+ Akxtk + ti

a rnacierz obserwacji zmiennvch niezaleznych (5.32) jest postaci:

(s.47)

^i l

.! 2l

^-lI

Xnt Xn2 Xr-l Xnk(s.48)

W zrviązku z tym relacja (5 '3 5) jest rwrazona wzoreIn:

30 w pl.akt;.czn)'ch z'astosolr'aniach, kiedy zaklada się, że rr,1'raz lr'oln1'.iest rów'ny zero, zdarza.iąsięprz1'padki ujernnr'ch tvaności rr'spólczr'rrnika deternriIrac.ji. ocz-l'rviste jest, Ż-e rv takie.j s},ttlac.ii

oszacowa|le rórvnanie regles-ji zarviera b|ędy, tzn. zlnietrlre ob.|aśniaiące zostały'Ź|e określone inaleŹy zlnienic zbiór zInienn1,ch ob.jaŚnia.iąc1,ch lub przyna.jnlnie.| do|ącz;-ć do rórvnania rvyt.azrvolnr'.

f,=

'Tt i 'rt t

.T2:l .tzł

J:: xzt

175EsrvvncJn PARAMETRow KoREucJl I REGRESJI

}, = alX,, * (71Xi: +.,,+ Cłkxtk (5.49)

a relacja (5.41) jest Postaci:

s: = -ltyty -o'Xty) . (5'50)' n-K

Przedstau,iony w zapisie nracierzolv\,nl lvzór (5.39) pozwalając1, \ryZlla-

czyćocen1,estylrratorórvnieznanychpalatltetl.órvftrnkcjiregresji,dladrvóchznriennyclrniezależnychbezw.yrazu.,rvolnegot-l-tożnazapisaóskalarnierv odniesieniu do postczegolnl'ch czynnikon tej relacji' Miano$'icie:

f,,ull ź"l I','',,. i ,--, l ź''.,',,, l

(x'x)=l ,,E ,, ź,,''., l, (x'v)=lŹ | ts.stl

l Ę'*,.*,. I*; l Li.',.).,.]l; i=l -l

gdzie11 - '

de(X?x)-r =Ir;It;, -tlr r','l- +u

Natomiast r" orryonl*" tl'ruro"ti'atria *'1'raztt

zt-nietrną n iezalezIlą r7 l1lolllYi

fn-l iL, Y*.r lLy,I u l-..,1I I

(Xi X)=l ,:' l. tX'1)=l ,i-'' lf.', i.;l lI'',','l: " ; I L,=rLt_,

stąd:

rr olnego. rv

(s.52)

(s.s3)

rórvnaniu z jedną

(s.s4)

(s.ss)

- ł'''',.l'=,',"1r'i ]

-i",'l,=rr,

]

(xtx)-'

[ ś-.| \ I',,'(x, x)_' =;.(i'x)]

- ś '1='

176 Esryułclł PARAMETRoW zatoRowoŚcl GEN ERALNEJ

Przvkład 5.14

Badając za|eŻl.lośc nliędzy r,rydatkanli na produkty A i B rv 20 przebadarlych go.spodarstrvach dolnorv-vch uzyskano następujące ku'oty rvydatkórv w zł:

ZródIo: Danc u|llL]\\'ne

Korzystając z ana|iz'v rcgr.csji zbadaj, czy rłystępuje zrviązck lirriorvy rniędzy rv.v-

datkami na oba dobra.

Rozrviazanie

W celtr rv.vzttaczeltia paratnetrórv ftrnkcji rcgrcsji, ozlracza.jąc przcz xl rq'datki

na dobro A oraz przez t,i lq'datki na dobro B, nalezy obliczyc zgodnic z(5.55):

(XtX)*'oraz X7'y co przcdstarviono rv tabcli 5.3.

W rvyniku obliczeń ttzyskano:

r [; l7 - 7jll 94 i l [ 29798 - 28321-l t |l+lł] [t,.ło].l -

-i

- _t r - | |- r0nL*7i ru _l -rss_ l0nl-oso: +ii60.]- rolIsls-]-[o.so_]

co oznacza, ze oszacowalla linia rcgresj i-jcst postaci:

"v, =l,4ó+0.89x,gdzie:

j,, - onlacza rvar1ości teoretyczlle dla lvydatkóll'na dobro B'

x, - nydatki na dobro A.

Na podstarvic oszacorvanej fbnkcji rcgresji rnozna strvierdzic, ie wzrost wldat-kórv Ita zakr'rp dobra A o złotórvkę sporr,odtlie \\,Zrost \\)jdatków na zakttp dobra B o 89

groszy. Podstarviając ztnienną x, do oszacowa|tcgo rólvnallia regresji otrz;'lrlalrry rvarto-

ści teorety,czrledlaznlienne.iza|eŻncj i,, orazrcsztyenlpirycz|1e e1,cozapisanorvtabcli5.3. Na tcj podstarvie nlozlla rry-znacz1,ć rr.ariarrcję resztorvą zgodIrie z relacją (5'40)jako:

s'=-,l- rIy,'- o,Zy -u,I.r,.v,=--=I.,'= 31rr =

'.n,.' u -1k +l) a tt -(k +l)a ' 18

a rv dalszyrn postępo\\,aniu wvznacza|Iy standardou.e blęd1,szacLrnku (5.40) jako:

Tabela 5.2

) 2 ) J J 3 3 ,1 4 4 Aa A Ą 5 ) 6 o 7

B J ) 3 4 I J o 1 J 4 5 ) o 7 6 7 6 7 7

- .!ojow = o,tt

LSTYMACJA PARAMETROW KORELACJI I REGRESJI LINIOWEJ 177

0,03 78S(rr, ) = - n lo

Tabela 5.3

-T/ I (.\',.r ;, L (a ,) )', - -Y, _. )(.),, - -y)-

I I 2.t 5 -l.rf i.8225 )- | Ij.ó93 I J r.i 5 Có5 0.ltt 5 t.1 2.89

) 2 4 4 3.21 ,,2'4 r .537 6 2.i '7 1(')

f 3 ,1 Ó ) -:-+ -0.11 0.0 576 1.7 t.89f 4 4 I 3 ^21 0.76 0.517 6 -0.7 0.49

3 2 q 6 4.13 .? |,ł 4.5369 )'l 7)q3 J o q .ł.lj -1.13 t.2169 t.1 2.89

3 o o l8 4.li 1.87 3.4969 1.3 1.69

J 1 2l 4.1 3 2.87 8.2369 2.3 5.19

4 J 6 t2 5.02 -2.02 4.0804 1.1 2.894 I 6 t6 5.02 1.02 1.0404 -0;7 0".19

4 5 6 l0 i01 -0.02 0.0001 0,3 0.09J 5 6

,-0 \ tt / -0.02 0.0004 0.3 0.09.ł 6 ).1 5.02 0.9 8 0.9(l0-ł t.l 1.69

4 1 la 28 5.01 1.98 3.9t01 2.i 5.29

5 6 25 30 5.91 0.09 0.008l l.l I.69

5 7 25 i5 5.91 1.09 l. I s8 r t.i 5:.96 6 i6 36 6.8 -0.8 0.6"ł 1.3 r.69

o '7 l6 1) 6.8 0.2 0.0.t 2.3 5297 1 19 to 7,69 -0,69 0,4761 L,) 5.29

Suntct 73 QJ 3t7 J88 34,320 I 1t')

Zródlo: obliczetlia lv|asne

MoŹrra zatenl t\\'icrdzić. ic przy.jrurrjąc occnę est,\j|llqtor^ \\:}'faz[l rvcrlIlcuo lra po-zionlic l.46 (iako rr'at1ość szaco\\'anego paranlL-tltl) śrcdnio ln1lIj','-'' się o 0.77. Natonriastprzyjnlując ocenę 0,89 clla paranrctrtl stojąccgo prz1'rv1,datkach na dobr.o A pope,lnianl;.

śrcdni błąd rv rrysokości 0'l9. Wiedząc, zc śrcdnia arytlnctycZna r'v1'datkórv lla dobro Bu,ynosi

Y''L/l 9Ą

.*- .-- ,rl _ _ | 1-

- - !r / r'n20

nlozl]a \Ę,ztlaczyć rvartość rvsp<iłczynnika dcternlinacj i z (5.44'):

178 Esryvlłc.lR PARAMETRoW zatoRowoŚcl GENERALNEJ

1l

Ył', - i.\]L\)t )tlol -r

r=l/\ - | - n

Yrr'- jt'lL2'/ l

,=|

Wy'znaczony współcz}'tlllik detcrlnirracji infornrujc, że zIniall1' rv1.datkólr lla do-bro A lv 54% objaśniają Ztnially lv rv1'datkach rla dobro B. Co ozrlacza, Że 460/o znianrviclkości wydatkórv na dobro B nie zostało rryjaśniolre przez oszacowaną Iilrię rcgresji.Nalezy się rvięc spodziewać, ie r'vydatki na dobr.o B za|eżzą rórr,niez od innych czylllli-kórv' które w'll-todclrt regrcsji llic został1' tlwzględnione.

Na podstarr'ic danych zarvartych rr'tabcli 5.2 nloŻlla lvyznaczyć rólr,nicŻ zalcŹnoŚcprzeci\\11ą zakl'adając. Żc rv1'datki na dobro A zalczą od rr1'datkórr' lla dobro B. ntanr1,

zatern:

l [5I6 -91-1[ 73.l l [376ó8 _36112) l Il 196-] |o,stla=-l ll l=-l l=-l l=l lczYlt1484L-94 20 -]L388'j l481L-68ó2 +.7160.] l484L-898] L0'6l]oszacowalra funkcja regresii jest postaci:

i, = 0,81 + 0.61,Y, .

a rvspółczynnik detcl.rniIlnc-ji obIiczonr dla i = 3.65 il1,nosi:

. 13.-10R-=I50.55

lczlloŚci pl.zccilr,llcj' clrociirŹ rlartośc.i occ|) pafall]etrólv a, są innc.

ozllaczając oszaco\\'a|le dia obu produktórv A i B rórr,nania rcgrcsjijako:

.i,=ao +.7l-Yl oraz i, =óo +ó,'V' llloŻltałatrvosprarrdzić,zc

R1 =ąlbl =0,89.0,6l=0.542910,54 . e

Zavyvazone w pow),Zszynl przykładzie za|ezllości lvynikają z faktu, że d|aSzacowal1ej f.unkcji regreSji z jedną ztllienną niezależną poStaci:

i,=art+cltxt, (s.s6)

dla której nlozlla uyzIlaczyć oszacowania przeciwnej ftlllkcji regresji poslaci:

a Ą aĄ

= I -:--:: - I -0,J6 = 0,51.71.20

i, =bn+brt,,

zacliodzi llastępująca z-ależność (porównaj (3.35)):

R2 =ąlbl ='.]'=,,1.,

gdzre :

,'tl = rl'' - rvspólczyllrliki koreIacji IiIriorrej.

Przedstau,ionr' rr' prz1.kładzie 5.l4 pLoblelu esĘllracji paral1letrów fLrnkcji

(s.s 7)

(s.s8)

TSTYMACJA PAMIMETROW KORELACJI I REGRESJI LINIOWEJ

regresji mozna róu'niez rozlviązac rvykorzvstrrjąc w t}'lll celtt dostępnąlvpakiecie EXCEL flnkcję REGLINP(rl..Yn,' Xl,'Xtt,. p^av,cltt'. prnt,dct) gdzieY]''Yn oraz Xl,.Xt oz:mczają obserrr'acje odpor,viednio dla znriennej za|eż-nej

izrrrienIlej niezaleznej. W r'vyrliku otrzynluje się tabelę lr,ynikou'ą. która jestpostaci:

'Iabela 5.4.opis tabeli rvy'Ilikórv po zreaIizo*'aniu f unkcji REGI-lNP

Ocena pararnctnt nr Occna parat'nett'tt ao

Standardorr'r' b|ąd szacrrllku S( cl Standardorr1 bltd szacunku .S(.r,,)

Wspólczyllrlik dctcrlnilracji R- Statldardorrr' bląd occlll' .t

War1ość statystyki F o którejbędzie nrorr,a lv kolcjnym roz'dzia-

t^

Liczba stopni srvobody: ri-(t+l)

Regresyj lla sunla kr'vadratórv:l1

c.tP=Yri -"rlr=l

Resztor,va sttnla krvadratór'v:lls - .)JJŁ= ) (r.'_l.')-

Ł\r l,-t

Zr<idlo' opracorr'an ię rr'lasne

Przyklad 5.15

Na podstarvie danych z prz;,kładtr 5.14 oszactr.j firrlkc.jc rcgrcsji trykorzy''strrjącpakict EXCEL. W ty'nl cclu uproiiadzanrv do arkusze danc statlstvcznc \\r kolurnnie Adla popytu na dobr.o A, a rr'koltrnlIlie |J - lla dobro B' Chcąc oszacorr'ać linię regresji.rv której ZIllielltra za|eŻna oz|lacZa pop\1 na dobro B zapisujclll1': REGLINP(B/..B20,.

'41 '',Ą20; prav,tlu'. prtlrda) i otrzr'lntrjclul rrr'lliki przcdstall'iotlc rv tabcli 5.5.

T'abela 5.5W5'niki lealizac.ii linkc.i i REGLINP

0,888229 1,4579620,194208 0,7731820,537487 1,380791

20,91779 18

39,8815 34,3185

Zródlrl: ob] iczclt ia rvlasne'

Zkolei chcącoszacowaćza|cinośćprzccirvnąnlanlyREGL|NP(A1,.A20,.Bl..820;prau,cl a'. pr awc:ł a) i uz1'skujcnly:

Tabela 5.6Wy'niki realizacji tbnkc.ii REGt,INP

0,605121 0,80593

0,1 32308 0,672039

179

180 ESTYMAoJA PARAMETRoW ZB|oRowoŚc| GENERALNEJ

0,537487 1.1 39689

20,91779 |Ó

27,16994 23,3800a

ZródIo: obI iczclliu ivłttsltc

Przyklad 5.16

W pclvnej firnric harrdlos'cj składającej się z 10 skleporv postallowio|to zbadacczy rr-vstępujc za|ezność nriędzy dzicnną rvar1ością sprzedaŻy (rv tys. zł), a liczbą zatrud.nionr'ch (x1,) oraz Iiczbą akcji pronroc1jny.ch odb1,lr.ającyclr się rv darr1'nr sklcpic ('r;,)'

obscrrvacje dotyczące rvańości sprzcdazy, liczby zatrtrdnionych oraz rcklant zalrriesz.czono w tabeli 5.6:

Tabelł 5.6

Zródlo: Dalte tIl1lo\\.llL.

o Oszacu.l i zintcrpretuj paranrr-tl) Inodclu.o Cz'.r, nlodcl jcst akceptorr'aln;' pod rvzględc|n lner}1ory,czl)vl11 (ekononriczrryllr)?

odporr.iedź tlzasadnij.o W jakinr stoprlitr objaśniona została zrnienrloŚć rvańości sprzedaż1,?

Rozrviązanie:

Zacznicny od oszaco\Vallia paranletrórv lnodelu. Trvorzym1, lllacicrz X i rvęk.

tor y. Wszystkie obliczenia por.nocniczc przcdstalviono rv ponizszej tabeli.

Yi xri

ll 3 5

6 1 3

li J 7

J 4 2

16.5 ) 9

7 o 4

1.5.I

3

l2 4 3

J 4

5 5

EsrytMAcJA pARAMETRow KoRELAcJT I REGRESJT LrNrowEJ 181

T:rbela 5.6

trt! -rl r t

ll J 9 25 l5 J-) 55 l2l 2..łt} 5.76

z 6 z l .l 9 ó tf l8 36 t26 1.59

3 t3 J 9 19 zl 39 91 r69 085 0.71

4 3 4 ) lo .ł I2 6 9 {),59 0.15

5 16.5 ) 9 25 8t lłf 82.5 l.ł8.5 272.25 0. r8 0.0i

6 'l 6 1 -36 t6 4,1 11 28 49 -0.76 0.5 8

'7 /.f 1 3 49 I 1 r 7.5 7.5 6.f5 -3.80 | .ł.46

8 1Z 1 J l6 9 t2 ,18 36 l4.ł ó.6] 1+.02

s l I rł |ó ..1 3 12 9 -3.20 t0.15

l0 5 I fJ 5 5 25 25 -2.97 8.85

SUNlA 19 3ó 4) l6ó L+ -) l6l f91 4f7 8'ł0.5 0.00 ti6.ó2

Zrtidlo: obI iczetria rr,łasne

W rv; niku obliczcn otrzvnlu jcrn.v:

['o 36 45 Ix'x=l;o \66 r6rl

L 4i i61 lJl I

Wr,zllacznik tcj lnacicrzr rrl'I-li.,si ]J7 j]. zat!-lll lllallll' dil czr'nictlilt z nlacierząn ieosoblirr ą.

Dla tak skotlstruorratlcj ltlacicrzr [3r3] Irrlcicrz trzLtpclIlicti będzie postaci:

Itą+lu -l:Uj _l()7-l'

o=l-rso; roi ro1l[- t6z.ł 1 0 361

]

Zatenr rnacie rz odu lcrtna jest postaci:

I o.rs * o.r - o,l 1lI .,. \.r I I(x'x/ =I-o.r o.o3 o.oor |.

[- o.r r o.oo r o.rs ]

Kolejny etap to wyznaczenic iloczvnu:

IrolXTY = Iz,lą|,ll

L42t )MoŻern.rl przcjść do oszacorr'atria paramctrólv rl'cktora a, któr.e po rvy'kollallirr od.

powiedn ich obl iczcń \\}-l1oszą:

182 E srYl'lłcln PARA.METRoW zB IoRoWoŚcl G EN ERALN E J

[-r.z ]

a:| 0.3 12 1 .

1t,713 )Wyznaczrny jeszcze odchy'lenic resztorve nrode lLr:

S"2: 12.374

S": 3,5 1 77odchylenia dla poszczególnvch paraInetró'v nlodclu \!ynoszą odporviednio:

S(an)= 3,4799

S(ay):0,5833

S(a:)= 0,5529Na konicc oszacuiruv R::

R2= 0,5997

W uyniku obliczeń otrzynlaliśInv lnodcl postaci:

i, = *1,2 +0,3 l2.r-,, +1.773x1,

(:''łs) (o.;s) (o.l:)Z oszacolr'allego rórl'tlallia rcr:rcs.ji rvrllika. zc.jcśli Iiczba zatruclrlionych R,Zrasta

o jedną osobę. to dzierlIla \\aftosc spt.zcclazr rrzrośIlic o 3l2 zl.. przv niezrnicnioncjliczbie prolrlocji li lnicsii1ctt. Natotniast.jcŚli Iiczba clnisji reklanl telclvizyjnyclr rv mie-siącu rr'zrośnie o jedllostkę. tJ. o.jcc1Ilą clnisję. to clzielua lr'artośc sprzedaży rvzrośnię cl| '773 ty,s. zł'

Modcljest akceptor,l.allly pod rr'zględcIll |ncr}'torvczll1'nl. gdy'Ź z logicznego ptrnk-ttt r,i,idzenia zrr,iększellie zatrudnienia iemisji reklam telcrviz1,jnych (do pelvltego lno-nrentu ) porvod trj e rvzrost rvartośc i sprze daŻ5l .

Wyznaczona rvar1ość lvspólczvnnika dcternrinacji illformujc, Że n.rlial'ty rr.dzien-nej rvartości sprzcdaą, są lv 607o rqjaśnione znrianarni rv liczbic zatruclnionych orazzInianaIni rv liczbie ellitorr'aIl\'ch nricsięcznie reklaln telervizy'jnvc|i. Inltvlni słotr1'"l0%znlialt llic zostalo u,yjaŚniollych za po|llocąoszacou'ancj firnkc.ji rcgrcsji. Może to rv-r'ni-kać z:

- przyCzyl1 losor,vych. tzll. znlianv rvat1ości sprzcdaż'v są przl'padkorr'c.- czynnikórr' niclosoliycIl, które llie zostaI-v urvzględniollc rr'przedstarvionyln

rórvIraniu (np. zrniana liczby klientórv dokonujących zaktlpólv, dochocly klien-tórv itp.). ł

Przyklad 5.17PrzYjlnijrn1', Źc przcdstarl'ione rv przr'kładzie 5.l3 badallic rvnku dotl'czylo pop;--

tu Ila satl-tochody pcrrilej lnarki. a oSZaco\\'alle rórvlrallie rcgresjijcst postacl:

i, =9237,77 +1153,65x,t _ 2760.7fx,, , R2 = 0,g9,

ISTYMACJA PARAMETROW KORELACJI I REGRESJI LINIOWEJ

gozle:

j// . zaobser$'o\\,ana rviclkość popytu na sanlochodv badanc.j marki lv zł.,

.x,. - śrcdnic dochody nab1'u'córv sanlochodów rv t1's. zł.,

X,1 - CCIId sanrclchodu rv tys. zł.

Z oszacorvanego rtilr,nania rcgrcsji ri,vnika. żc jeśli dochod1,' nabyr'vcólr' tvzrosltąojednostkę, czyli o t1'siąc zlotyclt rniesięcznie, to popyt na sanrochodv rvzrośnico l45].65 zł.' natonriastjeśIi cena samochodóu'rvzrośllie ojednostkę, tj. tysiąc zł.. topop}t na rrie spadnic o 2160.72 zł, Wynlaczona u,attośó rvspółczynnika deternrinacjiirrforlnuje, ie nnian.r,u'uicIkości pop1'tu tra sanrochody analizorvanej nlarki są rr'89%rqljaśnione zmiallanli rr doc|lodacli liabyrr'córv ot.az zl-nianattri ccn. Innynri słort;v ll0%zmian nie zostało rrljaslliollr'ch Za po|llocą oszacolr'atlcj funkc.ii rcgrcsji. Moze to r'vy'Ili-

kać z:

- pt.zycz'\'11 |osoirrch. tzll. zltlialtr' pop)tu są prz1'padkorvc,

- czynnikólr. tlielostlrlrcil. kttlr.c nit. zosta11' trlr'z.tlędnione rr'przedstarvionynrrólt'natliu (Ilp. działalIlosć kollkLtt.ctlc.ji propoIltriącc.| sanroc|rod1'podobnej kla.sy. e|ekt pt.orr'adzr..llia 1lrzcz tirIłlc- L]zilIllllości rcklanlou,cj. szy'bkcl rosIlącc cc.ny palin' itp.).

* nieprarvidłorr.cj postaci ftlIlkcji rcgrcsji. borr iclll allaliztrjit.c zalciność międz'"-uylnienionr'lni znliennr'tni załoz1'Iiśrlll . Żc Il.t..t tlllA ullaI.akte.r lillioiir''. c

W przypadku gdy marn)/ do czynienia z ntodelauri legres-ii rvielorakiejzamiast R2 uyznacza Się tzw. skorygorvany,u,spółczyrlnik R] rrcclług \\'Zoru:

183

( s.5e)

Ma on tę istotną rvłasność. że jest niezależn1,od liczby zmientlyclr w modeltloraz liczby obserrr.acji. Jest r,vykorz}'St}'$'any do sprarvdzenia. czy należy doda-waó (tlsuwać) znlienne Z nlodeltl. JeŻeli po dodaniu (trsunięciLl) znlielltle.j rvar-tość skorygowat1ego rvspółczynnika R. rośllie (nlaIeje), to ozrlacza, ze rta|eŻydodać (usuIląc) tę Zlltie|]t'lą.

Przyklad 5.18

Dla przykładu 3.44 u'r,,znaczmy prostą regresji przy'jmując, że znlienną za|eŻnąjest nliesięcznic nydatkou'alla krr'ota rv zł (t,). a ztnieIlne nięzalężne to rviek klienta rvlatach ('t7), liczba osób rv r.odzinie (x) oraz liczba znany'ch prz'cz niego lnarck (.r3J'

Rozrviązanie:

Wykorzystuj ąc ftrnkcj ę Excela Regl inp otl.zr,ln trj clny:

R: =r-(l-R') ";1.- ..''l,-(ł*l)

184 EsryuRcLR PAMNIETRÓW ZBloRowoŚcl GENERALNEJ

Tabela 5.6

0,17 4.t6 1.',79 )5a 11

4,66 n {5 8.8 r

0.52 13.50

5,'70 16.00

3113,89 29 r 5.',79

Zatenr otrzynrallc oszaco\Vania pararnetrór'v lnodcłu nlożcnry zapisać w postaci:

i _252,] l -l,79't, +4,I6x, +0'l7-v. R2 = 52oń

(s,sr) (o,ss) (,r,oo) (o,z:) s" = r3,s

Wspólczylnik lr. =l-(1*0,52.) 'o;' . =0.4258 =42'57o/a.20-(3+l)Moielny' strvicrdzić, Że nlicsięcznc \\)/datki kl ierlta:. nlaleją przcciętnic o 1,,79 zł przy nieznricIlionej liczbic osób lv jcgo rodzi.

lrię oraz liczbie rozpoznan;'ch przcz niego niarck jeżeli rviek klierlta wzl.astao rok:

. wzrastają o 4'16 zI przl'niezllliclliotir'tn rricku kIienta i liczbie rozpoz|7a-llr'ch przcz nicgo lnarck. edr liczba osób rr,rodzinie klienta wzrasta o ie.dc n:

. \\'Zfastają o i7 groszl' przr' nicznlienioll1,ni rvieku klienta i Iiczbie osóbrv jego l'odzirtic. gd,t liczba znanvch przez niego rnarck rvzrasta o jcdcn.

ZIlrialr1, rnicsięczn1'ch rr1'clatkóli, rv skIcpiku osicdIorvynr sąu, 42,57Yo rr1,jaślrianeprzcz ztniaIry.r,v r,vicktt klicntórv. staltic osobow"rnl ich r.odzin oraz liczbie rozpoznan\,chprzez lrich nlalck.

SzacLrjąc na podstarvie tcgo nlodelu, wydatki klicrrtórv rv sklepiku osiedlorvymnrylinry się przeciętnie o l3,5 zł. &

6. WeRvpIKAcJA HIPoTEZ STATYSTYczNYcHWeryfikacja hipotez .iest drrrginl zasadtlicą,'nl dzialeln lvnioskor,r.allia

StatystycZnego i stallow'i próbę oceny prZ),pttszczeli dotyczących popLlIacjigen eralnej, sfornrułolvanych na podstalvie rvvn i kórv badali częśc i olrych.

6.1. PodstawowepojęciaWeryfikrcja hipotcz statystvcznychsr ura l1A celu sprarvdzenie

sfort-lrttłorvany'ch hipotez StatyStyczllych, cą'li pocljęcie określonyclr dec5,zjistatystyczllych.

Hipotcza statvstYczna to Sąd (pr.zr,puszczellie) odllosząc1' Się donieznanego poziomu paranretrow lub do nieznanej postaci rozk.ladu zmiennychlosorvv,ch rv zbiororvości gener.alnej. Hipotezy dzielinly tla drvie grllpy:

- hipotczY 1rararrlctr}'czne' tzn. sądy dot1,czące paI.anletrórv rozkladtl cechyw populacj i generahlej,

_ |ripotezy niepar:rmetryczne, tzt.t. Sąd)' dotyczące ksztaltr'r rozkładtrpopulacji generalnej lub |osor,vości proby.Niekiedy hipotezy paranletlycztle i llieparanletryczne trroŹenr1.fonlrulor,vaó

zanlietttlie rv zależtiości od ceItr altaliz'r' statyst\'czne.i. Celenr rr'ervfikacj i hipotezpafanletryczny,clt jest SpI.eC} z.ori'atlit- lr artości paral]]et|tl r.ozklaclu populacj i

gerrcralnej Z|lanego Ęptl. ltltotlliast celetlr rr'cn'fikac.j i hipotezynieparaIlrettvcznej jest spt.ec1'zorr lrtlic- t-vptr rozkładtr ccchl \\' określorlejpopulacji generalnej.

Procedura rver1'fikacji hipotez stflt}'St}'cZl1\.cIl opiera się zarvsze na clrvóchlripotezach: zerorr,ej i altertla1lrrne.1 . IIipotcZil zcro\\'il (FI.) jest podstarr.orr.ąhipotezą statyst1''czIlt1. która .;est przedllliotellt rvery'fikacj i' tzn. proceSrveryfikacji nloze doprolradzić do.jcj odrzLrcenia bądz do strvierdzenia. że nietlla podstarr,' by ją oclrzucić' Zakłada się rv lliej, ze rozklad posiada pewnąrvłasność (ltp. rvartośc paratlletru jest rórvna określonej liczbie. rozk,ład lllaokreślony ksztirlt, dlva rozk'lad1, nlają identycztte parall]ctry itp.) Hipoteza ta jestfortlrtlIorvalla rv taki sposób (czaselll rr'brelv rozsądkorvi), aby nloztla ją b;'lo-łatrvo odrzucić. Hipoteza alternatYlyna (H') to hipoteza konkttI.ettc1,jna

rv stosttnktt do hipotez1' zerolvej. Jest oIla forllrLtłorvaIra jako prz}'ptlszczenie' zerozk]ad nie posiada lvłasności określollej rr, hipotezie zerorvej (posiada jąlv innynr r'variancie). Jeśliodrzuca się lripotezę Zerową to prz1,jnrLrje się hipotezęaltelttaq,rvn ą' Trzeba p rz1' Ę'nr rozróztl ic nas tę p rr.1 ące S\'tu acje :

slPoclstarrr,teot.ii rr,err'fikacii stojące.i tla grttlrcie irrter.pletac.ji pr.arvr!opodobielistrva podal rv Iatachtrzl'dziesty'ch polski uczony J. Ney lnan.

186 WERYFTKACJA HrporEZ srATysryczNycH

- jeŻe|i hipoteza Zerowa jest paraIlret|yczna, to hipotezę alternaĘ'wl,lą nrozl]asformulolvać drvustroIlnie (tzrr.,jest rózne''), prau'ostt.onnie (tzn'.jestrviększe od'') lrrb lelvostronnie (tzn'.jest rllniejsze od''). przy czy-nr sposóbfortrrttłowatria hipotezy za|ezy nie t1lko od celLt badania, alę rówllież odrodzaju infornacji Statyst'vcznych uzyskattych z próby losorr'ej,

- jeżeli hipoteza Zerowa jest nicparanletryczna, to hipoteza a|tertlatyrvlta jestfortrlułorvalra r'vyłącznie rv postaci ,jest rózne'' i zrlika problerrr oclnriennegopodejścia do r,veryfikacji hipotezy zerorvej.Hipotezy Statystyczne r,ver1'fikuje się za pomocą testórv statvstycznvch,

pt.zy czym rv zalezności od r.odzaju hipotez.v rozróilliatle są tes|.v-

1rarametryczne (s|użą do lverytikacj i h ipotez pararnetrycznych)inieparamctryczne (nr.in. tesfy zgodności, losolvości - słuzą do rver1'fikacjih i potez n iepararlretrycznych).

Przy rveryfikacji hipotez statysrycznych rvazny jest tzr'v. pozionr istotnościa. oraz tzrv. obszary odrzuceuia hipotez zerou'vch (oznaczane przez ll). Oba tepojęcia rviążą się ztcorią b'łędórv popełlliall1'clr przy podejnrolvaniu decyzjilv procesach rveryfikacji Ilipotez Stan'S$.Cz|-l\'ch. W1,nika to stąd' ze llapodstarr'ie proby nigd1'Ilie llla całkclrritej intbrmacji ozbiorowości, zktórejzos1ała ona pobratra. Tak liięc uerrf-iktrjąc Ili1lotezę Zerową mozenly pod.iąćdecyzję popra\\,llą ltrb popcłIlić bląd. Rtlz'rożltiaIny dlva rodzaje blędórv, którelvystępuj ą z okreś l otll.llr prair d o 1lotl ob i e ti strr'eIll :

- blątl I rodzaju. ptllega.iącv tla odrzttcettitr lripotezy zerorv'ej rvtedy' gdy jestolla rv rzeczvrr,istości prarr'dzirva. jego pralvdopodobieristli,o będzienryoznaczac ptzez a (rv stat5lst1,cznej kolltroli jakości .iest ollo określane jakoryzy'ko producenta),

- błątl II rodzaju, poIega na przyjęcirr hipotezy zerorvej r'''tedy gdy' jest onarv rze.cz},lr,istości falsz1'rva, czr'li jeŚli jest prarvdzil'u.il hipoteza alternatylvlra,jego prar,vdopodobielistrt'o będzierlly oznaczac ptzez p (rv statystycznejkorltroIijakości 'jest ono określarte jako ryz-v-ko odbiorcy).

Tabcla 6.1

Zródlo: opracorvanie li.lasne rvedlug Kr1 sickiego [ 1 986l. s. 79

Prarvdopodobiętistrvo pope]lnienia błędu l rodzaju (a7 trstalone jest z gór1,

"iako dowolnie niskie prau'clopodobieristwo odrzucenia prarvdzirvej hipotezy

Błędy popelniane prZ)'' lr,er1,{ikac.ii lripotez stat),stycZ|1}'ch

Decvzia I Iipotcza H6 prart dzil a l{ipotcza Hn tałszl lv'a

Prz1jąć rveryfikorvanąhipotezę lJr,

dccyz-ja popra\\ila dccyzja blędna. błąd IIrodzaiu

Odrzuch

c wcry'likor'l,anąpotczę H6

decyzja błędlla - blądI rodzaiu

dccyz.ja popralvr.la

Poosrąwowr PoJĘc|A

zerorvej i nazu,ane jest poziomem istotności. W naukach ekononricznychprarvdopodobieristwo blędu I rodzaju przyjnruje się zazwyczaj zprzedziału<0,00l;0.l>. przy czytn llajczęściej a=0.05.

War1ość p jest to nlitlinraltra rvaI1ośc a poziollltt istotlrości. dIa któregorrroze być odrzucotla hipoteza I.I0 Ila podstarvie lvvrlikórt'próby. Zatetlr H6

odrzucanry, gdy p<a82.Tcst statyst1'czny'. to reguła postęporr,arlia,

z próby tlla doprorvadzic do odrzuceltia - lubstat-YSt) czneJ.

Najczęściej uz1,rvanynli w prakt-vce są tzu'. testy istotności, które

umożlirviają odrzucenie hipotezy z r1.zykienl rórvnynr poziottrorvi istotności a,bez ulvzględniania prarvdopodobielistrva popelnierria błędu drugiego r.odza.irr.

Stosując testy istotności podejmuje się decyzję odrlośnie do odrzucerlia hipotezyzerorvej na rzecz hipotezy alternatyrr.tlej. albo deci,,,zję o braktt podstarv doodrzucenia hipotezy'zerorvej. co llie jest rólvnozl]aczne z 1ej przy,jęcienr.W związku Z tynl w przypadku testórv istotrlości hipotezę Zero\\'ą staratlly' sięsfbrnrułorvać lv taki sposób, aby n-rozna.ją b1'ło stosulrkorvo łatrvo odrzucić.

obustronn1' (drvttstronIly) obszar odrzuccniao. Iripotczy, który jestbudorr'atl5'. gdy Hl jest starviatra dr'vttstrotlllie, to zbiór rvszystkich lvartości

zmiellnej losolvej rl takich, ż'e |u|>ll.. ' gdzie zio - ll,aI1ość krr't1,czlta odczyI,anaz

tablic dla tlstalotlcgo z gón 1loziotlttl isrotrlości u takl. z.. |(',| >,,,,)= o .

Jednostronn--v obszar odrzuccnirr hipotezr' lest budoriany, gdy Hr -ieststawiana .jednostrollttie; to zbitir ri szr stkich riartości znlienncj losou'ej ll taka'ie u) ut (prarvostronnv obszar oclrztrcenia) lub ł < rr' (lervostlonlry' obszar

odrzucellia), gdzie Ił|.l|) - rvartości krr'tt czIle dla z góry zadanego poziotlltt

istotności cr takie, Ż'e P(ttż lr. )= cl d|a prawostrorlllego lub P(łt < lt, )= a dla

lelvostronnego obszaru odrzucen ia .

Sprarvdzian testu (statystyka testtr) to znrięttna losorva o określonynrrozkladzie z prób1.' Wartość krvĘ'czna tcstu to rr,.artośó znrienllej losorvejo okreś|on},nl rozkładzie. która przy danynr a Stal]owi koltiec pr.zedzia1u

odrzucenia.

'. Programy stat)'st\,czne rv1''znacza.jąp z inrrynli rwnikanli testu stat},stycznego.33 PorórvIta.j J.E. Freund It97ll s. 24 l.215.sa Por. Iincy'klopedia szkolna - lvlatenratyka. W-rva 1988, s. 309.

187

która na podstawie rvynikównie - posluu ioncj lripotezy

188 WeRyrtx,ąc.lł HIPoTEz STATYSTYcZNYcH

Mocą testu8-. nazvwalll)/ prarvdopodobieristr'vo podjęcia słusznej c|ecyzji,polegającej na odrzucetliu rveryfikolvanej hipotezy lvtedy, gdy jest oIta fałszywa.Wynlacza się jąjako

M:r-p ( 6.1)

gdzie p - prarvdopodobietistlvo pope,lniellia b'łędLr II rodzaju'

Przyklad 6.1

ZmienlraXrna rozklad N(p,2),prz'v czy|11 rviadonro. ie 1l noŻe nrieó tylko.iedrląz drvóclr rvartości: 8 lub ll. Zrvcryfikrrj hipotezę H6, ie lvartoŚc przeciętna jest rórvna 8rvobcc hipotezy H1, Żc rvartość przcciętna rórvna się l l. Przy,jmujenly taką regulępostęporvania, ie hipotezę H6 odrzucalny, gd1' f - obliczolrc na podstarvic próbyczteroe lclrrelltorvej będzie lviększe od 10. oblicz prarvdopodobicIistrvo pope łnieniablędtr I i ll rodzaju oraz podaj interprctację graficzną.

Rozrviazanie

Starviamy' hipotezy:H6: 4:8:H1:61l.obIiczaln1'pralvdopodobictistrlo popcłIlicriia blędu i rodzaju. Skoro znricnna

losorr'a X - Ą (8:2). to ŚI.cdllia af\t|nct\'czlla policzona na podstarvie

cztcroelelnentowcj prób1' ltla rozkład tlortllalny 'T - N[8'+ l= 1/(8;1). Zatem\ V'tlprarvdopodobieństwo popełrlienia blędu I rodzaju u1,nosi

a = p(r>r0)=.[:.!,'0, o]=.f t, 8 rz)=r -r[U<2)=tr r ) \1 / \1 )

= 1 - O(2) = | - 0,97'7 = 0,023

obliczlny prarvdopodobieństrr,o popelnienia blędu II rodzaju. PolricrvaŻ .r - l'l(l l:2). to

średnia af)'tlnetycZna policzona na podstarvie czteroelętncntorve.i próby lna rozkład( t \

tlornralny' .- 1i| ll,ź l = ł(t l;1). zatcm( {1 )

p = P(iś l0)=,i,+='o l''.]=.['J'' =-l..l=o(- r)= l_o(l)=\1 r ) \r )=l-0.84l=0.ł59

o' Por. Dolrrański C. Il990l. s. 2l. Prz-y'k|ady obliczanil nlocy testu Inoina zna|eŹć w pracvKrysickiego W. [1986], s. 82.

Poosrnwowe PoJĘc|A

Prarvdopodobietistrvo popelnicllia błędLr pierw'szcgo rodzaju rvvnosi 0.023. a blędudrugiego rodzaju 0. l 59. ]VIoc tcsttt u'er1,fif,ująccgo rr1'llosi l -p:0'81 l. Iltrstracjęgraficzną a i p przedstarvia rysunck 6. l

\ T,,i/l 1 t\

|e 13 '|ł

lł.1s' ó. I Relacje międ:.t, pralt,clopodobieństvonti u i p

Poządane jest' bv prar'vdopodobieristrva błędórv obLl rodzajóW Llcz}'nićmożliwie rrrale. Nic llloina jednak zrllrlic.iszyć .jednocześnie obydrvtr r.odzajórvblędórv przy ustalollej liczebrlości prclb1'' Z t.r'sltttktt 6.l rr,r.raztlie lvidac, że

zlviększerrie a porr'odLrje zlllllie.jszctlie /. a zrllllicjszellie r,r zrr'iększellie p'

W procesie rr,crr'fikac.j i hipotez stat\ St\ cZll} ch llroztla ii'yróżnić kilkaetapórr,:l) s|ornrułorvarlie hipotez1'zerorr,ej (H.1)oraz ltipotez.v aIter.natyrvnej (H'),2) u1'bór testu statl,st\,czIlego służa.cego do rr'eI1'fikacji hipotezy zerorvej'3) wyzllaczelrie rraI1ości spralvdzialltl teSttl,

4) ustalenie poziolllu istotllości (a) oraz rtyznaczcltie obszarlt odrztlceniahipotezy zcronr-j.

5 ) podjęcie decyz.i i z określollylrt pratr'dopodobietistlverrr błędLr.

6.2. Testy nleparametryczneTesty niepafan]etrycztle nlają nlniejsZą nloc od testórv paranretry,cznyclr,

jednak icll zaletąjeSt prostota budow1''Testy lrieparanrettvczIle dotyczą kszta|tu rozkładu popLr|acji generalnej.

Wyr.óznia się ich poclstarvorve trzy grt|py:l. testy losorvości, t.i. testy lveryfikujące hipotezę, ze próba nla charakter

losorvy, z któr}'clr ontótvilny test ntedianorvy,

189

l:l,,1

ar a'

8,2

rl,1

190 WERvnxRc.l,c H I porEz srATysryczNyc H

2. testy zgodności, po|egajape na spralvdzettiu' czy próba pochodzi z popLrlacjio rozkładzie zgodIlynl z załoŻollyt^ll rozk-ladenl teoretyczllynl lrrb czy drviepróby pochodząz popLr|acji o tynl Salllyn] rozk|adzie nl.itl' naleządo nich test

zgodności chi-krr,ac|rat (f l' test serii. zllakór,v i nrediany.

3. testy niezależności i jednorodności, rver1fiktliące hipotezy o nieza|eżnościlrrb jednorodności badanych prób, z któlych najbardziej popularny.jest test

rlieza|eŻllości 72 ,

6.2.1. Testy weryfikujące hipotezę o losowości próbyjak już zostal'o porviedziane. w przypadkrr badari częściolr,ych podstarvową

krvestią jest Iosor'vość repr.ezelltatywIlej próby stafysfyczrlej. Istnieje lvieletestólv trnlożlirviających weri'fikację hipotezy, ze kollkretna próba jest losorva.Naleządo nich np. testy serii. rvśród nich test nredianorvy' którv onlórł''inly.

Test medianowy dla losowości próbyNiech będzie dana plóba zali ieI.ająca ll obserrvacji o rvaftościach

X, ,.T1 ,.'.,I,, pobrana u' peu ie tl okreśIclnr sposób z populac.j i o dorvolIiynlrozkładzie . Chccnr1. zlr.et.r f.ikoii ac ltipotezę Zero\\'ą:

Hr: pLciba nre charakter loso*y,rvobcc llipotczr altcnratvu ne-j

H': próba ttie llla charakteru losorvego'

Test rllediattorv1,polega na ZastoSo\\artitl tlastęptrjącego postęporvatlia:_ wyn)aczeniu nlediatly z próby'_ przyporządko'uvaniu kazdeIntt eletrrelrto''vi próby xi, rvedlr.rg kolejności

pobierania eleIlteIttórv do badania. syrllbolu a - jeś|i x,<Me^ bądŹ syrrrboltr b.

jeś|i x,>Me; rvy'niki x,=Me lllozna porllinąc; z ciągu synboli a i b

\\yznaczalny ogólną liczbę serii8r' t.- .vqyłtaczeniu obszaru odrzucenia:

Rozklad stary,styki k prz7, zalożenilr prarvdzirvości hipotez1, H6 iest znany'

istablicorvany. Na podstawie rozkładu liczby serii budrrje się drvtlstronnyobszar odrzucenia rv ten sposób, że d.Ia przyjętego poziollttt istotności d oraz|1L i n2 (|iczebności sytttboIi a i b)o' odcz1'trrje się lv tablicaclr rozkladu.uvarttllkorvego liczby selii takie drr,'ie r,vaftości klyt'vczrle t' i k2 , aby

zachodzilv relacie;

ru Przezscrię roz-unlielrll'ciąg obset.lrac.ji o t1'nr sanlt'nr synlboIu'"' Ponielvai rozklad serii.iest rozkładeItl synletr},czn)'n], ri'ięc nie Illl zllaczellia, czv ll7 jest Iiczbą

svnrboli a czy b.

TEstY NlrpnRłfu1ETRYczNE 191

p{r =

o,\ =+.o. *(. I It P1k<ł.i=,-zo (6 f)

20830bab

Flipotezę H0 odrzttcatlly l]a rz'ęcz hipotezy alternatyrvnej LI', jeżeli

t e (0;t' )u (ł.;-). lv przecirvn1,nr prą,padkLr tzn. gdy tc e(tr,;ł. ), nie Ina

podstaw do odrzucenia hipotezy zerorvej H,,. Zateur dla testll nreclianor,vego

obszaretrr oclrztrcenia jest zbiór y,v = (O:k,) u (ł. ;-) .

Przyklad 6.2

Przcprorvadzając badanie pracorr'nikórv pc\\l)ego zakładu plodukc1jncgo z ptlnktuu,idzenia stażu pracy, otrz\/n]a|to rlastępujące rr'artości tej cechy, (rv latach) dla koIcjIlolvy-braIly'c|r pracowrrikórv:5'.7'4,9, ll, l' lti' l8' 3. l0.6' 22, \3,23,3'2,2,9, ||'4,20' 8' 30. Sprarvdzić' cZY otrzyma|la pr.óba jcst próbą losorr.ą na pozionlic istotności0.05.

Rozrviazan ie

Starvianr1, hipotczę :

H(): poblana próba lna char.aktcr- losorlr'.rvobcc hipolczv altcrnetr rrncj:

Hl: pobrana próba nic jcst próbą losori'ą.

Zadany pozionr istotności to C[=0.05.

WyzIlaczanly nrcdiallę z 1lrób1 : rr tr'lll ccltt ptlrzqdkLrjcrny'ciig lliclllalcjąco, cz1'.li

1,2,2,3, 3, 4, 4, 5, 6,7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 13, 18 18,20,22,23, 30.

Liczcbllość próby ll:23. a rrięc

a mcdiana: Me = xc = 9 .

War.tość cecily x1:9 ponrijalny, zateln |nam)' próbę n=2 l-clementorvą. KaŻdej

rvartości próby -Ii rrcdlug kolcjnoŚci pobicrania clctrrclttórv do badania

przyporządkorvujemy s1,mbol a - jcśli x,<Me^ bądŹ s'".lnbol b' jcśli x,>l|:[e. otrzymtrjemy

następtUąc)" cląg:

5',l 4 il 1 l8 l8 3 10 6 22 13 23 3 2 2 n 4

a a a b a b b a b a b b b a a a b a

Liczcbność sy'nlboli a rvynosi ł1=l l' natollliast sllllboli b - ł2=16.Z ciągu synlboli a i b rr.yznaczallr1'ogó|llą liczbę scrii ł:

aaa b a bb a b a bbb aaa b a b a bl 2 j .l 5 ó 7 E 9 ]0 l| 12 13 l.1

Zatem liczba scrii u'vnosi k=14, Z tablic rozklaclu rvamnkor.vcgo liczby scriiodcz1'ttrje nly takie drvic rvartości kr1'tyczne k| i kf ' aby'' zachodzily rcIacje (6.2).

)7lttttrlernledialtyrl'r'llosi N',, =a= l1,5 ł l2,

f

192 WrRyrlrłcLł HtPoTEZ STATYSTYCZNYCH

odczytanc rr'artości ztablic \!}|'loSZą odporvicdrlio k;6' akz=Is. Wl'znaczoIla

p|zez nas liczba serii rórvrla się k =|1ę11'=(o16) u(to;.o) . arr.ięc llie llla podstarv do

odrztrccnia hipotez1' Hg o losorvości próbr'. c

6.2.2. Test zgodności rozkładu iJedllynl Z podstawo\\'ych zagadnieli jest rveryfikacja hipotezy o zgodności

rozk,ladu enlpirycznego Z pe\\rny|lt rozkładem teoreĘczllytn. SltIży telrlu tlr.itl,

test zgodrlości f .

Niech popLrlacja generallla tlla dorvolIl'n, rozkład o określoIl1,rtt kszta,lciepostaci ftrnkc5jrlej dystr1.buallt-r' (nlclże to b1'c zarórl'Ilo rozklad ciągĘ jakiskokolry).Danajestdużapróbaorr,artościach r' ,x.-..'.'r71 ,którąwylosorvanorv sposób niezalezny z popLrlacji gelleralllej (próba nrusi byc na tyle duza, abynrożna było skonstruou,ać z nicj szet.eg rozdz.ielczy dla badanej ceclry)' Napodstarvie eletrrctrtórr' te' j prób1 zuerr'fikLr;elltr hipotezę Zel.ową:

It., : tr(-r)-Ą,('r). czi li ze rozkłacl elllpiry.czlly badanej populacji F(r)pokrr rr a się z pcii tl1 lll t.tlzkładcIll teofetyczl.l'\'llr F6(.r),

rvobec hillotczr altcrnrt; rr nej

I-{' : tr('r)=tru(.r.). czyli Że lozklad etttpir1'cztlt' badanej popLrIacji F(r)jest róiny od rozkladu teoretycznego Ą,(t)'

gdzie:F(x)-d1'strybuatlta rozkładrr etllpiry'czrlego badarlej cechy,F6('t)-okreś l o11 a poStac teoretycztl a dy stry'buan ty'

Celem spran'clzenia hipotezy zefowej F{n nalezy:

- podzielic rvyniki próby na l. rozlączIlvclr klas o liczebIlościach łli(i:l'2,3,...l.) w'każdej klasie. przy cz)1nl tl|+t,t1 ł.,.*łl ,. = 17,

- obliczyc prarvdopodobietistrr'o /l tego. ie zllrienlra |osorva o dystr5,$uąngię

Ą('t.) przyjnlie rvaftości naIezące clo i -tej klasy (i :l,2....l), gdzie:p1 + l).+...+ p,. = I,

- obliczyć staĘstykęr rl

,t -;\tt' - tt?')

.^A,p,gdzie:

II, - |iczebnośc r-tej klasy,

( 6.3)

I ESry NIEPARAMETRYCZNE

ttp, - |iczebność tcoretycnla i-tej klasy, tzn. liczebnośc i-tej k|asy przyzałozeniu prarr,dzirvości hipotezy H0.

Jeżeli rver1fil<o'uvana hipotcza jest pr.alvdzirva, to statystyka y2 rl,la przt,

ł_>"o rozklad r. o (l.s-l) stopniaclt slvobod1', gclzie s jest liczbą szacorvall1,clrparatrletrólv rozkł'ad u z pr.ób1..

Ze lvzględLr lla asy|llptotl'czlly' rozklad zIlliellIlej losorve.j Iliożtra korzvstaćztego rozk'łacltr. jeśli średnia rt'artość ll, nie jest tllnie.jsza od l 0 i liczba klas l. niejest nrnie.jsza od 5. obszar odt.zucenia tt'tvIl] teście budLrje się prarr,ostrollllie.Przy zadanynr pozionlie istotIlości odczvtr1elny ztabIic rozkłaclLl f rvartość

kr1tyczną 7) an (r-.s-l) stoprti srvoboc|y. porórvrlaj r1's. 6.2.

R1,s.6.2 ohs:ar odr:ttc,ettitt ly teście:piodtlośt,i 7 dltt po:iotlttl isIottlOSCt CI

Zaterrt obszar oclrzttcetlia llla 1lostać fi. = (z.,:z). Tlt-.,licc. rozkladLr f są

tak skorlstrtlowa|]e. ic poda.1ą r|z , z,.,) = o dla okreś|orlej liczby Stopni

sr,vobod1,' rvięc 7"r.,.jest rrartością bczpośrecltlio oclczy,tatląz tablic

Jeie|i 72 e ilz, to hi1;otc.zę H6 oclrzttcanl}'lla rzecz ltipotezy alternatyrvne.i.

rv przecirvllynr przl,padktt. tzll. gdy tr2 ęltl , nie nla podstarv do odl.zttcenia

hipotezy l-ls.

Przyklad 6.3

Struktura pracow'ltikórv przcdsiębiorstrva X rvedlug rviektr.jcst rrastępująca:Tabcla 6.2

\\/iek pr.acorr n ikórr, [,ldzial procerrtorr,v (9,ó)

l8 - 20 )20- 30 t030-10 l540- 50 20

50-ó0 20ó0-65 30

Zrotllo: Dane unlo\\'rle

193

194 WERyFTKACJA H tporEz srATysryczNycH

Do badań rr'ylosolvalro próbę, dla którcj otrzr,lnano riastęptl.jąc;' rozklacl rvicktl:

Tubela 6.3Struktura pracorr'nikólv rv rr.1 |osorr ltne.j plćlbie

Wick nracorr'llikórt' [-iczcbrlość tt' \l,t.losotl'anci próbic18 - 20 l020-30 15

30-40 25

40- 50 6050- 60 5060-65 'ł0

Zródlo: Dane u|llo\\ |,lc

Sprarrdz, czy r.ozklad rwlosou'ancj prób1 LóŹni się istotnic ocl rozklaclu populacji1ltacorr'nikórv rvcd lu g w'icktr.

Rozrviazanie

Star.viarnl' hipotezy .

H6: I.ozklad rr'l'Iosou'anc.j pI.óbl nic rózlli się istotnic od rozkładu poptrlac.|ipracorvIlikórr' ll.cd ltrg \\ icktl.

Il 1: rozklad rr'l losorrallc.1 próbr rózlli się istotlric od rozklacJu popuIac.jipracorl'nik(lrr' rr cdłttg rl icktt'

W)'lliki otrz\ ll)allc z pr(tbr poclzicIoIlc Zostal)' lla r-6 rozlącznr,c|t kIaso liczebriościac|t ll.>l0. Liczcbllośc próbr ulrlosi tr20O, '|rr'ot.z1'tlll'tabclę roboczą:

Tabcla 6.,1Ponlocnicza tabela do obliczenia statvstl'ki 1:

Wiekpracorr'll ikólr,

% ll t pi nPi ntnpt 2( n i-nP i)

(,,, * ,p,)'np,

I f + 5 6 7 818 - 20 ) l0 0.05 l0 n 0 (t

20-30 l0 l5 0.1 20 5 25 I ?{30 - ,10 l5 25 0.r5 30 25 0.8140-50 20 60 0.2 40 20 400 l050-ó0 20 50 0.2 40 t0 r00 f.s60-65 30 :10 0.3 60 -20 400 o.o /

Razcrn 100 200 200 X 2t.23Zródlo: obI iczcllia rrJaslle

Picrrvsze drvic koItrnllly tabcli 6.4 zaivicrają dalle z tabcIi 6.2. a kolulntla 3 c]allcz prób1'. W kolurnllic 4 rr,\,znaczclllo prarrdopodobiellstir.o. z.iakirn pracorvnicy' ca'łcgoprzcdsiębiorstrl,a znajdą się u,i-tc.j grupic lvickorvcj. bolvicnr jcśli np. 59uó pracou.nikólr,firrnV bvlo rv rr'iektr I 8-20. to odpoir'icdnic pla*dopodobicristu'o u,yllosi p,-0.05.W koltrnlltic 5 rr1'zIlaczollo tzrv. liczcbności tcoretyczlrc llpl, lz|1..' iIu pracorvnikórv z 200

I ESTY NIEPARAMETRYCZNE

cle|ncl1to\\'cj prób1,' porr'inno zllalczć się ri' konkretncj grtrpie rr.ickorve.i. zakladającprarvdzirr.ość hipotczy zcrorr'cj' Zatcllt skclro prarr.dopodobicństrvcl zrlalczicIlia sięrv grtrpic lvickorvc.j 50-60 lat ri.y,nosi dIa calcgo zakladtl P,-0'2 i rozklad próbv llic różnisię cld rozk-ładrr popuIac.ii gencralllc.j. to rr'1lrćlbic porr'itllto znzl|cŹc się llp,:Z00*0,2:.10pracorr'll ikóiv.

w kolcjncj kolunlnie 6 rr'vznacza się rózIlicę jaka rr'1,stęptrjc międz1,liczcbrrościanri teorctr'cztlt'tni ll7,l, oI.az IiczcbnościaIlli ctll1lirr,cztll.nli ll,. Natolniastostatllie clrr,ic kolunrll1.tabcli 6.;l sltrŹą do lr,r,zllaczcllia wal.tości s1lrali,dziantt tcstu (ó.3)

x2 -- 2t.23 .

Z urr'agi na fakt. zc llic szacoll,aliślli1,żadllcgo z paralttctrćlrr'rozkladu. rvięc s=0,

z tablic rozkladtr f oclcz1'tt{elny ll,al.tość rJIa pclziolntr istot|lości a = 0.05 '' idla 6-0.

l:5 stopni srvobodv. która.jcst rórrllł 7; = | ].07.

Zatclll Z2 = 21.f3 e II, = (l l.07;".,; . cz1.li oclrzucatnr, hiporezę H6 l.lil rzecz

hipotezy' alternaty* llr--i H I.N{ożna zatclrl tlr'icrdzic zaklada.jąc 5.f, bląd I

próby istotnie różni się od lozkladtl pracorlrlikórvcalcgo przcdsiębior.strr a.

Przyklad 6..1

W perule.j fir.Inic przcprorr'adzolltl badaIlit. llrające occlrić rozkIad rr'ieIkościsprzcdaży lr'poszczclóllly'ch dlliach. \\'cia-l.ltl oStattlicqo roktl (300 dni sprzcdazr')uzr'skatto następuj ące u'l.rl ik i :

Tabc|a ó.5

0 - 100

100 - 150

I 50 200200 - 250250 - 300300 350

pott'yŻej 350

l5.10

ó51,1

o/J r./

9

\\'iclkość sprzcclaŻr. (t:s. zł.) Liczba dni

Zródlo: obI iczcllia rl'lasnc

Czv lnoŻna sądzić, zc rozkład jest norlllallly? Przy,1ąc pozionl istotności 0,0l .

s3 Jeś|i brak illlbrnlac.ii rv zadaniu o ri,ielkości bIędu o, lrlc'rlr, pr.z1,jnlorr,aó będziertl1 zarr'szetloziolll istotIlości 0.05.

195

rodzaju. żc rozklad rr1'|osolr'anc.irvcdlug l'icku ulzltaczoncgo dla

c

'196 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Rozrviazanie :

Ab1. porórrnać poii1'zszy rozkIad cIllpirr'czn1. z plób1, do 1leri.nego rozkladu

tlol.lrralIlcgo. nalczv oszacorr.ać.icgo paraInctr\,- lvartość oczckirvaną i odch'v-lcllic

standardoive. W ty'rn ccltt nalczr'najpicl.rv donlknąc ulllorl.nie ostatIli przcdzial, rl1l. do

400 trs. zl.War1ości poIlrocIriczc do obliczcnia paralne trórr, podanc są rv tabeli 6.6 i ponizc.|.

Tabc|ll 6.ó

I,,/ -'Y,g ,T/ łl xł1

0 - 100

r00 - 150

r50 - 200200 - 250f50 - 300300 - 350

350 400

50

t25t75ll)2153f5315

l54065.7Ą

61

309

750

5000r 1375

ló(l50l8"ł2597503i75

122t0A.913,+4102.5 0

I r 8791.563 889,63

2 r 9596.69345 076.fi8222548.06

Surna 30n 65i15 l ó76 l 06.25

Zlirrllir (ll.ltezcnlli \ l!:nc

Z obliczeri \\' tabcli lr nikn

\-t 1 ,,

11\ r'flC .f =- =ll/,1) OfAZ

ir 300

Nas(ępllic będzicnr1, prz)'pt|s7.czilc. z'c .jcśli populircja ll1a rozklad t)orn'}alll},' to jcgo

parallctr}' są zbliżonc do oszacoir'al]\'c|l \\artoSci z prób1 . Zatetn starviaIlr1, hipotcz1,:

IIs:.Y - N (f11,75.74,75).H1:nicplarvda. zc-\--' i\ (2 17,751 11.15).NalcŹ1' teraz oblicz1'ć prari.dopoclobicństrra p|z},t]alCŻności clo poszczcgólIl1.ch

klas zniieIlncj o rozkladzic N,(21].15 ^ 11'75) oraz tcorct},czlic liczcbności próby.

Wartości te. po rvystandal.r'zorr,aniu kraticórv przcdzialórv, odcz}'tanl)'lr'tablicyclvstr1,btrarlty rozkladrr norlllallrcgcl. I,o.|alr ia się jcszczc jcdlla lvątpIirrość rozkladtrortrralIly .jcst okrcślorl1, dla rr'szr'stkich liczb rzccz1'rr istl,ch. a l1aSZa ztlrictllta prz5jntrjcrvaftości od 0 do 400. Dla picr\Vszego przcdziaItt tnoŹcnr1,' Zapisać, Zc:

P(0 < -Y < t00) = P(-a < X < 100) = f ('i' . I OO) .

a dla ostatnicgo: P(350<X <400)= P(350<'\'<,t)= P(.Y >350).

Stącl rr1znaczollc prarvdopodobicristrr'o dIa picrrvszcgo przcdzialu rrr'llosi:(x-211,75 100-217.75)

P(X<100)=/l\ 71.75 7 4,15 )

= PQt <-1,575) = O(-1,575) = I -O(1,575) = 0,058

Trsrv I TepRRAMETRYczNE

a dla drugicgo przcdzialu:/roo- 2I'r.15 x-2Ii.i5 ti0-217.75)

f(100<.Y<150)- P ' <-:j--=--jr-:r=P(-1.575<ir<-0.183-l)[ 74,75 71.'/s 74,7s )

= o(-0.1 82) -o(-1,j75) = I -rl.t(0,1 82) -l +O(1.57i9) = 0,125

Pozostale rvartości podallc są rv tabcli :

Tabcla 6,7

197

x,,! /(r- - / | / I /\" ltl

74rtr,,, -2Il.J5

7 1.1)7 5

Qt(u, 1

O(rr,* P, ltl)t n f nl), (u, - ttpi)'

ttpt

100

150

200250300350

100

t50200

250300350

co

_a)

-0,906-0,23',7

0,43 l

1.100

t.769

- r .575-0.906-0.237

0.43 r

I .100| ,169

0.0000.05 8

0.1 82

0..ł06

0.6670.8ó40.962

0,05 8

0,r820..r06

0.6670,8610.9621.000

0"05 8

0,1 25o )1J0,26 r

0.1 970.0970.038

t].2837,13

67, t.{

78.2'ł59.25

29.1 5

I 1.53

2,28

flt

| 1t+.Lź

t./)0,8t

0.3 00

0.l7ó0,0680.22e1.015

0.025

0.5 5.1

Sunra 3 00.00 2.36'7

ZróclIo. obI iczcltiir rt'|astte

Zate m w'at1ość sprarvdziaIiLt tcsttt) ^ "..y = / 111 |

obszar.odrzuccnia jcst prallostl.olltly. a 'jc-uo rrartość gr.aniczną rvobec 7 klasztniennc.i' 2 szacolr'alll.ch pnralnctróri, rozkladtl odcz;''taIn1. d|a 1-2-|:1 stopIri slr,obody

i zadancgo poziornil a=0.01 . Zatcnl

lV =. Xi.n, a,+co) =1 13.277'.+.r:) .

obliczolla lr'altość sprarr'dzianu testtt Itie należy do obszartt odrztlccllia, llie lllazatern podstarv, by sądzic' ze r.ozkład popuIacji różni się istotlric od rozkladLlnorurahlego. e

6.2.3. Testy zgodności dwóch rozkładóW empirycznychWeryfikacja h ipotez dotyczących zgodności dlr'óch rozk,ladórv

ernpirvczn.vch ma na celu:sprawdzellie, czy nla|]ly do cz1'nienia Z próballli pochodzącynli Z jedllejpopLr lacj i generalncj.cz1' popLllacje z których pochodzĄ próby są takie satrle pod rvzględerllrozkładu badanej cech)'.zbadanie. czy analizo\\,anap|ZeZ nas Zbiorowość zrlliellila się.

We rvszystkich prz1'padkach odrzucenie hipoteł_ o Zgodności r.ozk,łacltr

aznacza występowallie istotnych róŻnic rv badatly'ch zbioror'vościach. Tak rr'ięc

198 WeRyr lxRcLł HIPoTEZ STATYSTYcZNYcH

lllozellly tlvierdzić, ze nie llalezą one clo tej salrlej poptrlacji generalnej lub. zetl.ystąpily Znaczące zllriany lv atralizorvallej (llp. rv' clrvóch róztl),ch okt.esac|rczastt) zbiororvości. Do rr'er.y'likacji hipotez1'o zgodllości rvvkorzy'sttrje się róznetestr'. r,vśrod których olrrólvitll\,test ser.ii, InecJiatlv i zIlaków.

Test serii d|a dwóch popu|acjiNiech będą dane dlr.ie po1ltrlacje getteralne o dorr.oltlyclr postaciach

dystrybuant F,(x) i F26), z który,cll rvylosorvatlo drvie próby o liczebnościachodporviedrlio rów,tlych tt, iłt . opierając się na rvyrlikach obu prob chcetlty

zrveryfi korvać h i potezę :

FIo: drr'ie próby pocIrodzązpopulacji ojedltakowyn roz'kladzie, co

n]ozna zapisać rv postaci F,(x):F2(x),rvobec Ilipotezy' altelnaty\ Dej

l_l': dvr'ie próby różrlią się istotnie rozkladeIli. a lvięc F 16)źI-)(s).Werr,fikacja hipotez1 H., testeIll opar1) nl lla rozk,ładzie liczb5, serii

przcbiega IraStę[)(l iąco:1. rr'vniki clbu prob pclrząc1kLrjclllr rr .]ccle'tl ciąu ri.edltrg rosIlących rval.tości,2. przr,porządktlrl.ltjetllr' e-lclllcIlto|ll tegt-l ciągu s1'rllbol a. .|eśIi pochodzą

z piel.lvszej 1lrób1 . a 1lozostlilltll b i rrzrskrrjcll)\ \\ ten sposob liczbę seriit,3. dIa ustaloticgo ptlziolllLl isttltllości u oraz clla odpolviednich llI i n,

(liczebrlości próLl) oclcZ}ttlj!'|]1\, z tablic rozkładtr serii taką wartosc

kt.yt5,g711ą k*by zachodzila rorrtlość pk < k.) = o,4. obszar odrzucenia jest yy =(|:k,,). Hipotezę lJo odrztlcallly |la fzecz

lripotezy alterttatylt'ttej. sd.Y tlz\,skalla liczba serii k z dartego ciegu należ1' do

przedział'u (t.ł"). Natonliast gd}' k e(k";*), Itie nla podstalv c|o

odrzucetlia hipotezy YI,.,, Że rozklady' badarlych populacji sąjednakorve.

Urvaga!Jezeli ta salrla rvartość ceclry X rvy'stępLrje w obu próbach' rla|ei:y przyjąć takieuporządkowanie synrboli a i b, pr.z1' któr1.lll liczba seriijest rnrliejsza.

Przyklad 6.5

Korzy'stając z BiuIefyllu Stat1''stycznego z |Y'97 otl.zvn]a|lo następujące danedotyczące spoz1'.cia rvb (*.kgiosobę) rr,rrvlosorr'atrl'cli rodzinaclr zanlieszkrrjącr'ch:lniasta: 4,5; 8.2; 3,2: 6,6:5'8; 9,.ł; 9,8; 5,6; 7,2;7,8:ó,4; 8'4 oraztercrry'u'iejskie:2,2;0,8; 2.6; 1,4: l,-5; 3,9; 4.6; 3.0.

Tesry NIepnRRMETRYCZNE

Sprarr'dzić na poziolllic istotności 0.025. czy rozklad spoi1'cia r1''[r rr'śrócl rodzinzanlicszktrjącyclr nliasta i ri,sic istotllic różlti się.

Roz*'iazanie

Stau'ianry' h ipotczr' :

H9: rozklad spozr.cia rr,b rr'śród rodzill zalnicszkLl.jąc1,c|r lniasta iu'sie nic różllisię istotnie,

H1: I.ozklad spoŻr'cia ryb rvśród rodzitt zalnicszkując1'c|t lniasta irr'sic istotllicrciżni się.

Podarle r''.artości porządktrjcnr1' rr. szercg IiicrllaIc1jąc1. i pod każdą dalrąoZl1acZalll\'. z której prillrr pochodzi (a .lniasto. b- lvicś):

0'B l'4 1,5 2,2 2.6 3 -].2 3.9 4,5 4,6 5,6 5'8 6'4 66 7,2 7'8 &2 &4 9'1 ą8

b b b b bba b a b a a a a a a a a a a

obliczanly' liczbę scriibbbbbb a b

l2-lManly zatcIll /có scrii.

Na pozionlic istotlrości a=0,025 i dIa liczebnoŚci prób lt;|2 i n1=8 rr,'artość

odczy,tana z tabIic rozk'ladtr scrii rr'ynosi k,, = s, LY = (l;6) ' Natez)- zatctn odrztrcić

hipotczę l{o lla rfccz hipotczv altcrllatl,rr'nc.i I{t SpoŹr,cie r) b li'śród rodzitlzanricszktliącvch lniasta i lrsic l.tiilri się istotrlic przr.2.59il blędzic I roclzajtr. c

Test mediany d|a dwóch populacjiZ drl'óch popLrlac.i i gcl]cl.alll\ch tl tlouoltll'ch dlstI.1'bLtatltach rozkladólv

F161 i F,ftl \\'\'loSo\\atltl tlrric 1ll r,bl tl liczebtlościacIr odporviecltlio rólrttycltn, i n2. opiera.jąc się lll rrrrlikach clbtl l;rób chcellll' zrr'etyfikorvać hipotezę

dot1'czącą zgod n ośc i r.tlzk I ad óti tlbu popLr lac.j i :

H,,'. F, l.t' t =-f -.r

1 r.

t1': F,(x1łF.r11,Wer1'fikacja hi1ltltcz1, H., za polnocą testtl nlediany przebiega llastęptrjąco:

1. Z $)'|)ików obLl 1;r.cilr nalezy Llt\\'orZ\,ć ciąg nierllalejący i Z tego ciągurr'yztlaczyć lncc1 ianę (1'1c).

2. lr'sz1,stkie obserrr,ac.jc Ilalez1, ZgIt|po\\'ać rv tablicę czteropolorvą:

199

k"

abJ5

aaaaaaaaaa6

200 WERyFTKAcJA HlporEz srATysrYCZNYcH

Tllbeh ó.8CZteropoIo\\'a tabl ica wr'korzyst)'\\'aIla lv teŚcie Ined ianY

Obscni'ac ic Próba l Próba lI Razenr

'lvlc ntl 11 t tl t

\_lvltr 11:l 11:

Razern t1.l t1.2 I1

3. tablicę tę nalezy potraktować jak tablicę rv-Vkorzystyu'arią w teście

tliezaleznoś ci 72 i wy,zllaczyć r'vartośc staĘ,styki ;r , tak jak nla to nliejsce rr'

teście lliezalezności 7r (porórvrlaj 6.2'.1); statysĘ,ka ta nla przy za|oŻenirt

prarvclzirł,ości lripotezy H6 asyrllptotyczIty rozklad 7r o jcclnr'nr stopniLr

srvobody,

z tablic rozk,ladu 7) d|a ttstalotlego poziotllu istotności ijednego stopllia

slt,obod1 odcz1rtr1erny \\al.tośc krr(r.cztlą 7: ,, |aką. ie P(x. > x,.,)= o(rys. 6.2).

lt5. IV = \/.,. cn) . lripotezę [ l., odrzttcatllr lll] l.ZecZ hipotez1' alternat1.rvnej.

jeze|i 7) "(ń;.,:).r. 1lrzcciriIlr.tll 1lI.zlpadktt. tzrl. gdy z,.\O;7,;) nie

ma podsta*, do oclrzuce nia hipotczv H,,

Przykład 6.ó

Z l i ll roktr studiórv u,1',losorr.ano po l l studctltórv i okrcślono liczbę zajęćobou'iązkorlych, którę kaŻdy z llich oprrścil ri'ciągtr l.oktt:

l r.oktl: 3. l0.6' 5. 6, |2'6,4.8. l0. ólII roku: '7 . 6,9, I 4. I 0. 9. 5, 9. I 2. 6, 3.

Na pozionlic istotllości 0,05 stwicrdzić, czy studcllci I ill roku róznią się istotlliepod rvzględelll liczby opuszczonych zajęc oborr'ipkorvy'ch rv ciągu t.crktt.

Roz,tviazanie

Starviarny hipotezl.':t{g: studenci I iII rokLr nie róŻnią się istotnic pod rł.zględt.lll optlszczaIlia

oborviązkorq.ch zajęć;t{1: studenci l i II roku róznią się istotnie pod lvzulędcllt opttszczanie

obort'iązkorrych zajęć;TrakttIjąc dalle z I i II roktl .jako jedcn ciąg obliczalny lrrediallę. W tynr celtr

rr porząd korvuj enrv danc rr' c iąg n ic nlal ej ąc1. :

3,3,4,5,5,6,6,6,6,6,6,7,8,9,9,9, 1 0, 1 0, 1 0,12,12,1 4

I ESTY NIEPARAIVETRYCZNE

Poniervaż n:| |+| I:22, czyIi /V,,n" = ? = ,, , rr,ięc tllediana lvr.llosi2

Me--x, =6.DIa danyc|r z przvkładu t\Vorzv|.nv tablicę czteropololvą:

Tłbe|a 6.9

Obse rrvacie II Razcm>6 A 1 tl

\--() 7 4 ltRazenl ll ll 22

Zrtitllo: Obliczcnia u lasnc

Wcrr'nątrz tabcIi ó.9 podalro Iiczbę studcIltórv liII roku. którzy optrściliodporvicdriio mnic.i i riięccj zajęc niŻ u1'nika to zc śrcdltie.i (ri'-v-zriacz<ncj z |t[e).W daIszyln postępo\\a|lit| t\\'orzv|tl\' tablicę liczebllości teoretr'czll1.ch. tak jak

rv prz1,padku tablic1 rlr korzl'stl'il'ancj \\, tcścic niezaleŻIrości z. . l,iczcLrlltlŚci

teorctyczne obliczanll' zc \\'zoru (6.5). Zatcm:

Tabe|a ó.l0

Obs.'ttt rtcic il Raze rn

6 f.) ).)-ó ).) l1

[{azcnl 1l I] ))Zrridlo: ( )bi lczenrir rr liL:na

Przy,kladorvo dla strrdt.rltclrr Il l.oku. ktilrzl- opuścili Innicj niŹ 1lrzcciętna liczbazajęć. rnanly:

^ rtt.n, ll.ll"l: - n ,,Trvorzvnrl, tabIicę. rr kt(lrcj zanliast liczcbności ulnieszczall-tv róŻlricc polniędz1'

liczebllościallri ctllpirr,cznllni. a liczcbnościanli tcorct;'czllvnti. tzt.l. 11 ,, _ ń,,.,

Tabela 6.1I

Obscr*'acic II Razcrlr>6 1.5 t.5 0

<=6 t.5 r.5 0

Razcnl 0 0 0

Z-ródlo' obIiczcrlia rvlasnc

201

?o2 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

\Ą.koIcjllcj tabcliporniędzy liczcbnościanl r

r tlltt. - ti I\ '/ 'tlIZll. ------:

11,i

r=l i=l tl

Dla pozionlrr istotno.ci a -0.U-i prz\

odczytalra z tablic rr'r'llosi z, = 3.s-ł l .

w'ięc podstail,do cldrzuccllia hipotcz1' H0

stlr'icr.dzic. zc studctrci I i lI roku rózniąprzcz liic|t oborviązkoli,y ch zajęć.

zaIrliast liczcbności utllieszczanrv ilor.az krr,adl.atu rózllicycmpirr.czny'tll i. a tcolet,'.cznvnli przcz l iczebllość tco|ct},cz|lą

Wr'zllaczona ri tcn s1losób stat)'st}.ka (6.ó) liyrlosirrl\l

'r =Y5- Vlli -ll,,/ - l.Ó]t - /../t1

jcdrl1nl stoprlitr srrobody'' lt.artośc rozkladu fZatcl.ll x2 =1.61 ę trI,' = (3,84]1co), llie lllaNa poziolnic istolności 0.05 rlie lnozlla zatctl.l

się stat1'styczllic pod rvzl|ędcnl oPuszczań

Test znakówNiech będą danę drvie popllIacje ge|]erćr|ne o cią.ql1'ch rozklac|ach

dystrybuarlt /.'r'rl i F,(x), z który'ch \Vylosowal.Io jedllakorvą liczbę paranli

odporviada.jących sobie n elelllentórv. oznacza to, Ze rvartości obu prób sąvr,'zajenltlie 1lor'l'iązane, gdyz odnoszą się do eIenlentórv polączollvcll pararlli.opierając się na tych rv1'rlikach nalezy zrr.ery-fikorvać hipotezę

Hu: drvie próby pochodzą z poprrlacji o jedllakolvyl]) roz'kładzie, tzll.

F,(x):F2(x),wobec h i potezy alternaĘrr'nej

H,: du'ic próby rózllią się istotllie pod rr,z.ulędetlt postaci r.ozkladu.

Wery'fikacja hipotezy I{., testcIt't zltakórv przebiega następrr jąco:

l. badarrly znak rózllicy pal. rvynikólv tr, obtt próbach i znajdrrjemy liczbę t1,ch

znaków' których iest rnniej (eśli Są rv próbie pary o iclerltyczrryclt

lvartościach, to nie fozważallly ich lt.teście),tzn.r:tttitl(l-,r+), gdziel.- il.-

Tabela 6.12

Obscrrvac ic I II Razenr>6 0.41 0.41 0.82

<=6 0.41 0.41 0.82Razcln 0.82 0,82 t,64

Ztódlo: ()bIiczcrlta rrIltsltc

TEsty t'l l rpłR,łMETRYcZ N E 203

oznaczają odporviednio liczbę znakórv trjenlIlych i doclatnich różrlicrozwaza|lych par lvyll i kórr,,

2. ztab|ic rozkladtr Iiczby'zrlakórv odczrtr"rjerlly,dla 1;.7|1l par rq,nikórv ł,l o|.azprz1'iętego 1loziotlltl istotllości u taką rr,ańość kl-rt1'czIll1 t,a ze

P(,'< ru)=o,

3. obszar odrzucenia nra postac LIt = (O:r,),4. jeżeIi r eLI/ , to odrzttcatn1, hipotczę Hn tta rzecz hipotezy altcrrlatvlr.nej.

rv przecirvtlynr prz1'padku tzn. g<|y, r e łV brak podstarv do odrztlcenialripotezy' ie obie próby pochodząz jednej populacji.

Przyklad 6.7

Tabcla 6.l3 zari'icra dallc doty'czącc Iiczby dctali rwkonanvch przez ty'ch salnr,chpracow'rtikórr'lv czasic prac)' |la dwóch róznr,ch ztniallach:

Tabela 6. l3W5,da.inośó pracorvnikórv pracu jących lrit dlvrt różnl,ch znlianach

Zrtiijlcl: Dane t|nlo\\'I1€

Na poziolnie istotności 0,05 sprarvdzić.zmianach jest jcdnakou'a.

Rozrviazanie

Starr ianly lripotczy'

czy rvydajllośc pracorr'llikórr. lia obu

H0: \ydajnośc pracorrtrikórv na obu znrianac|t jest.jednakou,a;IJ 1 : rrydajność pracotr'nikólv na obu zlliianach iest lóżna

Lo. Pienvsza zrtrialta Dlrrga znriarra24 t4

2 I.t/a I5J 03 05Ą 09 U)5 0l 956 3ó i207 91 968 06 039 05 0-s

0 06 00il 08

2 l0 04

J lo l04 98 90

00 9Ą

Lp Picnvsza zlllialla Druga znrialla6 l,s il7 20 063 0-1 05

09 0lt0 0i 022l )2 00')l ]J l0ti ll 08),1!a l6 l825 05 03lo 08 0521 IO 0028 0.1 95

29 90 90i0 03 100

204 WeRyrlx,łc.lł H IPoTEZ sTATYsTYcZNYcH

Lp. Picnvszazlnrana

Dlugaznriana

RcjŻnica

I 2A l4 l02 1Ątę l5J 0i 05 _)

I 09 05 1

) 0l 95 6

6 36 t20 l6'7 91 96 ')

8 06 UJ Jo 05 U) 0

0 06 00 6

l1 08 J) l0 0.1 ó

J ló t0 Ó

1 98 90 I5 100 9.1 Ó

obliczarny rózllicę pomiędz1,rvydajnością na pierrvszej i drLrgiej znrianic:

Tabcla ó.l.ł

7-rói1|o: Obliczclliu rt ]rsllc

Jak lvidac z pow,r.zszlclr obliczcIi. tnatny, drr,a rvr'lliki zcfo\\'c. któr.l'ch rlic

bicrzcnly' pod u\\'agę. czr'li pI.itba jest 28 cIclllclltorra. Rózllic dodatniclr jest r* = 23 '

a trjcrnnr'c|l l._ = -5. Zatcnl korz1,stając Zc \\]Zo||.l l.:ltlin(l-,l.+)=5.

Dla li:28 i d=0'05 rr'artośc k|)tycz|la odcz),tana z tablic rcrzk]ladu liczb1' zrlakórv\q'nosi r.. =8. Zalenl r=se(o;8) , cz5,li odr.ztrcaniy lripotezę H0 l1[l rzccz hipotezv

alternatvri'ncj H 1.

Z prarvdopodobicństrvcrn 0.95 lrroinaobu zlnianacIl jcst rózrla.

trr'icrdzic, Żc iv5'da.inośc pracorr'llikól' tla

e

6.2.4. Test nieza|eŻności 7.Test 12 wykorzystywany jest rv bacliiniu relacji rv-vstępu.|ących Irlięc1zy

dlviellta cechaIłli lrrb z.iaw,iskalrri' Przvpttśćniv, że populację getleralttąroz\Vażallly z pttIlktu u,idzetlia drróch cech x i ), (rriekoniecznie nlierzalnr'ch).Z poptrlac.|i tej rwlosou'ano dLlża p|óbę o Iiczebności l? elelllelltów' Nalei1,zrl e11'f.ikorvać h ipotezę

H.': obie cechy są tliezależtle'co jest rólvllorvazlle ZapiSo\\i:

In" t'. Pierrvszaznilana

DrLlgazllł iaIia

RóŹnica

6 t5 ll 4

7 20 06 l.ł8 04 05

9 09 0l 1

20 03 0l2l 02 00 ))) 14 l0 -l

23 ll 08 -)

t1 16 t8 )

l5 05 03 )t6 0s 05 -)

27 10 00 l028 01 95 9

29 90 90 0

30 0l 100 J

Tesrv rulrpłRRMETRYCZNE

Hu: P(-\- = x,.Y = l' )= f (,t- = .t, )f (f = y ,).gdzie .t, o|az l) oznaczają oclporviedttie rr'artclści badanvclt cech'

rvobec h i 1;ote4,' alternatyu'ncjH': obie ceclly są zalezIle.

co trrożna zapisać jakou,: /'(X =.v.I = t, )+ P(.\' =.r,)r(l =.r',).

gdzie r, oraz yi oznacza.|ąodporviedllio li artości badaIlr'ch ccch.

Sposób postęporvallia ri. teście tliezalezllości 1r llloZlla przedstalviór'v następtrjących ki lkLl kr.okach:l) Dzielinly zbór nloŻlirvr,clr rrat.tości cechy'Ylla l.grtlp olaZ cechy l'|la s grllp

i tlnrieszczalrrv te rvartości odporviednio lv boczktl i g|olvce tabIicyniezależności (porórvnaj rozdzia| 4). Wnętrze tabIicy rvypełniallryliczebrlościalrli lru'. które ozIlacza.ją |iczbę eletnentórv rv próbie należąc1'ch do

r-tej glupy wedlug cechy X(i:1.2,....r) ido 7-tej grupy rvedlLrg cechyY (j:1,2,...,s).

Przvklad tab|icr,niezaleznoŚci T:rbcl:r ó.|5

Zattrr'ainr\.. Że zachodząre l ac.i e :

\/'n, -f ,t,,. n . =\ n, .l-liiź|r

t=t r=r (6 4)

rtft

n=f f 2 =F ą =\ tt,'' /- /) '1 /- -t

!=lj=l t=l y=l

gdzie:

n,, - |iczebllośc enlpiryczlla l-te.uo waria|ltll cech1 .ł- i .1-tego rvariattttlccchl')',

n,. - liczebIlośc brzegorva r-tego lr'ariantv cechy X (i:1 , f ,3,,', r),

YL

,.r-i ), 11 )'s

.r/ tl l 11 It tt I

X1 112t 11t t1 ł1 2

'lr/' llrl l1,.t t7 n1

f tl .t ł1 l n..t

t1

WERYFIKACJA HIPoTEZ STATYSTYCZNYCH

ll,- liczebtlość brzegorva7-tego rvariantlt cechy }' 0:|,2,3''... ').2) Szacujenly na podstalr'ie liczebllości brzegorvych tab|ic1' niezalezności lr,.,n, liczebności hipotetyczrle (teoret,vczlle) dla każde.i kornbinacji (i7) cechXi}'i rvpisrrjenly je do odporviedniej rLlbryki tablicy lliezależności. czy'li:

tI, t7 .^ , ./ll,, = _'n

3) Wyznaczatlly r'vartość splarvdziantl teSttl. czr'l i staty,styki :

/ ^\:.,t - 1- \- (i 7' - tl" )-r =LL______^ _. (6.6)

t=t .t=t Il it

która nla przy za|oŻetlit-l prarl'dzirrości llipotezr' [{., asynlptotyczny rozk|ad

72 o (r-l)(s- l ) stopn iach str otroclr'.

4) odczytujenly z tablic t.ozklaclLl z. uartość z: o 0.1Xs-]) stopniachsrl'obody dla prz1'jętcgtl 1-ltlziolllLt isttltności.

5) obszar odrzttcetlia kollstI.ttLticIlll .jak lla r'rs. 6'2 i llla oll postać W = (i:-) .

6) oclrzLrcalllr. hipotczę I{., Ila l.zccz hi1-ltltczr' altertlat\'rr'Ilej, jeżeli 7) e Il/ ,

rv przecilvIlyln przr'pat|ktI. tZ|]. .gd) ,Ł. #LI, rlie Illa podstau. do odrzuceIliahipotczy Hn

Tabe|a ó.l6

Przyhlad 6.8

opie rając się rla przcdstarvion1'ch poniŹej lvynikach allkicty przcprorvadzonc.ju'śród |osorvo rvybr.anej l000-osoborr,c.j gr.trpic trczniórr.szkól Iicealnr'ch rv Loclzi należvsprarvdzić, czy 1hkt spozyrvallia a|koholu przcz n.l|odziez jest zrr'iązall1' z częstościąspożylr,ania alkoholu rv doIntt. Przyjlnu jąc pozitlnl istotności 0.0.5.

W1'niki ankiety

Czy spożyrva sięalkohol rv donru

ucznia?

Jak często ttczcń spoŹylr.a alkohoI

Itt'JRazeltr

nabstl ncnt bardzorzad ko

t'az

lv nricsiacuczęście.|

Tak ll0 500 r50 40 800Nic ;ł0 100 -50 l0 r00

Raze tn ł., r50 ó00 200 50 I 000Zródlo: Dane ul]lo\\ne

Tesrv ru lEpłRnMETRYcZNE

Rozll'iazan ie

Stari.iarlr1, lii potczę:Hu: częstość spoz1'rr'itnia alkoholu przez nlłodzieŻ nic za|eŻ1' od 1aktu spoz1,rvania

alkoholu u'donru:LI1: częstość spoz,'-rvaIlia alkoholu przcz dzieci zależr, od fhktu spoz1'lvallia

alkoholu rv dorru.

Na podsta\\.ie dan1'ch z tabcli 6.16 szacujclrl1. liczctrnoŚci teoretr'cznc ń,,

korzy,sta.jąc ze wzol.tl (6.5) i otrz1''Itltljcnl1,, tabclę roboczą:

Tabch ó.l7

W kolcjnej tabeli roboczc.i ó.l8 obliczalll1' róŻnicę |iczcbrlości clllpil1'czn1'ch

i tcorcty'czrry,.c|.l. tzt.l. 11 ,, _ ń,, '.

Tabcla 6.18

Wariantl.' ccchv XIY

n -tl Razenr

abstr Irc-llt baldzo lzadko t LlZ \\ |1llcS|ąctl częŚcicj-r^t- t0 20 t0 0 0

Nic l0 -10 t0 0 0

Razclll łl., 0 U 0 0 0

ZródIo: obIiczenia rr lasttc

W rlastępncj tabe-li l.oboczcj 6.l9 przcchodzimy do rvt'znaczellia posztrkilvaliejstatl'stl ki

^ r ' (,r -; )t (,, -,1 )'x. =fIr_:-._ar_. czilidla kezclcj rtrbr.rki tebcli obliczalllr iloraz Ę:

t=l t =l 11 ,, 11 tj

Czt' spozvrva sięalkohol * dorlru

uczn ia?

.lak uczcti spoiy'rva alkohol

1,, l

Razenl

abstl'nent bardzo rzadko raz rv llricsiącł"t częścic.j

Tak r20 480 160 40 800Nic i0 ll0 40 l0 200

Razem ll 150 600 200 _s0 I 000

208 WtRyrlx,ącLR H IPoTEZ sTATYsTYczNYcH

Tabc|a ó.l9

Warianty'cechv XiY

r rl|n _ń

|Ur tt l--_-;-ł,I,j

Razcnr

11abst! ncnt bardzo rzadko raz w llllcsląctl częsc Ic l

Tak 0.83 0.83 0.63 0.00 2.29Nie 3.t 3 2.50 0.00 9.tl

Razctn r'r 4.t7 4.t7 3,1 3 0.00 I 1.46

obIiczolla przcZ |]as Stat.\s(-\ka (ó.6)ltla rvięc rr'aI.ltlść x2 =||.46Z tab|ic rozkIadtl f odczr'ttljcnlr, rrartośc krr'tyczną dla poziollltl istotllości

a = 0'05 i (2- l X4- l ):3 stopIl i srr'obod1'. ZIlalcziolla rr,ańośc kr).t)'czrrn rvr'tlosi

Z1=,7,815' Malnr' zatL.tl1: Z2=|1.46ęIL, =(z'sl5:+.o;' czy|i hipotczę H0

ocllzucanlv na rzccz hipotczy altcnlatr *nc-i I 1,.

MoŻlla sądzić prz;,.59/o blędzic llodza.iLI, żc częstość spoŹy,rvania alkoholtr przezlnłodzicŹ za|eŻy oc| faktu spozrwaIlia alkohcllu rr.dolnu' e

6.3. Testy parametryczne.Iak sanla |lazwa rr skaztt je. tc.st1. parall]etr\'czne s,lLrżą do tveryfikacji

hipotez odllośnie do palaIlle tI.órr' rozkładLl rozpatf},\\'anej zbiorolvości' Podobniejak rv przypadku testórr, tlicparatllettf'czl1)'ch' rr,er1,fikac.ja Ilipotez lllozedotycryc:

- jednej popLrlacji gerreralnej, ucirvczas celc-nt naszvnt jest sprarvdzeuie, czyinteresrrjący 11aS paranletr charaktct1'zrrjący zbiorol'r',ośc Statysb'cZtlą nlaokreślorrą lvat1ośc,

* drvóch zbioron'ości, a celell-l.jest rver1,'fikacja hipotez1, o rórvllości r'vartościbadallego paranletrtl rv analizolr.anyclt zbiorolr ościach'

6.3.1. Testy weryfikujące hipotezę o wartości oczekiwanejw populacji

w poprzednint rozdzia|e strvierclziIiśIllr,, Że eSt\'lllatorenl rvat.tościoczekirvaricj lv populac.ji getleralnej rlloże by'ć średnia al.1ltt-'.'..'.''-'a z proby,.lednakze \\,yznaczor.la llrzez nas ocena estvlllatora ltie jest prarvdopodobniervafiością poszukirr'anego palan]etru. Stąd istniejc kollic-czllośc rveryfikac.|ihipotezy, czy nieztlana rvar1ość oczekirvatia jeSt ró\\'I1a Itrb stat1'stycznie rózni się(albo jest lviększa lub nlniejsza) oclperr'nej (np. prz1,|ętej przez nas) rvartości.

Tesry pnRRUETRYczNE 209

Starr,iatlty zaterll hipotezę Zero\\.ą IIn: pt:1.t, rvobec jedne.i z Illozliuyc|t

hipotez alternatyu'nvclt II,: 1t*1t,,, LI ,: !t>'ltrt. H,:1t<1.t,

W1'bór odporviedtliego sprarr'dzianLt do lier.vfikacji tej hipotezy za|ez.v odposiaclanej lviedzy' lla telllat zbioI.orr,ości getleralrle.i oraz ocl liczcbrlości pr.óby'

(podobnie jak to nlialo llriejsce lr. przl.1ladktl bLtclorr.r'przeclzialórv trf llości)'

Przypadek |. Popu|acja o rozkładzie norma|nym ze znanym oZ poptrlac.ji losttjcltlr' iz-eletrrelrtor.:1 próbę. Jezeli popLrlacja nra rozk]ad

l{(1.t,o), pfzy cz)ur odchy'lenie standl lclorve populacji o jest znane, to test

istotności c1la hiptltcz'.l, II,. 1t:1t, 1o|ega lla pocljęciLr decyzji rr'opat.citt

o wvzllaczoną rrartość sprarr'dziantl l!:sttl:

.. ł..) !tt= "",1n (6.7)o

gdzie:.T - śr.edllia al.},tll]ct\'cZllil \\'vZ|]acZolla z próby,

||"o - z gó11'okt.cś|ona riartość lladziei |.llfltelllatvcZrlej rr'popLrlacji.o - odchylenic standardou'e clla populacji,ll - liczcbllośc pr.obl'.

Stat1'sty'ka ta ])|1'\ załozclliLt 1;rarrdziriości hipotez1'I*Ic, tlla rozklad

nornralny' I(0.1 ).

Wariant 1. }'|ipoteza alternatywnaHi /rłlgW ty'rn r''';iriatlcie kotlstrttttjc się o[rLtstl.olltl;- obszar odrztlcellia' tak jak

pokazano rysullktr 6.3

,''t'---\t'/ 'r.,

,,,,. \/' \,\\

,,,,, .'\

r-ti/!

-\{ 'l**---

. Ułl

R|.s. 6.3 obttslronnl, obs:ar odr:ttceł1ia opLtrh) tlct .sIuntlan:rllvatl1,nt ro:klatl:ia nrn'lltaln|lttd!u prl:iotlttt i'stc'ltttości a

Ma on postac n. = (_ ct:.^- l! ą) u (,'- ;":), gclzie Lla \\ryz|1aczanty tak. aby

spe lniony był rr'arunek P(rl|> ,,o)= a. Korz)'stając z lv'łasllości prarvdopodo-

210 WeRynxncL,c H/porEz srATysryczNycH

bieristrva i d1,strybLrarlt}' Standary'Zowaliego rozk,iadr'r trorIrralnego lervą stronępowyzszego r,vat.llnklt lllozenly zapisać jako:

l(ll| > u,,)= P(tt . _,,.,) + I,(tt ż tt,,) = <1>(- lt,) + 1 _ I,(tt < tt,) =

= l _ Ó(lr,. )+ l - o(ll.' )=z _2rb(t,)

Stąd 2 _2@(u,,)= o ' Z tablic d'r'strvbuanty staltc1aryzolvaIlego rozkłaclLttlortlralnego odczvtu jenll' Zaten] taką lr artość krytyczną tto , aby spelllioIlv rrr4

rrarunek: @(ir,,)=1-a

I{ipotezę H0 oclt.zLlcalllr llil rzęCZ hipotezy alterIlatylr,nej. jeżeliuę|I/ =(_.:_,,,)u(,.,':o:) ' Natotlliast.jeŻeli ttę,14, 'to nie tlla poclstaw c|o

odrzucenia Hn.

Wariant 2. Hipoteza alternatywna H,, i tt>ltoW tynl rvariatlcie kotlstt.trtrjcIllr' 1lt.arr'ostroIllr1. obszar oclrzucelliit' któ11, nla

postać ,s,s,,

= \u*;a). \\'r,zllaczatlll gtl tak. aby b:'ł spellliolly lt,arrttiekP(tt > tto) = a ' Interpretac'jt.3 uraf-iczrlą 1-ll.zeclstalr'ia lysLlnek 6'4.

Rys.61I,rult,'ostronlw,.,::;;,,:,:;,:,:;,:,,,;:,:,^,,,,':::-?,,i

Korzystając z rr lasllości prarrdopoclclbictistrva i cly'strybrral1tv 1llozen1yzapisaó:

P(u > u,,) = I - f(,, . r,,,) =l - cD(Ó").

Zaterrl z tablic dystry'bLlalltl, rozk-lacltt llornlalIlego oclczytiljeIllv rr'artość zl.,spe,lniającą a(u")=]' - ct ,

[Jipotezę I'Io odrzucanly lla rzecz hipotezy alterllatywnej , jeir.e|i tt e|T ,natotlliast nie nra podstarr.do odrzucenia H6, jeŻeli u ętrIl .

Tesrv pnRRt'll ETRYCZN E 211

Wariant 3. Hipoteza alternatywna H1: !t<!r,

Ty'nr razenr konstruLt jen.lY le u ostrotrtry' otrszar oclt'zttcetlia

spełrlioll1' rvartttlek P\tt < -t],,) = Cł . Irlterpretację graficzną

rysunek 6.5.

tak, ab1, by4

przedstarvia

.UłR'l .r. ó' j Lełvostrotltlt' r;b's:ilt. odr:ttceltiu :btttlrllra,ln,v o1larcitt I) ''I0)Id(tr\':01lanv ro:klttd

ttorntoltt.l' dlrt ptl:iotlttt islolnrłści a

Lc\\ostrol)|.l}. ol)Sznr odrzttccrlia |]]a postać II- =(-.,:_,.n).Ab1,. nlóc skorzr,stać z tablic (przecistarl'ia.ią rr'ar'tości cll,strr'bttatrty t1'lko dIa

argtlltlel]tów n iettj etll llr ch ). ltalezl, dcrkoIleć przeksztalcell ia :

Pltt<-1t,,)=O(- u,,)=l -qr(rr ).

Zatcn z tablrc clr strr buantv stlnclarr zo\\Ancgo lozkladLr nornralnego

odcz1'tujenly taką rraI.ttlść zl,,. ktorcj drstrrbLtatlrii \\\lloSi Q(ll.')=l-a '

I'IipoteZę Iir. tlclt.zLtcaIll\. llA r.zccz hipotczl altertlatl wIl11. jeieli u e|I/ .

Natorltiast jeŻe|i tt3 II.. to llie llla poclstarr,do odrzucettia H6.

Przyklad 6.9

Z populacji. ri' któr.c.j badana cccha lna lozkIad 'V(1ł0'4) lrvlosorvano próbęzloŻoną z l6 obscr.rralji. SIcdllia ar\'tInct)'czna z próby, rr'l'nosi

,l.4. Na poziolnicistotrlości a:0,05 zrrcrrl.iktrj hipotczę. żc śrcdllia u,populacji rivtlosi drvir. prz1jltltrjącotrrrstronnv obszar odrzrrecnia.

Rozu'iazan ic-

Starvianry hipotczr'.11,11 1.r2,|1; pł2.

Żc: r = |.4.o = 0.4. ll = |6.a = 0,05. Zc ri'zoI'tl 16.7)

Dla obustl'onucgo obszalu odrzrrccnia odczvtana z tablic

/: !: . !:..;,:j rł :.l r i;

b.{atus;łl.; s iłtł

Z trcści zadania li'l'nika.tl1_

niilnrY11="' -./l6=-6.- 0.4

,,,.r"'/-

-'''ttr.,

,,'" t\.,

212 WERvrlx,ącln HlPoTEZ STATYSTYCzNYcH

rozkladtr N(0.l) rvar1ośc kry,t\.czna rv\ltosi uo =|,96, a obszar odrzlrccllia jcst postaci:

II, : (-"o: - l.9ó) u(l'oo:-). stąd ll = -6 ę|I/ . cz.vli odrzucalnr, L{p.

Moina zaterlr są<lzić z 959ó praritlo1lodobicristri'elll. Żc ŚI.cdllia tv badancj poprrlacji

jcst róŻlla od clrvóch. ł

Przypadek tl. Populacja o rozkładzie norma|nym z nieznanym o-

iwnioskujemy na podstawie małej próby

W tyrn przy'padkLr korzl'statlll' z testll t-Str'rdcnta.

Stalvianty lripotc-zę ZerowŁ Źe rvańość oczckirvatra rv poptrlacji gerteralllej

p rólr'tra jest liczbie llrl. co zapistrjcnlr. II,,: 1t*-1-ą1

opicrając się lla.ui-v-nikach próby rvyzl]acZanly średllią arytlnct;.'cztlą

i odchylenie standardorve z próby ofaz \Vartośc Stat),'Styki danej rvzorellt:

gdzre:i . śrcdnia ar}'tnlct)'cZ|la \\'\'Z'I)acZolla z protl1'.

lĄy Z lor.\ okreś|otla \\ aI.tośc śI.cdIlie'j aI.\ tt]let\ cZllr.|.

,l-- odcli1'lellie statlclarclo\\.c \\ \ ZIlacltlIlL. Z l)l.óLr\.n- liczebllość prób1,.

$1x1l5t1'ka t.l 1lrzl' zaloicIlitt prari clzirr ości hipotcz.v FIg llta rozkład

t-Stlrdęllta o (lr . l) stoplliach srvotrotl;'.

Wariant '|'. H,,: 1.r+1ts

Stalr,ia.jąc n' taki sposob lri}rotezę altertlatyrrIlą konstrLlrtjetll1' obustl.onlly'

oLlszar odlzuceItia dla rozkladu t-Stucletlta. ktory' |1la 1lostać

rl. = (- cĄ..- lu) ' (,^ ;.) ' Interpr"ctac.ję graficzną przedstarvia r'vstrllek 6.6.

( 6.8)

Ił'.l.s' ó.6 ol':lttsIt.oltlly obs:ar odr:ltcenia:!ludolra:tl,'lt, oparcitt o ro:klatt t-S'tutletlta dlu po:irltlttt

IslotllOSL'l A

I.o

TEsry płnłrteTRYCZNE 213

Tablice rozkIadLt t-S1tldellta są tek skollstrttolva|]e. Ze pod.rją rvartośc

r(l|>l"):a. Jeż'e|i teII,,. to oc|t.zLtcatlly hipotezę lJg na |zęCZ hipotez1,

alternaĘvrvtlej. Natonliast jcieli t ęI|/ , to ttie t-tra poclstarv clo odr.zucenia F{9'

Wariant 2. Hr p>trto

W tvtt.l rvariancie konstruuientv pra\\ostronllv obszar odl'zucenia.\\/ przypadktt t.ozkIadtt t-StLrdenta obszar odrzucenia tlra postac łI, = (tz"; ":) . jakto rvidac na rysunku 6.7.

,,i' "\\r.r.

Ił't's.ó.7'Pt.0tt,'tl.sIt.tlttttl'tlbs:tłrtltfr:ttt'ellia:|,ttt|tx'ttttIvo1lttt.t.'itttlt.o:k!atlt-,\|lI(lL,ll|a

Jak rvspollltliatltl. tabIiee #.':. :StLrclcrlra pocla.ią iiat-ttlsci /..' dla, ^/r | \któr1'cli P\t|> t , )= a . lt ri ic.'c l \\ łas1losc i sr tlletrr cz|l6ści r.ozk-ladLl

^r , (11-Strrdenta P\t >t, ) ;. .\1..r \\rnutuk l(t .t^,,)- u zostll sllelllionl . tr.zeba

odczytyu'ać z tablic rtlzkladtt t.Sttrdęnta rvartość dIa 2a. co pokazrrierysunek 6.8.

ti" t"'

o Lł.s: ct l, t;tl r : t l c e l t i a : bt tt| tlv, u rry'

t|ttł sltl:i otlttt i.st ol nośc, i ty

- [."

,l a ct tt c;'ł ! t. o t t l tl' i du' t t'y t t. o tt ttl1?1,s' ó' 19 lt, tlptt rc, i t t o t. o: klątl t..\ |ttde ltt tt

214 WERYFIKAcJA HIPoTEZ STATYSTYcZNYCH

.Ieżeli t et|/ = (t.., ;.). to odrzttcarll1,' hipotezę ll., na zecz hipotezyalterllaty,lr'llej. Natonliast jeŹeli l e (-c,:; t,o), to llie l-lra podstarv do odrzttceniaHn.

Wariant 3. Hr: p<1ts

Jeieli postalvinly hipotezę altet.tlatr,lr'llą w porv1''ższej postaci, tokoltstt.ttujetlrr' lervostrotlll\/ obsZal. odrzttcetlia tak, ab1' b1'ł speIllioItl, rr,arLttlekP\t < _t,,, )= a . Irlter.pretację graliczIlą przedstau ia ry'strrlek 6.9.

-ti',.t

]ł'ts. ó.9. [,ctroslt.olttl.l, obs:ttt' otlr:ttt'e]1t(l :l)ltIll)\ Ltj]\ \1 |)pQrCilt ll ro:k!ad |-S!ttdenttt dla po11611111

l'\tO!|il)ś( l u

Za1elll lc\\oStl.ol]Il\ tlbszltI.tltll.zLtce llia rlla poslrć IV =(- ą..- !',,) . Natczupallliętać. ze podobnie jak lv \\'aIi(l|]cie clt'Lrqinl, odczytLrjerlry rr'artość l z tablicclla pozic-rnlu 2a.

Jezeli I ellt . to odrzucanrl, hi;rolcze IIi, na rzecz hipotezy alternatyrvnej.Natonliast jeŻe|i t e(ą.,,-), to Ilie llla podSta\\,do ocirzucetlia [1i,'

Przł'|ilad 6.10

Wr'lclsoii,aIlo niezalcżnic i2 uospcldlrr.sttr,rellllr,cłi li, 1lcli,llcj rvsi iott.z-r,tlllrllo dlalrich llastęptriącc rviclkości ttzl'skaIlrcIt pIolltirr,o\\,sa (q,ha): 23.3: 22.|.2l .8: l9'9:23.7;22.3;22.6.2l.5; ]l.9; 22.8: 23..22.2. l'\it Iltlzttlt,tlic istotnoŚci a:0.05 zlvcr5'fikoir.achipotczę. zc iiar.tość 1lrzcciętna 1lIolltt olrsa rr clrlc.i rvsi jcst taka sanla.jak rr'rokrrLrbicglr'lll i rvl'nosi 22.ó qiha.

Rozri'irlzan ic

Stau iarn; lripot;zu-

L1t,: !:2.2,6 qlhttZakładając. Żc plonr, o\\'sA lna.ją roz|' ł.rtl llill.tilaIIlv. nlożcll1Y zastosorr'ać

pLzypadck tl. Z trcści zadarlia rrr'llika. Ż'c ti ) sIedllią 0I.\t|1]c(\cZną i odclrvIcniestaIidardorr'e rlalcż1'' obliczrć z próbr'. czr li:

{l rr,. -,,r"'Ę__-..{ l

I ESTY PARAMETRYCZNE zt3

.[abcIa ó.20

ev, I,- r (.r, - t )'

I 2i.3 r.01 1.091 tl. r .0.l ó 0.03J I t.8 -0.16 0.1r4 19.9 -2.3 6 5.5 ó

) :) - | l..ł.ł 2.086 !/-.) 0.01 0.00l 12.6 0.31 0.128 21.5 -0.16 0.5 8

9 ?1 c) .0.3 ó 0.1 3

l0 lt.8 0'5.ł 0.29n :-) 0'7 Ą 0.5 i12 22.2 -0.06 0.00

Razcnr :61.1 0.00 t 0.61

obliczona śr.ednia al.\'tl1let\'c7|l^ z prćlby rr'r'nosi 22'26 c1iha. a odch1,lcnicstalrdardorvc 0'94 qiha. Zc rr'zot.tt (ó.8) nlallll.

,t,I\_,tI\--'" 11r ! a

0,94

obliczona śrcdrtia jcst rlrllicjsza od 1lt.tl1loIltllt'allu'j rtal.tclsci ,Lt', .22.(: q'ha. stąd hipotcza

altcrnatylvlla będzic lniaIa postlć:H1: p<22.6 q,'ha.

Obszar odrzuccllia to ztriilr ll'-podstaw do odrzuccnia hipotczy II1,.

Nic rna podstaw clo t*icrdzcnia.ulcgla spadkou'i \\' stosunku doprarvdopodobicIistrla blędLr I rodzajtl.rózni się istotnie od 22.6 qihn.

( z:- 1.7t]6) . Sta.d l = -1.2 źIIr . nic nla rvięc

Żc rr'artość przcciętna plotrtt olvsa rv caIe.jrr'czcŚIlic.jszcgo roktl przy zaloŻcniLr

W prakty.cc oz|\acza to, żc śrcdlli plotl orvsa

\\'s I

^l

Przypadek ll|' Popu|acja o nieznanym rozkładzie, duza próbaW prz"n"padktr rozl<ladu. co do którego nic nla podStaW do strvierdzeIlia, ze

jest llorIllaltry. kotlieczne jest posiadanie duiej prob1' losorvej. Wór,vczas \\'celtlZwer)'fiko\\.ania Ilipotezy ł-Iu stostrjellly tę Sanlą procedtlrę, co rv I przypadkuz tyur, ze odchl'lcnie slandardo\\'e \\yznaczalt.l)' z proby, czy'li sprall,dzian testunra Dostac:

x-/to rlt=-1t1

zto WERyFTKACJA H tporEz srATysryczNycH

l'rzyklad 6.11

Dla dallych z tabcli 2'9 okrcś| z 1lrarvdopodobicIistlvcnl 99,ń, cz.v u'artośćprzcciętlla pori'ierzchni IokaIi sprzeclażr, rv Łoclzi r,l''rnosi l00 ln]'

Rozu,iazan ic

Starr'ianlv hipotczę:Hs: //:100 rnrPollicri.az śrcdIiia port'icrzchnia lokaIi obliczorla z próbl.rr przl.kladzic 3.5 ivr.nosi

x = l l0,07 trl]. rr,ięc hi1loteza altcrnatvrvnir będzic lniała postać:

ll1:7P100 nr:.odch1,lellie standardou'c dla tcj próby. obliczollo \v prz1'kładzic 3.l7 irvvnosi

s=147.50 ,;r.W1,z11..'u'-'-'' rr,artość spt.aw'dz i a Il u tcst l-t :

110.07-100 r*ll = _--.- - ,v.łg4 = l,5l7-ł .14'/.5

Pollicrr.aŻ |-a_999/o. sti1d a=0.0l i przr' tr nl pozio|llic istotności \\,ańoścl/, odczrtana z tablic dy'stn buantv standarvzo\vancoo rozkladLl nollnalnego dlapra\\'ostIo|1llc.go obszartl odrztlccllia rirllosi 2.33' obszar odrzucenia.jcst riięc postaci:

11/ = (233:cD). cz1,li tt €ltr, . ctl llic cil.jc 1lodstarr do odrzuccrlia l{p.

Zatclll z prarl'dopodobicrist*cIll 0.99 nic n1oŹtla st\\,ierdzic,.Żc pIZcciętllapori'icrzc|lllia ptrIrktólr' sprzcdlrŹr' li' Lodzi jcst większa lliż l00 rlt.' W prakt1'ccprz1jlnujc się. zc średnia porr'ic-rzc|lllilr |lic IóŻI]i się istotttie od l00 lll:. c

6.3.2. Testy Weryfikujące hipotezę o równości dwóchWartości oczekiwanych

Stalvianly hi1lotezę Zefową Ho. Z€ \V.al.tości oczekirr,atle prót.l \\'VloSowan},chz drvóch popLrlacj i są rórr'ne. czr'li

Hg.. /f lĄ'Hipotezę altcrllarylvną poStawinly pózniej. ponier'vaz od jej sfbrIntt'lorvalliazalezy konstrukc] a obszanI odrzucenia.

Przypadek l. Dwie populacje o rozkładzie normalnym zeznanymi odchyleniami standardowymi

Jezeli du,ie badatle populacje mają rozk'lady |lor|llallle /,ł(p1,o,)

i N(/t:,o), przy czyln odchvlcllia standaldolr''e o1 t o2 Są Zlla|le, to na podstarr.ie

li,r Ilikcirr' ttie'zaleitlvclt prób. oclporr,icdrlio o liczebnościaclt li' i ll, rvl.zllaczattlr'rr'artoś ć s ta t''"s t1,'k i :

Trsrv pRRnH,TETRYczNE 217

(6e)

gdzie:

Ę ią - średnie arvtnlety'cztle \\')/Znaczone odporviednio z próbypieru'szej i dmgiej.

o, i o. - zltalte odchvlenia stanclardou'e odporviednio pienvszej i clrugie-1

populac-ii.

tt, i tl. - liczebrlości odporvieclrlio pierrr'szej i drrrgie.j prób'r,-

Staty'st1ka (6.9) llla. prz,l' za|oŻ-etlitt 1lrarr'dzilr.ości hipotezl' IJn, rozkłacinon.nalltr' .\(0.I ).l, Jeżeli hipoteza altcrnat1'rr'na l]lźl l]oStac H,: p,ł1t', to dla prz1'jętcgo pozionttt

istotności a konstrtlujenly obitstrontry obszar odrzlrcellia, którv llla postać/t

W =\- o;- trr!)u (2r,,;.o) (patrz r)'sunek 6.3). Z tablic stanclaryzo\\ranego

rozkładu llortllalnego odczl'ttt jeIllv taką rvartclśc zl.' , ab1. s1lelrliała rr.arullek

/vtD(r"J=l-:/.

2. Jeieli hipoteza altcflll.tt\\\Illl Il']a |r(]śtael I1'; ,tr,]]',l1.. tO dIa 1ll.zr.jetcu.o poziotllttlstotności a kollstrtrtrjeIll\ l]l.a\\ O5tl.t)llll.\ obszar ilclI.zttceIlia. kt(lrr tlla poStaćLl/ = \tt,,;oo) (patrz r'l sLlnek 6.1). 7, tablic clr strr bLrantr, stanclarlzou,,ancgo

rozk|adu nortlraItrego odczl'tLljcnl1' taką rvartość l/.., któ|c.i d1,strvbuanta

r.r1'nosi,D(u,, ) =7 - a .

3. jeŻeli |iipoteza alternatvrvna tlta postać 11,,, 1t,<1t,,to dIa przrjętego poziorllttistotllości a koIls1rttujetrlr,' lellostl.ollIly obszar odrzLtcellia' któn, tlla postać

lrl/ = (- n'.- uo) @atrz ry'sunek 6.5).7- tablic dystrybLrantr, standary'zou/anego

rozk-|adLr llortrlalIlego odczytrrjenry' taką rvartość l/a . której dystrybuallta

nvnosi @\u,,)=l*a.Jeżeli u eIIl - to odrztlcanlv hipotezę Hp llii l.zecz hipotęZ\/ alte|llat1.rvne.j'Natonliast jeze|i u ę ltr, . to nie nla podstittt,do odrzucenia I-[o.

Przl,lilad 6.12

Zakladając. Żc zrózllicorvanic pouir--r.zchlli sprzcdai1' rv poptrIacji lóclzkic|r lokaIiu'vnosi 150 nl:. a u'Ozorkou'ic 60 nlr. spraridz lla podstal'ic danl'ch i tabcli 2.9 i2.10cz). l1a poziolllic istotIiości rórvllt.ltr l9i, rnoŻIla strr'icrdzic. Zc przcciętlrit pclrr'icrzchlria

a{0 WeRyrtx,ąc.lR H IPoTEz STATYSTYcZNYcH

lokali sprzedazy. rr Lodzi .ir--st iiiększa niż' przcciętlla polr'icrzchllia lokaii spl.zedaż1,ri'Ozorkorvie.

Rrlzrviazanic

Zbadano ll :494 |okaIi sprzcdaz1, rr' Łodzi. iclt śrcdnia porvicrzchnia sp|.zcdaży

lrr'ltosi il = l-l 0,07 rlrr (prz1 klacl 3.5). W prz1'padkil lokali sprzcdaŻv rv ozor.korvic

przcbadano próbę ll;_.ł0. średllia rr,yIlosila i = 59.9 lnr (przr'klac1 3..1).

Stau iarn; hipotczr':lls:1t1-1t2

H1: lt1> /ttobliczamy' *'artość spralr,dziallu tcsttt :

r r0,07 - 59,9= 1.479

WYznaczolla z tablic d1'strvbuantr stalldardorrcgo rozkladu llot.l-nalllego \\.artoŚc

dla poziolrlu istotności 0.01 rl'r.rrosi tt,, =2.33. PrarrostroIltlr'olrszar odt.zrtccnia |ll.l

postać i/ = (z.::;*) . \\'.,,-'^.zo|la prZcZ lles statr'str.ka nalcŻ1,clo obszarlt cldt.zttcclria'

za(ettt odrzucalll1' |tipotczę ZL-IL]\\ ą'Z prarr.dopodobiclistrrclll 990rl llltlŻllit sądzic. Zc przccięt|la porvierzchnia lokaIi

sprzcdaz), rv Loclzi jcst rr'iększa Iliż rr' ()ztll.ktlrr ic. c

Przypadek ll. Populacje z nieznanym odchyleniemstandardowym dla duzych prób89

Jcżeli drvie badarlc popirlacje Illają liczebności spelniające \\'artl|1ek

lt| + tt) >.l 20, prz1' cz\.lll odchr,lenia staIldardorve o, i o2 Są l1ieZ|)a|)e.,..' to t]a

podsta\Vie w}'llikó\\' Iliezalcznych plob, odporviedrlio o Iiczebnościaclr ll1 ilz7wYzllacZal-nv rvattośc Stat]"St}'ki :

;:;il --\t (6.t0)l/ = --::=::

gdzie:

l iIt. - średnie ar\'tllletyczne \\ryZl1aczol]e odpor'r,iedllio Z plóbypierri sz-ej i drLrgie.j.

E9Zak|irdasię.że li1 +ll' >l)0.Prll.óri'Ira.1 l-LtszllierriczA'.Slab1'r [2O0]]'s. l89...',

Za|oŻerlie' Że badarle ilopulacje nlają rozkladr.nclrnlaIny'przr duŹr'ch próbaclr.jest nieistt'tlle

s: .s;

n1 t1}

I ESTY PARAMETRYCZNE 219

,sI i ,S' - oclch1.lerlia standat.dorr'ę w)/Zllaczolle odporviedllio dla pierrl'szej

i drugiej prob.v,

nI i n) - liczebIlości odpolviedllio pienl'szej i drLlgiej próbi'

Stat.vstyka (ó. l 0) ll]a. 1lt.zv załoicll itt prarr'dzilr'ości hipotezy H6, roz'kładnornralny

^(0.1 )

Dalszc postępo\Vanie jcst iclellt1'czne jak rr, 1lrzrpadktr I.

Prz1'kład 6.13

Na podstair'ie darlvclt z tabc]i 2'9 i 2.l0 strr.icrdzić lta pozionlic iStotllości róir.nr'nr19a. Ż'e przcciętna porricrzclrrtia lokali sprzcdazy rv Łodzi jcst rviększa rlii przcciętllapou'ierzchnia Iokali sprzedazv rv Ozorkouic.

Rozu'iazan ic

Zbadantl tt;494 lokali sprzcdazy' rr' Lodzi. ich śrcclllia poivicrzchIlia sprzedaz1'

ril,llosi rr = ll0.07 lllr (prz-1 klac1 3.5) or.az clclchr,lcltic stallclarclclrl'c .S.=|.ł7.50 rnr

(prz1,kład 3']0). \\/ prz;'padktr Iokali sprzedaŻ.'' rv ozorkolvic przebadano próbę ll2:.ł0.śrcdnia rrl'nosila r:59.9 lll: 1pl.zvklad 3.1). a oclcli)'lellic stalrdardorvc S2:58.55 nl]'

Zatenr spelnionv jcst rvanrnck ł, + tt, >120.

Starr ianr-r' ll ipotczr':lls; 1t1-l't2

11y: 1t1> lttobl iczani1 ir'al.trlść spI.atl'clziall tt 1cs1tt :

I 10.07 - 59.9= -+.10 i

491 .ł0

\\'1'zttltczorla z tablic d1'str1,,buarlt1. standar.dorl'cgo rozkladu tlol.lllalttcgo u'artość

dla poziolnrr istotności 0.0 l tr,y'nosi ll,t =2^33. Pratl'ostrilntt1' obszar. odrzttccIlia |na

postac lI,' = (z,::;.o) . \\'.,,.'o..ona pr7-cz llas statvstvkil llalcŻy clo o[rszarLt oclrzucetlia.

zatcIn odrzttcalny hipotczę ZcIo\\'ą.

Z pralr,dopodobieństrr,cnr 99oń rnoŻna sądzić. zc pl.zeciętna porvierzchnia lokaIisprzedażr, lr, Lodzijcst rviększa nii rl' ozorkoivic. e

Przypadek ||l. Populacje o rozkładzie normalnym z nieznanymale równym odchyleniem standardowym d|a małych prób

Jeżeli drvie |ozpatl.y\\'alle popLrlac.je Ina.ią rozklacly'' llornlalItc N(1t1,o1)

i N(p,,o"),1lt'z'v C7.\||T| oli o.' rr'poptrlac.jach getiet.alttrclt sątricztralre ispelnione

220 WERYFIKACJA H IPoTEZ STATYSTYCZNYCH

jest zalozerlie o jeclrlorodriości rvariallc.i i.''. tzll' d t: d:, a liczebIlości prób ll7

ill, są ll]ale. to na podstilrrie rvyttiktirr'tliezaleillrch prób \\'\'Zl]aczall-}y lval1ość

statl'styki:

( ó.1 l)T-., ^./.l/trJr+r,.,\,1 I l)l;r;=1,, *,,.

J

gcizie:

'' i Ę - śrcdnie al.\,tl1letycz|le \\'vZI]acZone odporviedrlio z prób1,

picnvsze.j i dlugie.i.

S' i Ą . odch1,lenia statldardorve \\'\'Z|]aczol]e odpolviednio z picI.rr'szej

i drrrgiej próby'n, i n. - liczebności odporviedrlio pierlvszej i drugiej próby.

Stat1.sn.ka (6.l0) nla l)|Z), zalozeniLt pt.artdzilvości lripotezy l{., rozklad

t-Sttrdeltta o (rt'i71.., - 2) stopniach sw'obocl1 .

l. Jcżeli hipotcziraltertiatrri|lalllapoStacH,.. 1t1t1t,.todlaprzyjętegopoziollttlistotności a kollstt.trttjcIllr' tlbLtstt.ilIlttt- obszaI. oc|rzttceIlia, którr, nla poStać

W =(_ -:ą,)w(t,,^.',:) {pntr.. rrstrllck ó.6).

2. JeŻe|i hipoteza altel.tlatt'lrlla ll]a poStac It,.. 1t,;'1t", to dIa przyjętego pozioIllLl

istotności a kollstrtttt.jr-'|ll.\' l]l.a\\oStt.ol)|l\ obszar odrztlcetlia, którv nla postac

II, =\tu:or)(patrz r1,stlllek ó.7 - poziolll iStotllośCi prz1'odczy.tl,rr'.atlitt z tablicjest drva razy rryzsz),od zakladancto),

3. JeŹeli hipoteza altertlatvrr'tla llla l]oStac H,: 1t,< 1t,, to dla przyjętego pozionru

istotności a konstrtrLrjeIllt' lerr,ostrotlnl, obszar odrzucenia, który nla postacll' = (- u::- l." ) (patrz rysttnek 6'9: poziorll istotności llln, oclcz1'ry,lr,atlitt

z tablic jest dlr'a razy lr't'Ższ\' od zakladanego),jeżeli teIY , to odI.zttcaInv lripotezę I.l9 lla rzecz hipo^tezy alternat-vrvlle.i.

Natonliast jeŻeIi r ę||l ,to nie trla podstau'do odrzltceliia H0"..

.,'JeŻeIi to za|tlietlic nie.jest trlodaIte naIeŻ1' przeprorr'atlzić lver}'fikacjg hipotezY orórrności

.^ rrarianc.ii.

.,. \\/ 1ll.ograttrach kclnlpu1erou'l,cIl stosort,atrv.jest ri'1'łąg7nie przy'padek IlI ilV.

Tesrv pnRnnerRyczNE 221

Przyklad 6.14W cclLl 1lol.órr'llallia śr.cdIlicgo sfaŻtl l)Iacv rr' drr.óch zakłaclach rr.r,]o.sc.lrvallcl

z kaŻdcgo z trc|r zakładórr. gI.11pę pr.acorirliktiir' i zbaclarlo .ią po.l rr,zr:lędcIn d'|r"rgtlŚcistaŻu pfacy rv dall1'nr zakladzic. otrzl'lllatlo Irastęptl.jącc rczLtltatv:

labcla 6.21

n r ,t

Zltkład A l6 ó.8 t.1Zaklad B t0 8.2 2.5

Zrrrdlo: Dallc unto\\l!

\\iiadotllo, Żc rozklad StaZtl plac}'.icst llOr|)]aIn\'tr,tr'c|t zaklacJach orazzrÓŻrlicorr'aIlic staitl prac}, \\, obtt poptrlacjactl jcst idcltty'czrrc. |7'|1. o , = o,'-Zii'er1'tikoll'ac lla poziolllic istotlrości a = 0.05 hipotezę' zc średIli stai prac\, \\.obuzak ladach j est j cd nakorvy,.

Rozrviazan ic

Sta$ innlY llip()lcz\.H1i. 1t, = 1t,,

H;. p , < rl,. (bo śr.cclnia staftl p|.ac\. ri zakłarlzic A obIiczrllla z prtlbl..jc.s1nrzsza rrii rr B;

KoI.zvsta.iąc z rclac ji 1(l' l()) rlbliczlrrlll:

= l.ó']

I(olzvstanry z przlpadku lll. Liczba stopni sn,obod1,u,r'nosi: nt+n)-2=14.a stat)'styka t.Studcnta odcz\'tana z tablic I.,. =|,7ll. Przcdział ocll.zttcellia nla postać

/ , -,.r,|'=\_cr:_|./ll). a l-_i.óje I'I,'.lr'ięc llic ltla podstarr do odrzLrccllia hipotcz}'o l.óu'llości śr'cdnicgo staztl pfac\' w plcZcllto\\allr'ch zakIailach. nvic lnozlla zatcllltrrierdzic z 95o/o prarr'do1lodobicństrl.cltl, zc śr.cdlli stai p|ac}' rr.zak'ła<lzic A j.cst lriŻszyniz rł'zakładzic B. ,y

Przypadek lV. Populacje o rozkładzie normalnym z nieznanymale różnym odchy|eniem standardowym d|a małych prób

Jeżeli drvie rozpatr\'\\,alle popLrlac.je nlają rozklady llornlalll e lll(trt1,o,)i Nr1t'-,o), prz), cz\|n] o/ i o.. rr' ptlptllacjach genelalll;'ch są nic.znane i nie

6.8 - 8.1

zzz WeRvrtxłcLn HlPoTEz sTATYsTYcZNYcH

spclrlione jest zaIożeIlie o.jedlroroclllości ir'ariatlcji9j. tzn. d 1* d.' a liczebrlościprób ll, ill. są Illałe. to tla podstarr.ir. rvvllikó',r,niezaleznych pl.ób \Ę/Znaczan]yrvar1ość statvstvki:

( 6.12)

gdzie:

\iĘS' iĄ

. średllie atl'tlllett'czne wvztlaczolle odporviedrlio z próbypierrvszej i dLLrgie.i.

- odchvlęnia staIrdat.dolre \\'\'ZllacZoI1e odpor,viednio z pierlvszeji drLrgiej próbv,

I?| i |l) - liczebności od1;orr.ic.dnio pierrrszej i drLrgiej pLóby'Statystyka (6.l0) I.Ila l)rz\. zalozcIlitt pr.arvdzilvości hipotezy Hn rozkład

t-Studenta o

/ : .ll{ S,- ,t; l

\ /rt nt ,1

stol;n iach srr obody"t'irr .\]+- ---

Ói(Ó, -r) Ó.r(Ó. -l)DaIsze postępo\Vanie ri.er1'fikacr' jne jest ident1'cztie jak iv przypadkLr III95.

Przyklad 6.15Analizu.jąc dalle z przrkladtr 6.1,ł strvierdzono. Źe zróillicori,anic stazu pracl'rv obttpopulacjach jcst róznc. Zrr'crytikorr'ać tla poziotrrie istotności a = 0.05 hipotezę, ześrcdni staŻ pfac\, w oblr zakladach jcstjedIlakorir,.

Roziviązalr ic

Starr'ianry hipolczr':

flo: /"tt = lt.H|: /.l| < /l, (bo śrcdnia staztl p|ac),. iv zakladzic A obliczona z próbv jcst

niższa niz iv B)l(orzystając z rclacji (6. l 0) obliczanly:

u..lezeIi to zlIozellie nie jest podarre nalez'r clokolrać lrer1,likacjihipotez1'o t.órr,Itości rrirriallc'ji.

'" NaleŻ;,parrriętać. ie liczba sto1rIli srrobodr'lnusi br'c zlrrl'sze Iiczbą calkorr,itą. Zate1ll \\\'niki

.,. rriecaIkosite zaokri1r.ll.rlltr,do pier*sze.j Iiczbr'calkclnite'j rt'górę'.'' \\'pI.tltranlac|r koItl1;uterorr,vch rr'vlącznie .jest stosclrvan1'przvpadck lll iIV'

I ESTY PARAMETRYCZNE 223

_ _l <ń

Korzystanry z/ t . i21S' ,S; I]-+-I łr llt l

prz\ padkrr

- I111 - t<

lV Liczba stoptli s\\'obod)' wvllosi:

a stat\ stvka t-Studenta o(icz\tana z tablic,si + -

.sr'

lli(il, -l) llł(l. _ l)

t:o =]'753 ' Plzcdzill odrzttccllia llllt postać I|. =(_..:-l.753) . n / = -l.56 e trl/. rvięc

rlic nla pilclstarr' do odrzrtcctlia ltipotcz1' o rórvlloŚci śrcdnicgo staŻu pracyrv 1lrczcIltouallr'ch zakładach' Nie |]loina zatclrr trvicrdzió z 95ońpr.arvdopodobictlstrr'ctll. Źc śrcdni staz prac;'rr.zakladzic A jcst niisza niż rr,zakladzic B.

e

6.3.3. Analizawariancji'leżeli tttattty do czyllietlia z rvięce.| lliż dlviellla plobami do testott'ania

hipotezy' cl rórvrlości średnich LlZ}l\\A się arlaIizy rvariallcji' Stosorvatlie anaIizylvariancji \\)'Illaga załozellia o jedtlorodrlości r,r,'ariancji o którr.ln będzie l]-}o\\'a

dalej.Starviarny' hipotezę Zerową }.{g, że r,vańości oczekirvane prób rvt'losowan\'clr

z ł popLllacji są rórvIle' cą'liH6 /t-lb:...:ltr

Fl ipoteza alternatl'rvna j est postac i :

Il, '. u,1t, + 1t , dla i + j

JezeIi hipoteza Zero\\/tl jest plirrr.dzirva, to rvartości śledllie rve rvszystkichpróbach są ic1entyczrle' odrzucenie hipotez.r,zerorvej oł1acza, Ze są Statyst}'cznepodstarvy do przy,jęcia, ze średnia rr'co najtlllliej jednej próbie istotnie rózni sięod pozostaly,ch.

Konstnrkcja artalizy rvariancji jest oparta lla procedurze dekonlpozycjief-ektrr zróztlicorvallia. ZróznicorvaItie w tynl prz1,padku llloze byćnliędzygrupowe ofŹlz \\'ewllątrz grt|po\\'e. ZaIenl stltlra krvadt.atórr, oclch1'lelirealizacj i danej zntiertnej (SS1') rozklaclana jest na clrva addytl'r'r'ne' sk.ladniki:

o Stl|llQ krvadratórv nliędzy gftll)o\\'}/ch odchyleri zInientlej (SSB):o Stlll]Q krvaclratów odchyleli \ve\Vną1rZ grupolrych odchyIcń znliennej

(SSE),

224 WERYFIKACJA H IPoTEZ STATYSTYCZNYCH

l ch add1't1'rvn ośc rr'arttll ktlj e rórr,rl ośc rr tirian c1 j Itą 1lostac i :

.5lt7'= 'SSŁ +'9.SR ( 6.13)

gdzie:

s'.lr-śi(..,_'| (6.14)t=t.l-l

ł..ssB - t(.\ - i) Ó, ( 6.15)

'

,=' ,,, , \".s.st= II(',, -r-,f ( 6.16)

i:],,..'k - llLl|]ler prób1':j = |,...,tt, tlLl|l1efv jedrlostek rv l-te.i próbic.

W ce lu rv'err fili'acji lri1lotezr Zr'-I.t)\ie.j t\\'t)l.l\' się tzrt. tablice ANoVA.Tabelł 6.22

Tablica Anova

Statrstyka I; nla asy'lllptol}.CZn},rozkIad FisIlera.Slledecora o ł-l ill-k sto1ltliachsrvobody.

Dla ttstaloltcgo poziotlltt istotności odczy'tLlje m1, z tablic rozkładu Fishera-Snedecora taką rr'artośó krr,t1'cztlą F,,. ab) speltliotla b1,la rórvrlość

l,(F > Fo)=a '.]eśli tr etrV = (Ą,;* n),to hipotez'ę FI., odrzLtcallly lla korzvśc

hipotezy alternatyu,nej II,. Natonriast gdy Fe (0: F,). nie nra poclstau, do

odrzLtcenia hipotezy Hn.

Zrćld|ozlnicnttoŚc i

Sulrr.r Llczbrr stoprlrku rcll a((rrr I sri r-rbrrdy

odchr lcri

Slcd n ickrr'adralou e

odchvlcnic

Statystl ka F""

Międz1'grupow,e SSB k-l ('ęnl/,)D -

-

I-l^-l

- ily'SR

nlsE\\'cu nątr.zgrupo\vc

SSE tt-kllse = 'S's[

tt-kogółcln SST

o...Ie,t t., wartośc star1.511';.1 podarrallej rr'tabeli 5'4.

Trstv pRR,ątrl eTRYCzN E 225

Przyklad 6.16Mając następującc rrr'llikt z trzcch sprarr'dzialtórv z lnatcnlat1,ki dla pięcitl

studentórv: |:2'4,3; 5; 4; ||''4.,4',5.'2,2 oraz ll|: 3; 4; 5' 3' 4.Udorvodllij, Żc przcciętne occll\ Z trcIl sprarrdziaIlórr.są idclltr'cznc.

Rozrviazalr ie:

Sta$ ianly hipotczr'Hs pf lh:/tj.H,:v7r, ł1t,d|air'j

t,l

Zaczlticnlr' od w'vzllaczcnia średniej i lr,ariancji dla kazdcgo zc s1lralr'dziittlórr'

TabcI:r ó.2J

ZaloŻcllic o jcdllorodności ri'ariallc.i iLtdoriodllitlllo w przl'kladzic 6.W cclu obliczcnia stat)st) ki F uvznaczanlr :

k D, ,

ssE = tlftu -,lI = 5.2 +J,f +2.8 = l5.lt=l i=1

Sredn ia zc lvszystkich trzcch sprarvdzianóu, \\ynoSl :

- l8+17+19 ^.,{=-=J,O

Zatcnr mantl:p2

ssB = I(ł -i) ll' = (:,o_3'6)r.5+(:.,ł_3.6)r.5+ (:'s_:,o)2.5 = 0.4

Tabe la Atrova jest postacl:

il II (', - ', )'

(. ) t'

) A J 2.56 0.3 6 0.614 A 4 0.16 0,16 0.04J 5 5 0.3 6 |.4Ą

5 ') 3 t.96 r.96 0,644 2

^ 0,l6 1,96 0.04Sunra l8 L7 l9 5.2 7,2 2.8

Srcdrr iarWariancja j.6 l.J i.8 1.04 t,44 0.56

226 WERyrlx,ącLR HlPoTEZ sTATYSTYczNYCH

TabcIa ó.24

Zród loznt lennosc I

Surnakrr'adratóu,odclrvlcli

Liczba stopnisu'obody

Srcdn iekrvadratou e

odchvlcnic

Stat;'styka F

M iędzr'IrtlDorve 0..ł 2 0,20 0,16\\/cu ltątrzgrupo\\,c

| 5.2 t: 141t,zI

ogóIcln 15.6 t1

Waność krytl'czna odczytana z tablic rr,vIlosi dla 2 i l2 stoplli s*.obod1'3.89.Zatcllr ltic nla podstarr'do odrzuccllia hipotez1'zeroir'cj. Z prarvdopodobier,lstrvenl 9-5oństrr,icrdzanly. zc śrcdnie occtl1, ttzvskanc |la lvszl,stkich tt.zcch sprarr,dzianach sąidcntr"czllc.

Gdy' u'ykorzlstatllv opcjc jednoczynnikorva analiza u'ariancji rv nloclelu analizad all1'ch rv Excc I u otrzr'Inuj ctlrr, pon iższ1' lvr'd rtl k.

Tabela (r.25

PODSUMO\\'ANIEGrupt' Lic:tt ik Stt n trt Sre titt itt Il'tt t't ct t I c'f tI

I 5 l8 i.6 t.iII ) l1 a1

1.8

II ) l9 J.Ó 0.1

ANALIZA WARIANC.II

'1 1,S I|,ą r l tlśc- Te,st F

0'8ó 3.8 8529Polniędzy grtlparrri

W obrębic grtrp

Razent

0.4l5t

2 0,2012 I,21

| 5,6 tJWarianc.ja podalla tutaj różrli się od tc.j policzollcj pt.zcz |las. po'iń'''iz poa'*1.'t

trr nieobciążolla rvariallcla'Po I iczllry n ieobc iązoną rr'aliallcj ę dla p icru.szcgo sprarr'dzianu :

I,s'*. =-|I(.', -i). =-ll_,1'. =

r.1.g.ł = 1,3tt-l i tt-I 4

Tak samo jcst lv kolc.jnvch prz;'padkach.W koIejllcj tabeli oplócz tradr,c1'jllcj tabeli Anoi'a llanr1.podanv krvt1,ę21iu pozionl

istotllości _ który.jcst w t\'m pfz}'padktr baldzo lv1'soki. Natonriast Tcst F poda.jc rvartośćkryt1.czną która jest idcntr'czna.jak obliczona przcz nas.

Przcciętne occny zc rvszy'stkich s1lrarvdziallólv nic rózllią się istotnie . c

I ESTY PARAMETRYCZNE 227

6.3'4. Test weryfikujący hipotezę o wariancji w populacjigeneralnej

Rozlr'aŹttr\, poprrIację generalną o rozk'ładzie ttorlllaltry,trl IV(1t,o1, pr7łcZ),|l1 wańość średnia poptrlacji 1l i oclchr'lellie stanclardorve populacji o sąlliez'lrane. Z badallej popLrlac.i i rr'1,losorr'allo llie zaleŻnie ll-elenrelrtorvą probę. Napodstarvie tej prob1' lralezt' zrr crr'fikorr ać hipotezę Zelo\\ią:

fl o'. o- = o\-t .

u obec hipotcz5 allcnlat\ \\ r)r'i1)

17 t'.o- > o; - ll t: o- < ot) lub ,11r '. o- + O,-t .

W ty'nr celtt tia podstarr ie rł.1'rlikórr' z prób1, obliczaIlly rr'artośc IlastęptIiącejstatl,styki:

( 6.r i)

gozte:

S2 - rvariallcja \\.\'Z|lacZolla z pI.óbr.

ą' - zaklaclana lr aI1ośc rl ariallc.| i.

ll . łiczebrrtlść pr.tibl .

Statysty,ka ta. prz\' założellitt prarr.dziu'ości hipotez1' zerorr'ej. nla rozklady2 o (lt-l) stopniach su'obody ' Dla ttstalonego pozionlu istotności odczytujenlv

z tablic rozkłac|rr f rvartość kryty,czlltt. 72u taką aby zachoclzila rorr nośc

P|z, >zi)=". obszar oclrzucetlia Ilta lvięc postac w, =(z):+.) (patr.z

rys. 6.2).

Jeś|i x2 e trll. to hipotezę Ho oclrzttcatlly lla rzecz hipotez1'alternatyrvrlej'

tlatotniast lv przecirt'Il\'rll przypadkLl, tz|.l. g.ly ,Ł. ęIIl . rie llla podstarv clo

odrzucenia hipotczy l-ln.

Jeżeli hipotezą alternatyrvną jest H': o: < oi ^ to konstrutljenlr'

lervostrotrtry obszar odl.zttcetria, który rlla postac 11. = (0: xi_")

-)r l/J-X-= .UO

228 WeRvnxRclR H rporEz srATysryczNycH

..tł1*

tł'.l,s' 6']0' LcwO',lronnv tlb.t:ur odr:ltcenio:I>ttdoy'anegtl tłla ro:kladu i p,:t,po:totnteisltlttlości a

'J nt :o- t o0 nlanry do czynienia

któI.ylll jest zbiór97(patrz rys. 6.1 l),

Iłys. 6. l }. obltslronn1' o|:s:ar odr:ttccnia tlla ro:klcttlu i : po:iontettt istottlości a

I'rzyklad 6.17

W1'konano 15 polniarórv czasu likrvidorr'allia tlstcrek śrviatcł na pcwn),ll1skrz;'Żorvaniu. otrz1,mLrjąc llastęptliące obserrvacje (rv godzinach): 4'5; 3.ó; 6;6,4:7'9;6'9: e'|,:7'4;9'0;4,3;6,I;8,2;4'9;7.5; 5.8. Zakladając, zc rozkład czasu likrvidacjitIstet.ck jest tlortnaltt1,. na poziolnic istotriości a = 0,05 zrveryfikorvać lripolezę. Żc

rr'ariancja czasu likr'vidacji usterck.iest rólvna l.

Rozu,iazanie :

Stalł'ialny hipotezy:)..R--l

H,:o2 >I

wne

nia

Itl'''-T)

t: . ft.'L-T

,' W pI.acv Krysicki [ | 98ó]' s. 90 podantl. Że ten clbszal. stosuje się. gdr, Iiczeblrośó prób1. lt<50

Trsrv pRRRtr,terRyczN E

Aby skorzystać zc rr,zortt (6.ll)' nrusillr1, u'yznaczy'ć lr'ariancję z próby' W tylncclu budrrjcmy tabelę roboczą:

Zrótlltl: ()bliczcIlill tr iasne

Korzystając zc lr'zorórr'zanlicszczolll'ch rr.rozdzialc IlI' obliczy'ln1'średniąafytn]ctyczną:

_ 94,6

t)a odchylenie standardorvc:

fr -S =./-'3i.39 = 1.5 .

v l5War1ość statystyki (6' l l):

, 15.(1,5),/'- ' =3i.75."tStatyst\'ka x; odczl.tarla z tablic rozkładu y', przy 14 stopniach srvobody ipoziornic

istotności 0,05 pr.z1'jlntljc rvartośc x * =23,685, obszar odrzucenia to zbior

,I/ =(T,685; .o) . obli..o|1c, przcz llas rvartość sprawdzianu nalcży do tcgo zbiorLr.

zatetn odrzucarny |ripotczę H6.

Można sądzic (z 5% prarvdopodobictistweIn błędu), Że rvariallcja czasórvlikrt'idacji ttsteI.ek śrviateł jest rviększa niż l. c

Tabela 6.26

Lp. \; r, -i (x ;ll

I 1.81 3.26

2 J.O 2.71 7.33

3 6 -0.31 0.09

4 6,4 0.09 0.01

5 7.9 r.59

6 6.9 0.59 0.3 5

7 ó'I -0,21 0.01

8 1.4 1,09 1.20

9 9 ) 6c)

t0 J,j 2.01 4.01

It ó.l .0.1 I 0.0.ł

l 8.1 l.E9 i.5 8

ti J9 t.-ll 1.98

t1 I 19 t.tl15 (r.i

I 0.] ó

S Lrnr a 9Jó 13.3 e

WrRvrrxncLR H tporEZ srATysryczNycH

Przyklad ó.l8Na podstawic danl'ch z tabcli 2.10 sprau'dzinly. czy prarvdziu,e jcst trvicldzcnic. ic

zrózllicorr.allic porr,ierzchni lokali sprzcdaŻ)' rv ozorkorr'ie.jcst lórvne 60 lll:, przvjlllLrjącjako pozionl istotności 0.0l.

Rozu'iazanie

MaIlry do cz1'rlicIlia z 'i=.{0.clcnlcntową

próbą. odchylcnie stalldarclolvcporvicrzchni lokali sprzedaz5.' u,5'uosi S:58.55 ur'. Str* ianrS' hipotcz5:

H,,: o) = 60'

H,'. o' i 60'obliczanry lval.tość sprarl'dzialltt tcstu:

, .10 . 58.55 ':y'= ' =38.09.^

-^j

6UWyznaczamy obustronn)' obszar odrzuccnia (patrz rys. 6.ll). Przy' poziomie

istotności 0'0 t i 39 stoprriaclr sri'obod1, rr,ar1ości odczytatlc z tablic \\,)llloszą

odporvicdnio' X+ Z,',,u,, = 66.'766i /,i : 7,'.,,,. = 20."106 . Zaten obszar odrzuccria rna

postać II. = (0; 20.70o) u (oo';oo:.z) . PoIiczor1a przcz t]as stat\,st\,ka llie rta|cĄ do

obszaru odrzuccnia. nie nra u iec podsta* do odrzucenia hipotczv zerorvc.i.Nie nranry podsta\\ do oclrzuccniir stwicrdzcnia. ic roznicowanie porvicrzchni

loka|i sprzcdazv rr ozorkorr ic just l.óri tlc Ó0 lltr. c

6.3.5. Test weryfikujący hipotezę o równości dwóchwariancji w populacjl generalnej

Niech dane będą drvie populacje odporviednio o rozkładach nofn-Ialnych

N(pt,o,) i |,tr(p:,o), przy czylll paran]etry tych rozkładór'v Są tliez|la|le.

Z populacji u,ylosorvallo tliezalezIlie drvie prób1' o liczebtlościacll ll' i,z.Ze względtr na budorvę tabIic rozkł'adLr Fishera.Sendecora za pierrvszą próbęprzyjnruję się tę, która rrla rviększąrvariarlcję policzonąz próby. opierając się narvynikach t1'ch prób należy zrr,etyfikor,vać hipotezę Ze|o\v'ą:

)117o:ol =r;,rr obcc hipotezy altenlatvu nej":

t1t'.01 >o;.Z obu prób otIi.,.,uy rvariarlcje eltlpiryczlle. a l.lastępllie rłat1ość

statvsNki:

uE Inne pr.z1'padki IrloŻna nltt|eźć w pracy l(r.1,sicki Il986]. s.92

TEslv płRRtr,,l rTRYcZN E 231

(6.r8)

gdzie:

Si - rvariancja \\r}'Zl]aczolra z pierrr,szej próby''.

^S'r -lvariancj ł w1l711ą.,opa z clrLr g i ej prób1,.

Statyst1''ka ta pIZv załozelliu prarr,dzirr'ości hipotezy Hn tlra rozkład Fishera.Snedecora o (ny-l) i(rur-1) stopniach srvobody'. Dla ustalonego pozionluistotności oclczyttrjenly z tablic rozkładu Fishera-Snedecora taką rvartośćkry,Ęvczlrą Fo, aby spełniona była rór,r'Ilość P(r. > F,) = o. Jeśli

F e |V = (Ę;+ oo) ' to hipotezę H0 odrzucaIlly lla korzy'ść hipotezy

alternatyrvnej H,' Natonliast gdy re (o;Ę). nie nla podsta'uv do odlzttcętlia

hipotezy Ho.

Przyklad ó.19

Dla danych z prz1'.kladtl 6.l.1 poró*lla.j uaI.ioIlc.jr-'rl obtr znkładach prac1'.

Rozw'iazallie

Zc rvzg|ędu lla bttdorrę tablic rozkładti [ris|lcra-SIlcdccora za picrrl'szą próbę

1lrzy'jlllicnly zaklad B. a za dI.trgą zakład A'Stnn ianlr' lt ipotuzr :

tl ,t'.oi =6;H,: oi > ol

1 ę2Ze*,zot.tl (6.i2) nlallly F =#=2,I6. Na pozionlie istotności a = 0,05 idla

.)'stopni sr,vobody 9 oraz l5 statilstyka odczytalla z tablic rozkładu Fishcra-Snedecora

przyjnrujc lt.artość Fo =f,59, obszat.odrzuccllia Iv = (2.59:+ -). outi.,onap.zeznas rvaltość sprali'dzianu tcstu llic nalcŻ1'do IŹ, a lvięc Ilic nra podstalr.do odrzLtceniahipotczv o rórrllości rrariancji.

Z 95% prarvdopodobieństu'eln tlic tna podstarv do stlvierdzcrlia, żc lvariancja staiupracy w zakładzie B jcst tr,iększa lliŹ r,r'zakladzic A. c

Przykład 6.20

Na podstau'ie danych zarvartvch w tabclach 2.9 i 2.10 sprarvdzicz prarvdopodobieristrvcln 95Yo, czy zróżnicorvanic poivicrzcIlni lokali sprzcdaiy lv Łodzijcst rriększc rlii rv ozorkorvic.

r r]la\(.srr :.s.r ) s,', -----nrin(Si:^s;,) .S.r

WERYFIKAcJA HtporEz srATysryczNycH

Rozn'iazanic

Starvialny hipotezy:

Hr: ol = 6itlt:61 >o;z tov"l:2.9 rr.Ilioskujenrv, ie liczcbność p.róby badanych lokali lódzkich ll;194,

a ich odchylcnie standaldorvc Sr:147.5 rnt. Punkty sprzedaiy \\/ Ozorkor.vicIeprczet1towatle Są przez próbę o liczcbriości tl;40. a ich odchyIcltie staltdardorr'erł1rlosi s,:58,55 nl:. Sprarr'dzian tcstu prz;,jnrLrjc war1ość:

,- l-ł7,5 rł'= ---'--.-.- = 6.346.5 8,s 5'

oczvtalla z tablic Fishcra-Sllcdecora rvartość krrt1,.czna przy poziorrric istotności0,05 i stopniach srlobod1 kl:193 i lt2:39 (ponicrr'aż nie nra takich rval1ości rl'tablicachtvięc przyjęliŚmy najbliŻszC kt:@ | k2:40) rvvnosi l.5l. Zatcnr obszar odrzucellia lna

t. -, \postać llz = (l.5 l:m). a obliczolra statlstl'ka F e,lY ' odrztrcanly zatcnr llipotezę IJ.

o rórvllości lr,ariancj i.

Z prarvdopodobicństlrcrrr 0.95 ltlclŻlla sądzic' Że zróŻlricorvanie pod rvzględclnpolvierzchni puIrktórr' sprzcdaz1' rr ł-odzi jcst ri'iększe niŹ rv ozorkorvie. e

6.3.6. Test weryfikujący hipotezę o jednorodności WariancjiDo lveryfikacji hipotez,1'' o jedrlorodności rvariancji rv1'korz)'Stllje Się

Specjalne testy istotności opracolr.ane przez Hartley'a, Corclrana oraz Baftletta.W pracy zostanie przedstawiouv test Hartley'a.

Niech dane będzie t populacji odporviednio orozkładacll nornlalnychN(!r.,oil, p|.zy czyn paranretry Ęclr rozkł'adów są l1ieznalle. ZpopulacjiwyIosorvano niezaIeztlie t prób o Iiczebnościach nk,

opiera.jąc się na rryrlikach tych prób naleĄ zrt'eryfikolvać hipotezęZefową:

Ho:ol = oj =...= oi

u obec hipotezy all enlalr'rvnej t2:

Ht: " oi+olt, JIł.l

.,., Irtrle prz1.padki rrroŻna ztla|eŹc w prac}'Krysicki {1986]. s. 92

Tesry pRRRlrrt erRy czN E

Test istotności Hatley'a defirtiorvaIly jest jako i|oraz tnaksyrrralneji mininlalnej rvariancji, tzn. jako:

( 6.le)

gozte:

sf - wariallcja wvzllaczolla z pierrvszej próby,

Sj -rvariarlcja \v'yzl]aczolla z drugiej próby;

So2 -warialrc.|a lr'vzllaczona z t-tej próby;NaleĄ rvspolllnieć. ze fortrralllr,tn warunkiem Stosowania tego testu jest w

przyblizeniLt idenq'czna liczba jednostek obserrvacji rv każdej zprob.Star;"sry'ka ta przr, zalozeniu prarvdzirr'ości hipotezy H6 tna asyllptotyczlly

rozkład Fishera-Sllcclc.cora o (n-3) i(n-l) stopniach sri'obody. Dla trsta|ollegopoziotltu iStotności cldczr ttt jetlll z tir[rlic I.ozkładu Fisltera.Slredecora takąrvartość kt1.tr'cztlą Ą'. "b)' spcllliolla br la rou,nośc P(r- > P.,,)= a ' Jeślil- e|Il = (Ą,;* ol; . to hipotezę H', odrzitcatlrr' lla korzyść hipotezy

alternatyrvnej H'. Natolniast gclr F=/il. l,). nie nra podstau'do oclrzuceqiahipotezy Hn.

Przyklad 6.21

W trzcc|r zakładach o jedllakou'1,rn profilu prodtrkc.ii dokonano analiz1, rryclajnościokreślonej jako przcciętna liczba lwkonall;'c|t operacji dla rłr'brallych l5 pracorvnikórv.Zbada1, cZ}. |tlozlla nrórvic o jcdnakorr,1'rlt zr.óinicolr,arliu (eclnorodIrości warialrcji)lr'ydajności r've rvszystkic|r trzech zakładaclr. Danc o zróinicorvaniu przedstarvionorv tabeli:

Tabela ó.27

Zaklad .9' ,s

40II 5.3 3

III J6)

Rozrviazan ie:

Wr,raznie rvidać, ze rvystęprrje zróżllicorvanic ocel1 rwda.jllości polniędzyzak|adalni. Najrviększą rvarialrcję otrzymaliśnly dla zakładu pierrvszego, a lia.jnlllicjsządla zakładu drugiego. Stosując test l-Iar.t|ev'a. zrveryfikujclny hi1lotezę, odnośnic clojednorodności rr'ariancji rqda.jności rv rwbrallych zakładach. Starvialny zatcnl hipotczęZerową ic rvariancja j cst jcdnorodna:

IIq:oi =oi =oi

WeRyFlx,ącLł H IPoTEZ sTATYsTYczNYcH

rvobcc h i potezv alternatl,rvltej :

f,!| v o|źo;i, jiźj

Spr.alvdzianern tcgo tcstu jest stat,i'styka F. którą \\\'z|laczan1v z (ó. I9) jako:ql rA

r " Iltil\1- = * =-='75,sr 5.i3- lnltl

War1ośc kr\,tyczna tcsttr dla a:0,05 il'1 = l2 oraz12: l4 stopni srvobody rwnosiF": 2'6' odl.zucanl5, zatcln hipotczę o .icdrlorodllości wariancji składnika losolr'ego.MoŻlta przypuszczać, Żc zroŻrlicorvanic u,r,dajttości rv wybrallvch zakladac|r nie jcstjednorodne. e

Przykł,a'd 6.22

Zlvcrr,tikLrj załoicnie o jcclnorodrlości rral.iallcjidla 1lrzlkladLr 6'i6.

Rozrviazanic:

Staw ianlr' lripotczr:l1tl\t'.ol =o)=01

llfl|'. v ol#o-,i. j

i#,iMaksynlallla rvartość rvarianc.ii rr1'llosi l.zł4; a llliIliltlalna 0.5ó. Zatcm statystyka

F:2'57' War1ośc kr1'1',.'no odczvtana z tablic dla 2 i3 stopni srr,obod1,r,vynosi 9,55.Zatenl rwzllaczolta ll'altość rlic nalciy do obszartt odrzttccllia. Nie nra podstarv doodrzttcctlia hipotczv zcrorvcj. ł6.3.7. Test weryfikujący hipotezę o wskaźniku struktury

w populacji generalnejHipotezę orzekającą. żc rł.skaznik strtlkturr'p rv populacji gerreralnej jest

rórvlly p6' zapistlj emy:

l1u: p:po

l]lozetl-l}/ rveIyfikorvac ją rvobec jednej ztrzec|l rózny'ch hipotez altet.llatvrvny'clt:

H,: p + pr.

Hip>po. (6.20)

HiP<po.

I ESTY PARAMETRYCZNE

Test istotllości dla hipotczy Ho po|ega rla podjęciu decyzji rla podstarvierr aItości statysĘ'ki

( 6.2r)

gozle:n.

\|), = --!-. w},ZtlacZolly z próby, r,vskaznik struktury badallej ceclly,t'I

Po - z go|),załoŻotlv rvskaźnik struktury,tl - |iczebność 1lrób1'.|1, . liczba eIelrtetltćlrv ri'1'różnion1'ch u, próbie n-elenlelltorr'cj.Statystyka ta llla 1lrzr, założetlitt prarr'dzirvości hipotezy FI., rozkład

asyztnptoĘvcztle norllralIll .\10. l ).

l. Jeżeli hipoteza altcrtlatrrrlla rlla 1lostać II,' plł1l,,. to clla prz1jetego poziolllttistotności a kollstrttLtjetllr tlbtlstI.tlIlllr o[rszat.ocll.ztlcetlili. którl.nla postać(,,W =l-Q,-u,,)u(ll.:z) (patrz t'rsttnck 631. z tablic stanciarryzo\\'anego

rozkładu nortnalllego tldczrttt.iclllr taką riartosć tt,, . abr spclrliala rr'arLtnek

/\f/@(rr")=1-:.!

2. JeŻe|i hipoteza altcrtlatyrr,tta rlla postać II,.. p>p11, to dla przyjętego pozionluistotności a kollstl.tttrjel]]) l)|a\\'ostt.otllly obszar odrzucellia, któr1, nla postać,'t/ = (u,,or) (patrz r1'sLrnek 6.4).

3' Jeżeli hipoteza alterllatyrvna n]a postac H,: p<ps1. to dla przyjętego pozionlrtistotności cr koIlstrLrujenly lervostronny obszar odrzucellia' który, nta postać/,lT = \- d):- Lta ) (patrz rysunek 6.5).

Jeze|i uell/ , to odrzucalrry hipotezę H6 lla rzecz hipotezy alternatyrvnej'Natomiast jeŻe|i u € I[ , to nie nla podstalv do odrzucenia IJ6.

Przyklad 6.23

Z patii btrtclck dostarczonvch do rozlervni Coca-Coli spraudzollo 900 butclckiznalcziono r,r,Śród llich l8 buteIck il'y'brakorvarlr'ch. Na poziomic istotności a = 0.05zr,l'cryfikolr.ać hipotczę, Żc procent rvadlirrych butclek jcst rór'r'll1,3.

230 WERvFtKACJA HrporEz srATysryczNycH

Rozrviazanie

obliczamv rr'skaŹnik strukttlry l''i

Stau,ianr), hipotczy,':

Hr: P =3VI-I, : p <3oń

Korz5,stając ze \\/zoru (ó' l4) nrarn1':

0,02 - 0.03 I ar

odczytalla z tablic rozkladu trorlllalIlcgo rvartośc kr;'ty'czIra na poziornic istotlrości

a = 0.05 rrr.nosi tt,, _ |.61. Zatelll obszar odrzLtceItia llra postac Iłl =(-.,'.- l,61) .

obliczona rvar1ość statr'snki tlalczl' do obszaru odrzucetria. zatetn odrzuca|nv hipotezęH6. IVlozna sądzic z 9596 prarrdopodobieńst''r'elll' Ze procet)t rvybrakou'anych butelekjest mniejszy' od 3. e

Przykład 6.2;l

Przyjrnując a = 0,0l rra poclstarr'ic dan1'ch lv tabeli 2'9 zbadać, czy Iokaleo porvierzchni sprzeclazy mniejszej rnŻ l 00 Illr statloil ią 75% wszystkich lokalisprzedaŻy w Lodzi.

Rozrviazanię

Obliczarny, jaki procent

l00 lll2 rv próbie podanLiJ \V

próby lvynosi n=494' Stawianry lripotezy:

Ho'.1t:75%Hr': P ź 750^

ob l iczarny statl.stykę

0,'74-0,75-05r1

Dla obtrstl.onnego obszaru odt.zucęnia odcz},tana rvartość u'),nosi ri.' = 2'58 (bo

= 18

=0.02 =2oń.900

stanort'ią lokale o polvierzchni sprzedaiy rnniejszej niż)aJ+lJJ

tabeli 2.9: lr,, -::-^| =71o/o. LiczebrlośĆ badanej' 494

+=

10,'7 5 .0,25

\ 494

0,03(t - 0.03)

o(''" ) = 0,995 . obszar odrzucenia nra postać W = (-m;_ 2,58) u (z,s8;.o)

Tesly pRRłtr,tETRYczN E 237

Wvznaczony sprawdziarr testu /l ć, 14/ ' zat,errl nie tna podstaw do oclrzucerria hipotezvzerowej.

Z 99% pralvclopodobietistrvetn nie da się sądzic, że oclsetek łóclzkich lokalio powierzchrri sprzedazy Inniejszej niz l00 trl] róini się istotnie oc]75oń, e

6.3.8. Test weryfikujący hipotezę o równości dwóchwskaźników struktury

Stawianry łlipotezę Zerową że badane populacje nlają równe wskaźnikistruktury odpovr iednio 1t, i 1t..tzn.

Ho: P, = P',.Na podstari'ie rvr.ni|<ów drvóch niezaleznych i duŻych prób

o liczebnościach ll, i tl..rl,x.z'naczanry rł'artośc stat1,sty,ki:

( 6.22)

o Azlp.

n,] + t'I,)v--'

nt+n)

q =1- p ,

ntn)ll -

-

,

nt+n)

y,,l = ?i lt,,. - ,',. - wskaźniki strLrktury uzyskane z prób.l1l n1

Statystyka (6.l5) lna. przy za|oieniu prawdziwości hipotezy Ho' rozkładasymptotyczne norntalny I(0, I ).1. Jeżeli hipoteza alterIratr,u,na llla postac LI,: p1źp2,to dla przyjętego pozionlu

istotności a konstruujenly obustrontl1, obszar odrzucenia, który nla postaćW,' = (- cn., - L! (rl w (t,,, :a) (patr zrysunek 6.2 ).

2, Jeż'e|i hipoteza altertiaty',lr'na lna postać Hl: Pt>P:.to dla przyjętego poziolliuistotności a konstrtttrju.nl\' prawoStrollll1' obszar odrzucenia, który lna postaćtrf =\tto;vc) (patrz rvsunek 6.3). z tablic clystrybuanty stardaryzorvanego

( 6.23)

( 6.24)

( 6.2s)

238 WERYFIKACJA HIPoTEZ STATYSTYCZNYCH

rozkładu nonl]alnego odczytrrjenly taką u'artość u,,, której dy'strybuanta

wyrrosi O(tt.,)=7-a.3. Jeżeli hipoteza altenlatywna llla postac II,..p,.-p. to dla przyjętego pozionltt

istotności cr kollstruujemy |ewostroIlny obszar odrzttcenia, który lna postaclt

II/ = \- ct),, - lt d) 1patrz t1sutlek 6,Ą). Z tabl lc dystrybuatrty standaryzorł'a11ego

rozkładu nornralnego odczy,tujenl1, taką r,vartość zl.' ' l<tórej dystrybLlarrta

wvrrosi O(,t")=l-a.Jeże|i tteI,V , to odrzucalny hipotezę IJp na rzecz hipotezy alternatywnej.Natollriast jeżeli lr ę|V , to trie lrla podstavr, do odl.zucenia H6.

Przyklrrd 6.25

D|a a = 0,05 strvierdzić na podstarvie dan}'ch z tabeli 2'9 i 2.l 0, czy procent lokali

o porvierzchni sprzedaz1' rtie rnrriejszcj niŻ l00 'll.

jcst rviększ;' rr' Loclzi nii ozorkorr'ie.

RozwiąZanie

Jako pierlr,sza próbę IoZ\\ an 'lll\ ]okal... lÓdzkie: liczebrlość ll1: 494, lokalio porvielzchni splzeclazr nie nrnie-iszc-j niz i00 nlr .icst ii,1=126. bo 52+1 7+57 (f:atrztabela 2.9), a ri'ięc *sklzrrik slrLtkttlrr,rr'rllosi rr.,1=0,255. W pLzypadku punktórr'sprzedaŻy rv ozor.korvie lllalll\. do cz1'nieIlilr. z prÓbą /7r=40-e|ęmentową, lokalio powierzchni sprzedaŻy nie rnniejsze.j niz l00 tll..jest li,1:3, bo 2+l (patrz tabela 2.l0),zatern rvskaznik strukturl uvnosi lr',1:0.075.

Starviamy hipotezv:

I'!o:pr=p.H,: P, > P'Przed przystąpienicnl do obliczenia sprawdzianu testu policzyln5' rq'stęptrjące

rv reIacji (6.l5) wielkości pornocnicze:

l2ó+3 40'Ą94 1-l)=- =u.-:+. (/ =u./o. ll=-=)l' 494+40 40+194Możenr1' obliczyć stat1,st,vkę potrzebllą do rveryfikacji testu:

0,255 * 0.075 I 56iLL-

Dla pra\vostronnego obszanr odrzucenia odczy'tana (z tablic d;'strybuantystandaryzolvanego rozkladrt nornlalnego) prz>,poziotnie istotności 0'05 waność

kry,tyczna uynosi l'6-ł. Zalclll obszar otirzucenia tna postac |,/ : (I.o.ł:-) PoIiczorry

sprawdzian testu // eI|/ , a rl'ięc odrzucarny hipotezę H.,.

0,24 .0,7 6

37

TESTY PARAMETRYCZNE 239

Z 959,o prawdopodobieństrvetn moŻęlllv sądzić. Ze procent lokali o powier.zchnisprzedazy nie rnnie.jszej niz l00 nlr jest tviększ1'rv Łodzi rliŻ rv ozorkorvie. c

6.3.9. Weryfikacja hipotez dotyczących współczynnikówkorelacji

W analizie rr'spólzależrlości ceclt będzierll1 u,ery'fikorvać hipotezyo niezaleittości ceclr oraz o littiorvr'tn ksztalcie z-aleŻności.

Hipotezę o liniorve.i lliezalezllości ceclr (braku koreIacji liniowej)fonnulujen-ry rv postac i'

u":

H6:E(r.,)=0 (6.26)

przy jednej z mozliwych hipotez alternatvwnych:

H,'.E(r,r)*0, Hr:E(r,,,)>0 lub It, :E(r,,)<0 ( 6.27)

ilveryfikLrjetlry w oparciLl o test. dla którego sprawdziattenl jest statyst1,ka (5'21)lub (5'29) rv zalezIlości od liczebności próby losorr.ej'

Przvklad 6.26

W prz;'kłaclzie.ł.j obliczono rrsptllczr'ttnik korelac.ji llrrioucj irr.r,nosił on 0,55'Zakladaiąc, ie r'v-vnik 1lochoclzi z pr(lb1 |o51]lve.i zbatlac. cZ\']l]oZlla trzllac badane cech1,

za istotnie za|ęŻne na pozionlie istotności 0.05.

Rozrviązanie:

Starvianiy hipotezy:

Ą,: E(r',):0H; E(.rr,)*OW przytoczonyrn przykładzie liczebność próby w1'nosi 30. Trakttriąc tę próbę jako

nralą korzystalny ze rvzoru (5'29)0.55r= ' :iJR

lr - 0.55'l_ł :o-:

Statystyka ta porvinna lnieć rozkład /-Studenta o 30-2=28 stopniach srvobody'Zatetn rvartość kryt-vczna /0.05 2g:2,048. obszar odrzucenia jest sunlądwóch przedziałórv

il/ = (-rD,-2,048 > U < 2,048,a) .

l00 Werylikacja hipotcz1, II , ''E(r.,,) = Po w),|naga zas(osorvania ilrnyclt testórr' (polórvna.j

W. Sadorvski. [976]).

111 :E(c,,)>0

Do weryfikacjihipotezy (6.21) trroŹna Zastosowac test

c,.. t1_rr-- - ---- . -------- ,l-';'' r-l

WEnvrlr,łc.'lR HIPoTEZ sTATYsTYczNYcH

t eW, rvięc odrzucallrv hipotezę zerową. Wartość wspólcz-vllnika korelacjilnożna un)ac, za istotrlie różną od zera. zateln istnieje istotny zrviązek korelacyjnyo clrarakterze liniortyn między badanyrni cechanli. e

Hipotezę o niezalezności cech opartą lla Stosunku korelacji e r,,

fonllttłujetlly w postaci :

Hr:E(e,,,)=O (6.28)

przy h i potezie alternatywnej :

r6]q\

( 6.30)

gdzie r - liczba klas znriennej niezalezrlej (objaśniającej) x, natotlliast zmieIlnalosowa Ftlra rozkład Fishera-Slledecora Z .|)=r_|oraz S2=fr-l. stopnianlisrvobody. obszar odrzucenia testu rv1'nika zza|ezności:

P(F>_Fo)=o. ( 6.3 r)

Przykład 6.27

Zbadać, czy rvaftość Stostlnku korelacji z przykladu 4.5 jest istotnie roŻna od zęra.Przyjąć pozionr istotności 0.0l.

Rozwiazanię;

Stawianly hipotezy:H0: E(c,,)=0H1:E(c,,)>0w prz}''toczonyrn przyk-ladzię n = 65, c,,:0.30. Sprawdzianern hipotezy jest

rvartość

F = o''ior - . 65-5 = r.5r9-{-s

l-0,302 5-lLiczba stopni slvobody,dla rvar.tości krytycznej w)'l.losi s1= 5-l, s3= ó5.5' War.tość

krytyczna Fo.6r .r co=3,65. obszar odrzucenia w t)'nl teście IY =< 3,65;co). Spralvdziantestu nie naleĄ do obszaru odrzttcenia, zateln nie ma podstaw do odrzucęnia hipotezyzerowej. Przy poziornię istotności 0,0l nie moŹna Zateln stwierdzić. ię stosunekkorelacj i jest istotny statystycznie.

TESTY PARAMETRYczNE

Jeżeli rniernikiern zalezności cech jest współczynrrik korelacji rangSpearnrana, to do weryfikacji hipotezl,:

llu:E(R.,)=O (6.32)

lr'obec hipotezy alternatyrvnej drvustronIlej lub jednostronnej można uzycsprawdzianu:

tt = }ł',,",l, -1 ,

który przy prawdziwości hipot 4, H9

nornralny. Warto ttt równiez r'vs.lol.l-'llliec

rve11,fikującynr liipotezę, że zr,l'iązek rlliędzyliniowy rvobec hipotezy altenlarr u,nej oodpowiednie hipotezy nrają postac:

I{r: E@1,) = E(r;)

oraz

z+l

- ,. 1 ,Hl.'Ł(C;.)> I:|',,,'

JeżeIi hipoteZa Zero\\,a.jesi prau dziri a. to Stl1t\ str ka postacill

t)- - l'- l1 - l'' - t -r - r

l-(,, t --

( 6.33)

ma rozkład standanzowanyo tęście krzywoliniorvości.

obserworł,atlvtlli cechanli jestrlieliniowości tego zrviązku.

( 6.34)

( 6.3s)

( 6.36)

gdzie r jest liczbą klas znrieIlnej rriezależrrej X, nla rozkład F-SnedecoraZ S| =r _2 oraz S) = ł,l - r stopnianri swobody.

Przyklatl 6.28Na podstalr'ie wynikórv l20-elernentotve'i próby strvierdzono, że stosunek korelacji

rrliędzy dwielna cechalrri r'vynosi 0,8, natomiast rr.spółczylnik korelacji liniolr.ej jestrów'ny _ 0.2 l. Cą'l1]ozt]a twierdzić. ie zaleinośĆ między t1'mi cecharni rv populacjijestnieliniorva? Ztnienna nieza|eŻna bvla oodzielona na 7 klas.

Rozrviazanię:

Starvianry hipotezy:7. -.H6. E(c,',. 1: E(li'-). czy|i.' za|eŻność ttliędzy cechalnijest liniorł'a.

H; E(e,,)> E(,'.''). czy|i: za|eŻl.lość nliędzy cechatni.jest nieliniolvaSpra'"vdzianeln hipotezy jest lvartość

' 'trl I)n-7o_ U'óU. _(_U.+l,

.ILv_ t = ]Q /r1JRi

l-0.801 1-2Przyjmijnl;' pozioln istotności 0,05. Liczba stopni swobody, dla wartości kry't,vcznej

rr'r,nosi s1= 7-2, s1= 120-7, Wańość kl.}'t}'czna Ęl.(l5 5 ll3 ł2,09 (porrielvaz w tabIicach

242 WeRvTIxRc.IR HIPoTEZ STATYSTYCZNYCH

nie lrra wartości dla sr : 5. s2 = l i3. przljęto najblizszą jej wartośc dla s2: l20). obszarodrzucenia jest równy l|/ =<2,29.',ll). PorriervaŻ F ę |,V , Zatę|ll odrzucanly hipotezę

Zero\\/ą i trvierdziIny, Że za|eŻnosc nliędzy, badanynri cechalni jest nieliniowa.e

6.3.10. Weryfikacja hipotez o istotności parametrów funkcjiregresji

Szactrjąc niezlaIle paranletry'rórr'nallia regresji Iiniowej otrzyIltttjeIttyocellv iclr estynlatoró\\,' w}'Zl]aczonc I]a podstarvie posiadanej próbystatystycznej. Należy Zaten] Zweryfikorvac hipotezę. czy atlaIizowane paratrretry

a i 0 : 0, 1,2,.,., ł) istotnie różnią się od Zera' co oznacza' że weryfikujemy

hipotezę dotyczącą ztniennej objaśrliającej x t, ZadająC sobie pytanie, czy nra

ona istotIly rr'pĘti. lla ksztaltorr'anie się ztnieIlnej objaśnianej y . Tak więchipoteza zerowa fonrulo*,alla jest jako:

Ho: &,=0

wobec hipotez alternatyn'nvch :

Ht: at+0

dla obustronnego obszaru odrzucenia, jezeli zuakistotnego dla nas zlaczenia,

I{r'. a , <0

( 6.37)

( ó.38)

paralnetrLl nie posiada

dla lelvostronl1ego obszaru odrzucetria, ltiedy rvartośc oszacowallegojest ujenrna, czyli zacltodzi a, <0.

H,: a >0

( 6.3e)

pa[arnetru

( ó.40)

dIa prawostronnego obszaru odrzucetlia. kiedy lvartośc oszacowanego paranletrujest dodatnia.Sprawdzianerrl tej ltipotezy jest staĘ'st1,(ą o rozkładzie t-Studenta o [il - (,t+1)](gdzie k - |iczba zlriettny,ch objaśniających w lnodelu regresjil0l (5.3l))stopniach swobodl postaci:

, Q,[ --

^S(a, )( 6.41)

'''' .IeżeIi rv lnodeIu regres.ji brak jest rvyrazu rvoInego, to Splawdzianenr jest statysty,ka t.Studentao (ll.ł) stopniach srvobod1.

TESTY PARAMETRYCZNE 243

Weryfikacja hipoter''- o istotności paratltetrólv polega na w',Znaczeniu rvar-tości

sprawdzianu (6.41) i porólr'narliu go z wartością krvtyczną odczytatlą z tablic d|a

ustalonego poziotlltt istotności a oraz liczby stopni swobody, jak to zostałoprzedstawiolle prZV rvery,fikacji hipotez o średniej (patrz ó'3.l). odrzrrceniehipotezy zeror.vej oznacza, ze badana zmienna niezalezna posiada istotnystatystyczllie wpływ na kształtowanie się ztlientrej za|ene1. W prąvpadku brakupodstaw do odrzucellia hipotery zerorvej tllórvitlry o nieistotIl1,,ttr rł'płvrvieznliennej x, na zt-llietrną objaśnianą.

Przyklad 6.29

Regresja linioli.a liczby ofiar śnliertelnilch (y) względerll liczby rvypadkórvdrogowych ('i-) dla I8 krajów,trla postaćl02:

-y=0,0581,r+0,0314.Sprar,vdz, czv ocena rvspólczynnika u| = 0.058l przy' standardouyln błędzie

szacunku 0,023 l na poziorllie istotności a = 0,05 jest istotrla staĘvstycznie (rózna od

zera).

Rozrviazanie

Starviarny hipotezy ,

Hr:ar=0H,:a,>0

Z relacji (6.34) , = ! 9:: = 1.515 Liczba stopni s*obodv to l8-l-1 :160.02 i

(ł:l' bo nlarny jedną znlienllą niezalezną ri' liniortej postaci |unkcji regresji). WaftośćkryĘczna statystyki t.Studenta p|z}' zadan1,ch rl'at.unkach i postaci hipotezy.

alternaryr'vnej H1 wynosi t o _1,.7 46, a rvięc I|. = (|,7 46|"r) . Wartość enipiry,czna

przekracza war1ość kryĘ'czną. Na poziollie istotności 0,05 odrzucanr;' Hp. ocena

al = 0,058| przy 5% blędzie l rodzaju okazala się istohit Statystycznie' a rvięc liczba

rvypadkórv drogorvych ttia rt,plyrv na liczbę ofiar śmiertclnych. e

r0r Policzono.lil w prac)' Luszniervicza I t 9871. s. 2 I 5.

244

7. nrułl|zA DYNAMlKl zJAW|sKW clot1,chczasorvy.ch rozrvazall iac h zaj rnorval i śnry s ię arral izą z.| arł,i sk roz-

1latn'rvarlych w Lrięciu Stat}'czn\'nl' Illllymi slou,y'' badaliśnry ich poziontrr,określonyln lltoll)ellcie' Jednakze rr'szy''stkie zjarviska podlegają zrllianonlrv czasie, Co oznacza. Ze to Salllo zjarvisko obserrvorvalre rt'róztl1'ch tl-tot-tlelltaclr

czaStl ll1lt różny' pozionl. Przykładen] nloze być: znriana opillii rvy'borcówu,trakcie prorvadzonej karllpanii uyborczej. róztricolvarlie się preferenc.j i kon-slttrlelttórv, ztrrianl' rr' procesie prodLrkc1jlrylll. na ry,'nku fitlaltSo\\'\'lll' zlltiatlysytuacji gospodarcze.j itp. Stąd tez istnieje potrzeba dokollyrvania analiz zt-lliatlzjarvisk lv czasie, czvli analiz iclr dy'nalniki. ProbIenlatyce tej pośrr'ięcolly zosta-nie niniejszy rozdział

7.1. Szeregi czasoweSzeregiem czaso}v\,m (chronologiczIl1,lll' dy''nallticznynl) llaz\'\\a się upo-

r.ządkolvany (r,vg czastl) zbiór obseI.ri ac.ji stat1'st1'cztlych cltarakteryzLrjący'chzrniany zjan'iska rv czasic'"''. Przvklad takieso szeregu plzedstau'iono rv postacirwkrestt liniolr,ego na t1.sttllktl 2.l. \\jrr.ćlillia się dri.a poc1starr'olve rodza.ie sze-regórr' czasorr\'ch. a tlliatltlri icic szeregi cZaSo\\'c tll<ltlletltćlrr' i okr.esórv.

Szeregi czaso\\'L. nrrlnlctrtórr zau ierają inlbrIllac.je o pozioItlie zjarviskarv określony'ch tlrotllelltiich czaslt.

Przl'klacl 7.1

Stalr Iudności rr'rr'icktt produkc1jnyrrt" Illicrzony ostatnicgo dnia u,roku' rr'latach1990. l995 ksztaltorr,al się następująco:

Tabcla 7.1l.udność ll, rvieku produkci'iny,nl, statl rv dtriu 3 l grudnia \\' latac]l l 990 _l 995.

Lata Liczba Irrdności rv rr'icku produkcyjnyrn rv Ilrln (stanri'dn.3l.l2)

990 21.9991 1t s

992 21.9993 22.0994 22.0995 22.2

Zr(rdlo. Rocznik stat)sl\czn! i997 str. LX\ .tab. I

l0j Porórvna.| Ostasiervicz S. Il997|' s. 298.

z+o ANRt-lzR DYNAtvltKl zJAWtsK

Jest to przykład szeręgu czaso\Vego tl-totllentórr,, borvienr przedstarvione rv tabeli;ł'ldanedotycząstallu\\'kollkretnynrtnoIrlencietj.rvdnitr3lgrudniakaidegoroku. d

Szeregi cZaSo\Ye olrrcsórr. podają roznriary danego zjawiska rv kole.jnychokresach czasu.

Przyklatl 7.2

Wielkośc rocznej produkc.;i rvęg|a w Polsce rv latach l990-1995 przeclstawionow tabeli 4.2.

Tabcla 7.2l{oczne rv1,dob;-cie rvęgIa rv Polsce rr' latach l990- l995

l-ata WieIkość produkcii rv tnln tort990 93991 93992 78993 l899Ą 40995 90

Zrót]lo: Rocznik statyst},czll}' l997 slr' l'XIX, tab. I

W tabeli podane zostaly dane dot1',czące ri,ydob;'cia węgla rv ciągl'l calego roklr,stąd też prezentowany szer.eg jest szeregietn czasowvtll okresórv, a jeclnostką czasu.rv której dokonuje się obserwacji, jest rok. I(orzystając z innych danvch statystyczn\'chdotyczących np. lv1'dobycia rvęgla rv kolejnych llliesiącach' |llozlla byłoby zbuclolr'aćszeregi okt.esórv, lv którvch podstarvą analiz'v nie bylb1,rok, ale nliesiąc, a suuu.jąc danenriesięczne otrzyrnalibyśrny szeregi dla kolejnych klvarta'iórv itd. ł

Jak widac Z przytoczon1,clr przykładóri', szeregi czasori,e zarł'ierają infbr-nracje o irrteresującylll nas z.jawisku rv następrrjących po sobie okresach' Pod-stawowa róŻlica nliędz,'" tvnli typanli Szeregów czasolv1'ch polega Ila t1'tll. żew prz,vpadl(u szeregórv okresórr, Llz}'Skalle dane dotvczą ilifornracji odnośnie doksztahorvania się pozioltlu danego zjawiska lv calytn okresie prz1,jęty'nr za jecl-nostkę czasu. Istnieje zatetlr llozlirvość rvy,dl'uzania okresów, lv jakicll dokonrrjesię ponriarLl (przechodzenie z dan1,c.h tliesięcztl}'ch na krvartalne iroczne) zapolllocą agregacji (stttnorvania) dany'ch. Natolliast lv szeregach lllolllentów l]1a-nly infbrrllacje jedynie o pozionrie zjalvislia rv wr'różniollych tllotlleIltach czasu(tzrl. lv chrvili dokon1,r,vania ponriaru - obserrr,acji), a lr,ięc nie lt,ienly'. jak kształ-tor'vało się badane zjawisko rlliędzy kolejIlyni tllol-tretltalni obserrvacj i. Wzrviązku z tytlr danych prezetltort,a|]ych rr, szeregach tego typtl nie tnożna agre-go\\'ac. jeśli chceniy rv,vdlużyc okres obserlvacji. Istnieje .iednak nrozlirr.ośc o-lllillięcia tego problenlLl l]oprzez rvvznaczetlie przeciętnego poziollru zjalviska tla

SzeREcr czAsowE

na podstarvie ponriarólv przeprorvadzotlych rv kilktl monletltach tlależącrcll tlt.lokresu przyjętego Za l]ową (zagregorvaną) jednostkę czastl. Przykładorr.o. Illa.ia.c

datre o Iiczbie zatrudniollych rv kolejn1'ch nliesiącaclr, nrozna podac średrli pil-zionr zatrudnienia rv ciągLt roku' Moztla także rvydIrriyc okresv obser.rvacji po-nijając część szczegolorvyclt danych. np. na.iąc dane o pozionrie per'vnego zja-rviska na koniec każdego miesiąca |llozlla Llzyskać Szereg daIlych na kotlicc kaŻ-dego roku lvykorzystLrjąc tylko dane grtrdrliowe Z kolejnych lat. Itlnym prz1k|a-dellt ntogą być krrrsy akcji na giełdzie, dla których podaje się zazwyczaj cenęotrvarcia, cenę zatlrknięcia, a takze najlvyzszą i najrrizSZą cenę oraz śledni kttrsdnia.

W analizie szeregórv czasorvych inter.esLrją llas znialr'v,.jakinl podlega ba-dane przez nas zjarvisko lv kolejny'ch monrentach lub okresach czaslr. Najprost-sz1'lrli nliaranli są przyrosĘ'absolrrtrle i stosunkorve. Prz1'rost absolutny to róz-Ilica rv poziorllie zjalviska nlierzonego (obserworvancgo) rr,dwóch róznych nlo-mentach lub okresach czasu. c;ryli:

clY, = Y,- !t-,, ( 7 t)

gozre:

dy, - przyrost absolutnl'zjawiska mierzonego lv okresie (nromencie) /.

!, - pozionr zjau'iska y rv okresie (nlonrencie) /,

'1,',_.. poziotn zjarviska y rr' okresie (nronlellcie) poprzedzającynl okres /

o r oklesórr'Jezeli r: 1, to otrz)'llranr)' prz),rosty atrsolutue .laricLrchou,e, nlielzone z

okrestt lla okres, któr1'llr tnoze br'c dzieri. t1'dzieri. rlliesiąc, rok. Jeicli w relac.j i

(7.1) zapiszelilY, ]l_r =.1,.,, \\'ó\\.czas zlllictlna .l'o ozllacZa poziotll z.jarviska rr'

okresie bazorvynr (poc1stalvorr.},lll)' któ|}'|ll nloże b1'ć dorr'o|nie rvybrany okres(nlonlent), zaś przyrosty' taki e llaz}'\\'anl\l j ed nopod starvorvytll i.

Przyrost lvzględny (stosunkorvy') delinitl je się jalio stosullek przyrostLl ab-solutnego do poziouru zjarviska rv okresie bazorvl'nl. czt'li:

t, *1/L.Vt -

-

! t_,

lub

- l, - I'nL-V! -

-

1

}o

gdzie oznaczen ia jak poprzedn io.Przyrosty absolutrle są rvielkościanri nl iarlorr atl1'llli. natotlliast

lvzględne llie są trliatlorvalle, \\').Iazalle zrl'ykle rv procetltach. W obLr

(7 2)

(73)

prz"v-l'ostV

przl'pad-

248 Arułtlzł DYNAr\4lKl ZJAW|sK

kacli okreś|ają one, o ile wzrósł ltlb znrrriejszył się pozionr zjar'viska w okresiebadanl'tn w stosunktl do pozionlu tegoż zjarviska rv okresie przyjętynr za pod-Sta\Vę'

Przykl:rd 7.3

Wy'znaczrnv przyrosty absolutne irvzględne dla danych zarvart.vcll lv tabeli 7.2'Na nrocv (7.l) przy'jlllując rok l990 jako bazolv'v ll]alny: cb,f,,)l : O, t|.l,l,lgz: -l5.d),l,,,;:: -15, d\;,,,' = .5j, .1'l,'rqqs = -3. tlatolniast porównując rt1,dobycie rr'ęgla z rokit narok otrzvllrujellly: : r/},,991 :0,dy,,,': -l-5. c/.i,'991 :.30, cA.Iy.l.l: -8. /-l,luv..:50' Możnazatetn strvierdzić, ze poczynając od l992 I.oku lvydobr,cie rvęgla rv kolejn1'c|r latach b1'łonlnie.isze rriż rt'l990 roku. Natorlliast dokonując porórvnari rr'kolejny,ch Iatac|l strvier-dzarnv, Że rv lataclt |992 - l99zl następou'ał systetlla|yczny spaclek produkcji rr'ęgla(Lrjenlne rvartości), a rr l995 roku rvyclob1,cie rvęr:la rr,zrosło rr'stosunku do ioku lio-przedniego o 50 rnln. ton.

Wnioski te potrr'ierdzają rvarlości \\')rznacZon)/ch pl.zr.rostólv rvzględrlych, którewvl1oszą d|a bazorrego roku I990: ó],,ccl = 0. Ó.1'199. : -0.08. ó)'lqc.. : .0,23.

l,p,ll:-0,2.7, ó.))f)95:.0,2, a \\vzl1aczol]e d|a kolejnr,clt lat Ą,,.,o, :0.łruc:: -0,08,d/rq.J:: -0'l7. ój'1991 =. .0'05. ó.]i'Iyur - 0.36. Można porviedziec. że rv całynt baclanynlokresie najrviększl,spodek u.r.dobr,cia rięgla ri'stost-tllktt do l990 rokrt zaobser\'\,owallort, l99.l roku. kiedr,spadItl ollo o 27uó rr sttrsrtnktt cjo roku bazorvego. Natonliast arlalizrr-.1ąc produkc.ję rt,ęlia z okt.estt tla tlkr.es lra.1rviększl t.j l7 - procelltorvl, spaciek nastąpii rr,199jr. rv stostttiku do l99]r.. ir ll' l9t).5 roklt oclttotorr'atlo 36-procęllto\\y rvzrost rv1,do-b,vcia lr,ęgla lv stosunktt do rokLl pclprzeclliieeo e

W przypadku szeregów czaso\\.\/ch okresórv. podobnie jak clla pozostał'ychszeregÓlv StatystycZn)'ch, rvylznacza się nliary średnie idyspers.ii, o lttórvch byłal]lo\t,a r,v rozdziaIe trzecitn. Należ.r, }rrzy tyln zaulvaŻyc, że szeregi czaso\\,e SąszeregaIlli prostymi. r,v zrviązku z tt'tll l-lliarv te u'\.Zllacza się na poclstawie rela-cji skonstrLrorvanych dla tego typti szeregórr,' Przyltłador,t'o średnia arytl.}letycznawyzuaczana jest jako:

(1 4)I=U

gdzie: ll/ - poziolll zjarviskay rv okresie t, T -|iczba okresórv, lv któryclr doko.n) \vano pollliaru zjari isl<a.

Przyklad 7.-l

Przcprorvadzllly analizę średnich celr i rr,oltttllenu obrotórv akcji spólki okocinlna podstarvie notorvali Warszari,skiej Gieldy Papicrórv Wartościorvy,ch rvpazdzierniku1995 roku.

1=-J-y,' T+l/-)''

SzeReor czAsowE 249

Tabcla 7.3Kursv i rvoIulnen obrotórr'akc.ii spółki okociIn lr' paŹdzierniku l995

Data Ccna Obroty95 002 68._5000 453 8

95 003 67.5000 93 8ó

95 00.1 66 0000 69]-ś

95 005 ó5.0000 .)o t -J

9) 006 67.0000 507 I

95 009 66.0000 +,-rt

95 0 0 60 5000 .5.ś ó]95 0 61 0000 98t095 n 2 60.0000 ó59895 0 J 5 8._s000 68 l-l

95 0 o 60.0000 1763

Data Ccnr Obrotl'9,s 01'/ 6l .5000 t012795 0lti 60.5000 949995 019 5 8.5000 6966

95 020 56.5000 582895 023 5 7.0000 1 099895 024 57.0000 l 65439s 015 5 rJ.5000 I 0686gi 0t6 59.0000 665 3

95 017 5 9.0000 t279995 030 60.0000 tt058

95 0i1 5 9.0000 5 r65

Zródlo: Giclda Warszariska

Dane dotyczące rvoluIncllu obrotów t\\,orzą szcrcg czasow\' okrcsó\\'. u'którvnljcdnostkami czastl są kolcjrlc dni roboczc. llloz|la z.ltc|n skorz1'stać z relacji (7..ł) do*YzIlaczeIria średnicj rr'iclkości o[rrotóu' prz-""padających na jedllą sesję gieldorvą.W przypadkrr cell akcji lnanil'do cz)'|lienia z szeregicnl lrronlcIltów. Jcdnakżc z ttrr'agilla to, ze podane zosta\'śrcdnie kursy akcji rv trakcie trrr.ania kolcjny'ch ses.ji giełdo.\Ę/ch' to na podstarvie t)'ch dallych |Iozlla \vyz|lacz\,c, za pomocą Śrcdnicj al.yn]ctycz-ncj (7.4)' przcciętn1'kur.s akc.ji spółki Okocinlr rvpaŹdzierniktr, któ11'r,l'vniósl 6l.25 zlo.ty'ch, a takie odch;,Icnic standardotr'c rórvt-tc 3,10 z|.. którc infornrtrjc o pl.zcciętnr rn

różnicorvatliu się ccli akc.ji spólki rr.trakcic kolc.jlly'ch scsji Gicldy'Warszaivskic'j. Wo.lunlcll obrotów akcja|1li tcj spóIki rr'analizorvirtlr'tn lniesii1ctt średnio ksztaItorl'ał się rlapozionric 79 l7 akcji rr'czasic jcdrlcj scs.]i. a przcciętIlc odclrylcnia ''v1,llosi11,309 l akcii.Wyznaczając u'skazniki zIrrielrllości dla kul.su i lr'olttnicntl obrotólv róri'llc odporvicdnio6% i39% l]1oz|1A porr'icdzicć. że rr'badanr'Ilr okrcsie kLrrsv akcji odch1'laly się od śrcd-nicj ccn1. przcciętnic o 69,o. a obr.ot1. byl1, bardzicj zt.ózllicorvane odch;,lając się o 39%od rvvzlraczoncj śrcdrricj. e

D1'spontliąc Szeregallli lllollle|ltów przcciętIl)' pozion] zjarr'iska wyznaczasię za'pornocą średll i cj chronologiczne.i.

S rcclnia clr ro rro logiczna cl la SZef egów ll-}onlelltów :

l n + I r |r - l r J r ' l r l i r + 1 ," ' L' ' '- L'- ! :'

2.222

I+;))t

TI

-Jo+.ll+.1 .+...J)7-r-)'

( 7.s)

ANALIzA DYNAMIKI ZJAWISK

gdzie yt- poziour zjarviska w t-tyl'u okresie (t:0, . ,T)Srednia clrrorlologiczna daje jed,vnie ogóIną orientację o przeciętnyl)] po-

ziorlrie badanego zjarviska. bowietrt nie rt,iadottto, jak ksztaltorvało się zjarviskomiędz;- trrollretltanli pomiarórv. Spelnia ona rvarltIrek:

'ln.in ś !,nŚ!,,,u*Porównania poziotlrów z-iawiska w dwóch tnotnentach ltlb okresach czastl

clokonrrje się najczęściej za ponrocą rvskaźników dynamiki zwanych indeksami.Indeks jest stostttlkiem lvielkości zjarviska r'r,okresie badan1,rn do wielkościtego zjawiska rv okresie przyjęty'rll za podstar'vę'

Wielkość inc1eksu rólvtra I ozrtacza' że poziollr zjar,viska rr'badatlynr okre-sie nie uległ znlianie. Wielkośc indeksu większa od l rvskazuje na wzrost po-ziolnu zjalviska w porórt,naniu z okresetll przyjętynl za podstau,ę. natollliilsttlrrliejsza od I na jego spadek. lip' rvartość indeksu l'l3 oznacza, ze nastąpi}rvzrost pozioll-tt't zjarviska o |30ń, Ilatotliast wartośc irldekstt 0,87 - spadeko l3oń.

W zalezności od stopnia zlozoIlości badanego zjarviska rr,\'róznia się drr,arodzaje indeksólr.:

- indeksy inc11'rr,idualne z\\'ane prostvlni.

- indeksy zespołorve Zwalle agregatori l tll i'Przr,kladanli por'r,szechtlie stosorr'aIly'clr rr, praktyce illdeksów indylvidual-

nych są Stopa procelltoll'a i dy,skotltorva, Za ponlocą któr1'ch przeszacort,ttje sięwar1ości r,v czasie. Przykładerrr irldelisórv agregatowych nlogl1być stopa inflacjioraz indeksy giełdowe.

7.2. Indeksy indywidualneIndeksy ind1'rvidualne stosuje się rv przypadku zjarr,isk jednorocln1,ch

i bezpośrednio sutlrowalnych' Ze lvzględLr na przyjęti1 podstawę porórvnali dzielisię je na:_ indeksy jednopodsta$'owe' czy|i o stałej podstawie:

!'t poziorn {an'iska r,v okresie badanynt (7 6)))o poziom zjawiska u, okresie podstarvorvy,tn

- intleksy lańcuchorr'e,czy|i o zn-riennej podstawie:

, _)"J,r_r

Ciąg indeksÓw jednopod'.u'"o'1,y'ch(7.7)

INDEKSY INDYWIDUALNE

)'l ,!2,...,!r-l ,)'tIo lo )'a ,l'o

pokazuje, jak znriellia się pozionl zjalviska \\' stosul1ktl do.iednego stalego okrc-srr' prz1,jętego Za okres bazorvy. Ciąg indeksólv .łaricuchorvych

Il .lz ..',,),t'ą . !l.Ito }l )''t -z 'l'i -i

pokazuie ten.lpo zmian z okresll na okres.

Przyklad 7.5.

Wyznacznll' przcciętny stan ludności Polski rv rviekrr produkc1'.jnyln lv latac|rl99l - 1995 na podstau'ie danych zau,artvcll rvtabcli 4.1.

Zre|acji (7.6) oblicznly indcksy jcdnopocistarvorve, a z rclac.ji (7.7) lańcuchorve.

Tabcla 7.,1

Lata l-iczba ludności rv rr,ickuprodukcl,jnym rv nrln (stan

u'dn.31.12)

Indcksy .lcdnopod-sta\\'owc

Indeksy'lańcu-chorve

990 21.9 1.00

991 2 l.-5 0.982 0.9u2992 2 r.9 000 0i9993 22 005 001

994 f2 005 000995 22.f 014 009

W stosttIlku do roktr l990 liczba ludności rv rt,icktt prodtrkcyjnynlr u 199l stano-lr'ila 9t].2 liczby'lLrdności z roku poprzednicgo. czvli zmalala o l'8%. rv roku l992 niezrniclliła się. rr'r.oku ]993 i ]99.l stanorr,iła l00.59ó |iczby,'ludllości z roktl poprzcdllicuo.cz1'li rr'zr.osla o 0.50,i'. a lr roktt 1995 rvzrosła o l%o. Natonliirst lv roktt l992 lr'stosttllkudo roku l99] rr'zrosla o ].90,i,. rr' roku l993 rr'zros|a o 0'4%, ir, l99.ł rv prlrórr,llaniu zrokictn poprzcdzając1'ln llic zlllicllila się. a lv l995 lr'zrosla o 0.9% rr'stostlnktt do l994.

e

Mając dane irideksr. laticucltorr.e lllożlla lla icll podstarvie \\TZIlacZvc ill-deks jednopodstarvolry Za pomocą proSĘ'ch 1lrze kształceIi, a nliallotr,icie:

(78)

Rórvllież rv drugą Stronę. dyspontrjąc irldcksarllijednopodstawowyll-li llloz-na wyznacz)'c indeksy laricuchorve jako:

251

252 At'tłl-lzR DYNAMIKI ZJAW|sK

- 't.0't.t-l -

,/_l_0

Przeciętne tentpo Zmia|r w calyl]l przedziale czasowylll wyznacza Się napodStawie średniej geol]1etrycznej z indeksów łaticucltow1,ch:

G = lr -1 (7 9)

gdzie

V.l'o /r !L-z !t-t V .Yu I

obliczona r,vańość G infbrnlu.;e o przeciętnyll rvzroście (G>0) ltrb spaclku(G<0) zjawiska z okresu na okres. Jest olra zrvykle wyrazaua rv procentach.

Srednia geolnetryczna -y" spetnia riarunek:

i <v <i-mln -/f -'lll\

Przyklad 7.6

Zbtory Ąta ksztaltorvały się lr' Po]scc ll' latac|r l987.l99-5 llastępująco:

Tabcla 7.5Zbiot1, żvta rr' Polsce rr' latacIl l987.95

Lata Zbiorr, żvta lv lnln totl987 1.6988 1.1

989 6,899099t 6.2992 ó.1

993 5.999Ą '1.099-s 5.0

Znidlo: [locznik statvst]czr)t 1996 str. LXXII rtrb I

Na podstarvie podanych inlbnnacj iobliczvc:l . indeks,v.iednopodstarr'orr'c pl.zy.jnitrjąc za podstarvę porÓivllarl rok l987'2. indeksy lalicuchone,3. przcciętne tetnpo zlrrian r,vielkości zbiol.órv rv okręsic l987- l995'

I(ozrviązanie

obliczltl1' indeksy jednopodstarvorve prz\jllltt|ąc za podstarvę rok l987 kol.zr'sta.jąc ze rvzortr (7'6).

Wy'znaczone indeksy' podano rv tabeli:

INDEKSY INDYWIDUALNE 253

Tabcla 7.6I ndeksy jednopoclstau'ou'e dla tabel i 4.5

l-ata indeksl'j ednopodsta-wowc

inclcksy j cdnopodsta\\'o-\vc w o/o

981 I 100%988 0.93 93%989 0,8e 89%990 0.7: 72%991 0.82 82%e92 0.80 80%993 0.7u 78%991 0.53 53%99-5 0.ó6 669'.,

W stosunku do roku 1987. zbiorf ivta rv Polscc rv roku 1988 stanou,ily 93%o

zbiorórv Ż>,I'a z roku poprzcdlliego. czr'li spadł1 o 77o. rv roku l9tl9 spadły o l l%.rr'roku 1990 znlalaly o28o/o, rv l99 l roktr spadly'o l8%. w'roktt 1992 zrna|a|y o2ooń,rr' roku l 993 zInalaly o 22oń' rv roktt 1 994 zmalalr, o 47oń, r'r' loku l 995 zmalaly o 34oń,

obliczanly indcks1,' latlcuchorr,e, korz1,stając ze rr'zoru (7.7).obliczone rvarlości podaic tabcla 4.7:

T:rbcla 7.7Indeksy laricuchow'e dla tabeli 4.5

Lata indeksy, laricu-chorvc

illdcksr' lańctr-chou,e rv 7o

987

988 0.93 93%989 0.96 96%990 0.8 r 8t%991 I .13 n3%992 0.98 98%993 0,97 91%994 0.6lJ 68%995 l.l5 l25Yo

Zrótllo' obl iczellia lvlasttc

Zbiory iyta lvPolscc rv l988 roku spadli', tl 70'ó rr'stosullku do rokrr l987, rvrokul989 spadly o 40ń lv porórr'llaniu z rokient l 98tJ, rv roku l990 spadly o l9%rvporórvnaniu z rokienr l989, rr'loku l99 l rvzr.osły o l39ó rv porórvnanitt z rokicnll990, rv roku l992 spadĘ o 2%o lr'porórr'rtanitl z rokieln l99 l, rv roktr l993 spadly o 3%rv porórvllaniu z rokicnr 1992, w' l.oktr 1994 nastąpił spadck o32oń w poróli,ttanittZ rokieln l993. rvroku l995 rvzrosly'o 257o r,v porórvnaniu z rokieln l994.

obliczrny pr.zeciętllc tclnpo znlian rr,iclkości zbiorórv rv |atach l987-l995 korzy.stając ze rvzoru (7.9):

254 ANALTzA DYNAMTKT zJAWrsK

- I =V0,658 - I :0.95 - I = -0,05%

Zbiory Żyta tv Polsce lv badanyrn okresie lnalaIy z roktt na r.ok pr.zeciętrlie o 5%.

Przyl<lnrJ 7,7

Wiedząc, że w pewnym Towar4'strvie Kredytowyrn stopa procentolva rt'kładólvtertninorvyclt 5-letrrich rvynosi 34Yo t'oczt.tię oblicz klvotę' jaką rvypłaci Tolvarzystwo po5 latach od zdeponorvallego w rrinl lt'kładu rv rr't,sokośc. l0000 złotych.

Roczna Stopa procel]torva infornlLrje' o ile rvzrośnic zdeponowana krvota rv ciąguroku, a postawione pytanie dotyczy okresu pięcioletrliego. InIlyIni Sło\ry, traktując

roczną stopę procelrtową jako indeks łaricucltorvy o stalej lvartości i,.,_l = l'34 nalery_'

w\lzIlaczyĆ itldeks jednopodstawowy dla 5 lat, czyli

i:.u = is ., .i..'.. .i..: .i..1 .i1.', = (1'.u )' = ( l.3-ł)5 = -ł.j2 .

co oznacza, ze po pięciu latach Tori.arz\'Stwo rł\płaci 43200 zł,

Przyklad 7.8

P.łaca pelvnego pracort'llika rv1'nosiła Średrlio 500 zł rv 1995 roku, rv dr,vu kolej-nych latach rvzrosła ona do 5ó0zl i do 590zł. Zakładając, że stopa irltlacji rv l99ó rokLtrvynosiła 20Yo, a rv 1995 - l5% na|eŹ'v okreśIiĆ' jak zmieniał1, się płace realrle tego pra-corvnika rv ciągu dlvóch lat.

Przyjmując za rok bazorvy rok poprzedrli rnoglibyśIny porviedziec. ze p|accw kolejnych latach bylyby na tynl salnynl pozionlie, gdyby ich wzfost rólr,nor'vaż1'ł stopęinflacji. Wyzrlaczając indeksy 'łaricuchowe zarobków dIa kolejn1,ch dr,vóc|r lat strt,ier-dzirny, Żę lv 1996 roku placa vr,zrosla zaledlvie o |2oń lv stosltnktt do roku l995, a rvl997 jed1'nie o 57o rv stosunku do 1996 roku, Zatenl wzrost płac nie rórvnort'aiyi inl1a-cji' czyli zarobki realne spadały'

Mozna do tego zagadnienia podejść rÓ.'utieŻ z innej Strony, obliczając tzw. płacerealne, czv|i u,yrazić place nonlinalne rv cenach oborviązujących rv rokLr bazortynl.Roczna stopa inf1acji inforrnuje, jak zrliierrił'y się ceny w daIrynl roku w'stosunku doroku poprzedtriego. Zatenr iv l996 roktl pracolvtlik porvinien otrzylll;'rvać pensję z rokul995 przemnoŻoną przez indeks rvyrażający stopę inflacji, a więc przez |,3' czy|iu.'vzględniając rvzrost cen w |996 roku pracorvnik port,inien otrzylxac perlsjęrv rvysokości 600 zł., co pozwoliloby rnu utrzynlac tell sanl poziorn konsunipcji, cotv l995 rokLr. Wyrażając z kolei płacę praco'wnika z l996 roku w cęnach z l995r. nalezy

po<lzieliĆ placę z l996 roku przez Stopę inI1acji ztęgoŻroktr. czyli {=ooo,'o, alvięcl,!

zarobki uzyskane rv l99ó roku u'ystarczyłyb;'pracorvnikoivi na zakupienie t.vlu dóbr, ilezakupiłby ich rt' l995 roktt za kwotę 466'7 zl. Jak łatwo Zauwai)'ć. rv l997 roku rea|tla

INDEKSY INDYWIDUALNE 255

placa obliczona rv stosunku do 1996 roku u1'nosi: !29=513, co oznacza, ic rv kolcj-l.l 5

nytn rrtku pt'acolvnik kupilbv jcszcze mnic.j d(lbl niz rv poprzcdniln loktr. bou'icrn placarcaIna została \\,\,z|lAczona lv stostttlktl do ccll z 1996 r.oku' a pracolr'ltik Inial rrtcdl' dodyspozycji 560 zl.

Znając rocztle stopy' inflacji llloŻna \\,\.Znaczyć, jak znlienił1'się ccl1y rv l997 ro-ktt rv stosulrku do l99.5 roktl jako bazorvcgo. Wvznaczłjąc indeks jcdllopodstarvorl1, llapodstart'ie iloczr.nir drrócll indeksórv łaticuchclrr')'clr zgodtlie z rclacją (7'tl). okaztl]c się.zc rv l997 roku cclty rr'zrosl1'o 38% \V stostlllku do l995 roku. Stąd uzvskaIra przczplacor.vnika w 1997 roku placa \\ryznaczona dla cen z 1995 roku rvy'nosi:ig0

-=41/,)+Zl1.3 8

7.3. Indeksy agregatowe (zespołowe)10aInde|<sy agrcgatow'cln5 1zcspolo've) są rr,skaźIlikanri znliatl dIa rvielkości

Zagregowan1'cIl. cz1.li będących zespolanli (srrnlą) rvielu składllikórv. Szczegól-nie urvazlrie nalez1, \\'}'Zllaczac rval.tości illdeksórv dIa zjarvisk nieiednorodnych,lv których tworząCe .ie elenlenty tlie lllogą byc bezpośr.ednio sttIlrorvatle. lr1l. ilr-deks cen dla grrrp1' torvarórr, o różIlytlt charakterze. W przypadkLr takich z.ia-lvisk' rv celLt doprorraclzetlia ich do stttllor'',alIrośc1. 11,pro$'adza się okr.eślollervspólczyrlniki przeliczetliclrre. spclrlia.jące rolc rr,ag, takie jak llp.: ilość, cena,|iczba zatrudniorlrcIl. cZaS l]l.ac-\,' W zależllości od rodzajLr badanych zjarviskrvyróżrria się indeks1 zespoIilri'e Z\\.&lle aqre.qato\\'),ll1i:

dla rvielkości absolttttlrcll. do kttirr'ch llależą Ill'in indcks rr,artości i indekscell)'.dla rvielkości stosutlkorvr'ch, którr lll .jcst llp' illdeks rv1,dajllości placy'

Przykladenl indeksLr agregato\\ego jest stopa inllacji, czyli indeks cen to-lvarólv i uslug korlsulll1lcy'jtlycl]l('ó. Do rr.r'ztlaczallia publikowal.lego przez GUSirldeksu tlZywa się l470 reprezentallttirr, clobr i uslrrg konsutlrpcyjnvch. cenytorvarórv są obsefwowa|]e w 28 tys. pultktórv sprzedaż1, lv lr1'branych 307 rejo-nach badania cen na terenach rniejskicll. Doboru jednoste k do badania dokonu je

się lv sposób celorr,y'. Ceny Ż1,lvności, liapojorv alkoholor,vych i użyrvek notowa-ne są 3 razy w nliesiącit. Celly pozostaly.ch torvarólr' i rrsłLlg raz rv tlliesiącu'

Indcks wartości w\/raza się rvzoretrr:

'ot W pracy, Zostaną otuórr'ione tlIko rvr'br.aIre incleks1 zespcllorve, itrne nloilla zna|eźć w pracyI-usznierviczA. !9ft7l. s.322-375: Klzr,sztoflak N'I. !9751, s.342: Nouak Ii. [1994], s.215.

l.,5 Problenty'konstrukcji indeksórr,zespolrlri,r,cIl clpisuje I'uszrtierr,icz A. Il987|' s.322.too Ptices in tlreNationrl Econonry' 1998. GtJS |99S|.

ANnllzł DYNAMlKI ZJAWlsK

k

Z P,,Q,,

I,=łL (7.l0)Z Po,4o,.t=l

gdzie dla okresu badanego (t) oraz podstawowego (0):

P,, , Po ,- cena/-tego artYkulu,

4ti,8o j- iIośc7-tego artykułu.

P,,1Q,,1 , Po 1Qo 1. war.tośc7-tego artykułu,

k- |iczba wyróżnionych artykułów.obliczorry indeks irlfornlLrje, o ile znrieniła się rvaftośc artykułów r,v okresie

badan1,tn w porównatriu z okresetrr podstawor'vyln.Na poziotn tego indeksu nrają rvplyw clrva czynniki: ilość i cena' W celit

r,vyodrębnienia ich działania na dyrlarnikę zjarviska, stosrrje się starldaryzowanewskaźniki ilości i ceny'.

Indeks iIości ri'vzrl acZall-}!' rvedług fortnu I'y :

Laspeyresa - ceny ustalone na poziolnie okresu podstawowego:k

Z po,q,,

,'I., =ĘL (7'||)L Po,rlui'l=l

obliczony ir,rdeks wskazuje, jak przeciętnie ztlrieni się rvat.tośc rvszystkichrozluaŻanych artykułórv na skutek zttlian w ilości oraz przy ustalotlyln po.ziotlie cen w okresie podstar.vowynr.

- Paaschego - ceny ustalone na pozionlie okresu badanego:k

Z P,,(1,,,-t,,Ir=-i-. (7.t2)Z P,,Qo,l=l

obliczony indeks wskazuje. jak przeciętllie ztllietli się wartośc WszystkichrozwaŻal-tych artykuł'ów tla skutek ztrriatr r,ł.ilości przy ustaloIl1'Ill pozioIlliecell w okresie badanym.

Indeks cctr wyzllaczanry według fortnułv:Laspe\'resa - ilości ustalotle tla pozionrie okresu podstawowego:

I NDEKSY AGREGAToWE (zESPoŁoWE) z3l

kY-r,L I'tt'1 0 I

t t-l

Z_,Po iTo,

obliczony indeks Wskaztlie, jak przeciętnie ztrrieni się rvartość wszystkichroz\Vazallych artyktrlórv na Sklltek Zn]iall w cenach przy ustalo|1y|l'l poziolllieilości rv okresie podStawow,vlll.

Paaschego. ilości tlstalorle na poziotllie okrestl badallego:

Y. -L I' t1'1 t1

r -lI _ t-t

t,'p- t '

ZPo'(l''t-l

obIiczoll1' indeks rvskazuje, jak przeciętIlie znlieni się rvartośó wSZyStkichrozwaza|l)'ch ańykLrlolv |la Skutek Zl]liall w cenach prz}' ustalonylll 1lozioIllieilości rv okresie badallvlll.

M i ędzy polvyższynr i i n d e ksa nr i Zac|1odzi zrv i ązek :

luD

I-I I - I T' v -1.' ! lt a p - l",t l.' I,

( 7.ls)

Ze rvzględu na polvyższą zalezność' jeŻeli do ocelry Znliany cen stosllje Się

indeks rr'g fornlu'Ly' I,aspey'l.esa. to zIlliatly lv ilościach powitll.lo się ocelliać llapodstawie indeksr-l wyznaczonego wg lbrmLrly Paaschego - i odwrotnie. Dlaniezbyt odleglych oklesórv porówlla\\'cz)'ch czasal]li stosorvatre Są wskaź|rikiilości i cell rvedlug formuły Fishcra:

I-

I-('7.16)

Przyklad 7.9

Ilość iccllę trzcch gatttllkóu'zicnllliakóti' jakic zakupiollo rv Jędrzc-jorvie rv l995i 1998 roku przedstau'iono w poniiszcj tabcli:

( 7.r3)

( 7.14)

I,t t,l,t

258 At'lRt.lz,ą DYNAM|KI ZJAWlsK

Tabclł 7.8Celt1' i ilości zieIllniakórr

Gatunek Cena ',v zl lIość lv tonachI 99s r 998 I 995 I 998

brvzl 0.20 0.25 t2 1ll{

rnaie 0.15 0.20 l.ł lollar'sv 0.25 0.5 r0 20

Zrtidltt: Danc ulllo\\,I)s

Wykor4'stując podane infbrmac.je ustalic clynalnikę rvartości, ilości i cen rv.vdat.ków na zic'lllniaki w Jędrze.;ori ie .

I{ozrviązanie

Sporządzanlr' tabelę l.oboczą:

( 7 .t7)Catunek

I

CeIla rr'zł l Iośc rr' tonachJ I+ l 6 'l 8 9 l0

Drt l), ł)ll (|tl )t (lt Pn4, l'lt4ltrrvzv 0.20 0.15 tl I-1 )A j.-5 2.8 Jlltat e 0, r5 0.20 l1 l6 2.1 ),: 2.4 2.8ul sy 0.2-s 0.s t0 l0 -) 5

ogó|erll X X 7 I 1.7 r0,l 8.3Zrót]lo' obiiczcllia tr łasne

Przyjlnują rok l99.i Za bazowy IiczyIril, 1roszczegóItle indeksy. llldeks r'vartościobliczony na podstarvie wzoru (7.10) u,ynosi:

_ ll.7,,,- , =1.67=1610/o.

oznacza to, Że 'uvartość rt1,datkórv tcgo gospodafstwa \\, roku l998 wzros|a o 6.Iyow stosurrku do roku 1995.

Wvznaczalnl,indeksy iIości na poclstarvie rclacji(7. ||) i (7.I2):

- 10.2L l,t = j_ = 1..ł6 = l.ł60o .

MoŹna Zatęni powiędZiec, Że przy z.ałozeniu stalości cęll Z loku podstau,owego I]arvielkość rrydatkórv lniał u,plylv \\,Zrost ilości o 4ó9ó.

,,t,, =||., = 1..łl= l4l%8.3

Natorniast prz'y za|oŻę|1iu stalości cen z roku badarlego na rvielkośĆ rvvdatkcirvnriał rr'płylv $,Zrost iIości o 4l%.

lndeksy cen (7' l3) i (7. lzl) przyjnlu.1ą wartości;

l NDEKsY AGREGAToWE (ZEsPoŁoWE) 259

R.ł,1,,= =1.19=ll9o'o,7

Przy za|oieniu stalości ilości z roktl podstawo\\'cgo na rviclkośc rvydatkórv nliaIlvply,rv wzrost cen o l99ó.

t17,, 1 ., = --- = l.l5 = I l5oir

r0.2

Zakladając stałość iIości z roktr badaIlcgo rla u'ieIkość rvydatkórv rniat lvplyrvrrzrostccno 159ó.

S1lrarvdzlnr.. czr, zachodzi róu'rrość (7.17):

1,, =1.46.1.15=1.41.1,19=1.67 e

Przyklatl 7.10W perr'nvnl gospodarst*'ic dol11o\V\'ll1 badaIto dr nalnikę rvr'datkórr, na trzv art\'-

kuły.: A. B. C rr, latach l995 i l996.Otrz1.tllaIlo llastęptl.jące dane:

Tabcla 7.9Wi,,datki lta lr.r bl.alre ar1vku łv rv gospoc|arstrr ach doIllorr 1 cIr

Rodzajartyktrłtl

Jcdnostkanr i arv

W;datki ii z.l ltrclr rr idilirIrlc ri'skaź-nikiccn ( 1 995- rok bazorvl')

I 995 I 9q6A ku 1000 2.250 1.25

B 5Z( I 500 1 100 1.50

C nr I 500 2000 0.80

ZródIo: Danc tl|l1|)\\ llc

\\/ykorzystując podane irlforrnac.ic Lrstalic tl1,nalllikę rvar1ości. ilości i ccll lvy'dat-

kólv tcgtl gospodal.st\\'a.

Rozlł'iazanic

Sporządzanrr' tabc |ę roboczą:

Tabcla 7.10

RodzajartykLtlu

I

Jednostkarlll(rt)

)

Wydatki rv zl I ndlrviduaIllc rvskaŹn ikiccn ( | 995- rok bazorvy)

4 f, 6 1

tlÓ l)l 4t Pt t, / ltt I)o4t l) t Clo

krl 2000 2250 1.25 I 800 2500

B szl I 500 I 200 r.50 800 2250

111 r 500 2000 0.80 2500 I 200

ogólcrll 5000 5450 5100 5950

Zrorllo Obliczunia rr laslle

260 ANnLtz,c DYNAMTKT zJAWIsK

Wartość utlrieszczolla rv szóstej ko.luIrrnie to iloraz rt,artości z koltrnlny czrr'atleji piątej, ponier'vaż:

1, Pt Po4,P,-=Qtl'o'I'r l'tpo

War1ości tll'l]ieszczollę rv kolunlnie siódtnc.; to ilocz1,n wartości z koltrlllny' trze-ciej i piątej, gdyi:

Dvł..,Po-=(!oP'l .

po

Prz;';tnLr.1ą rok l995 za bazow\' liczr'Iny poszczególne indeksy. Indeks war1ościobliczonl' na podsta*'ic w zoru (7. 10) rvvnosi:

1J\{lJ ,, = :-:-:- = 1.09 = luou o .'' 5000

oznacza to, że wartość lv1.datkórr tego goSpoda|stwa w roku 1996 rvzrosła o 97o\v stosunku do roku 1 995.

Wyznaczatrry indeksy ilości na podstawic relacji (7'l l) i (7.12):

, 5100 ,^^| !., __ = r.uf = l0loo.5000

Mozna Zate|l.l powiędZiec, Że prz)' Zalozeniu Stalości cęn Z roku podsta$,owego I)a

wielkość rtydatkórv lniał rvpłylv wzrost ilości o 2%.

. 5450,' l = (|

L)2 =92oń5950

Natotlliast pr4, załoŻeniu stałości cetr z t.oktt badanego na rvieIkość ir,ydatkórvlnial lvplyrv Spadek ilości o 80z6.

obliczorry indeks I.-ishera intbrnluje nas, Ze iIości badanych towarórv w loktl ba-dan;tn w stosunku do roku podstawo\vego z|llalała o 3oń.

Irideksy cen (7.l3) i (7.l4) przyjlnu.ią rł.artości;

5950,1,,=-=1.19=ll9%

5000

Przy- za|oŻenirr stałości ilości z roktl podstawowęqo na rr'ie lkość rvydatkÓiv miatwpłr,rv wzrost cen o l97o.

5450,l^=:-::"=1.05=105%' 1' 5100

Zakładając stalość ilości z roku badanego na wielkość rtydatków miał r,t'pł1,,rv

wzrost cen o 5oul0.

Z obliczonego indeksu Fishera lvynika. że ceny w roku badall;'nl rv stosullktt doroku podsta\\'o\\'ego rvzrosly o |foń, d

|ruoExsyłcnecnrowe (zgsporowE) 261

Agregatorvv indeks rvydajności pracy nloże byc prlrykładenr indeksu ze-spolort'ego dla wielkości stosunkorr,ych. bowierl lvydajność pracy to Stosunekrvielkości produkcji do ilości cZaStl przepracowanego (lub liczby robotnikórv):

q^T

gdzie:r' - r,vydajność pracy,r7 - wielkośc produkcji,

,T - czas przepracolvany (liczba zatrudnionych).Srednia rvydajność prac},wyraza się wzorenl:

k

Y.,L't t,-t:; _ ./-', - - k-Yr.L'tl=l

Zcspolorr.v indelis lr'1'd:rjności |)rac\'o zmicnncj strukturze (tzw. indcksryszechstronny) ntozna zapisac jako:

( 7.1 8)

( 7.re)

(7.20)

\-., \- , \-,. r \-,- L'tt! .L't r' /-',' L", f

r(--) _ vr _ y=t ./=l _ t=l t=lll _=*

ł ,

k _

{, ' k'u \-r \-r \-r \-rL' ,, L,a, /u, ,., L, a,l=t t=l t=t .t=1

gdzie dla okresu podstawowego oraz badanego:

'1,, v, - przeciętna wydajność pracy

'

4 o,, Q,, - tt,ielkość prodLrkcji7{ej podgrupy,

V0i,V,, - cząstkowa lvydajność pracy7{ej podgrllpy,

Tn,,T,, - czas pracv (liczba zatrllduionych) 7-tej podgrupy.

Indeks rt,ydajności iriformuje, jak znlierlila się ogólrra wydajIlość pracyw okresie badan1'nl r.r'porórr,natlil't z okreselll podstarvorv)/lll. Na poziorll tegoindeksu nlająrvplyw drta czrtltliki: cząstkor,i'a r'vvdajnośc pracy oraz CZaS pracy(l iczba zatrLrdnionych).

Wpłylv wydajności CząStko\\'},ch na ri'ydajnośc ogólną Zaot]serwować tno-ircny przy polllocy zespołolr'ego incleksLr o Stałej strukturze czasu przepracowa-nego (stałego zatrudnienia):

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK

- wedtug fonlrułv Las1ley'resa:łY.' 7L'tt 'o t

./(') = r=l

I t,tl, t '-' ,K

Y., TL'01'01'I =l

_ wedłLrg forrluły Paaschego:kY.' 7L'ty 't1

/L-l

i,/,." =- \1.2)\\',, ,tL'0 t, tt

'J=l

Wplyw zurian czasu pfzepracowauego (strLrktLrry zatrudnienia) na wydaj-ność ogólną allalizuje Się Za polllocą fbrl]lLl}:

- Laspel'rcsa:kk\-'' T \-. 1L,at, t L_, ,,tl.l ="]'^'\Ir. k ł \.,.-')tr tłLż'll Ł \) |

t=l r=l

Paaschego:kk\-., r \-,, z-L't1'ty L'tl'0t,-t , r

t,I.,tr =?:- *-. (7.24)\-1n \-'n/,,ll L'At.t=l /= I

Nal eży pr4' tym ZIU\Y o.Ż v- C, ze zac|l odząre l acj e :

/(--)- 7(') r - r(,) tr t, - !. ) t' I' r .ytr. - l'L t' l. I \tr ('7 '25)

Przyklad 7.11

Badając wydajnoŚc pracy w pe\Vll)l,ll zakładzię, przeprowadzono odpo\\'icdniebadania w trzech wydzialach tego zakładtr i otr.zytnano następującę lv),niki:

I NDEKSY AGREGAToWE (zEsPoŁoWE) zoó

Tabcla 7.1 I

Dane o liczbie zatt.udnionvch i w'ielkości produkc.ji rr, lrybranynr zakladzie

Wydzial Liczba zatrudnionvch Wielkośc produkcii na zatfLld11ionego

I 970 l 99ó l9'70 1996

100 90 tn )')

II 40 50 ),.1 2_s

IIi ll0 100 25 22

Zrtidlo: Dane unl(r\\nc

Na podstar,vic t.vch darr1'ch przepro\\.adzic wszechStronną analizę rr1da.iności pra-\V t},ln Zakładzie.

Rozr.viazanie

Sporządzalll1' tabelę loboczą:'labcla 7.12

W1,dział Liczba zatrud-nionvclr

WieIkośc pr.odtrkcj i

na zatruclniorteqo

Tg Tr \'() rt''tTt

\,070 t'tTa vo'ft

l0L) 90 20 22 I 980 2000 2200 1 800II 40 50 ') .l l5 I 250 960 I 000 I 200III ll0 r00 )) 2100 ]6.ł0 2.{20 1400

o'rólenl 2_50 210 543 0 5600 5620 5100

obIiczIll1' indeks ii'ydajności pracy rvg relacji (7.l9):

.{-r 5430 _i6001,-,_-: = 1.003' 240 250

Zespolorv,v indeks wydajności pracy wroku 1996 lvstosunku do roku 1970r'vzrósł o 0,8%. t.l.a ri'ielkość tę niał'y rvplyw zniiany' rv rvr,da.inościach cząstkort1'cll orazzrlliany lv struktttrzę zatrudnicn ia.

oblicznr}' indeks1, it'i;dajności częściorr,ej (7.20) i (1 .2|):

,(,I 5610 ,rI,'= r,004=|00,40ń5600

Przr' zaloŻeniu. ze zatrudllienie bvło z|9]0, a tr,vdajnośc z|996 roku lnożenlypowiedziec, że rvp|yrv na \\,Zrost il.yda.jności zespolort'e.j lnia'l r,vzrost wydajności cząst-kowych o 0,4oń,

5410,, /l'', = ? = l,00ó = l 00.ó9,o

5400

Przy za|oŻenitl. że zatrudnienie by,lo z 1996' a rv1'dajrlość z |970 roku llroŹemYpowiedzieć. ze wpł-vrv na wzrost rvvdajności zespołorvej tniał r,vzrost rvydajrloŚci cząst-korvych o 0,6%.

Obliczamy indeksy str-uktur)' zatrudnienia (7 .22) i (1 .23),

. 5400 5600I I.,,. = :---- = l.004=|00..ł0ó240 lsoPrzy załoŻeniu, zę zatrudIlienie było z 19,70, a wydajność z 1996 rokll n]ozetny

powiedzieć, Ze wp-lyw na wzrost wydajności zespołowęj lniała znliana st|uktutJ zat|L|d-

nierlia o 0'5 9ó.

54iO i6)0,,1.,, = 240 2s0Przy założ'eniu, żę zatrudrlienie b,vlo z 1996' a lr.ydajność z |970 roku nloiellty

polviedzieć, Źe lvplyrv na wzrost uydajrrości zespołorve.j rniata znriana struktury Zatrtld-nie nia o 0,.'l 7o. e

264 At{łl.tz,q DYNAMIKl ZJAWISK

7.4. Indeksy giełdoweW związkrr z potrzebą ocelly SytLlacji na rvtórnynr rynku papierów warto-

ściorvych tzn. na gieldzie i rł, obrocie pozagieldowynl pojarviła się koniecznoścokreślarria dla każdego ry'rlku sy'ntet\cZllego rł.skaznika. który odzlvierciedlaIby'ztrriany cen akcji na daIle.i ses.ji. Na4rva się go lvskaztlikienl ry,Ilktt. indeksentgiełdy bądz wskazrlikienl giełd,l, (allu. tllarket index).

Irrdeksy giełdorve \\' S),|ltet\'cZtl-r i ii'r'tllierrly, sposób przedstawiają tendelr-cje rvystępujące lla gieldach papierów rvartościorvyclr. Są olle r,vskazIlikatlriznrian ''v średniej war1ości wybranej grupy papierów waftościolvycli' Indeksygieł'dowe obliczarle są dla każdej sesji giełdou.e'i i za|eząod ztltian1, l<ursórv pa-pierów rvartościolt'y'ch' Dzięki nitlr trlozlla olceślic, czy w dany'lll okresie rt.ystę-ptrje tendencja spadkorvu

'..1, 2u,yzkor,r'a kursórv akcji. Indel<sy giełdorve r,v1,ko.

rzystywane sąprzez osoby starające się określic prognozy kursów akcji i przezinwestorórvl07'

Sz,vbki 'ur,zrost wartości iłrdeksu oznacza' ze rra gieldzie lnatlty do czynierliaz lrossą czyli sytuacją w której ktlrsy rviększości papierów rt'artościorvych idąw górę. S1ladek lvartości wskaziika jest cllaraktery'Styczny dla bessy, czy|i sytu-acji odwrotnej.

KlasycznyIll przykładenr indeksu l-lloze b.vc wskaznik Dow-Jotlesa,o który'll częSto wspon i naj ą serrv is1,' i tl fbnllacy i lle

l.]s.

l07 Poró'uvnaj Reil|y F., Brorr,n K. [2001l, s. f2|.221,l08 Zostal o|l stwol.zon)/ pl-zez Char.lesa Il. Dorva (picrrvszego rvl.darvcę slyIlnej gazeti''Wall Street

Jour.rlal,) i D, Jonesa. ktÓrzy rv latach 80-t1,clr XIX rr'iektr zaczęii na podstarvie kursórv najri'aż.lliejszr.cll spólek notoir,aIl1'ch na giełdzie llorvojorskie.| licz1.Ó przeciętlry,kut.s odztvierciedIając;-tendencję giełdorvą. Na początek zsttt-tlorvali kursy l2 lirnl i r'vynik podzieliIi przez |f '

INDEKSY GIEŁDoWE 265

Większośc indeksów gieldowych to agregatowe indeksy r'var1ości (czaseIlrw pewien sposób znlodyfikowane), reprezerltujące zllianę rvafiości rynl<owejpewnego koszyka akcji gieł'dowych w poró.uvtlaniu do pewnej rvartości bazowej(z poprzedniej sesji lub rv stosunkrr do pert'nej lvartości początkowej).

Incleksy giełdort,e pe}n i ą n astępuj ące tunkc.j e l 09

:

są wskaźrrikallri koIliunktury na danej giełdzie.ułatrv iaj ą trrot-l i torowatl ie ztll i an u.artośc i kap ital rr tla lrynku.

są odbicienl tenderlcj i charaliter),Ztr ja.c1ch dallii gospodarkę'wyl<orzystywalle Są do pro gll ozott,an i a trell dórv.

indeks giełd1' nroże bl'c traktorvaliv rórvnież jako instrutnent fitratlsor,vy, coma znaczenie przv opcjach i instnrnrentach pochodnych.Dobry indelis gieldolvy' porvinien spelniac następujące warunki:wskazywac jakie zaszł1' zllriatly lv cenaclr akcji (papierów r,vartościorvyclr)na giełdzie rr' dalll'trr drliu w porównaniu do pewnego okresu podstalr.owegotzl]. rosnąC. gd1' rosną ceny większości akcji. a spaclac. gdy spadają cenywiększości akcj i'opierac się na stosttnkorvo dLrżej liczbie akcji, reprezentujących przewaiĄą.cączęść akcji. któr-r.'rlri obraca się rra danej giełdzie Iub sektor charakteryzo-wany przez c1arr1, illdeks (np' dla indeksorv branżowyclr),nie za|eŻec oci salny''cll rvafiości akcji. a jedynie od znrian rvartości.uwzględniac udzia11'akcji danej spólki w zbiorze rt,szystkich akcji, którynlisię obraca lla dalle.j giełdzie.Indeks gieldou'1 nroże tlu'zględniac r,vszystkie lub część al<cji notou.atl1,ch

rrr oicldzie rrrr

wIG i WIRI{- uu.zględrriają wszystkie akcje rynku'WIG 20 rrr,i'zględnia tylko pervną liczbę wybranych spółek rynku podsta-wowego,NYSE (Nerv Yorli) urvzględnia r'vszystkie akcje gieldy rrorvojorskiej, czy|iokoło 2300 alicji.DJIA (Dorv Jones) Z l\ve\\' York ulvzględnia 30 spółek przemysl,owych,

S&P 500 zNelv York rrrvzględnia 500 akcji.IrTSE (Finansal Tennes.s) 100 z giełd1' lond1,riskiej ur,vzględlria l00 akcji,Wilshire 5000 Equity Index urvzelędnia lrsz'"-stkie akcje znajdujące sięlv obrocie w USA.Wyróżnianly następrrjące sposob1' rvażenia akcji w indeksie:ważenie rvar1ością rynltorvą społki (kapitalizacją - np. WIG. S&P 400.DJWSI - Dow Jones World Stock Index, MSCI -Morgan Stanley Capital

""' K. Ja.luga [2002], s. 96

266 At{łt-tz,c DYNAMlKI ZJAW|SK

International lndex. TechWlG, WIRR). W tak konstnrorvanynl indcksier,viększy- rł'płylv Ila tr,attośc indeksu nrająspóIki rviększe, cry"Iite o rviększe.itr.artości ryrlkou ej.

rvaiellie cenąakcji spóllti (np. DJIA-Dorvn Jotres Incitlstrial Average, NIF),jedllakolva r,vaga niezaIezllie od rvartości spoIki lub akcji np. Tok1,o Itldus-trials, Tokyo Rails.Na Warszalvskiej Gieldzie Papierorv Wartościorvych I |0 rvr'korzysttlje się

kilka Ępólv indeksórv giełdorr1'ch: WlG' wIG20, MIDWIG'WIRR, MIDwlG,TechWIG. NIF itd.

Najstarszynr i najbardziej zuany'nr indekscnr rvarszanskiej gieldy.iest WIG,czy,li Warszarvski Indeks Gieldowl, uvliczan)'od pierrvszej ses.ji, czl'li od l6krvietnia l99l rokLr. .Iego lvartość określa się rra podstarvie cerr akcji spólek,trotorvatll,ch lla rvllktt podstarvorr'\'nl (za rr.yjątkierlr Narodorvyclt Futtdttsz-1' In-\\'ęStycyjn)'ch) - jest to rvięc tak zrr'an1'' illdeks szeroki (rynkow,y). obecnie rvar-tośc indeksu WIG .jest obliczana rla bieząco. W drliu, rv któryln odbyu,ają sięnotorvania, o godzinie l0 rarto 1lodarvalla jest tak Zwal]a rr'artośó otrvarcia. rv

cią-lLr sesji illdeks jest obliczally co nlintltę lla podstarvie zarvierally'ch transakcji'Po zakoliczeniLr sesji obliczany jest kurs zanrknięcia.

I(ole-jny szeroko znany indeks to WIG20. W sklad porlfela te_qo indeksurvchodzi du'aclzieścia na.irviększych spó|ek. llotorvan1'ch lla gieldzie (akcji onajrvyzszej płvnności) - jcst to rr,ięc illc|eks u'ąski (cenorvy')' Z ttlvagi na fakt, żeodrvzorolvttje otl zac|lor,r'allie tla.irrazllie.jsz1'ch akcji, jego ztltiany są pilnie ob-serwowane przez n'nek. Incleks ten.jcst ponaclto tzn'. instrunrentcl)r bazowl,nr(podstarvą rvyliczeli) dla kontlaktórv terllrinorq'ch. Wartośc WIG20 jest oblicza-na od 16 krvietnia l994 rokLr. Podobnie jak w prz1,1ladkLr WIG, rvartość irldcksuWIG20 jest podarvana t]a początkLl illa koricu sesji (tzri'' u,artość otrvarcia iza-rrlkIlięcia). W trakcie sesji rvańośc tego irldeksu jest obIiczana co 30 sekulld.

MlDWIG jest to iIldeks, odrvzororvujący zachorvallie 40 akcji śrcdrlichspó|ek, jego rvańość jest rv1'liczatra od 3l grtrdnia l997 roktr. Wartość illdekstrjest podarvalla na początktr i na kolicu sesji, rv trakcie tlotolvati zlllietlia się conrilttttę. Jest to rórvniez przykład indekstr ce|lo\vego (wąskiego).

wIRR to indeks ryttktt rór.',rtoleglego' obliczaIry' na podstarr'ię cCll 11oto\\'a-

llych tatn społek - jest to rvięc rvskaźIlik typtl szerokiego (dochodorvego)' War-tość indeksrr WIRR jest obliczarla od 3l grLrdnia l994 roku. W dniu sesji rt'ar-tość iIldeksu podarvatla jest drr,ukrotnie: o godzinie 11.30 (po tzrv. 1rierrvszy'rltfixingu, jest to lvartośc otrvarcia) oraz po zakoriczeniLrses.ji (kurs zarllknięcia)'

NIF jest itldekserll' który pokazuje znriany cen akcji Narodorv-vclt FuIlduszyInrvestycyjrlych, jego rvar1ość jest obliczaIla od l2 czerlvca 1997 roku. Codzien-

]l0 Porórr,Ila.j prace pod red' Nolr'aka D. Il994]' s.234

ANALtzA szEREGow czAsowYcH 267

nie podawana jeSt \\.artośc otwarcia (po godz. l0) oraz rvartość zarnknięcia (pozakoticzenitr sesji). W trakcie sesji wartośc tego irldekstr jest obIiczalla co pólto.rej rniuutv.

TechWIG to indeks opisujący tZ\\'. Segnle|lt [nIlolvacy'inych Techrlolo-qii(SI.fech), czyli zachorvanie akc.ii spó]lek, zaliczany'ch do sektorótr,: tlledialtlego,inforurafycznego i telekornunikacy,jnego. TechWIG jest ponadto - podobnie.jakWIG20 - illstrulllentellr bazorvynl dla koIltaktórr' tertttiIlorvych. TechWIG.jestobliczany od 31 grLrdrlia 1999 roktl' rv dniach ses1jnych 1lodarr.atle są koIe.jno:wartość otrvarcia,lvartości bieżące rv trakcie tlotorvati (obIiczane co pół IniIluty)oraz kurs zanlknięcia.

obok rvynlienion1'cll l1'żej indeksórv, giclda oblicza rórvrlież lvartośc in-deksórv sektororvl,clt (subillcleksy sektororve) obraztrjące zntiatly cen akcji spól-ek z rózllyclr segIlctrtórv gospodarki. Akttralnie obliczane są u,artości olrr'arcia i

zarnkIrięcia następujących indeksórv: WIG-ballki. WlG-btrdo''vnictrvo. WIG-irlfornlatyka, W l G -spoży\vcz}/ oraz W IG-tel ekorll Ll n i kacj a.

W tej pracy otllórvinly tylko tv celach illfor.nracyjrlych konstrtrkcję indeksuWIG' gdyz rvszystkie pozostale są konstrtlorval]e lla poclobnej zasadzie]ll.

''. Wszyscy chętIli nlogą się zapoznac z konstrtrkcją indeksóll'na stl.otrie http://rr'rr.rv.gprv.conl.pI

268 ANALtzA DYNAT\,4tKI zJAWtsK

Tabelu 7.13

Wa rszarvski Indel<s Gielclolvv WIGNazu,a indcksu \\,arsz;rrr ski Indeks CieIdorvv \ł'IGTr.n indcksrr Indeks dochodow'y. obe.jnlu.jąc1, dr*'idendi,,. i prarva poboru.

Liczba spóle k I I I (u dniu 22 pazdziernika 2004)

Krytcria selckcji S1lóIki Irotclrr'atle lta r1'trku podstarr,oil,1'Itr (nie trczestniczą fuIlduszeinrreslr'cvIlle oraz stló|ki llraiącc srrą siedz-ibę lloz.a granicanli PoIski).

Udzialy rv indcksic Indeks iraiony ri'ar.tością 11'nkorrą lrotorr,aIly'cIl akc.ii' Udział po.ied5,,Il-

czej spólki jest ograniczall1, do l09ó' ajednego sektora do 307o rvar.to.

ści portl.ela indeksu.

Data bazorva Piet.rr,sza sesja cie ld;- Warszarlskie.j rr,clniu ló klrietnia l991 l.oku.

\\/artość bazorr a I 000.t) pkt

Kaoitalizacia bazoua 57 140 000 zl

Obliczanic indeksu ['odczus krzdej ses.ii rra podstarvie kursu.jednolitego.

lndcks ptrblikują CetlLrlit cicłdr. \\'łr.szarrskiej. Reuters. łJIooIllberg. TeIerate' I}ridge,Telctekst (TVl' l. TVI'l r

-l-ele*izia Polonia).Folnrula rrl,\

tt't]tt\= "l'1 ,t,(r) Iooo,\/(0)

gdzie:l/(,r-kapitalizac.ia porrlcla inilcksu na sesji "1" .

1///\-\-,,' /)["tt 'tt 't=l

|vI1)-kapita|izac.ia por.tlć|a indeksLr rr'dttiu bazorrl,nr ( l6 krt,ictnia 9l),5

,r r/n\ - \',,, pĄ|,tllttl,t=l

K(|-rvspólczl'nnik ktlr'1,gu.jąc1' na sesji ..l..,

I.. Iicz-ba iir.lrr urrzg|ęrIlliarl1cil rr' indeksie.1l,,7, 'l|)6 - |iczba akc.ii i.tej 1ll.nlr'zIlajdu.jących się na rvnktl odpo.

rvieclnio l'badanrnt i bazoulnl okresie,t,,, ' l,,tl. cena akc'ji i.tej lirnll zlrrrjdtljących się na rr'Ilku odpori,ied.

nio rv Lratlarrr.'m ilrazorrrnr ohlesic.Fonnula uproszczona W s1tuac.ii' gd1'nie rv1 stępu.ją Itiel.r'llkorve znlianv kapitalizac.ii port1'e.

la indekstl do obliczania ri.al.tości iIlrleksu lllożna Stoso\\llc ul]|.oszczo-,,|'\

rlq lbI.IrluIq 1lrzór1: ll /G(t)= _:)!!l_4 il,lG1t _ |\' :\/(t - | |

ANALIzA SZEREGoW cZAsoWYcH zoY

c.d.]'abcli 4.17Współcz1,nnikr1''gujący K[/

ko- ZadaIrieru rvspó|czvnllili'a kory'gtrjącego K(tl .iest elinliIlacja lr,pl1,ry11

nielvnkos'r'ch znlian kapitalizac.ii na pozionl indeksu.KlOt =. K(16.04.91) : I

A( l6.0l.9fl) - 0,02908i I

,1 tI t I

d(r+l)= "')'1 x(r),l/v')

,,,., r1(r')= r1(1)- D(1)* O(/) -vv)gdzie:

r./,\_ \- (f(l./)- /'(r..'Ór)) r /;\, \t ! - / -----;;-. i--.-' .' \r /.,\l/t+ I

D//l-rlat1cl:c tlrliJr.tlcl. dtl ktiirrch prawo od|ączono po ses.ii ''l..(re.car(1-diric ).

I'l//-\\llrtosa lerlrel\clnli Pril pobtrrrr noto*anrch po raz ostatni nasc:ji l" Irre(l odli.t.renicnl irul od akc'ii (r'ecord-date): dot1,czy,

tr lk.. .r1Lllrcii. g.l) te')|('l.\(,,11:t tr.tIlrlśc lllil\\ p\]boIU .iest doclatIlia

iccnl cnrisy.lna.jest nizsza ocl krrrsLr Llleldo*cuo),()/1/-\a|tL)śc rrtlkorra akc.ji lrprtlriadzalrrch (+). bądź rwlączan1',ch (.) z

lro|tlcla iIldeksu pcr ses.ji ../..: dotrcz-r' to zarórrncl zri,iększania pa-kiettirr akc.ji spó|ek lrcześIlie.i uczesttticzip1'clr rr, indeksie' .iakl.órr n iez spó|ek.|eszcze n ie r'lczes1n iczi1cl clt.

Prl,rr-kurs.iednolil) akc.ii "i" na se s.ji "1".

I) ( i' t t l t ) -cen,a lrou'e.| enl isj i ob.jęte.j pralr erll pobortr.,Stll-liczba prau,niezbędna do ob.|ęcia l ali.c.ji norre.j elllis.ji.

'\,/il. I iczba akc i i .' l.' w port l.eI L| inrleksu (rl,ieIkość t;ali icttr).

Ks'altalne korekt Po zakończcniu każclego klrartalLl akc.je norr'r'clt spćlIek r:ieIdorr'r,ch i

no*rch ernis.ji *plo*'adzorlrch do obrolu gieldorvego rv zakoriczouvnr.jLrz klrartaIe są rr|ączane tio portl.eIa irldelrsu. Jednoczcśnie p|Zepro\\.a-dzalla.jest operac.ja ogranicz'ellia Lrdzilltl po.iedvncze.j spó|ki rv indeksiedo l09ó. a alicjiz jednego sektclt.a c.|o 309'o bieiqcei kapita|izacii portl.ela.

Zródlo: Strona Il]1.rl1cto\\ a (iP\\' (rr rr.rv' gpu co|ll'p.. /

7.5. Analiza szeregóW czasowychAnaliza Szere'qó\\. czaso\q'ch po|ega na określerliu i rvyodręblliel]itl Z SZe-

regu \\'ystęptrjący'ch \\'lli|l1 pra\Vidlo\\'ości' tendencjiot.az tra oddzieleniLr ich odniesystenrafvcZIl\ ch. pr.Z},padko\\1'ch rvaltari' W szeregach czasow},ch wYróŹniasię Zatelll drvie składoii c:

. skladolvą S\'St€nlat\'czną, będącą efektenr oddzia,łyrvali stalego zesta-wtt CZ\'l-lIlikó\\, |la SZe|eq czaSowy oraz

. składorvą prz).padko\\'ą (Z\Vaną częSto sk'ladnikienl losolv;-tll lub lva-lraniarlri prą'padko\V)'|ll i).

270 ANłUz,q DYNAMlKI zJAWlsK

Sklador,va Systenlatyczl]a Sze|egu tlroze lllieć postać jcdnego ILrb zlożenia kilktlspośród eIenretttólv:

. tendencji rozrvojor"ej (trendu),

. stale-9o (przeciętnego) poziotlltr Szeregtl'

' sk,ladorvej okresorvej (skladorr,ej periodyczrle.|)' która lvystęptlie rv po-staci rvahari cyklicznych lub sezonouy.'ch"-.

Z'atern rozrt,ój zjarviska rv czasie lnoże by'ć lv1,nikietll nak,ladaIlia się lla sie-bie llastępuj ący,ch czyrln ikólv:

trend - długookresorva sklontlośc do jc-dlltlkier.tlnkorwch znlian (rvzrostLlltrb spadku) rvar1ości badanej zltienllej. jcst roz1latrr'rr'anv .iako koIrsekl'n'elt-cja działarria stalego ZeSta\\,Ll czynrlikórt,, takiclr jak np. rv prz1,padktl Sprzc-dtlŻ"v - wzroSttl liczby potencjalll1,ch klielltólv, znliaIl rr,technologii czy ple-1.e rencj ach ko ll s lt nletltórr,.

rrahirnia sezono}ve - re.Ęttlarlre odchr'lenia od trstalorlego 1loziollltt ]ub odlillii trendu, lllające skłonrlośc do porvtarzania się rv określonyIll czasie. llieprzekraczającynr jednego roku' odzlvierciedlają w'pl1,lv pogody Ittb ''kalclr-darza'' rla działal rlośc gospoclarczą.rvahania c1'k|iczne wyrażają się rv postaci dlugookrcsorr'ych. rytrrlicznychrvahali rvartości ztnietlnej u'okól teIlc1cncji rozrr.ojorvej lub stalego (przecięt-nego) poziontu te.j znlienncj, rv ekononlii Sąone na ogól zrviązalle z cyklelnkon iunkturalnvnl,rvahania przvpadkorve - rvszvstkie znrialty o charaktcrze nieregulam)u'l zpunktu u'idzenia przebiegrr szeregu.Idcntyfikację poszczególnych skladorr'vch szeregtl cZaSo\Vego konkretllej

ztrlientlej rrrnożlirvia - rv u,ieltl przy,,padkacll . ocella rl,zrokorr.a spot.ządzotleuor,rykrcstl. Wy'kres Sz!-regtl czasowcgo l"ttllożlirt,ia polladto w1'kr1,cic obser.lvacjinietvporr1,ch oraz pLtnktórv zrtrotnych,'''.

7 .5.1. Szereg czasowy bez składowej systematycznej

Szereg czasow.Y bez sklarlorr.ej systenrat1'cznejll] charaktel.1'zrljc się za-zlvyczaj tlieregularnyltl oscylorvaniellt rvaftości zjarviska rvokól l)ewllego stalegopozionttt. Nie obserwu jenly tu systenratyczny'clt znlian rv czasie ani regularnl,clroc1ch1'leri, nlają rlliejsce rry,.łącznie oclchylenia przypadkowe. Nie lllożna przervi-

ll] [,oróstla.j M. Cieś|ak Il996l. s. 7.1.7tl.,,.,

\\, 1lttnktttc,lt:lrro|nrlt llastęptlig zIlriaIra kic'rttttktl tellclencji rozri'o.jorre.i (ze rrzrtlstow'e.j dospadkclrve.j' iodil'r.otlrie) bi1dŹ zIniana tenlpa wzl.()Stu Iub spadku rvartości znlienne.i. W1stępo-rr'alric punktórr' zrrt.otnl'ch, rr,1lll,rr'a.jące \\ istot|1)'s1losób na 1lrzebieg pt.ocesu p|.og|lozo\\,a-

' ' ' nil. nloŻe lrr'tnagać uŻłcia okreś|oll1ch luetod 1;roglltlz'oriallia'.'" \V. Starz)'ńska [2000]' s' l17.

ANALIZA SZEREGoW cZAsoWYcH

clziec losorvyclt r,r'ahaIi szeregtt.''. Dobrą nletodą określenia przelvidyrr,anej rr,ar-

tośc zjatr iska jest rr'r,znaczetlie średIliej ar)'tllletyczncj z rvar1ości zaobserrvolva-Ilyc|r rv przeszlości.

Przylilarl 7.12

W tabcli 7'7 pl.zcdstarr'iono Iiczbą sprzedirnyclr satltocltodó*'nlarki oPELr'r,Łodzi u,koicjnr'ch trgodIliach. oszacLlj liczbę sprzcdan1,c|l satlroc|rodólv ri' ll t)'go.dniu.

Rozu'iazalr ic:

Aby sprari dzic.z tabcli 7. l.ł lla t.r,sttllktt

z .!akim szercgiern tnanry do czynicnia, przcdstarvianrv danc1 .1.

''' Nalczr'jednak parrliętać. że rrart<lści szcregtt rrlogą zllezeć nie tl,lko od jego rvltrtoŚci 1rrze-szlych' aIe cZęsto są zrr,iązirne z 1lerr'll1,,nri cz1nllikanli zerr'tlętrznr'Illi i rrórvczas nlozria przerri.d1'rrać rrartoŚci sz-eregtr trrrz.ględniljąc te czr,rlniki (llp' pr.z-r,rvykorz'1'stanitr lllodeli opisorrrchregres.i i, porólr'rla.j rozdział 5 ).

271

Tabclr 7.1J

Nr t1'goc1rlia 1 Liczba sprzcdarr,altr,ch sanroclrodów \V szt.

r t5

..ł ió

ó

l IJ

Ó 4

I A

l0 IRazc'rn r50

7'ródIo' Danc tllllo\\'llc

272 ANALIZA DYNAMTKI ZJAWISK

2A

; 18j.-I ro

Eląa i.

o to

cÓ

:0

56Nr tygodnia

lłl,suttek 7' }. llustt.ocju era.fit':ln clatl.l,clt: lallali

Z rystlnktl \\'idac, Żc p|zcdsta\\,io|lc liczby, sprzcdanvch sanlochodórr'w poszczcgólnych tvgodlliach osc1'lLrją lr'okół l5 szt bcz lvidoczn;,ch rcgularnr,cll te n.dcncji. IVloina zatc|l] tlzniic. Żc.jcst to szcr.cg bcz skladorvej systcmatyczncj. Aby zapro-gnozorvać liczbę sprzcdanych sallrochodćllv rv l l tygodnitt, rvyznacz1,nly Śrcdnią ar1,t.

_ 150n)ctYczrla 1=-=l)szt.

10

7.5.2. Szereg czasowy z trendem

Szereg czaso}l'y z trendem jest to SZereg, rv któryIll obserrvujenly Systen]a-t1'czne zllriany lv czasie o stalylll charakterze (trend) oraz to\Val.Zyszące illrznriany przypadkorve. Na rysunku 7.2 plzedstarviono przyklad takiego szeregu,dla którego zllliany nla ją charakter rosnący i r,lzględllie liniorvy, zak,lócatly przezrvahan ia przypadkorve.

ANALIZA SZEREGOW CZASOWYCH 273

25

20

tc

10

5

0

516

]ł.l'y t t t t c k 7' 2 l, l. :.l' kl a d'y : e |. c g|t C : a', Ou' e go : ! r e n d e ilI

W1'odrębniellie trelldu lr iąże się Z tzw. \Yyg|adzaniem Szeregu. Jest to tak-Ze częSto pierrvszr' krok rv allalizie Szeregu czasowego z rr,iększą liczbą składo.lr,\'cl1. Szereg w}'gładzony pozrvala obserwowac dane z porllirrięcienl \\rahali

krótkookresorvvch, zlv|aszcza rvahati prz1'padkolr'ych i sezonorrr'ch. Najczęściejstoso\\'ane nletody uIgladzania szeregu czaso\vego to:

mechaniczna - średrlia rtlcho|lla,analiĘczna - ltrnkcja trendtt - prosĘ'nlodel regresyjny', lv któr1'lrl Znrię|lllątliczależną jest czas.

Najprostszą z ttletod rr.y'gładzania ll1ecllanicznego jest średnia ruc|roma.cąvli krocząca. Jest to średrlia arytlllet),czlla w}'Znaczona z /c kolejrly'ch eleIlen-tórv szeregu, zazlvyczaj bezpośrednio poprzedząący'ch IllollleIlt obserrvacji /(r> k):

(7.26)I

gdzie:

/i - wańość znriennej rr. lllollleIlcie (okrcsie) i,

t - stala rvygladzania, krok lr,r'gladzaniii.

Wielkość krokLr lvygladzallia k za|eŻy od stopniauzyskać. lnl rr,iększe t, tynl bardziej rr'.ygladzony

reg j/, .

rvl,gladzenia, jaki chcenil'będzie przeksztalcon)' SZe-

274 At'tRl-lzR DYNAMtKt zJAWlsK

Przyklad 7.13

Wy'znacztll1,śr.ednią krocząca prostą l5-okrcsolvą dla ktrrsórv akcji spólki oko.cinr S.A. notowanych rla Gicldzie Papicr.óri' War1ościollych rv Warszarvic rv okresie odl3.02.l992r. do t4.ll.l995r' (645 obscr.tvacji) i porórr.najm1, je z dany'nli rzcczyrr'ist1.-nri.

Rozrviazanic:

średnia krocząca'l5.okresowa

Ęstedna

--ku.ś akc| j

Rl'sunek 7'3 I,clrótt,,tlclłtie htrsóv akcji Okocint i .śrcdniej ntchonej prostej I5-olt.,''rtłcj e

Sredlria rllchollla |tloże b\,c rvykot.zystyu'al1a takżę .jako prosta lnctoda pro-gllozowania p|Z)'SZl},'ch rr,artości SZe|egLl czasowego. Przy jej ttżvcitt przervidrrje

się, że wartość ]l/ w |lloll]ellcie r będzie ró\Vtra u'aftości średniej ruchonlej li .

Jest to tlletoda progllozowaIlia skttteczna dla niektórvclr szeregórv, jednak rvadąśredrliej rLtchonlej (zrt'laszcza dla dużego /r. np. ł:l5) jest prz1,pisyrvallie takiegoSal]lego znaczenia obserrvacjonl odleglr,In i rlajnorvszyrll. W celu trlr,zględrlienia1losttllatu rv'iększego .rr'plvrvtt na średIlią obserrvacji najnorvsz1.ch stosLtje się tzrv'średnią rvażoną |iniorvo. która jest następtljącej postaci:

Czas

AruelrzR szEREGow czAsowYcH 275

f-l

T, = Z1,rt', r-{+r (7.27)

gdzie:

l|)i-t k t \\aga lladatla iiar.tościoIll ztllic-rlllej w okresie i,k

0 < rt,l < ]t'r <...< rt^ ś l t)l.llz ) r,, = l .

t=l

Na|eży zaL|wa4,C. że tetl roclzaj średniej jest celorv1,i pl.z1,datny tylko rv przv-padku zttlietiltych. ktcirych lrattości zrllierlia.ją się etr,olucr,jnie bez grvaItorr'nychwahati i odc|ł1,lell,

Przyklad 7.1-l

Dla dan1.clr przcdstarr,ionych lr'tabcli 7.l5 ri1,znaczono lr,aftości średllicj kroczą.ccj rvazorrcj dla ł:3 oraz przyjętych lvag: ll,7 = 0'2. lr,2 = 0.3 iu:: = 0'5.

Tabch 7.15obliczanie śl.edrlie.j rvażone.i i prostej

Nr obscnvacic

\\ agl \\'agt wagr średn ia \\'aZo|)a

l-)', "', Zv,

Śrcdnia

f s-,,. L-YtJ

) 0.2

2 3 0.i 0.2 3.8 0 .].JJ

J ) 0.5 0.3 0.2 5.6 ) 5.00

4 '7 0.2 0.5 0,3 1.6 ) i.005 U.J 0.1 0.5 41 + 4"61

6 4 0.5 0.3 0.1 6,3 6 5.3 3

l 9 0.1 0.5 0.3 45 ) 5.00

8 f 0._l 0.1 0.5 1.9 4 1.61

9 J 0.5 0.i 0.1 3.8 i.3 3

0 5 0.1 0.5 0.1 1.6 3.61

I 3 0.i 0.1 0.5 ),'., a 4"00

f /l 0.5 0._l 0.1 5. tt ) 5.00

8 0.i 0.1 A1 4 4.614 z 0.5 4.3 3

276 ANALtzA DYNAtvltKt zJAWlsK

Po|ownan'e itednlch Itoc.ących

/?],srlircli i'1 ||,'l,gla,1:onic s:cl.lgll :0 p()DIO('LLśrednit,|t lrrtłc:t1ty'cll prr>Slej i\ra:ontj

Łatrr,o zaurr,aŻ5'ć, Żc dla śrcdllic.i \\.aŻollcj tlz\'skallo bardzicj rr1'gladzony, szcrcg

niz dla zrv1'k{ej śrc<lrricj ruchon1cj. a prz1'tvnr zaclrorr'atta jest dlrrgookrcsorra tcttclctlcja

n1,stęptrjąca r,,s,er..gu. łItlną nletodą Stosowallą do uygladzallia SZeregów czaso\\')/ch jest

Średnia lv1'kladnicza postaci :

!-t =4,,-t+(l*a)r:,-, , aeO,tl. ( 7'28)

któLą stosrrje się szczególl1ie \\' p|Z}'padktt ztttietttly'ch, któr1'ch rr'artości pocl-

legaj ą częStyll-l. gu,altorvll1'nl i przypadko\\'yllr \\,ahan ion].

Po podstariiel)iu q/.l = '\'l-l r:,-' t11ożItA zapisac l]ilstęptliiłco:

1'. =V' tłC((l ,_t, ( 7 .1e)

gozle:

d - tz\y. parametr $l'gladzania, czyli \\'aga dla ostatniej (najnorvszej)

obserrvacj i zlttieltllej,

cIt.l-b|ąd ex post średlrie-j kroczącej w),Znaczonej lla okres l-.1,

_ ) t,1 + !t_:. + ...t !t-k+l.Y,-r=T'Podstatl.orvr,l1l problenlel11 w przypadku stosorvaIria średniclr rvv-

kladniczy'ch jest ustalenie rvartości paral]letrtt \\.\'g.ladzania. Dokontrje Się te-

go zt|Z\\yczaj ekspetylnelltalnie. tJ przyjmując różne u'ańości a

ANALIZA SZEREGoW CZASoWYcH 277

isprart,dzając, która z nich daje najlepsze efekty (np. llajrnniejszy bląd pro-gnozy).

Pz1'klad 7.15

Na podstarr,ie dall1,'cIr zalvarty,cIr rr, tabeli obliczrn;, śrcdrlią lvvkladniczą dIa

cr:0.5.

Tnbeh 7.16obI iczan ie śred n ie.i rv1'k|adn icze.j

Nr obscnvacjcIt

śrcdnia prosta odchvlenieQt.t

śrcdniar.wkladnicza

3l2 )- 3f .33 -0.3lJ -).+ 34,00 0.00 3 l.8l4 JO 34.00 2.00 3'1.00

5 )L 31'ó7 1.61 3 7,00o JJ 34.33 r.33 3l \17 38 i1,00 1.00 JJ.JJ

8 3l ]3.ó7 -2.67 40.009 ), -0.i 3 29.61n )..t 32.61 t.li 3r.siI )L l3,00 1.00 3 4.61f 33 31.00 1.00 i 1.50

J )l 33.61 3 2.504 1l

JI 3 8,67

Potownanie 'dniq Prcslq Iw)ĄłJniaq

E

]---.-sleińilcts ]

]_*--odcĘen€ ]

-:-wa'bscieĘj.yczne

Rysunck 7.5 Porólynanie śrcdlticlt prostaj 3.okresov,ej i wlkludttic:ej

278 AuLrze DYNAMtKt zJAWlsK

Jak rvidać na rysttlrku 7.5' śrcdllia rl'y'kładnicza odzrr'iercieclla spaclkiznrienllcj. podczas gdv śrcdnia prosta u1vgladza szcrcg.

Przl,klad 7.16

Wr'znacznrv. dla róinych rvartości paralrletrcilr'rrygladzania cr. średrliecze dla analizolvatlvclr u'czcśnicj kttrsórv akcji okocirn'

r \\,zIosty

^t

rykladni-

I

Rl,suttek 7.6 Pr:t'ktadl, śrctlttit,h v.t.kladtticłclt tllą rti:tt.l'c,ll parantetrólt, lt:l,glat!:anict

W ccltr blizszcj anaIizy'rózllic lr1llika.iących z zastoso\\'a|]ia róŻn1'ch rr'artości pa.ralnctru r1vgładzaIria prz1,jrz1jlny się fi.aglnclltorr'i analizorvanego na poprzcdninl rys.rvl'krcstl dotycząccgo obserrl'acji od 222 do 355' b1,l to bori,icIn okrcs grvaltoir.Ilr,chzIllian kttt.sórv akc.l i'

At'lnl-tzR sZEREGÓW cZAsoWYc H 279

Rvsunek 7.7 Pot.ólrttattie śretlniclt vykladnit'ł,c]t: r:ec:lllisĄ'nti vurtclściąui kurólr akc1i okocintdla obsenracji ocl 222 do 355

Mozna zatl\\'az\'ć, zc dla najnlniejszcj rr'aftości pat.alllctru rvygladzallia szcrcu jcstnajbardzicj rn'gladzony', dla s:0,9 przebieg szcl'egu wvgladzonego -icst podobny doszcrcgu danl'ch rzcczv*,istvch.

Motlete trendu Są mode|ami regresjil16, rv któn'ch rolęnej pe,łni Zlllielllla czaso\\la, czyli:

v, = f(t) + e,

gdzie:

,f - symbol dowolnej funkcji,/ - zrnietltla czaso\\.a prz1'jIllrrjąca najczęściej rvartości /

w procesie estyrnacj i oraz t : T+1 . T+2,..., 7* u' procesie

// - Zlllie|llla objaśniana - Szereg cZaSowV,

e, - sk.ladnik losoul.W zalezllości ocl postaci analit1'czllej firnkc.ji/rvyróżniallly róŹne rodza.je

trendu. Do najczęścicj lrr.kor.zr,stvuan-t'cll llalezy lirnkcja liniorva, ri1'kładnicza,potęgowa i rvielonlian stopllia drtrgiego' .'. Trend Iiniorr'y lllozlla zapisać jako:

!t=do+G|t+€|) (7.3 r)

l]6 o nlodelach r.eeresji by,ła nloria ti.t.ozdziaIe 5. Tanl teŻ otlróu'iono nletoclc w\'ZnaczanIa wa|to-

- ści parallletrórv lirnkc.ji regresii.

.,' Szczególorr,o zagadrrienia te onlólvione sąnl. in. \\1 pracy: M. Cieślak [|997] s' 17-87.

eznliennej nieza|eŻ.

r7 i0\\,.-"/

l. -".r1

predykcj i,

280 ANALIZA DYNAMIKt zJAWtsK

w którvm paran]etr aI wyraza staty przyrost z okresu na okres rvartości zIlriell-nej objaśniane.i. W celu rvykorzystania nodelu trendu clo progrlozo'nvatria naleŹylv pierrvszym kroku oszacorvać Za pomocą MNI( parametrv tego llodelu napodstarvie Sze|egu czasowego obejmującego dalle z przeszlości, czyli:

i, = as + art (7.32)

Przyklad,7.17Ccny pervllcgo dobra zmienialy się li,ciągtr roktt. a ic|r poziolll rv kolcjllvch nlic.

siącaclr l 997 roku byl następujący:

ZróJlr'' Jalre Illl)\l\\ llr.

Za ponlocą liriiolrcj lirrlkc.j i tt.cllcltt oszactri ccnl'..jakich naleŻv się spodzicrr'ać.

Rozri,iązall ie

W picrrr'sz1'nl krokir ltalczl'oszacorrać paralllctt1,tirllkc-.ji trcndu (7.32) Za poll1o-cą MNK. ll1acicrz obscrriacji X zariicl.a l2 rlbscrrlac.ji zarr'artvch lv cllvóch koltrrnnac1l.Picrlvsza kolLrlllna zarr.icra sanlc.icclr.rlki. a dl.trga rrartości znlicltncj czasorl,cj t, cz'.1,|i:

,.t.[r I I i I I I I I I I l]X'=l I

[i]i456i8eronl2l

Tabcla 7.17

2 l J ) 6 7 u 9 l0 tl l230 3l JJ JJ ): J.{ JJ J+ 35 36 36 31

Arułltzn szEREGoW cZASoWYCH 281

Tabcla 7.18

)'t I I t," t Wal.tości te olct) cZllc Blętl1'c, le,)-t0 i 30 3 0.63 -0.ó3 0.i969ll ) 4 bl 3t l8 -0. lu 0.03 2.ł

i3 3 9 99 ir.7l t.21 I .6129JJ 1 1ó t)! i 2.28 0.12 0,518132 ) z5 160 3 2.83 -0.83 0.6889J+ 6 JO f04 33.38 0.62 0,3 844

3i l -ł9 !) | 3 3.93 -0.93 0.8649J+ I 64 212 3'ł.48 -0,48 0.] j 0.ł

i5 () ul 3r5 3 5.03 .0.03 0.0009.)o l0 100 160 35.58 0.42 0.|16Ąi6 ll l2l 396 36.13 -0.1 3 0.0 r6931 1l 1 .ł.ł 444 i 6.68 0 3a 0. I 021

Surna 650 2105 5.025 8

Korz;'stając z illfornlacji zarvartr'ch ll.tabcli 7'l8 oraz rvzoru (5.39)\V)/zllaczalll\'oce llv est)/lT] atorórr' paratn ctrórv nl od e I u tre ncl u ll a stę p tlj ąc tl :

l [ ó50 _ 78l[ 401 .]

[; o.osl

|7r6L-7s rlll705l L0.55 loszacow'iitlr' tl]odcl trcndtl (7.3 1) jcst postaci (pod ocellalni paranlctrórv podano

waftości błędólt S(ł') ):

"v, =30.08+0.55r(0.4.{) (0.06)

Rr = 0.90

co oznacza. Zc ccll\ rosIla przcciętllic o 55 grosz}'w kolc.jn1'ch nriesiącach. Funkc.jatrcndu lr.1,iaśllia zlll iallr ccrl rr 90.)'o. c

7.5.3. Szeregi czasowe ze składnikiem sezonowym

Szereg czasolr'\'ze sliladnikiern sezonorvvrn (bez trendu) jest to szereg. u,któryll uystępują ztllialll' rt czasil' u' postaci rvahań Sczollo\\'ych, zll,iązane zcyklerll foczll\/lll. 11'godIliou.l'lll. cZaSc|ll tllicsięczIlytll itp., następtłące rvokółsta'łego poziotlltl średniego z'.jari iska. Przlkłaclclll takiego Szefegtl o u'ahalliacltroczIly'ch jest ciąg datl1,ch przedstarr,ioll\' |la f),Stll]ku 7.8.

zÓz Ar.tRLlzR DYNAMtKt zJAWtsK

3,5E +08

3,0E+08

2,5E+08

2,0E +08

1.5E+08

1 ,0E+08

0 0E+00@@@@@@@@@Af@ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOFc, q) ? q) g' g, ę g, g] 9 q' q, g' q, ę q' ę q o'' ? ? 9 9 q ę ę ę 9 ę ę ę ę ę ę ę ę ę;.lE E 93 sa I B : E;'-' E E F S sB ! B: E a: e ; PS=' H ! H! E ;'

Rv-sutrek 7.8. Pr:vklocl s:eregil c:eso\teso: roc:rynti v'ahanianti ,sezonou.,\,'ttti.

W szere.qtt z rvahaniatlri sezolrorvyllli rv1'stępują kolejne okresy' t obserrva.cji (sezorlórv) o porvtalzający'nl się przebiegrr (z dok]ladrlością do rvalrari przy.padkowych). W prz1'padktr takicgo szeregtl Ilalezy rryodrębnić u.artości tzrv.rr'skaźni|iórv sezono}\'ości (lr'skaźniki lr.ahań okresorvyclr), czyli rvartości łrvspólczyllllików c., i:|,..,,k, określa.|ąc1'ch lvplyrv i.tego sezonu na ogólIląrvar-tość szeregu. WskaŹniki te wyz|lacza się jako stosutlek średniej rvaftości Szefeguw rtym Sezollie (dla lvszy-stkicli kolejn1'ch okresórv) do średniej ogólnej szere-gu:

-',=i' (7'33)

gdzie:I

.u, = ] I y, j est śreclIl ią arytnlctyc Z|]ą wyz|)aczo|1ą Ze u,szystkich lr, rvat.tośc i,Li tę,l',

Sze|egtl. które reprezenttrją /-ty Sezoll. l:1, ..'' /r,

T 1 _ zbior rvszvstkich ttLttllerórv obserrvac.|i (nlotlletltólv rv czasie) reprezentLrją.

cYch r-11' sezot.l, i:l , "', k,

lśl =

^ )-l,, - średnia atyttlletyczna rvszr,stkicIl rt,artości Szefegll.

Wskaźniki sezollorvości rvyraza się lv ulanlkach ltrb procentaclt.

At'tRl-lzł szEREGoW cZASoWYcH

Przyklad 7.18

Szereg przedstarviony na rysunku 7.8 przedstarvia ciąg niiesięcznych wielkościpoboru energii elektrycznej przez ogól odbiorcórv pewnego zakladu energetycznego.Dane te przedstar.viono rv tabeli 7.19.

Tabch 7.19

/.Ó5

Miesiąc PobórsĘczerl 98 10907 I 851

lLrtv 98 213n 1395

rnarzr'c 98 29234266t.5krviecień 98 237790335

nrai 98 2039219 | 2.3

czerrviec 98 l8ó'ł08775.7iipiec 98 l7_5355381

sierpieri 98 l 91825'ł96'2rvrzesień 98 2n516599.9

paŹdziernik 98 26t640452,4listopad 98 294692366.c,

grudzień 98 313031640.7styczeri 99 296295652

lury 99 282t52439nrarzec 99 21 6871 813

kwiecieri 99 224569205. l

rnai 99 20] l8.ł51ó.2częru'iec 99 r 85881209,6

lipiec 99 n6119136,6

Miesiąc Pobórsierlrieri 99 I si955780.5

rvrzesie li 99 200:13 1179,5

oazclzienrik 99 246707880.4listopad 99 280'/69012.3

erudzień 99 305 l 89752,3sty'czeri 00 3 r 5302028,8

lLrtl'00 219168t95.2nralzec 00 286101360,6

krviecieri 00 219565217,8

rnaj 00 984)9 | 16,7

czerrviec 00 RqTqi4l? /lipiec 00 8542 r 36 I

sicrpieri 00 9541121?.,9

rvrzesieri 00 219915710.6paŹdziernik 00 239444130

listopad 00 261381672,1grudzien 00 288792049.5

sNczęń 0l 310979169.9

Na rr'sunku 7.8 u'idac, Że szereg cliarakteryzuje się r,l'yrazną sezonorvościąroczną: w nriesiącach zinlorv1,ch pobór energii elektrycznej jest istotnie rviększy nii lvlniesiącach letnich. Wvznaczynry rt'skazniki sezonorvoŚci dla tego szeregtl. Zgodnie ze\vzorenr t7.li) dla sty cznie luanlr':

lsl-,l-, =---. )'''., =-(j0q07l352 -]96]q5ó5]- jl5j0]0]8.8+3l0979ló9.91=

I,ll aI D1 lA.\tuc= \t1 L:(tl

= 3019 l2t1 6

t -17

| = -'

}., = ]-ł j5]c) l-ł9.ó- t=l

y, 307912t76=--=|.)ń' f ll35:9llS.6Co oznacza. Że w stycznitr przeciętrle zuŻ\,cieby)o o260ń rviększe od średnicj,

ANALIzA DYNAMIKI zJAWtsK

= (2'73171395 +282152439 +279768195.2)l'. ?L' --_= - lrta !- , 243529t49,6

czv|i zuŻycie lutowe staIlowiło około ll.ł0,,o średniej (było od niej większe o l4%) itdWartości rvszystkich wskaznikórv sezonorvości podano rv tabeli 7.20

Tabela 7.20

Miesiąc Wskaznik sezonort'ośc i

St},cZeń

luty t.l4lnarzec | ^tl

kwiecieri 0,93

ma.l 0.83

czel'wlec 0.71lipiec 0.14

s ie rp icri 0,79\\'rzes I c It

paŹd'i.'"ń<0,861.02

Jistopad l.t5grLrdzicri r.2.1

Mniejsze od l lvskaŹniki dIa rniesięcy letrlich oznaczają rvanoŚć szeregtl przeciętnieponiiej średniej, r,viększe od l dla rniesięcy' zinlou'ych - porvyzej Średrriej. c

Po obliczeniu wskaźnikórv sezonorvości tnożna \yył1aczyc oczyszczone(z wpĘr'vu Sezonowości) wartości szeregu jako:

i,=L, (7.34)

gdzie c, jest wskaźrrikienr sezotlowości odpowiadającym lnotlentowi t.

Przyklad 7.19

Wyznaczyrrry rt'ar1ości ocz)'Szczone dla szeregr-r czasowego z prz1,kładu 7.18.odpowiednie rvartości podarro rv tabeli ] .2|. Zgodnic ze wzorenr (7.3a) rvartościlv kolutnnie i, otrzytrrano dzieląc rr'artości z kolutrllly'1', przez rvskaznik c,.

Tabela 7.21

M iesiąc l7 ct ),tlvlleSląc )'t C,1 Jl

sry 98 i0907 I 852 \,26 244446343 sie 99 I 8395578 I 0,79 23403ó025lut 98 21 317 1395 t.l4 23 8986346 vvrz 99 20043 I 480 0,86 23t725290

nrar 98 292342662 1.17 219532578 paź 99 246107880 1.02 241031690

ANALIZA SZEREGOW CZASOWYCH 285

kli98 237790335 0.93 2541 59219 lis 99 2807 69012 l5 244).43631

nraJ 98 203923912 0.83 2,16032280 .vrr r QQ 305 r 89752 )i 245 82ó348

cze 98 I 86408776 0.77 242289997 stv 00 J I 5302029 26 2.ł9j7381 8

lip 98 I 7535538 I 0.14 23833725 I lut 00 2791 68t95 t4 244751613

sie 98 l9]8]5.ł96 0,79 24'7864920 rnar 00 286',70',1361 t7 f41122499rvrz 98 2t l5 16600 0.86 f4454t t54 krvi 00 219565278 0,9i li 5li 3609

paż' 98 26 l 640151 0l 255620691 maj 00 984391 l7 0,83 2391t4926lis 98 ?.94692361 l5 2s63 5 5689 cze 00 897934 I 0.77 246689213

sru 98 3l303ló4l ).1 252 I 42887 lip 00 8542 I 36 I 0,7 4 2520 | 8600

st,v oa 296295652 !o 23434 r 588 ste 00 9517 1213 0,7c) ]-] 3ó86-50 jlut 99 282t52439 1,1 146843,189 r.r'rz 00 21991 57 | | 0,86 25432 I 005

rnar 99 2.76877813 t1 :)o))-) I I paz 00 239144 r 30 ,02 23 3 93 5062

krvi 9c, 221569205 0.93 240_59462C lis 00 ]6-ł3 8 l673 t5 229988 I 28

nlaj 99 203 l 8454ó 0,83 245t40212 gru 00 2 88792050 1.1 232618214cze 99 18588.12 r0 0.71 241608178 str' 0 I i10979170 .16 2459548.19

lip 99 t16',7 49 t3'7 0.14 24023 1 598

ocz,vszczone rvartości Szeregu przedstarviono rla rysunklt 7.9. Szereg zarviel.a już

ą'lko u'ahania pl.z1'padkorve .

Rystulek 7'9, S:ereg: pt.:t'klątlu 7. ]E oc:l,s:c:ony ze skladovej se:onol,aj' €

Szereg czasowy z trendem i sezonowością jest to Szereg' rv któtynlnakładają się rla siebie sklac]nik trelldu oraz wpłylv wahali Sezonowych. Przvktacltakiego szeregu przedstawiono na rysur.)ku 7.10.

2,50E +08

2.00E +08

1.50E+08

1 .00E+08

5.00E +07

0 00E+00I

@@oo@@@@@@@@ooooÓooogqqo'-.o roOcooq qÓqoq9i5 ó ł o g ? 9 ! } . a ł5 6 ; . g 9 9.,-ElEv_-źą o"-ElEL_-

OOOOOOOOOOOOOOOOFqooqęęęęęę9ęęęęęę! n: śe: E3 PSgg ! H: ś;'

ANAL|ZA DYNAMIKt zJAWlsK

i 70:

RystLnek 7. ]0. I,r:yklud s:eIegtt c.-ćlJ.]}|..g() : lre|ldeilt i :łe:otlolttlscią

Do analizy i prognozorr,ania Szeregtl czaso\\'ego. w któryln występuje Zł'o-

Zona Składowa systelnat},czla wykorzystLtje się rnetody de|<om1tozycji' polega-jące na wyodrębnienill poszczególnvch czynników okreś|ających znriennośctego Zja\Ą'iska w czasie.

W procesie dekompozycji rvyróżniaItly llastępujące etal])':

wygladzarlie szeregu cZaSowego, rv rł'vniku którego otrzynltljellly SZ.ereg

\Vygładzony i/.oCZysZCZenie Szeregll z trettdu, w r'vvnil<u którego otrzyrnuje się szereg rr',.

wyzlaczetlie czytlliika Sezollowego' w rr.ytliku ktÓrego oblicza się wsltaźrlil<isezollorvości c,'oddzielenie trendu i czyunika sezonowego z szeregu.Wygladzanie szeregu opisano w poprzedninl paragralie. Mozna wyalacz>'c

szereg !, IrP'jako szereg średnich ruchonrych lubjako firnkcję trendu.

Sposób rvyztraczenia czynnika Sezonowego za|eŻy od tego, czy trratlly doczynienia Z Sezono\,\'ością nrultiplikaty\\,ną czy addytyr,vną. W mode|u multip|i-k:rtvrvnym przyjniLlje się, ze obserrvorvatre rvartości znriennej prognozo\Vanej si1

iIocz1,tletrr (lvsąvstkich lub rliektórych) składowl'ch szeregtt czasowego. ModeImultiplikatyrvrly jest najczęściej Llzywallym l]lodelen-l 'uv deltompozycji szere.qór,v

Arułllzł SzEREGoW CzAsoWYCH zÓI

czasowych. W moc|elu rrddytylvnym zal<ł'ada się, ze obserwowane wartościznriennej prognozowarrej są sunlą (wszystkich Iub rliektórych) składowych sze-regu czasowego.

Wyznaczanie wskaźników Sezonorvości rozpoczyna się od obliczenia in-dywidualnych ws|raźników sezonolvrrści l,t.,. będących ciągieIrr rvaftości szere-gu uwolnionych od wplyrvu trendu:

w nrodelu z sezonowością multiplikatylvną oblicza się ilorazy:

)"\r,='! dlarl,2,..,fr, (7.35)!r

dla nlodelLr z sezorlowością addytyw|1ąwyZ|1acza się róznice:

iN, = ),,-. , dla l:1 ,2,...n. (7 .36)

Następnie w\'ZnacZa się surorr'e lvskrrźrril<i sezonorvości jako średnie aryt-nletycZne irrdylt'idLralIl-"-ch wskaźników sezonowości obliczone dla każdegoSezonu osobno. czy|i ze zbioru lrlolllelltó\,v jednoinriellnych pod wzg|ędenl sezo.nu:

\-,,/-" '''k

c,--:-!- i:],),'.',k (7.37)

gdzies- liczba jednoinlienll1,ch Sezonów,k - liczba faz rvaliari u' cvklLr.

Surorve rvskazniki Sezollowości ilrfonnują o ile pozionl zjawiska jest wyz-szy lub nizs4, od pozioIlltt, jaki byłby osiągrlięty, gdyby nie było lvahali, a roz-wój następowalb1' zgodrlie z trendetn.

Cz;-ste lvskazIliki sezotlor,vości otrz1,mLrje się jako i|oraz surowyclr wskaz-ników sezonorvośc i przez średrlią aryttlretycztlą rvszystkich wskaźn ikó\'v sLlro-wych:

L, = c',r!- (7.3g)

I.,Sutna otrzylnanych rr'skaznikólv jest rów,na Iiczbie faz wahari okresou'ych.

Przylilad 7.20

Wy'zr-raczrny wskazniki sezonow'oŚci dla poszczcgólnych dlli tygodnia dla danyclrz rysunku 7.8.

zÓÓ ANALtzA DYNAtMtKt zJAWtsK

Wielny, Że nlallry do czyniellia z szeregietli z trendeln isezonorvością.Wy-Znacz|11y trend nietodą tlreclranicztlą przy' uŻyciu średniej ruchonlej 5-okresorvej' Wy-znaczenie go rnetodą anali|yczrrą pozostarvianiv Cz'vtelnikorvi. PrzyjllLrjeIlry lnultiplika-tr.rvny chaI.akter SeZoDowości' Wyniki obliczer.r szefegtl lvygładzonego oraz indy'lt'idual-n1'ch rvskaznikólv sezolrorvości przedstarviono rv tabeh 7 .f2.

Tabeh7.22

Lp Data Dzień tr'godriii Cenaśrednia luchotlla

5-okresorva )t'r

95- 0-02 noniedzialck 68,52 95- 0-03 rvtolek 6 5.6

J 95- 0-0-+ środa 61.1J 95- 0-05 czu'artck 65

5 95- 0-0ó p i ątek 67 66.t6 1.013

o 95- 0-09 poriiędzialek 61.'7 65.4 0.9897 95- 0. 0 wtorek 51.1 63.16 0.9008 95- 0- środa 55.6 6t.94 0.898o 95- 0-

-) czrvarlek 59.88 0.9 r3

0 95- 0- J Diatek 57.2 s7 gr 0.98895- 0- 6 ooniedzialck 5s.6 56, r 0,991

1 95- 0- 'l rvtorek 5 r.2 54,86 0.933J 95- 0- 8 sroda -ł9.] 53,58 0.9t84 95. 0- 9 czrvartek .ł9.4 52.52 0.9415 95- 0-20 niatck 52 5 l..ł8 1,0 l06 95 0-23 poniedzialek 51.7 5r.3 l.06ó7 95- 0-].ł \\ torek 50,7 5t ? 0.9908 95- 0-25 środa .ł 8.5 5 r.06 0.9509 95- 0-26 czrr'artek l8 50.78 0.94-s

20 95 0-27 piatek 51.4 50,66 1.0 r51tL' 95- 0-3 0 pon iedzir Ick 53 50,32 1.05322 95 0-3 r \\'toreK 49,9 50.1 6 0.995

W kolejnej tabeli obliczanty surowe tvskaznikiz dni tygodnia (faz rv cy'klu tir,eodnioriynr) ilorazy rr.,.

jetll1,dzieląc lvskazniki stlrowe przez ich średnią.

sezonolvości strnlując dla kazdegoWskazniki sezono\\,ości otrzYlntl-

AI'IRI-IzR SZEREGoW CZASOWYCH 289

Tabela 7.23

lzieri iczba dni ;ullla 1f/ r-rrowe ivskaŹr-riki zvste nskaznikipon iedzialek 1 4,100 1.02_5 I,059

wtorek 4 3.819 0.95 5 0.986

śr.oda ) 2;t66 0.922 0,952czrvartek J 2.-t99 0.93 3 0.96.ł

piatek 4 4.025 1,006 1,039

sunta 4.84 t 5

średriia 0.968Ceny są rv poriiedzialek lv1,zsze od \\'}'Znaczorr1'ch na podstawie średnie.j rucho-

mej średnio o 5,9,ń, ',vc lvtorek, środę iczwaftek Sąniższe odpowiednio o 1,4o/o, 4,8ońi 3,6%, zaś w piątek są rt1'isze średnio o 3'9%. e

290

8. srłrYsTYczNA KoNTRoLA .lłxoŚclIdea urykorzystania statystyki rv korltroli jakości pochodzi z połoity lat

drvudziestych XX rv. od Waltera Shervharlarr8 z Bell Laboratories.W badaniach doty'czących korltroli jakości zak'|ada się każdy' proces jest

poddawany działaniu dlvóch rodzajórv cz1,nnikórv zakł'ócających:I os otvy c h (t t ct t ur al tn, c h.1,

s y s t e m a I v- c z n 1, c h ( s p e cj tt I t ry c I t 1 vLt s p o r a cl.r- c z t t v c I t ) .

Czynniki losorve Są niet.ozęrrr.alIlie zrr iązatte Z l]roceselll. Jest ichzaz:wyczaj rviele, ale zaden nie od.{tr'rva donlinLrjącej roli i nie wykazr.rjenlaczących znlian rv czasie. Miary struktur-v pfocestl będące lvynikiern ichoddziałyrvarria, nlają zazwyczaj rozkład zb|iiol.ty do tlornrallrego. Czyllllikórvtych nie llrozlla w łatwy sposób zidenq,fikorvać i rlyelilrlinować - rvynraga'lobvto rvprorvadzenia rv procesie daleko idący'clr ztniatr. llp. wprowadzenia lepszychnlateri ałó.iv, za sto sowan i a ttrządzeń rt1,'zszej k l asy itp'

Czynniki Systematyczne Są czynnikami o działaniu silniejszym odczyrrrrików |osorryclr. Mogą być statym elementem p|ocesu (np' postępującezuŻycie ostrza) lub pojawiać się w ninl przypadkorvo (np. lvyłanlaltie ostrza,rozregttlorvanie tllasz,n-n'v)' Można 1e zazlvycza1 łatr,vo zidenĘfikorvać i usl.tnąć|ub ograniczyć ich działanie, np. poprzęz rvyrnianę zuzytego narzędzia, zmianęparanretrów procesu' llaprawę maszyny itp.

oddziatyrvanie czynnikór'v pierrvszego rodzaju polr,itlllo byó trrvzględnianeprzy projektou'aniu procesu (operacji procesLl technologicznego) poprzezprzyjęcie odporviednich granic tolerancji. Jeśli toler.arlcje technologiczne sądostosolvatle do nlozlill'ości zastosorvanych lllaszyll i nretod obróbki,prar,vdopodobieństw.o ltystąpierria w rtyrobie niezgodności lub rvręcz rvyrobttniezgodnego (rvadlirvego)' jest zwykle bardzo małe. Dopiero rtystąpieniezakłócenia Systemat}'cznego Iub sporad1'cznego porvoduje, ize rvar1ościniektórych cech wyrobu (tych, które są najbardziej czrtłe Ira zakłócenia), mogązna|eżć się poza dopuszczalnynli granicanli. CeIetn stosorvania kontroli jakościjest odpowiednio wczesne u'ykrycie, systematyczne kompensowanie i

eI inr inorvan ie tego rodzaj rr zakłóceri specj al nych.Proces prodLrkc;,jIly ttu,aŹa się za stct!1:stvcznie u,stabilizov,ctłly, jeś1i nie

występuj ą zakłócenia SyStematyczrle, a .j edyn ie znl ienność losorva.W statystyczrrej korltroli jakości wy'korzystuje się:

analizę Pareto,

ll8 Shervhalt po raz pierrvszy wprorvadzil karty kontrolne dla ploces(rrv przemy'slorvlch

292 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

odb iorcze badania *a'rvrvkorve.metody Taguchi,allalizę rvar.iallcj i.

nletodę ekspet1'nrenttl.

netody oparle na kartach kontrolnych.

8.1. Analiza Pareto"'W1'trvarza.jąc róznego rodzaju r,t1r.oby bardzo częSto mallly do cąvnienia z

sytrrac.ją Że część z nich nie spelrria starr,ian1,,ch inr rr,ynlagari. Wady. któreporrodrrją zaklasyfikorvanie określonrch rvvrobórv do brakórv. zrt,ykle są rózne i

polr'odorvane prZęZ roztrlaite i Iicznc prz},czyn}/. okazLrje się jedllak, zelviększośc rvad porr-odorvatta jest przez stostlnkorvo nielvieIką liczbęprzvczyn I lo.

lstotllą rzeczą jest rl'Iaścirr'a ideIltl,fikacja prz>,Czy|1, które Są

odporviedzialtlc za rlajrrażnic.jsze rr'ac1r. Zrlr'kle zęstarvienie różnyclr u'acl i

prz}'czyn tlie pozrrala na łltu.e roz-róznienic czyluiikólv w'aŹlrvclr inlniejrr'ażnych. Prostl,nl i dobrr,nl lrarzędzielrl aIlalizy ''vazrlości problenlólvu,ystęptl.iącycIl rv procesie procitrkcy irlr Ilt 'jcst tlictgrcm Pctrclo|2|.

Diagrunt ParcIo .jest histograIllcllr częstości rvvstęporvania rózrrychproblerllórv produkcj i ttporządkorr,an1'ch nlalejąco (od najrviększej donajnlIliejszej). Wartości nlierzt' się rr. 1lt.ocelltach. które strIllują się do l00%.

Często wyz|1acza się rólvIliez tzly,' kt.:.I:rcL Lorellzct, która jest .lr'1'kresenl

liniowy'In sktttrrulolvanych udzialólv rvad (uporządkolvallyclr od najlviększej donaj nrn iejszej ).

Analiza Pareto to przede u'szystkinl racjorlaIny sposób nlyś|eniao problentach i ich przyczyIlach. Na jej podstarvie rv,ienly. czvrrr na|eżv sięza.!ąć, ab-v rl'1'elinlillor,''ać problernv. ttie tracąc środkow'iczastt tla ttsttrr'allietakich prz.yczy|1, które rvprarvdzie plorr,adzą do rliekorzystnych skLrtkórv, alektórych usultięcie nie ztltiellia rv istotrty sposób s1tuacjiogó|nejr]2'

lln Villiedo Parcto b1,ł rrloskirrl ekclnonlistą' żr,jąc1'nl rr, Iatach l818.l923. Za.jrllorvał się onnliędz1'inrrynli rozkłailelll zasobórv lllateriaInr,cIl ILIdności rr,e WIoszech rv u,iektr XlXistrrierdził. że około ll07o lvszystkicIl zasobólr,znrridrr.ie się rv rękach okolo 209lo Iuc|ności.

r:0 W'. Nierzrvicki [1999]. s. 120-122.

't'Narrr',, poclrodzi od nazrviska rvloskiego ekononlisty, zastosorvanie diagraulu do kontroli

.iakości zapropoItorvał .jednak .I. M. Juran.r22 w. Nierz-u'icki fl99!)1. s. 122.

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Przykłatl 8.1

Za|oŻmy, żc lv kolttroli iakości plytck ccranliczllych prodtrkor,vall1,ch lv perr,lrvnlprzedsiębiorstlvie okazalo się. iz częŚc z nich llriala r.óŹncgo rodzajtr lr'adr.. które nicpozrvolily lla przckazallie tej partii odbiorcl'. Stlvicrdzono, zc rv badancj paltii \VystępująI)aslęptliącc rrad; plr tck:

- 58 posiada szczcrbl',

- I I rna cliroporvatc szkliwo,

- .ł0 jest pękrlięti clr.

- l9 posiada odbarl'icnia.

- 70jcstzarysorian;'ch.- 2 posiadają irrne rvady,(nie rr1'rnir.-llione rvy'Źcj).

Ab1,strvierdzic' która z rvad jcst najri,azllic.jsza. tzn. w,vstępujc najczęścicj.\v)'znaczo|to udział każdej z nich rv ogó|ncj Iiczbic uad i ttszcrcgorvano jc rr,cd}rrg

rnalejąccgo trdziału.

Tabela 8.1W1 stępori'an ie brakórv

Rodzaj rvady Liczcbnośó Udzial rv % %o skrunulorvanl'

zarysorvan ia 10 35.00% 35.00%

szczcrbl' _s ti 29.00% 61.00%pękrl ięc in 20.00% li4.00%

odbar'"vicnia t9 9.5 00, t 93.50%

chroporvatośc l1 550% 99,00%

lnl'lc f 1,00% 100.00%

ZrtldIo: Dattę tl|llo\\.llc'

Na podstarvic tabcli ll.l przygotorvano diagranl Pareto (r-vs. 8.l)

WADY

zY3

J5 00% -- fsil 2e,00%

Hll ffi 2ooo%

,E$-ffi ffi-&fi'aa.s;

Rrs. 8. /. Diugrant Purcto rlla dcłt1,cl7 z tubali 8.l

294 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Następlrie wvznaczol1o tztv. krzyltą Lorentza, rrykorzystując ostatnią kolurnnętabeli 8.1 (rys. 8.2).

Rl,.s. 8.1. Krzytt'a Lorent:a tlla clunl,ch z tabeli 8. I

Jak 'uvidać' przycZ),n}. porvodrrjącc tvystąpienie rvad takic|r jak: zarysort'ania,szczerby' pęknięcia odpowiadają za 84Yo r'vszystkich defektórv. To na tych trzęclr wadachi przyczynach je wyrvołujących porvinniśln1, się skupió, jezeli celem byłoby wyraźnezlnrliejszenie średniej liczby dct.ektórv przypadających na jeden rvyrób. ł

8.2. Karty kontrolneobecnie głównym narzędziem kontroli i popralty jakości są karty kontrolne

Shewharta. Karta kontrolncł jest graficzną ilustracją ponriarórv (lv fornrieróżnych nriar struktury) procesu przeInysłowęgo rv czasie. Po dok,ładnymprzeanalizowaniu kaĘ specjalista od kontroli jakości nroze zidentyfikoivaćwszelkie problemy procesll produkcyjnego. Proces jest ustabilizowany gdyllrierzona charakterysĘka jest stabilna rv czasie. Wartość nlierzo|la powinnapozostawaó gdzieś rv okolicy rvartości średniej rwbranej charakterysĘki, nieodchylając się od niej o rrie lvięcej niż kilka odchy|eri standardouryclr procesu.Wymagana |iczba odchyleń standardortych jest dobierana tak, abyprarvdopodobieristrvo jej przekroczenia było ma,le gdy proces będzieustabilizorvany. Dodarrie i odjęcie rvynlaganej Iiczby odclryleri statldardorvyclrdo wartości średniej statystyki daje górnc1 granicę kontrolną (UCL - uppercontrol linit) i dolną granicę kontrolną (LCL - Ioyler con|rol linit) kaftykontrolnej. Gdy jedna z granic jest przekroczona, t|waza się, że proces jestnieustabilizowany i musi być skorygorvany. Zakłada się przy tyrrr. Że

charakterystyka opisywalla przęz kaftę nla przynajrnniej rv przybliżeniu rozk'ladnormalny.

coB

FcJ

Io;s

WADY

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI 295

oprócz obserrvowania' cZJ- proces przekracza grallice, specjaliści odkontroli jakości szukają rórvniez schetrratów i trendów znriennej przedstalvionejrv karcie. Na przykład, jeśli wartośó średnia elenrentórv próby systemaĘcznierośnie lub spada rv czasie albo tez pozosta.je przez długi czas pod lub nad liniącentralną to proces rtroze być rórvnież nieustabilizowally'

, ........ Po2a granicam i kontrolnym i

a- _.a,

Czas

Rysunek 8.3, Karta kontrolną

Kańa kontro|na jest wykresetlr lvzględenl czasu takich charakterystyk jak:war1ośó średnia próby, zakres zmienności, odchylenie starrdardowe' frakcja itp.

Najczęściej Stosowa|le sądrva typy kar1 Shelvrvhafta:- dla cech mierzalnych (ocenianych liczbowo),- dla cech niemierzalnvch (ocenianvch alter

R)r. 8. J' T.ypl' nti częsciej stosowanych kurt kontrolnych Slrclvharta

A. Halnrol' W' Mantura: Zarządzanie jakością. Teoria ipraklyła, PWNWarszarva i Poznań 1998. s' 269'

Zródło:

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Zalety kart kontrolnych dla cech rnielzalnych to przede wszystkinlnrożlirvości:

- wnioskorvania o aktualnl,nr stanie procesu,- progllozolvania stanórvprzyszlych,- prowadzenia karty praktyczIlie od chrvili rozpoczęcia procesu

(prorvadzenie karty d|a ceclr jakościorvych rr'yrrlaga najpierrv zebraIliastosullkorvo duŹej iIości dally'ch).

ProrvadzeIlie kań kontroInych dIa cech nlierza|tlych nie zarvsze jestmozlirve ze r,r'zg|ędór,v techlliczltych lrrb ceIorve ze rvzględórv ekotronriczlll,ch.W tych przypadkach zaleca Się prort'adzenie kaft kontrolrlych dIa cechjakościowych' Wadą kalt dla cech jakościor,v1'ch jest konieczność pobieraniapróbek o dtriej Iiczebności oraz ltiska rvat1ośc infornlacy.jna kalry' gdyż kolejnesygnały o jakości prodrrkcji są dostarczane w Zllacznych odstępach czasu, wktórych proces praktycznie nie jest ttadzororr'aIly. Ponadto, drr'urvaftościorvaocerra jakości rv zasadtriczy sposób ogratticza nlożlirvośc szttkattia prz',czy|lzakłóceri.

8.2.1. Karty kontrotne dla cech ilościowych123Abv stlvorzyc kartę kotltrolttą ttalcŻl' rr.vliczyc linię celltralną oraz górną i

c|o|ną granicę kontrolną d|a procesu ttrvaianego za ustabilizowal]y. Następniesprarvdzatlly, czy p|.Zyszle obserrr''acje tuieszczą się rv tyclr granicaclr, abystlvierdzić, czy nie lrrożetrry odrzucić ltipotezy, Ze proces jest ustabilizorvattv. WtyIn celu realizujerny pl.ocec|urę y..\tęptlą, Wvztlaczatt-ty próbne gratlicekontrolne rv ce|u sprau,dzenia danvch hiStol.Vcz|1\'ch i usurvanly te z nich, którellie nlieszczą się rv grallicaclr kontroIrl5lch. Po takiej nlodyfikacji zbioru danychhistorycznych na norvo obliczanry grallice kontrollre i nlożelny je juz stosorr'aćdo testorvania przyszłych darrl'ch' Taka jest idea wsz,v-stkich kar.t kontroIrrych.

Charaktelystykę kar1 kontroIlly,ch dla cech ilościort-vch przedstalr'iollorv tabeli 8.2.

'-'Szczególorve i w1,czerpujące in1brnlacje lla telnat kart kontroln1,clr Shervltartir dla cechliczborrych z-najdzie czl,telnik iv notrrach: PN-lSO 3534-2:1994 (Sral.r'slrrctte starovunie.jukością' Stat1,51y1ę,. Terntinologia)' PN-lSo 8258+AC/l996 (Kart-y, kolttt.olne Shell,hur|u)'

STATYsTYczNA KoNTROLA JAKoŚcI 297

Tabela 8.2

Typ kartykontrolnej

Charakterystyka karty Obszar zastosolvania

Karta :-Ił(rval.tośó średnia.

roZstęp)

opal.ta l)a średn ie.j a|\'tInet\'cZIlei rl artośc i cechr,rl' prc5bce ol.az lla rózIticr ponliędzv Ila"jlviększąi rtajrllnic'jszi1 rrartosciąrr próbce . dll kaŻde.j

cechv rnusi bvc prol'adzona oddzielna kurta -

cltrŻa cztllclść na ztnianr' Sta|]tl Dr()ceSLl

g|órvn ie rr' produkc.jisel.y jne.j eletrrentórr,po liczalnl'olr

Kurtd x-S(rvartośc średnia -

odchy'len iestandardo\\'e)

.iak *1,Żej. ale zanliast ro/'Stępu rt' pr.óbcc

obIicz-a się odclry,lerrie slandardorr,e - rl,iększapracochłclnnośc obliczeli niz dla kartr,' 'r-R -

prc|i'rorrllre si1 duŻe próbki

.iak tvyże.|

Karta I!-R(rlediana -

roZstęp)

opartźr na llledianie (u'artość środkow'a) orazrozstępie rt próbce . rv stosullku do kart 'ł-lloraz 'r-.l charakleryzu je się latrr,ością obIiczeri -lllniei orecl'zr'ina niŻ kartv.r-1?' .r-S

jak rvyŹej

Karlu r,(po.iedy'nczych

obsenvac.li)

oparta na pierrvotnrch danycll ponriaron'vch -

prostota 1lrclrvadzenia - nlala prec1,z.ja - naleŻ1,.iąst()So\\'ać rv *,r'j ątkowr'clr p rz,r'pad kac h

u' produkcj i nialoserljne.irv produkc.j i n iervtnr iczne.i. dla procesórv ciągl1.clr

Kurła

-ł/i (s|ed|1|a

rucnollla )

ol)arta lra średnie.| rr.azone.j (liniolr.a IuLl

rl'l,kIadnicza) z ostalniclt . ł ponliarórl'indr,rl'iduaIn1'ch - nlaIo rr,raŻ|iw,a na zakłóceIlias1-lot.adl czne . stosunkowO pracocItłonneobl iczen ia

dIa procesórv ciągly'clr(procesl'odlerlarria,*alcow'ania itp.). rv

którr,ch nie IrroŻnapobieraó pl.óbekI ilL',relernen inrrr:clr

Kat'tu ,sttttt

skuntuIott'ttttI c'Jt

opirrta lla suluie odchyIeń rllierzonej cech1.odwartości nolllinaInej (ceIorr ei, średn ie' j)

dla procesórr.. lv któr1'chzllliany średnie'j sąn ierv ielk ie

Zrodlo: A. Flanlrol. W. l!{antura:\\tal'szarva i

Zur:t1tlzutlie jukością' T.eoriu i prakl..l.łrl, PWNPoznari l99tl. s. 2li0.

Kurtu xAnaliza śr.ednich lla karcie "\

wartości ocZekiwal1cj pr.oceSLl

proceSu '

[porów'na.j Rozdzialo priori na podstarvie danl'ch

polega na przeprowadzaniu testu istotności dla

/l, której estylrlatorenl .iest lvartość średIlia

Vl. Sredllia procestl f nloze być przyjętakorlstrukc1'jl]}'ch, technoIogicznych lLlb też

298 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

v\ryZnaczona z polniarów uzyskanych w tzw. próbie pilotażowejl2]. Próbapilotazorva powinna być stostrnkolvo liczna - nie nrniejsza niir' 100 jednostek.

Zaten testowana jest - na poziomie istotności a - hipoteza zerowa, żeśrednia 7zpróbkipochodzi Zprocesu o średniej p:

Ho: f = p (średnia procęSu rlie uległa zlianie)przeciwko l-ri potezie altenlatywnejH1: x * p(średnia procesLl zmierriła się . rv stosttnku do p- o lvartość,

która rla pozionrie istotności a jest rvańością istotną)W tyrn przypadku sprau,dzian testu opisany jest wzoreln (6.7) postacix-U r

u =Ł^'lll . Jeś|i cecha kontrolowana jest testorvana dlvustronnie, abyo

stwierdzić, że nie ma podstarv do odrzucenia hipotezy zerorvej - rvar1ość średnia7 nrusi się znaidorvać w obszarze:

_ LIo ś Lt ś t',to

oou-It, -:(r1U+,t -

r- --a I --- -r' "'a fln {tl

(8 1)

gdzie:-lr- - waftośc średnia z próbki,o - odchylenię standaldowe procesu.łl . rvielkośó probki,a - poziom istotności testu,

u o -nnienna losorva standaryzowana odczytyrvana z tablic

dystrybuanty standalyzowanęgo rozk,ladu ltormaInego,

spe'łniająca rvartlllek o(,," ) = | - a .

LJeśli stlvierdzinty, że nie nla podstaw do odrzucenia lripotezy H0,to znaczy,

że w chwili pobierania próbki na proces działaĘ inne czynniki poza stałynlZestawem czynnikórv naturalnych. Jeśli zostanie przyjęta hipoteza alternaf}łvna

... P'óbu piIotazorva' na podstarvie której są \\.)/Znaczane estymatoD' średniej. a także odchyleniastandardorvego procesu' porvinna być pobrana Z procesu realizorr.anego lv natura|nych dlaniego rvarunkach. Jeśli rvarunki są spec.jalnie dobrane poprzez rr'yelinlitrou'anie nornlalniew\,stępującYch zaklóceri naturalnych, np. plzYgotowanie specjalne.i partii nlaterialórv. rvybranierla.iIepszego opera|ora, rvówczas odchylenie standardo\\,e obIiczone z próby nra rvańośózanizclIlą rv stosunku do odchyIenia standardorvego pl.ocesu' gdy jest orr realizowanyu rr arunkaclr produkcyjnych.

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

oznacza to, że do czynnikórr, natttl.allrych prarvdopodobnie dołączył czynnikspecjalny' który spolvodolvał trrvałą zllrianę średniej procesll l/ .

Kafta kontroIna jest narzędzienr do przeprowadzenia takiego testuwwarutrkac|r prodLrkcyjnych' Za|oŻnry' że rvprolvadzono linie kotttrolne' którezastępują war1ości graniczne testu:

UCL = 1, *,, Ę\l Ix

LCL = tr, -,,, Ę1n

UCL = p +3+"'l tt

(8.2)

Wienly' z teoriiI25, iż prarvdopodobieristwo. że ztrrieIlna losorva o rozkładzien orl1laln)'n] przekroc zy trzykrotną war1ośó odclryl en i a stan dardou'e go oddal aj ącsię od rvaftości średniej, rvynosi 0,0026 (sprarvdŹ w tablicy rozkładu

nornralnego Uo =3 ). Tak więc przedzia,l(8'1) por,vinien za-wierac około99,74ań

wartości średrrich próby. W fynl prąvpadku linie kontroltrę będzierny

wn1aczane z rvzorórv:

(8.3 )

LCL = ,u -3+",ln

Jako estynlator średniej przyjrlujerrty średnią obliczoną ze średnichuzyskanych dIa poszczególnych prób (ł prób o liczebnościach n) w próbie

śnL"!

pi|otażowej p =t:-K

Aby esĘ''tllou,ac parametl o korzystamy z charakterystyki s, czy|iz odclrylenia standardorvego wszystkiclr obserrvacji próby. Ten estyInator jestjednak dobry tylko dla dużych prób, przy n>30. W odniesieniu do mniejszychprób stosujenly procedurę alternatywtlą: bierzerrry pod u.rvagę zah.es wartości(rozstęp) ł rr, kazde.j próbie uzywanej do obIiczenia średniej. Następnie

uśredniamy te zakresy otrąvmując [oZrZUt średni R . Korzystatrly z nlozlirvościszacowania odchylen i a standardorvego na podstarvie zalezności :

l25 Porórrrtaj Rozdział l

300 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

s'= FCI ,

gdzie: 1l; - rozfzL|t l-tej próby,,k

Yp4

p = ::!- 5'..6,-'. l.ozstęp lr prób o liczebnościaclr n lv próbie1

Kpilotażolvej,rd, - rvspó|czyrlnik Hatlcy'a12ó.

Na podstawie za|eżllości (8.2) manly:

o/?('t(L=/.!+Ilą .=ll:llu , r1 lI CI ),at 11

6 R (8'5)

LCL= lt -tt,, r= lt-rt,,-;--T\l il L;l ,1Il

Dla r,tcześniej stosorvallcj rr'at.tości Uu = 3 otrzytnanly

11 3R :Lt* . r=--:;=l,R (8.6)

d ,,1 11 d,,i 11

Elelncntarrri karty korltrolIlcj rvartoŚci śrcdnicj procesu są:

ś"^L"i

- liniacetltrallta - P = -:+,K

_ LILL'= trt+,1^R

- LCL=trt_.Ą^Rgdzie:

ł - liczba prób. kazda z nic|r o roz-tlliarze ll.

Ę - rvartość średrria l-tc.i próby.

k

fn,R,-rozrztttl-tc.j próby n = u;

l2 -stała odczylana z tablic.

(B 4)

'.u TaL-'lice paranletrórv kart kontroIny'ch podano ri tablicaclt na kolicu ksiąiki

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Linie kontroll. gor.no idolna lla karcie kontrolllej ograniczająobszar. tzrv.przedzia| ufllości'-'. rv który''In, o ile jest spełnione zalozellie o dzialaniu naproces .jedynie stalego ''ZeSta\Vu'' czvtlnikólr' natirralrlych, zrla1dzie się rr'artośćśrednia probki z pralvdopodobielistrr.ettr 0,9973. Zatern poza liniamikontrolnyllli nloze się znaleźc jedynie l na okolo 370 średniclr z pobranychpróbek.

Przykład 8.2

Rcstatrracja Eskupudu szcz'vci się rvprorvadzcllicllr zaa\\'ansowa|lcgo syStcltttlkontroli jakości zarórrtlo ży'tl,ności..jak i tlslu-u. Poniżej podano czas oczckirvania tlaobsłrrgę lv jcdllcj z rcstatlrac"ji nalcŻąc1.ch do tcj sicci rv sobotlli, rrla.iorv;,' rr'ieczór (czasoczekirr'ania liczon1. jcst rv Illilttttaclr od nlolllelttu tl'cjścia kIicllta do restatrracji do|,no|llc|ltu pojarr,icrlia się kclncla): 5.'1.,4: |2:4,2,5; 5:6: 6;12.2;5l;l: zl.5: 6.5; 4:l: 2: 3.

Pogrupu j dallc po cztcr1' i skonstrtluj kar1ę kontrolną rr'ar1ości Śrcdnic.i procesu' Cz\,czas oczekirvania u, restauracji jcst ustabilizorianl''/

Rozlviazan ic:

Minlo, iŻ kart1,kolltrolnc ltalcĄ szaco\'\.ilc |la co lrajrlnicj l00 elenrclltach. alcrv prz1''k'ladach zlaIllicnll' to załozcnic zc rvzg|ędu ttpt.t'lszczellia obliczcń.

20 dan1'ch u.rupLrjclll1' kolcjllo rr próbr, czteroclcIllcntolr'c. czyli otrzvnlanr1' ł:5prób. Dla kazdc.i próbl'obliczIu1'u,ańość śrcdllią iroZstęp. obliczcIlia tc ir'vy'nikigrupou'ania przcclstau iono rv tabcli ti.3.

Tabela 8.3

i\'r prrib.t' ) J J ,) Sttttta

DLttte 5 .ł 6 ) 4

1 2 6 + I

J 5 12 fl2 5 ) 6.-s 3

Stttną 28 l6 26 f0 10

Sredniu '7 1 6,5 f, t< 25

ltIilt t2 ) t2 +

\t in J 2 ) 4 I

Ro:stęp 8 t0 )< J ,! o,J

Z-rorllo. Obliczcnia tr lu:nc

301

l]7 Pol.órvna.| Roztlział V

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

itL),)ą

Zatetn wartość śrcdrlia procesu ,"q,nosi łl = ). = + = 5,a średni rorzut))

5

\-pL'., )6 5R - -=|- = : = 5,3. Wspólczynnik Hart|eya llyllosi d.ł = 2,059. Stąd5s

1p ą.s1A.R = -:> = -:-::: -: 3.86.- d,,^ln 2,059"1 4

Zatelrl linie kontrolne będą postaci:

- ULC =i + A.R = 5 +3.86 = 8,86

_ LCL =i - A.R = 5 -3,8ó = l.l4Przedstawiarny uzy'skane uyniki na rys 8.5.

R.r,s. 8 5 Kar|a x tllu danych z prrykładu 8'2'

Na podstawie uzyskanyclr u'-vlrikórv lnożemy stwierdzió, ze czas oczekirvania na

obsługę jest proceseln ustabilizowanyln. e

Karta RKar.ty kontro|rre R operują na rrrat-vclr próbach (n ś12). W tym przypadku

rozstęp jest lepszynr estynratorem rozproszenia niż odchylenie standardorve,stąd częściej Stosuje się kart1, kontrolnę rozstępu niŻ odchylenia s(andardowego.

Połozenie granic korrtrolrrych dla kaft R jest ob|iczanę Ze rvzorów:

|JCL = D,_,1,R

LCL = D,tR (8'7)

10

B

7

65

3

1

0

sTATYsTYczNA KoNTRoLA JAKoŚcI

gozre:

D,; D,.,1,,,,,,,,,,,,,,,,- są liczbami spełniającymi następujące rvarunki:

p(n =

D, ,F)= /, orazr(n < D,F)= %

Rozkład rozstępLl za|ezry takŹe od liczebności próby i dlatego liczbyD?, i DV/ r:8są funkcjąii.

E|ementami karlv R są..

linia centralna R ,

dolna granica kontlolna D, R .

górIla gI.allica kolltroltla D, R '

gdzie:łFn,L"1

R - średnia rozstępórv prób R =.-D: i Dl - sta|e' któIych war1ości lllozna zna|eźc rv tablicach.

Przykład 8.3

Pogrupuj dane z przykładu 8.2 po cztery i skonstrrtuj kańę kontroll-rą rozrzuttlprocesu. Czy rozrzttt czasu obslugi rv restauracji jest ustabilizowany?

Rozlviązanie:

Podobnie jak lv przykładzic 8.2 20 danych grupujem1' kolejno rv próbycztęroeletnentolt'e. czvli otrzylnalny F5 prób' Dla każdcj prób1, obliczmy rvartośćrozstępu. obliczenia tc i rlyniki gruporvania prób przedstarviotlo rv tabeIi 8.4.

'28WnornriePN.ISo82-58+ACl liczbytesąoznaczanejakoD3iDl (niepodajesiędlajakiego

pozionlu istotności), p|.zy czym d|a n 16, D" = 0 .

304 STATYSTYCZNA KoNTRoLA JAKoŚc I

Tabcla 8.4

Zrridlo: Obliczcnia *lasne.

śoL,*, 26.5Zatclrr rr,artość śrcdrlia średrlia rorzutu rq'llosi 1l : -|- : T = 5,3))

odcz1tane rvar1ości z tablic dla prób cztcroe|elllentorvvclt to: D-. = 0' D.t = 2,282 .

Zatern linie kolltroIne będą postaci:

- ULC = D.,/? = 0.5 = 0

- LCL = D1R = 2.282.-5.j = 12.09PIzędstawianry uz1,skalrc wyliki na ri,s 8.6.

R-l''r' E.ó Kur|u R dla dany'ch : prł'klacltt 8.2'

Jak rvidać z rv-vnikórv przedsta\\'ionych na rys. 8.6, tlic llra podstaw do odrzttceniahipotczy, Że rozrz,.tt czasu obslttgi rr'rcstattracji nlożlta Uznać Za proccs ustabilizclrranv.

ę

Nr uróbv I 2 3 1 J SutttaDane 4 o 5 4

7 ) o 4 I

4 t2 A< 2t2 5

,')f!\ 3

tr{ax 12 5 t2 ć!\ 4i[,lin 1 ) 2 J I

Ro:,ste u 8 3 10 'Ę 26,5

IJ121110

vÓ

765

3,1

0

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI 305

8.2.2. Karty kontro|ne d|a cech jakościowychDla cech oceniatl.vch alternaty,rr.nie Są Stoso\\'ane w pr.akt-vce tlastępu.1ące

rodzaje kartr2e:

- liczby jedrtostek niczgodItr'ch u próbce o stalej liczebIlości - kar1y Ę.pu l1;,

- frakcji (udzialu) je-dnostek niez,godrrvch - katla tipu p Qr- stost"lrrek liczbvjednostek niezgodnvch rr próbce clo Iiczebności próbki - liczebllośc próbki

nie nlusi być stała).- liczby niezgoclności lra jedrlostkę rrr obtt - katta t),ptl c (c - stosutlek liczb5'

niezgodrtości rt'próbce clo liczebrlo.ci próbki - liczcllrlośc pLóbki ttie ntusi

być stala).Lirrie kontrollle tla kaI.cie cech tltet.llatvrvll1'ch oblicza się - dla prz1.jętego

poziot,tll't istotności . jako granice dr'n.'.tstroIrnego obszat.u kryt1,g711ęgo rv teście

istotności rr'ar1ości średrriej danej charakteryst1'ki. Wartość średrlią rr'y'ztlacza się

rr' próbie pilotolvej lub rta podstarvic. historii rrrynikólv kontroli. Wszystkie

wzory obliczeniorve stoso\\'alte pr4 projektorvaltirt kart alternatvu'llvch oraz

ztraczenie poszczególnycIl lvielliości zebrano lt' tabIic1' 8.5.

':" J. S. Oakln'rd. R. S. Follorvell [19901.

JUO STATYSryCZNA KONTROLA JAKOSCI

Tabela 8.5

Kafta Wię|kośćkorrfrolowana

Wanośćcentra lna

PołoŻenie lirriikontrolnvch

Urvagi

np np-liczbajednostekniczgodnych wpróbce oliczebności łr

ś,-/r"ł1p = _--

L

np x3^lnp\t- p r.liczcbnoŚć próbki;

n,l -liczba jednostek

niezgodnych rv

próbce i (i:l .,k)

k - |iczba próbekp-frakcja jednostckniezgodnych

p p-fiakcja(proccntorwudział)jednostckniezgodnych rv

próbce o

liczebności łl

k

Y.*.^Ł,,

,

P = --'t--Y"'Ł..l

k

Y,,.L)" 1

rI -

-k

,]+1r --

n' -liczbajcdnostek

niezgodnych rv

próbce i(i:1,..k)

n, .liczebność próbki

iD -śrędrria Iiczebnośćpróbkip -średni

procentou,v udzialjednostckniezgodnvch

c c- liczbaniezgodrrości najednostkęwyrobu

k\--).L-t

IK

-,^t=C -f JNC c;liczballiezgodności rvpróbce i (i:1,.,k)d - średnia liczbaniegodności rv próbce

lo: A. Hanrrol. W. Mantura Zarządzanie iąkościa. Teoria i nraktvka' PWN, W. Mantura Zarządzanie jakością. Teoria i praktyka,Warszarł,a i Poznań l998. s^ 280.

Karto kontrolno p - karta kontrolnc frakcji sztuk wadliwyclt

W tynl przypadku testowatla jest . tla poziolTie istotności a . lripotezaZerowa' że frakcja u,7 z próbki pochodzi Z procesu o frakcj i p:

Ho: lt,, = p (fl.akcja procesu nie uległa Znlianie)

przecirvko hipotezie alternatywnej :

I{1: }|, ;t p(frakcja procesu zmieni'la się - rv stosunku do fl"akcji' która na

poziomie istotności ajest wańością istotną)

STATYSTYCZNA KoNTRoLA JAKoŚcI

W tym przypadku sprawdzian testu jest opisany wzorern (6.14) postaci

, = !Ę. Jeśli ceclra kontrolorvaIra jest testorvana dlvustrorltlie, to abyI pl-p)

1rlnozna było strvierdzlć, Że nie ma podstarv do odrzucetria hipotezy zerowej

z prawdopodobieńst*'enl 0,9974, frakcja próbki wi nlusi Się znajdolvać

rv obszarze krytyczrlyrn \\Yznaczolly |T, przez r,val1ośc i :

_3ŚuŚ3(8 8)

p-3 <tv < p-3

gs e:

p - frakcja rv populacji,n - rvielkość próbki,

Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H11, oZ|1&CZd to, ze rv chwi|ipobierania próbki na proces działaĘ itlne czytniki poza stałynr zestalveIrrczynnikórv naturalnyclr' Jeśli zostarrie przyjęta hipoteza alternatyrvna oznaczato, ze do czynnikórv naturalnych prarvdopodobnie do}ączył czynnik specjalny,który sporvodorvał trlvała znrianę fr.akcji proceSu,

Zaten.l gdy proces jest nieustabilizorvany, frakcja produktów rvadliw;'c|r rv

próbie będzie dąż1'ła do przekroczenia górnej granicy kafty kontrolnej. Dolnagranica czasem rólvna jest zertt, gdy p jest dostatecznię mate' osi4gnięcie okoliczerorvej dolnej granicy frakcji rvadlirvych r,vyrobórv jest' oczy,rviście, bardzopoządanyln przypadkienl.

307

p\t - p)n

E'lemęntami karfy kontrolnej frakcji procesu Są:

linia centralna zr

dolna granica kontrolna p - 3

górna granica korrtrolna p * 3

gdzie:n iest liczba elenrentórv w kazdej próbie;

rvad|iwyclr rv sumie rvszystkich prób.

p(l- p)

n

p(l- p)

n

jest frakcjąliyrobów

308 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Przyklad 8.4

|.irma BASF- Polska pro<lukujc dyskictki l'4.1 MB do PC. lnŻ)'nier kontrolijakości

rv zakladzie produkc;,jn1'mr testujc partie cly'skietek po 50 sztuk za kazdynl razcrn i rvstrje

fiakcjc rvadlirvl,sh d1'skie tck lta karcic kontrolncj. Picnvsze l0 panii dirskictck

tlvoriący.cIl kar1ę zalvicralo następujące liczby rl'adliwyclt dy,skietck: 8.7,6,7,8' 4' 3,5,

5, 8' Skonstrtruj kar.tę i zintcrprctuj rr5niki.

Rozrviązanie:

W tabcli 8.6 przcdstarviono Iiczbę sztuk lvadlirr'vch rv przcanalizorr.aIlych próbach

i frakcjc dla kazdej z prób.

Tabela [i.6

Nr próbv ) J Ą 5 6 7 8 9 10 Calość

Liczba sztukrvadliwvch

8 7 6 7 8 4 3 5 5 8 6l

Irrakc i a 0, r6 0. ll 0.12 0.1.1 0.ló 0.08 0.06 0,1 0,1 0,16 |0.l]2Znjdło' ObIicze ltia rr.lllslrc'

Dla każdej z prób rv1'znacz)'Iiśnli'liakcję i1,,. Frakcja dIa przedstarvionej populacji

jest estynlo.,r,ana przez iloraz liczb1' rr.sz;'stkich rradlirv1'ch dyskietck przez zbadaną

6lliczbę clcnrerltórv, czyli 50* l0. zatcnr rr\-I-tosi 1, :

5o. 1 0 = U^| f ! '

Stąd

LCL=p-3

1(f = p+3

0,166

= 0.078p(I- p) =o,lff +3

0.17u,to0,150,140,130,120,1 1

0,100,090,080,0 7

0,060.0 5

+- . . óLó

10

0,1f2(1 -0,1f2)

0,122(l - 0,122)

R1s .9 i Kurta p dla tlanl.c'h: pl.:1,kludu 8'.ł

STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI 309

Jak rvidać lla r\,s. 8.7. liakcia 7 próby |eŻ1, poza granicą LCL. Alc llic lllant1'podstarv do odrzttcctlia hipotcz1'zcrolr.e.j. gdyz górna lilria kontro[na nic zostalarv żadnyln przypadku przckt.oczoIla. Nlożeln-r' sądzić. że proccs jcst ustabilizorr'any. Dlaproduccnta to duŻo lc1lic. zc dolIla linia kolltro|a zostala przekroczotla. ozllacza to, zcproceS rna skłonnośc do }-rrodtlko\\'ania lnllic'iszcj liczby lr'ad - wskazniki struktLrry dążądo zera.

I(artu kontrolttu c

W czasie produkcji częSto zdarza się. ze cllcctllr' kolltrolorvac liczbędafektólv |ub nicclo'skonałclści nu cg:clltpIrtr: tt.I'robtt, Na przr kład gdl' rvvrobenljest tkanina. przcdnliotelll Zailltercsorr'atlia llloze b)ć Iiczba plalllprz1'padaj ących na llletr lllaterialu'

ZtriieIrtla losorva reprezentująca Iiczbę blędórv rr.l,stępLtjącr'ch rr' ttstalotlr.lrrodcinku czasu lub lta ustalonytlt odcirlktt przestrzeIli cZęsto jest nlodelowal]a Zilpon]ocą rclzkłctclu Poissoną. Tego tttodelu uzyrva się rórvIlir;z lv kaftacltkontrolr-ryclr. Wienly juŻ.Że u'rozk,ładzie Poissotla zarólvlto lvaftość średnia. jaki rr'ariancja rórr,lla.ią się telllu sa11]clllt| pilrall'lctfo\Vilr.,. Parallletr teIt nazrvietll1,r..a t]aSZą kartę rvy'rażającą liczbę rvad na jednostkę lr,yrobu- ktrtc1 c..fa kaI1ajest rr,1,kreseIlr znliellnej losorvej: liczba def-cktórv tra sztukę. Est-vrnujelllvlvartość C przez c . średrlią rvartośc def.ektórv na jedrtostkę lvvrobtt obliczoną.iako iIoraz sunr1'def-ektóll,iliczb1,rvszYstkich-eezetnpIarzy. odchylellie

standardor've tej znlienrlej losoll'ej jest lr,ięc r.órvne r/c .

E'lelllentaIlli kar!. c są:

linia centralna c,LCL: c _ 3^li

UCL: a + 3,^ligdzie: c jest średnią liczbą rvad lLrb lliedoskonalościrvlrobu (lub jednostkę porvierzchlli' rozIniat.u itp.).

na jednostkę

lr(,Porórr'naj Rozdzia| l' Rozklad Poissonn nloŹe br'ć aproks-"-nrorr,aIl1,roz-kladenl nornlaInynl clIa

duŻr'cIl nrób.

e

310 STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOSCI

Przyklad 8.5

Fabryka satnoclrodórv w Bięlsku-Białej lryznaczała rv nlaju liczbę plam na

karoserii no*ych samochodów i uzyskano następujące rtyniki: l2' 8' l3' 12,5'f. |0,7,5,4, 12.4,6.9.8. 9, 7. 6. 8, 6.

Skonstruuj kańę dla tego procesu lakicrowania i sprarvdź, czy ismieją potvod1', abyproces produkcji uznać za nieustabilizowany.

Rozwiazanie:

Suma wszystkich defektórv w

przeanalizolvanych prob było 20, zatem

przeanalizorvanych próbach wynosi l53't53

c = -=

/.65. Odchylcnic star)dardowc lejf0

ooa

0

10

Rl'r 8.8. Karta c dla dan),clt zprzykludu 8.5.

Jak rvidaó t,la rys. 8'8 liczba planr na karoserii nouyclr salnochodów IeĄw grarlicach LCL i UCL. Zatern nię Ina podstar'v do odrzucenia hipotcz1, zerorr'ej. żeploces jest ustabilizowany. e

charakterystykijest równe "li = "l1.65 =f,J7 '

Stąd

LCL = c 4",1; = J,65 -3.fJ7 = -0,65(JLC = c +3"1 c : 7,65 + 3.f,11 : I 5,95

Poniervaż lvartość LCL < 0 , a z taką s1tuacją nigdy się nie spotkamy, więc

przyjmujemy LCL=0.

ULC

14)ta ItzlĄr̂vI8lol4121

Literatura

l. Abt S.: Mątenatyczno - stąĄ)styczne podstatu1l analizy rynku, PWE, Warszawa'1972.

2. Abt S.: ||Ietody analizy stcltyst),c:nej, Akadęrnia Ekonorrriczna rv Poznaniu, Poznań1999.

3. Aczel Arnir D.: Con,tplete Bttssines Stątistics, IRWIN Hornewood Illinois,Boston MA.1989.

4. Aczel Arnir D,: Statystyka w zarządzania, PWN Warszawa 2000.

5' Borowkow A, A.: Rąchunekprav,dopodobień'snł,,ct, PWN, Warszarva 1975.

6. Bukiefyński W., Hellwig Z.' Królik U., Srnoluk A' 19ó9.

7, Cieślak M. (red); Progtlozowanie gospodarc:e, Wydarvnictwo AkademiiEkonomicznej irn. oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 1996.

8. Cieślak M,: Prognozowanie gospodarcze, Metod1; izclstosowąnia, PWN, Warszawa1997.

9. Corchan: W.G Sampling techniqttcs, John Wiley&Sons, Nerv York 1977.

10. Dietl J.; Metod1; budttń socjologiczny,ęfu, Warszar'va' 1965.

1 |. Domański Cz', Pruska K. : Nieklasyczne metody Statystyczne PWE, Warszawa2000.

12, Dornański Cz': Testy Stat),styczne, PWE, Warszarva, 1990.

13. Dorlański Cz': Zbiór:adań ze stailsryki, Uniwersy,tet Łódzki' Łódż.,1993.

I4' Dziubiński I.(red.). Srviątkorvski T.(red.): Porądnik natematyczt.ly cz. 2, PWN,Warszawa, 1985.

l5' Fisz M': Rachunek praludopodobieństwa i Statystyka n,lątem:1t))czną, PWN'Warszawa, 1967.

16. Freund J,E; Podstaw1, nowoczesnej Stątys\,ki, PWE, Warszaiva, 197l.

1.| , Gajda : Ekonontetrią prakq,ę111ą, Łódż', |996.

18. Gajda J. B.: |Vie|orrhynąnioł,e modele ekonontettryczne. EsĄłmacja, ,s1;n1yl61gją,

sterotvanie, PWN, Warszawa, 1988.

19. Garbarski L., Rutkorvski I., Wrzosek W .: lvlarketing, PWE, W-wa, 1994.

20' Garbarski L.: Metody badania postaw nabyucótr',.,Reklama''' 1989.

21 . Gotyl A.' Jędrzejcz-vk Z., Kukuła K., osiervalski J., Walkosz A': lIlprolvadzenie doekonontetrii w pr4lkładuch i zadąniach' PwN, Warszawa 1996.

22. Greń J.: Modele i ządanią statystyki matenlaĘcznej' PWN, Warszawa, 1'972.

23. Gręń J.; Staq;sry|ęą matem(1l!^czna, PWN, Warszawa, 1970.

24. Hellwig Z,: Elementy rachunku prav,dopodobieńshl,a i staĘst1,ki natematycznej,PWN, Warszarva 1987.

312

f5. Józrviak J., Podgórski J..' S|utt,,s^;ka od poclstttlt,. PWE, Warszarva, l995.26, l(. Jajuga: PoJsIult,y, itllt'estr'llyąttia ttct t\,nku pupiel.ólv y,ttt'ttl.ścirllt,).cł, CPW

Warszawa 2002.

21 . Kacztnarczyk S; Buduniu ntarketingotvc. PWE. Warszarva, 1995.

28. Kacznrarczyk S': Pontiur ł, lłącląniacll ntat.ke!ingow1,c/i, Uniw'ersytet cdariski,Gdańsk" l 987.

29. Kassy,k - Rokicka H' Stąt},st.l,ku nia jast !rttctlta. Ivlierniki statysh.czne, PWE,Warszalva, 199;ł.

30. Kinnear T. C.. Root A.: Sin'c.l oJ' lvlarketing Reseot'ch, Chicago, AulericanMarketing Association, I 988.

31. Kinnear T. C., -I.aylor J,R': l,|ąrketing Researcl,t. 'Ąn Applied '4pproaclt, Ner,v York.I 987.

32. K1ein L.R'' II/1,kłą6Ą; z ekoltotttcll.li. P\\/E, Warszarva, 1982.

33' Ktysicki W., Bar1os J., Dy'czka W.. l(rólikorr,ska K., Wasilelvski \Ą': Rąclltnlekpravc|opoclobieństwą i slcttl,,s!.y,ku n(llcntotyc:nu w zutląniuclt, cz. I i II' PwN,Warszawa 1986.

34. Krzysztofiak M., Urbanek D.: il.letody stal.y;,s1yrrrn, PWN. Warszar.va 1975.

35. Krzysztofiak M.,, Stats'stvką cllą vlzs:l,cll zalyocttnvyc,lt stuclitjw ekottolnic:tl.l'ch'PWN. Warszau,a. 1976.

3ó. Kukuta K^ : Elunent1l 'sta!.)lsĄ,ki w ządaniach, PWN Warszalva l998'

37 . Lancę G. N. i Willianls W. T. I967.38. Lange O., Banasiriski A.: Teoriu stalystyki, PWE, Warszawa, 1968.

39. Larrdaliski L. M.: StąĄ,st-l;ką ogolttu: clctttenIąnti stcttl'sty,ki )nG|enlQlyc:ne.i,Wydawnictwo Państi'vorvej Wyiszej Szkoły Zau,odowej w Jarosłarviu, Jaros'larv2000.

10. Leszcz1,ński Z.: Anoli:u dyskn,minaajłltl lt, przev,icbnyąniu bąnkruchra Jirnty,..Eksper1'' nr 3/l99.ł, s. j3.

4l ' Luszniervicz A'' Słaby T ': Stat1'st-l,ku SlosoI|,uttLt, PWE, Warszarva, l997.

42' Luszniervicz A.: StatysĘ;ku nic .jest tt,udna. A]etodl, wnioskoll''uniu,slul\':il.j,c:nego. PWE, Warszarva, I 994.

43. Luszniervicz A.', Stalyst|;ka ogólnu, Warszarva, l987.

41. Lut.vIiski J,.. LI/1.lt.iucl klrcs!ittttt.itts:olt'\,ą unk'etu' ossolinetttrr. Wroc.lalv, l983'

45. Magnusson D.: |Ijlrrnvutl:enie tlo teorii lestów, Warszawa, I98l.46, Malarska A., I\1ikulska H.: 'Vrrlr.sr)'łą w zadLr]1iach ltie Ę,lko ctla ps1.chologilu

i pcclugogóv,, Wy,dawnictrvo Ullirvers1'tetu Łódzkiego , Łódż' |999 '

LITERATURA

4.7' Mazur A.: Stut.l,st.l.c:na anuIiza sieci c|łstl1,hucji towal.ólv chentii gospodarczeji ,spt.lzl,lt,c-cj 11d tct.ct,lie Łocl:i' ptaca nragistcrska napisana rv UnirversytecieŁódzkinr pod kierurlkiem D. Witkou.skiej. LódŹ 1996.

48. Michalski E,,, Buł|ullitt t..l,nku v pr:ed';iębiol'stlt,ie pl.:en\,'slou.},nt i llanclltllt,vnt^

PWN. Warszaria. 1971.

49. Michalski T.: .Slul,r'-irl,1rl. W.',d31vn1.,\!a Szkolue i Pedagogiczne. Warszau'a 1996.

50. Milo W.: Buclullitt akotlt,llttcIt.l.c:tlc::ąs|o',O|runient ntikrokontputcróv,. Pot|s!ulr!;ntetodologic:llc. Wr'darr'llictu.o Utrirr'ers1'tetu Lódzkiego' Lodż. 1997.

51. Morrison D.l.'. II'ialrtt'ttuittt'ottu ttttuli:u,\lu!.r,.\l.r'c:nu, Warszarva, PWN 1990.

52' Mynarski S.: lIetod.t'hlt|uti ttturkc1111,1rllr.t.clt. AE w'Krakowie. KLakólv, l986.

53. Nierzlvicki W. (r.ed): Zul.:ąl:uttic lukośc'it1' II.l'l'lruttc:ttgudllianio' ośrodekDoradztrva i doskonalenia Kadr Sp. z o.o.. Gclarisk i999.

54. Nonlly: PN-ISo 353:ł-2: l99.ł (,S/rl1.l..r/-t.c'--lic s!arrllrutlia jukością' Stą|l,stykctTerntinologia). PN-lSO 82-58+ACi 1996 (Kurty kotttt'oltte Sltetyhurta), PN-tso8258+AC l.

55. Nor,vak E'''. tr.Iotanat\,ku i Statys!),ku.finunsolt,u, Fundacja Rozrvojtr Rachunkorvościw Polsce, Warszawa 1994.

56. Norvak E.'. iv'letody /aksonontic:ne v klu,s\fikacji obiektriv .spolec:no-go,spodu-l.cł)ch, PWE' Warszawa 1990.

5"]. Nowak S' |ł4etody' buduń socjologic:nl,c-h, Wybór tekstórv, Warszarva, l965.

58. oak]and J. S.' Followell R. S': Stąti'yticąI Prrlce'gs Colttro|,' Flinenlan Nervnes-Oxford Lonclon 1990.

59. Ostasiervicz S. (red.): S!ulr,.vt);c:ne tttetoch,, anali:1; dont'ch, Wydarvnictrvo AkadertiiiE,konomicznej t'e Wroclar.viu, Wroclarv 1 999.

ó0. ostasie''vicz S.. Ronka-Chrnielorviec W,: i\,Ietody ,statYSt\|ki ubc:pieczenirnre.j,Wydarvnictrr'o Akademiii Ekonornicznej iItl. oskara Langego rve Wroc'łarvitr,Wrocłart' l994.

6l. Ostasiervicz S., Rusnak 2., Siedlecka U.. Staq,st.y,ka. Elententy teorii i:atlania,W1'darr'nictw'o Akaderllii Ekonolrriczrrej im, o. Lange, Wrocłarv l997.

62' ostasiervicz W. (red): Stal1,sĘ,cznc ntetoclv anoli:y dalry:ęfu, WydarvnictwoAkademii EkonoIniczne.j rve WrocłarviLr, Wrocłarv l999'

63. Palirvoda S. J.: Lirłlg u ]\Ittil Ques!it'ltlaire us Cł Rescurch Tool,..TIie Quarterly,Revierv of Marketins. 1981.

64. Parasuraman A.. Ilurketittg Rc.search, Cambridge. Mass, 1986.

65. Parvlorvski 2., Progno:t,ekonontelryc:łc, PWN Warszarva I973.

66. Pawłowski Z'', I|/,stęp do 'stcttl;'st)łki illCltenyąt\'c:nci, PWN, Warszarva, l969.

67. Pieriegudolv W ': A[cttlt|a najntniejs:l,c:h klyądrątóv,, i je.j ztłstostlrr,rlric. PWN.Warszar.va. 1967.

314

68' Pociecha J. Metody Stcltystyczne w badaniach marketingoluycł, PWN, Warszawat996.

69. Praińska M., Praliński J.: Badanią s|atyst1łg211ę z excelem, Wydawnictwo SGGW,Warszawa 2003.

'10. Puchalski T.: Sttty,styka opisov'a, PWN, Warszawa, 1979.

71. Rehkugler H., Schrnidt-von Rhein A. 1993.

72. Reilly F., Brown K... Anąli:a inwestycji i :arządzania pot.tfelenl, /. 1, PwEWarszawa 2001 .

73. Rocznik statystyczryt 1997, GUS,Warszawa 1997.

74. Rolnaniuk K... Staty*sq,czna analizą struktu,.y zjawi,sk ekononticzn),ch, PWE''Warszavva 1972.

,75. Sadowski W '.' Mala enqlkl6pę4io Sta,,SĘ|ki, PWE, Warszawa, 19.|6'

16. Sobczyk M.: Statystyka, PWN, Warszawa, 1995..7.1 . Starzyńska W', Michalski T.: Metody statystyczne w bizne,sie, Absolwent, ŁódŹ

1996.

78' Starzyńska W,: Statystyka praktyczna, PWN Warszawa 2000.

79' Stonę R.: Matemątvka v nąukąch społecznych. PWE, Warszawa, |970.

80. Strzała K., Przęchlervski T.: Ekonometria inaczej. Wydawnictrvo UniwersytetuGdańskiego' Gdalisk l 995.

81. Szaniawski K (red): Metody statystycne w socjologii, PWN Warszawa 1968.

8f ' Tarczyński W.: Analiza dl,sktyntinaqljna na giełdzie papierólt varlościowych,..Przegląd Statystyczny'', zesz>\. 1-2l|996, s' 49.

83. Theil H., Zasady ekononetrii, PWN Warszawa 1979.

84. Urbanęk D.' Krz,vsztofiakM,: ]t,Ietodl', 'statysD,c2ne' PWN' Warszarva' l979.

85. Welfę W' (red.): Kwartalry; n1ąa1u1 gospodarki Polski' Stntkturą i własności,WydziałNauk Spolecznych PAN' Sta{sryka i Ekonometria, Warszarva l995.

86. Welfe W', Ekonontettyczne ntodele gospodarki nąrodolyej Polski, PWE, Warszawa1992.

87' Welfę W', Welfe A.: Ekonontetria sloso|uąną, PWE, Warszawa l996'

88. Witkowska D,, Przykład1, ąPlikącji sieci netu.onowych v ekononii' Materiały XVogólnopolskiej Konferencji Polioptymalizacja i Konlputerowe WspotnaganieProjektowania, Mielno'97, Wydawnictrvo Politechniki Koszalińskiej,Koszalin-Mięlno, l 997, s. 30 l-308'

89. Witkowska D.' Witkowski J', Analizą,sieci dystr1;bucji produktów chenliigospodarczej i spozy;lvg2ej v Łod:i' Studia Prawno - Ekonorniczne. Tom LV' l997's. 241 -259 .

LITERATURA ą1Ą

90. Witkowska D', Witkowski !.,' Anąlizą sieci d.v-strylbyęji produktółł, spozywcry,clli chenlic:ry,ch w nliąstąch wojelł'ódzhta lódzkiego (be: Łod:i) , Studia Prawno-Ekononriczne, Torn LVl, 1997, s.3ll -323.

91. Witkorvska D', l|1lkgy21,5tąnie ninimodeIu gospodarki polskiej do anali:y przemianzachodząq;ch v, procesie transfornlacji, ZeszyĘ Naukorve Politeclrniki Łódzkiej.organizacj a l Zarządzanie 29' s. 8 5 -99, Łódź 1 997,

92, ZającK,: Zar1,5 n1u1o4 'taĘ:styg2n,.h,

PWE, Warszawa, 1994.

93. Zasępa R: Bądąnia stctt1;5|1;ginę ntetodą reprezentacyjną, PWN, Warszawa.1962.

94, Zawadzki J., Babis H,., Próba zastosolt'ctltią anttli4, dyskn,nliłlttc\,jnej do badaniakonń,cjifinansolvej przed,siębiorshr, ''Taksononria', Zeszyt3l1996, s' 1l9.

95. ZbroŻek J: Ranking wybranych Tolt'arzysttu ubezpieczenioll],ch yy a,spekcieubezpie c:eń kontttnikaĘny,cfu, praca magisterska porvstała w InsĘtucieZarządzania pod kierunkietn naukortyn dr inŹ' Iwony Staniec, Łódż,2004'

96. Zieliński Z':Tab|icę sta|ystyczne, PWN. Warszawa, 1972,

97 ' Zubrzycki S.: WykłaĄ, z rachunku pratvclopodobieńsht,ą i statystyki mcttenatycznej,PWN. Warszawa. 1966.

Ó|o

31'7

TRsLrcE srATYsrYczNETablica 1

\\'artości krYtvcznc rozkIadu t-Studcnta

r'-tlt-'. -

n/Ż | \ itl.J''r '--" |

-\-'-- .r

'..--l_T.. | -t-ri.--..- ł-Ir''.h 0 t.'r,r

n(ltl> t *.r) = a (k-liczba stopni s\\obod))

X 0.2 0. I ().05 0.()l 0.0 | 0.002 0.00I 7,I

2

3.l

5

6,7

8

9l0llII

t1

t3l1l5

lót'7

l8l920

40(r0

120

1l!l

ff!)") ,l

25

2627282930

.078

.tt8ó

.63 8

.533

,4'76

,140.415.397.3 83

.3'72

. -) o.)

,3 56

,3 50tJ5

.341

.J) /

.333

.33 0

.328

.325

.321

"319.3 18

.3 l6

.315

.3 l.ł

.J I J

,31 I

.3 l0

.303

.296

.f89

.282

.3l4 |f ,,7()6 3 l.82l 6j.ó6

.920 1.303 ó.9(l5 9.925

.353 3.r82 .t.5ll 5.8.11

.132 2.'776 3.7J7 l.(r04

.0l5 2.5.7 | 3..-jó5 1.032

.94i 2.14'7 3.1.13 3.707

.895 2.365 2.998 3..199

.8ó0 2.306 2.896 3.35.s

.833 2.262 2.82 r 3.250

.8l2 2'228 2'761 3.ló9

.'t96 2.201 2.'7 t8 3. r06

.182 2,t'79 2.681 3.055

.77 | 2. 160 2.650 3.012

.'76t 2. r.15 2.6f4 )..977

.'753 2.r3r f.60f 2.94'7

.'716 2.120 2"583 2.921,'710 2,1r0 2.56'/ 2.898.731 2.1 0 1 2,552 2.878.'729 2.093 f .539 2.86 r

.725 2.086 2.528 2.815

.72| 2.080 2.5 ł8 2.83l

.'t t7 f .0'/ 4 2.508 2.8 I 9

.'7 t1 f .069 2.500 f .807

.'7 | | 2.0(r.l 2.49? 2.797

.708 2.060 2'.ł85 2.787

.706 2,056 2.479 2.779

.703 2.052 2.173 2.'711

.701 2.048 2.16't 2.'763

.699 2.015 2.162 2."/ 56

.69'7 2.012 2.157 2.'7 50

.ó8.l 2.02l 2.423 2'104

.67 | 2.000 2.390 2.660

.658 r.9fr0 2.358 2.617

.ó15 l.960 f ,3f6 2.576

3 1 8.29 63ó.5822.328 31.60010.214 12.92't7.173 8.ó l05.894 ó.869

5.208 5.9591.7U5 5.408.1.501 5.0111.297 ,1.78 I

4.114 4.587

4.025 1.1373.930 4.3183.8i2 4.2213.78'7 1. I 403.733 4.0'.73

3.(lttó 4'0l53.616 3.9ó53.ó l0 3.9223.5'7 e 3.88 33.55f 3.850

3.527 3.8 r93.505 3.7923.485 3.7ó83 .167 3 .7153,150 3.'725

3.435 3.70'73.42 r 3.6893.108 3.6'713.-'r96 3.6603.3 8 5 3.6'16

3.307 3.55 r

3,232 3,4(r03.1(r0 3.3733.090 3.290

I

23

tt

5

(':

7

8

9l0

llt2l3l.ll5

t6t'7

l8t920

al

f2/)

25

f62'1

28f930

4060

120d,\

318

i _ÓlÓi+ |^\oro.o\ -Ó''|m<f,

ę.

r

TA

o

Ó|

o\ r .- c- o\ ś- o\.l ń o. - O n r- c\|^ n lt - t- r| t |^ Ó € Ó| Ó * r\ -c. r- _ l^ € c.l ln or - Ó \o co o - ń'n n \o \o \c a- F- F- oo co 0o 0o o\ o. c\didc<t ioooo oo'dio

6. t+ ń o.+ O ct Ó \o'n o^ o r- c.| \.- _O oo -f o. _ ol c\o o^ - o. \o Ór, F- _ + co - |^ co - o n Óo Ó. _ rn lĄ \o \' \c F- r- F- oo 0o @ oo oo o\ o\

6'Óś ń Óc t- \c t cÓ O F* O o F- ć|F- t- \o.+ O r) 0o Ó rt.f, t= 5 oo ś o\..l \? c =J. cÓ * ś r.- O r |n r\ o\ _ ol'n n \O \O \c) C- f- f- rc OO oO OO 0O O\ O\-'.:;-:: : ^.^':-{ -'^^-::;

cr\c\c\.N rś*_'n śoN-6.. ń rl O t.- 6l ln \D h - n t\ \c r r-Ćl \c o ś r- - ś r.. o c.} n rt o\ * e]|Ó 'ń \c \o !o t.- r- F- € cc oo oo c. o. o\

o1 \D F- cÓ \c co c\i :f, .ą c\ _ o\ !f, n no.1 6c..'r cÓc.|ń.{oo Ót:t-\o* lń c\ ń F- O.+ tr- O oi l. F- o' - Ćl|^ lÓ |ń \. \o r-t.- c- oo € o. co € o\ o.

cr-€-c -f o.+'Óś coo\'no\-\o'n :+ ń o ln o. o o\ \'c o cł Ćl o\ n* n 5 Ó c- o Ó F- o\ Ó|'Ó |- o\ o c|.ą.n .1 \.. to. Ę Ę ĘĘĘ o.. oo"ę ą q

o F' o ń śl. o\.- ń F- oc |ń € r- N \.Ó| * .. or rD - n F- \o o c. o o € ń* n c.\ Ól \o <).. \o o\ Ól tf, tt- o\ O c]|n |r ln \o \o r- (t- .- t.- oo o. € o. o\ o\

o oo _'n o. |Ó ś Ći o. oł - rc oo \c cJco r- F- |n.] @.{.ś r - ro @ ao \D Ólo ś oo c.| \o o\ ń \c o\..| t \o co O rl|n |n |n \. \o \o .'- t-- .- oo c. € co o\ Ó.:;;-:: -: -t^'.{-{ -i^'-::-:

o co cj t.-. _ O - - c) \o oo'n o. Ó. t.tT--_5 nc-_€..'c\5-tco <| co c'l'n o\ Ól \o o. _ :f, \c € c) cln rn In \o \c \o r- r r- m oo oo 0o o\ c\

c ca.a o\ nf, rn c- c - o\ r r o\ ot Nco\c\r'ń -'.€c. ln *.:!.śń,o\c r F _'Ó o\ Ó.|'^ c4 - ś \c cc c -'^ lÓ lr \o \D \o r- |-- F- có € co co o. o\

_Ó|..rrl'Ó\.r-..Ó. -Nń-$

N

F

ot)

N

o

N

NI

VI

il

\7

319

ń-;

r

ś

c.)

.ó.--\ct^ ts-o\-€9 o.-Óoo r)+cÓ'rAJaooo r-c-0oś oc_ś-m -Ft'nÓÓóĆż-r; oń -+\oF-t-lc €c.lś\o.- oaoo-śv- - -N

d .. .. ę q ?

ccodo ddodd o oioo ooooc

o4'- OÓ\cF-- 9o.o.oco noo1'-o\o-iaX'^\' Ólt+ńc\c x.ooonn r€<f c'<x

'9 99.i." j..P"l- jo.r j..f.{.s;oJ- ."*.ło=;\oś-<

coodd ddiio : iSii doooc

T ń \c N a. - \o .o .-l - co 5 € Ó \o oo'.-,^;ń.f o-c.lc'^ c.\:o.-ę N€-r|.x # 5ó.:. j. .:n.9.Ę-^ęo.9c -?o..|.-.?.-€.{\ '-oo .oÓ i] s <o. 5. c-.'5'5 5'5'5'5'5 '5'b'.'b 5 ?'b-a-o*cÓccoO dcdii - =oc5 5oooc

M-+--+ ct--'^- -)x ottc -c\-+\cc-ń;-cl Óc| cl c|^ 5Ó\cÓ]ś cir=€'^=4 ł ł _ -, .+ \' r r c/o cĆ .] ś \. r- c. o. * =t rśa-:- -.' .. .. .r r r tcoood dcioi c oooo oiicc

+l^ńM ł_rc -ooÓl-- ro+ń€)o F-o\\o6oś-aŃ+ A+Ń\cc. \oo.Oco=f oo0oc.]o\o{ o\orOcóń i^..o ś ś cć óo^ę^ct ś'n F- t- oo € - ś n |- oooo - ś. \(ą ą ą Ą c Ą ą ą"5t. Ż.Ż.t.t.t. t..b..b..b"?} .b'.b.oo.oo.oo

-cO OOOOo cOOOO oocOC

!l^-Fó ńMrn€)ro \o'nrś\c c'l'nN-o\ o.+onÓiziĄax; ^;ilń\c śc.o\F-o €'noooo o\ccoc.oó+ń\cŃ śoóo.^P^il ś'n\or-oo oo-ś'nF- 0oooor'.ą ą ą ą ą o. ą o."5 "ł. t. t. t..5Ż. .5.b..t..}..b. .b'.b.oo'oo.oo

eoo ocooo oooo<) coocc

-+ A| + A! M + - O V) or ńF- - co \c * \o oo .-l c. Ól o\ l/Ń; ; !ĄH ; ; N -.+ Ó.- €\cÓ F- c! €\oo\ o\ nś n F;-i;\]ii< ś;;cc| !+h \o.-oo co-r|n\o F-cooń'/{ ą ą ą ą ą ą o^.5 ^5 t. t. Ż. t. t. t..b.?..b.b. .t..b..o.t..13

VOO OOOOO OOOOO OOCCC

N+ń!ń!Ó ń-xa.t Óośc'n ś\co\or- śr.Jń.ti^ś N ń x ; x G ;i c.l * \c F- \o Ól t- o\ |n |r ca oo ln o ń |/;+ i^.H i-: F: ;;; ;Ól t+ tn \cF- o. oc O ń ln \o F-o. o r Vąą ąą ą ąąąą.5 .5Ż.t't.b t.%.?..b.%. "b'.b.oo.oo'oo

--c oooco coo-o ooooc

r^ń+óó r!Ą+ta6| \or--fct6 c\ś\or6 \c.-\o'ÓąJGń+: <Ńńxo o\ę\cn* \o\Órrr- r-śc\od;;'x G x Ń yi ; ;..| .ą |n \c F-oÓ € c o n \o .- oo c. ń'/ą ąą i b. ą ąąąb Ż.t.t.:5t. b.b..Ł."b.b. ?..b..Ł..o.oo

-"o oO-oÓ cOcQo oooo<

NNś_ -ac o\śrśÓ '.NÓr-r.--c.l\oońń.n=- snooioo F-Ó'o<t- \ol.--ro ro.łolt--Óś'.\c t.. F- - co co^:- r|Ó \o F- c. 0o c ń'^\o r- cooo Ól Vą ą. ą ą ą ą ą ą ąŻ. t.z..5Ż.Ż. t."..b.t..b. ?..b'%..o.Ł

--C CCCOO CCCOO OO-OC

+lńr\or-śn\cF-F-

c\|ńlao\-r| .. Ć.l o\ \oś'.\c\oF-

co rn \.c .a \o-N-C\rnśn\c\.r-

\D|Ą€\ocC-Oca'^!f, r/) \t \O t.-

ll

\t

a-

ll

\J

€

ś\i

320

I

23

Ą

5

6'7

8

9IO

llt2l3l415

l6l7l8l920

2l2f!)11

2.5

2627282930

4050ó0708090

t00

.t

I rt'---1../ ---\___r.-

'-x..., = -------------='J.e

p(r. ż Z|, t) = at).975 0.95 ().9

\\'łrtości krvtycznc

0.999i 0.999 0.995 0.99

0.06-193

o.o: I o00.0 r 530.0(.l-19

0.1 58 1

0.0'1570.022000.02+30.09080.2 l0l

0.0j3 930.01000.07170.20700.l l l8

0.:e9.1 0.381t)0.1819 0.59850.7 1 01 0.857 |

0.97lti t.15t9l.l(r-5 I I.l7lJ7

1.5870 1.SiSlJ1.9-.1-15 2.1 l1 I

2.i019 2.61722.6966 3.01073,1()7-r 3.1825

3.5-357 3.911'73.9800 1,1t624.4391 4.90481.9125 5.10ó75.3978 5.92 I 0

'5.895.ł 6^416.7

ó.104l 6.98296.92.10 7.52917.1528 8.08177.9905 8.6494

8. s3 74 9.?"2229.0929 9.S0299.ój58 l 0.3907

10.22(16 10.986110.8010 I 1.5876

0.020 I

0.I 1180.29710.5 513

0.675'7 0.S7t I

0.9893 1.2t90l. j.1.l ł l.6465i.7l19 2.()879]. |55s 2-.śjll2

1.60i2 3.0-il53.0738 3.57{Jó3,5650 4. l()(r91,0.7 47 1.ó601.1.6009 5.2291

5. I J22 5.3 I 225.ó973 6,1()776.2ó48 7'0 l 19ó.ti139 .].63f7

7.1338 8.2ó01

8.0j3ó 8.897]8_6127 9.51259.2604 |0.r9579.l]862 l0.tj.ió3

10.5 l9(r I 1.52J0

I I.1 602 1 2.1 982I 1.8077 I 2.S785l2.'{6l3 l3.5ó17l3.l2l l l1.2jó113.7867 1.1.9_j-15

20.'/06627.99083 5.534413.27i35 t. t7l959. l 9ó3

2f .164229.'1067

_l7.-ttJltt45.11175 3.5.100ó 1.7540

t57 0.0,9źt2 0,0'39i0.050ó0.21580.4 8.11

0.8i l2

0. I 026().3518

0.1t07t. I t55

0.01580.21070.58-l"ll.()ó36l .ó l0]

1.23.73 l.ó35.t 2.2()] |

|.ó899 2.1673 2.8.-i3 l

).1797 2.',7326 3,48952.70()] 3.325l .1.l óE2i.lJ70 i.9l()3 1.8651

3.rJ 157 4.5718 5.577111.1038 5.2260 6.30385.0087 5.8919 7.04l55.(1287 6.570ó 7.78956.f62| 7 '2609 8.5-ł(18

6.9t)7'1 '/.9616 9.31221.5642 8.67 t8 t0.0it528.2307 9.390.l l0.8ó198.9065 10.ll70 ll,ój099.5908 10.8508 12.1J2(,

l0.2829 l l.'ś9l3 I3.239610.982i 12,1380 11.0t l5l 1.ó8ti5 l3.0905 l1.8.t8012.101 I 13.81ti1 15.65ti713.1 I97 14.6t l4 16.4731

13.8439 t5.3792 1'7.2919l1.57j.l l6' l5l.ł Il.i. l l3915.3079 l(t.92'79 18.9192ló.017l l7.7081 |9,i677ló.7908 lti..l927 20.5992

21.133132.3571"ł0.18l7I 8.75 7557. r 53265.6166'71.2219

26.509331,7 61243. I 8805 r.739360.3915ó9. l 260

29.050_53 7'6lt8ó1ó..{5 895i.i 2 ri964.277873.29 t 1

r6.905823..ló | l

30.339337 ^16'7 |

41.',19t752.2'768

t'/ .9 | 66f4,6'73631.73813 9.03 5846.519'75.1.155961.9182 67.317 70 Ofi50 71 158 I

321

Tablica 3

rozkladu 12

0,I 0,05 0,025 0.0 r 0.005 0.001 0.0005

1',7 .27 50 t9.67 5218.5493 ft,0f6l19.81 l9 f2.36202t,064t 23.6848ff .30't1 f4.9958

23.5-11824.769025.989.ł2'/.203628,4120

29'ól5l30.8 I 33

3f.006933.196234.38 r 6

35,5632 38,885136."t412 40.11333'7 .9159 4t.337239.0875 42.556940.f560 43.7',730

26,f96f 28.8453f7 ,58',1 | 30. l9 r 028.8693 3 1.526430,1435 32.852331,4104 34.1696

3f .6706 3 5,478933.9245 36.?80735.1',725 38.075636'4l50 39.3ó1l37.65f5 40.6165

6.6349 '/.8791

9.2 t04 r 0.5965I I,3.149 12.8i8 I

13.f'767 14.8602t 5.0863 t6_'7496

16.81l9 18.5,{75

18,4753 20.2'77',7

20.0902 ft.95492 l.ó660 23.5893f3.f093 25. r 88 r

21.'7f50 26.'756926.2t',/0 28.299'/27.688f 2e.819329.1412 3 1.319430,5780 32.80r 5

31,9999 31.?61133.4087 -l5.7 I 8434.8052 37.l5ó136. r 908 38.582 r

3'7.5663 39.9969

38,932f 41.100910.289'1 12.79574r,6383 44,r8t442,9'798 15,558444.3 l40 ,łó'9280

45.64 I 6 48.28984ó.9ó28 49.615048.2782 50.993649,5878 52.135550.8922 53.6-t19

ó3.6908 (16'.7660

7ó' l 538 79.489888.3794 9r.95l8

I 00.425 I I 04.2 148112.3288 il6.32091f4.t162 128.2987135.80ó9 l.l0. l697

f .'70554,6052ó'25 l47.7'.7919.2363

10.644612.01 70i3,36r6l4'ó837t5.98',72

51.805063,16',7 |'7 4,397085.527096^5782

1 07.5ó501 18.4980

3.84 r 5 5.02395.9915 1.3'7't87.8147 9.34849,487'7 lt.t133

I 1,0705 12.8325

lf .5916 14,449414'0671 ló.0l28I 5.5073 I 7,5315r 6.9 r 90 r 9.022818.3070 20.4s32

24,101626,0t79f7.86'7 4

29.66693 r.4195

33, I 38234.82 r l3ó.476838.108539.'t 173

21.920023,336'724.'135626.1 1 8927.4881

41.923113, I 91544.4608t5 1))146.9792

59.34 r7'/ t.420283.29'7795.023 I

l 0ó.ó285r r8.r359

19.

22.t05

1t.30't'742.880814.433'745.973,la

4950,5 r

51.999553.4'7154,94'/

5ó.457.85 56

59.f99060'73.ł62.1

I 0.827113.8 r 5016.266t\l8.4ó6220.5147

7? JiTS24.3f13f6.1239f't,876729.58',79

3 r.263i32.909f34.5f7436.t23937.6978

39.25 l840,79t I

42.31 l943.8 I 9445.3 142

46.'796348.267649.72't651,r7905f .618'l

54,05 I I

5ó.89 l 8

5 8.300ó59.7022'13.1029

86'6ó0399.6078

112.316'7r 24,8389t3'7.2082I 49.4488

r2.l 15315.2014t7.73t I

I

23

1

5

67

8

9

l0

12

13

l4l5lót'7

l8l9f02l2223

2425

5 5,75 85ó7'504879.082090.53 r 3

10 r,879_5

I 13,1452

76.096389.5597

102.6971l l 5.57ó6t28,2636r 10.7804r 53. l 638

2627282930

405060't0

8090

100t24.3421 t29.561

3ff

Wartości krytyczne

P(F>Fo.,.,.,.)=a

39.86 49.508,53 9.005.5.ł 5'464,54 4.324,06 3,78

3,78 3,463.59 3,263.46 3, il3,36 3,0 r

1?g )q)3,23 2,863,l8 2.813,l4 2.'163, 1 0 2.'133.07 2,'10

3,05 2,673,03 ?,643,01 2.622,99 2.61)q] 75q

7qń 1i?2.95 2.56f.94 2.557q] 7SJ)9) ?51

7ql )5tf .90 2.512,89 2.502.89 2.502,88 f .49

2.84 2.442,J9 f ,39) 15 2 15

f .7 | 2.30

53,59 55.839.16 9.215.39 5.314,t9 4,1 1

16) ?S)

3,29 3, r83.07 2.967 q] 7 Rl2,8 r 2.692.73 2.61

2.66 2.s42.61 2.18f,56 2.432.52 2,39f .49 f .36

2.46 2,33) t!. a 11

) .11 I loz'ącl Ż2l2.38 2.25

)76 ))\2.35 2,22] .łd ).,|) 11 7 rgf .32 2.18

2,31 2.t72.30 f .t]2.29 2.t62,28 2.152.f8 2.t4

57.24 58,209^29 9.335.31 5,284.05 4.013.45 3..10

3. I I 3.052.88 2,832,13 2,67f ,61 2.55)i) )t6)4< )142.39 2.332.35 f ,?82.3t 2.24f .f'7 f .21

))4 7 rR2,fz z.l s2.20 2,132.18 f,tlf ,t6 f .09

2. l.ł 2.082,13 2,062.1 I 2.052.t0 2.0.1

2.09 2,02

2.08 2.012.07 2.002.06 2.002.06 1.992,05 r.98

58,91 59.44 59.869,3s 9,37 9,385.f'7 5,25 5,243.98 3,95 -1.9'1t 1/ 114 1 1/

3.01 2.98 2.962.78 f .'7s 2.72)6) ?śq 1śń2,51 f .17 2.412.11 2.38 2.35

2,34 2,30 2,2'l2,28 2.24 2.fl2,23 2,20 2.t6f ,19 2.t5 2,122.16 f ,t2 2.09

2,l3 2,09 2.062. l0 2,06 2.032.08 2,01 2,002.06 2.02 r,982,04 2.00 1,96

2,0f 1.98 1,952,01 1,97 1.93r ,99 1 .95 |,9fl,98 1.94 l,9l1.97 r.93 1,89

r .96 t.92 1,88r.95 l.9l 1.871.94 1,90 1.87l .93 l .89 l.8ór,93 r,88 1.85

7lR2.092.04r.99

2,00tqir.90

1,93

1.87r.82

1.87I,82t,17l.'tf

1.831.77l1)

1.79|'75l.ó81.63

I

23A

5

6789

l0

lttft3l4l5

lót1l8t920

2lf223)425

262'7

ló2930

1060

120f 91 7',| l-o/

323

rozkladu F-Snedecorł, a=0, l

60. t 9 60.719.39 9,1rś

'1 i ))

3,92 3.90

2^91 f ,902,70 2,6'72.5'1 2,502.42 2.38f .3f 2.28

7 75 ) )1) lq 7lif ,14 f ,102. 10 2.05f .06 f ,02

2,03 I,992,00 1.96I ,98 1,931,96 1"9 r

1.94 1 .89

1.92 1.871.90 1.86

1.89 1.841,88 1.831.87 1.82

I,86 l,811.85 1,801,84 |.'791.83 I ,78I,82 1,77

t.'76 |,71| '7I l.óól.ó5 1,ó01.60 1.55

6t .ff 61 .'7 49.4f 9,115.20 5.183,87 3,843.21 3.21

f .87 2,8'1) ń1 ? iC)

2.46 f ,422,34 2,30))t 740

2.17 f .lff .10 2,062,05 2,01f ,01 l.9ó1,97 1.92

r.94 r.891.91 I ,861,89 I,841.86 r,8 r

1.84 1.79

r,83 1.78l.8l l.'761 .80 1,7 4I .78 1.73|.'77 |,72

t.'76 1,71

t.'75 l,'10|..74 l'ó9| '73 l .ó8t.'/2 1.6'7

l.66 l.ó l1.60 1.54t.55 1.181.49 | "4f

62.00 62.f69.'15 9.165.1ti 5.173.8 3.823.19 3.t'/

2.82 2.802.58 2,562.40 2.382.28 2.252.18 f ,16

2.10 2.08f ,04 2.011,98 1.961,94 l,9l1.90 1.87

1.87 1,841.84 I ,8 I

l.8l 1.78t."t9 L,'76

1,77 1.',74

1,75 t.721 ,13 1.70

l,'7f 1.69

1.70 1,6'7

l '69 l .6ó

l.ó8 l.65t,67 r ,64|,66 l .ó31,65 t.621.64 l,6l

62.53 62,799.1',7 9.475.16 5.153.80 3.'793.1 6 3.1 4

2.78 2.76) < | 1 <r

2.36 2.34) )7 ) )lf ,13 2.1 I

2,05 2.031,99 r.961.93 1.901.89 l '8ór,85 1,82

1.81 1.781.78 l.'751,'75 1.',|f

1,73 1"70

|'7| l'ó8

1,69 1,661,67 1,641,66 t,621,64 1'ó11.63 1.59

l.ó l l.58I ,60 |,57l'59 l '5óI,58 1,551,57 I,54

l.5 t t.4'7I,44 1,40|.37 |,321.30 1.24

63,06 66.339,48 9,495,14 5.1 3

3.78 3,'7 63,t2 3. r0

Trblica 4

2.72"\ Ą1

f.f .l(;f .06

r.'/2l 'ó9l.l,ó3l.6l

t.t5

tz0ó0.ł0Ł+f0l5tal0 -0

a 1l

2.492,322.182.08

2,00 1.971.93 1.901,88 I .85r,83 1.80t.'79 1.76

| /\11)1.69|.6',7

1,64

1,6fr,601.591.57l.5ó

1.55| \{1.52

1.5'7

1.5 I

1.451.38

1,54 1.501.53 1.49t.52 1.48l,5l t.1'71.50 1,46

t.4f I,38I,35 t.f9t.26 I, t 91.17 1.00

I

f3

4

5

6189

l0

llt2l3l4l5

l6t7l8l920

fl2?!-)

f425

26f728f930

4060

120

32Ą

Wartości krytyczne

lr.,l/ \- {t

tl *---/_rrcn,fl,E

)

161.45 t99.5018.5 t 19.00r0. r 3 9.55'7.7',t 6,916,61 5,',79

5 gc) s t45.59 4.'7 45.32 .ł.4(l

5.12 1,264.96 1.10

4.84 3.984,75 3.894,6'.7 3.81

'1.60 3.'7 44.51 3.ó8

4'19 3.ó3.ł.45 3.59J4l 1śi1.38 3.524.35 3.49

+,)z J.{ /

1.30 3.444.28 3.124.26 3,404.24 3.39

+.iJ J.J /

J '|

i.łi4.20 3.3,14.18 3.33

215,7 | 2f4.5819.16 19.259.28 9.126,59 (r.39

5,4 I 5, l94.'76 4.534.35 4.tf4.07 3.813.86 3.633.7 | 3.18

3.59 3.3(r3,49 3.263..łl 3.l83.34 3.1 I

3.29 3,06

3.21 l,0l170 1Qr.

3. 16 2.933, 13 f .903. r0 2,87

3.07 2.84irli )R)3,03 2.803.01 2.'782,99 2,76

2.98 2.712.96 2,-/3

2.95 2.7 |

2,93 2.70)q) )69

230.16 233.9919.i0 t9.339.01 8.946.26 6.165.05 1.95

4,39 4.283.97 3.873.ó9 3.583.18 3.37

3.20 3.09-l.l l 3.00-1.03 2.92?.96 2.85f .90 2.79

2.85 2.'/42.81 f .702.7'7 2.66!- t + l..oJ2.'.7 | 2.60

2.68 2.51/ l\lr ' al

1 l'rJ ? i1

2.62 2.512.(r0 2.49

1.59 f .1'tf .5'7 2.46f ,56 2.457 i5 7 Ją2.53 2.42

2..r5 2.342.37 2.252.29 2.182.2t 2.10

236,77 238.881 9,3 5 19 .3',7

8.89 8,85ó.09 6.014.88 4.82

4.21 4.153.79 3,'t33.50 3.1412q 1113. 14 3.07

3,01 2,952.91 2.857 Rl ) '7'1

2.76 2.70f .'7 | 2,64

2.66 2,592.61 2.552.58 2.512,51 2..18

2.51 2.45

240.5419.388.8 t

6.00| 11

4,l03.ó83.393, r83.02

2.902.802.11l.o)2śq1<t

f .492.462.42t 10

)J0 )t1 )172.16 f .10 2.341.14 )11 )1))J) )1/- t1{)2'40 2.3.ł 2.28

tic) ti) )1'1)11 )lt )ts)^lA lto ))n2.35 2.28 2.f22.33 2.2'r 2.21

.r.08

.1.00

3.9f3.81

3.07

2.812,762,68

2.ó 1

J.+)

2.25) t'7

2.09

2,l8 2.122.10 2.042.0f 1.96I .91 1.88

P(F >- Fo.,,.,,) = a

I

23,1

5

678

9t0

l1t2l3t4l5

1611

l8l920

2l2f2311

25

z\)

27282930

4060

12000 ')

f .3'7 2.0

325

rozkladu F-Snedecora, a=0,05

t2 t206040301t20l0

Tnblica 5

25'1.319.

24 l .88 243,90r9,40 19.418,79 8.745.96 5.914.7 4 4.68

4'0ó 4'003.64 3.5'73.35 3.283, l4 3.072,98 2.91

2,85 2,'792.75 2.692,6'7 2,602,60 2^53

2,54 2.48

)49 ),!)2.45 2,382,4t 2,342.38 2.31f .35 2.28

2,32 2.25

' ą() ))1

2,2'7 2,f02,25 2.182.24 2.16

f .22 2.15))n ) lr2.t9 2.122, I 8 2.10f ,16 f .09

245.95 218.0f19..13 r9,458.70 8.6ó5.8ó 5'804.6f 4.56

3.94 3.873.5 I 3.441)) ,ł l53.01 2,912,85 2.7'7

)'7) )652.62 2.542.53 f .462.16 2.392.10 2.33

2.35 2.28f .31 f .232.2'7 f .19t )l ) t6

f,20 2,12

2.18 2.r0f .t5 2,072.13 2,052,I I 2,032.09 2,01

2.0'7 t.992.06 1,972.04 t.962.03 1.9,1

2.01 1.93

1.92 I,841.84 1.751.75 1,66| .67 1.5 7

249.05 250, I 0I 9,45 19,468.ó1 8.625.'7't 5.75Jit J50

3.84 3.8 r

3.41 3.383. I 2 3.082.90 2,862,74 2.10

2.61 2.5'77 5t 1!'lf .4f 2.38715 7 tl2.29 2.25

) )! ) lr)

z.tL) 2,15f ,15 2.1 I

f,n f.072,08 f .04

2,05 2.01f ,03 1.98

2.0 r 1.961,98 1.941 ,96 1.92

1.95 1.901.93 1,88I .91 r .871.90 1.85I,89 1.84

1,'79 1.741,70 1.65l.ó l l.55t.5f I .46

t5t 14 ?517n t517it9.47 19,48 r 9.198,59 8.57 8.s55..72 5.ó9 5.6ó4.46 4.43 4.10

8.535.ó3

l.

4,

3.'1'7 3.74 3.70 3.673.34 3.30 3.2'/ 3.233.04 3.01 2.97 f,932.83 f .79 2.75 2,'71f .66 2.6f 2.58 2,54

2.53 2.49 2.45 2,40f .43 2.38 2.31 2.302,3-l 2.i0 1.25 2.212.27 2.22 2.18 2.132.f0 2.16 2.t | 2.07

f .t5 2.tI 2.06 2,012. 10 2.06 2.0 I I .962.06 f.Of | ^9'/ 1,9f2.03 r.98 t.93 1.881.99 1.95 1,90 l,84

1 .9(r l.9f 1 .87 1 ,8 1

1.91 1.89 I,84 r,781.9l i.8ó 1'81 |'76I .89 I .81 t,'79 1 ,731.87 r.82 |.77 1.7 |

t,85 1.80 1.751"8,1 l,'19 l.'73I .82 t,7'7 1.'7 1

l.8l 1,75 1.70|.79 t.74 1.68

t.69 1.64 r,581.59 1.53 |.4',7

r.50 r,43 1.351.39 1.32 t.2f

t,6'7l.ó51.6,1

l.ol

2,08I,991.91

2.001.921.83

I

23

4

5

6789

l0

llI2l3l*

t01'7

l8l920

flffz3/-+

25

262'7

28f930

4060

tf0t.75

3f6

Wartości krytyczne

647,.|9 799,48 8ó4.l538.5 r 39.00 39.17i 7..ł4 l6.0.l l5.4412.22 r 0.65 9.98I 0.0 l 8.43 1 ,'7 6

8.8l .7.26 6.ó0

8.07 ó.5.1 5.897,57 6.0ó 5.12'7 .21 5.71 5.()8

6.94 5.1ó .l.83

6,.72 5.26 4.ó3ó.55 5.l0 4.,ł76.11 1.91 4.356,30 4.86 4.246.20 4.17 4.15

6,t2 1.69 4.086,04 4,62 4.015.98 4.56 3.955,92 .1,51 3,905'87 4,46 3.8ó

5.83 4.42 3.825.'t9 4.38 3.785.75 'ł'35 3.755.72 4,32 3.725'ó9 4'29 3.69

5.6ó 1.?./ 3.675.63 4.24 3.655.ó l 1,22 3.ó35.59 4.20 3.615.57 4,1 8 3.59

5.12 4.05 3.-165.29 3.93 3.3'l5. r5 3.80 3.235.02 3.ó9 3.l2

899.ó0 92l.8339,25 39.30r5,10 14.889.ó0 9.36'7.39 7.15

6.23 5.995.52 5.295.05 .1.82

1../2 1."ł81.11 4.21

'1.28 4,014.12 3.894.00 3.'/73.89 3.663.80 3.58

3.73 3.503.ó6 3.143.6 r 3.383.5ó 3.j33,51 3.29

3.48 3.25J.++ J . !:3.11 3.183.38 3. I 5

3.35 3. r3

3.33 3.103.31 3.083^29 3.063.27 3,013.25 3.03

937.r r 948.2039'33 39.3ó11.'73 t4.629,f0 9.076.98 6.85

5.82 5.705. 12 4.99.1,(r5 4.534.32 4.204.07 3.95

3.88 3.763,73 3.6 r

3,60 3.4rJ

3.50 3.383.4 I 3,29

I 1.1 1 t13,28 3.163.22 3.103.1'/ 3.053.13 3.01

3.09 2.97i.05 2.9i3,0f 2.t)02.99 f .872,97 2.85

tgJ )R)2.92 2.802.90 2.782.88 2.'t6rR7 )7i

)]J )ńa2.63 2.5 r

7 i) 7 io2.4 r 2.f9

956'ó4 963.2839,37 39.3914.54 t4.478.98 8.906.76 6.68

5.60 5,524.90 4.824.43 4,364. i 0 4.033.85 3,78

3.óó 3.593,51 3,41J.JY J.J I

3.2g 3,2 I

3.20 3, r2

3, r2 3.053.06 2.983.01 f .t)3

f .96 2.882,9 r 2.84

2.87 2.802.84 2,162.81 2.732.'.78 2.',10

2,'75 2,68

2;13 2.652,',1| 2.632.69 2.6r1 (,,1 ) śc)

r.o) f .) /

2.902.'79t.o /

3. l33.012.89

f ^41) 1r)

f .19

") l<

f .33,

2.?2

P(F > Fo.,,,,,): o

l0tll2

l4l5

lól'7l8l9f0

lo27282930

"ł0ó0t20

) 5'7

3?'7

Tablicn 6

rozkladu F-Snedecora, c0,025

l5 120601030)l20t2l0

968.ó3 976'7239,40 39.41t4,42 14.348.84 8.756.62 6.52

5,46 5.3'7

4.76 1.674,30 4.203.96 3.873.'71 3.6f

3.53 3,,13

3.37 3.281)i 1l{3. 1 5 3,053'0ó f .96

f .99 2.892.92 f .822.87 2,77)R) )7)2.',77 2,68

2.73 2.64f ^70 f ,60f ,6'7 f .572.61 2,542.61 2.51

2.59 f .49ri7 )t'l2.55 2.4s2.53 2.43251 )J1t1q ))q2^21 2.t72. tó 2.052.05 r.94

981.87 993.0839.13 39.4514,25 14.1'.7

8'6ó 8.566.41 6.33

5.21 5. I 7t.57 1.1'71.10 4.003.77 3.6'71 ś) 1J)

3.3-t 3,f33.18 3.073.05 2.952.95 2.842.Eó 2..76

2,',79 2.682.72 2.622.67 2,56) (-1 t il?.5'7 2.16

2.53 2.422.50 2.392.1't 2.36

2.4t 2.30

2.39 f .282.16 2.25a tl ) ?1t l) ) )lt 1l ) )o

2.l8 2.072.0ó l.91l.9l 1.821.8-l l.'71

99'7.27 1001.1039.46 39,1611.12 1.r.08

8.5l 8.'lóó'28 6.23

5.12 5.071.1l 4.3ó3.95 3.893.61 3.5óJ.J / J.J I

3.1 7 3.1 23.02 ).962.89 2.81?.79 2.732.70 2.64

? ń1 ) i1]ś/. )502,50 2.442..ł5 2.392.4 t 2.-r5

) 71 ) tl2.33 2,f72.30 2.21))'1 ))l2,24 2.18

))1 'l 16

2.19 2.132.17 2,I I

2.t5 2.092.14 2.07

2.01 l .941.88 1.82t.'7 6 l .691.64 1.57

i.06 3.00 2"942.91 2.85 2.',79

2,18 ).1f f .662.67 2.(r I 2.552.59 2.52 2,46

2,51 2.45 2.382.44 2.38 2.322.38 2.3f 2,262.33 2.2'7 2.20rlq ))) flA

2.09 2.0-l 1.95f .0'7 2.00 1.932.05 r.98 l.9 r

2.03 l .9ó l.892.01 1.94 1.87

1.88 1.80 l.'72t.71 1.6'7 1.58l.6l r.53 1.131.48 1.39 1.2'7

2.25f .192. l-l2.09

2.25 2.18 2.1 I 2.042.2t 2. 11 2.08 2.002.18 2.ll f.01 1.9'7

2.15 2.08 2.01 l.9J2,12 2.05 1,98 1.9 I

1.831.85r.83l.8l

l005.ó0 l009.79 l0l4.0.l l0l839.17 39.48 39.49 39.5014.04 1i.99 13.95 13.908.4 r 8.36 8.3 r 8.26ó.l8 6.|2 6.0.7 ó.02

5.0l 1.96 4.90 .ł.85-1.3 I 1.25 4,20 .:1.14

3,84 3.78 3.73 3.6'l3"i I 3.45 3.39 3._13

3.26 ,1.20 3.11 3.08

2.88f .i22.6t2.)

)1)

t.7

1.641.18l.i l

I

2

3.l

5

67

ti

9t0

ltt2l3l.łl5

ló1'7

l8l920

2l22ZJz125

2627282930

40ó0

1206

328

Wartości krytyczne

P(F > Fo.,, ,,) = a

4052.18 4999.3498,50 99,0031,t2 30,822t,20 18,0016.26 13,27

13,75 10.9ft 7 15 q Ss

11.26 8.65l0'5ó 8.0210.0.1 7.56

9.ó5 ./'2|

9.33 6.939.0"/ 6.708'8ó 6.5l8'ó8 6,36

8.53 6.238.40 6.1 I

8.29 ó'0l8. I 8 5,938. l0 5,85

8.02 5.787qi 11)7.tt8 5.óó7.82 5,617,7'7 5,57

/ t/ \ \{7.68 5,19'7,64 5,457.60 5,421.56 5,39

5103.53 5624.f699,l6 99.f529.46 28.',7 |

t6,69 15,9812.06 I 1,39

9.78 9,l58.45 7.857.59 7,0 r

6.99 6.42h la \ rr(,

(r.il l-O /

5 q5 i Jl5.'11 5.2 |

5.56 5.015.42 4,89

5.f9 4.'775.19 1.6'.7

5,09 1.585.01 4.504,94 1.43

4.87 1.374,82 4,314.'/ 6 4.26J'7) 4 ))4,68 4.ltl

4.64 4, l"l4.60 '1, I I

4,57 4.074.54 4,041,51 4.02

4.31 3.8i4, r 3 3.653.95 3,483.78 3.32

5763,96 5858.9599.30 99,3379, )A )1 rrl15 5t t5 )l10.97 10,67

8.75 8,477.46 7.t96.63 6,376.0ó 5.805,64 5.3 9

5,3 2 5.0 7

5.06 4.821.86 1.ó24.ó9 4,16.l.5ó 4,32

4.44 1,204.34 4.l01.25 4,014.t'7 3.914.10 3,87

4.04 3.813,99 3,7 63.94 3,713.90 3,673.85 3,63

3,82 3.593.78 3,56ś /1 { \{

3.'73 3,503.70 3'ł.']

5928,33 5980.95 60f2.1099.36 99,38 99,3927.67 21.49 27.34I 4.98 I 4,80 14,66l0.46 10.29 l0. l ó

8.26 8,l0 '/,98

6'99 ó'84 6'.12ó.l8 6'03 5'9l5.61 5.17 5..'ł5

5.20 5.0ó 4.91

4.894.641.4447R1. l4

4.033.933.843_77

3.70

4;7 4 4.63.t.50 4,394,30 4.191,14 4,034.00 3.89

3,89 3,783,19 3.(r83 ,7 1 3,ó03'ó3 3.523'56 3'4ó

3.64 3,51 3,103.59 3,45 3,353.54 3.41 3.303'50 3'3ó 3,263,46 3.32 3,22

3,42 3.29 3.183.39 3.26 3. 15

3.3ó 3 '23 3,|23,33 3.f0 3,093,30 3.t7 3,07

7.317,086,85

5,184,984,'19.t.6

1

3.5 t

3.343.173.02

J,l')96

3.122.952.79

7qg2,82f .66

2,89) '7)

a rl

I

23

45

6789

l0

lll2l3l4t5

t6t7l8l920

2l22:-)2125

26f7282930

4060

t206 2.51

329

Tnblica 7

rozkladu F-Snedecora, a=0,01

l5

6055.93 6l0ó.6899..ł0 99.122',7.23 2't.051.1,55 11.3'.7

10.05 9.89

1.87 1.'.7f

6.6f 6.4'/5.81 5.675.2ó j.l t

4.85 4.'7 |

,1,54 4.'104.30 4. ló.ł.l0 3'963.94 3.803,80 3.67

3,69 3.553.59 3.46i 5l ą ]7

3,43 3.30

3,31 3.1',7

3.21 3,073,17 3.033,l3 2.99

3.09 2,963.0ó 2'933.03 2.903,00 2.872.98 2.81

6|56.9.7 ó208.ó6 6234,27c)9..1.r 99.45 99.16]Ó.87 26'69 2ó.Ó0l.ł.](l l].02 l3.939.'72 9.55 9.4,1

7.56 ',7.10 7.31ó,3 l 6.16 6.075 52 5.36 5.284.96 4.81 4.'73

4.5ó .ł.4l 4.3.]

4,25 4. l0 1.021.0l 3.8ó 3.783.82 3.66 3.593.66 3.51 3.433.52 3.17 3.2e

3.1l 3'2ó 3' l83.3 l 3.lÓ 3.083.23 3.08 3.u03,l5 3.00 f .9f3.09 2.91 2,86

3,03 2,88 2.802.98 2,83 2..75

2.93 f .78 2,702.Ee 2.71 2.66r.85 2.'t0 2.62

]'8l 2.ÓÓ 2.58r.78 l.6i 2,552.75 2,60 2,522.7 3 2.57 2.492.'70 2.55 2.47

2.52 2.37 f ,f9715 ))0 'rt):. t9 1.03 1.95

f .04 1.88 1.79

(l260.35 ó286.4399.4'7 99.482ó.50 26.4|r3.81 r 3.759,38 9.29

1.f3 1.145.99 5.915.20 5. t24.ó5 4.574.25 4,t'7

3.94 3,8ó3.70 3,623,51 3.433.35 3.f'l3,2t 3. 13

3.1 0 i.023,00 2.922,92 2.842.84 f ."76

f ;78 f .69

f .'72 2,612,67 2.58f .62 2.512.58 2,49)5J )4:75n )4)2,47 2,382.41 2.352,1t f ,332.39 2.30

f,20 2,l I

f ,03 1,9.1

1.8ó |,761.70 1.59

6312.97 6339.5199.48 99.4926.32 26.22l3'65 l3.5ó9.20 9.t r

3.78 3.ó9t5J tJ53.34 3.253.18 3,093.05 2.96

2.93 2,8-l2.83 2,',7 5

2.75 2.66) 6'1 1 5R

f ^6t f .52

'7.06 6.91 6.885R7 57J 5r\S

5,03 4,95 4.861.18 -1.10 1.314,08 4.00 3.91

3 'ó03.3ó3. l7

1206040301.120tfl0

()

99.f6.t3tl9.02

3.

2.87

2.7s7ń5!..) t

L.L]I l')

2.801 (.1', n1

2.662.50)142.r8

2,55 2,46 2^36

2.50 2.40 2.312.15 2.35 f.26)J0 ?1r ))12.36 2,2'7 2.17

2.29 2^20 2. r02.f6 2.t7 2.062,f3 2^14 2.032.f1 2.1I 2,Ol

2,02 1 .92 r.80l '84 |,73 l 'ó01.66 r .53 1 .3 8

1.4't 1.32 1.00

I

23

45

678

9l0

llt2IJ

l4

l5

l6t7l8la20

2l22a)aĄ

25

262'7

28f930

4060

1202.32

330

Tablica 8Wartości krytyczne rozk|adu serii

P(k Ś ko,,,,,,,.) =,u=0.05

x 2 3 4 5 6 7 8 9 t0 ll t2 13 t4 t5 t6 t7 t8 19 20

0I

?3,ł

5

Ó'7

8

90

f22 3

f 3 3 4 422 3 3 14 522 3 14 5 5 (r

23 3 4 5 5 6 6 623 3 4 5 5 6 6 7 723 4 4 5 (r 6'7 7 8 823 4 4 5 6 618 8 9 92 3 4 5 5 ó 7 .7 8 8 9 9 10f 3 4 5 6 6 7 8 8 9 9 l0 l0 ll23 4 5 6 6 7 8 8 9 l0 l0 il il il2 3 4 5 6 7 7 8 9 9 l0 l0 Il ll 12. 122 3 4 5 6 7 8 8 9 l0 l0 lt II 12 12 l3 132 3 4 5 6 '7 8 8 9 l0 l0 ll 12 12 13 li 14 142 3 4 5 6 7 8 9 9 l() ll ll t2 t2 13 13 l4 14 t5

c=0.95

X 2 3 4 5 6 7 8 9 l0 il 12 13 14 15 t6 t'7 18 19 20

23

45

Ó

78

9l0lll1

l3l1l)l6t'7

l8l920

45656)1)/5'75'757575'.7)/57)/575757)t515',l

78

88

999999999

999

8

990U

0

t,

I

I

I

2

22?3

3

3

3

3

l2

lJ

J

3

3

4.t

I

.ł

1I

23

3ł

1A

5

5

5

5

5

6

3

1 15

4 15 ló5 ló 16 17

5 16 t'7 t7 l8616t7181919617l8t81920206 1'l l8 19 2() 20 2l 226t718t9202t2t2223'7 t8 19 20 20 21 22 f3 23 247 l8 t9 20 2t 22 22 f3 21 21 257 t8 19 20 21 22 23 21 21 25 f6 26

i: i .i, t:,,1 {l,i"i

Łl ł:.. : ..:..; .- .. l;.1,

,j )'a:.,lł

JJ I

cd. Tablicy 8

rr=0.025

x 2 3 1 5 6 1 8 9 l0 lt 1f 13 14 15 16 l'l l8 19 20

UI

2345678

,9)/l

22:lJJ:l-lJ-)

2333442334155233.ł555(l234,1 55661

f2 3 4 1 5 6 6'7'7 7f2 3 4 5 5 6 6't't 8 822 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 I2 3 3 4 5 ó 6 7 .7 8 8 9 9 l02 3 4 .ł 5 (l 6 ,7 8 8 9 9 l0 l0 l1f 3 4 4 5 ó 7 7 8 9 9 l0 l0 ll ll ll2 3 :l 5 5 6 7 I 8 9 9 l0 l0 ll ll 12 12f 3 .ł 5 6 6 7 8 8 9 l0 l0 ll 11 12 12 lj 131 ',l ..r { A t 7 p o o ln to r) t) 11 l'l 11 t'l t/1,

rr=0.97S

x 2 3 4 5 6 7 8 9 r0 ll 12 l3 11 15 16 11 l8 19 20

l0ilt2t3l1l5l6t7l8t9)o

45ó57 857 85'7 857 957 95'7 95'7 95'7 95'7 957 957 957 957 95'7 95'7 95'7 9

9900

0I

I

f/.

223J

JJ3

JJ

ff,j

3

3

J11.ł

5

5

5

5

3

3.ł

455

55o666r,

45

55667'7

77'7

1

f6166 t'7 l87 l8 t8 197 l8 19 19 207t819202tfl8 19 20 20 ft f2 22.81920212222232181920212223212425ef02t2222f32125f526o

'n )1 )) ?1 ),1 )l' )ś )(, 1A )

J)L

Tablicn 9Wartości krytyczne rozk|adu znaków

no,

tl

ct

0.0 I 0.05 0. I 0.2 5 0.01 0.05 0.1 0.2s 0.01 0.05 0.1 0.15I

f3

45

6

7

8

9l0

ill2l3l4l5

l6t1l8l920

fl22f3a/

f5

262'1

282930

0

0U

I

I

3

4

145

'7

7

I8

9

000

3

3

J

0

I

I

I

I

3.ł

5

)5

6o

6

6-767787879898 l09 l09 l0l0 ll

0

3

I

I

222

J

3

3.1

4

0lfI2frf3tf3f33

+f.454656l/

6

6

67

7

3l)!

3lJ+

i5

3637383940

4lt1.1i

4.ł

!ł6)1

484950

5657

58

5960

5l5253

55

15 l816 18

16 18

t7 19

t7 19

l9 2019 21

f0 21

20 ff20 22

7 9 r0 ll8 9 t0 tz8 r0 lt t29l0il139ill2139 l1 t2 14

l0 12 13 14

l0 12 13 14

11 12 t_'r 15

ill31115ll 13 11 16

12 lLł 15 16

12 l:l 15 11

13 15 16 t113 15 16 18

13 15 |ó 18

l.ł ló |7 19

14 ló 1'7 19

15 t7 t8 t915 t1 l8 20

l'7 f0 2t f318 20 2t 23l8 2l ff 2119 2t f2 2419 2t 23 25

ót6f63

Ó4

65

6667ó869'70

7I7273

7175

767'7

787980

8l8283

85

86878rJ

8990

20 f220 f220 23I I J-1) l )Ą

222222z-)

30 3331 333l 313t 34ll -1)

fJ llf4 2524 2624 2625 21

f4 25 2725 26 2825 26 2825 27 f926 27 f9

21 26 28 30f4 27 28 3025 2.1 28 3l25 28 f9 3t25 28 29 32

26 28 i0 32).6 ?L) 30 32f7 29 3t 33f7 30 31 3328 30 3f 31

28 3t 3f 1128 31 33 3529 32 33 35f9 3f 33 36l0 32 31 36

34 37J) -t /

35 i836 3836 39

Dla n>90 przybliżoną wartością graniczną jest największa |iczba calkowita1

mniejsza t'iz !(n - 1) - k.{n + l. gdzie t odporviednior

dla cr:0,0l ; 0.05. 0, l0, 0,25 jest rórvne 1,28,79 0.9800, 0,8224 ' O,5] 52.

333

Wartości krytyczne rozk|łtlu Durbina-Watsona Tablica |0

Hipoteza alternatyrvn a p> 0, gdzie k oznacz.a liczbę znliennychnieza|enlych lv rórvtlatriu regresji (bez rvvrazu rvolnego).

/r- J

cł1rlttlt d, cl,,

1.97 0.56 2.21|.93 0.ó2 2.l51.90 0.6'/ 2.10t.87 0.7 | 2.06l.ri5 0.75 2.021.83 ().79 | .99

l.8l 0.83 1.961.80 0.86 t.91|.79 0.90 1.921.78 0.93 1.90|.7',7 0.95 t.89

1.76 0.98 r.88|.76 l.0l |.8ó1.75 1.03 1.851 .'14 I .05 I .841.71 1.07 1.83

l.'t4 1.09 1.831.73 l.l I 1.82t,73 l.t3 1.81

1.'73 t. l 5 l,8 r

l.73 l. ló l.80

r.73 r. r8 1.80t.72 l. t9 1.80| .72 l,2l |,"/91 .72 1.22 | .79| .72 I .23 |.79

t.72 1.29 1.78| .'72 t.31 |.1']1.72 l.-38 1.771.73 l.4l 1.77t,'73 1"11 1.7'7

|.74 l.4ó |..1./

t.74 t .49 t.'771.71 1.5 I 1.'71|75 |ś? |1.7r.75 r.51 1.781.75 1.56 1.78

1.71 | 59 .'76 1,57 1.78

dl

l5 1.08t6 l.l0l'7 l.l3l8 l. l(r19 l.l820 1.20

)1 1)1

ff |.24f3 t.f6)J | )7t\ | )a

26 r.30f7 l.iz28 l.3329 1.3430 1.35

3l 1.3(r

)z l --1 /

33 1.383'l 1,3935 r.40

1.36 0.95l .3 7 0.981.38 1,021.39 1.0_5

r..10 t.08l..łl l.l0|.42 l.l31.43 l.l5I .44 1.t71.15 l. 19

1.,15 1.2 I

I .16 |.2?t.4't t.f1l..ł8 |,26I .18 1 ^27| "49 1.28

1.50 t.301.50 I,3 I

1.5 I I .32l.5l 1.331.52 1.34

r.52 r.35r.53 t.361.5.1 1.371.51 1.381.54 1.39

t.57 t.l31.59 I .16l.60 l..ł9t.62 l.5ll .ó3 l.54r.o+ t.))

1.65 1.57l.6ó l'59|.6'/ 1.601.68 l.6lI .69 t.621.69 1.63

1.51 0.82l.51 0.8ó1.5-l 0.9()

1.53 0.91I .5 3 ().97

1.54 l.(x)

1.51 1,031.5.1 1.05l '5.ł l.081.55 l. l0l.-55 I .12

1.55 l.l11.56 l.161.56 l. | 8l.5ó |,2()1.57 1.2 I

I.57 1.23t57 lal1.58 t.26I .58 1.27r.58 1.28

t5q |tq1.59 l._l I

I ic) I i]1.60 1,331.60 1,34

1.62 r.38l.ó3 l.12l.61 l..ł5l.ó5 l.4tl1.66 1.501,6'7 |,5f

1.68 1.54I .69 1.561,70 I.571,70 I.59t.'7 | 1.601.'/f l.(r I

l.75 0.ó9t.'73 0-'7 41.71 0.78l.ó9 0.t]2l.ó8 0.86|.ó8 0.90

1.6't 0,931.66 0.961.66 0.99l.(16 1.0 I

l.ó6 l'04

1.65 1.06r.65 r,08r.65 l.l0l.ó5 l.l2l.ó5 l.l4r.65 t.l61.65 l.l8l.ó5 l.l9l .65 t.2l1.65 | .ffl.ó5 | '24l.ó6 l.25l.ó6 1.261,66 1.2'll.ó6 |.29

1^61 1.31t,67 l._r8l.ó8 l.1lt.69 1.411.70 1.4'7

t,'70 1.19

t^7t l.5t1;72 1.53l t/ t\\| 71 l 57

t.73 1.58

d,, d,

Jo3'/383940

4)505560ó570

7580859095

l.4llJal..ł3l..ł3t.44

1.48r.50r.53I 55

|.5'7r.58

l-ó0l.6l1.621.6_l

1.64.65

334

L.!\ĘN

^'\tr-

^tca

r-Ę(t.ł

NooryN (..l

ś-

cl

\n-N

śco co

r-c-tr-

C..loo ś

Nt--

śco

aac.Jc\A

oośJ.a.)

ś.v

o\$

a

i:\)<

-l

=fa

co r--c.l.T

tr-ą oo ca tr- 0̂0r- oo

Ycoco

caN

I

^lvrl(^.l li-l-al-l

I

I

c*c-

irnooYi

.$car-c1

c-ca.1

co

aa

aa

c'.lcr

i<

=-:I t \\

*=X'iDI\ś

ż)c..l

c.j

clcac\

.vcavlc\

=f,

t-ra'l

r-ś?c.l

c-

c.t

oor-..i

clr-<ftn

cat--

a.)

ó

.':p>:"4iixU\!

c..t ca rd- r-- caa.l

ąź

za

c

EE

E

=

p

;

Ó!

.N

Q

I

F

tsBN g3-92,i1{6-1-3