STATYSTYKA

MATEMATYCZNA

rachunek prawdopodobieństwa

treść

• Zdarzenia losowe

• pojęcie prawdopodobieństwa

• prawo wielkich liczb

• zmienne losowe

• rozkłady teoretyczne zmiennych losowych

Zanim zajmiemy się wnioskowaniem statystycznym

musimy uświadomić sobie, Ŝe nigdy w 100% nie będziemy pewni

czy jest ono prawdziwe czy fałszywe. MoŜemy tylko takiego czy

innego wyniku wnioskowania oczekiwać z określonym

prawdopodobieństwem. To znaczy, Ŝe rezultat wnioskowania jest

zdarzeniem losowym. Musimy zatem zapoznać się z pojęciem

zdarzenia losowego i jego prawdopodobieństwa.

Zdarzenia losowe (przypadkowe) to takie zdarzenia, które

w danym kompleksie warunków mogą zajść lub nie zajść i mają

określone prawdopodobieństwo zajścia lub niezajścia.

W kaŜdym eksperymencie (doświadczeniu, badaniu)

statystycznym moŜna wyróŜnić zbiór wszystkich moŜliwych,

oddzielnych i nie dających rozłoŜyć się na prostsze wyników

obserwacji. Zbiór taki nazywamy zbiorem zdarzeń

elementarnych.

Np. rzut kostką: ZZE to 1,2,3,4,5,6 ale uzyskanie jednego z tych

moŜliwych zdarzeń jest zdarzeniem losowym.

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest teoretycznym

odpowiednikiem (względnej) częstości empirycznej (empirycznego

prawdopodobieństwa).

Definicja klasyczna (na podstawie Laplace`a 1812)

Prawdopodobieństwem P zdarzenia losowego A nazywamy

iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz

liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, jednakowo moŜliwych i

wzajemnie się wykluczających.

( )ba

aAP

+=

( ) 10 ≤≤ AP ( ) ( )APBP −= 1

Definicja matematyczna (na podstawie von Misesa)

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest granicą do

jakiej dąŜy częstość empiryczna, przy załoŜeniu, Ŝe liczebność

jednostek obserwacji dąŜy do nieskończoności.

( )APpin

=∞→

lim

Definicja współczesna (na podstawie Kołmogorowa)

(Prawdopodobieństwo jest tu rozumiane jako miara na podzbiorach

zbioru zdarzeń elementarnych. Definicja zapisywana jest w formie

aksjomatów wynikających z teorii klasycznej Laplace`a)

* KaŜdemu zdarzeniu losowemu A odpowiada określona liczba

P(A) zwana prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A

zawierająca się w granicach przedziału liczbowego od 0 do 1

( ) 10 ≤≤ AP

** Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego (obejmującego

wszystkie elementy zbioru Ω) równa się jedności

( ) 1=ΩP

*** JeŜeli A1 , A2 , ..., An , ... jest ciągiem zdarzeń losowych parami

wykluczających się, to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest

równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

( ) ( ) ( ) ( ) ............ 2121 ++++=++++ nn APAPAPAAAP

Prawo wielkich liczb leŜy u podstaw badania prawidłowości

statystycznych. Po raz pierwszy opublikowane jako tzw. „Złote

twierdzenie Bernoulliego” w 1713 roku. W okresach późniejszych

bardziej uogólniane przez Poissona, Czebyszewa i innych.

Wzrostowi liczby jednostek obserwacji (ściślej - liczby

niezaleŜnych doświadczeń) odpowiada wzrastające

prawdopodobieństwo zmniejszania się bezwzględnej róŜnicy

między częstością empiryczną z próby a nieznanym co do

poziomu prawdopodobieństwem danego zdarzenia losowego.

ii p

N

n=( ) 1εAPpP i

n=≤−

∞→lim

Na podstawie tego prawa formułowane są ogólniejsze twierdzenia

dotyczące procesów masowych.

Np.: DuŜa liczebność (masowość) próby powoduje, Ŝe odchylenia

na (+) i na (-) między częstością empiryczną i

prawdopodobieństwem mają tendencje do zmniejszania się.

Tendencja ta nie występuje w przypadku małych prób.

„Prawo wielkich liczb” moŜe być rozszerzane i na inne,

poza prawdopodobieństwem, parametry zbiorowości generalnej.

Np.: Wartość liczbowa średniej arytmetycznej z próby (x) jest tym

lepszym oszacowaniem średniej populacji generalnej (µ) im

liczebność losowej próby jest większa.

1lim =≤−=∞→

εµxPn

(uogólnienie Czebyszewa)

Zmienne losowe:

Zmienna losowa (X) jest teoretycznym odpowiednikiem

(modelem) cechy statystycznej. Warianty cechy statystycznej

pojawiają się z określoną częstością empiryczną (szereg rozdzielczy)

a realizacjom zmiennej losowej odpowiadają prawdopodobieństwa

wyznaczone przez odpowiednią funkcję.

Definicja wg. podręcznika prof. Bruchwalda:

Zmienną losową (X) nazywamy funkcję o wartościach

rzeczywistych określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych taką, Ŝe

dla dowolnych stałych a < b jest określone prawdopodobieństwo, iŜ

a < X <= b .

Podobnie jak w przypadku cech statystycznych zmienne

losowe dzielimy na skokowe (dyskretne) (Xs) oraz ciągłe (Xc).

Skokowe to takie, których zbiór moŜliwych realizacji jest skończony

(x1 , x2 , x3 , ..., xk) lub przeliczalny (x1 , x2 , x3 , ...).

( ) iis pxXP ==Czyli zmienna losowa skokowa przyjmuje wartości liczbowe (xi) z

prawdopodobieństwem (pi) (gdzie i = 1, 2, 3, ..., k lub i= 1, 2, 3, ... )

Ciągłe to takie, dla których istnieje taka nieujemna funkcja f(x) zwana

funkcją gęstości prawdopodobieństwa, Ŝe dla dowolnych przedziałów

(x1i < x2i) zachodzi:

( ) i

x

x

ici pdxxfxXxPi

i

==<< ∫2

1

)(21

( ) 0== ic xXPnatomiast:

Do metod prezentacji wnioskowania statystycznego niezbędne jest

pojęcie rozkładu zmiennej losowej:

W przypadku zmiennych losowych skokowych, odpowiednia dla

danej zmiennej funkcja określa rozkład prawdopodobieństwa

wszystkich moŜliwych realizacji tej zmiennej P(Xs = xi) = pi.

Dla zmiennych losowych ciągłych funkcja określa gęstość

prawdopodobieństwa, gdyŜ P(Xc = xi) = 0. Liczba wszystkich

moŜliwych zdarzeń dla Xc jest nieskończona.

( ) ( )x

xxXxPxf c

x ∆

∆+<<=

→∆ 0lim

WaŜnym pojęciem w statystyce jest dystrybuanta zmiennej

losowej odpowiednik dystrybuanty empirycznej:

- dla Xs (skokowej):

- dla Xc (ciągłej):

Dystrybuanta zmiennej losowej F(x) jest to prawdopodobieństwo

tego, Ŝe ta zmienna losowa przyjmie wartości <= x.

( ) ( ) ( )is

xx

s xXPxXPxFi

==≤= ∑≤

( ) ( ) dxxfxXPxF

x

c ∫∞−

=<= )(

Wskaźniki charakteryzujące zmienne losowe:

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna)

odpowiednik średniej arytmetycznej dla populacji:

- dla (Xs):

iis pxEX ∑=N

np i

i = µ=∑ iinxN

1

- dla (Xc):

dxxfxEX c ∫+∞

∞−

= )(

Wariancja zmiennej losowej:

- skokowej ( ) isis pEXxXD22 ∑ −=

( )∫+∞

∞−

−= dxxfEXxXD cc )(22- ciągłej

Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej skokowej

- rozkład dwumianowy:

( ) ( )knk

s qpn

kkXP

−

==gdzie:

q = 1 - p

k = 0, 1, 2, ..., n

npEX = npqXD =2npqDX =

( )npq +Dwumian Newtona:

( )↓−↓

↓=

knk

nn

k

Event prob.,Trials0,5,10

Binomial Distribution

x

pro

bab

ilit

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

przykłady:

p = 0,5 n = 10

Event prob.,Trials0,2,10

Binomial Distribution

x

pro

bab

ilit

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

p = 0,2 n = 10

Event prob.,Trials0,7,10

Binomial Distribution

x

pro

bab

ilit

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

p = 0,7 n = 10

Event prob.,Trials0,2,50

Binomial Distribution

x

pro

bab

ilit

y

0 10 20 30 40 50

0

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

p = 0,2 n = 50

inne rozkłady zmiennej losowej skokowej:

- Poissona

( ) λλ −

↓== e

kkXP

k

dla: k = 0, 1, 2, ...

λ >= 0

λ== XDEX 2

( ) 1−== npqnXP dla: n = 1, 2, 3, ...

q = 1-p

pEX

1= 2

2 1

p

pXD

−=

Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej ciągłej:

- rozkład normalny:

geometryczny:

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

σ

−−

Π=

x

exf +∞<<∞− x

0>σdla:

µ=EX σ=DX

f(x)

µ14 16 18 20 22 24 26 x

σ σ

N(20;2)

-3 -2 -1 0 1 2 3 z

f(z)N(0;1)

2

2

1

2

1)(

zezf

xz

−

Π=

−=

σµ

dzz

ezF

z

∫∞−

−

Π=

2

2

1

2

1)(

-3 -2 -1 0 1 2 3 z

F(z) 1

0.5

dzz

ezF

z

∫∞−

−

Π=

2

2

1

2

1)(

Inne rozkłady zmiennej losowej ciągłej:

- jednostajny

- gamma

- beta

- wykładniczy

Przykłady: rozkład dwumianowy

xi ni ki niki P(X=k) n’

4 23 0 0 0.1177 29.4

6 82 1 82 0.3025 75.6

8 73 2 146 0.3242 81.0

10 45 3 135 0.1852 46.3

12 24 4 96 0.0595 14.9

14 2 5 10 0.0102 2.6

16 1 6 6 0.0007 0.2

suma 250 475 1.0000 250

35.2

80.7

=

=

σ

µ

3.03167.06

90.1

90.1250

475

≅===

=== ∑

n

kp

N

knk

ii

n

EXp

npEX

=

=

rozkład normalny

xi ni xgi xig - µµµµ zi=(xgi-µµµµ)/σσσσ F(xgi) F(xgi) – F(xgi-1) ni’

x<<<< 3 0 0.0207 5.2

3 -4.8 -2.04 0.0207

4 23 0.0963 24.1

5 -2.8 -1.19 0.1170

6 82 0.2499 62.5

7 -0.8 -0.34 0.3669

8 73 0.3281 82.0

9 1.2 0.51 0.6950

10 45 0.2181 54.5

11 3.2 1.36 0.9131

12 24 0.0733 18.3

13 5.2 2.21 0.9864

14 2 0.0125 3.1

15 7.2 3.06 0.9989

16 1 0.0011 0.3

17 9.2 3.91 1.0000

x>>>>17 0 0.0000 0.0

suma 250 1.0000 250

µ = 7.80 σ = 2.35

Porównanie częstości empirycznych z teoretycznymi

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ne

ndw

nnor

x

n

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ne

ndw

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ne

nnor