Starczewski Drgania mechaniczne · 2013. 11. 13. · 2 Kinematyka drgań . ROZDZIAŁ 2 Strona...

Zbigniew Starczewski

Drgania mechaniczne

Warszawa 2010

Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna"

02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel (22) 849 43 07, (22) 234 83 48

ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: [email protected]

Opiniodawca: prof. nzw. dr hab. Zbigniew SKUP

Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK

Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ

Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Piotr KORCZAK-KOMOROWSKI

Publikacja przeznaczona jest dla studentów kierunku

"Edukacja techniczno informatyczna"

Copyright © 2010 Politechnika Warszawska

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany

ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych,

kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw

autorskich.

ISBN 83-89703-45-9

Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawna,

87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4

Spis treści

Wstęp..................................................................... 5

1. Wprowadzenie................................................... 7

2. Kinematyka drgań .......................................... 11

2.1 Pojęcia podstawowe ..................................................................... 12

3. Składanie ruchów harmonicznych .................. 15

3.1 Składanie drgań o takich samych częstościach .......................... 16

3.2 Składanie drgań o różnych częstościach..................................... 17

4. Elementy analizy harmonicznej ...................... 31

4.1 Przekształcenie Fourier’a ........................................................... 32

5. Modelowanie układów drgających.................. 39

6. Układanie równań ruchu ................................. 43

7. Siły w ruchu drgającym................................... 55

8. Krótka klasyfikacja drgań ............................... 63

9. Drgania swobodne liniowego układu drgającego o jednym stopniu swobody (bez tłumienia) ................................................ 67

10. Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody tłumione tarciem wiskotycznym .................... 81

11. Drgania wymuszane układu o jednym stopniu swobody – bez tłumienia... 93

12. Drgania wymuszane liniowego układu drgającego o jednym stopniu swobody z tłumieniem wiskotycznym ......................... 103

13. Drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody wymuszane bezwładnościowo (z tłumieniem) .............................................. 113

14. Drgania układów o jednym stopniu swobody przy wymuszeniu kinematycznym (z tłumieniem) .............................................. 121

15. Amortyzacja drgań ....................................... 131

16. Rejestracja drgań......................................... 137

17. Drgania swobodne układu liniowego o dwóch stopniach swobody – bez tłumienia ............................................. 143

18. Drgania wymuszane układów o dwóch stopniach swobody, tłumienie dynamiczne . 151

19. Literatura...................................................... 163

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu

Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środ-

ków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przezna-

czone są dla studentów studiów inżynierskich kierunku „Edukacja tech-

niczno-informatyczna” prowadzonych na Wydziale Samochodów i Ma-

szyn Roboczych Politechniki Warszawskiej

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. „DRGANIA

MECHANICZNE”. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada

zakresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu.

Całość opracowanych materiałów dydaktycznych dla ww przedmiotu za-

warta została w 18 rozdziałach.

Rozdział 1 został poświęcony ogólnym pojęciom z zakresu drgań, opisa-

ny jest cel badania drgań, możliwości zastosowania ruchów drgających,

a także definicji ruchu drgającego.

Rozdział 2 dostarczy kinematyki ruchów drgających, opisane są podsta-

wowe pojęcia takie jak przemieszczenia w ruchu drgającym okres, drgań

częstość drgań, faza początkowa, definicja ruchu okresowego.

Rozdział 3 poświęcony jest składaniu ruchów drgających o tych samych

częstościach i różnych amplitudach, o różnych częstościach drgań skła-

dowych, omówione zostało pojęcie dudnienia.

Rozdział 4 zawiera elementy analizy harmonicznej co związane jest

z rozwinięciem funkcji okresowej w szereg Fourier`a.

Rozdział 5 poświęcony jest problemom modelowania rzeczywistych

układów drgających. Naturalną konsekwencją procesu modelowania jest

opis matematyczny modelu. Wiąże się to z układaniem równań ruchu.

Metodom układania równań ruchu poświęcony jest rozdział 6.

W równaniach ruchu występują określone siły związane z ruchami

drgającymi. Siły te są opisane w rozdziale 7.

Rozdział 8 zawiera krótką podstawową klasyfikacje drgań. Autor

posłużył się tu podziałem zaproponowanym przez prof. Zbigniewa

Osińskiego.

Rozdziały 9, 10 poświęcone są drganiom swobodnym układów o jednym

stopniu swobody bez tłumienia i z tłumieniem.

Rozdziały 11, 12, 13, 14 poświęcone są drganiom układów o jednym

stopniu swobody z różnymi rodzajami wymuszeń (siłowym, bezwład-

nościowym i kinematycznym). Rozpatrzono pojęcie współczynnika

uwielokrotnienia amplitudy drgań oraz krzywych rezonansowych.

Rozdział 15 przedstawia problematykę amortyzacji drgań, to znaczy

ochronę otoczenia przed skutkami drgań obiektu i ochronę obiektu przed

skutkami drgań otoczenia.

Ważnemu problemowi pomiaru parametrów układów drgających (czę-stość, amplituda, miejsca występowania) poświęcony jest rozdział 16.

Rozdziały 17 i 18 poświęcone są drganiom układów o dwóch stopniach

swobody bez tłumienia (swobodnych) oraz z wymuszeniem harmonicz-

nym. Czytelnik jest wprowadzony w pojęcie tak zwanego tłumienia

dynamicznego.

Należy podkreślić iż do każdego rozdziału wprowadzone są przykłady

zadaniowe pokazujące zastosowanie przedstawionego materiału teore-

tycznego. Przewidziano także dwa ćwiczenia laboratoryjne (krzywe re-

zonansowe belki z wymuszeniem bezwładnościowym oraz badanie

dynamicznego eliminatora drgań) które lepiej utrwalą przedstawiony

materiał teoretyczny i zadaniowy. Myślę, że tak skonstruowane mater-

iały dydaktyczne pomogą słuchaczowi w nabyciu teoretycznych i prak-

tycznych umiejętności z zakresu przedstawionego materiału.

Zajęcia dydaktyczne zdecydowanej większości przedmiotów składają-cych się na program studiów będą realizowane, oprócz wykładu, także

w formie ćwiczeń laboratoryjnych prac projektowych. Dlatego istotną częścią tych materiałów, oprócz prezentacji materiału teoretycznego, są opisy przebiegu ćwiczeń wykonywanych podczas zajęć dydaktycznych

oraz propozycje zadań do samodzielnego wykonania przez słuchaczy.

Tak skonstruowane materiały dydaktyczne pomogą słuchaczom w naby-

ciu praktycznych umiejętności z zakresu posługiwania się technikami

komputerowymi niezbędnych w realizacji współczesnych procesów

projektowo wytwórczych.

1 Wprowadzenie

ROZDZIAŁ 1

Strona 8888

Zachowanie się układów mechanicznych w trakcie drgań jest nieustannie

przedmiotem zainteresowań wielu badaczy i instytucji naukowych.

Chodzi o zbadanie, jaki wpływ mają drgania na wytrzymałość i żywot-

ność, a co za tym idzie niezawodność elementów i maszyn, oraz jakie są przyczyny, źródła drgań, i jak ochronić się przed nimi.

W wyniku drgań elementów maszyn pojawiają się negatywne zjawiska

z których do najważniejszych zaliczamy:

1. Zakłócenia prawidłowości działania maszyn.

Nadmierne drgania mogą spowodować wadliwą, nierównomierną pracę maszyn i urządzeń. Np. w obrabiarkach mogą utrudnić uzyskanie odpo-

wiedniej dokładności obróbki. w elementach złącznych gwintowych,

zaciskowych mogą być przyczyną ich rozłączania się.

2. Zmniejszenie trwałości maszyn i urządzeń. Zjawisko drgań powoduje powstawanie w elementach maszyn zmien-

nych naprężeń co prowadzi poprzez procesy zmęczeniowe do szybszego

ich zużycia. Szczególnie groźne jest to w przypadku wałów maszy-

nowych, łożysk ślizgowych i tocznych, łopatek wirników, wszelkiego

rodzaju elementów zawieszeń.

3. Niekorzystny wpływ drgań na organizm człowieka.

Generalnie wszelkie postacie drgań mają wpływ szkodliwy dla organiz-

mu ludzkiego. Drgania powstające w maszynach roboczych takich jak

młoty pneumatyczne, koparki, żurawie budowlane, walcarki i szereg

innych bywają bardzo często powodami t. zw. chorób zawodowych.

4. Hałas.

Drgania są przyczyną hałasu. Źródła hałasu są różnorakie, są to zarówno

drgania ośrodka (gazy), jak i drgania elementów maszyn i urządzeń.

długotrwałe przebywanie w środowisku o podwyższonym hałasie

wywołuje uczucie zmęczenia, rozdrażnienia, występuje zjawisko stresu,

a często uszkodzenie organów człowieka (głuchota) lub w przypadku

infradźwięków (drgania o bardzo niskich częstotliwościach) wręcz

fizyczne nieodwracalne uszkodzenie tych organów.

WPROWADZENIE

Strona 9999

Generalnie należy mówić o szkodliwości drgań, jednakże bywają one

wykorzystywane z pożytkiem dla człowieka. Występuje to w przypadku

wszelkiego rodzaju przenośników wibracyjnych, przesiewaczy, zagęsz-

czaczy.

Cały oddzielny rozdział to muzyka. Zarówno ta poważna, jak i rozryw-

kowa. Któż z nas nie podziwiał wspaniałych „solówek” wykonanych na

instrumentach dętych, strunowych czy perkusyjnych.

Zdefiniujmy zatem co to jest drganie zwane niekiedy ruchem drgającym.

Według Osińskiego definicja ta ma następujące brzmienie: DRGANIEM

lub RUCHEM DRGAJĄCYM nazywamy taki ruch w którym badana

współrzędna na przemian zbliża się i oddala od pewnej wartości prze-

ciętnej. Wartość ta może być ustalona w czasie. Zwykle przyjmuje się ją zerową w przyjętym układzie współrzędnych. Wartość przeciętna może

też być zmienna w czasie w dowolny sposób.

a) b)

Rysunek 1.1 Ruchy drgające. a) wartość przeciętna równa zero,

b) wartość przeciętna zmienna w czasie

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

`

2 Kinematyka drgań

ROZDZIAŁ 2

Strona 12121212

Pojęcia podstawowe

Podstawowe pojęcia związane z drganiami oparte są na opisie ruchu

harmonicznego prostego. Ruch taki opisany jest równaniem.

)cos( 0ϕω += tax (2.1)

gdzie:

x – współrzędna ruchu drgającego,

a – amplituda drgań,

ω – częstość kątowa drgań,

0ϕ – faza początkowa drgań (przesunięcie fazowe),

t – czas,

Rysunek 2.1 Ilustracja przebiegu drgań w ruchu harmonicznym prostym

i podstawowe parametry tego ruchu

0x – amplituda początkowa,

T – okres drgań.

Pomiędzy częstością f wyrażoną w hercach (wielkość ta zwana jest

przez elektrotechników częstotliwością) i okresem T zachodzą zależności:

ω

π2=T ; f

Tπ

πω 2

2== ;

π

ω

2

1==

Tf (2.2)

KINEMATYKA DRGAŃ

Strona 13131313

Zapis ruchu harmonicznego może być przedstawiony w postaci:

tBtAx ωω sincos += (2.3)

Jeżeli dokonamy podstawienia:

ψcosaA = ; ψsinaB −= (2.4)

tatax ωψωψ sinsincoscos −= (2.5)

)cos(sinsincoscos ψωψωψω +=− ttt

Ostatecznie:

)cos( ψω += tax (2.6)

gdzie w zależności (2.4)

22

BAa += ; A

Btg −=ψ ;

−=

A

Barctgψ (2.7)

Ruch będziemy nazywać okresowym wtedy, gdy spełniona będzie

zależność:

)()( txTtx =+ (2.8)

Należy pamiętać iż każdy ruch harmoniczny jest ruchem okresowym,

natomiast nie każdy ruch okresowy jest ruchem harmonicznym.

ROZDZIAŁ 2

Strona 14141414

`

3 Składanie ruchów harmonicznych

ROZDZIAŁ 3

Strona 16161616

3.1. Składanie drgań o takich samych częstościach

Drganie wypadkowe )(tx jest sumą dwóch drgań harmonicznych o tej

samej częstości kołowej ω i różnych amplitudach a i różnych przesunię-ciach fazowych ϕ .

)sin()sin()( 2211 ϕωϕω +++= tatatx

+=+

+=+

222

111

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

ϕωϕωϕω

ϕωϕωϕω

ttt

ttt (3.1.1)

2222

1111

sincoscossin

sincoscossin)(

ϕωϕω

ϕωϕω

tata

tatatx

+

++= (3.1.2)

Grupując wyrazy z tωcos i tωsin otrzymujemy:

taa

taatx

ωϕϕ

ωϕϕ

sin)coscos(

cos)sinsin()(

2211

2211

++

+= (3.1.3)

Wykonujemy podstawienie:

=+

=+

ψϕϕ

ψϕϕ

coscoscos

sinsinsin

2211

2211

aaa

aaa (3.1.4)

ψωψω cossinsincos)( tatatx += (3.1.5)

Ostatecznie:

)sin()( ψω += tatx (3.1.6)

gdzie z (2.1.2)

( ) ( )2

22

2

11 sinsin ϕϕ aaa += (3.1.7)

+

+=

2211

2211

coscos

sinsin

ϕϕ

ϕϕψ

aa

aaarctg (3.1.8)

SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH

Strona 17171717

Wynika stąd iż drganie wypadkowe będzie też drganiem harmonicznym

o częstości ω . Przypadek ten można uogólnić na sumę n drgań harmo-

nicznych o częstości ω .

)sin()sin()(1

ψωϕω +=+=∑=

=

tatatxni

i

ii (3.1.9)

gdzie:

∑ ∑=

=

=

=

+=ni

i

ni

i

iiii aaa1 1

22)cos()sin( ϕϕ (3.1.10)

=

∑

∑=

=

=

=

ni

i

ii

ni

i

ii

a

a

arctg

1

1

cos

sin

ϕ

ϕ

ψ (3.1.11)

3.2. Składanie ruchów drgań o różnych częstościach

Rozpatrzmy przypadek, gdy wypadkowe drganie )(tx jest sumą dwóch

drgań harmonicznych o różnych częstościach.

)sin()sin()( 222111 ϕωϕω +++= tatatx (3.2.1)

Dla tej postaci równania możemy wyróżnić trzy przypadki:

a) Częstość jednego z drgań składowych jest dużo większa od częstości

drgań drugiego.

)sin()( 1111 ϕω += tatx ; )sin()( 2222 ϕω += tatx

załóżmy że 21 aa < ; 21 ωω << ; 021 == ϕϕ

ROZDZIAŁ 3

Strona 18181818

Rysunek 3.2.1 Przypadek (a), 21 aa < , 21 ωω << , 021 == ϕϕ


Strona 19191919

gdy 21 aa > , 21 ωω << otrzymujemy:

Rysunek 3.2.2 Przypadek (a), 21 ωω << , 21 aa >

ROZDZIAŁ 3

Strona 20202020

b) Częstości drgań składowych różnią się nieznacznie od siebie.

)sin()( 11 ϕω += tatx , )sin()( 22 ttatx ωω ∆+= (3.2.2)

Należy pamiętać iż:

ωω <<∆ , ϕ - przesunięcie początkowe )(1 tx względem )(2 tx .

Drgania wypadkowe otrzymujemy w postaci:

ttaa

ttaatta

ttatata

ttatatxtxtx

ωωϕ

ωωϕωω

ωωϕωϕω

ωωϕω

sin)coscos(

cos)sinsin(sincos

cossinsincoscossin

)sin()sin()()()(

21

212

211

2121

∆++

+∆+=∆+

+∆++

=∆+++=+=

(3.2.3)

Wprowadzając oznaczenia:

)(cos)(coscos

)(sin)(sinsin

21

21

ttAtaa

ttAtaa

Ψ=∆+

Ψ=∆+

ωϕ

ωϕ (3.2.4)

Otrzymujemy ostatecznie:

))(sin()()( tttAtx Ψ+= ω (3.2.5)

gdzie:

2

21

2

21 )coscos()sinsin()( taataatA ωϕωϕ ∆++∆+=

taa

taaarctgt

ωϕ

ωϕ

∆+

∆+=Ψ

coscos

sinsin)(

21

21

Tak więc amplituda zmienia się okresowo od maxA do minA , gdzie:

21min

21max

aaA

aaA

−=

+= (3.2.6)

Drgania mają postać jak na rysunku 3.2.3 i tę postać drgań nazywamy

DUDNIENIEM.


Strona 21212121

Rysunek 3.2.3. Przypadek (b), dudnienie

c) Stosunek częstości drgań składowych wyraża się przez niewielkie

liczby naturalne.

W tym przypadku przebiegi drgania wypadkowego )(tx w zależności od

stosunku amplitud, częstości oraz kątów przesunięcia fazowego może

przyjąć różne formy.

Niech tatx ωsin)( 11 = , )2sin()( 22 ϕω += tatx oraz 22

1 =a

a

Rysunek 3.2.4. Przebieg )()( 21 txtx + dla o0=ϕ

ROZDZIAŁ 3

Strona 22222222

Rysunek 3.2.5 Przebieg )()( 21 txtx + dla o90=ϕ

W przypadku gdy 1ω i 2ω nie są współmierne, to drganie wypadkowe

jest nieokresowe.

Przykład 1.

Ruch punktu opisany jest superpozycją dwóch ruchów opisanych

równaniami:

tx ωsin51 = ,

−=

4sin32

πωtx

Znaleźć amplitudę i przesunięcie fazowe ruchu wypadkowego.

−=⇒=

2cos5sin5 11

πωω txtx

Amplituda A :

43,72

2305

2

23)1(5

)cos()sin(

22

2

1

2

1

22

≅

⋅+⋅+

⋅+−⋅

=+= ∑ ∑=

=

=

=

i

i

i

i

iiii aaA ϕϕ


Strona 23232323

35,3

2

2305

2

23)1(5

cos

sin

2

1

2

1 −=

⋅+⋅

⋅−−⋅==

∑

∑=

=

=

=

i

i

ii

i

i

ii

a

a

tg

ϕ

ϕ

ψ

Przykład 2.

Ruch punktu opisany jest równaniami :

tx ωcos51 = ; tx ωsin532 −=

Znaleźć tor punktu.

Równanie parametryczne na 1x i 2x możemy przedstawić w postaci:

tx

ωcos5

1 = ; tx

ωsin5

32 −=−

Podnosząc obustronnie do kwadratu i dodając do siebie stronami

otrzymujemy:

ttxx

ωω 222

2

2

1 sincos25

)3(

25+=

−+

Czyli ostatecznie:

125

)3(

25

2

2

2

1 =−

+xx

Rysunek 3.2.6 Trajektoria punktu którego ruch opisują równania 1x i 2x

ROZDZIAŁ 3

Strona 24242424

Jest to równanie okręgu o promieniu r = 5 i środku przesuniętym o 3

wzdłuż osi 2x .

Przykład 3.

Znaleźć tor punktu opisanego równaniami:

+=

2cos4

πωtx ;

−=

2cos7

πωty

tttt

tttt

ωπ

ωπ

ωπ

ω

ωπ

ωπ

ωπ

ω

sin2

sinsin2

coscos2

cos

sin2

sinsin2

coscos2

cos

=+=

−

−=−=

+

Zatem:

tx ωsin4−= ; ty ωsin7=

Stąd:

xy4

7−=

Jest to równanie prostej przedstawionej na rysunku 3.2.7.

Rysunek 3.2.7 Prosta opisana równaniami x i y

Przykład 4.

Znaleźć tor punktu opisany równaniami:

tx ωsin53 += ; ty ωcos37 +=


Strona 25252525

Równania możemy łatwo przekształcić w postać:

tx

ωsin5

3=

−; t

yωcos

3

7=

−

Podnosząc obustronnie do kwadratu i dodając stronami, otrzymujemy:

19

)7(

25

)3( 22

=−

+− yx

Jest to równanie elipsy o środku określonym współrzędnymi x = 3,

y = 7 i ramionach 3 i 5, przedstawionej na rysunku 3.2.8.

Rysunek 3.2.8 Elipsa opisana równaniami x i y

Przykład 5.

Znaleźć tor punktu poruszającego się zgodnie z równaniami:

)sin(

)cos(

βω

αω

+=

+=

tby

tax

Równanie drugie możemy przedstawić w formie:

)sin( ααβω −++= tby

Zauważmy iż w wyrażeniu w nawiasach dodaliśmy i odjęliśmy to samo

wyrażenie α , zatem:

)]sin()cos(

)cos()[sin()]()sin[(

αβαω

αβαωαβαω

−++

+−+=−++=

t

tbtby

ROZDZIAŁ 3

Strona 26262626

Z równania pierwszego otrzymujemy:

)cos( αω += ta

x

Zatem:

2

1)sin(

−=+

a

xt αω

Uwzględniając ostatecznie wyrażenie w równaniu na y mamy:

−+−

−= )sin()cos(1

2

αβαβa

x

a

xby

Stąd:

)cos(1)sin(

2

αβαβ −

−=−−

a

x

a

x

b

y

Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

)(cos1

)(sin)sin(2

2

2

2

22

αβ

αβαβ

−

−

=−

+−−

a

x

a

x

ab

xy

b

y

Po uproszczeniu:

[ ]

)(cos

)(cos)(sin)sin(2

2

22

22

αβ

αβαβαβ

−

=−+−

+−−

a

x

ab

xy

b

y

Uwzględniając jedynkę trygonometryczną otrzymujemy ostatecznie:

)(cos)sin(2 2

22

αβαβ −=

+−−

a

x

ab

xy

b

y


Strona 27272727

Jak widać charakter trajektorii będzie zależał od wyrażenia )( αβ − .

a) gdy: παβ ⋅=− k ; ,.....4,2,0=k

0)sin( =−αβ ; 1)cos( =−αβ

Dla takich wartości funkcji równanie trajektorii ma postać:

1

22

=

+

a

x

b

y

Jest to równanie elipsy o środku umieszczonym w punkcie )0;0(

przyjętego kartezjańskiego układu współrzędnych,

b) gdy: ππ

αβ ⋅+=− k2

; ,.....4,2,0=k

1)sin( =−αβ ; 0)cos( =−αβ

Równanie trajektorii przyjmuje postać:

02

22

=

+−

a

x

ab

xy

b

y, czyli 0

2

=

−

a

x

b

y

Ostatecznie:

xa

by =

Jest to równanie prostej o współczynniku kierunkowym a

b i

przechodzącej przez środek układu współrzędnych,

c) gdy: ππ

αβ ⋅+=− k2

; ,.....5,3,1=k

1)sin( −=−αβ ; 0)cos( =−αβ

ROZDZIAŁ 3

Strona 28282828

a)

b)

c)

Rysunek 3.2.9 Trajektorie punktu opisane równaniem końcowym z przykładu 5

Równanie trajektorii przyjmuje postać:

02

22

=

++

a

x

ab

xy

b

y, czyli 0

2

=

−

a

x

b

y

ostatecznie:


Strona 29292929

xa

by −=

Jest to równanie prostej o współczynniku kierunkowym a

b− i

przechodzącej przez środek układu współrzędnych.

Przypadki a), b), c) obrazuje rysunek 3.2.9.

Przykład 6.

Ruch drgający punktu jest wypadkową następujących składowych:

)15sin(41 tx = ; )16sin(42 tx =

Ponieważ mamy do czynienia niewielką różnicą prędkości kątowych na

pewno wystąpi zjawisko dudnienia. Należy wyznaczyć maksymalne i

minimalne wartości amplitud, częstość oraz okres dudnień.

044

844

21min

21max

=−=−=

=+=+=

aaa

aaa

Częstość dudnień:

=−=−=

sd

11151612 ωωω

Okres dudnień:

[ ]sTd

d ππ

ω

π2

1

22===

Przebieg wypadkowy ilustruje rysunek 3.2.10.

ROZDZIAŁ 3

Strona 30303030

Rysunek 3.2.10 Wypadkowa trajektoria punku z przykładu 6

`

4 Elementy analizy harmonicznej

ROZDZIAŁ 4

Strona 32323232

4.1. Przekształcenie Fourier’a

Dowolny przebieg drgań okresowych można rozłożyć na sumę składo-

wych harmonicznych. Analiza harmoniczna polega na rozwinięciu

funkcji )(tx o okresie T w tak zwany szereg Fourierà.

Szereg ten możemy przedstawić w następującej formie:

)sincos(2

)(1

0 tnbtnaa

txi

i

nn ωω∑∞=

=

++= (4.1)

Przy czym:

T

πω

2= (4.2)

Poszczególne współczynniki szeregu Fourierà wyrażone są następujący-

mi zależnościami:

∫=T

dttxT

a0

0 )(2

(4.3)

dttntxT

a

T

n ∫=0

cos)(2

ω , ......3,2,1,0=n (4.4)

dttntxT

b

T

n ∫=0

sin)(2

ω , ......3,2,1=n (4.5)

Kolejny wyraz szeregu Fourierà jest nazywany n –tą harmoniczną

drgań okresowych. Wyraz wolny 0a nazywamy składową stałą drgań.

Pierwsza harmoniczna nazywana jest harmoniczną podstawową.

Dla scharakteryzowania składowych harmonicznych drgań okresowych

stosuje się tak zwane widmo funkcji będące zbiorem par liczb, a miano-

wicie kolejnych częstości nω oraz sumy kwadratów odpowiadających

im amplitud.

222

nnn Aba =+

ELEMENTY ANALIZY HARMONICZNEJ

Strona 33333333

Rysunek 4.1.1 Widmo funkcji

Najczęściej zdarza się, że harmoniczne wyższego rzędu mają małe

amplitudy, wtedy można przybliżoną funkcję wyrazić przez tak zwany

wielomian Fourieraà.

∑ +=N

nn tnbtnatx1

)sincos()( ωω (4.6)

Oczywiste jest, że im więcej harmonik uwzględniamy tym bardziej

dokładnie rozwijana funkcja w szereg Fourieraà oddaje oryginał.

Przykład 1.

Znaleźć widmo funkcji przedstawionej na rysunku 4.1.2.

Rysunek 4.1.2 Przebieg badanej funkcji

Łatwo zauważyć iż okres funkcji wynosi 2π , a częstość 1. Poszczególne

współczynniki szeregu Fourieraà obliczamy z zależności (4.3), (4.4),

(4.5).

ROZDZIAŁ 4

Strona 34343434

ππ

ππ

π

π

ππ

==+== ∫∫∫2

0

00

0 02

2

2

2)(

2tdtdtdttx

Ta

T

0sin1

cos2

2coscos

cos02

2cos

2

2cos)(

2

000 0

0

2

0

=−===

=+==

∫∫ ∫

∫ ∫∫πππ π

π π

π

π

πω

ωπ

ωππ

ωπ

ntn

ntdttdtntdtn

tdtntdtntdtntxa

T

n

)cos1(1

1cos

1cos

1sin

2

2sinsin

sin02

2sin

2

2sin)(

2

000 0

0

2

0

π

ππ

πω

ωπ

ωππ

ωπ

πππ π

π π

π

−

=+−====

=+==

∫∫ ∫

∫ ∫∫

n

nn

nnt

nntdttdtntdtn

tdtntdtntdtntxb

T

n

Gdy n – parzyste, wtedy 0=nb , gdy n – nieparzyste, wtedy n

bn

2= .

Zatem poszczególne współczynniki 2

nA będą wynosić:

44,0

4

2

3

2

3

2

1

2

1

22

0

2

0

≅=

==

==

bA

bA

aA π

Rysunek 4.1.3 Widmo funkcji wyznaczone w przykładzie 1


Strona 35353535

Przykład 2.

Wyznaczyć współczynniki widma funkcji określonej zależnością:

+=

3sin)(

4 πωttx

Powyższe współrzędne możemy podać jako iloczyn:

+⋅

+=

3sin

3sin)(

22 πω

πω tttx

Ale:

2

32cos1

3sin 2

+−

=

+

πω

πω

t

t

Zatem:

=

++

+−=

=

+−⋅

+−=

=

+−

⋅

+−

=

32cos

32cos1

4

1

32cos1

32cos1

4

1

2

32cos1

2

32cos1

)(

2 πω

πω

πω

πω

πω

πω

tt

tt

tt

tx

ROZDZIAŁ 4

Strona 36363636

++

+−=

=

+++

+−=

=

+++

+−=

=

++

=

+=

πωπω

πωπω

πω

πω

πω

πω

3

44cos

8

1

3

22cos

2

1

8

3

3

44cos

8

1

8

1

3

22cos

2

1

4

1

34cos1

8

1

32cos

2

1

4

1

2

34cos1

32cos2

tt

tt

tt

t

t

Ale:

πωπωπω

πωπωπω

3

4sin4sin

3

4cos4cos

3

44cos

3

2sin2sin

3

2cos2cos

3

22cos

ttt

ttt

−=

+

−=

+

Tak więc:

tttt

tt

tt

tt

tttx

ωωωω

ωω

ωω

πωπω

πωπω

4sin16

34cos

16

12sin

4

32cos

4

1

8

3

4sin2

34cos

2

1

8

1

2sin2

32cos

2

1

2

1

8

3

3

4sin4sin

3

4cos4cos

8

1

3

2sin2sin

3

2cos2cos

2

1

8

3)(

+−++=

=

+−+

+

−−−=

=

−+

+

−−=

Z powyższej analizy:

4

3

8

3

20

0 =⇒= aa


Strona 37373737

01 =a ; 01 =b

4

12 =a ;

4

32 =b

03 =a ; 03 =b

16

14 −=a ;

16

34 =b

Rysunek 4.1.4 Widmo funkcji analizowanej w przykładzie 2

ROZDZIAŁ 4

Strona 38383838

`

5 Modelowanie układów drgających

ROZDZIAŁ 5

Strona 40404040

Gdy przystępujemy do analizy drgań konkretnego układu musimy przed-

stawić układ rzeczywisty w postaci modelu o mniejszym lub większym

stopniu komplikacji. W skład takiego modelu wchodzą punkty ma-

terialne, ciała sztywne, ciała odkształcalne o masach różnych od zera,

ciała odkształcalne o masach przyjmowanych jako zerowe. Proces

modelowania polega na wprowadzaniu pewnych uproszczeń w stosunku

do rzeczywistego układu drgającego. Gdy do analizy przyjęlibyśmy

układ rzeczywisty okazałoby się iż bardzo skomplikowana (niekiedy

wręcz niemożliwa) analiza dawała by niewiele lepsze rezultaty niż jej

uproszczony model.

Położenie modelu określa się współrzędnymi uogólnionymi. Jeżeli anali-

zowany układ składa się ze skończonej liczby punktów materialnych lub

ciał sztywnych, to liczba współrzędnych uogólnionych jest skończona.

Gdy mamy do czynienia z ciałami odkształcalnymi o masach rozłożo-

nych w sposób ciągły, wtedy liczba współrzędnych uogólnionych jest

nieskończenie wielka i mówimy że analizowany układ ma nieskończenie

wielką liczbę stopni swobody. W naszych rozważaniach będziemy zaj-

mować się układami o skończonej liczbie stopni swobody. Szczególnym

przypadkiem tych układów jest układ o jednym stopniu swobody.

Ewolucje procesu modelowania prześledzimy na prostym przykładzie

n.p. samochodu.

Rysunek 5.1 Model pojazdu jako układ o jednym stopniu swobody

MODELOWANIE UKŁADÓW DRGAJĄCYCH

Strona 41414141

Pojazd przedstawiony został jako ciało o masie m z elementami zawie-

szenia (sztywność k , oraz tłumik o współczynniku tłumienia c ),

wykonujące drgania pionowe wywołane oddziaływaniem funkcji opisa-

nej drogą )(sf . Łatwo zauważyć iż ten najprostszy model ma jeden sto-

pień swobody, a ruch ciała o masie m , określany jest jedną współrzędną x , będącą jego przemieszczeniem.

Nawet kompletna „noga” techniczna zauważy iż model przedstawiony

na rysunku 5.1 ma mało wspólnego z rzeczywistym pojazdem. Spróbuj-

my zatem nieco skomplikować badany układ samochodu.

Rysunek 5.2 Model pojazdu jako układ o dwóch stopniach swobody

Widać iż przedstawiony na rysunku 5.2 model pojazdu trochę zbliżył się do rzeczywistości. Ma on teraz dwa stopnie swobody, resorowana masa

pojazdu może poruszać się niezależnie pionowo i jednocześnie wykony-

wać ruch obrotowy wokół środka masy z . Tak więc jego ruch opisany

jest dwoma współrzędnymi, przemieszczeniem x i kątem obrotu ϕ . Ko-

lejny etap przybliżania modelu do rzeczywistości obrazuje rysunek 5.3.

W modelu tym uwzględniono sztywności opk , tłumienie opc opon pojaz-

du i masy kół km .

Nastąpiło dalsze powiększenie liczby stopni swobody modelu. Zwięk-

szyła się liczba współrzędnych opisujących ruch masy resorowanej.

Zwiększyła się zatem liczba równań opisujących ten model.

ROZDZIAŁ 5

Strona 42424242

Rysunek 5.3 Model pojazdu w którym uwzględniono masę kół, oraz współczynniki sztywności i tłumienia opon

Proces modelowania powinniśmy zakończyć na tym stopniu komplika-

cji, który pozwoli poznać najwłaściwsze parametry drganiowe analizo-

wanego układu rzeczywistego.

`

6 Układanie równań ruchu

ROZDZIAŁ 6

Strona 44444444

Mając stworzony mniej lub bardziej przybliżony model rzeczywistego

układu drgającego możemy pokusić się o jego opis matematyczny co

pozwoli na dalszą analizę jego parametrów drganiowych. Równania

ruchu stworzonego układu materialnego można wyprowadzić za pomocą dowolnej z metod poznanej z wykładu z mechaniki. w szczególnie

w prostych przypadkach gdy w grę wchodzą układy o jednym stopniu

swobody można zastosować bezpośrednio II zasadę dynamiki Newtona

lub metodą energetyczną. Dla układów bardziej złożonych wygodniej

posłużyć się równaniami Lagrange`a drugiego rodzaju. Przybliżmy te

trzy metody.

a) Metoda Newtona

Rozpatrzmy układ o jednym stopniu swobody składający się z ciała

o masie m mogącego poruszać się pionowo, pobudzanego do drgań siłą P , podpartego elementami sztywnymi o sztywności k , i elementami

tłumiącymi o współczynniku tłumienia c . Układ przedstawiony jest na

rysunku 6.1.

Rysunek 6.1 Rozpatrywany model i układ sił działających na ciało o masie m

Zgodnie z przyjętym układem współrzędnych równanie równowagi sił

będzie następujące:

0=−−++ RSBGP (6.1)

UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU

Strona 45454545

gdzie:

P - siła zewnętrzna,

B - siła bezwładności,

G - obciążenie układu,

S - siła indukowana w elemencie sprężystym,

R - siła oporu.

Podstawiając pod poszczególne oznaczenia konkretne zależności, rów-

nanie (6.1), stanie się równaniem ruchu analizowanego układu.

b) Metoda energetyczna

Dla układów zachowawczych, to znaczy takich, w których całkowita

energia układu pozostaje niezmienna w czasie ruchu, możemy układać równania ruchu w oparciu o zasadę:

constEE PK =+ (6.2)

gdzie:

KE - energia kinetyczna,

PE - energia potencjalna.

Różniczkując po czasie zależność (6.2) otrzymujemy:

0)( =+ PK EEdt

d (6.3)

W zastosowaniu do układów drgających, równanie (6.3) staje się równa-

niem ruchu.

c) Metoda z zastosowaniem równania Lagrange`a II rodzaju

Równanie Lagrange`a dla układów holonomicznych ma postać:

jj

j

K

j

P

j

K RQq

E

q

E

q

E

dt

d−=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

& (6.4)

ROZDZIAŁ 6

Strona 46464646

gdzie:

KE - energia kinetyczna układu drgającego,

PE - energia potencjalna układu drgającego,

)(tQQ jj = - zewnętrzna siła uogólniona odpowiadająca

współrzędnej uogólnionej jq .

jR - uogólniona siła oporu, odpowiadająca współrzędnej

uogólnionej jq skierowana przeciwnie do jQ .

Po wykonaniu operacji różniczkowania zgodnie z zależnością (6.4) uzys-

kujemy bezpośrednio równania ruchu układu drgającego.

Przykład 1.

Wyznaczyć sztywność zastępczą sprężyn oraz wyznaczyć równania

ruchu układu jak na rysunku 6.2 stosując metodę Newtona, energetyczną

i równania Lagrange`a II rodzaju. Dane: 1k , 2k , 3k , 4k , 5k , 6k , G .

Rysunek 6.2 Model układu analizowany w przykładzie 1

W pierwszym etapie należy znaleźć sztywność zastępczą elementów

sprężystych. Sprężyny 1k i 2k są połączone szeregowo. Ich sztywność

zastępcza 12k wynosi:


Strona 47474747

2112

111

kkk+= stąd

21

21

12

1

kk

kk

k ⋅

+=

Czyli:

21

21

12kk

kkk

+

⋅=

Tak samo postępujemy w przypadku elementów sprężystych 3k i 4k .

43

43

34kk

kkk

+

⋅=

Elementy 12k , 34k , 5k i 6k stanowią sobą połączenie równoległe, zatem

sztywność wypadkowa Wk jest równa sumie poszczególnych sztyw-

ności:

653412 kkkkkW +++=

Zgodnie z zależnością (6.1) na układ działają siły:

xg

GxmB &&&& −=−= - siła bezwładności,

mgG = - obciążenie układu,

)( stW lxkS += - reakcja elementów sprężystych,

gdzie:

W

stk

Gl = - ugięcie statyczne elementów sprężystych wywołane

obciążeniem G ,

Zatem:

0=−+ SGB

ROZDZIAŁ 6

Strona 48484848

0=

+−+−

W

Wk

Gxkmgxm &&

0=−−+− mgxkmgxm W&&

Ostatecznie:

0=+ xkxm W&& ; 0=+ xkx

g

GW

&&

Jest to równanie ruchu układu z rysunku 6.2 określone metodą Newtona.

Dla zastosowania metody energetycznej konieczne jest określenie

energii kinetycznej i potencjalnej.

Energia kinetyczna układu:

22

2

1

2

1x

g

GxmEK

&& ==

Energia potencjalna układu:

2

2

1xkE WP =

Korzystając z równania (6.3) otrzymujemy:

02

1

2

1 22 =

+ xkx

g

G

dt

dW

&

022

12

2

1=+ xxkxx

g

GW

&&&&

0=+ xkxg

GW

&&

Metoda równania Lagrange`a II rodzaju.

Korzystając z równania (6.4) otrzymujemy:


Strona 49494949

xg

Gx

g

G

dt

d

x

E

dt

d K&&&

&=

=

∂

∂

xkx

EW

P =∂

∂

0=∂

∂

x

EK

0=jQ

0=jR

Zatem:

0=+ xkxg

GW

&&

We wszystkich trzech przypadkach otrzymaliśmy to samo równanie

opisujące ruch układu.

Jak wspomnieliśmy metoda Newtona „sprawdza się” przy stosunkowo

prostych układach drgających (zwykle o jednym stopniu swobody),

metoda energetyczna ma silne ograniczenia w postaci takiej iż układ

musi być autonomiczny. Najwygodniej jest stosować metodę równania

Lagrange`a II rodzaju, i w następnych przykładach będziemy właśnie ją stosować.

Przykład 2.

Określić za pomocą równania Lagrange`a II rodzaju równanie ruchu

układu jak na rysunku 6.3.

Dane: sztywności elementów sprężystych 1k , 2k , 3k , 4k , 5k , 6k ,

Współczynniki tłumienia 1c , 2c , ciężar ciała G , )(tP – siła wymusza-

jąca, x – przemieszczenie ciała (współrzędna uogólniona).

ROZDZIAŁ 6

Strona 50505050


Sztywność zastępcza Wk :

321

213132

321123

1111

kkk

kkkkkk

kkkk

++=++=

czyli:

213132

321

123kkkkkk

kkkk

++=

12354 kkkkW ++=

Zastępczy współczynnik tłumienia:

21 cccW +=

Energia kinetyczna rozpatrywanego układu:

22

2

1

2

1xm

g

GxmEK

&& ==

Energia potencjalna:

2

2

1xkE WP =


Strona 51515151

Siła oporu (rozpraszająca):

xcR Wj&=

Siła wymuszająca:

)(tPQ j =

Wyznaczamy poszczególne człony równania Lagrange`a II rodzaju.

xg

Gx

g

G

dt

d

x

E

dt

d K&&&

&=

=

∂

∂

xkx

EW

K =∂

∂

Podstawiając do równania (6.4) otrzymujemy:

)(tPxkxcxg

GWW =++ &&&

Ostatecznie:

)()(213132

3215421 tPx

kkkkkk

kkkkkxccx

g

G=

+++++++ &&&

Przykład 3.

Określić równania ruchu układu jak na rysunku (6.4). Metodą równania

Lagrange`a II rodzaju.

Dane: 1G , 2G , 2k , 3k , )(tP , rysunek 6.4.

Układ ma dwa stopnie swobody, czyli może wykonywać dwa niezależne

od siebie ruchy. Przemieszczenia ciał o ciężarach 1G , 2G wynoszą 1x ,

2x .

ROZDZIAŁ 6

Strona 52525252



2

22

2

112

1

2

1xmxmEK&& +=

g

Gm 1

1 = ; g

Gm 2

2 =

Zatem energia kinetyczna wynosi:

2

222

11

2

1

2

1x

g

Gx

g

GEK

&& +=

Energia potencjalna indukowana w sprężynach wynosi:

2

23

2

2122

1)(

2

1xkxxkEP +−=

Poszczególne człony równania (6.4):


Strona 53535353

11

1

xg

G

x

E

dt

d K&&

&=

∂

∂; 2

2

2

xg

G

x

E

dt

d K&&

&=

∂

∂

Energię potencjalną możemy przedstawić w wygodnej formie:

2

23

2

22212

2

122

1

2

1

2

1xkxkxxkxkEP ++−=

zatem:

)( 2122212

1

xxkxkxkx

EP −=−=∂

∂

23122232212

2

)( xkxxkxkxkxkx

EP +−=++−=∂

∂

Ostatecznie równania ruchu przyjmują postać:

)()( 21211 tPxxkx

g

G=−+&&

0)( 2312222 =+−+ xkxxkx

g

G&&

Przykład 4.

Określić równania ruchu dla układu jak na rysunku 6.5, metodą równa-

nia Lagrange`a II rodzaju. Układ posiada trzy stopnie swobody.


Dane: Momenty bezwładności krążków 1I , 2I , 3I , sztywności na skrę-

canie wałów łączących 1k , 2k , 3k , moment wymuszający drgania M(t).

ROZDZIAŁ 6

Strona 54545454


2

33

2

22

2

112

1

2

1

2

1ϕϕϕ &&& IIIEK ++=

gdzie: 1ϕ , 2ϕ , 3ϕ - kąty skręcania poszczególnych wałów o momen-

tach bezwładności tarcz 1I , 2I , 3I .

Energia potencjalna układu:

2

233

2

122 )(2

1)(

2

1ϕϕϕϕ −+−= kkEP

Energię potencjalną przedstawmy w wygodnej do różniczkowania

formie:

2

23323

2

33

2

12212

2

222

1

2

1

2

1

2

1ϕϕϕϕϕϕϕϕ kkkkkkEP +++++=

Poszczególne człony równania (6.1).

11

1

ϕϕ

&&&

IE

dt

d K =

∂

∂; 22

2

ϕϕ

&&&

IE

dt

d K =

∂

∂; 33

3

ϕϕ

&&&

IE

dt

d K =

∂

∂

1222

1

ϕϕϕ

kkEP +−=

∂

∂; 23331222

2

ϕϕϕϕϕ

kkkkEP +−+=

∂

∂

2333

3

ϕϕϕ

kkEP +=

∂

∂

Podstawiając do równania (6.4) otrzymamy:

0)( 21211 =−+ ϕϕϕ kI &&

)()()( 32312222 tMkkI =−+−+ ϕϕϕϕϕ&&

0)( 23333 =−+ ϕϕϕ kI &&

Powyższy układ trzech równań opisuje ruch rozpatrywanego układu.

`

7 Siły w ruchu drgającym

ROZDZIAŁ 7

Strona 56565656

Ogólne równanie różniczkowe drgań układu o jednym stopniu swobody

możemy zapisać w formie:

0),,( =+ txxFxm &&& (7.1)

Dla wielu przypadków siła ),,( txxF & może być przedstawiona jako

superpozycja składników z których każdy będzie zależał od jednej

z wymienionych wielkości:

)()()(),,( tGxRxStxxF ++= && (7.2)

Uwzględniając ostatecznie równanie ruchu drgającego może być przedstawione w następującej formie:

)()()( tfxSxRxm =++ &&& (7.3)

gdzie: )()( tGtf −=

Gdy siła sprężysta )(xS i siła tłumienia )(xR & są liniowymi funkcjami

przemieszczenia x i prędkości x& , równanie (7.3) możemy przedstawić w formie:

)(tfkxxcxm =++ &&& (7.4)

Siła która jest zależna od przemieszczenia , jako funkcja )(xS

nazywana jest siłą restytucyjną lub wznawiającą. Możemy

wyróżnić dwa rodzaje sił restytucyjnych:

SIŁY W RUCHU DRGAJĄCYM

Strona 57575757

a) grawitacyjna

Rysunek 7.1 Charakter siły restytucyjnej grawitacyjnej

Składowa ϕcosmg , napięcie nici o długości l . Składowa

ϕsinmg jest siłą wznawiającą grawitacyjną.

b) sprężysta

Powstawanie sił restytucyjnych sprężystych jest związane z

właściwościami sprężystymi zastosowanych materiałów

konstrukcyjnych. Przykłady sił restytucyjnych sprężystych

przedstawiono na rysunku 7.2

W rozpatrywanych przez nas układach liniowych zależność pomiędzy

siłą sprężystą i przemieszczeniem ciała jest linią prostą. Zależność ta

występuje dla ciał które spełniają prawo Hook`a oraz przy małych

odkształceniach.

Siły zależne od prędkości są w drganiach siłami oporu (rozpraszają energię). Skierowane są przeciwnie do zwrotu prędkości. Siły

rozpraszające powodują tłumienie drgań. Charakterystyka tłumienia to

zależność siły oporu od prędkości.

ROZDZIAŁ 7

Strona 58585858

l - długość belki

E - moduł Young`a

J - moment bezwładności

G - moduł Kirchoffa

Rysunek 7.2 Przykłady siły restytucyjnej sprężystej

W układach drgających liniowych siła oporu jest zależna liniowo od

prędkości. Mówimy wtedy o tak zwanym tarciu (tłumieniu)

wiskotycznym.


Strona 59595959

xcxR && =)( (7.5)

gdzie: c - współczynnik tłumienia

Należy podkreślić, że siła oporu wiskotycznego występuje przy ruchu

ciała w płynie lepkim. Musi też być zachowany przepływ laminarny

(warstwowy) cieczy. Występuje to zwykle przy małych prędkościach

ciała.

Siły zależne tylko od czasu, a niezależne od przemieszczenia i prędkości

nazywamy siłami wymuszającymi. Siły te mogą mieć charakter

okresowy oraz krótkotrwały (impulsowy). Siły impulsowe

wyprowadzają układ z położenia równowagi, po czym drga on z

częstotliwością drgań własnych zależną od parametrów układu. Możemy

wyróżnić następujące typowe siły wymuszające:

a) Siła okresowa harmoniczna o stałej amplitudzie.

tAtf νsin)( =

gdzie:

A - stała amplituda,

ν - częstość siły wymuszającej,

t - czas.

b) Siła okresowa wynikająca z niewyważenia wirującego ciała względem

osi obrotu (wymuszenie bezwładnościowe).

trmtf d νν sin)( 2=

gdzie:

dm - niewyważone ciało o masie dm ,

r - promień niewyważenia,

ν - częstość wymuszenia,

t - czas.

Siła ta jest szczególnie niebezpieczna, jej amplituda jak widać zależy od

kwadratu prędkości.

ROZDZIAŁ 7

Strona 60606060

c) Wymuszenie kinematyczne.

Rysunek 7.3 Idea wymuszenia kinematycznego

Punkt zamocowania sprężyny wykonuje ruch okresowy opisany

zależnością:

tAu νsin=

gdzie:

A - amplituda przemieszczenia punktu zamocowania sprężyny,

ν - częstość drgań punktu zamocowania.

Zatem całkowite odkształcenie sprężyny )(ξ , będzie różnicą przemiesz-

czeń dolnego i górnego końca.

tAxux νξ sin−=−=

Siła sprężysta indukowana w sprężynie:

tkAkxxS νsin)( −−=

Widać że siła sprężysta może być rozdzielona na siłę zależną od

przemieszczenia ciała x i siłę zewnętrzną zależną od czasu.

d) Wymuszenie impulsowe.

W tym typie wymuszenia może to być jeden krótkotrwały impuls wytrą-cający układ drgający z położenia równowagi lub seria impulsów

następujących po sobie.


Strona 61616161

Rysunek 7.4 Przykłady wymuszeń impulsowych

ROZDZIAŁ 7

Strona 62626262

`

8 Krótka klasyfikacja drgań

ROZDZIAŁ 8

Strona 64646464

Drgania klasyfikujemy w różny sposób. Przytoczmy klasyfikację zaproponowaną przez Z. Osińskiego.

Według Z. Osińskiego możemy rozważać:

a) drgania o jednym stopniu swobody,

b) drgania o skończonej liczbie stopni swobody,

c) drgania układów o masach rozłożonych w sposób ciągły (nieskoń-czenie wielka liczba stopni swobody).

Drgania mogą być:

a) swobodne, gdy nie ma siły wymuszającej, wymuszenie jest poprzez

warunki początkowe (początkowe przemieszczenie, początkowa

prędkość, zadane układowi drgającemu),

b) wymuszone, gdy układ drgający poddany jest działaniu jednej

z omawianych w poprzednim punkcie sił wymuszających,

c) samowzbudne, gdy układ nie jest poddany jawnemu działaniu siły

zewnętrznej, ale istnieje doprowadzenie energii sterowane przez sam

układ drgający.

Układy na które nie działają siły zewnętrzne nazywamy autonomiczny-

mi, a te na które działają siły zewnętrzne nieautonomicznymi.

Drganiami parametrycznymi nazywamy drgania układów w których

parametry takie jak masa lub sztywność zależą od czasu (najczęściej

w sposób okresowy). Układy te są opisane równaniami różniczkowymi

o zmiennych współczynnikach.

Jeżeli drgania opisane są przez równania różniczkowe liniowe, to

mówimy o drganiach liniowych. Ich charakterystyki sprężyste i tłumie-

nia są liniami prostymi.

Jeżeli charakterystyki sprężyste i tłumienia są nieliniowe, układ drgający

jest opisany równaniami różniczkowymi nieliniowymi i mamy wtedy do

czynienia z drganiami nieliniowymi.

KRÓTKA KLASYFIKACJA DRGAŃ

Strona 65656565

Drgania nazywamy tłumionymi, jeżeli w układzie drgającym występuje

rozproszenie energii, oraz nietłumionymi gdy nie ma rozproszenia

energii.

ROZDZIAŁ 8

Strona 66666666

`

9

Drgania swobodne liniowego układu drgającego o jednym stopniu swobody (bez tłumienia)

ROZDZIAŁ 9

Strona 68686868

Rozpatrzmy układ przedstawiony na rysunku 9.1.

Rysunek 9.1 Rozpatrywany model układu

Układ wykonuje drgania pionowe. Dane: element sprężysty o sztywności

k , ciało o masie m .

Równanie ruchu układu:

0=+ kxxm && (9.1)

Jeżeli podzielimy obie strony równania przez masę, otrzymamy:

02

0 =+ xx ω&& (9.2)

gdzie:

m

k=0ω (9.3)

Zależność (9.3) nazywamy częstością drgań własnych.

Rozwiązanie równania (9.2) przewidujemy w postaci:

tCtCx 0201 sincos ωω += (9.4)

DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA)

Strona 69696969

Stałe 1C i 2C wyznaczamy z warunków początkowych albowiem

w chwili 0=t , 0)0( xtx == , a prędkość 0)0( Vtx ==& .

tCtsimCx 002001 cosωωωω +−=& (9.5)

Stosując warunki początkowe na przemieszczenie z równania (9.4)

otrzymujemy:

0sin0cos 02010 ωω CCx += (9.6)

stąd:

01 xC = (9.7)

Stosując warunek początkowy na prędkość otrzymujemy:

0cos0sin 0020010 ωωωω CCV +−= (9.8)

Stąd:

0

02

ω

VC = (9.9)

Zatem ostatecznie rozwiązanie z uwzględnieniem stałych 1C i 2C ma

postać:

tV

txx 0

0

000 sincos ω

ωω += (9.10)

Formułę (9.10) możemy zapisać w postaci:

)sin( 0 ψω += tax (9.11)

ψsin0 ax = ; ψω

cos0

0 aV

= (9.12)

Wyrażenia (9.12) podniesione do kwadratu i dodane stronami dają:

2

0

2

02

0ω

Vxa += (9.13)

ROZDZIAŁ 9

Strona 70707070

0

00

V

xtg

ωψ = (9.14)

Ciało będzie wykonywać ruch harmoniczny o stałej amplitudzie i fazie,

zależnej od warunków początkowych i częstości 0ω zależnej od parame-

trów układu.

Przykład 1.

Wskazówka przyrządu pomiarowego ma masę m i zamocowana jest jak

na rysunku. Wskazówka wykonuje małe drgania wokół punktu 0 na

skali. Wyznaczyć częstość drgań własnych jeżeli sztywności sprężyn

podtrzymujących ją mają sztywność k , a sztywność sprężyny na

skręcanie w punkcie zamocowania wynosi skrk . Długość wskazówki

wynosi l .

Rysunek 9.2 Układ rozpatrywany w przykładzie 1

Współrzędną określającą przemieszczenie końca wskazówki jest kąt ϕ .

Energia kinetyczna wskazówki (ruch obrotowy wokół punktu A ):

2

2

1ϕ&IEK =

gdzie: I - moment bezwładności wskazówki.

2

3

1mlI =

Zatem ostatecznie energia kinetyczna wskazówki:

22

6

1ϕ&mlEK =


Strona 71717171

Energia potencjalna związana z wychyleniem będzie magazynowana

w sprężynach k , k i skrk . Przemieszczenie sprężyn o współczynnikach

sztywności k , dla małych wychyleń wynosi:

ϕlx =

Zatem energia potencjalna:

22222222

2

1

2

1

2

1

2

1ϕϕϕϕϕ skrskrP kklkklklE +=++=

Wyliczając poszczególne człony równania Lagrange`a II rodzaju mamy:

ϕϕ

&&&

2

3

1ml

E

dt

d K =

∂

∂

)2(222

skrskr

P kklkklE

+=+=∂

∂ϕϕϕ

ϕ

Ostateczne:

0)2(3

1 22 =++ skrkklml ϕϕ&&

Po podzieleniu obu członów ostatniego równania przez wyrażenie 2

3

1ml

otrzymamy:

0)2(3

2

2

=+

+ ϕϕml

kkl skr&&

stąd:

2

2

0

)2(3

ml

kkl skr+=ω

Ponieważ mamy do czynienia z układem autonomicznym identyczny

wynik otrzymamy stosując metodę Newtona układania równań ruchu jak

i energetyczną.

ROZDZIAŁ 9

Strona 72727272

Przykład 2.

Dla układu jak na rysunku określić równania ruchu oraz częstość drgań

ciężaru 1G . Dane: 1G - ciężar drgający, 2G - ciężar krążka, y - współ-

rzędna określająca punkt zamocowania sprężyny, d - średnica krążka,

k - sztywność elementu sprężystego wznawiającego drgania.

Rysunek 9.3 Rozpatrywany układ drgający

Równania ruchu układamy korzystając z równania Lagrange`a II

rodzaju.

Ciężar 1G porusza się ruchem postępowym, zatem jego energia kine-

tyczna wyznaczona będzie zależnością:

212

12

1

2

1x

g

GmVEK

&== ; ϕ&&

2

dVx ==

221

18

1ϕ&d

g

GEK =

Wykonujący ruch obrotowy krążek o ciężarze 2G posiada energię

kinetyczną:

2

22

1ωIEK = ; ϕω &=

gdzie:


Strona 73737373

82

2

2

2

2 d

g

GrmI ==

Ostatecznie:

222

216

1ϕ&d

g

GEK =

Zatem całkowita energia kinetyczna rozpatrywanego układu:

2

12

2222221

21)2(

16

1

16

1

8

1ϕϕϕ &&& GG

g

dd

g

Gd

g

GEEE KKK +=+=+=

Energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie o sztywności k

wynosi:

ϕyx = - przemieszczenie zamocowanego końca sprężyny do ciała

o ciężarze 2G .

222

2

1

2

1ϕkykxEP ==

Poszczególne współczynniki równania Lagrange`a II rodzaju są:

ϕϕ

&&&

)2(8

112

2

GGg

dE

dt

d K +=

∂

∂

ϕϕ

2ky

EP =∂

∂

Ostateczne:

0)2(8

1 2

12

2

=++ ϕϕ kyGGg

d&&

Po podzieleniu przez wyrażenie przy drugiej pochodnej otrzymujemy:

0)2(

8

12

2

2

=+

+ ϕϕGGd

gky&&

ROZDZIAŁ 9

Strona 74747474

stad:

)2(

8

12

2

2

0GGd

gky

+=ω

Przykład 3.

Krążek którego walce o średnicy d wykonują drgania wokół najniższego

punktu toru będącego wycinkiem okręgu o średnicy D . Wyznaczyć równanie ruchu krążka, przyjmując, że jego moment bezwładności

wynosi I , a ciężar G .

Rysunek 9.4 Układ analizowany w przykładzie 3

Współrzędną określającą położenie krążka będzie kąt ϕ . Krążek będzie

się poruszał ruchem obrotowym wokół osi w punkcie A i jednocześnie

będzie się przemieszczał po wycinku okręgu o średnicy D . Przemiesz-

czenie liniowe punktu A równe x wynosi:

ϕ2

dDx

−=

a prędkość:

ϕ&&2

dDx

−=

Prędkość kątowa walca o średnicy d , wynosi:


Strona 75757575

ϕϕω &&&

d

dD

d

dD

d

x −=

−==

2

2

2

Całkowita energia kinetyczna krążka wynosi:

2

22

2

222

4

)(

2

1)(

2

1

2

1

2

1ϕϕω &&

dD

g

G

d

dDImVIEK

−+

−=+=

Energia potencjalna:

)cos1)((cos)()(

cos)()(1

ϕϕ

ϕ

−−=−−−=

=−−−=−=

dDGdDGdDG

dDgg

GdDg

g

GmghmghEK

Współczynniki równania Lagrange`a II rodzaju:

−+

−=

=−

+−

=

∂

∂

4

)()(

4

)()(

2

1

2

2

2

22

2

2

2

dDG

d

dDI

dD

g

G

d

dDI

E

dt

d K

ϕ

ϕϕϕ

&&

&&&&&

ϕϕ

sin)( dDGEP −=∂

∂

0sin)(4

)()( 2

2

2

=−+

−+

−ϕϕ dDG

dDG

d

dDI&&

Po uproszczeniu oraz przyjęciu, że dla małych kątów ϕ , ϕϕ =sin .

0)4)((

42

2

=+−

+ ϕϕGdgIdD

Ggd&&

Częstość drgań własnych 0ω wynosi:

)4)((

42

2

0GdgIdD

Ggd

+−=ω

ROZDZIAŁ 9

Strona 76767676

Przykład 4.

Obliczyć amplitudę drgań swobodnych podłużnych ciężaru Q zawieszo-

nego na końcu nieważkiego pręta pryzmatycznego o średnicy d . Prze-

mieszczenie początkowe mx 0003,00 = , prędkość początkowa

sek

mV 05,00 = , ciężar NQ 1500= , długość pręta ml 25,1= , moduł

Young`a 2

11102m

NE ⋅= .

Rysunek 9.5 Układ analizowany w przykładzie 4

Mając ciężar ciała możemy wyznaczyć masę m :

g

Qm =

Sztywność pręta pryzmatycznego określona jest zależnością:

l

EFk =

gdzie: F - pole przekroju poprzecznego.

Dla pręta o przekroju okrągłym

4

2d

Fπ

=


Strona 77777777

Zatem ostatecznie:

l

dEk

4

2π=

Częstość drgań własnych układu autonomicznego o jednym stopniu

swobody:

Q

g

l

dE

m

k

4

2

0

πω ==

Zatem amplituda a :

gdE

lQVx

Vxa

2

2

02

02

0

2

02

0

4

πω+=+=

Obliczenie wyniku pozostawiam czytelnikowi.

Przykład 5.

Określić moduł Kirchoffa G materiału metodą drgań skrętnych na pod-

stawie danych: długość pręta ml 1= , średnica md 0125,0= , średnica

krążka mD 3,0= , ciężar krążka NQ 45= , zmierzona częstotli-

wość drgań swobodnych Hzsek

cyklif 1010 == .

Rysunek 9.6 Badany układ

ROZDZIAŁ 9

Strona 78787878

Równanie ruch drgań skrętnych swobodnych:

0=+ ϕϕ kI &&

Dzieląc przez I otrzymujemy:

02

0 =+ ϕωϕ&&

I

k=

2

0ω

fπω 20 =

I

kf

ππ

ω

2

1

2

0 ==

Sztywność k wynosi (skręcanie)

l

GJk 0=

gdzie:

32

4

0

dJ

π= - moment bezwładności pręta.

czyli:

l

Gdk

32

4π=

Moment bezwładności krążka o średnicy D :

82

22D

g

QmrI ==

czyli:

2

4 8

322

1

QD

g

l

Gdf

π

π=


Strona 79797979

Podnosząc obustronnie do kwadratu:

gGdlQDf 8324 422 =π

stąd ostatecznie:

4

22

16gd

DlQfG π=

Obliczenia pozostawiam czytelnikowi.

ROZDZIAŁ 9

Strona 80808080

`

10

Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody tłumione tarciem wiskotycznym

ROZDZIAŁ 5

Strona 82828282

Rozpatrzmy układ jak na rysunku.

Rysunek 10.1 Analizowany układ

k - sztywność elementu sprężystego,

c - współczynnik tłumienia wiskotycznego,

x - współrzędna określająca położenie ciała o masie m ,

g - przyspieszenie ziemskie.

Równanie ruchu ma postać:

0=++ kxxcxm &&& (10.1)

Po podzieleniu obustronni przez m uzyskujemy:

022

0 =++ xxhx ω&&& (10.2)

gdzie:

hm

c=

2 - zredukowany współczynnik tłumienia,

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM

Strona 83838383

m

k=

2

0ω - częstość drgań własnych.

Rozwiązanie równania (10.2) Przewidujemy w postaci:

)(texhtξ−= (10.3)

)(tξ - nieznana funkcja której będziemy poszukiwać.

Różniczkując dwustronnie zależność (10.3) otrzymujemy:

)()( tethex htht ξξ &&−− +−= (10.4)

)()()()(2tethehettehx

hthththt ξξξξ &&&&&&−−−− +−−= (10.5)

Podstawiając wyrażenia (10.5), (10.4), (10.3) do równania (10.2)

otrzymujemy:

0)()(2)(2

)()()()(

2

0

2

2

=++−

++−−

−−−

−−−−

tetheteh

tethehetteh

hththt

hthththt

ξωξξ

ξξξξ

&

&&&&

(10.6)

Po podzieleniu równania (10.6) przez ht

e−

otrzymujemy:

0)()(2)(2)()(2)(2

0

22 =++−+− tthththtth ξωξξξξξ &&&& (10.7)

Ostatecznie po uproszczeniu mamy:

0)()()( 22

0 =−+ tht ξωξ&& (10.8)

Oznaczając:

222

0 )( ph =−ω (10.9)

Otrzymujemy:

0)()( 2 =+ tpt ξξ&& (10.10)

Jest to klasyczne równanie jak dla drgań swobodnych nie tłumionych z

nową częstością 22

0 hp −= ω .

Rozwiązaniem równania (10.10) będzie wyrażenie:

ROZDZIAŁ 5

Strona 84848484

ptCptCt sincos)( 21 +=ξ (10.11)

Zatem ogólne rozwiązanie równania (10.2) ma postać:

)sincos()()( 21 ptCptCeettxhtht +== −−ξ (10.12)

Stałe 1C i 2C wyznaczamy z warunków początkowych.

0=t ; 0)0( xtx == (10.13)

Uwzględniając ten warunek w równaniu (10.12) otrzymujemy:

)0sin0cos(1 210 pCpCx += (10.14)

Stąd :

01 xC =

Różniczkując wyrażenie (10.12) otrzymujemy:

)sincos(

)sincos()(

21

21

ptCptCe

ptCptChetx

ht

ht

+−+

++−=−

−&

(10.15)

Uwzględniając drugi warunek początkowy w formie:

0=t ; 0)0( Vtx ==& (10.16)

Otrzymujemy:

)0sin0cos()0sin( 21210 ppCppCpCChV +−++−= (10.17)

stąd:

pChxV 200 +−= (10.18)

Ostatecznie:

p

hxVC 00

2

+=

Pełne rozwiązanie równania (10.2) przyjmuje formę:


Strona 85858585

)sincos()( 00

0 ptp

hxVptxetx

ht ++= −

(10.19)

Z ostatniej zależności jednoznacznie wynika że postacie drgań swobod-

nych tłumionych zależą od charakteru tłumienia.

a) małe tłumienie, wtedy:

0ω<h oraz 022

02 ωω <−= hp (10.20)

Przyjmując:

ϕsin0 ax = ; ϕcos00 ap

hxV=

+ (10.21)

Otrzymujemy:

)sin()cossinsin(cos)( ϕϕϕ +=+= −−ptaeptptaetx

htht (10.22)

gdzie:

2

2

002

0

)(

p

hxVxa

++= (10.23)

00

0

Vhx

pxtg

+=ϕ (10.24)

Rysunek 10.2 Przebieg rozwiązania równania (10.2)

ROZDZIAŁ 5

Strona 86868686

Z ogólnego rozwiązania wynika że dla ∞→t , 0)( →tx , to znaczy,

że drgania wygasają całkowicie po nieskończenie długim czasie.

Wielkość:

22

0

22

hpTh

−==

ω

ππ (10.25)

nazywamy okresem drgań tłumionych.

Okres drgań nie tłumionych:

0

2

ω

π=T (10.26)

022

0 ωω <− h , zatem TTh >

Stosunek:

hhT

h

eTtx

tx=

+ )(

)( (10.27)

Jest niezależny od czasu i jest równy stosunkowi kolejnych maksymal-

nych wychyleń w czasie jednego okresu drgań.

Wielkość:

h

h

hTTtx

tx=

+=

)(

)(lnδ (10.28)

nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia i jest miarą tłumienia w układzie.

b) tłumienie krytyczne:

0ω== krhh ; 0=p

wtedy współczynnik tłumienia krc ma postać:

mkmmhc krkr 222 0 === ω (10.29)

W tym przypadku postać ruchu swobodnego:


Strona 87878787

))((

)sin

)(cos(lim

)sincos()(

000

0000

000

thxVxe

pt

ptthxVptxe

ptpt

hxVptxetx

ht

ht

p

ht

++=

=

++=

=+

+=

−

−

→

−

(10.30)

Jest to ruch niedrgający zanikający z czasem. Tłumienie krytyczne

wyznacza granicę pomiędzy drganiami harmonicznymi a ruchem

niedrgającym.

c) duże tłumienie:

0ω>h ; 022

0

2 <−= hp ω

p , jest zatem wartością urojoną.

iphip =−= 22

0ω (10.31)

Rozwiązanie uzyskamy stosując podstawienie:

xix coshcos = ; xix sinhsin = (10.32)

Tak więc:

)sinhcosh()( 000 pt

p

hxVptxetx

ht ++= −

(10.33)

Jest to też ruch aperiodyczny co ilustruje rysunek 10.3.

Rysunek 10.3 Ilustracja ruchu, dla 0ω>h

ROZDZIAŁ 5

Strona 88888888

Przykład 1.

Wyznaczyć częstość i okres drgań układu mechanicznego przedstawio-

nego na rysunku 10.4. Dane są wielkości a i l wyznaczające zamoco-

wania tłumika i elementu sprężystego oraz masa pręta m . Masa skupio-

na ciała mM3

2= . Znany jest współczynnik sztywności k sprężyny

i wiadomo że siła tarcia jest proporcjonalna do pierwszej potęgi prędkoś-ci (tarcie wiskotyczne), xR &⋅= α , α - współczynnik proporcjonal-

ności.

Rysunek 10.4 Ilustracja do przykładu 1

Równanie ruchu ma postać:

022 =++ ϕϕαϕ klaI &&&

gdzie:

22

22

2

3

2

33mlml

mlMl

mlI =+=+=

Po podzieleniu równania ruchu przez I otrzymujemy:

022

0 =++ ϕωϕϕ &&& h

gdzie:

2

2

2ml

ah

α= czyli

2

2

2ml

ah

α=


Strona 89898989

Częstość drgań własnych 0ω :

m

k=0ω

Znając częstość drgań własnych oraz współczynnik tłumienia można

wyznaczyć częstość drgań tłumionych oraz okres drgań:

22

0 hp −= ω ; 22

0

22

hpTh

−==

ω

ππ

Aby wystąpił ruch aperiodyczny (nieokresowy) musi być spełniona

zależność:

0ω≥h

czyli:

m

k

ml

a≥

2

2

2

α

Tak więc:

kma

l2

22≥α

Przykład 2.

Ciężar Q zawieszony na sprężynie o sztywności k i zanurzony w ieczy

stawiającej opór wiskotyczny wykonuje drgania pionowe. Doświadczal-

nie zmierzono iż amplituda tych drgań po czterech wahnięciach zmalała

12-krotnie. Obliczyć okres drgań tłumionych i wyznaczyć logarytmiczny

dekrement tłumienia. Dane: NQ 50= , m

Nk 2000= . Analizowany

układ przedstawia rysunek 10.5.

ROZDZIAŁ 5

Strona 90909090

Rysunek 10.5 Układ ilustrujący przykład 2

Amplitudowe wymuszenie w n –tym okresie możemy przedstawić zależnością:

)( hnTth

n aea+−=

A po czterech okresach:

))4((

4hTnth

n aea++−

+ =

gdzie: hT - okres drgań tłumionych.

Utwórzmy stosunek:

hhT

n

n ea

a 44 −+ =

Logarytmując obustronnie otrzymujemy:

4

4 lnln4+

+ −==−n

n

n

n

ha

a

a

ahT

czyli :

4

ln4

1

+

==n

n

ha

ahT δ

Podstawiając dane otrzymujemy:


Strona 91919191

622.012ln4

1≅== δhhT

Z ostatniej zależności możemy wyznaczyć współczynnik tłumienia h :

==

sTTh

hh

1622.0δ

Podstawiając do wzoru na okres drgań tłumionych w formie:

22

0

2

hTh

−=

ω

π

otrzymujemy:

22

0

622.041

+= πω

hT

gdzie:

=

⋅===

sQ

kg

m

k 18.19

50

81.920000ω

Po podstawieniu do zależności na okres drgań tłumionych otrzymujemy:

][319.0622.048.19

1 22sTh ≅+= π

ROZDZIAŁ 5

Strona 92929292

`

11Drgania wymuszane układu o jednym stopniu swobody – bez tłumienia

ROZDZIAŁ 11

Strona 94949494

Rozpatrywany układ drgający przedstawiono na rysunku 11.1. Układ

wykonuje drgania pionowe. Do ciała o masie m zawieszonego na ele-

mencie sprężystym o sztywności k przyłożona jest siła zależna od

czasu tAtP νcos)( = , gdzie A - amplituda siły , ν - częstość siły

wymuszającej.



tAkxxm νcos=+&& (11.1)

Po podzieleniu przez m otrzymujemy:

tqxx νω cos2

0 =+&& (11.2)

gdzie:

m

k=0ω - częstość drgań własnych,

DRGANIA WYMUSZANE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY – BEZ TŁUMIENIA

Strona 95959595

m

Aq =

Równanie (11.2) jest niejednorodnym równaniem różniczkowym. Jego

rozwiązanie jest superpozycją rozwiązania ogólnego równania jednorod-

nego Ox oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego Sx ,

czyli:

SO xxx += (11.3)

Rozwiązanie ogólne ma postać:

tCtCxO 0201 sincos ωω += (11.4)

Rozwiązania szczególnego poszukujemy w postaci:

tHxS νcos= (11.5)

gdzie: H - należy wyznaczyć.

Podstawiając wyrażenie (11.5) do równania (11.2) otrzymujemy:

tHx

tHx

S

S

νν

νν

cos

sin

2−=

−=

&&

&

(11.6)

tqtHtH ννωνν coscoscos2

0

2 =+− (11.7)

Po uproszczeniu:

0cos])([ 22

0 =−+ tqH ννω (11.8)

Aby równanie (11.8) było spełnione dla wszystkich wartości t :

0)( 22

0 =−+ qH νω (11.9)

czyli:

22

0 νω −=

qH (11.10)

Tak więc poszukiwane rozwiązanie szczególne ma postać:

ROZDZIAŁ 11

Strona 96969696

tq

xS ννω

cos22

0 −= (11.11)

Zatem całkowite rozwiązanie według (11.3) wygląda:

tq

tCtCx ννω

ωω cossincos22

0

0201−

++= (11.12)

Widać że ruch ciała o masie m jest sumą dwóch ruchów harmonicz-

nych. Drgań swobodnych nietłumionych i drgań wymuszonych o czę-stości ν . Amplituda drgań wymuszonych H opisana jest zależnością:

2

0

2

2

0

22

01

1

1

1

ω

ν

ω

νω−

=

−

= stlq

H (11.13)

2

0ω

q

m

k

m

A

k

Alst === (11.14)

gdzie stl jest to przemieszczenie statyczne badanego ciała o masie m ,

pod wpływem siły o amplitudzie siły wymuszającej działającej w sposób

statyczny. Wprowadźmy pojęcie współczynnika uwielokrotnienia ampli-

tudy µ . Jest to stosunek amplitudy drgań H do statycznego przemiesz-

czenia stl jakie wywołała by statycznie przyłożona do układu siła, równa

amplitudzie siły wymuszającej, czyli:

2

0

2

1

1

ω

νµ

−

==stl

H (11.15)

Przebiegi współczynnika uwielokrotnienia amplitudy µ w funkcji sto-

sunku częstości siły wymuszającej do częstotliwości drgań własnych ob-

razuje rysunek 11.2.


Strona 97979797

Rysunek 11.2 Przebieg współczynnika uwielokrotnienia µ

w funkcji stosunku

0ω

ν

Widać, że dla częstości siły wymuszającej 0=ν , 1=µ , dla stosunku

10

=ω

ν, µ dąży do nieskończoności, występuje zjawisko tzw. rezonan-

su. Gdy 0ω

ν dąży do nieskończoności µ dąży do zera.

Zajmijmy się przypadkiem, gdy 0ων = , czyli przypadkiem rezonansu.

Rozwiązanie szczególne równania ruchu (11.2) ma wtedy formę:

tHtxS 0sinω= (11.16)

Różniczkując dwukrotnie otrzymujemy:

tHttHxS 000

2

0 cos2sin ωωωω +−=&& (11.17)

Po podstawieniu do równania (11.2) otrzymujemy:

tqtH 000 coscos2 ωωω = (11.18)

Po uproszczeniu:

ROZDZIAŁ 11

Strona 98989898

0coscos2 000 =− tqtH ωωω (11.19)

0cos)2( 00 =− tqH ωω (11.20)

qH =02 ω (11.21)

czyli:

02ω

qH = (11.22)

Zatem ostatecznie:

ttq

xS 0

0

sin2

ωω

= (11.23)

Drgania wymuszone dla omawianego przypadku nie są harmonicz-

ne, można je traktować jako drgania okresowe o narastającej am-

plitudzie proporcjonalnie do czasu.

Rysunek 11.3 Przebieg drgań wymuszonych w przypadku 0ων =

Stałe 1C i 2C występujące w równaniu (11.12) należy wyznaczyć

z warunków początkowych w formie; dla 0=t ; 0)0( ==tx i dla

0=t ; 0)0( ==tx& . Wyznaczenie stałych pozostawiam czytelnikowi.


Strona 99999999

Przykład 1.

Ciało o ciężarze Q , zawieszone na nieważkim pręcie pryzmatycznym,

wykonuje drgania podłużne wymuszone siłą sinusoidalnie zmienną w czasie. Dane NQ 50= , wydłużenie statyczne pręta pod wpływem tej

siły mlst 025.0= , tPtP νsin)( 0= , NP 100 = , liczba cykli siły wy-

muszającej Hzf 5= . Obliczyć:

a) współczynnik uwielokrotnienia amplitudy µ ,

b) całkowite przemieszczenie ciężaru Q po upływie czasu st 1= od

chwili początkowej ruchu. Warunki początkowe: dla 0=t ;

0)0( ==tx i dla 0=t ; 0)0( ==tx& .

Rysunek 11.4 Analizowany układ drgający

Częstość drgań własnych 0ω wynosi:

m

k=0ω

g

Qm =

Wydłużenie statyczne określone jest zależnością :

k

Qlst = skąd

stl

Qk =

ROZDZIAŁ 11

Strona 100100100100

Podstawiając obliczoną sztywność i masę do wzoru na częstość drgań

własnych otrzymujemy:

sl

g

st

18.19

025.0

81.90 ≅==ω

Częstość kątowa siły wymuszającej:

s

f1

4.3110522 ==== πππν

Współczynnik uwielokrotnienia amplitudy µ :

66.0

4.31

8.191

1

1

1

2

2

2

0

2≅

−

=

−

=

ω

νµ

Pod wpływem Q , ciężar przemieszcza się o stl , a pod wpływem 0P

o 0δ , czyli:

0

0

δ

P

l

Qk

st

==

Stąd:

stlQ

P00 =δ

Po podstawieniu danych liczbowych:

m005.0025.050

100 =⋅=δ

Zatem amplituda drgań H wynosi:

mH 0033.0005.066.00 ≅⋅== µδ


Strona 101101101101

Chcąc obliczyć przemieszczenie x w danej chwili musimy w rozwiąza-

niu równania ruchu (11.12) wyznaczyć stałe 1C i 2C .

Po zastosowaniu przyjętych warunków początkowych:

0

1ω

νHC −= ; 02 =C

Wobec tego równanie (11.12) przyjmuje postać:

tHtH

x νωω

νcoscos 0

0

+−=

Stąd:

−= ttHx 0

0

coscos ωω

νν

Ponieważ:

s

110πν = ; πω 3.6

18.190 ≈=

s ; 59.1

0

≅ω

ν

Więc dla sekt 1= , otrzymamy:

m

Hstx

00422.0)3.0cos59.11(0033.0

)13.6cos59.1110(cos)1(

−≈⋅−=

=⋅−⋅==

π

ππ

ROZDZIAŁ 11

Strona 102102102102

`

12

Drgania wymuszone liniowego układu drgającego o jednym stopniu swobody z tłumieniem wiskotycznym

ROZDZIAŁ 12

Strona 104104104104

Analizowany układ drgający przedstawia rysunek 12.1.


k - sztywność elementu sprężystego,

c - współczynnik tłumienia wiskotycznego,

x - przemieszczenie,

m - masa ciała,

g - przyspieszenie ziemskie,

tAtP νsin)( = - siła wymuszająca o amplitudzie A i częstości ν .


tAkxxcxm νsin=++ &&& (12.1)


tqxxhx νω sin22

0 =++ &&& (12.2)

gdzie:

m

ch

2= ;

m

Aq = ;

m

k=0ω

DRGANIA WYMUSZANE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Z TŁUMIENIEM WISKOTYCZNYM

Strona 105105105105

Podobnie jak w rozdziale 11 rozwiązanie równania (12.2) jest superpo-

zycją dwóch rozwiązań równań, ogólnego i szczególnego.

SO xxx += (12.3)

Rozwiązanie ogólne:

)sincos( 21 ptCptCexht

O += − (12.4)

Rozwiązanie szczególne przyjmujemy w formie:

tCtCxS νν cossin 43 += (12.5)

Poszczególne pochodne mają postać:

tCtCxS νννν sincos 43 −=& (12.6)

tCtCxS νννν cossin 2

4

2

3 −−=&& (12.7)

Podstawiając zależności (12.5), (12.6), (12.7) do równania (12.2)

otrzymujemy:

0sincossin

sin2cos2cossin

4

2

03

2

0

43

2

4

2

3

=−++

+−+−−

tqtCtC

tChtChtCtC

ννωνω

νννννννν (12.8)

Zgrupujmy wyrażenia z tνcos i tνsin .

0sin)2)(( 4

22

03 =−−− tqChC νννω (12.9)

0cos))(2( 4

22

03 =−− tChC ννων (12.10)

Wyrażenia powyższe będą się zerować dla każdego t , gdy elementy

w nawiasach będą równe zeru, czyli:

02)( 4

22

03 =−−− qChC ννω (12.11)

0)(2 4

22

03 =−− ChC νων (12.12)

Z równania (12.12) wyznaczamy wielkość 4C .

ROZDZIAŁ 12

Strona 106106106106

)(

222

0

34

νω

ν

−=

hCC (12.13)

Po podstawieniu do równania (12.11) otrzymujemy:

qhC

C −−

−−)(

4)(

22

0

22

322

03νω

ννω (12.14)

Stad:

2222

0

22

03

4)(

)(

ννω

νω

h

qC

+−

−= (12.15)

Mając wyrażenie 3C łatwo wyprowadzić z zależności (12.13) stałą 4C .

2222

0

44)(

2

ννω

ν

h

qhC

+−

−= (12.16)

Zatem rozwiązanie szczególne przyjmuje postać:

th

qht

h

qxS ν

ννω

νν

ννω

νωcos

4)(

2sin

4)(

)(2222

0

2222

0

22

0

+−−

+−

−= (12.17)

Przyjmując:

ϕννω

νωcos

4)(

)(2222

0

22

0 Hh

q=

+−

− (12.18)

ϕννω

νsin

4)(

22222

0

Hh

qh=

+−

− (12.19)

i podstawiając do wyrażenia (12.17) otrzymujemy:

)sin(cossinsincos ϕννϕνϕ +=+= tHtHtHxS (12.20)

gdzie:


Strona 107107107107

2222

0

22222

0

22222

0

22222

0

222222

0

22

4

2

3

4)()4)((

4)(

)4)((

4)(

ννωννω

ννω

ννω

ννω

h

q

h

hq

h

qhqCCH

+−=

+−

+−=

=+−

+−=+=

(12.21)

Wydłużenie statyczne:

2

0ω

q

m

km

A

k

Alst === (12.22)

Wyrażenie (12.21) możemy przedstawić w postaci:

4

0

222

2

0

2

2

0

4

0

222

2

0

22

0

41

41

ω

ν

ω

ν

ω

ω

ν

ω

νω

h

q

h

qH

+

−

=

+

−

= (12.23)

Zatem:

)sin(

41

4

0

222

2

0

2

ϕν

ω

ν

ω

ν

+

+

−

= t

h

lx st

S (12.24)

Przesunięcie fazowe:

2

0

2

2

0

22

0

22

0

2222

0

2222

03

4

1

2

2

)(

4)(

4)(

2

ω

ν

ω

ν

νω

ν

νω

ννω

ννω

νϕ

−

=−

=

=−

+−⋅

+−

−==

h

h

q

h

h

qh

C

Ctg

(12.25)

ROZDZIAŁ 12

Strona 108108108108


4

0

222

2

0

2

4

0

222

2

0

2

41

1

1

41

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

µ

h

lh

l

l

H

st

st

st

+

−

=

=⋅

+

−

==

(12.26)

Rysunek 12.2 Zmiana współczynnika uwielokrotnienia amplitudy

w funkcji

0ω

ν (krzywe rezonansowe)

Jak widać wprowadzone tłumienie 0≠h powoduje ograniczenie

amplitud w rezonansie. Jednocześnie wierzchołki krzywych rezonanso-

wych przesuwają się w kierunku niższych stosunków 0ω

ν.

Zatem całkowite rozwiązanie równania (12.2) przyjmuje postać:


Strona 109109109109

4

0

222

2

0

2

2

0

21

41

)sincos(

ω

ν

ω

ν

ω

h

q

ptCptCexxxht

SO

+

−

+

++=+= −

(12.27)

Stałe 1C i 2C w równaniu trzeba wyznaczyć z przyjętych warunków

początkowych. Człon pierwszy równania (12.27) opisuje drgania

tłumione z częstością p , drugi zaś opisuje drgania wymuszone z czę-

stością siły wymuszającej ν .

Przykład 1.

Ciężar Q zawieszony na końcu sprężyny o współczynniku sztywności

k wykonuje drgania podłużne wymuszone siłą tPtP νsin)( 0= i tłu-

mione oporem wiskotycznym . Obliczyć częstość siły wymuszającej ν

przy której zachodzi rezonans. W przypadku rezonansu obliczyć amplitudę drgań wymuszonych oraz wartość współczynnika uwielokrot-

nienia amplitudy. Dane: NQ 4900= , m

Nk 50000= , NP 20000 = ,

siła oporu wiskotycznego tarcia xkmR &2.0= .

Rysunek 12.3 Analizowany w przykładzie 1 układ drgający

ROZDZIAŁ 12

Strona 110110110110

Z porównania z zapisem (7.5) siły tarcia wiskotycznego wynika,

że kmc 2.0= . Zarazem współczynnik tłumienia m

ch

2= , stąd:

m

k

m

kmh 1.0

2

2.0==

Ponieważ częstość drgań własnych:

m

k=

2

0ω

więc:

01.0 ω=h

Stosunek:

1.00

=ω

h, czyli 100 =

h

ω

Obliczona częstość drgań własnych:

sQ

kg

m

k 110

4900

81.9500000 ≈

⋅===ω

Przypadek rezonansu zachodzi gdy νω =0 , czyli:

s

110=ν

W przypadku rezonansu amplituda drgań wymuszonych wynosi:

( )0

2

0

22

4

0

222

2

0

2 24114

1 ωωω

ν

ω

νk

l

h

l

h

lH ststst =

+−

=

+

−

=

mk

Plst 04.0

50000

20000 ===


Strona 111111111111

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

mh

lH st 2.0

2

1004.0

2

0

0=

⋅===

ωων

Przykład 2.

Ciężar Q umieszczony w środku belki o sztywności k wykonuje drga-

nia poprzeczne wymuszone siłą zmienną w czasie tPtP νsin)( 0=

i tłumione oporem wiskotycznym. Obliczyć ile zmaleje amplituda drgań

własnych w przypadku 3 krotnego wzrostu oporów tłumienia dla

danych: NQ 15000= , m

Nk 1000000= , częstość siły wymuszającej

s

16.25=ν .

Rysunek 12.4 Rozpatrywany w przykładzie układ drgający

Pierwsza siła oporu wiskotycznego wynosi 1R . Zatem przy trzykrotnym

wzroście oporu tłumienia nowa siła 12 3RR = . Na podstawie zależności

(7.5) wynika ze w tym samym stosunku wzrośnie współczynnik

tłumienia h .

12 3hh =

Amplituda pierwotna określona jest zależnością:

4

0

22

1

2

2

0

2

1

41

ω

ν

ω

ν h

lH st

+

−

=

ROZDZIAŁ 12

Strona 112112112112

Po trzykrotnym wzroście oporu wiskotycznego amplituda wynosi:

4

0

22

2

2

2

0

2

2

41

ω

ν

ω

ν h

lH st

+

−

=

Zatem stosunek amplitud 2H do 1H określony jest zależnością:

4

0

22

1

2

2

0

2

4

0

22

2

2

2

0

2

1

2

41

41

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

h

h

H

H

+

−

+

−

=

Wyznaczona częstość drgań własnych wynosi:

sQ

kg

m

k 16.25

15000

81.910000000 ≈

⋅===ω

Widać że częstość drgań własnych 0ω jest równa częstości siły wymu-

szającej, czyli mamy do czynienia z przypadkiem rezonansu.

Zatem:

3

1

4

4

2

1

2

0

2

2

0

1

1

2 ==

=h

h

h

h

H

H

ω

ω

czyli:

123

1HH =

`

13

Drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody wymuszane bezwładnościowo (z tłumieniem)

ROZDZIAŁ 13

Strona 114114114114

Rozpatrzmy układ jak na rysunku 13.1.


Ciało o masie m pobudzane jest do drgań poprzez siłę yF pochodzącą

od niewyważenia względem osi 0 . droga kątowa ϕ określona jest

zależnością:

t⋅=νϕ (13.1)

gdzie:

ν - prędkość kątowa wirującego krążka.

dm - dodatkowe ciało wywołujące niewyrównoważenie względem

osi 0 .

DRGANIA LINIOWE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY WYMUSZANE BEZWŁADNOŚCIOWO (Z TŁUMIENIEM)

Strona 115115115115

Ciało o masie m może wykonywać tylko drgania pionowe wywołane siłą

yF .

tFFFy νϕ sinsin == (13,2)

rmr

rm

r

VmF d

dd 2

222

νν

=== (13.3)

Zatem:

ϕν sin2rmF dy = (13.4)

Równanie ruchu analizowanego układu będzie miało postać:

trmkxxcxm d νν sin2=++ &&& (13.5)

Po podzieleniu przez m , otrzymujemy:

tqxxhx ννω sin2 2

0

2

0 =++ &&& (13.6)

gdzie:

m

ch

2= ,

m

k=0ω ,

m

rmq d=0 (13.7)

Rozwiązanie szczególne równania (13.6) ma postać:

( )

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

νννω

ν

sin

41

sin

4

4

0

222

2

0

2

2

0

2

0

222

22

0

2

0

h

q

t

h

qxS

+

−

=

=

+−

=

(13.8)


ROZDZIAŁ 13

Strona 116116116116

4

0

222

2

0

2

2

0

2

04

0

222

2

0

2

2

0

2

0

0 41

41

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

µ

hq

h

q

q

H

+

−

==

+

−

== (13.9)

Przebieg zmian współczynnika uwielokrotnienia amplitudy µ przedsta-

wia rysunek 13.2.

Rysunek 13.2 Zmiana współczynnika uwielokrotnienia amplitudy w

funkcji

0ω

ν

Wierzchołki rezonansu wraz ze wzrostem częstości siły wymuszającej

przesuwają się „w prawo”.

Przykład 1.

Silnik elektryczny zamocowano za sprężystej belce przy czym jej

strzałka ugięcia jest y . Mimośród wirnika obracającego się z prędkością

kątową ν jest równy r , a masa wirnika m . Masa silnika elektrycznego

wraz z wirnikiem wynosi M . Znaleźć amplitudy drgań pionowych wy-

muszonych silnika . Przy jakiej wartości ν może wystąpić rezonans.


Strona 117117117117

Rysunek 13.3 Badany układ niewyważonego wirnika

Masa niewyważonego wirnika wynosi m , masa wirnika plus masa

obudowy i belki wynosi M , g - przyspieszenie ziemskie.


ϕcosFSyM +−=&&

gdzie: 2νmrF = , tνϕ = , kyS =

Pod wpływem całkowitego obciążenia gM ⋅ belka wychyli się o war-

tość y , zatem:

Mgky =

Stąd możemy wyznaczyć sztywność belki k :

y

Mgk =

Podstawiając do równania ruchu otrzymujemy:

ϕν cos2rmx

y

MgyM +−=&&

i ostatecznie:

trmyy

MgyM νν cos2=+&&

Po podzieleniu przez M mamy:

ROZDZIAŁ 13

Strona 118118118118

trM

mx

y

gx νν cos2=+&&

Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:

tHxS νcos=

tHxS νν cos2−=&&

Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy:

trM

mtH

y

gtH ννννν coscoscos 22 =+−

Po uproszczeniu:

rM

mH

y

gH

22 νν =+−

stąd:

)( 2

2

ygM

rymH

ν

ν

−=

Ostatecznie rozwiązanie szczególne:

tygM

rymxS ν

ν

νcos

)( 2

2

−=

Przypadek rezonansu wystąpi gdy 2ν=

f

g.

Rozwiązanie przyjmujemy w postaci:

tHtxS νsin=

tHttHtHxS νννννν sincoscos 2−+=&&

Ostatecznie Sx&& :

tHttHxS νννν sincos2 2−=&&


Strona 119119119119

Podstawiając do równania ruchu otrzymujemy:

trM

mtHt

f

gtHttH ννννννν cossinsincos2 22 =+−

Po uproszczeniu:

trM

mtH νννν coscos2 2=

22 νν r

M

mH =

Ostatecznie amplituda w rezonansie wynosi:

M

mr

M

mrH

22

2 ν

ν

ν==

a rozwiązanie szczególne dla przypadku rezonansu:

ttM

mrxS ν

νsin

2=

Doświadczenie 1.

Celem eksperymentu jest praktyczne zaznajomienie czytelnika z analizą drgań belki wymuszonych bezwładnościowo. Schemat stanowiska

przedstawiony jest na rysunku 13.4.

Rysunek 13.4 Schemat stanowiska

ROZDZIAŁ 13

Strona 120120120120

Składa się on z następujących zespołów:

1 - Belki stalowej (1) utwierdzonej jednym końcem w podstawie.

2 - Układu wymuszającego składającego się z dwóch niewyważonych

względem osi obrotu kół zębatych (2), napędzanych silnikiem (3), patrz

rysunek 13.5.

3 - Tłumika olejowego (5).

4 - Układu rejestrującego (6) służącego do rejestracji drgań belki z wy-

korzystaniem tensometru.

Rysunek 13.5 Schemat zespołu wymuszającego

W ćwiczeniu należy zarejestrować zmiany amplitudy drgań belki (1)

w funkcji zmiany częstości wymuszenia. Zmieniając wartości siły oporu

tłumienia można doświadczalnie wyznaczyć rodzinę krzywych rezonan-

sowych przedstawionych jako teoretyczne na rysunku 13.2.

`

14

Drgania układu o jednym stopniu swobody przy wymuszeniu kinematycznym (z tłumieniem)

ROZDZIAŁ 14

Strona 122122122122


Rysunek 14.1 Schemat analizowanego układu

Widać iż w tym przypadku wymuszenie jest przekazywane od profilu

drogi )(tξ poprzez element sprężysty i tłumik na ciało o masie m .

Zbadajmy przemieszczenie x ciała o masie m .

Równanie ruchu ciała o masie m ma postać:

0)()( =−+−+ ξξ xkxcxm &&&& (14.1)

gdzie, zakładany profil drogi przyjmujemy w formie:

tA νξ sin= (14.2)

tA ννξ cos=& (14.3)

Podstawiając do równania (14.1) otrzymujemy:

tkAtcAkxxcxm ννν sincos +=++ &&& (14.4)

Dzieląc równanie (14.4) przez m otrzymujemy:

DRGANIA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY PRZY WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM (Z TŁUMIENIEM)

Strona 123123123123

tm

kAt

m

cAxxhx νν

νω sincos2

2

0 +=++ &&& (14.5)

gdzie:

ϕsin*HkA = ; ϕν cos*

HAc = (14.6)

Podstawiając (14.6) do (14.4) otrzymujemy:

ϕνϕνω sinsincoscos2**

2

0 tm

Ht

m

Hxxhx +=++ &&& (14.7)

Zatem:

)cos(2*

2

0 ϕνω −=++ tm

Hxxhx &&& (14.8)

Korzystając z zależności (14.6) mamy:

22222222* νν ckAAcAkH +=+= (14.9)

νν

ϕc

k

Ac

kAtg == (14.10)

Uwzględniając, że 4

02

2

ω=m

k oraz

2

2

2

4hm

c= otrzymujemy:

)cos(42 224

0

2

0 ϕννωω −+=++ thAxxhx &&& (14.11)

Zatem amplituda H , i rozwiązanie szczególne wynosi:

( )t

h

hAxS ν

ννω

νωcos

4

4

222

22

0

224

0

+−

+= (14.12)

gdzie:

ROZDZIAŁ 14

Strona 124124124124

( )

4

0

222

2

0

2

4

0

22

4

0

222

2

0

22

0

4

0

222

0

22222

0

224

0*

41

41

41

41

4

4

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

νω

ω

νω

ννω

νω

h

hA

h

hA

h

hAH

+

−

+

=

=

+

−

+

=

+−

+=

(14.13)

A więc współczynnik uwielokrotnienia amplitudy µ wynosi:

4

0

222

2

0

2

4

0

22

**

41

41

ω

ν

ω

ν

ω

ν

µ

h

h

A

H

+

−

+

== (14.14)

Przebieg µ w funkcji 0ω

ν obrazuje rysunek 14.2.


Strona 125125125125

Rysunek 14.2 Przebiegi zmian µ funkcji

0ω

ν

W przypadku drgań wymuszanych kinematycznie, bardziej interesujący

jest przypadek gdy badamy przemieszczenia względne ciała o masie m ,

to znaczy ugięcie elementu sprężystego )( ξ−= xy .

Przy wykorzystaniu takiego oznaczenia mamy:

ξ−= xy (14.15)

ξ&&& −= xy (14.16)

ξ&&&&&& −= xy (14.17)

Równanie ruchu przyjmuje postać:

0=++ kyycxm &&& (14.18)

Ale:

ξ&&&&&& += yx (14.19)

Więc:

ξ&&&&& mkyycym −=++ (14.20)

ROZDZIAŁ 14

Strona 126126126126

Jeżeli tA νξ sin= , to tA ννξ sin2−=&& .

Po podstawieniu do zależności (14.20) otrzymujemy:

tmAkyycym νν sin2=++ &&& (14.21)

Dzieląc obydwie strony równania (14.21) przez m , mamy:

tAyyhy ννω sin2 22

0 =++ &&&

Stosując analizę z rozdziałów 12 i 13 otrzymujemy:

( )4

0

222

2

0

2

2

0

2

222

22

0

2*

414

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ννω

ν

h

A

h

AH

+

−

=

+−

= (14.22)

Zatem współczynnik uwielokrotnienia amplitudy µ :

4

0

222

2

0

2

2

0

2

**

41ω

ν

ω

ν

ω

ν

µ

hA

H

+

−

== (14.23)

Przebieg zmian współczynnika uwielokrotnienia amplitudy µ przedsta-

wia rysunek 14.3.


Strona 127127127127

Rysunek 14.3 Przebiegi zmian µ funkcji

0ω

ν dla różnych

współczynników tłumienia

Wierzchołki krzywych rezonansowych przesuwają się w prawo

ze wzrostem stosunku częstości siły wymuszającej ν i współczynnika

tłumienia h .

Przykład 1.

Ciężar jak na rysunku 14.4 porusza się ze stałą prędkością V wzdłuż nierównej drogi. Wzdłużny profil drogi przedstawiony jest równaniem

)(tS . Znając masę ciężaru równą m , sztywność sprężyny k

o współczynnik tłumienia c , znaleźć równanie drgań ciężaru;

lstS

πξ2

0 sin)( = , długość fali jak na rysunku.

ROZDZIAŁ 14

Strona 128128128128

Rysunek 14.4 Profil drogi i analizowany w przykładzie układ

Równanie drgań pionowych ciała o masie m :

0)()( =−+−+ szkszczm &&&&

ysz =−

ysz &&& =−

0=++ kyyczm &&&

syzysz &&&&&&&&&&&& +=⇒=−

czyli:

0)( =+++ kyycsym &&&&&

Zetem:

smkyycym &&&&& −=++


syyhy &&&&& −=++2

02 ω

gdzie: m

ch

2= ,

m

k=

2

0ω , Vt=ξ


Strona 129129129129

Zatem:

l

VtstS

π2

0 sin)( =

l

Vt

l

Vs

l

V

l

Vt

l

Vtss

πππππ 2sincossin2 00 ==&

stąd:

l

Vt

l

Vs

l

V

l

Vt

l

Vss

πππππ 2cos2

22cos

2

22

00 ==&&

Zatem równanie ruchu przyjmuje postać:

l

Vt

l

Vsyyhy

ππω

2cos22

2

22

0

2

0 −=++ &&&

lub

tpyyhy νω cos2 0

2

0 −=++ &&&

gdzie: 2

22

00 2l

Vsp

π= ,

l

Vπν

2= .

Rozwiązanie ostatniego równania ma postać:

)cos(cossin)( ϕν −−+= −−tCptBeptAety

htht

Stała C dla rozwiązania szczególnego wynosi:

4

0

222

2

0

2

2

22

0

4

0

222

2

0

2

2

0

0

41

2

41ω

ν

ω

ν

π

ω

ν

ω

ν

ω

h

kl

mVs

h

p

C

+

−

=

+

−

=

2

0

2

ω

νϕ

ktg =

ROZDZIAŁ 14

Strona 130130130130

Stałe A i B wyznaczamy z warunków początkowych. Dla 0=t ;

0)0( ==ty .

ϕcos0 CB −=

stąd:

ϕcosCB =

Dla 0=t ; 0)0( ==ty& :

ϕν cos0 ChBAp −−=

stąd:

)sincos(sin

ϕνϕϕν

+=−

= hp

C

p

ChBA

Zatem ostatecznie równanie drgań przyjmuje postać:

)cos(sin))sincos(1

cos(cos)( ϕνϕνϕϕ −−++= −tCpth

pptCety

ht

`

15 Amortyzacja drgań

ROZDZIAŁ 15

Strona 132132132132

Celem amortyzacji jest złagodzenie skutków drgań. Możemy tu wyróż-nić dwa problemy (przypadki) tego zagadnienia:

a) Ochronę otoczenia przed skutkami drgań maszyny.

b) Ochronę maszyny od skutków drgań otoczenia.

Rozpatrzy problem „a”.

Mając układ jak na rysunku 15.1.


Wyznaczmy siłę przenoszoną na podłoże:

Równanie ruchu:

tHkxxcxm νsin=++ &&& (15.1)

Rozwiązanie szczególne ma postać:

)sin( γν += tAxS (15.2)

gdzie:

AMORTYZACJA DRGAŃ

Strona 133133133133

4

0

222

2

0

2

41ω

ν

ω

ν h

lA st

+

−

= (15.3)

Siła działająca na podłoże składa się z sił przenoszonych przez sprężynę i przez tłumik. Siła sprężysta wynosi:

)sin( γν +== tkAkxR (15.4)

Siła przenoszona przez tłumik:

)cos( γνν +== tAcxcS & (15.5)

Maksymalna wartość siły jest równa:

2

22max 1)()(

+=+=

k

ckAAckAP

νν (15.6)

Podstawiając zależność na A otrzymujemy:

ελ

ω

ν

ω

ν

νλ

ν

ω

ν

ω

ν

λ

st

st

st

k

h

k

ck

k

c

h

kP

=

+

−

+

=

=

+

+

−

=

4

0

222

2

0

2

2

2

4

0

222

2

0

2

max

41

1

1

41

(15.7)

stst Pk =λ (15.8)

Więc ε oznacza stosunek maksymalnej siły przenoszonej na podłoże

w czasie drgań do siły statycznej i nazywa się go współczynnikiem

przenoszenia. Dla stosunku 20

>ω

ν występuje zmniejszenie sił prze-

noszonych na podłoże.

ROZDZIAŁ 15

Strona 134134134134

Rysunek 15.2 Zmiana współczynnika przenoszenia ε w funkcji

0ω

ν

Aby uzyskać właściwą amplitudę należy sztywność układy k dobrać tak

by były spełnione warunki:

20

>=k

mν

ω

ν (15.9)

Jak widać właściwie nie ma potrzeby stosowania tłumika, gdyż nie-

znacznie powiększa on siły. Tłumik niezbędny jest jednak w strefie

rezonansu, gdzie poważnie wpływa na zmniejszenie amplitudy sił. Przy

rozruchu maszyny często przechodzimy przez strefę rezonansu.

Rozpatrzmy przypadek „b”

Przeanalizujmy układ jak na rysunku 15.3.


AMORTYZACJA DRGAŃ

Strona 135135135135

Załóżmy że podłoże porusza się ruchem harmonicznym:

tAs νcos= (15.10)

Równanie ruchu:

0)()( =−+−+ sxksxcxm &&&& (15.11)

tAs νν sin−=& (15.12)

Podstawiając otrzymujemy:

tkAtAckxxcxm ννν cossin +−=++ &&& (15.13)

)sincos( tctkAkxxcxm ννν −=++ &&& (15.14)

Podstawiając:

ka =ϕcos ; νϕ ca −=sin (15.15)

otrzymujemy:

)cos(222 ϕνν ++=++ tckakxxcxm &&& (15.16)

222

cka ν+= ; k

ctg

νϕ −= (15.17)

Ostatecznie rozwiązanie równania (15.16) ma postać:

4

0

222

2

0

2

2

41

1

ω

ν

ω

ν

ν

h

k

c

D

+

−

+

= (15.18)

Stosunek maksymalnej amplitudy drgań własnych do przemieszczenia

statycznego jest taki sam jak w poprzednim przypadku. Tak więc zasady

amortyzacji są takie same.

ROZDZIAŁ 15

Strona 136136136136

`

16 Rejestracja drgań

ROZDZIAŁ 16

Strona 138138138138

Badanie i rejestracja drgań pozwala określić źródła ich powstania,

określić ich szkodliwość, a poprzez pomiar parametrów takich jak czę-stość, amplituda wartości przyspieszeń oraz sił przewidzieć sposoby ich

zmniejszenia lub wręcz usunięcia. W przypadku gdy drgania są wyko-

rzystywane, wtedy ich badania pozwalają określić optymalne warunki

pracy.

Pomiary i rejestrację drgań dokonujemy w oparciu o dwie zasady:

a) Pomiar drgań badanego obiektu względem nieruchomego układu

odniesienia.

Rysunek 16.1 Ilustracja zasady pomiarowej „a”

b) Umieszczenie dodatkowego układu drgającego na obiekcie badanym i

pomiar drgań dodatkowego ciała względem jego obudowy związanej z

badanym obiektem.

REJESTRACJA DRGAŃ

Strona 139139139139

Rysunek 16.2 Ilustracja zasady pomiarowej „b”

W przypadku „a” pomiar i rejestracja jest prosta , ale występują duże

trudności z utrzymaniem stałego położenia układu nieruchomego

(rejestrującego). W przypadku „b” nie trzeba stałego układu odniesienia

i stąd popularność tej metody rejestracji i pomiaru. Przyrządy pracujące

na zasadzie „b” nazywane są przyrządami inercyjnymi lub sejsmicz-

nymi.

Bardzo ważnym problemem jest właściwe dobranie przyrządu sejsmicz-

nego tak by wskazywał rzeczywiste przemieszczenie lub przyspieszenie

badanego obiektu.

Rysunek 16.3 Schemat przyrządu sejsmicznego

Dodatkowe ciało o masie m w czujniku sejsmicznym w skutek ruchu

obudowy poddane jest wymuszeniu kinematycznemu. Ruch bezwzględ-

ny ciała opisany jest równaniem:

0)()( =−+−+ sxksxcxm &&&& (16.1)

gdzie: s - przemieszczenie podstawy.

Względne przemieszczenie ciała i podstawy określone jest zależnością:

ROZDZIAŁ 16

Strona 140140140140

sxy −= (16.2)

sxy &&& −= (16.3)

syxsxy &&&&&&&&&&&& +=⇒−= (16.4)

Zatem równanie ruchu względnego:

0=+++ kyycsmym &&&&& (16.5)

Po podzieleniu przez m :

022

0 =+++ yyhsy ω&&&&& (16.6)

Gdy s jest znaną funkcją czasu, równanie sprowadzamy do postaci:

)(22

0 tsyyhy &&&&& −=++ ω (16.7)

Załóżmy że obiekt badany, a wraz z nim podstawa czujnika porusza się ruchem harmonicznym o postaci:

tHs νsin= (16.8)

Równanie ruchu przyjmuje postać:

tHyyhy ννω sin2 22

0 =++ &&& (16.9)

Drgania wymuszone , ustalone badanego ciała mają postać:

)sin()( δν += tHBty A (16.10)

Wychylenie względne ciała o masie m , czyli wskazania czujnika są więc proporcjonalne do przemieszczeń obiektu badanego i przesunięte

w czasie o czas ν

δτ = .

)sin()( τ+= tHBty A (16.11)

Współczynnik AB nazywamy współczynnikiem czułości wibrometru

i wynosi on:

REJESTRACJA DRGAŃ

Strona 141141141141

4

0

222

2

0

2

2

0

2

41ω

ν

ω

ν

ω

ν

h

BA

+

−

= (16.12)

Rysunek 16.4 Przebiegi współczynnika czułości wibrometru

Jak widać przy częstościach drgań mierzonych, wyższych kilkukrotnie

od częstości drgań własnych czujnika, współczynnik czułości AB jest

bliski jedności, a więc czujnik mierzy przemieszczenie badanego

obiektu. Wniosek, iż czujniki przemieszczeń powinny być tak skonstruo-

wane, aby jego częstości drgań własnych była niska. Jednocześnie pro-

wadzi to do utrudnień gdyż czujniki o niskich częstościach muszą być duże i ciężkie.

Te same przyrządy używane są do pomiarów przyspieszeń. Rozwiązanie

równania możemy przedstawić w następującej formie:

))(()sin()(2

0

2

2

0

τω

δννω

+−=+= tsB

tHB

ty PP&& (16.13)

Tak więc wychylenie względne ciała i wskazania czujnika są proporcjo-

nalne do przyspieszenia obiektu drgającego. Współczynnik proporcjo-

nalności PB nazywamy czułością przyspieszeniomierza.

ROZDZIAŁ 16

Strona 142142142142

4

0

222

2

0

2

41

1

ω

ν

ω

ν h

BP

+

−

= (16.14)

Rysunek 16.5 Charakterystyka przyspieszeniomierza

W rozpatrywanym przypadku czujnik może być nastrojony inaczej.

Częstość drgań własnych czujnika powinna być dużo większa od czę-stości drgań mierzonych., gdyż tylko w tedy wartość współczynnika

czułości przyspieszeniomierza PB jest równa jedności, a więc czujnik

mierzy przyspieszenie.

`

17

Drgania swobodne układu liniowego o dwóch stopniach swobody – bez tłumienia

ROZDZIAŁ 17

Strona 144144144144



Składa się on z dwóch ciał o masach 1m i 2m połączonych elementami

sprężystymi o współczynnikach sztywności 1k i 2k . Przemieszczenie

poszczególnych ciał opisane jest dwoma współrzędnymi 1x i 2x . Ko-

rzystając z równania Lagrange`a II rodzaju ułóżmy równania ruchu.

Energia kinetyczna układu KE :

2

22

2

112

1

2

1xmxmEK&& += (17.1)

Energia potencjalna układu PE :

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU LINIOWEGO O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY – BEZ TŁUMIENIA

Strona 145145145145

( )

2

12212

2

22

2

11

2

122

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xkxxkxkxk

xxkxkEP

+−+

=−+=

(17.2)

Ponieważ analizowany układ jest autonomiczny, równanie Lagrange`a II

rodzaju przyjmujemy w postaci:

0=∂

∂+

∂

∂

i

P

i

K

x

E

x

E

dt

d

& (17.3)

Poszczególne człony równania (17.3) mają postać:

11

1

xmx

E

dt

d K&&

&=

∂

∂; 22

2

xmx

E

dt

d K&&

&=

∂

∂ (17.4)

( )21211122211

1

xxkxkxkxkxkx

EP −+=+−=∂

∂ (17.5)

( )1221222

2

xxkxkxkx

EP −=−=∂

∂ (17.6)

Zatem po podstawieniu do równania Lagrange`a w przyjętej postaci,

uwzględniając indeksy, otrzymujemy:

( )

( ) 0

0

12222

2121111

=−+

=−++

xxkxm

xxkxkxm

&&

&& (17.7)

Rozwiązania równań (17.7) przewidujemy w postaci:

tax ωsin11 = ; tax ωsin22 =

tax ωω cos11 =& ; tax ωω cos22 =& (17.8)

tax ωω sin211 −=&& ; tax ωω sin2

22 −=&&

Uwzględniając (17.8) w równaniach ruchu (17.7) otrzymujemy:

0sinsinsin

0sinsinsinsin

12222

22

2212112

11

=−+−

=−++−

taktaktam

taktaktaktam

ωωωω

ωωωωω (17.9)

ROZDZIAŁ 17

Strona 146146146146

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

( )( )

( )( ) 0sin

0sin

22

2212

22212

11

=+−+−

=−++−

tkmaak

takkkma

ωω

ωω (17.10)

Aby układ równań (17.10) zerował się dla każdego czasu t , muszą być spełnione warunki:

( )

( ) 0

0

22

2212

22212

11

=+−+−

=−++−

kmaak

akkkma

ω

ω (17.11)

Aby ostatnie równania miały niezerowe rozwiązania musi być spełniony

warunek:

02

222

2212

1 =+−−

−++−

kmk

kkkm

ω

ω (17.12)

Rozwiązując wyznacznik (17.12) otrzymujemy:

02

2

2

22

22212

212

124

21 =−+−+−− kkmkkkmkmkmm ωωωω (17.13)

Po uproszczeniu i uporządkowaniu otrzymujemy równanie częstości:

( ) 0212

2221124

21 =+++− kkmkmkmkmm ωω (17.14)

Rozwiązując równanie (17.14) otrzymujemy dwie częstości drgań

własnych analizowanego układu.

( ) 2121

2

222112 4 kkmmmkmkmk −++=∆ (17.15)

( ) ( ) 2121

2

2221122221122,1 4 kkmmmkmkmkmkmkmk −++++= mω

Zatem układ będzie drgał w ogólnym przypadku z dwoma częstościami

1ω i 2ω zależnymi od jego parametrów.

Przykład 1.

Wyznaczyć częstości drgań własnych dla układu jak na rysunku 17.2.


Strona 147147147147


Współrzędne skręcenia wału poprzez krążki odpowiednio 1ϕ i 2ϕ .

Badany układ składa się z dwóch krążków o momentach bezwładności

1I i 2I połączonych ze sobą wałem o sztywności k na skręcanie.

Ułóżmy równania ruchu układu:

2

22

2

112

1

2

1ϕϕ && IIEK +=

( ) 2

121

2

2

2

122

1

2

1

2

1ϕϕϕϕϕϕ kkkkEP +−=−=

11

1

ϕϕ

&&&

IE

dt

d K =

∂

∂; 22

2

ϕϕ

&&&

IE

dt

d K =

∂

∂

( )2112

1

ϕϕϕϕϕ

−=+−=∂

∂kkk

EP

( )1212

2

ϕϕϕϕϕ

−=−=∂

∂kkk

EP

( ) 02111 =−+ ϕϕϕ kI &&

( ) 01222 =−+ ϕϕϕ kI &&

tωαϕ sin11 = ; tωαϕ sin22 =

ROZDZIAŁ 17

Strona 148148148148

tωωαϕ cos11 =& ; tωωαϕ cos22 =&

tωωαϕ sin211 −=&& ; tωωαϕ sin2

22 −=&&

Podstawiając do równania ruchu:

0sinsinsin 212

11 =−+− tktktI ωαωαωωα

0sinsinsin 122

22 =−+− tktktI ωαωαωωα

Po uproszczeniu.

( )[ ] 0sin22

11 =−+− tkkI ωαωα

( )[ ] 0sin22

21 =+−+− tkIk ωαωα

Aby równania się zerowały dla każdego czasu t wyrażenia w nawiasach

kwadratowych muszą być równe zeru.

( ) 022

11 =−+− αωα kkI

( ) 022

21 =+−+− αωα kIk

Aby istniały niezerowe rozwiązania na 1α i 2α musi być spełniony

warunek:

02

2

21 =

+−−

−+−

kIk

kkI

ω

ω

Rozwiązując wyznacznik otrzymujemy:

02222

21

421 =−+−− kkkIkIII ωωω

Ostatecznie:

( ) 0221

421 =+− ωω kIkIII

Równanie to można przedstawić w postaci:

( )[ ] 0212

212 =+− IIkII ωω

01 =ω


Strona 149149149149

( )

21

212

II

IIk +=ω

Częstość 1ω odpowiada toczeniu się rozpatrywanego układu, natomiast

częstość 2ω wynika z wzajemnych drgań względem siebie krążków

o momentach bezwładności 1I i 2I .

Przykład 2.

Dla układu z przykładu 1 znaleźć współrzędne przekroju pręta o sztyw-

ności k , który nie będzie podlegał skręcaniu. Pręt okrągły.

Rysunek 17.2 Przypadek analizowany w przykładzie 2

Częstość drgań krążka o momencie bezwładności 1I wynosi:

1I

kaa =ω

gdzie: ak - sztywność na skręcanie odcinka a pręta.

Częstość drgań krążka o momencie bezwładności 2I wynosi:

2I

kbb =ω

gdzie: bk - sztywność na skręcanie odcinka b pręta.

Sztywności odcinków pręta a i b wynoszą odpowiednio:

a

GJka

0= ; b

GJkb

0=

ROZDZIAŁ 17

Strona 150150150150

gdzie:

G - moduł Kirchoffa materiału pręta o sztywności k ,

0J - osiowy moment bezwładności.

Zatem:

1

0

aI

GJa =ω ;

2

0

bI

GJb =ω

Częstości aω i bω muszą być sobie równe.

ba ωω =

czyli:

2

0

1

0

bI

GJ

aI

GJ=

Zatem:

21

11

bIaI=

Tak więc:

12 aIbI =

Po uporządkowaniu:

1

2

I

I

b

a=

Szukany przekrój nie podlegający skręcaniu zależny jest od stosunku

momentów bezwładności 1I i 2I krążków.

`

18Drgania wymuszane układów o dwóch stopniach swobody, tłumienie dynamiczne

ROZDZIAŁ 18

Strona 152152152152

Rozpatrzmy liniowy układ o dwóch stopniach swobody, pozbawiony

tłumienia, jak na rysunku 18.1.

Rysunek 18.1 Rozpatrywany układ o dwóch stopniach swobody

Ciało o masie 1m zawieszone jest na sprężynie o sztywności 1k . Z tym

ciałem za pośrednictwem sprężyny o sztywności 2k połączone jest

drugie ciało o masie 2m . Na ciało o masie 1m działa harmoniczna siła

wymuszająca w postaci tPtf νsin)( = . Układ wykonuje drgania

podłużne.

Energia kinetyczna układu KE :

2

22

2

112

1

2

1xmxmEK&& += (18.1)

Energia potencjalna układu PE :

DRGANIA WYMUSZONE UKŁADÓW O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY, TŁUMIENIE DYNAMICZNE

Strona 153153153153

( )

2

22212

2

12

2

11

2

212

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xkxxkxkxk

xxkxkEP

+−+

=−+=

(18.2)

Korzystając z równania Lagrange`a II rodzaju możemy napisać:

11

1

xmx

E

dt

d K&&

&=

∂

∂; 22

2

xmx

E

dt

d K&&

&=

∂

∂ (18.3)

( )21211221211

1

xxkxkxkxkxkx

EP −+=−+=∂

∂ (18.4)

( )1221222

2

xxkxkxkx

EP −=−=∂

∂ (18.5)

Podstawiając do równania Lagrange`a i uwzględniając siłę wymuszającą, otrzymujemy układ równań, opisujących drgania badanego układu.

( )

( ) 0

sin

12222

2121111

=−+

=−++

xxkxm

tPxxkxkxm

&&

&& ν (18.6)

Oczywiście 1x i 2x współrzędne liczone od położenia równowagi

statycznej.

Rozwiązania szczególne drgań wymuszonych przewidujemy w postaci:

tAx νsin11 = ; tAx νsin22 =

tAx νν cos11 =& ; tAx νν cos22 =& (18.7)

tAx νν sin211 −=&& ; tAx νν sin2

22 −=&&

Podstawiając do układu równań (18.6) otrzymujemy:

0sinsinsin

sinsinsinsinsin

12222

22

2212112

11

=−+−

=−++−

tAktAktAm

tHtAktAktAktAm

νννν

νννννν (18.8)

Na podstawie (17.11) możemy zapisać:

ROZDZIAŁ 18

Strona 154154154154

( )

( ) 0222

212

221212

1

=+−+−

=−++−

AkmAk

HAkAkkm

ν

ν (18.9)

Z równania drugiego wyznaczmy 2A :

( )222

122

νmk

AkA

−= (18.10)

Podstawiając do pierwszego otrzymujemy:

( )( ) P

mk

AkAmkk =

−−−+

222

1

2

21

2121

νν (18.11)

stąd 1A :

( )

( )( ) 2

22

222

121

222

1kmkmkk

mkPA

−−−+

−=

νν

ν (18.12)

Podstawiając do wyrażenia na 2A otrzymujemy:

( )( )( )( )[ ]

( )( ) 2

22

222

121

2

2

22

222

1212

22

2222

1

kmkmkk

Hk

kmkmkkmk

mkPkA

−−−+=

=−−−+−

−=

νν

ννν

ν

(18.13)

Wyznaczmy współczynniki uwielokrotnienia amplitudy 1µ i 2µ :

st

A

λµ 1

1 = ; st

A

λµ 2

2 = ; 1k

Pst =λ (18.14)

Podstawiając wyrażenie na 1A , otrzymujemy:


Strona 155155155155

( )( )( )

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

22

2

2

22

1

2

1

21

2

2

2

21

1

2

22

222

121

2221

1

11

1

11

1

k

k

k

k

kkk

kk

kk

H

k

kmkmkk

mkPA

st

−

−

−+

−

=

=

−

−

−+

−

=

=−−−+

−==

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

νν

ν

λµ

(18.15)

Podstawiając wyrażenie na 2A , otrzymujemy:

( )( )

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

22

2

2

22

1

2

1

21

21

1

2

22

222

121

222

11

1

11

k

k

k

k

kkk

kk

kk

P

k

kmkmkk

PkA

st

−

−

−+

=

=

−

−

−+

=

=−−−+

==

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ω

ν

ννλµ

(18.16)

Przebieg współczynnika 1µ przedstawia rysunek 18.2.

ROZDZIAŁ 18

Strona 156156156156

Rysunek 18.2 Przebiegi współczynnika 1µ w funkcji parametru1ω

ν

W przypadku gdy:

21 ωων == (18.17)

Wtedy 01 =µ .

Następuje całkowity zanik drgań ciała o masie 1m . Takie zjawisko nazy-

wamy tłumieniem dynamicznym i jest ono bardzo często wykorzystywa-

ne w technice. Gdy chcemy aby ciało o masie 1m pozostawało w spo-

czynku, (mimo iż przyłożona jest doń siła wymuszająca )(tf ), to

dodajemy do niego dodatkowe ciało o masie 2m na sprężynie o sztyw-

ności 2k , tak dobranej aby był spełniony warunek 21 ωων == . Tak

dobrane ciało i sprężyna nazywa się tłumikiem dynamicznym.

Tłumik wykonuje ruch określony zależnością:

tk

Pt

k

k

k

PttAx st νννµλν sinsinsinsin

22

1

1

222 −=

−=== (18.18)

Siła przenoszona przez sprężynę:

tPtk

PkxkR νν sinsin

2

222 −=−== (18.19)


Strona 157157157157

Tak więc reakcja sprężyny jest równa co do wartości sile wymuszającej

i ma zwrot przeciwny. Równoważenie się tych sił powoduje iż ciało

o masie 1m do którego przyłożona jest siła wymuszająca pozostaje

w spoczynku.

Taki tłumik dynamiczny posiada podstawową wadę. Jak widać z prze-

biegu współczynnika 1µ drgania są wytłumione do zera praktycznie tyl-

ko dla jednej częstości siły wymuszającej. Przy reaktywnych krzywych

1µ najmniejsza zmiana częstości siły wymuszającej powoduje już

bardzo duży wzrost współczynnika uwielokrotnienia, a co za tym idzie

znaczny wzrost amplitudy ciała o masie 1m . Taki tłumik jest więc mało

efektywny.

Jeżeli wprowadzimy tłumik pomiędzy ciałem głównym o masie 1m

a ciałem 2m , czyli w układzie eliminatora pojawi się tłumik jak na

rysunku 18.3.

Rysunek 18.3 Dynamiczny eliminator drgań z dodatkowym tłumikiem

W równaniach ruchu pojawi się dodatkowy człon z tłumieniem:

( ) ( )

( ) ( ) 0

sin

12212222

2122121111

=−+−+

=−+−++

xxcxxkxm

tPxxcxxkxkxm

&&&&

&&&& ν (18.20)

Współczynnik uwielokrotnienia amplitudy ma w tym przypadku

przebieg.

ROZDZIAŁ 18

Strona 158158158158

Rysunek 18.4 Przebiegi współczynnika 1µ ze złagodzeniem

wpływu rezonansów

Widać wyraźnie że następuje złagodzenie wpływu rezonansów. Działa-

nie tłumika jest jednak osłabione gdyż w punkcie 21 ωων == współ-

czynnik uwielokrotnienia jest większy od zera.

Można tak dobrać parametry układu aby styczne do krzywych rezonan-

sowych w punktach przejścia P i Q były poziome.

Rysunek 18.5 Przebiegi współczynnika 1µ z poziomymi stycznymi

w punktach P i Q


Strona 159159159159

Przykład 1.

Podać warunki, stanowiące podstawę doboru amortyzatora drgań skręt-nych krążka o masie 1m , wymuszanych momentem sinusoidalnie zmien-

nym tMtM O νsin)( = . Schemat układu przedstawiono na rysunku 18.6.

Rysunek 18.6 Analizowany układ w przykładzie 1

Krążek o masie 1m , obciążony momentem sił zewnętrznych )(tM , oraz

krążek o masie 2m amortyzatora tworzą układ o dwóch stopniach

swobody. Przemieszczenia krążków opisywać będą odpowiednio kąty

skręcenia 1ϕ i 2ϕ .Równania ruchu układu mają postać:

0

sin)(

122222

01212211

=−+

=++−

ϕϕϕ

νϕϕϕ

kkI

tMkkkI

&&

&&

Lub:

0

sin

122222

012211

=−+

=+−

ϕϕϕ

νϕϕϕ

kkI

tMkkI

&&

&&

gdzie: 21 kkk +=

Przewidujemy rozwiązania równań w postaci:

tναϕ sin11 = i tναϕ sin22 =

gdzie:

1α ; 2α - odpowiednio amplitudalne wychylenia krążków o ma-

sach 1m i 2m .

Po wprowadzeniu tych funkcji i ich drugich pochodnych do równań

ruchu otrzymujemy po uproszczeniu:

ROZDZIAŁ 18

Strona 160160160160

( ) OMkIk =−− 2212

1 ααν ; ( ) 01222

22 =−− ααν kIk

Z powyższego równania wyznaczamy amplitudalne wychylenia krążków

1α ; 2α :

−

−

−

+

−

=

1

2

2

2

2

11

2

2

2

1

11

1

k

k

k

k

st

ω

ν

ω

ν

ϕω

ν

α

−

−

−

+

=

1

2

2

2

2

11

2

2

11k

k

k

k

st

ω

ν

ω

ν

ϕα

gdzie:

1

11

I

k=ω - częstość drgań własnych skrętnych krążka 1m ,

2

22

I

k=ω - częstość drgań własnych skrętnych krążka 2m ,

1k

M Ost =ϕ - statyczny kąt skręcenia wału pierwszego pod

wpływem amplitudalnej wartości momentu

wymuszającego.

Dobór amortyzatora 2m opierać się będzie na następujących dwóch

warunkach:

2

22

I

k== ων

Oraz:

2

22

I

k== ων


Strona 161161161161

Stosując dynamiczny eliminator drgań można także tłumić drgania

układów o większej liczbie stopni swobody niż dwa. Przypadek taki

obrazuje przykład 2.

Przykład 2.

Podać warunki, stanowiące podstawę doboru amortyzatora drgań skręt-nych krążka o masie 3m , drgań skrętnych układu z dwoma krążkami 1m

i 2m wymuszanych momentem przyłożonym do krążka 2m sinusoidal-

nie zmiennym tMtM O νsin)( = . Schemat układu przedstawiono na

rysunku 18.7.

Rysunek 18.7 Analizowany układ w przykładzie 2

Oba krążki 1m i 2m oraz amortyzator 3m tworzą układ o trzech stop-

niach swobody tego samego typu jak układ analizowany w przykła-

dzie 2. Wobec tego przystosujemy tutaj wyjściowe równania różniczko-

we z poprzedniego przykładu, uzupełniając drugie z nich czynnikiem,

wyrażającym moment )(tM sił zewnętrznych.

W ten sposób będziemy mieli:

( )( ) ( )( ) 0

sin

0

23333

023312222

12211

=−+

=−−−+

=−−

ϕϕϕ

νϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

kI

tMkkI

kI

&&

&&

&&

ROZDZIAŁ 18

Strona 162162162162

Doświadczenie 1.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadą działania dynamicznych

eliminatorów drgań oraz porównanie krzywych rezonansowych dla bez-

władnościowo wymuszanych drgań układu głównego: bez eliminatora

oraz z tłumionym dynamicznym eliminatorem drgań.

Schemat stanowiska wykorzystywanego w doświadczeniu przedstawia

rysunek 18.8.

Rysunek 18.8 Schemat stanowiska

Stanowisko zawiera następujące elementy:

1 - Układ główny o masie M podwieszony na płaskich sprężynach (1).

2 - Eliminator o masie m podwieszony na sprężynach (3) i zawierający

tłumik (5).

6 - Wzbudnik drgań.

W ćwiczeniu należy zarejestrować przebiegi drgań układu głównego (1)

ze zblokowanym eliminatorem przy płynnej zmianie prędkości obroto-

wej wibratora oraz przy różnych ustalonych prędkościach obrotowych

wibratora. Wykonać analogiczne pomiary dla układu z odblokowanym

eliminatorem dynamicznym. Wyznaczyć rodziny krzywych rezonanso-

wych dla obydwu przypadków przedstawione jako teoretyczne na rysun-

kach 18.2 i 18.4.

`

19 Literatura

ROZDZIAŁ 6

Strona 164164164164

1. Osiński. Z., Teoria drgań., PWN, Warszawa, 1980.

2. Piszczek K., Walczak J., Drgania w budowie maszyn, PWN,

Warszawa, 1972.

3. Kaliski S. i zespół, Drgania i fale, PWN, Warszawa, 1966.

4. Nizioł J., Podstawy drgań w maszynach., Politechnika Krakow-

ska, Kraków, 1996.

5. Giergiel J., Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa,

1990.

6. Osiński Z., Tłumienie drgań mechanicznych, PWN, Warszawa,

1976.

7. Kamiński E., Podstawy dynamiki maszyn, Wydawnictwo Poli-

techniki Warszawskiej , Warszawa, 1980.

8. Giergiel J., Drgania mechaniczne układów dyskretnych, Wydaw-

nictwo Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2004.

9. Praca zbiorowa, Teoria drgań – zbiór zadań, Wydawnictwo Po-

litechniki Warszawskiej, Warszawa, 1985.

10. Nizioł J., Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki, WT,

Warszawa, 2002.

11. Praca zbiorowa, Drgania mechaniczne, (laboratorium), Oficyna

wydawnicza PW, Warszawa, 1995.

Starczewski Drgania mechaniczne · 2013. 11. 13. · 2 Kinematyka drgań . ROZDZIAŁ 2 Strona...

Documents

Transcript of Starczewski Drgania mechaniczne · 2013. 11. 13. · 2 Kinematyka drgań . ROZDZIAŁ 2 Strona...