STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE

STANDARDY KSZTAŁCENIASTANDARDY KSZTAŁCENIA

UCZNIÓW UZDOLNIONYCHUCZNIÓW UZDOLNIONYCH

MATEMATYCZNIEMATEMATYCZNIE

Jerzy Janowicz

Indywidualne prowadzenie uczniów mających predyspozycje ku matematyce jest podstawowym obowiązkiem każdego nauczyciela tego przedmiotu.

SYSTEM

STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIEUZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE

zorganizowany

celowy

spójny wewnętrznie


UKŁAD TEMATYCZNY

np.

• Liczby• Wielomiany• Równania• Funkcje• Zbiory• Figury płaskie• Bryły

UKŁAD KOMPETENCYJNY

np.

• sprawne wykonywanie algorytmów

• wnioskowanie

• heurystyka

• tworzenie


Biegłość w posługiwaniu się narzędziami matematycz-nymi na takim poziomie, aby nie stanowiły one dodatkowej trudności przy wykonywaniu czynności wyższego rzędu.

•obliczanie,

• konstruowanie,

• przekształcanie (arytmetyczne, algeb-raiczne, geometryczne),

• tworzenie modeli (algebraicznych, geometrycznych i innych),

• zapisywanie procesów w języku matematyki.

1. RZEMIEŚLNIK1. RZEMIEŚLNIK


Do zbioru D należą wszystkie liczby dziewięciocyfrowe o każdej cyfrze innej i różnej od zera. Oblicz sumę wszystkich liczb ze zbioru D.


Rozwiązanie

Liczby ze zbioru D można połączyć w pary tak, aby cyfry stojące w nich na odpowiadających sobie miejscach dawały w sumie 10. Suma takich dwóch liczb jest równa 1 111 111 110. Wszystkich liczb w zbiorze D jest 9!.

Szukana suma jest więc równa:

0,5 · 9! · 1 111 111 110 = 201 599 999 798 400


Przez dziurę w ogrodzeniu Parku Dziurajskiego uciekło kilkanaście dinozaurów trzech gatunków: gadulce, lilipki paszczozaury. Lilipków i gadulców było 13, a gadulców i paszczozaurów było 15. Ile co najmniej gadulców uciekło z tego parku?

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10



2. EKSPERT2. EKSPERT

Całościowe spojrzenie na prowadzony proces i dobieranie pod tym kątem określonych procedur.

• tworzenie logicznego ciągu wniosków,

• matematyzacja (oprócz tworzenia modelu również manipulowanie nim, przekształcanie, itp.),

• interpretacja rozumo-wania lub jego rezultatów,

• wykorzystywanie i przetwarzanie informacji danych w różnych formach,

• wyjaśnianie zauważonych prawidłowości.



Z dwóch różnych cyfr Wojtek utworzył wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe (cyfry mogły się powtarzać). Następnie obliczył iloczyn wszystkich otrzymanych liczb i uzyskał wynik 3 366 825. Jakich cyfr użył Wojtek? Rozwiązanie

Otrzymany iloczyn dzieli się przez 5, więc jedną z cyfr jest 5. Utwo-rzone przez Wojtka liczby są postaci: 55, 5, 5, . Otrzymany iloczyn dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9. Tylko jedna z utworzonych liczb dzieli się przez 3. Nie jest nią 55. Nie jest nią rów-nież 5, gdyż wtedy podzielną przez 3 byłaby również 5, czyli iloczyn dzieliłby się przez 9. Tak więc jest wielokrotnością trójki, czyli jest to jedna z liczb: 99, 66, 33. Pierwsza odpada z powodu podzielności przez 9, druga z powodu parzystości (iloczyn jest nieparzysty). Pozostaje trzecia. Rzeczywiście: 35 53 33 55 = 3 366 825. Wojtek użył cyfr 3 i 5.


W półkole wpisane jest drugie półkole w ten sposób, że ich średnice są równoległe, końce średnicy mniejszego półkola należą do półokręgu ograniczającego duże półkole, a półokrąg wyznaczający mniejsze półkole jest styczny do średnicy większego. W analogiczny sposób w drugie półkole wpisano trzecie (patrz rysunek obok). Ile razy pole pierwszego półkola jest większe od pola trzeciego półkola?

A. B. 2 C. 2 D. 4 2 2



3. ODKRYWCA3. ODKRYWCA

Zdolność do generowania rozwiązań

• prostych,

• pomysłowych,

• błyskotliwych,

• oryginalnych



Wykaż, że dla każdego n N, n > 3 można znaleźć n-kąt,

w którym symetralne dowolnych dwóch przekątnych przecinają się w punkcie nienależącym do tego wielokąta. Rozwiązanie

Dobrym pomysłem jest wykorzystanie regularności budowy wielokątów foremnych. Weźmy wielokąt wyznaczony przez n kolejnych wierzchołków (2n+1)-kąta foremnego. Jeśli opiszemy na nim okrąg, to każda przekątna tego wielokąta jest cięciwą, więc wszystkie symetralne przekątnych przecinają się w środku okręgu. Spostrzeżenie, że środek okręgu nie należy do tego wielokąta, kończy rozwiązanie zadania.



Prostokątny arkusz papieru składamy na pół, następnie znów na pół itd., za każdym razem tak, aby linia następnego zgięcia była prostopadła do linii poprzedniego zgięcia. Po szóstym złożeniu obcinamy narożniki tak otrzymanego prostokąta Ile ścinków otrzymamy?

A. 36 B. 49 C. 64 D. 81


Zdolność do

•stawiania i weryfikacji hipotez,

•odkrywania złożonej struktury logicznej,

•doboru adekwatnych narzędzi,

•tworzenia i realizacji schematu rozwiązania,

•pogłębionej interpretacji uzyskanych wyników.

4. DETEKTYW4. DETEKTYW


4. DETEKTYW4. DETEKTYWAsia, Wojtek i Jacek obliczali wartość wyrażeń: A = (a + b) : c, W = (a + c) : b, J = (b + c) : a dla tych samych wartości a, b, c będących dodatnimi liczbami rzeczy-wistymi. Wyniki zaokrąglili do jedności i otrzymali: A 2, W 3, J 5. Maciek spojrzał na te rezultaty, policzył coś na boku i stwier-dził, że przynajmniej jedna z osób popełniła błąd. Czy miał rację?

Rozwiązanie Z warunku (a + b) : c 2, mamy (a + b) : c 1,5, więc a + b 1,5c. Podobnie z (a + c) : b 3 wynika a + c 2,5b. Dodając stronami obie nierówności, mamy: a + b + a + c 1,5c + 2,5b, czyli 2a + b + c 2,5b + 1,5c Przekształcając kolejno, otrzymujemy:4a + 2b + 2c 5b + 3c4a 3b + c4 (3b + c) : a > (b + c) : aczyli (b + c) : a < 4. Otrzymany rezultat jest sprzeczny z J 5. Maciek miał rację.


4. DETEKTYW4. DETEKTYW

W prostopadłościanie o wymiarach 7 cm, 8 cm, 9 cm umieszczono w dwóch przeciwległych narożach po jednym sześcianie o krawędzi długości 6 cm. Ile jest równa objętość wspólnej części tych sześcianów jest równa?

A. 60 cm2 B. 72 cm2 C. 126 cm2 D. 168 cm2


5. TWÓRCA5. TWÓRCA

Zdolność do:

•ogólniejszego rozważania opisanej sytuacji,

•poszukania analogicznych problemów

•nowatorskiego zastosowania metody użytej w rozwiązaniu innego problemu,

•dostrzegania nowych obszarów eksploracji,

•umiejętność kontynuowania problemu,

•stawiania oryginalnych pytań.


5. TWÓRCA5. TWÓRCANa płaszczyźnie narysowano 4 proste czerwone, 4 zielone i 4 niebieskie tak, że żadne dwie spośród tych dwunastu nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. Ile trójkątów o każdym boku innego koloru wyznaczają te proste?

Rozwiązanie Parę prostych czerwona−zielona można wybrać na 4 · 4 sposobów. Do każdej z tych par można dołączyć niebieską na 4 sposoby. Stąd mamy 43 = 64 trójkąty. A gdyby tak według tych samych zasad poprowadzić k prostych czerwonych, m prostych zielonych i n niebieskich? Trójkolorowych trójkątów będzie wówczas...A gdyby tak poprowadzić k prostych czerwonych równoległych do siebie, m prostych zielonych równoległych do siebie i przecinających czerwone oraz n niebieskich równoległych do siebie i przecinających wszystkie poprzednie? Wówczas trójkolorowych trójkątów będzie...


5. TWÓRCA5. TWÓRCA

Ile istnieje liczb n-cyfrowych (n > 2) podzielnych przez 5, których suma cyfr jest także podzielna przez 5 ? A. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 225 · 10n−3 liczb podzielnych

przez 2, których suma cyfr jest również podzielna przez 2. P / F

B. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 675 · 10n−3 liczb niepodzielnych przez 2, których suma cyfr jest również niepodzielna przez 2.

P / FC. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 9 · 10n−3 liczb podzielnych

przez 10, których suma cyfr jest również podzielna przez 10.

P / FD. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 891 · 10n−3 liczb

niepodzielnych przez 10, których suma cyfr jest również niepodzielna przez 10.

P / F


DZIĘKUJĘ

Jerzy Janowicz

STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE

Documents

Transcript of STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE