Sily Wewnetrzne Prety

WAT WME IMMT ZAKŁAD MECHANIKI OGÓLNEJ

Agnieszka Derewońko

SIŁY WEWNĘTRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE

WYZNACZALNYCH Zbiór zadań

Warszawa – 2007

SIŁY WEWNĘTRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

2

WSTĘP Zbiór zawiera zadania z sił wewnętrznych układów statycznie wyznaczalnych.

Dla takiego układu liczba reakcji jest równa liczbie niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody, która zapewnia geometryczną niezmienność układu, jest równa zeru.

W zbiorze zawarte są zadania z pełnym rozwiązaniem i szczegółowym opisem rozwiązania, zadania do ćwiczeń obliczeniowych z odpowiedziami w postaci wykresów sił wewnętrznych oraz zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania. PODPORY

Konstrukcja statycznie wyznaczalna jest unieruchomiona gdy odebrano jej wszystkie stopnie swobody (na płaszczyźnie, dla bryły sztywnej - trzy stopnie swobody, w przestrzeni sześć), co realizowane jest przez połączenie konstrukcji z nieodkształcalnym podłożem za pomocą podpór.

Wyidealizowanym rysunkiem konstrukcji jest schemat statyczny, w którym rysowana jest tylko oś pręta (miejsce geometryczne punktów będących środkami ciężkości przekrojów pręta). Zakładane jest, że podpory są przyłożone do osi pręta. Siły przekazywane z podłoża na konstrukcję poprzez podpory nazywane są siłami reakcji.

Podstawowe rodzaje podpór dla płaskich układów konstrukcyjnych: 1. Podpora przegubowo-przesuwna – zastępowana jest jedną siłą reakcji

o znanym kierunku, prostopadłym do płaszczyzny przesunięcia. Podpora ta odbiera ciału jeden stopień swobody, gdyż eliminuje przesunięcie w jednym kierunku, a zezwala na przesunięcie w drugim kierunku i swobodny obrót.

R

2. Podpora przegubowa - zastępowana jest jedną siłą reakcji o nieznanym kierunku. Taką siłę reakcji przedstawiamy często w postaci jej dwóch składowych w kierunku pionowym i poziomym. Podpora ta odbiera ciału dwa stopnie swobody przez eliminację przesunięć w dwóch kierunkach. Zezwala tylko na obrót wokół punktu podparcia.

Ry

Rx

3. Sztywne utwierdzenie - zastępowana jest jedną siłą reakcji o nieznanym

kierunku i parą sił. Podpora ta odbiera ciału trzy stopnie swobody: przesunięcie w dwóch kierunkach i obrót.

Ry

Mu

P

P

Rx

AGNIESZKA DEREWOŃKO

3

Zasadnicze rodzaje podpór w przestrzennych układach konstrukcyjnych: 4. Przegub walcowy - ciało sztywne jest osadzone na walcowym sworzniu

przechodzącym przez kołowy otwór wykonany w tym ciele. Występujące dwie reakcje Rx i Ry stanowią dwie niewiadome i umożliwiają wyznaczenie wartości reakcji R, której linia działania przechodził przez oś sworznia.

5. Podpora przegubowa - koniec podparcia ciała sztywnego może się

obracać dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy niezależne składowe reakcje Rx, Ry i Rz.

Ry

Rz

Rx

z

y x

6. Przegub kulisty - uniemożliwia swobodę przesunięć, ale umożliwia obrót

wokół dowolnej osi. Jego zakończenie jest wykonane w kształcie kuli, która jest osadzona w łożysku kulistym. Reakcja R o dowolnym kierunku w przestrzeni, przechodzi przez środek kuli i ma trzy niezależne składowe Rx, Ry i Rz.

7. Utwierdzenie całkowite (sztywne utwierdzenie) – zastępowane jest

reakcją R o trzech składowych Rx, Ry i Rz oraz momentem utwierdzenia M o trzech składowych Mx, My i Mz. Podpora ta odbiera ciału sześć stopni swobody: przesunięcie w trzech kierunkach i obrót względem trzech osi.

RyRxMy

Mx

Mz

Rz


4

Szczególne przypadki podpór: 8. Zawieszenie na cięgnach wiotkich – inaczej podpory kierunkowe

jednostronne, bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje S1 i S2 działają na ciało wzdłuż tych cięgien.

G G

S1 S2

9a. Oparcie o gładką powierzchnię - styk punktowy, występuje jedna reakcja

R, prostopadła do powierzchni styku.

R

9b. Oparcie o chropowatą powierzchnię - styk punktowy, występują dwie

składowe reakcji R: normalna do powierzchni N i styczna siła tarcia T.

N

R

T

10. Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach przegubowych) - ciało sztywne można unieruchomić przez podparcie na prętach zakończonych przegubami. Reakcje na ciało będą działać wzdłuż prętów S1, S2 i S3.

G G

S1 S2

OBCIĄŻENIA

Obciążenie na schemacie statycznym przykładane jest do osi pręta. W zależności od sposobu rozłożenia obciążenia na powierzchni elementu rozróżniane są:

1. Obciążenie skupione - jest to obciążenie, które działa na element na niewielkiej jego powierzchni i jest przedstawiane jako obciążenie przyłożone do punktu. Do obciążeń skupionych zaliczane jest siła skupiona i moment skupiony. Jednostką momentu skupionego jest jednostka siły pomnożona przez jednostkę długości, np. Nm.

2. Obciążenie ciągłe - jest to obciążenie rozłożone na pewnej długości. Można tutaj wyróżnić obciążenie równomiernie rozłożone (np. ciężar belki o stałym przekroju) i obciążenie nierównomiernie rozłożone. Wymiarem obciążenia ciągłego, często oznaczanego literą q, jest jednostka siły dzielona przez jednostkę długości, np. N/m.


5

SIŁY WEWNETRZNE Obciążenie przyłożone do elementu konstrukcyjnego powoduje powstanie

w nim sił nazwanych siłami wewnętrznymi. Siły te wywołują w materiale stan wytężenia, który może doprowadzić do zniszczenia elementu. Ich znajomość jest konieczna do zaprojektowania danej konstrukcji.

Zakładane jest, że daną konstrukcję można przedstawić jako podparte w sposób zapewniający równowagę i niezmienność (w sensie analizy kinematycznej) względem ustalonego układu odniesienia, ciało sztywne. Ciało to zostało obciążone układem sił czynnych (obciążenie) i biernych (reakcje). Jeżeli jest unieruchomiona, to układ sił działających na nie jest równoważny układowi zerowemu.

P1

P2 P3

P4

R2

R1 R3

R4 R5 R6

I II

P1

P2

P3

P4 R2

R1 R3

R4 R5 R6

I

II

PII

MII

C C

MII

PII

Dokonano podziału ciała sztywnego na dwie części I i II. Aby utrzymać

w równowadze cześć I, na powierzchni przecięcia należy przyłożyć układ sił wewnętrznych, z jakimi działa na nią cześć II. Układ ten możemy określić jako wektor główny PII tych sił oraz moment ogólny MII wyznaczony względem dowolnie obranego bieguna redukcji C leżącego w płaszczyźnie przekroju. Część I będzie w równowadze jeżeli działające na nią siły zewnętrzne (przyłożone obciążenie i reakcje) i wektor główny sił PII, oraz moment ogólny MII, z jakimi część II działa na część I spełniać będą odpowiednie warunki równowagi.

Rozumowanie powyższe pozwala sformułować następujące zasady: − Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części pierwszej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części drugiej. − Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części drugiej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części pierwszej. − Dwa układy sił są równoważne jeżeli mają równe sumy i równe momenty liczone względem tego samego punktu.

W przypadku układów prętowych należy przyjąć, że biegunem redukcji będą punkty należące do osi pręta. Zredukowany w każdym przekroju układ sił nazywamy siłami wewnętrznymi (przekrojowymi). Siły wewnętrzne określane są w lokalnym układzie współrzędnych, przyjmując że oś x tego układu leży wzdłuż osi obojętnej belki. Suma sił i momentów sił rozkładana jest na trzy składowe: jedna wzdłuż i dwie prostopadłe do osi pręta. Składowa sił równoległa do osi pręta nazywana jest siłą normalną (N). Dwie składowe sił prostopadłe do osi pręta są nazywane siłami tnącymi (poprzecznymi) i oznaczane odpowiednio Ty i Tz. Moment ogólny, będący wynikiem redukcji, rozkładany jest również na trzy składowe. Składowa równoległa do osi pręta jest nazywana momentem skręcającym i oznaczana przez Ms. Dwie składowe prostopadłe to momenty gnące (zginające) oznaczone Mgy i Mgz. W zagadnieniu płaskim (konstrukcja i działające siły zewnętrzne leżą w jednej płaszczyźnie) wyznaczane są jedynie: siła normalna (N), siła tnąca (T) oraz moment gnący (Mg).


6

Określane siły wewnętrzne zapisywane są w postaci równań funkcji momentu gnącego, siły normalnej i siły tnącej dla każdego punktu konstrukcji. Na ich podstawie sporządzane są wykresy. Równania zapisywane są w lokalnych układach współrzędnych odrębnie przyjmowanych dla poszczególnych przedziałów. Przedział określany jest punktami:

− zmiany krzywizny osi konstrukcji; − więzy; − przyłożenia obciążenia skupionego; − początku i końca obciążenia ciągłego. Wygodnie jest zaliczyć do tych punktów również nieciągłość konstrukcji (np.

przegub). ZASADY ZNAKOWANIA WYKRESÓW SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Po wyróżnieniu pewnych włókien w pręcie (w belce włókna dolne, tzw. spody), przyjmujemy konwencję znakowania tak ja na rysunku poniżej.

x y

M M(x)

w

x y

MM(x)

w

y

M M(x) w

x y

M M(x)w

x

x

y

T

TT(x)

x

y

T

T T(x)

x

y N N(x)

x

y N N(x)

ROZCIĄGANIE ŚCISKANIE

T(x) T(x)

NN(x)

x

N N(x)

x

y y

x x


7

Uproszczona tablica znaków wygląda następująco:

M M M M

T T T T

N N N N

ROZCIĄGANIE ŚCISKANIE

Przy oznaczeniach znaków momentów gnących narysowano postać odkształconą belki pod wpływem działającego momentu gnącego.

Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi.

qdxdT

−= (1)

Tdx

dM g −= (2)

qdx

Md g −=2

2

(3) gdzie: T - siła tnąca; Mg - moment gnący; q - intensywność obciążenia; x - współrzędna WYKORZYSTANIE ZASADY SUPERPOZYCJI

Poniżej przedstawiono belkę obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym. Zgodnie z zasadą superpozycji wykres momentów zginających można rozłożyć na dwa wykresy, będące efektem działania poszczególnych obciążeń oddzielnie tzn. obciążenia ciągłego i siły reakcji.

R2 = ql/2

l

R1 = ql/2

ql2/2

ql2/2

=

R2

Obciążenie ciągłe

x

SUMA

+

q


8

BELKA PRZYKŁADY ZADAŃ Z ROZWIĄZANIAMI PRZYKŁAD 1

Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla konstrukcji jak na rysunku. Dane: l – długość, q – intensywność obciążenia.

l

q

A B C

l

1. Uwolnienie z więzów q

A B C

l l RC RAy RAx

y

x

2. Wyznaczanie sił reakcji. Równania równowagi ∑ == 0RF AXx

∑ −=⇒=−+= CAYCAYy RqlR0qlRRF

∑ =+⋅−= 0lR2l23qlM CA

0RAX = , 4qlRAY = , ql

43RC =

3. Rysunek konstrukcji z obliczonymi reakcjami W miejsce założonych reakcji należy wstawić ich obliczone wartości oraz

zmienić zwroty założonych wektorów reakcji, jeżeli ich wartość jest ujemna. q

A B C

l l 3ql/4

y1

ql/4 x2x1

y2

4. Sprawdzenie wartości obliczonych reakcji Obliczenie sumy momentów gnących względem dowolnego punktu konstrukcji, innego niż przy obliczaniu reakcji (np. pkt. C). Należy sprawdzić, czy wartość tej sumy jest równa zero. W równaniu brane są pod uwagę obliczone reakcje (patrz rysunek wyżej).

∑ =⋅+⋅−= 02lql41l

21qlM C

5. Określanie przedziałów i zdefiniowanie spodów Oznaczenia przedziałów można nanieść na rysunku konstrukcji z obliczonymi

reakcjami. Strzałka wskazuje kierunek redukcji, który jest obierany dowolnie. 6. Równania sił wewnętrznych. Obliczanie wartości funkcji w charakterystycznych punktach przedziałów (np. na początku i końcu przedziału)


9

lx0BA,x 11 ≤≤⟩⟨∈ lx0BC,x 22 ≤≤⟩⟨∈ 0)N(x1 = 0)N(x2 =

ql41)T(x1 = 22 qxql

43)T(x +−=

1qlx41)(xM 1g =

2qxqlx

43)(xM

22

22g −=

Obliczone wartości poszczególnych funkcji w charakterystycznych punktach przedziałów zestawione są w tablicy.

Funkcja momentów gnących dla przedziału x2 jest funkcją kwadratową, dlatego należy wyznaczyć co najmniej trzy punkty do jej scharakteryzowania. Wskazane jest wyznaczenie ekstremum funkcji w danym przedziale czyli pochodną funkcji momentu gnącego w danym przedziale należy przyrównać do zera. Znajdujemy miejsce zerowe funkcji siły tnącej w tym przedziale (zgodnie ze wzorem (2) jest to współrzędna ekstremum funkcji momentów gnących).

l43x0qxql

43)T(x2 =⇒=+−=

Siła wewnętrzna 0x = lx =

4l3x =

T(x)

4ql3

− 4ql

0

Mg(x) 0 2ql41

2ql329

Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych w charakterystycznych punktach ułatwia narysowanie wykresów. 7. Wykresy sił wewnętrznych

q A B C

1/4ql

y x

3/4qlx1 x2

N(x)

T(x) 1/4ql

3/4ql

9/32ql21/4ql2

3/4l


10

8. Sprawdzanie wykresów a) Sprawdzanie zależności między funkcjami sił tnących i momentów gnących na

podstawie wzorów (1, 2, 3). Jeżeli równanie momentów gnących w danym przedziale jest funkcją kwadratową to równanie sił tnących w tym samym przedziale jest funkcją liniową, natomiast jeżeli równanie momentów gnących jest funkcją liniową to równanie sił tnących jest funkcją stałą.

b) Wykres momentów gnących powinien być ciągły. Jeżeli występuje nieciągłość (skok) to znaczy, że w tym miejscu do konstrukcji przyłożony jest skupiony moment gnący. Wartość skoku powinna być równa wartości przyłożonego momentu skupionego.

c) Wykres sił tnących powinien być ciągły. Jeżeli występuje nieciągłość (skok) to znaczy, że w tym miejscu do konstrukcji przyłożona jest skupiona siła – również siła reakcji. Wartość skoku równa jest wartości przyłożonej siły skupionej.

d) Na początku i na końcu konstrukcji wartość momentów gnących jest równa zero (o ile nie jest przyłożony moment skupiony).

e) Wykresy momentów gnących rysujemy po stronie włókien rozciąganych. Podane zasady znakowania podlegają jej zasadzie.

Przy pisaniu równań sił wewnętrznych mogą być pomocne różnego typu rysunki i metody. Niżej przedstawiono rysunki dla rozwiązanego zadania. Linią ciągłą zaznaczono odcinek przedziału o długości x a linią przerywaną – pozostałą część przedziału. W odległości x od początku przedziału narysowano wektory sił wewnętrznych o wartościach dodatnich, zgodnie z zasadami znakowania sił wewnętrznych (str. 5).

lx0BA,x 11 ≤≤⟩⟨∈

x1 1/4ql

Mg(x1)

w N(x1)

T(x1)

y

x A B

ql41)T(x0T(x)ql

41P 1y =∑ ⇒=−=

11g11gw qlx41)(xM0qlx

41)(xMM =∑ ⇒=−=

lx0BC,x 22 ≤≤⟩⟨∈

x2 3/4ql

Mg(x2)

w

T(x2)N(x2)

q y

x C

B

2222y qxql43)T(x0qx)T(xql

43P +−=∑ ⇒=−+=


11

2qxqlx

43)(xM

2xqxqlx

43)(xMM

2

22g2

222gw −=∑ ⇒=⋅+−=

Wykres momentów gnących można również narysować stosując metodę superpozycji.

q A B C

1/4ql

y x

3/4ql x1 x2

9/32ql21/4ql2

1/4ql2

3/4ql2

1/2ql2od obciążenia ciągłego

od siły 3/4ql

SUMA

M(x)

M(x)

PRZYKŁAD 2 Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla

konstrukcji jak na rysunku. Dane: L – długość, q – intensywność obciążenia.

L L L

qqL2

qLA

B

C

D

Po obliczeniu reakcji należy wykonać rysunek konstrukcji o obliczonymi reakcjami.

q qL2

qL

R=qL

x1 x2 x3

Równania sił wewnętrznych:

Lx0 1 ≤≤ Lx0 2 ≤≤ Lx0 3 ≤≤ 0)N(x1 = 0)N(x2 = 0)N(x3 = 0)T(x1 = 22 qx)T(x −= 33 qxqL)T(x −−=

21)( qLxM g =

2qxqL)(xM

222

2g −= 2

qxqLx)(xM23

33g −=


12

Wykresy sił wewnętrznych. q qL2

qLR=qL

qL2/2

qL2

T(x)

Mg(x) qL

UWAGA: Pominięto wykres sił normalnych, gdyż jest on zerowy. W rozwiązaniu nie

podano równań równowagi konstrukcji służących do wyznaczenia wartości i zwrotów sił reakcji. Na rysunku zaznaczono właściwe zwroty i wartości obliczonych sił reakcji. Warto zwrócić uwagę, że w punkcie A belki wartość momentu nie jest równa zeru. Dlaczego?


konstrukcji jak na rysunku. Dane: l – długość, q – intensywność obciążenia.

2ql M=ql2

q

l 2l l l

A B C E

D

Uwolnienie z więzów:

2ql M=ql2

q

l 2l l l

A B C E

D RE RAy

RAx

Równania równowagi: 1) ∑ == 0RF Axx 2) ∑ =−++= 02qlR2qlRF EAyy

3) 05lRM4l2qll2qlM EA =⋅++⋅−∑ ⋅=

4) 05lRql4l2qll2qlM E2

A =⋅++⋅−∑ ⋅= Równanie 4) jest równoważne równaniu 3). W miejsce ogólnego oznaczenia

momentu gnącego M wstawiono jego wartość. Wartości reakcji:

qlRqlR EAy =−= ,


13

Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji UWAGA: Jeżeli obliczona wartość siły reakcji jest ujemna to na rysunku konstrukcji

z obliczonymi reakcjami zmieniamy założony zwrot reakcji i wpisujemy jej wartość (bez znaku minus).

2ql ql2

q

l 2l l l

A B C

E ql ql D

x1 x2 x4 x3

Sprawdzenie:

0qll2ql4l2ql5lqlM 2E =−⋅−⋅+∑ ⋅−=

Równania sił wewnętrznych. Siły normalne we wszystkich przedziałach są równe zero dlatego nie umieszczono ich równań ani wykresu.

lx0 1 ≤≤ 2lx0 2 ≤≤ qlxT −=)( 1 ql2qlql)T(x2 =+−=

1qlx)(xM 1g −= 22

222g qlxqlx2ql)xql(l)(xM +−=⋅++−=

lx0 3 ≤≤

33 )( qxqlxT +−=

2)(

23

33qxqlxxM g −= ;

22)(

222

3qlqlqllxM g =−== ; 2

3g ql83)

2l(xM ==

lx0 4 ≤≤

444 )()( qxxlqqlxT =++−=

24

224444g x

2qql

23ql

2xl)xq(l)xql(l)(xM −=+

+⋅+−+=

24 )( qllxM g == 2

4g ql811)

2l(xM ==

2ql ql2

q A B C E

ql ql D

T(x)

ql2

ql2 1/2ql2

3/2ql2

ql

ql

Mg(x)


14


konstrukcji jak na rysunku. Dane: L – długość, q – intensywność obciążenia.

L L L

q qL2/2

qL

L

ODP.: Wykresy sił wewnętrznych: q

qL/4

qL/4

qL2/32

T(x)

Mg(x)

qL2/2

qL qL/4

qL2/4

qL2 3qL2/4

3qL/4

PRZYKŁAD 5

Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla konstrukcji jak na rysunku. Dane: a – długość, q – intensywność obciążenia.

a a a aqa

2qa22q

A B C D E


a a a a

qa

2qa22q

A B C D E

RA REy

REx

Mu

Równania równowagi: 1) 0RF Exx ==∑ 2) qaRR0qa2qaRRF AEyEyAy +−==+−+=∑

3) 04aRa252qa2qaaqaMM A

2uE =⋅−⋅++⋅−=∑


15

Równanie dodatkowe (wykorzystujemy właściwość przegubu – nie przenosi momentu sił) – suma momentów sił względem lewej strony przegubu:

4) ∑ =⋅−⋅= 02a2qa2aRM A

lC

UWAGA: Dodatkowe równanie równowagi warto napisać względem takiej strony przegubu aby łatwo uzyskać było rozwiązanie matematyczne. Równanie 4) można zapisać dla prawej strony przegubu. Będzie miało wtedy postać:

4a) ∑ =+⋅+⋅= 0M2aRaqaM uEyp

C . Wyznaczenie reakcji jest wówczas bardziej pracochłonne ponieważ wymaga złożonych przekształceń matematycznych. Istnieje wtedy większa szansa pomyłki.

Obliczone wartości reakcji z równań 1 do 4: 2

uExEyA 4qaM0R2

qaR2

qaR −====

Sprawdzenie:

04qa2

qa4a2qa3aqaa232qaM 22

A =+⋅−−⋅−⋅=∑

Rysunek konstrukcji z obliczonymi siłami reakcji i określonymi przedziałami:

a a a a

qa

2qa22q

A B C D E

qa/2

4qa2

qa/2

x1 x2 x3 x4


ax0 1 ≤≤

2qa)T(x1 =

11g x2

qa)(xM =

ax0 2 ≤≤

22 2qx2

qa)T(x −=

2qax

2qaqx

2x2qx)x(a

2qa)(xM

2

22222g ++−=−+= (funkcja kwadratowa)

2qa0)(xM

2

2g == ; 0a)(xM 2g ==

Miejsce zerowe funkcji siły tnącej: 4ax02ax

2qa)T(x 222 =⇒=−=

Wartość funkcji momentów gnących dla ekstremum: 22g qa

169)

4a(xM ==


16

ax0 3 ≤≤

2qa)T(x3 −=

233g 4qax

2qa)(xM −= ; 2

3g 4qa0)(xM −== ; 23g qa

27a)(xM −==

ax0 4 ≤≤

qa23qa

2qa)T(x4 −=−−=

42

42

44g qax23qa

27qax4qa)x(a

2qa)(xM +−=+−+=

qa

2qa22q

A B C D E

qa/2 4qa2

qa/2

qa/2

3qa/2

qa/2 T(x)

a/4

Mg(x)

4qa2 7qa2/2

2qa2

9qa2/16

qa2/2

PRZYKŁAD 6


l l l l

ql q

A B C D E


l l l l

ql q

A B C D E RDY RAY

RAX

Mu

Równania równowagi: 1) 0RF AXx ==∑ 2) 3qlRR0ql2qlRRF DYAYDYAYy +−==−−+=∑

3) 03lR4lql2l2qlMM DYuA =⋅−⋅+⋅+−=∑


17

Równanie dodatkowe - suma momentów sił względem lewej strony przegubu:

4) ∑ =⋅+⋅+⋅−= 02lql2lqllRM DY

pC

Wartości reakcji: 2uAXAYDY ql

21M0R

2qlR

25qlR ====

Rysunek konstrukcji z obliczonymi siłami reakcji i przedziałami

l l l l

ql q

A B

C

D E

ql2/2

ql/2 5ql/2x1 x2 x4 x3

Sprawdzenie:

02ql4l

2ql2l2qlql

25lM

2

E =⋅+−⋅−⋅=∑

Równania sił wewnętrznych: lx0 1 ≤≤

2ql)T(x1 =

2qlx

2ql)(xM

2

11g −=

lx ≤≤ 20

22 qx2ql)T(x −=

2qxx

2ql

2ql

2xq)xl(

2ql)x(M

22

2

222

22g −=−−+=

00)(xM 2g == ; 0l)(xM 2g ==

Miejsce zerowe funkcji siły tnącej: 2lxqx

2ql)T(x 222 =⇒−=

Wartość funkcji momentów gnących dla ekstremum: 22g ql

81)

2l(xM ==

lx0 3 ≤≤ qlxT =)( 3

33 )( qlxxM g −=

lx0 4 ≤≤

444 qxql23ql

25qlqx)T(x +−=+−=

2qxqlx

23ql

2qxqlx

25)xql(l)(xM

24

42

24

444g −+−=−++−=

24g ql0)(xM −== ; 0l)(xM 4g == ; 2

4g ql83)

2l(xM −==


18

ql q

A B C D E

ql2/2 ql/2 5ql/2

ql/2 ql

3ql/2

T(x)

ql2/2

Mg(x) ql2/8

ql2

PRZYKŁAD 7


l l l l

q

A B C D E α

ql2

Uwolnienie z więzów. W punkcie B jest podpora przegubowa przesuwna, która

zastępowana jest jedną siłą reakcji leżącą prostopadle do podłoża, czyli nachyloną pod kątem α do pionu. Do tworzenia równań równowagi wygodniej jest rozłożyć tę siłę na dwie składowe: pionową i poziomą.

q

A C D E

l l l l

α

ql2

REx

REy B RBy

RBx

RB RB

α

B

sinαRRsinαRR

BBxB

Bx =⇒= αcos

RRcosαRR BY

BB

By =⇒=

Równania równowagi: 0RRF ExBxx =+−=∑

02qlRRF EyByy =−+=∑

03lRqlM Ey2

B =⋅−=∑ Reakcje:

3qlRtgαql

35Rql

35Rtgαql

35R EyExByBx =⋅==⋅=

αcos3ql5RB =


19

q

l l l l

ql2

ql/3

5ql/3tgα

5ql/3 5ql/3tgα

x1 x2 x3 x4

Sprawdzenie:

0ql3lql353l2qlM 2

E =+⋅+⋅−=∑


2qx)(xM

qx)T(x0)N(xlx0

21

1g

11

1

1

−=

−==≤≤

2qxl

2qqlx

32

2)x(lqqlx

35)(xM

qxql32ql

35)xq(l)T(x

qltgα35)N(x

lx0

222

2

22

21g

222

2

2

−−=+

−=

−=++−=

=

≤≤

33g

3

3

3

x3ql)(xM

3ql)T(x

qltgα35)N(x

lx0

=

−=

=

≤≤

3qlxql

32ql)x(l

3ql)(xM

3ql)T(x

qltgα35)N(x

lx0

2244g

4

4

4

+−=−+=

−=

=

≤≤

Wykresy sił wewnętrznych: q ql2

ql/3

5ql/3tgα

5ql/3 5ql/3tgα

5ql/3tgα

ql

2ql/3

ql/3

N(x)

T(x)

Mg(x) ql2/3

2ql2/3 ql2/3 ql2/2


20

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zad. 1

Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla belek jak na rysunkach. Dane: a – długość, q – intensywność obciążenia.

BT1

2,5qa a a a

q 2qa2

BT2

2qa a a a

q 2qa2

BT3

2qa

a a aq

1,5qa2

BT4

qa a a a

q 5qa2

BT5

3qa a a a

q 3qa2

BT6

2qa

a a a q

2qa2

BT7

qa a a a

q 3qa2/2

BT8

3qa

a a a

q 2qa2

BT9

qa a a a

q 2qa2

BT10

2qa

a a a q

3,5qa2

BT11

3qa

a a a

q qa2

BT12

qa

a a a

qqa2

BT13

3qa a a a

q 2qa2

BT14

2qa a a a

q2qa2


21

BT15

qa

a a a

q

2qa2

BT16

2qa a a a

q 3qa2

BT17

3qa a a a

q 5/2qa2

BT18

4qa a a a

q 3qa2

BT19

qa

a a a

q

2qa2

BT20

qa

a a a

q3 qa2/2

BT21

2qa a a a

q qa2

BT22

2qa

a a a q

3qa2

BT23

qa

a a a

qqa2

BT24

2qa

a a a

q 4qa2

BT25

2qa a a a

q2qa2

BT26a a a

q 2qa2 2qa

BT27

2qa

a a a

q 2qa2

BT28

3qa a a a

qqa2


22

Zad. 2 Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla belek jak

na rysunkach. Dane: a – długość, q – intensywność obciążenia.

CB1

qa a a a

q qa2/2

a CB2

qa

a a a

q qa2

a

CB3

qa

a a a

qqa2

a CB4

qa/2

a a a

q qa2

a

CB5

qa a a a

q qa2

a

CB6

qa

a a a

q qa2

qa/2 a

CB7

qa/2

a a a q

qa2/2

a CB8

qa/2

a a a q

qa2

a

CB9

qa/2

a a a q

qa2

a CB10

qa/2

a a a

q

qa2

a

CB11

qa

a a a

q qa2

a CB12

qa

a a a

q qa2

a

CB13

qa/2

a a a

q

qa2

a CB14

qa

a a a

q

qa2

a


23

CB15

qa

a a a

q 2qa2

a CB16

qa

a a a

q qa2/2

a

qa

CB17

qa a a a

qqa2/2

a

2qa

CB18

qa

a a a

q2qa2

a

qa/2

CB19

qa/2

a a a q

qa2/2

a CB20

qa

a a a

q qa2/2

a

CB21

qa

a a a

q qa2/2

a CB22

a a a q

2qa2

a

qa

CB23

qa

a a a

q 2qa2

a CB24

qa/2

a a a

q qa2

a

CB25

qa

a a a

q qa2

a CB26

qa

a a a

q

qa2

a

CB27

qa

a a a

q qa2

a CB28

qa

a a a

q qa2

a


24

RAMY PŁASKIE PRZYKŁAD 8 Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: l – długość, q – intensywność obciążenia.

ql2

l l

l

2l

3ql 2q

A

B C D

E

ql2

l l

l

2l

3ql 2q

RE

RAX

RAY Równania równowagi: ∑ −=⇒=+= 3qlR03qlRP AXAXx

∑ =−+= 02qlRRP EAYy

∑ =⋅−−⋅+⋅= 02lRql2l2ql2l3qlM E

2A

Reakcje: 3qlRAX −= , qlRAY −= , 3qlRE =

Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji:

ql2

x1

3ql 2q

3ql

3ql

ql

x2 x3

x4

E

Sprawdzenie:

∑ =⋅−⋅+−⋅+= 0l3ql2lql3qll232qlqlM 22

E


x1

ql 3ql

T(x) N(x)

M(x)

x1 y1

w

dodatnie zwroty sił wewnętrznych zgodnie z tablicą znaków

2lx0 1 ≤≤∑ =⇒=−= qlN(x)0qlN(x)Fx

∑ =⇒=−= 3qlT(x)0T(x)3qlFy

11W 3qlxM(x)0M(x)x3qlM =⇒∑ =−⋅=


25

ql

3ql

x2

T(x)

N(x) M(x)

x2

y2

3ql 2q

w

x3 y3

x3

3ql

T(x) N(x)

M(x)

w

x4

3ql

T(x)

N(x) M(x)

x4 y4

w

N(x) T(x)ql

3ql

3ql

3ql ql

B B

Mg(x)

6ql2

6ql2 4ql2

3ql2

B

W przypadku ram, oprócz metod przedstawionych na stronie 8, dodatkowym

sprawdzeniem otrzymanych wyników jest badanie równowagi naroży. W tym celu należy narysować wybrane dowolnie naroże konstrukcji (np. pkt. B) wraz z obciążeniem zewnętrznym (w tym przypadku bez siły skupionej od obciążenia ciągłego gdyż jest ona równa zero – długość odcinka na którym działa jest równa zero). Następnie w przekrojach nanoszone są wektory sił wewnętrznych odczytane z wykresów. Należy napisać trzy równania równowagi. Jeżeli równania są spełnione tożsamościowo (sumy są równe 0) naroże jest w równowadze.

ql 3ql

6ql2 3ql B

ql

6ql2

Mg(x2)

T(x2)

Mg(x1)

N(x2) T(x2)

lx0 3 ≤≤∑ −=⇒=+= 3qlN(x)03qlN(x)Fx

∑ == 0T(x)Fy

∑ == 0M(x)MW

lx0 4 ≤≤∑ == 0N(x)Fx

∑ −=⇒=+= 3qlT(x)03qlT(x)Fy

44W 3qlxM(x)0M(x)3qlxM =⇒∑ =−=

lx0 2 ≤≤∑ =⇒=+−= 0N(x)03ql3qlN(x)Fx

∑ −−=⇒=−−−= 22y 2qxqlT(x)0T(x)2qxqlF

222

2

22

2W

qxqlx6qlM(x)

0M(x)2x2q2l2qlxqlM

−−=

⇒=−−⋅+⋅−=∑

∑ =+= 03ql-3qlFx

∑ =+= 0ql-qlFy

∑ =−= 06qlqlM 22B 6


26

PRZYKŁAD 9 Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: a – długość, q – intensywność obciążenia.

a 2a

2a

2q

A

B C D

E

q

Uwolnienie z więzów

a 2a 2a

2q

A

B C D

E

q

RAY RAX

REYREX

Równania równowagi: ∑ =−= 0RRP EXAXx

∑ =⋅−+= 02aq-2qaRRP EYAYy

∑ =⋅+⋅⋅−⋅= 0a3Ra2a2q2a-2qaM EYA

∑ =⋅−⋅−⋅= 0a2Ra2Ra2qaM EYEXp

C Reakcje:

qa32RAX = , qa

37RAY = , qa

32REX = , qa

35REY =

Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji i przyjętymi spodami:

a 2a

2a

2q

A

B C D

E

q

2qa/3 2qa/3 7qa/3 5qa/3

x1

x2 x4

x3


27


qax32)(xM

qa32)T(x

qa37-)N(x

a2x0

1g

1

1

1

−=

−=

=

≤≤

ax0 2 ≤≤ Obciążenie konstrukcji w przedziale x2

a

2a

2q

A

B

C

2qa/3 7qa/3

x2

2qa/3

x2/2

2qx2

7qa/3

w 2qa/3

a

2q

B

C

x2

2qa/3

x2/2

2qx2

7qa/3

W

4qa2/3

b

Siły w punkcie B: - Pionowa siła 7qa/3 została przesunięta po swojej linii działania z punktu A

- Obciążenie ciągłe działające na odcinku x2jest zredukowane do siły skupionej o wartości 2qx2 przyłożonej w połowie przedziału x2

- Do pkt. B przyłożona jest dwójka „zerowa” złożona z dwóch przeciwnie skierowanych poziomych sił o wartości 2qa/3 równej wartości siły poziomej działającej w pkt. A. Para sił oznaczona „\\” działająca na ramieniu 2a powoduje powstanie momentu sił o wartości 4qa2/3, leżącego prostopadle do płaszczyzny, w której leżą siły i odcinek 2a.

W efekcie na fragment konstrukcji BW (o długości x2) działa obciążenie jak na rysunku b.

22

22

22

222g

22

2

qxqa34qax

37

2xqx2qa

34qax

37)(xM

qx2qa37)T(x

qa32)N(x

−−=⋅−−=

−=

−=

Siła wewnętrzna 0x = ax = 2ax =

T(x) qa37

qa31

qa34

Mg(x) 2qa34

− 0 2qa125

−


28

qax32)(xM

qa32)T(x

qa35-)N(x

a2x0

3g

3

3

3

−=

=

=

≤≤

a2x0 4 ≤≤ Przedział x4 rozpatrujemy podobnie jak przedział x2.

2a

2a

W C D

E

q 2qa/3

2qa/3

5qa/3

x4

qx4 2qa/3

5qa/3

W C D

q 2qa/3

5qa/3

x4

qx4

4qa2/3

2qxqa

34

2xqxqa

34)(xM

qxqa35)T(x

qa32-)N(x

2424

42

4g

44

4

−−=⋅−−=

+−=

=

Siła wewnętrzna 0x = a2x = 2ax =

T(x) qa35

− qa31

qa32

−

Mg(x) 2qa34

− 0 2qa61

−

Wykresy sił wewnętrznych

7qa/3 5qa/3

2qa/3

N(x)

2qa/3 2qa/3

5qa/3

T(x)

qa/37qa/3


29

5qa/12

a

qa/6

Mg(x)

4qa/3 4qa/3

a/2

Wykresy po stronie włókien rozciąganych

PRZYKŁAD 10 Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: L – długość, q – intensywność obciążenia.

L L

q

L L

L

2L 2qL

qL2 L

L

q

LL

L2L

2qL

qL2

R1=qL R3=3qL

R2=3qL R4=qL

2qL

qL

3qL qL

qL 3qL

2qL

3qL 2qL qL

N(x)

T(x) Mg(x)

qL2

2qL2 6qL2

5qL2/2 2qL2

7qL2/2

PRZYKŁAD 11 Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: L – długość, q – intensywność obciążenia.

qL qL2

L

L

L L

q

qL

qL2

L

L

L Lq

R1=qL R2=qL

R3=3qL

R4=2qL


30

qL

2qL

3qL

qL N(x)

qL

2qL

2qL

qL T(x)

qL

Mg(x) qL2

2qL2 2,5qL2 0,5qL2

qL2

qL2


Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla ram jak na rysunkach. Dane: a – długość, q – intensywność obciążenia.

1KP

q

2qa a 2

a

a

a 2a

2KP

q

qaa

a

a

a

3KP

q

2qa a

a

a

qa2

2a

2a

4KP

q

2qa

a

a

a

a

5KP

q

a

a

a a

qa

qa2

6KP

q

a

a

a

a

qa qa2/2

7KP

q

a

a

a

a 2qa

qa2

8KP

q

a

a

a a

qa

qa2/2


31

9KP

q

a

a

a

a

qa qa2

10KP

q

a

a

a a

qa

2qa2

11KP

q

qa a

a

a

a

qa2

12KP

q

a

a

a a

qa

qa2

13KP

q

a

a

a

a 2qa

qa2

14KP

q

a

a

a

a

qa qa2

15KP

q 2qa

a

a

a

a

qa2/2

16KP

q

a

a

a

a2q

qa2

17KP

q

a

a

a

a qa

qa2/2

18KP

q

a

a

a

a

2qa qa2

19KP

q

2qa a 2a

a

a 2a

20KP

q

2qa a

a

a

2qa2

2a

2a


32

21KP

q

2qa a

a

a 2a

2a

22KP

q qa

a

a

a

a

qa2

23KP

q 2qa

a

a

a

a

2qa2

24KP

q qa

a

a

a

qa2

2a

2a

25KP

q qa

a

a

a

a

qa2

26KP

q

qa a

2a

a

a2a

27KP

q

a

a

a

a

2qa qa2

28KP

q 2qa

a

a

aqa2

2a

2a

29KP

q

a

a

a

qa2

2a

2a

30KP

q

2qa

a

a

a

a


33

Zad. 4 Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla ram jak

na rysunkach. Dane: l – długość, q – intensywność obciążenia.

Ł1

q

2ql

l l l

l

Ł2

q 2ql

l l

l

l

Ł3

q

ql

l l

l

l

Ł4

q 5ql/2

l l

l

l

Ł5

q 2ql

l l

l

l

Ł6

q

qll l l

l

ql

Ł7

q

ql/2

l l l

l

l

Ł8

q

ql

l l l

l

Ł9

q

l l

l

l ql2

Ł10

q

l l

l

l

ql2


34

Ł11

q

l

l ql2

2l

2l

Ł12

q

l

2l2l

l

ql

Ł13

q

l

l

2l

2l

ql

Ł14

q

l

2l2l

l

ql

Ł15

q

l

2l

2l

l

2ql2

Ł16

q

l 2l2l

ql

2l

Ł17

q

2l

2l

2l

2l

2l

Ł18

ql

2l2l

ql

2l

Ł19

q

2l

2l

l

ql2

2l

2l

Ł20

q

l

2l

2l

l

ql ql2

Ł21

q l

2l

2l

2l

2ql2

Ł22

q

l l

l

l

ql


35

RAMA PRZESTRZENNA PRZYKŁAD 12 Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: długości a, b, c; obciążenie P, M.

P

M a

b

c

P

M a

b

c

RXMAX

X

Z

Y

RZ

MAZ

MAY RY

Równania równowagi: ∑ =−= 0PRF XX PRX = ∑ == 0RF YY 0RY =

∑ == 0RF ZZ 0RZ =

∑ =−= 0MMM AXX MM AX = ∑ =−= 0PcMM AYY PcM AY =

∑ =+= 0PaMM AZZ PaM AZ −= P

M

ab

P M

X

Z

Y

Pa

Pc

x1

x2

c

x3

A

B C

D


P

x1

y1

z1

D

x1 Na rysunkach linią dwukrotnie kropkowaną oraz szarą płaszczyzną oznaczono

spody. Wektory z ozdobnymi grotami oraz ozdobne podpisy dotyczą redukowanych sił i powstałych w wyniku momentów sił.

axDC ≤≤ 1001 =)( xN 011 =)( xTy PxTz =)( 11

111 PxxMgy =)( 011 =)( xMgz 0)(xM 1s =


36

P

M

x2

y2

z2

P

Pa

a

P

C

D

x3

y3

z3 P P

P

M

a Pa

M

D

CB

Wykresy sił wewnętrznych:

P

N(x)

Ms(x)

Z

X

Y

P

M

P T(x) P

X

Y

Z

P

Pa

Mg(x)

Pa

Pc

M

bxCB ≤≤ 20

PxN −=)( 2

022 =)( xTy

0)(xT 2z2 =

PaxMgy =)( 22

022 =)( xMgz

M)(xM 2s −=

cx0BA 3 ≤≤0)N(x3 =

P)(xT 3y3 =

0)(xT 3z3 =M)(xM 3gy3 =

333gz Px)x(M =

Pa)(xM 3s =


37

PRZYKŁAD 13 Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: L - długości; obciążenie P.

P

q

2L L

x

y

z

x1

x2

A

B C


q

P x1

y1

z1

x2

y2

z2

P

P

2PL

2qL2

CB

q

PL

2L

2qL

2qL

Wykresy sił wewnętrznych:

x

y

z

2qL

N(x)

x

y

z

2PL

Ms(x)

x

y

z

2qL

T(x)

P

P

x

y

z Mg(x)

2qL2

PL

2qL2

2PL

LxCB 20 1 ≤≤

01 =)( xN

qx)(xT 1y1 −= P)(xT 1z1 −=

11gy1 Px)(xM =2

qx)(xM21

1gz1 −=

0)(xM 1s =

Lx0BA 2 ≤≤

2qL)N(x2 −=

0)(xT 2y2 =

P)(xT 2z2 −=

22gy2 Px)(xM =2

2gz2 2qL)(xM −=

2PL)(xM 2s −=


38


Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane długości prętów oznaczone są kolejnymi, małymi literami alfabetu; siły i skupione momenty sił literami dużymi. Wektor z pojedynczym grotem jest oznaczeniem siły, z podwójnym grotem - skupionym momentem siły. 101K-D 102K-D

103K-D 104K-D

105K-D 106K-D

107K-D 108K-D

a

b

F

c

d

A

B

e f

C

g h

j k

P

m n

Q

a

b

F

c

d

A


39

109K-D 110K-D

111K-D 112K-D

113K-D 114K-D

115K-D 116K-D

117K-D 118K-D

B e f

Cg h

j k m n Q

a

b

F c

d

A

B e f

C

g h

j k P m n Q

P


40

119K-D 120K-D

121K-D 122K-D

123K-D 124K-D

Zad. 5 Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: l - długości prętów; P – siła.

200RPS 201RPS

202RPS 203RPS

P

P

l

l l

l

l l

l P

P

P P

l

l l

l

l l

l P P

a

b F

c

d

A

B e f C g h

j k P m n Q


41

204RPS 205RPS

206RPS 207RPS

208RPS 209RPS

210RPS 211RPS

212RPS 213RPS

P

P l

l l

l

l l

l

P P

P P l

l l

l

l l

l

P

P

P

P

l

l l

l

l l

l

P P

P

2P

l

l l

l

l l

l 2P

P

P 2P

l

l l

l

l l

l 2P P


42

214RPS 215RPS

216RPS 217RPS

218RPS 219RPS

220RPS 221RPS

P

2P l

l l

l

l l

l

P 2P

P 2P l

l l

l

l l

l

2P

P

2P

P

l

l l

l

l l

l

2PP

P

2P

l

l l

l

l l

l

P 2P

Sily Wewnetrzne Prety

Documents

Transcript of Sily Wewnetrzne Prety