Ruszt belkowy - Metoda sił

ZAKŁAD STATYKI I BEZPIECZEŃSTWA BUDOWLIINSTYTUT INŻYNIERII LĄDOWEJPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA

© 2000 dr inż. Róża [email protected]

RUSZT BELKOWYMETODA SIŁ

SSPPII SS TTRREEŚŚCCII

1. PRZYJĘCIE UKŁADÓW WSPÓŁRZ ĘDNYCH .............................................................................. 2

2. OBLICZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNO ŚCI I DOBRANIE UKŁADUPODSTAWOWEGO METODY SIŁ ........................................................................................................... 2

3. BUDOWA UKŁADU RÓWNA Ń METODY SIŁ ............................................................................. 3

3.1 Postać ogólna układu równań metody sił ................................................................... 33.2 Obliczenie współczynników układu równań ............................................................... 4

4. WYNIKI ROZWI ĄZANIA UKŁADU RÓWNA Ń METODY SIŁ .................................................. 9

5. OBLICZENIE RZECZYWISTYCH MOMENTÓW ZG INAJĄCYCH I SIŁ TN ĄCYCH ............. 9

6. ROZWIĄZANIE RUSZTU Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU STRAINS ........................... 11

WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy – metoda sił – przykład

strona 2

ZADANIE: Stosując metodę sił rozwiązać ruszt belkowy o schemacie i obciążeniu jak narysunku.

1 2 3

4 5 6

7 8

a

a

aa

9

EI

EI

EI

EI

EI EI

0.5EI

0.5EI

q

1. PRZYJĘCIE UKŁADÓW WSPÓŁRZ ĘDNYCH

Przy rozwiązywaniu przestrzennych układów konstrukcyjnych niezbędne jest przyjęcieglobalnego układu współrzędnych dla całego układu oraz lokalnych układów współrzędnychdla poszczególnych elementów (prętów). Przyjmujemy prawoskrętne układy współrzędnych,lokalne układy współrzędnych przyjmiemy tak, aby znaki sił przekrojowych były takie jakw układach płaskich (dodatnie momenty zginające odpowiadają rozciąganiu włókien dolnych).

1 2 3

4 5 6

7 8

a

a

aa

9

EI

EI

EI

EI

EI EI

0.5EI

0.5EI

X

Z

Y

xy z

xy z

xy z

xy z

xy z

xy z

x

yz

x

yz

q

2. OBLICZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNO ŚCII DOBRANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO METODY SIŁ

W rusztach belkowych tzn. belkach połączonych między sobą przegubami przez któreprzekazywana jest tylko siła pionowa i obciążonych tylko obciążeniami działającymiprostopadle do płaszczyzny układu, stopień statycznej niewyznaczalności układu obliczamy zewzoru:


strona 3

bh len ⋅−= 2 ,

gdzie e jest liczbą więzi elementarnych łączących belki między sobą i z podłożem, w którychreakcje nie są równe zeru z założenia (nie uwzględniamy więzi, w których reakcje są równezeru z założenia to jest więzi w płaszczyźnie układu i więzi odpowiadających momentomskręcającym - w rusztach belkowych występują tylko momenty zginające i siły tnące), bl jest

liczbą belek "sztywnych".Na rysunku poniżej zaznaczono różnymi kolorami belki "sztywne" i więzi elementarne..

1 2 3

4 5

7 8 9

EI

6

e = 1 e = 1

e = 1

e = 1

e = 1

e = 1

e = 1e = 1

e = 2

W naszym zadaniu:e = 10, lb = 4 (pręty 1-3, 4-6, 7-9 i 2-8), 24210 =⋅−=hn .

Układ podstawowy metody sił pokazany na rysunku poniżej przyjęto zastępując więźodpowiadającą momentowi zginającemu w przekroju 5 belki 2-8 niewiadomymi momentamiX1 i więź odpowiadającą momentowi na podporze 4 niewiadomym momentem X2.

1 2 3

4 5

7 8 9

EI

6X2

X 1

X 1

3. BUDOWA UKŁADU RÓWNA Ń METODY SIŁ3.1 Postać ogólna układu równań metody sił


strona 4

0

0

2222121

1212111

=∆++

=∆++F

F

XX

XX

δδδδ

3.2 Obliczenie współczynników układu równań

Współczynniki przy niewiadomych układu równań obliczymy ze wzoru (z uwzględnieniem

więzi sprężystych - drugi człon, których w rozwiązywanym przykładzie brak)

�� +=n n

jn

in

s y

jy

iy

ij k

RRds

EI

MMδ

wyrazy wolne od obciążeń siłami ze wzoru

�� +=∆n n

Fn

in

s y

Fy

iyF

i k

RRds

EI

MM

gdzie Fy

iy MM , są momentami zginającymi w układzie podstawowym wywołanymi

odpowiednio siłami hiperstatycznymi 1=iX oraz obciążeniem danym, Fn

in RR , są siłami

w n-tej więzi sprężystej wywołanymi odpowiednio siłami hiperstatycznymi 1=iX oraz

obciążeniem danym, nk jest sztywnością n-tej więzi sprężystej.

3.2.1 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia 11 =X .

Zauważmy, że belka2-5-8 (z przegubem w punkcie 5) opiera się na belkach1-3, 4-6 oraz7-9.

Można więc najpierw rozwiązać belkę 2-5-8 na 3 podporacha następnie pozostałe belki

obciążone odpowiednimi jej reakcjami. Ze względu na prostotę obliczeń pominięto je.

Uwaga: Momenty zginające odkładamy zawsze po stronie włókien rozciąganych, znaki

wynikają z przyjętych lokalnych układów współrzędnych.

25

8

1/a 1/a

X1=1X1=1

2/a

- -

1 lub 7 2 lub 8 3 lub 90.5 1/a

0.5/a 0.5/a

- -


strona 5

4 5 6

1

2/a

1/a 1/a+ +

Wykres momentów zginających, po złożeniu rozwiązań poszczególnych belek, przedstawiono

na rysunku poniżej

1 2 3

X 1=11

0.5

My1

7 8 90.5

4 5 6

X 1=1 1

- -

-

- -

++

Odpowiedni wykres sił tnących pokazano poniżej

1/a

Vz1

7 8 9

45 6

1/a

-+

1 2 3

0.5/a

-

+0.5/a

0.5/a

-

+0.5/a

-+

1/a1/a

3.2.2 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia 12 =X

Sposób postępowania jest analogiczny jak w przypadku obciążenia X1=1. Ze względu na brakobciążenia belki 2-5-8 a więc i 1-3 oraz 7-9 w tym przypadku momenty zginające i siły tnącewystąpią tylko na belce4-6 (wykresy poniżej).


strona 6

1 2 3

4 5

7 8 9

EI

6X2=1 - -

1 0.5

My2

1 2 3

4 5

7 8 9

EI

6

0.5/a+

Vz2

3.2.3 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia danego

Obciążona jest belka2-5-8 a jej reakcje obciążają pozostałe belki.

2 5 8

0 qa/2qa/2qa2/8+

5 lub 8 6 lub 9

qa2/4

qa/2

qa/4 qa/4+

4 lub 7

Wykres momentów zginających, po złożeniu rozwiązań poszczególnych belek, przedstawiono

na rysunku poniżej


strona 7

1 2 3

4

7 9

65

8

+ qa2/8qa2/4

+

qa2/4+

MyF

Odpowiedni wykres sił tnących przedstawia rysunek

VzF

7 8 9

45 6

0.25qa

+

1 2 3

0.25qa -

+ 0.25qa

-

+0.5qa

0.25qa

-

0.5qa

3.2.4 Obliczenie współczynników macierzy podatnościSkorzystamy ze wzorów uproszczonego całkowania - wzoru Simpsona i wzoru Mohra-Wereszczagina.

dsEI

MM

s y

yy

�=11

11δ =

( ) ( )yy

yy

EI

aa

EI

aEI

aEI

3

721

3

21

2

1

5.0

1

213

21

2

1122

2

1

3

2

2

1

2

11

=⋅��

�� −⋅⋅−⋅⋅+

+⋅��

�� ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

��

��

��

�

�−⋅⋅��

�

�−⋅⋅=

dsEI

MM

s y

yy

�==21

2112 δδ =

( )

y

yy

EI

a

aEIEI

a

2

13

2

2

1

2

111

2

1

2

1

4

3401

6

−=

=��

�� ⋅⋅�

�

�

�−⋅⋅+��

�� ⋅�

�

�

�−+⋅��

�

�−⋅+⋅−=


strona 8

dsEI

MM

s y

yy

�=22

22δ =

( ) ( )

yy

y

EI

aa

EI

EI

a

3

2

2

1

3

2

2

1

2

11

2

1

2

1

4

3

4

3411

6

=��

��

��

�

�−⋅⋅��

�

�−⋅⋅+

+��

��

��

�

�−⋅��

�

�−+��

�

�−⋅��

�

�−⋅+−⋅−=

Macierz podatności

��

�

�

��

�

�

−

−=

3

2

2

12

1

3

7

yEI

aD

3.2.5 Obliczenie wyrazów wolnych układu równań metody sił

dsEI

MM

s y

FyyF

�=∆1

1 =

( )yy

yy

EI

aqa

EI

a

qaa

EI

qaa

EI

32

22

001

82

1400

5.06

243

2

2

1

2

112

43

21

2

11

⋅=��

��

⋅−+⋅��

�

�−⋅+⋅⋅

+

+⋅��

��

⋅⋅��

�

�−⋅⋅+⋅��

��

⋅⋅⋅⋅=

dsEI

MM

s y

FyyF

�=∆2

2 =

yy

y

EI

qaqaa

EI

qaqa

EI

a

843

2

2

1

2

11

42

1

84

340)1(

6

32

22

−=��

��

⋅⋅��

�

�−⋅⋅+

+��

��

⋅��

�

�−+⋅��

�

�−⋅+⋅−=

3.2.6 Postać szczegółowa układu równań metody sił

083

2

2

0023

7

3

21

3

21

=−+−

=⋅+−

yyy

yyy

EI

qaX

EI

aX

EI

a

EI

qaX

EI

aX

EI

a


strona 9

4. WYNIKI ROZWI ĄZANIA UKŁADU RÓWNA Ń METODY SIŁ

221 0479.0

188

9qaqaX == , 22

2 2234.094

21qaqaX ==

5. OBLICZENIE RZECZYWISTYCH MOMENTÓW ZGINAJ ĄCYCH I SIŁTNĄCYCH

Rzeczywiste momenty zginające obliczymy wykorzystując zasadę superpozycji:

Fyyyy MXMXMM +⋅+⋅= 2

21

1

X i 0,047872 0,223404

*qa2 *qa2

Moment

[-] [-] [qa2] [qa2]

M 12 0 0 0 0

M 21 -0,5 0 0 -0,023936

M 23 -0,5 0 0 -0,023936

M 32 0 0 0 0

M 45 0 -1 0 -0,22340

M 54 1 -0,5 0,25 0,18617

M 56 1 -0,5 0,25 0,18617

M 65 0 0 0 0

M 78 0 0 0 0

M 87 -0,5 0 0,25 0,22606

M 89 -0,5 0 0,25 0,22606

M 98 0 0 0 0

M 25 0 0 0 0

M 52 -1 0 0 -0,047872

M 58 -1 0 0 -0,047872

M 85 0 0 0 0

M 58 w śr -0,5 0 0,125 0,10106

1yM 2

yM FyM yM

Wykres momentów zginających przedstawiono na rysunku poniżej:


strona 10

1 2 3

4

7 9

65

8

+

+ My

-0.024qa2

-0.223qa2

0.186qa2

0.226qa2

-0.019qa2

-0.101qa2

-0.048qa2

Siły tnące obliczamy analogicznieF

zzzz VXVXVV +⋅+⋅= 22

11

1zV

X i 0,047872 0,223404

*qa2 *qa2

Siła tnąca

[1/a] [1/a] [qa] [qa]

V 12 -0,5 0 0 -0,023936

V 21 -0,5 0 0 -0,023936

V 23 0,5 0 0 0,02394

V 32 0,5 0 0 0,02394

V 45 1 0,5 0,25 0,40957

V 54 1 0,5 0,25 0,40957

V 56 -1 0,5 -0,25 -0,18617

V 65 -1 0,5 -0,25 -0,18617

V 78 -0,5 0 0,25 0,22606

V 87 -0,5 0 0,25 0,22606

V 89 0,5 0 -0,25 -0,226064

V 98 0,5 0 -0,25 -0,226064

V 25 -1 0 0 -0,047872

V 52 -1 0 0 -0,047872

V 58 1 0 0,5 0,54787

V 85 1 0 -0,5 -0,452128

1zV 2

zV FzV zV

Wykres sił tnących pokazuje rysunek


strona 11

1 2 3

4

7 9

65

8

+

+Vz

-0.024qa

0.410qa

-0.186qa

-0.226qa

0.548qa

-0.048qa

0.226qa

-

0.024qa

-

+

-

-0.452qa

6. ROZWIĄZANIE RUSZTU Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU STRAINSPoniżej zamieszczono wydruk danych i wyników (zbiór mgr.wyn)

***S Y S T E M mikr o - S T R A I N S******UZYTKOWNIK : Inst. Inz. Ladowej Polit. Wroclawskiej

0 ST 'Ruszt belkowy - prd '1 TYP RTB2 W 9 EL 83 SCH 04 WSP5 1 0.00000 0.000006 2 1.00000 0.000007 3 2.00000 0.000008 4 0.00000 1.000009 5 1.00000 1.00000

10 6 2.00000 1.0000011 7 0.00000 2.0000012 8 1.00000 2.0000013 9 2.00000 2.0000014 TOP15 1 1 216 2 2 317 3 4 518 4 5 619 5 7 820 6 8 921 7 2 522 8 5 823 WP 124 825 M26 E IY A27 1 do 628 WARTOSCI29 1 1 10000030 POZOSTALE31 1 0.5 10000032 PDP33 1,734 ZWK Z35 3,6,936 ZWK Z


strona 12

37 438 ZNY39 OPOB ' Obciazenie q wsp= 1.000 1.000 '40 PR41 842 Z43 -144 WYN45 OBL

46 stop

***S Y S T E M mikr o - S T R A I N S******UZYTKOWNIK : Inst. Inz. Ladowej Polit. Wroclawskiej

R U S Z T B E L K O W Y

3. OPIS CHARAKTERYSTYK KONSTRUKCJITYP :RUSZT BLWEZLOW : 9ELEMENTOW : 8TYTUL :"Ruszt belkowy - prd

"

ELEMENT OPIS

NR KON."1" KON."2" SIN COS L E IY1 1 2 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0002 2 3 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0003 4 5 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0004 5 6 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0005 7 8 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0006 8 9 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.0007 2 5 1.00000 0.00000 1.000 1. 0.50008 5 8 1.00000 0.00000 1.000 1. 0.5000

INNE DANE NUMERYCZNE :SZEROKOSC POLPASMA (MAX["2"-"1"]= 3+1)*3= 12SZEROKOSC BLOKU Z ROWNANIAMI = 27ROZMIAR BLOKU Z ROWNANIAMI = 172LICZBA BLOKOW = 1LICZBA ROWNAN = 27POTRZEBNA WIELKOSC OBSZARU ROBOCZEGO = 23 K BYTE'OW

PODPORYWEZEL NR ZAMOCOWANIE W KIERUNKU SPREZYSTOSC

1 Z7 Z3 Z6 Z9 Z4 YZ XZ Z

4. OPIS OBCIAZENTYTUL : " Obciazenie q wsp= 1.000 1.000

"OBCIAZENIA PRETOW :

PRET OBCIAZENIE WIELKOSCINR KIERUNEK TYP W1 A1 W2 A2

8 Z-GL PROS -1.00000

5. WYNIKI


strona 13

PRZEMIESZCZENIAWEZEL NR FIX FIY UZ

1 0.00000 -0.01197 0.000002 -0.03546 0.00000 0.007983 0.00000 0.01197 0.000004 0.00000 0.00000 0.000005 -0.08333 0.01862 -0.043446 0.00000 -0.07447 0.000007 0.00000 0.11303 0.000008 0.03546 0.00000 -0.075359 0.00000 -0.11303 0.00000

SILY I MOMENTYNR "1" "2" MY"1" MY"2" PZ"1" PZ"2"1 1 2 0.00000 -0.02394 -0.02394 -0.023942 2 3 -0.02394 0.00000 0.02394 0.023943 4 5 -0.22340 0.18617 0.40957 0.409574 5 6 0.18617 0.00000 -0.18617 -0.186175 7 8 0.00000 0.22606 0.22606 0.226066 8 9 0.22606 0.00000 -0.22606 -0.226067 2 5 0.00000 -0.04787 -0.04787 -0.047878 5 8 -0.04787 0.00000 0.54787 -0.45213

0.500 0.10106 0.04787

REAKCJEWEZEL NR Z YZ XZ

1 -0.023947 0.226063 -0.023946 0.186179 0.226064 0.40957 -0.22340 0.00000

KONTROLA ROWNOWAGIKIERUNEK OBCIAZENIA REAKCJE

YZ -1.50000 1.50000XZ 1.00000 -1.00000

Z -1.00000 1.00000KONIEC OBLICZEN

Uwaga:W systemie STRAINS lokalne układy współrzędnych przyjmowane są automatyczniejak na rys. poniżej.

1 2 3

4 5 6

7 8

a

a

aa

9

EI

EI

EI

EI

EI EI

0.5EI

0.5EI

X

Z

Y

xyz

xyz

xyz

xyz

xyz

xyz

xy

z

xy

z


strona 14

W systemie SRAINS stosowana jest odwrotna do stosowanej na wykładzie ićwiczeniachumowa znakowania sił przekrojowych tzn. na płaszczyźnie przekroju, dla której zewnętrznywektor normalny ma zwrot zgodny z osią x (dodatnia strona, koniec pręta), dodatnie siłyprzekrojowe mają zwroty niezgodne ze zwrotami odpowiednich osi lokalnego układuwspółrzędnych.

Ponieważ zwroty lokalnych osiy i z przyjęte w systemie STRAINS są odwrotne niż przyjętewcześniej do obliczeń "odręcznych" i odwrotna jest też stosowana umowa znakowania siłprzekrojowych otrzymaliśmy pełną zgodność wartości i znaków sił przekrojowych.

Ruszt belkowy - Metoda sił

Documents

Transcript of Ruszt belkowy - Metoda sił