Rozgrzewka przed testem nr 2 z Matematyki Dyskretnejsemestr letni 2013/2014.

Zadanie 1. Rozwiąż równanie rekurencyjne:

an = 3an−1 − 2an−2 + 2n, a0 = 4, a1 = 9.

WSKAZÓWKA: Rozwiązanie szczególne jest postaci a(2)n = An2n.

Zadanie 2. Dany jest graf prosty G, który ma 30 wierzchołków i 21 krawędzi. Ile może mieć najmniej i najwięcejskładowych? Opisz jak wygląda, jeśli ma najmniejszą możliwą liczbę składowych i jak wygląda, jeśli ma największąmożliwą liczbę składowych.

Zadanie 3. Podaj kod Prufera drzewa na rysunku.

Zadanie 4. Założyciel piramidy finasowej dostaje po 1zł od każdego nowo zrekrutowanego członka piramidy. Każdyczłonek piramidy (w tym też założyciel) rekrutuje miesięcznie 3 nowych członków (począwszy od końca miesiąca,w którym został zrekrutowany). Zakładamy, że na początku pierwszego miesiąca był tylko założyciel. Znajdź rekuren-cję na an – kwotę, jaką zarobił założyciel po n miesiącach działania piramidy oraz bn – liczbę osób, które są członkamipiramidy po n miesiącach. Rozwiąż obie rekurencje nie korzystając z metody równania charakterystycznego.

Zadanie 5. Dziecko zapisuje słowo (nie koniecznie mające sens) korzystając tylko z literek A,B,C w ten sposób, żew zapisanym słowie nie występuje ciąg AB (tzn. literka B nie występuje bezpośrednio po A). Niech an będzie liczbąróżnych słów długości n, które dziecko może zapisać. Wtedy:

A. a2 = 6.

B. a3 = 21.

C. a4 = 53.

D. an = 3an−1 − an−2 dla n ­ 3.

E. an = 8an−2 + 3an−3 dla n ­ 4.

Zadanie 6. Czy prawdą jest, że 10–kostka Q10

A. jest grafem regularnym?

B. jest grafem dwudzielnym?

C. ma wierzchołek stopnia 25?

D. ma 1024 wierzchołków?

E. ma 219 krawędzi?

Zadanie 7. Dla grafów prostych prawdą jest, że

A. istnieje graf o ciągu stopni (7, 7, 6, 4, 4, 3, 3, 2).

B. istnieje graf o ciągu stopni (8, 7, 5, 4, 4, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1).

C. każda para izomorficznych grafów ma ten sam ciąg stopni.

D. każde dwa grafy o tym samym ciągu stopni są izomorficzne.

E. jeżeli (d1, d2, d3, . . . , d8) jest graficzny to ciąg (2, d1, d2, d3, . . . , d6, d7 + 1, d8 + 1) też jest graficzny.

Zadanie 8. Czy prawdziwe są poniższe stwierdzenia?

A. Dopełnienie grafu o 5 wierzchołkach i 4 krawędziach ma 5 wierzchołków i 6 krawędzi.

B. Istnieje graf samodopełniajacy o 6 wierzchołkach.

C. Suma stopni wierzchołków grafu jest równa liczbie jego krawędzi.

D. W grafie prostym o n wierzchołkach każdy wierzchołek ma stopień mniejszy od n.

E. W grafie prostym każdy wierzchołek może mieć inny stopień.

Zadanie 9. Niech ak oznacza dla k ­ 3 liczbę wszystkich parami nieizomorficznych grafów prostych o k krawędziachi k wierzchołkach. Czy prawdziwe są poniższe stwierdzenia?

A. a3 = 1;

B. a4 = 2;

C. a5 < 4;

D. a6 ­ 4;

E. ak ¬((k2)k

).

Zadanie 10. Czy prawdziwe są poniższe stwierdzenia?

A. Jeśli graf ma mniej krawędzi niż wierzchołków, to jest lasem.

B. W grafie o n wierzchołkach i k < n krawędziach liczba składowych spójności wynosi n− k.

C. Jeśli graf ma 6 wierzchołków i 3 składowe spójności, to liczba k jego krawędzi należy do zbioru {3, 4, 5, 6}.

D. Jeśli graf ma 7 wierzchołków i 11 krawędzi, to ma co najwyżej dwie składowe.

E. Jeśli graf ma 10 wierzchołków i 36 krawędzi, to jest spójny.

Zadanie 11. Czy prawdziwe są poniższe stwierdzenia?

A. Istnieje dokładnie nn−2 drzew na wierzchołkach {1, 2, . . . , n}.

B. Istnieje dokładnie n drzew na wierzchołkach {1, 2, . . . , n}, w których jeden z wierzchołków ma stopień n− 1.

C. Istnieje takie drzewo, którego ciag stopni jest taki sam jak kod Prufera.

D. W kodzie Prufera nie ma wierzchołków stopnia 1.

E. Drzewo o kodzie Prufera 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8 jest ścieżką.