Równania i Nierówności Wymierne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

RWNANIA I NIERWNOSCIWYMIERNE

Rwnania wymierne

Rwnanie wymierne to rwnanie, ktre mozna sprowadzic do postaci

P(x)Q(x)

= 0,

gdzie P(x) i Q(x) to pewne wielomiany.Oczywiscie kazde rozwiazanie powyzszego rwnania musi speniac rwnanie wielomia-

nowe P(x) = 0 (licznik musi byc rwny 0). Z tego punktu widzenia rozwiazywanie rwnanwymiernych sprowadza sie do rozwiazywania rwnan wielomianowych.

Rozwiazmy rwnanie x25x+6x2+4 = 0.

Od razu zajmujemy sie licznikiem. Liczymy.

x2 5x + 6 = 0 = 25 24 = 1x = 2 x = 3.

Jest jednak jeden drobny, aczkolwiek bardzo istotny szczeg, liczba x0 dla ktrej P(x0) =0 moze byc jednoczesnie zerem mianownika wyrazenia P(x)Q(x) . W takiej sytuacji nie jest torozwiazanie wyjsciowego rwnania (nie nalezy do jego dziedziny).

atwo sprawdzic, ze liczba x = 2 jest miejscem zerowym licznika uamka x2x38 , alenie jest to rozwiazanie rwnania

x 2x3 8 = 0

bo dla x = 2 mianownik tego wyrazenia sie zeruje.

Sa dwa sposoby poradzenia sobie z problemem dziedziny rwnania wymiernego.1. Pierwszy sposb to wyznaczenie na poczatku dziedziny rwnania. Musimy wiec rozwia-zac rwnanie wielomianowe Q(x) = 0 i jego pierwiastki wyrzucic z dziedziny rwnania.Przy takim podejsciu rozwiazanie rwnania wymiernego P(x)Q(x) = 0 wymaga rozwiazaniadwch rwnan wielomianowych: P(x) = 0 oraz Q(x) = 0.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Rozwiazmy rwnanie x2x2x3+8 .

Mianownik zeruje sie tylko dla x = 2, wiec dziedzina rwnania jest zbir D =R \ {2}. Szukamy teraz miejsc zerowych licznika.

x2 + x 2 = 0 = 1 + 8 = 9x = 2 x = 1.

Pierwszy z pierwiastkw nie nalezy do dziedziny rwnania.

2. Drugi sposb, ktry jest niezwykle wygodny w przypadku bardziej skomplikowanychmianownikw, to sprawdzenie na koniec, czy otrzymane miejsca zerowe licznika nie saprzypadkiem miejscami zerowymi mianownika. Przy takim podejsciu nie musimy wyzna-czac dziedziny rwnania.

Rozwiazmy rwnanie x21

x4x3+x26x+5 = 0.W tym przykadzie wyznaczenie dziedziny rwnania byoby niezwykle trudne,podczas gdy samo rozwiazanie rwnania jest bardzo proste: miejsca zerowe liczni-ka to x = 1 i x = 1. Skoro jednak nie wyznaczylismy dziedziny, musimy spraw-dzic, czy przypadkiem ktras z tych liczb nie jest miejscem zerowym mianownika.Liczymy

Q(1) = 1 + 1 + 1 + 6 + 5 = 14Q(1) = 1 1 + 1 6 + 5 = 0.

Zatem jedynym rozwiazaniem rwnania jest x = 1.

Nierwnosci wymierne

Sytuacja nierwnosci wymiernych jest odrobine bardziej skomplikowana, bo tym razemmusimy traktowac znacznie powazniej mianownik uamka (w przypadku rwnan w za-sadzie nie mia on znaczenia, byle tylko by niezerowy). Rozpocznijmy od przypadku ostrejnierwnosci postaci P(x)Q(x) > 0 lub

P(x)Q(x) < 0. Sytuacja jest bardzo prosta, korzystajac z rwno-

waznosci

P(x)Q(x)

> 0 P(x) Q(x) > 0P(x)Q(x)

< 0 P(x) Q(x) < 0.

zamieniamy taka nierwnosc na nierwnosc wielomianowa.

Wyjasnijmy krtko sens tych rwnowaznosci. Kiedy uamek P(x)Q(x) jest dodatni? dokad-nie wtedy, gdy licznik i mianownik sa tego samego znaku (oba dodatnie lub oba ujemne). Akiedy iloczyn P(x) Q(x) jest dodatni? gdy sie chwile zastanowimy to dokadnie w takiejsamej sytuacji: gdy liczby P(x) i Q(x) sa tego samego znaku. Innymi sowy



Iloraz dwch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn.

Zauwazmy jeszcze dodatkowa mia ceche tych rwnowaznosci: nie musimy w ogle przej-mowac sie dziedzina wyjsciowego wyrazenia P(x)Q(x) . Dlaczego? Ano dlatego, ze wsrd roz-wiazan nierwnosci P(x) Q(x) > 0 (lub P(x) Q(x) < 0) nie moze byc liczb dla ktrychQ(x) = 0 (bo wtedy P(x) Q(x) = 0), czyli wszystkie rozwiazania, ktre otrzymamy sapoprawne.

Zbir rozwiazan nierwnosci x5x+3 > 0 jest taki sam jak zbir rozwiazan nierwnoscikwadratowej

(x 5)(x + 3) > 0.Jest to wiec zbir (,3) (5,+).

Rozwiazmy nierwnosc (2x1)(x22)

(3x)(x2+x+1) < 0.Dana nierwnosc jest rwnowazna nierwnosci

(2x 1)(x2 2)(3 x)(x2 + x + 1) < 0 2

(x 1

2

)(x

2)(x +

2)(x 3)(x2 + x + 1) < 0.

Ostatni czynnik jest zawsze dodatni, wiec pozostaje nierwnosc(x 1

2

)(x

2)(x +

2)(x 3) > 0.

3++

- -2+ 2-

21-Korzystajac teraz z metody weza mamy

x (,

2) (

12

,

2) (3,+).

Sabe nierwnosci

Pozosta nam przypadek sabych nierwnosci postaci P(x)Q(x) > 0 orazP(x)Q(x) 6 0. Sytuacja jest

podobna jak w przypadku ostrych nierwnosci: zamieniamy te nierwnosci na nierwnosciP(x) Q(x) > 0 oraz P(x) Q(x) 6 0 odpowiednio. Tym razem jest jednak may haczyk:w otrzymanym zbiorze rozwiazan beda zawarte zera mianownika Q(x) (bo nierwnosc jestsaba) i musimy te zera usunac. Innymi sowy, w tym przypadku nie mozemy zignorowacdziedziny nierwnosci. W skrcie zapisujemy te sytuacje przy pomocy rwnowaznosci



P(x)Q(x)

> 0 (P(x) Q(x) > 0 oraz Q(x) 6= 0)P(x)Q(x)

6 0 (P(x) Q(x) 6 0 oraz Q(x) 6= 0) .

Rozwiazmy nierwnosc 2xx3 > 0.Zamieniamy iloraz na iloczyn

(2 x)(x 3) > 0 / (1)(x 2)(x 3) 6 0x 2, 3.

Z otrzymanego przedziau musimy jednak wyrzucic zero mianownika, czyli x = 3.Odpowiedzia jest wiec przedzia 2, 3).

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Nie napisalismy do tej pory tego wyraznie, ale zawsze pierwszym korkiem jest sprowadze-nie rwnania/nierwnosci wymiernej do postaci, w ktrej po jednej stronie mamy ilorazdwch wielomianw (jeden uamek), a po drugiej 0. Na og robimy to przenoszac wszyst-kie niezerowe skadniki na jedna strone i sprowadzajac je do wsplnego mianownika.

Rozwiazmy nierwnosc 2x+5 >1

x7 .Liczymy

2x + 5

1x 7 > 0

2(x 7) (x + 5)(x + 5)(x 7) > 0

x 19(x + 5)(x 7) > 0(x 19)(x + 5)(x 7) > 0x (5, 7) (19,+).

W przypadku rwnan mozemy te rachunki zapisac odrobine prosciej, mnozac rwnaniestronami przez mianowniki. Pamietajmy jednak o dziedzinie rwnania: jezeli nie wyzna-czymy jej na samym poczatku, to pamietajmy o sprawdzeniu otrzymanych rozwiazan.



Rozwiazmy rwnanie x+1x1 +x+2x2 =

2x+13x+1 .

Goym okiem widac, ze dziedzina rwnania to D = R \ {1, 1, 2}. Aby pozbyc sieuamkw mnozymy rwnanie stronami przez (x 1)(x 2)(x + 1). Otrzymamy

(x + 1)2(x 2) + (x + 2)(x 1)(x + 1) = (2x + 13)(x 2)(x 1)(x2 + 2x + 1)(x 2) + (x + 2)(x2 1) = (2x + 13)(x2 3x + 2)(x3 3x 2) + (x3 + 2x2 x 2) = 2x3 + 7x2 35x + 260 = 5x2 31x + 30 = 0 = 961 600 = 361 = 192

x =31 19

10= 6

5 x = 31 + 19

10= 5.

2

Pozbywajac sie mianownikw w rwnaniu wymiernym mnozymy obie strony przez naj-mniejsza wsplna wielokrotnosc mianownikw, czyli przez najmniejszy (w sensie stopnia)wielomian, ktry dzieli sie przez kazdy z mianownikw.

Aby pozbyc sie mianownikw w rwnaniu

3x 1(x 1)2(x + 3)2

4x2 8x 1 =

17 9x(x 7)3(x + 3)3

mnozymy obie strony przez wielomian (x 1)2(x + 3)3(x 7)3.

3

Mwilismy o tym, ze nierwnosc wymierna z wyrazeniem P(x)Q(x) zastepujemy nierwnoscia zwyrazeniem P(x) Q(x). Zdarza sie jednak, ze wielomiany P(x) i Q(x) maja wsplny czyn-nik, ktry w uamku P(x)Q(x) sie skrci. Dlatego warto jest rozozyc te wielomiany na czynnikizanim zamienimy iloraz na iloczyn.



Rozwiazmy nierwnosc x3+1

x21 6 0.Dziedzina nierwnosci jest zbir D = R \ {1, 1}. Jezeli od razu przejdziemy doiloczyny to mamy nierwnosc stopnia 5:

(x3 + 1)(x2 1) 6 0.Jezeli jednak najpierw rozozymy licznik i mianownik w wyjsciowym uamku

x3 + 1x2 1 =

(x + 1)(x2 x + 1)(x 1)(x + 1) =

x2 x + 1x 1

to otrzymamy nierwnosc stopnia 3

(x2 x + 1)(x 1) 6 0.Tak sie szczesliwie skada, ze trjmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastkw(jest zawsze dodatni), wiec pozostaje nam

x 1 6 0 x 6 1.Uwzgledniajac dziedzine nierwnosci, otrzymujemy zbir rozwiazan: (,1) (1, 1).

4

W poprzedniej wskazwce pisalismy o skracaniu uamka w rwnaniu/nierwnosci wy-miernej. Przy tej okazji warto podkreslic, ze takie skracanie na og zmienia dziedzine prze-ksztacanego wyrazenia i trzeba uwazac, zeby nie otrzymac faszywych rozwiazan.

Prawa i lewa strona rwnosci x+1x+1 = 1 nie sa identyczne, bo lewa strona nie masensu dla x = 1 (te dwa wyrazenia maja rzne dziedziny).

Rozwiazmy rwnanie (x+1)(x22x3)

x21 = 0.Widac, ze mozemy skrcic x + 1:

0 =(x + 1)(x2 2x 3)

(x 1)(x + 1) =x2 2x 3

x 1 .

Sprawdzamy jakie sa miejsca zerowe licznika

x2 2x 3 = 0 = 4 + 12 = 16x = 1 x = 3.

Jednak x = 1 nie jest pierwiastkiem wyjsciowego rwnania (pomimo, ze jest pier-wiastkiem skrconego rwnania x

22x3x1 = 0).



Opisane powyzej problemy sa zupenie niegrozne jezeli pamietamy o wyznaczeniu na po-czatku dziedziny rwnania/nierwnosci, lub gdy i tak planujemy sprawdzic otrzymanerozwiazania.

5Jaka jest optymalna strategia rozwiazywania nierwnosci wymiernej? kolejne kroki po-winny byc nastepujace:1. Rozkadamy licznik i mianownik na czynniki, przy okazji otrzymamy dziedzine nierw-nosci.2. Jezeli jakies czynniki sie skracaja to skracamy.3. Zamieniamy iloraz na iloczyn i rozwiazujemy otrzymana nierwnosc wielomianowa (cojest juz bardzo proste, bo otrzymany wielomian jest juz rozozony na czynniki).4. Korygujemy otrzymane rozwiazanie uwzgledniajac dziedzine nierwnosci.

Rozwiazmy nierwnosc x2+3x10

x26x+8 < 0.Rozpoczynamy od rozozenia licznika i mianownika.

x2 + 3x 10 = 0, x2 6x + 8 = 0, = 9 + 40 = 49, = 36 32 = 4,x = 5 x = 2, x = 2 x = 4.

Zatemx2 + 3x 10x2 6x + 8 =

(x + 5)(x 2)(x 2)(x 4) =

x + 5x 4

i dziedzina nierwnosci jest zbir D = R \ {2, 4}. Rozwiazujemy teraz nierwnoscwielomianowa

(x + 5)(x 4) < 0 x (5, 4).Uwzgledniajac dziedzine otrzymujemy rozwiazanie x (5, 2) (2, 4).

6Czesto pojawiajacy sie trick w zadaniach z wyrazeniami wymiernymi to atwa do spraw-dzenia rwnosc

1x(x + 1)

=1x 1

x + 1.

Przeksztacenie to pozwala czasem bardzo sprawnie uproscic wyrazenie wymierne.

Rozwiazmy rwnanie 1x(x+1) +1

(x+1)(x+2) +1

(x+2)(x+3) = 5 1x+3 .Jezeli bedziemy rozwiazywac to rwnanie na sie to czeka nas sporo rachunkw.Jezeli natomiast skorzystamy z podanej sztuczki to mamy

1x 1

x + 1+

1x + 1

1x + 2

+1

x + 2 1

x + 3= 5 1

x + 31x= 5 x = 1

5.



Przy odrobinie wprawy mozna wymyslac inne wzory, podobne do wzoru powyzej, np.

2x(x + 2)

=1x 1

x + 2.

Tego typu zabawa nabiera duzego znaczenia przy liczeniu caek z funkcji wymiernych i nosinazwe rozkadu na uamki proste.

7Umiejetnosc sprawnego rozwiazywania rwnan/nierwnosci wymiernych pozwala roz-wiazywac wiele rznych klas nierwnosci.

Rozwiazmy nierwnosc log(x + 3) log x > 2.Dziedzina nierwnosci jest przedzia D = (0,+). Przeksztacamy.

logx + 3

x> log 100

x + 3x

> 100

x + 3 100xx

> 0

(3 99x)x > 0 / : 99(x 1

33

)x < 0 x

(0,

133

).

Patrzymy na dziedzine i widzimy, ze nic nie musimy wyrzucac z otrzymanegozbioru rozwiazan.

Rozwiazmy nierwnosc 23xxx+3 < 0.

Ze wzgledu na pierwiastek musimy miec x > 0 i jest to dziedzina nierwnosci (bomianownik jest przy tym zaozeniu niezerowy). Po podstawieniu t = 6

x mamy

nierwnosc

0 >2t2 t3t6 + 3

=t2(2 t)

t6 + 3 t > 2

(bo t > 0). Wracajac do x-a daje to nam zbir rozwiazan: (26,+) = (64,+).


Równania i Nierówności Wymierne

Documents

Transcript of Równania i Nierówności Wymierne