Równania i Nierówności Wykładnicze i Logarytmiczne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

RWNANIA I NIERWNOSCIWYKADNICZE I LOGARYTMICZNE

Rozwiazywanie rwnan i nierwnosci wykadniczych/logarytmicznych bardzo przypomi-na analogiczna zabawe z funkcjami trygonometrycznymi tez mamy kilka wzorkw, dziekiktrym musimy sprowadzic takie rwnanie/nierwnosc do prostej postaci. Caa sytuacjajest jednak o wiele prostsza, bo nie ma okresowosci i wzorw redukcyjnych.

Proste rwnania i nierwnosci wykadnicze

Proste rwnania wykadnicze to rwnania postaci

ax = b,

gdzie a, b > 0 i a 6= 1. Nie ma tu zadnego problemu: logarytmujemy stronami logarytmemprzy podstawie a i mamy x = loga b.

Rozwiazmy rwnanie 22x = 59x .Liczymy

22x 32x = 562x = 5 / log6()2x = log6 5

x =12

log6 5 = log6

5.

Czesto jest tak, ze rwnanie ma jeszcze prostsza postac:

ax = ac.

Wtedy mozemy od razu wywnioskowac, ze x = c (dzieki rznowartosciowoscifunkcji wykadniczej).

Rozwiazmy rwnanie 24x + 42x + 16x = 12. Liczymy

24x + 24x + 24x = 12

3 24x = 1224x = 22

4x = 2 x = 12

.

Analogicznie postepujemy w przypadku nierwnosci tego typu. Jedyna rzecz, na ktra mu-simy uwazac, to zmiana znaku nierwnosci w przypadku, gdy a < 1.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Rozwiazmy nierwnosc(

12

)x x(

1 2 log 12

13

)= x

(log 1

2

12 log 1

2

19

)= x log 1

2

1219

= x log 12

92

.

Poniewaz log 12

92 < 0 otrzymujemy stad x > 0.

Sprawdzmy dla jakiej wartosci parametru m rozwiazaniem nierwnosci(17

)x6 m

jest przedzia 2,+).Liczymy (

17

)x6 m / log 1

7()

x > log 17m.

Musimy zatem miec

log 17m = 2 m =

(17

)2=

149

.

Proste rwnania i nierwnosci logarytmiczne

Proste rwnanie logarytmiczne to rwnanie postaci

loga x = b,

gdzie a > 0 i a 6= 1. Rozwiazanie rwnania tego typu sprowadza sie do przypomnieniasobie definicji logarytmu. Powyzsza rwnosc oznacza, ze

x = ab.

Rozwiazmy rwnanie log3 2x = 2. Liczymy

2x = 32 / log2()x = log2 9.



Podobnie jak w przypadku prostych rwnan wykadniczych, czasem rwnanie jest jesz-cze prostsze:

loga x = loga b.

w takiej sytuacji od razu wnioskujemy, ze x = b (korzystamy z rznowartosciowoscifunkcji wykadniczej).

Rozwiazmy rwnanie log x+ log x2 = log 2x2.Liczymy

log x3 = log 2x2

x3 = 2x2

x2(x 2) = 0x = 0 x = 2.

Ze wzgledu na dziedzine rwnania jedynym rozwiazaniem jest x = 2.

Przejscie od rwnan do nierwnosci jest prawie natychmiastowe. Prawie, bo jak zwyklemusimy uwazac na monotonicznosc funkcji logarytmicznej.

Rozwiazmy nierwnosc logpi4x < 2.

Zamieniamy 2 z prawej strony na logarytm.

logpi4x < logpi

4

(pi4

)2.

Teraz chcemy opuscic logarytmy. Poniewaz pi4 < 1, zmieniamy znak nierwnoscina przeciwny.

x >(pi

4

)2.

PodstawianieW przypadku bardziej skomplikowanych rwnan i nierwnosci wykadniczych lub loga-rytmicznych niezwykle uzyteczna metoda jest podstawienie t = ax lub t = loga x. Bar-dzo czesto otrzymujemy w ten sposb rwnanie/nierwnosc, ktre juz nie jest wykadni-cze/logarytmiczne (zwykle jest wielomianowe).

Rozwiazmy nierwnosc 4x 3 2x + 2 < 0.Podstawiamy t = 2x i mamy

t2 3t+ 2 < 0 = 9 8 = 1t1 =

3 12

= 1, t2 =3+ 1

2= 2

x1 = 0, x2 = 1x (0, 1).



Rozwiazmy rwnanie xlog x1 = 1410 .Logarytmujemy obie strony logarytmem dziesietnym.

log xlog x1 = log 1014 = 1

4/ 4

4(log x 1) log x = 1.Podstawiamy teraz t = log x.

4t2 4t+ 1 = 0 (2t 1)2 = 0 t = 12

.

Mamy stad x = 10t =

10.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Logarytmujac rwnania/nierwnosci stronami trzeba pamietac o tym, ze podstawa loga-rytmu nie moze byc rwna 1. Bardzo atwo to przegapic jezeli mamy rwnanie/nierwnoscz parametrem.

Ustalmy dla jakich wartosci parametru m > 0 rwnanie mmx2x = 3 ma rozwiaza-nie.Logarytmujemy rwnanie stronami logarytmem przy podstawie m.

mx 2x = logm 3x(m 2) = logm 3.

Teraz widac, ze dla m 6= 2 rwnanie ma dokadnie jedno rozwiazanie (mozemyje wyliczyc dzielac powyzsza rwnosc przez (m 2), a dla m = 2 rwnanie jestsprzeczne.I koniec? No prawie, bo logarytmowalismy przy podstawie m, a to wolno zrobic oile m 6= 1. Musimy zatem osobno sprawdzic co sie dzieje dla m = 1. atwo widac,ze w tym przypadku rwnanie jest sprzeczne (bo 1cokolwiek = 1). Odpowiedzia jestwiec m (0, 1) (1, 2) (2,+).

2Podobna puapka jak w poprzednim tipsie czyha rwniez w przypadku funkcji wykadni-czej: jezeli a = 1 to funkcja y = ax nie jest funkcja wykadnicza, w szczeglnosci nie jestrznowartosciowa.



Ustalmy ile rozwiazan ma rwnanie m2x1 = mmx w zaleznosci od parametru m >0.Poniewaz podstawy po obu stronach sa rwne, rwne musza tez byc wykadniki,czyli

2x 1 = mx 1 = x(m 2).

Widac teraz, ze jezeli m 6= 2 to rwnanie ma dokadnie jedno rozwiazanie. Jezelinatomiast m = 2 to rwnanie jest sprzeczne.Hmm, znowu cos przegapilismy. Dla m = 1 nie mozemy skorzystac z rznowar-tosciowosci funkcji mx (zrobilismy to opuszczajac podstawy), wiec ten przypadekmusimy rozwazyc osobno. atwo widac, ze dla m = 1 rwnanie ma nieskonczeniewiele rozwiazan (bo 1cokolwiek = 1).

3Jezeli ktos ma ochote, to zamiast logarytmowac rwnania typu ax = b stronami moze sko-rzystac z rwnosci b = aloga b.

Uzasadnijmy, ze dla a, b > 0 zachodzi rwnosc: alog b = blog a.Liczymy

alog b =(blogb a

)log b= b

log alog b log b = blog a.

4Ze wzgledu na to, ze ustalenie dziedziny rwnania logarytmicznego bywa trudniejsze nizsamo rozwiazanie rwnania, czesto wygodniej jest najpierw rozwiazac rwnanie (nie przej-mujac sie dziedzina), a potem sprawdzic poprawnosc otrzymanych rozwiazan.

Rozwiazmy rwnanie log2 log3(x2 40) = 2.

Gdybysmy chcieli wyznaczyc dziedzine tego rwnania, to trzeba troche sie napra-cowac: najpierw trzeba sprawdzic kiedy x2 40 > 0, a potem kiedy log3(x2 40) >0. Zamiast to robic, rozwiazujemy rwnanie, a potem sprawdzimy otrzymane roz-wiazania.

log2 log3(x2 40) = log2 22

log3(x2 40) = 4

log3(x2 40) = log3 34 = log3 81

x2 40 = 81 x2 = 121 x = 11.atwo sprawdzic, ze oba rozwiazania sa OK:

log2 log3((11)2 40) = log2 log3 81 = log2 4 = 2.

5Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

5


Warto pamietac, ze zastosowanie nawet tak niewinnego wzoru, jak wzr na logarytm ilo-czynu, zmienia dziedzine rozwiazywanego rwnania czy nierwnosci. To jest tak, jak z pod-noszeniem rwnania do kwadratu: mozemy w ten sposb otrzymac dodatkowe, faszywerozwiazania. Na og pozbywamy sie tego problemu wyznaczajac na poczatku dziedzinerwnania/nierwnosci.

Jest jasne, ze jedynym rozwiazaniem rwnania 2 log x = 0 jest x = 1. Jezeli jednakzapiszemy to rwnanie w postaci log x2 = 0 to sa juz dwa rozwiazania: x = 1 ix = 1.

Rozwiazmy nierwnosc log[x(x+ 2)] log x > 0.Liczymy

logx(x+ 2)

x> 0

log(x+ 2) > 0 x+ 2 > 1 x > 1.Nie jest to jednak rozwiazanie wyjsciowej nierwnosci, bo mielismy w niej log x,wiec musimy miec ponadto x > 0.

6

Przeksztacanie rwnan wykadniczych/logarytmicznych bywa podchwytliwe i warto po-rozwiazywac duzo tego typu przykadw, zeby nabrac wprawy.

Rozwiazmy rwnanie 4x + 9x = 13 6x1.W pierwszej chwili nie widac co z tym rwnaniem zrobic, ale poniewaz 6 = 2 3,warto podzielic je przez 6x1 (lub 6x, nie ma to znaczenia).

4(

46

)x1+ 9

(96

)x1= 13

4(

23

)x1+ 9

(32

)x1= 13.

Podstawiamy teraz t =(2

3

)x1i mamy rwnanie

4t+9t= 13 / t

4t2 13t+ 9 = 0 = 169 144 = 25t =

13 58

= 1 t = 13+ 58

=94

.

atwo stad wyliczyc rozwiazania: x = 1 i x = 1.



7

Zdarzaja sie przykady, w ktrych jedynym sposobem rozwiazania rwnania wykadnicze-go/logarytmicznego jest skorzystanie z monotonicznosci funkcji wykadniczej/logarytmicznej.

Rozwiazmy rwnanie 3x + 13x = 0.Dobrym cwiczeniem jest prba wyliczenia x-a z tego prostego rwnania. Po kilkuminutach prb powinno byc jasne, ze nie da sie tego zrobic. Niemniej jestesmy wstanie rozwiazac to rwnanie. Zauwazmy, ze z lewej strony rwnania mamy sumedwch funkcji rosnacych, a wiec funkcje rosnaca. To oznacza, ze to rwnanie mozemiec co najwyzej jedno rozwiazanie (bo funkcja rosnaca jest rznowartosciowa).Wystarczy zatem odgadnac to rozwiazanie. Mozna to zrobic na rzne sposoby, np.szkicujac wykresy funkcji y = 3x i y = 13x.

-5 -1 +1 +5 x

-5

-1

+1

+5

yy=3x

y=-1/3x

Gdy sie to zrobi w miare dokadnie to widac, ze przecinaja sie one w punkcie x =1. Oczywiscie bez trudu potwierdzamy to wstawiajac te wartosc do obu wzorw.


Równania i Nierówności Wykładnicze i Logarytmiczne

Documents

Transcript of Równania i Nierówności Wykładnicze i Logarytmiczne