ROOT LOCUS

• ROOT = akar-akar• LOCUS = tempat kedudukan• ROOT LOCUS

– Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses

– Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?

Dua Cara Penggambaran ROOT

LOCUS• Cara 1: Mencari akar-akar persamaan

karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain)

• Cara 2: Didasarkan pada pengalaman– Mencari harga pole dan zero– Menentukan harga breakaway point, center of

gravity, asimtot

– Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)

Contoh 1

• Perhatikan diagram blok di bawah ini

• Persamaan Karakteristiknya:atau 1 + OLTF = 0

OLTF = Open Loop Transfer Function

3

Kc

0.5

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

0)1)(13(

1

ss

Kc

Rumus Penentuan Akar

3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0

  [-b ± √(b²-4ac)]/2a

4

cc KK

rr 313

1

3

2

6

)1(12164, 21

Gambar Root Locus

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3-2/3

Kc AKAR

0 -1; -1/3

1 -2/3 ± (2)/3

5 -2/3 ± (14)/310 -2/3 ± (29)/320 -2/3 ± (59)/350 -2/3 ± (149)/3

-

Sistem SELALU STABIL karenaakar-akarnya selalu beradadi sebelah KIRI

Contoh 2

Persamaan karakteristik:

015,0)1)(13(

1

sss

Kc

6

KcR(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

15,0

5,0

s

Persamaan Karakteristik

015.455.1

015.0)1)(13(

015.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(15.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(

1

23

c

c

c

c

c

Ksss

Ksss

sss

Ksss

sss

K

sss

sss

sss

K

Gambar Root Locus

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

Kc AKAR0 -1; -1/3; -2

1 -2.271; -0.53±0.55i

5 -2.77; -0.281±1.168i

14 -3.3; ± 1.732i

20 -3.586; 0.126±1.97i

30 -3.92; 0.29±2.279i

-

X-2

Sistem ADA BATAS KESTABILANkarena akar-akarnya ada yang beradadi sebelah KANAN

Cara 2

• Persamaan karakteristik:

• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3

• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

015,0)1)(13(

1

sss

Kc

Tentukan Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2

n – m = 3 – 0 = ganjil tempat

kedudukan akar

Tentukan Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2

n – m = 2– 0 =

genap BUKAN tempat

kedudukan akar

Tentukan Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2

n – m = 1– 0 = ganjil tempat kedudukan

akar

Tentukan Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2

Di Antara Tempat Kedudukan2 Pole Ada BREAKAWAY POINT

0363

01223

0213/1

13/123/1212

1

1

1

3/1

10

11

322

31

312

32

3122

11

ss

ssssss

sss

sssssssss

pszs

n

j j

m

i i

0.6268

1.5954

2

1

s

s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN

YANG DIPAKAI

Letak Breakwaway Point

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2 -0.6

Penentuan Center of Gravity dan Sudut

Asimtot

1.13

3

03

21 31

31

1 1

mn

zp

CG

n

j

m

iij

o

o

o

mn

k

30003

2)360(180

18003

1)360(180

6003

0)360(180

)360(180

00

2

00

1

00

0

00

Center of Gravity dan Sudut Asimtot

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2 -0.6-1.1

60o

180o

300o

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner

015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan uis

01)(5.455.1

01)(5.4)(5)(5.123

23

cuuu

cuuu

Kii

Kiii

3dan 0

05.45.1

05.45.1

2

2

3

uu

uu

uu

i

ii

14

01)3(5

015 2

c

c

cu

K

K

K

7.1 u TITIK POTONGNYA

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2 -0.6-1.1

1.7

-1.7

Hasil ROOT LOCUS

REAL

IMAJINER

X X-1 -1/3

X-2 -0.6-1.1