RACHUNEK PRAWDOPODOBIENSTWA, II r. INF,...
1
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´ NSTWA, II r. INF, PPT. Lista zada´ n nr 3 2015/16 1. Rzucamy dwa razy kostk¸ a. Je´ sli w obu rzutach wypadnie ta sama liczba oczek, wygrywamy PLN 100. Je´ sli w pierwszym rzucie wypadnie wi¸eksza liczba oczek ni˙ z w drugim, wygrywamy PLN 50. W ka˙ zdym innym przypadku prze- grywamy PLN 20. Obliczy´ c´ sredni¸ a wygran¸ a w tej grze. 2. Rzucamy dwa razy kostk¸ a. Je´ sli w obu rzutach wypadnie ta sama liczba oczek, to rzucamy raz monet¸ a. Je´ sli w tym rzucie monet¸ a wypadnie orze l, wygrywamy PLN 100. Je´ sli w obu rzutach kostk¸ a nie wypadnie ta sama liczba oczek, przegrywamy (w PLN) l¸ aczn¸ a liczb¸e oczek. Obliczy´ c´ sredni¸ a wygran¸ aw tej grze. 3. Rzucamy n razy monet¸ a. Wygrywamy tyle z lotych, ile razy wypadnie orzel. Obliczy´ c´ sredni¸ a wygran¸ a w tej grze. 4. Rzucamy n razy monet¸ a. Je´ sli wypadnie wi¸ecej or l´ ow ni˙ z reszek wygry- wamy PLN 1. W przeciwnym wypadku przegrywamy PLN 1. Obliczy´ c´ sredni¸ a wygran¸ a w tej grze. 5. Poruszamy si¸e po zbiorze liczb ca lkowitych Z, zaczynaj¸ ac spacer od punktu 0. W ka˙ zdym, kroku idziemy do s¸ asiedniego punktu, uprzednio losuj¸ ac z jed- nakowym prawdopodobie´ nstwem jednen z dw´ och kierunk´ ow. Obliczy´ c´ sredni¸ a odleg lo´ s´ c od pocz¸ atku spaceru po 2, 3, 4, n ruchach. 6. Niech X :Ω → [0, 1] b¸ edzie zmienn¸ a losow¸ a przyjmuj¸ ac¸ a na zdarzeniach elementarnych ze zdarzenia A (tzn. na argumentach z A) warto´ sci nie wi¸eksze ni˙ z1/2. Udowodni´ c, ˙ ze EX ≤ 5 6 , je´ sli P (A) ≥ 1 3 . 7. Przypomnie´ c z wykladu definicj¸ e wariancji zmiennej losowej i dow´ od, ˙ ze V ar(X)= E(X 2 ) - (EX) 2 . 8. Obliczy´ c wariancj¸e dla zmiennej losowej opisuj¸ acej gr¸e z zadania 1. 9. Niech A ⊆ Ω. Niech X = 1 A (tzn. X(ω) = 1, je´ sli ω ∈ A i X(ω) = 0, je´ sli ω 6∈ A; jeszcze inaczej m´ owi¸ ac: X jest indykatorem zdarzenia A). Pokaza´ c, ˙ ze V ar(X)= P (A)(1 - P (A)). Jaka mo˙ ze by´ c maksymalna warto´ s´ c wariancji dla takiej zmiennej losowej? 10. Niech Ω = {ω 1 ,...,ω n } i P ({ω i }) > 0, dla ka˙ zdego i ∈{1,...,n}. Udowodni´ c, ˙ ze je´ sli V ar(X) = 0, to X jest stala. 1
Transcript of RACHUNEK PRAWDOPODOBIENSTWA, II r. INF,...
RACHUNEK PRAWDOPODOBIENSTWA, II r. INF, PPT.Lista zadan nr 3
2015/16
1. Rzucamy dwa razy kostka. Jesli w obu rzutach wypadnie ta sama liczbaoczek, wygrywamy PLN 100. Jesli w pierwszym rzucie wypadnie wieksza liczbaoczek niz w drugim, wygrywamy PLN 50. W kazdym innym przypadku prze-grywamy PLN 20. Obliczyc srednia wygrana w tej grze.
2. Rzucamy dwa razy kostka. Jesli w obu rzutach wypadnie ta sama liczbaoczek, to rzucamy raz moneta. Jesli w tym rzucie moneta wypadnie orze l,wygrywamy PLN 100. Jesli w obu rzutach kostka nie wypadnie ta sama liczbaoczek, przegrywamy (w PLN) laczna liczbe oczek. Obliczyc srednia wygrana wtej grze.
3. Rzucamy n razy moneta. Wygrywamy tyle z lotych, ile razy wypadnie orze l.Obliczyc srednia wygrana w tej grze.
4. Rzucamy n razy moneta. Jesli wypadnie wiecej or low niz reszek wygry-wamy PLN 1. W przeciwnym wypadku przegrywamy PLN 1. Obliczyc sredniawygrana w tej grze.
5. Poruszamy sie po zbiorze liczb ca lkowitych Z, zaczynajac spacer od punktu0. W kazdym, kroku idziemy do sasiedniego punktu, uprzednio losujac z jed-nakowym prawdopodobienstwem jednen z dwoch kierunkow. Obliczyc sredniaodleg losc od poczatku spaceru po 2, 3, 4, n ruchach.
6. Niech X : Ω → [0, 1] bedzie zmienna losowa przyjmujaca na zdarzeniachelementarnych ze zdarzenia A (tzn. na argumentach z A) wartosci nie wiekszeniz 1/2. Udowodnic, ze EX ≤ 5
6 , jesli P (A) ≥ 13 .
7. Przypomniec z wyk ladu definicje wariancji zmiennej losowej i dowod, zeV ar(X) = E(X2)− (EX)2.
8. Obliczyc wariancje dla zmiennej losowej opisujacej gre z zadania 1.
9. Niech A ⊆ Ω. Niech X = 1A (tzn. X(ω) = 1, jesli ω ∈ A i X(ω) = 0, jesliω 6∈ A; jeszcze inaczej mowiac: X jest indykatorem zdarzenia A). Pokazac, zeV ar(X) = P (A)(1− P (A)). Jaka moze byc maksymalna wartosc wariancji dlatakiej zmiennej losowej?
10. Niech Ω = ω1, . . . , ωn i P (ωi) > 0, dla kazdego i ∈ 1, . . . , n.Udowodnic, ze jesli V ar(X) = 0, to X jest sta la.
1
