Programnauczania

matematykidla liceum ogólnokszta∏càcego,

liceum profilowanego i technikum

Kszta∏cenie ogólne w zakresie podstawowym

Piotr Grabowski

Projekt ok∏adki: Konrad Klee

Opracowanie graficzne: Konrad Klee

Realizacja projektu graficznego: Dorota Gajda

Redaktor serii: Magdalena Spaliƒska

Redaktor prowadzàcy: Maria Ma∏ek

Redakcja j´zykowa: Anna Rajca-Salata

Program dopuszczony do u˝ytku szkolnego przez ministra w∏aÊciwego do spraw oÊwiaty i wychowania

na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. hab. Jacka M. J´drzejewskiego i mgr. Marka Sadowskiego.

Nr dopuszczenia: DKOS-5002-80/07

ISBN 978-83-7409-531-0

© Copyright by NOWA ERA

Warszawa 2008

Sk∏ad i ∏amanie: Nowa Era Sp. z o.o.

Nowa Era Sp. z o.o.Aleje Jerozolimskie 146 D, 02-305 Warszawa

tel. 0 22 570 25 80, faks 0 22 570 25 81

www.nowaera.pl, e-mail: nowaera@nowaera.pl

Spis treÊci

Wst´p 3

I Cele kszta∏cenia 4

II Procedury osiàgania celów 5

III Materia∏ nauczania i przewidywane umiej´tnoÊci,które uczniowie powinni zdobyç 6

Klasa ITreÊci nauczania 6Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia 9

Klasa IITreÊci nauczania 10Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia 12

Klasa IIITreÊci nauczania 13Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia 14

IV Propozycje metod kontroli i oceny osiàgni´ç 15Katalog wymagaƒ programowych 17

V Orientacyjny przydzia∏ godzin 30

Wst´p

W matematyce umiej´tnoÊci sà znacznie wa˝niejsze od wiadomoÊci, dlatego te˝

w nauczaniu matematyki to, jak uczymy, mo˝e byç wa˝niejsze od tego, czego uczymy.

György Polya

Program nauczania matematyki dla liceum ogólnokszta∏càcego, liceum profilowa-nego i technikum. Kszta∏cenie ogólne w zakresie podstawowym w pe∏ni respektuje

za∏o˝enia reformy szkolnictwa oraz zatwierdzonej przez MEN Podstawy progra-mowej kszta∏cenia ogólnego z dn. 23.08.2007 r.

TreÊci nauczania w zasadzie nie wykraczajà poza has∏a podstawy. Matematyka,

przedmiot obowiàzkowo zdawany na maturze, powinna byç opanowana w stopniu

co najmniej dostatecznym przez ka˝dego ucznia. Nie jest to zadanie ∏atwe, ani dla

uczniów ani dla nauczycieli. Autor prezentowanego programu wyznaje zasad´, ˝e

lepiej zawrzeç w nim mniej treÊci, za to ∏atwiejszych do przyswojenia i dobrego

zrozumienia. Wysi∏ek ucznia oraz nauczyciela powinien byç racjonalny i twórczy,

a nie mechaniczny. Tym bardziej, ˝e matematyka daje ka˝demu nauczycielowi

ogromne mo˝liwoÊci poszerzania materia∏u o ciekawe lub trudniejsze zadania.

Wystarczy wspomnieç, ˝e bardzo interesujàce zadania na poziomie olimpiad ma-

tematycznych dotyczà teorii liczb, wielomianów czy geometrii! Lekcje nie powin-

ny byç nudne, nawet dla bardzo zdolnego ucznia, który zdecydowa∏ si´ na program

matematyki ograniczony tylko do zakresu podstawowego.

Niniejsza pozycja sk∏ada si´ z kilku cz´Êci. Na poczàtku wymienione zosta∏y

najwa˝niejsze cele edukacyjne i wychowawcze kszta∏cenia w zakresie matematyki.

Kolejnà cz´Êç programu poÊwi´cono procedurom osiàgania celów oraz metodom

sprawdzania i oceny osiàgni´ç uczniów. Dalej omówiony zosta∏ materia∏ naucza-

nia wraz z przewidywanymi osiàgni´ciami uczniów. Na koƒcu zamieszczono uwa-

gi na temat realizacji programu z podaniem orientacyjnego przydzia∏u godzin.

Zrealizowanie celów nauczania wymaga czasu. Przy obowiàzujàcej siatce godzin

nie jest go zbyt wiele. Do decyzji nauczyciela nale˝y wybór, czy realizowaç podanà

propozycj´, czy dokonaç w niej pewnych korekt. Nie mo˝na zak∏adaç jednolitego

4

schematu nauczania nawet w obr´bie jednego programu. Dobór form i metod na-

uczania musi byç dostosowany do konkretnych warunków – liczby uczniów, wypo-

sa˝enia szko∏y, planu zaj´ç itp.

Do niniejszego programu Wydawnictwo Nowa Era przygotowuje pakiet zawie-

rajàcy podr´czniki dla uczniów oraz poradniki metodyczne dla nauczycieli.

5

I Cele kszta∏cenia

Nauka matematyki powinna wspomagaç rozwój intelektualny ucznia, przygoto-

wywaç go do dzia∏aƒ zespo∏owych, przyczyniaç si´ do wszechstronnego kszta∏to-

wania jego osobowoÊci oraz pomóc mu w poznawaniu i rozumieniu problematyki

rozwoju kraju i Êwiata.

Cele edukacyjne

� opanowanie umiej´tnoÊci uogólniania przyk∏adów, formu∏owania hipotez

i twierdzeƒ, przeprowadzania prostych rozumowaƒ dedukcyjnych;

� opanowanie umiej´tnoÊci podawania przyk∏adów i kontrprzyk∏adów, defi-

niowania poj´ç oraz pos∏ugiwania si´ definicjà;

� wykszta∏cenie umiej´tnoÊci budowania modeli matematycznych ró˝norod-

nych sytuacji z ˝ycia codziennego oraz ich wykorzystania do rozwiàzywania

problemów;

� opanowanie umiej´tnoÊci potrzebnych do iloÊciowej oceny i opisu ró˝nych

zjawisk;

� wykszta∏cenie wyobraêni przestrzennej przez wyznaczanie zwiàzków me-

trycznych i miarowych w otaczajàcej nas przestrzeni i obliczanie miar figur

geometrycznych;

� nauczenie wykrywania zwiàzków mi´dzy liczbowymi parametrami zjawisk,

szacowania wartoÊci tych parametrów, opisywania zwiàzków pomi´dzy nimi

za pomocà równaƒ i nierównoÊci, wykrywania mi´dzy nimi zale˝noÊci funk-

cyjnych lub rekurencyjnych oraz analiza ich w∏asnoÊci, wyznaczania stanów

optymalnych i ekstremalnych;

� opanowanie umiej´tnoÊci odczytywania w∏asnoÊci zwiàzków opisanych wy-

kresami, diagramami itp., konstruowanie wykresów;

� nauczenie wykonywania dzia∏aƒ na liczbach i wyra˝eniach algebraicznych;

� opanowanie umiej´tnoÊci sporzàdzania notatek;

6

� opanowanie umiej´tnoÊci korzystania z opracowaƒ podr´cznikowych, pomo-

cy naukowych, komputera, kalkulatora itp.

Procesy wychowawcze

� nauka dobrej organizacji pracy, wytrwa∏oÊci i systematycznoÊci w dà˝eniu do

osiàgni´cia zamierzonych celów;

� kszta∏cenie umiej´tnoÊci logicznego rozumowania;

� wyrabianie samodzielnoÊci, dociekliwoÊci i krytycyzmu;

� rozwijanie zdolnoÊci poznawczych;

� pobudzanie aktywnoÊci umys∏owej;

� rozwijanie umiej´tnoÊci prezentowania wyników w∏asnej pracy i dowodzenia

racji z wykorzystaniem precyzyjnego j´zyka matematyki;

� rozwijanie umiej´tnoÊci pracy i wspó∏pracy w zespole oraz prowadzenia dys-

kusji z wykorzystaniem argumentów merytorycznych.

7

II Procedury osiàgania celów

Program nauczania matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum, liceum

i technikum uk∏ada si´ spiralnie. Te same has∏a programowe omawiane sà w ko-

lejnych latach na coraz wy˝szym poziomie abstrakcji i cechuje je coraz wi´kszy

stopieƒ trudnoÊci. W miar´ realizacji programu zadania si´ komplikujà, a wyma-

gania, dotyczàce np. dowodzenia twierdzeƒ czy bardziej precyzyjnego stosowania

definicji, rosnà. Takie ustawienie programu wymusza na nauczycielu sta∏e metody

pracy z uczniami.

Punktem wyjÊcia jest przygotowanie planu pracy na ca∏y rok, co u∏atwiç mo˝e

umieszczona w programie propozycja orientacyjnego przydzia∏u godzin.

Planujàc cykl lekcji poÊwi´conych konkretnemu zagadnieniu (np. poj´ciu funk-

cji, zastosowaniom trygonometrii itp.), nale˝y przeznaczyç czas na powtórzenie

i usystematyzowanie omówionego wczeÊniej materia∏u dotyczàcego danego has∏a

programowego. Materia∏ ten mo˝na rozszerzyç o ciekawsze i trudniejsze zadania.

Nast´pnie, najlepiej jako uogólnienie prezentowanych wczeÊniej problemów,

wprowadzone zostajà nowe poj´cia. Przy ich omawianiu bardzo wa˝ne jest stoso-

wanie zasady stopniowania trudnoÊci. Utrwalenie nowych poj´ç zaczynamy od

najprostszych przyk∏adów i zadaƒ, a nast´pnie przechodzimy do coraz bardziej

skomplikowanych. W ca∏ym procesie nauczania matematyki wa˝nà rol´ odgrywa

rozwiàzywanie zadaƒ. Bardzo istotne jest równie˝ zró˝nicowanie ich tematyki. Do-

tyczy to tak˝e zadawanych prac domowych. Monotonne powtarzanie tych samych

czynnoÊci skutecznie niszczy zainteresowanie matematykà i ch´ç uczenia si´ jej.

Aby przybli˝yç uczniom wprowadzane poj´cia matematyczne, warto zwróciç

uwag´ na ich powiàzanie z ˝yciem codziennym, np. pokazaç jak, znajàc procenty

mo˝na oceniç ró˝ne systemy kredytowania. Bardzo wa˝ne jest, aby tematyka za-

daƒ ukazywa∏a sposoby zastosowania matematyki w ró˝nych dziedzinach ˝ycia.

Warto równie˝, aby uczniowie samodzielnie wyszukiwali informacje matematycz-

ne w materia∏ach êród∏owych, np. Êwiadomie korzystali z danych statystycznych.

Przy omawianiu materia∏u istotne jest stosowanie w sposób przemyÊlany i uza-

sadniony pomocy naukowych – komputera, kalkulatora, tablic matematycznych,

8

najrozmaitszych modeli, plansz, diagramów, wykresów itp. Zamiast wykonywaç

d∏ugie, m´czàce i nudne rachunki trzeba çwiczyç dzia∏ania na kalkulatorze. Taka

umiej´tnoÊç bez wàtpienia bardzo przyda si´ w ˝yciu ka˝demu. Nale˝y przy tym

zachowaç proporcje i np. nie pos∏ugiwaç si´ kalkulatorem przy robieniu prostych

obliczeƒ.

Poza tradycyjnym prowadzeniem lekcji w formie wyk∏adu warto wprowadzaç

metody aktywizujàce uczniów. Jednà z nich jest praca w ma∏ych, 3–4-osobowych

grupach. Wspólne zmaganie si´ z problemem jest skuteczniejsze i mniej stresujà-

ce ni˝ wysi∏ek jednostkowy. Poszukiwanie b∏´dów w pracach swoich i kolegów wy-

rabia nawyk samodzielnego sprawdzania rozwiàzaƒ. U∏atwi to prac´ w domu, któ-

ra powinna stanowiç kontynuacj´ zaj´ç lekcyjnych. Istotne jest tak˝e nauczenie si´

korzystania z podr´czników i zbiorów zadaƒ.

Umiej´tnoÊç robienia dobrych notatek z wyk∏adu bywa cz´sto niedoceniana za-

równo przez uczniów, jak i przez nauczycieli. Warto temu zagadnieniu poÊwi´ciç

wi´cej uwagi.

W procesie dydaktycznym niezwykle wa˝ne jest utrwalenie i sprawdzenie zdo-

bytej wiedzy i umiej´tnoÊci. S∏u˝à temu odpowiedzi ustne oraz wszelkiego rodza-

ju pisemne prace klasowe – rozwiàzywanie zadaƒ i przyk∏adów, testy zwyk∏e i wie-

lokrotnego wyboru.

Nale˝y zwróciç uwag´, by tok nauczania by∏ jak najbardziej zindywidualizowa-

ny, szczególnie, gdy mamy do czynienia z uczniami o zró˝nicowanym stopniu za-

interesowaƒ i zdolnoÊci. Uczniom s∏abszym mo˝na zaproponowaç zaj´cia wyrów-

nawcze, zaÊ szczególnie zainteresowanym przedmiotem zaj´cia fakultatywne, roz-

szerzajàce omawiany w klasie materia∏.

Dobierajàc metody pracy, niezale˝nie od omawianych zagadnieƒ, warto odpo-

wiedzieç sobie na dwa pytania: przed danà lekcjà – czego chc´ dziÊ uczniów na-

uczyç, a po niej – czego ich faktycznie nauczy∏em. ÂwiadomoÊç stawianych sobie

celów kszta∏cenia w sposób widoczny zwi´kszy szans´ ich realizacji.

Chcàc osiàgnàç cele wychowawcze, nale˝y przede wszystkim pami´taç o tym, ˝e

najefektywniej si´ wychowuje, dajàc samemu dobry przyk∏ad.

9

III Materia∏ nauczania i przewidywaneumiej´tnoÊci, które uczniowiepowinni zdobyç

Klasa I

KSZTA¸CENIE OGÓLNE W ZAKRESIE PODSTAWOWYM

(3 godz. tygodniowo, razem 114 godz.)

TreÊci nauczania

I. Liczby i ich zbiory 1. Intuicja poj´cia zbioru, podzbiory, zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory,

wprowadzenie symboli Œ, Ã.

2. Liczby naturalne i ca∏kowite. Liczby wymierne – u∏amki zwyk∏e, rozwini´cia

dziesi´tne okresowe, zamiana u∏amków dziesi´tnych okresowych na u∏amki

zwyk∏e. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych).

Liczby niewymierne, rozwini´cia dziesi´tne nieokresowe, przybli˝enia oraz po-

j´cie b∏´du przybli˝enia (b∏àd bezwzgl´dny, b∏àd wzgl´dny), rachunki na kalku-

latorach, szacowanie wartoÊci wyra˝eƒ liczbowych.

3. Cztery dzia∏ania w zbiorze liczb rzeczywistych i ich w∏asnoÊci, dzia∏ania na pier-

wiastkach, znoszenie niewymiernoÊci z mianownika.

4. Dzia∏ania na pot´gach o wyk∏adnikach naturalnych i ich w∏asnoÊci.

5. Definicje pot´g a0, a–n (n Œ N+). Dzia∏ania na pot´gach o wyk∏adnikach ca∏ko-

witych i ich w∏asnoÊci.

6. OÊ liczbowa, przedzia∏y liczbowe, cz´Êç wspólna przedzia∏ów liczbowych, suma

przedzia∏ów, ró˝nice przedzia∏ów.

10

7. WartoÊç bezwzgl´dna liczby i jej podstawowe w∏asnoÊci, interpretacja geome-

tryczna wartoÊci bezwzgl´dnej na osi liczbowej, okreÊlanie przedzia∏ów liczbo-

wych za pomocà wartoÊci bezwzgl´dnej, d∏ugoÊç odcinka na osi liczbowej.

8. Obliczenia procentowe, diagramy procentowe, wielkoÊci wi´ksze (mniejsze) o

a procent, obliczenia procentowe z u˝yciem kalkulatorów, punkty procentowe.

II. Funkcje i ich w∏asnoÊci1. Definicja funkcji jako przyporzàdkowania y = f(x) , przyk∏ady funkcji, funkcje

u˝ywane w statystyce opisowej, tabelki, diagramy, funkcje opisujàce zjawiska

przyrodnicze, ekonomiczne, socjologiczne itp.

2. Dziedzina funkcji i zbiór wartoÊci funkcji, wyznaczanie dziedziny funkcji liczbo-

wej okreÊlonej wzorami.

3. Definicja wykresu funkcji liczbowej, wykresy funkcji opisujàce zale˝noÊci w go-

spodarce i ˝yciu codziennym – uwzgl´dnienie ró˝nych jednostek na osiach. Od-

czytywanie z wykresu funkcji jej dziedziny i zbioru wartoÊci, a tak˝e wartoÊci

najwi´kszej (najmniejszej) osiàganej przez funkcj´ w dziedzinie lub w okreÊlo-

nym przedziale, odczytywanie z wykresu argumentów, dla których funkcja

przyjmuje okreÊlone wartoÊci ( f(x) = m, f(x) > m, f(x) < m).

4. Miejsce zerowe funkcji, odczytywanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych.

5. Definicja funkcji monotonicznej na przedziale (a; b) , wyznaczanie przedzia∏ów

monotonicznoÊci funkcji na podstawie jej wykresu.

6. Przekszta∏canie wykresów funkcji: y = f(x) + q, y = f(x – p), y = f(x – p) + q,

wykonywanie takich przesuni´ç, je˝eli funkcja dana jest wykresem (bez wzoru).

III. Funkcja liniowa i jej w∏asnoÊci1. ProporcjonalnoÊç prosta. Funkcja liniowa, interpretacja jej wspó∏czynnika kie-

runkowego i wyrazu wolnego. Rysowanie wykresów funkcji liniowych i kawa∏ka-

mi liniowych. Przekszta∏cenie wzoru i wykresu funkcji liniowej f(x) = ax (prze-

suni´cie wzd∏u˝ osi uk∏adu wspó∏rz´dnych).

2. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie jej wykresu (wykorzystanie

interpretacji wspó∏czynnika kierunkowego i wyrazu wolnego).

3. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji liniowych i kawa∏kami liniowych. Punkty

przeci´cia wykresu funkcji liniowej z osiami uk∏adu wspó∏rz´dnych.

4. Uk∏ady dwóch równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi – rozwiàzywanie i in-

terpretacja geometryczna. Zadania tekstowe prowadzàce do uk∏adów równaƒ

liniowych z dwiema niewiadomymi.

11

IV. Geometria analityczna1. Równanie prostej w postaci ogólnej ax + by + c = 0 – przejÊcie od wykresu

funkcji liniowej, proste x = a, punkty przeci´cia prostej z osiami uk∏adu wspó∏-

rz´dnych, równanie prostej przechodzàcej przez dwa dane punkty p∏aszczyzny

kartezjaƒskiej.

2. Wzajemne po∏o˝enie dwóch prostych na p∏aszczyênie. Proste równoleg∏e i pro-

ste prostopad∏e na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej.

3. Odleg∏oÊç na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej. Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka.

4. Równanie okr´gu (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

V. Funkcja kwadratowa1. Funkcja f(x) = ax2 (a π 0) i jej wykres, w∏asnoÊci funkcji odczytywane z wykresu:

dziedzina, zbiór wartoÊci, wartoÊci najwi´ksze i wartoÊci najmniejsze w dziedzinie

lub na okreÊlonym przedziale, przedzia∏y monotonicznoÊci, miejsce zerowe.

2. Wykres i wzór funkcji y = ax2 + q, odczytywanie z wykresu w∏asnoÊci (jw.).

3. Wykres i wzór funkcji y = a(x – p)2, odczytywanie z wykresu w∏asnoÊci (jw.).

4. Postaç kanoniczna funkcji kwadratowej y = a(x – p)2 + q, wspó∏rz´dne wierz-

cho∏ka paraboli.

5. Postaç ogólna funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c, wyprowadzenie wzoru

y = (x – )2 + . WartoÊç najwi´ksza i wartoÊç najmniejsza funkcji kwadra-

towej w przedziale – zastosowanie w zadaniach tekstowych, wykresy funkcji

kwadratowej.

6. Równanie kwadratowe niepe∏ne x2 + a = 0, x2 + bx = 0. Wyró˝nik trójmianu

i zwiàzek jego znaku z liczbà miejsc zerowych funkcji kwadratowej, wyprowa-

dzenie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego. NierównoÊci kwadrato-

we z jednà niewiadomà.

7. Rozwiàzywanie zadaƒ prowadzàcych do równaƒ i nierównoÊci stopnia drugiego.

Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia

Po ukoƒczeniu klasy pierwszej uczeƒ powinien:� wykonywaç podstawowe dzia∏ania na zbiorach (suma, cz´Êç wspólna, ró˝nica

zbiorów);

� wykonywaç obliczenia na liczbach rzeczywistych, w szczególnoÊci dzia∏ania

na pot´gach o wyk∏adnikach ca∏kowitych oraz na pierwiastkach;

–D4a

–b2a

12

� odró˝niaç liczby wymierne od liczb niewymiernych;

� zamieniaç u∏amki zwyk∏e na u∏amki dziesi´tne okresowe i odwrotnie;

� znaç poj´cie wartoÊci bezwzgl´dnej liczby rzeczywistej i jej zwiàzek z odle-

g∏oÊcià na osi liczbowej;

� porównywaç liczby rzeczywiste;

� szacowaç wartoÊci wyra˝eƒ liczbowych;

� rozwiàzywaç nierównoÊci liniowe oraz ich uk∏ady i zapisywaç wyniki w po-

staci przedzia∏ów liczbowych;

� stosowaç obliczenia procentowe;

� rysowaç wykresy funkcji liczbowych zadanych tabelkà oraz funkcji przedzia-

∏ami liniowych;

� odczytywaç z dowolnego wykresu funkcji jej w∏asnoÊci: dziedzin´, zbiór war-

toÊci, miejsca zerowe, przedzia∏y monotonicznoÊci, liczb´ rozwiàzaƒ równa-

nia f(x) = m, m Œ R, rozwiàzania nierównoÊci f(x) > 0, f(x) < 0;

� znajdowaç na podstawie wykresu funkcji jej wartoÊci najwi´ksze (najmniej-

sze) w dziedzinie lub jej podzbiorze;

� przekszta∏caç wykresy funkcji (przesuni´cia wzd∏u˝ osi uk∏adu);

� wyznaczaç równania prostej na p∏aszczyênie;

� rozwiàzywaç uk∏ady równaƒ liniowych i znaç interpretacj´ geometrycznà ta-

kich uk∏adów w uk∏adzie wspó∏rz´dnych;

� stosowaç uk∏ady równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi do rozwiàzywa-

nia zadaƒ tekstowych;

� obliczaç d∏ugoÊç odcinka na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej;

� okreÊlaç poj´cia i formu∏owaç podstawowe twierdzenia dotyczàce funkcji

kwadratowej;

� rysowaç wykresy funkcji kwadratowych i odczytywaç z wykresów w∏asnoÊci

funkcji – dziedzin´, zbiór wartoÊci, miejsca zerowe, przedzia∏y monotonicz-

noÊci, rozwiàzania nierównoÊci f(x) > 0, f(x) < 0;

� rozwiàzywaç równania i nierównoÊci kwadratowe.

13

Klasa II

KSZTA¸CENIE OGÓLNE W ZAKRESIE PODSTAWOWYM

(3 godz. tygodniowo, razem 114 godz.)

TreÊci nauczania

I. Wielomiany i funkcje wymierne1. Jednomiany i wielomiany stopnia n z jednà zmiennà, wielomian stopnia zero,

wielomian zerowy, równoÊç wielomianów.

2. Dodawanie, odejmowanie i mno˝enie wielomianów.

3. Wzory skróconego mno˝enia, w tym (a ± b)3 oraz a3 ± b3.

4. Pierwiastki wielomianu i odczytywanie ich z postaci iloczynowej wielomianu.

5. Rozk∏ad wielomianu na czynniki (grupowanie i wy∏àczanie czynnika przed na-

wias, wzory skróconego mno˝enia).

6. Rozwiàzywanie prostych równaƒ wielomianowych metodà rozk∏adu wielomia-

nu na czynniki.

7. Dzia∏ania na wyra˝eniach wymiernych – rozszerzanie i skracanie wyra˝eƒ wy-

miernych, sprowadzanie wyra˝eƒ wymiernych do wspólnego mianownika, do-

dawanie, odejmowanie, mno˝enie i dzielenie wyra˝eƒ wymiernych.

8. Wyznaczanie dziedziny wyra˝enia wymiernego z jednà zmiennà. Obliczanie

wartoÊci liczbowej wyra˝enia wymiernego dla danej wartoÊci zmiennej.

9. Funkcja wymierna i jej dziedzina.

10. ProporcjonalnoÊç odwrotna.

11. Funkcja f(x) = , jej dziedzina i wykres. Odczytywanie w∏asnoÊci funkcji

f(x) = z wykresu.

12. Rozwiàzywanie prostych równaƒ wymiernych.

13. Rozwiàzywanie zadaƒ o kontekÊcie praktycznym, prowadzàcych do prostych

równaƒ wymiernych.

II. Pot´ga o wyk∏adniku rzeczywistym1. Pot´ga liczb nieujemnych o wyk∏adniku wymiernym.

2. Dzia∏ania na pot´gach o wyk∏adniku wymiernym.

3. Pot´ga liczb nieujemnych o wyk∏adniku rzeczywistym (informacja).

4. Funkcja wyk∏adnicza, jej wykres i podstawowe w∏asnoÊci.

5. OkreÊlenie logarytmu.

ax

ax

14

6. W∏asnoÊci logarytmów – logarytm iloczynu, logarytm ilorazu, logarytm pot´gi

o wyk∏adniku naturalnym.

III. Ciàgi liczbowe 1. Definicja ciàgu liczbowego – funkcji, której dziedzinà jest zbiór (lub podzbiór)

liczb naturalnych, ciàg skoƒczony i nieskoƒczony.

2. Ciàg arytmetyczny, wzór na n-ty wyraz oraz sum´ n poczàtkowych wyrazów, wy-

raz Êrodkowy jako Êrednia arytmetyczna wyrazów sàsiednich, monotonicznoÊç

ciàgu arytmetycznego.

3. Ciàg geometryczny, wzór na n-ty wyraz oraz sum´ n poczàtkowych wyrazów, za-

le˝noÊç an2 = an – 1 · an + 1, monotonicznoÊç ciàgu gdy a1 > 0 i q < 0 (roÊnie lub

maleje w post´pie geometrycznym).

4. Procent sk∏adany, oprocentowanie lokat i kredytów bankowych, sprzeda˝y ra-

talnej itp.

IV. Zwiàzki miarowe w figurach p∏askich1. Kàty w kole (kàt Êrodkowy, kàt wpisany, kàt mi´dzy stycznà a ci´ciwà).

2. Podobieƒstwo, figury podobne.

3. Cechy podobieƒstwa trójkàtów.

4. Twierdzenie Talesa i jego zwiàzek z podobieƒstwem.

5. Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym.

6. Definicja funkcji trygonometrycznych kàta ostrego w trójkàcie prostokàtnym.

7. Podstawowe zwiàzki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi kàta ostrego.

8. Pola wielokàtów, pole i obwód ko∏a, obliczanie pól, obwodów i innych zwiàzków

miarowych z zastosowaniem poznanych wzorów i trygonometrii.

Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia

Po ukoƒczeniu klasy drugiej uczeƒ powinien:� zredukowaç wyrazy podobne i uporzàdkowaç wielomian;

� wyznaczaç wspó∏czynniki i okreÊliç stopieƒ wielomianu;

� dodawaç, odejmowaç i mno˝yç wielomiany;

� rozk∏adaç wielomiany na czynniki;

� stosowaç grupowanie wyrazów i wy∏àczanie wspólnego czynnika przed na-

wias w celu roz∏o˝enia wielomianu na czynniki;

15

� stosowaç wzory skróconego mno˝enia w celu roz∏o˝enia wielomianu na czyn-

niki;

� odczytywaç pierwiastki wielomianu z jego postaci iloczynowej;

� rozwiàzywaç proste równania wielomianowe (metodà rozk∏adu na czynniki);

� dodawaç, odejmowaç, mno˝yç i dzieliç wyra˝enia wymierne;

� sporzàdzaç wykres i odczytywaç w∏asnoÊci funkcji f(x) = ;

� rozwiàzywaç zadania praktyczne zwiàzane z proporcjonalnoÊcià odwrotnà;

� rozwiàzywaç proste równania wymierne;

� opisywaç zwiàzki pomi´dzy wielkoÊciami liczbowymi za pomocà równaƒ

i nierównoÊci;

� rozwiàzywaç zadania praktyczne prowadzàce do prostych równaƒ wymier-

nych;

� pos∏ugiwaç si´ pot´gami o wyk∏adnikach wymiernych;

� stosowaç prawa dzia∏aƒ na pot´gach o wyk∏adnikach rzeczywistych;

� sporzàdzaç wykresy funkcji wyk∏adniczej (o ró˝nych podstawach) i opisywaç

jej w∏asnoÊci;

� stosowaç poj´cie logarytmu;

� stosowaç wzory na logarytm iloczynu i logarytm ilorazu;

� wyznaczaç wyrazy ciàgu liczbowego zadanego wzorem;

� podawaç przyk∏ady ciàgów liczbowych skoƒczonych i nieskoƒczonych;

� stosowaç wzory na n-ty wyraz i sum´ n poczàtkowych wyrazów ciàgu arytme-

tycznego i ciàgu geometrycznego;

� znaç i stosowaç zale˝noÊç mi´dzy trzema sàsiednimi wyrazami ciàgu arytme-

tycznego i ciàgu geometrycznego;

� stosowaç w∏asnoÊci ciàgu geometrycznego do zadaƒ zwiàzanych z bankowo-

Êcià (lokaty i kredyty), w szczególnoÊci korzystaç z poj´cia procentu sk∏ada-

nego;

� okreÊlaç funkcje trygonometryczne kàta ostrego w trójkàcie prostokàtnym;

� znaç podstawowe zwiàzki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi;

� wyznaczaç wartoÊci funkcji trygonometrycznych kàtów ostrych;

� wyznaczaç miar´ kàta ostrego, znajàc wartoÊç funkcji trygonometrycznej te-

go kàta;

� znajàc wartoÊç funkcji trygonometrycznej jakiegoÊ kàta, wyznaczaç wartoÊci

pozosta∏ych funkcji trygonometrycznych tego kàta;

� stosowaç zwiàzki pomi´dzy kàtem Êrodkowym, kàtami wpisanymi i kàtem

mi´dzy stycznà a ci´ciwà ko∏a (wyznaczonymi przez ten sam ∏uk);

ax

16

� wyznaczaç zwiàzki metryczne i miarowe dla figur p∏askich;

� stosowaç twierdzenie Talesa, podobieƒstwo i funkcje trygonometryczne

w zadaniach dotyczàcych zwiàzków miarowych figur, tak˝e w sytuacjach

praktycznych.

Klasa III

(3 godz. tygodniowo, razem 84 godz.)

TreÊci nauczania

I. Kombinatoryka; rachunek prawdopodobieƒstwa oraz elementy statystyki opi-sowej

1. Proste zadania kombinatoryczne uwzgl´dniajàce losowanie kolejno ze zwraca-

niem i bez zwracania oraz losowania podzbiorów danego zbioru.

2. Zasada mno˝enia.

3. DoÊwiadczenia losowe, zdarzenia losowe, zbiór zdarzeƒ elementarnych, dzia∏a-

nia na zdarzeniach – zdarzenie pewne, niemo˝liwe, koniunkcja i alternatywa

zdarzeƒ, zdarzenie przeciwne, zdarzenia wykluczajàce si´.

4. Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa i jego podstawowe w∏asnoÊci: P(Δ) = 0,

P(W) = 1, P(A»B) = P(A) + P(B) – P(A«B), P(A’) + P(A) = 1.

5. Obliczanie prawdopodobieƒstw zdarzeƒ w skoƒczonych przestrzeniach proba-

bilistycznych, zastosowanie w∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa.

6. Elementy statystyki opisowej – badanie próby losowej i jej opis za pomocà liczb

charakterystycznych, Êrednia arytmetyczna, Êrednia wa˝ona, mediana, warian-

cja i odchylenie standardowe, przyk∏ady badaƒ statystycznych GUS.

II. Stereometria 1. Równoleg∏oÊç i prostopad∏oÊç w przestrzeni.

2. Twierdzenie o trzech prostych prostopad∏ych.

3. Kàt nachylenia prostej do p∏aszczyzny.

4. Kàt dwuÊcienny.

5. Graniastos∏upy – powtórzenie podstawowych w∏asnoÊci, graniastos∏upy prawi-

d∏owe, proste, prostopad∏oÊciany.

6. Ostros∏upy – powtórzenie podstawowych w∏asnoÊci, ostros∏upy prawid∏owe,

twierdzenie o ostros∏upie, który ma wszystkie kraw´dzie boczne równej d∏ugoÊci.

17

7. Pola powierzchni i obj´toÊci wieloÊcianów – powtórzenie wzorów, obliczenia

równie˝ z zastosowaniem trygonometrii.

8. Walec, sto˝ek, kula – powtórzenie podstawowych w∏asnoÊci, pola powierzchni

i obj´toÊci, obliczanie równie˝ z zastosowaniem trygonometrii.

III. Powtórzenie przed maturà

Przewidywane umiej´tnoÊci ucznia

Po ukoƒczeniu klasy trzeciej uczeƒ powinien:� zliczaç obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;

� stosowaç zasad´ mno˝enia;

� konstruowaç model matematyczny doÊwiadczeƒ losowych (skoƒczone zbiory

zdarzeƒ elementarnych);

� wykonywaç (w prostych sytuacjach) dzia∏ania na zdarzeniach;

� obliczaç prawdopodobieƒstwa w przyk∏adach wykorzystujàcych klasycznà

definicj´ prawdopodobieƒstwa;

� krytycznie analizowaç dane doÊwiadczalne (badania statystyczne) i ich gra-

ficzne reprezentacje, operowaç podstawowymi charakterystykami liczbowy-

mi zestawów danych,

� wskazywaç i obliczaç kàty mi´dzy Êcianami wieloÊcianu, Êcianami i odcinka-

mi oraz mi´dzy odcinkami takimi, jak kraw´dzie, przekàtne, wysokoÊci;

� opisywaç w∏asnoÊci podstawowych wieloÊcianów i bry∏ obrotowych;

� wyznaczaç zwiàzki miarowe w otaczajàcej go przestrzeni, wyznaczaç miary

bry∏ równie˝ z zastosowaniem trygonometrii.

18

IV. Propozycja metod kontroli i ocenyosiàgni´ç

Jednym z najtrudniejszych zadaƒ stojàcych przed nauczycielem jest sprawdza-

nie i ocenianie osiàgni´ç uczniów. Jego prawid∏owe wykonanie jest niezb´dne dla:

� ucznia, gdy˝ potwierdza lub kwestionuje jego samoocen´ (a tym samym uczy

w∏aÊciwego oceniania samego siebie); jest sygna∏em do uzupe∏nienia niedo-

ciàgni´ç; motywuje do dalszego kszta∏cenia oraz rozwijania w∏asnych uzdol-

nieƒ i zainteresowaƒ;

� nauczyciela, gdy˝ dostarcza informacji o poprawnoÊci stosowanych metod

nauczania oraz stopniu osiàgni´cia zamierzonych celów edukacyjnych.

Matematyka jest dyscyplinà nauki, w której umiej´tnoÊci tylko pozornie sà ∏a-

twe do oceny. Cz´stym b∏´dem jest na przyk∏ad klasyfikowanie pisemnych rozwià-

zaƒ zadaƒ wy∏àcznie w dwóch kategoriach – jako zrobione b∏´dnie albo bezb∏´d-

nie. Tymczasem mo˝na tak post´powaç tylko w stosunku do odpowiedzi w testach.

Najwi´kszà trudnoÊç sprawia ustalenie, na ile uczeƒ rozumie to, co robi. Bardzo

wa˝ne jest wi´c stawianie mu pytaƒ sprawdzajàcych zrozumienie kolejnych etapów

pracy.

Z powy˝szych uwag wynika, ˝e metody sprawdzania osiàgni´ç ucznia powinny

byç ró˝norodne. Nie nale˝y przy tym ka˝dego sprawdzania umiej´tnoÊci koƒczyç

ocenà wyra˝onà stopniem. Uczeƒ powinien kszta∏ciç si´ na w∏asnych b∏´dach oraz

twórczo poszukiwaç w∏aÊciwych rozwiàzaƒ. Pod ˝adnym pozorem nie mo˝na do-

puÊciç do sytuacji, w której strach przed negatywnà ocenà parali˝uje i odbiera ch´ç

aktywnego uczestniczenia w lekcji. Swobodne wypowiedzi sà dla nauczyciela do-

brà wskazówkà, czy proces dydaktyczny przebiega prawid∏owo.

Uczniom warto zadaç przygotowanie publicznej prezentacji rozwiàzania proble-

mu, który wczeÊniej opracujà w 2–3-osobowych grupach. Takie zadanie skutecznie

motywuje do dok∏adnego zrozumienia tematu. Podczas prezentowania wyników

pracy przez jednego z cz∏onków grupy, nale˝y bardzo dociekliwie pytaç: „skàd ten

wniosek?”, „dlaczego?”, „czy zawsze?”, „czy dla dowolnych?” itp. Na ogó∏ uczniowie,

19

przyzwyczajeni do takiej formy pracy, stawiajà sobie nawzajem podobne pytania

podczas przygotowywania prezentacji. Jest to bardzo efektywny sposób nauki, a dla

nauczyciela prezentacja jest jednà z najlepszych metod sprawdzenia, czy, zw∏aszcza

trudniejsze, poj´cia lub teorie matematyczne, zosta∏y dobrze zrozumiane.

Uczniom nale˝y zadawaç prac´ do domu. Jest to konieczne ze wzgl´du na zbyt

du˝y zakres materia∏u w stosunku do liczby godzin. Praca taka spe∏ni swoje zada-

nie, o ile nauczyciel b´dzie kontrolowa∏ poprawnoÊç jej wykonania, co nie powin-

no jednak ∏àczyç si´ z ocenà na stopieƒ.

OczywiÊcie, nie trzeba rezygnowaç z tradycyjnej formy odpowiedzi ustnej oce-

nianej stopniem. Uczeƒ powinien umieç prezentowaç swoje umiej´tnoÊci nawet

w sytuacji zwiàzanej z du˝ym stresem. Warto tak zaplanowaç lekcje, aby w ciàgu

semestru ka˝dy otrzyma∏ przynajmniej jednà ocen´ z odpowiedzi ustnej.

Pisemne sprawdziany wiadomoÊci to zwykle kartkówki, prace klasowe oraz ró˝-

nego rodzaju testy. Krótkie kartkówki sà wygodnà formà kontroli umiej´tnoÊci

nabytych w trakcie ostatnich (3–4) lekcji. Powinny byç raczej ocenà sprawnoÊci ra-

chunkowej, znajomoÊci i stosowania definicji itp., ni˝ rozwiàzywaniem zadaƒ pro-

blemowych. Po wi´kszej partii materia∏u przeprowadza si´ na ogó∏ godzinne prace

klasowe. Przygotowanie prawid∏owego zestawu zadaƒ jest dla nauczyciela swoistym

wyzwaniem, gdy˝:

� liczba zadaƒ nie powinna przekraczaç trzech, czterech;

� zadania powinny mieç zró˝nicowany stopieƒ trudnoÊci;

� rozwiàzania powinny daç mo˝liwoÊç oceny pracy w pe∏nej skali, od niedosta-

tecznej do celujàcej;

� cz´Êç z postawionych problemów powinna dawaç szans´ na wykazanie si´

myÊleniem twórczym.

To tylko niektóre z cech dobrze opracowanej pracy klasowej.

Coraz cz´Êciej spotykanà formà pracy pisemnej sà testy. M∏odzi ludzie, wcze-

Êniej czy póêniej, spotkajà si´ z tà formà sprawdzianu, wi´c warto çwiczyç z nimi

umiej´tnoÊç ich rozwiàzywania. Praktyka dowodzi, ˝e bez wczeÊniejszego treningu

trudno jest, nawet osobie dobrze przygotowanej merytorycznie, prawid∏owo roz-

wiàzaç egzamin testowy.

Zdaniem autora niezwykle wa˝ne jest staranne, rzetelne, w pe∏ni profesjonal-

ne przygotowanie ka˝dego sprawdzianu. Stosujàc obowiàzujàcy w Polsce system

oceniania, warto zadbaç o przejrzystoÊç kryteriów i konsekwencj´ w ich stosowa-

niu. Wiadomo, jak bardzo potrafi zniech´ciç do dalszej nauki niesprawiedliwa lub

nieuzasadniona ocena.

20

Zadaniem ka˝dego nauczyciela jest opracowanie na poczàtku roku szkolnego

Przedmiotowego Systemu Oceniania zgodnego z Wewnàtrzszkolnym Systemem

Oceniania. Obydwa dokumenty, zatwierdzone przez Rad´ Pedagogicznà powinny

uwzgl´dniaç specyfik´ szko∏y, Êrodowisko uczniów, profil klasy itp. Szczegó∏owe

zasady oceniania wewnàtrzszkolnego okreÊla statut szko∏y, z uwzgl´dnieniem

przepisów rozporzàdzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 19 kwietnia

1999 r. (z póêniejszymi zmianami). Prezentowany poni˝ej katalog wymagaƒ pro-

gramowych nale˝y zatem traktowaç wy∏àcznie jako propozycj´ wymagajàcà rozwa-

˝enia i dopasowania do sytuacji ka˝dej klasy. Dotyczy to zw∏aszcza podzia∏u wy-

magaƒ na dwie kategorie – podstawowe i ponadpodstawowe.

KATALOG WYMAGA¡ PROGRAMOWYCH

Liczby i ich zbiory

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� stosowaç prawid∏owo poj´cie zbioru

� podaç przyk∏ady zbiorów skoƒczonych i nieskoƒczonych

� wypisaç wszystkie elementy prostych zbiorów skoƒczonych

� stosowaç prawid∏owo poj´cia zbioru pustego, podzbioru, zbiorów równych

� wykonywaç podstawowe dzia∏ania na zbiorach (suma, cz´Êç wspólna, ró˝nica

zbiorów)

� podaç przyk∏ady podzbiorów danego zbioru

� powiedzieç, jakiej postaci sà liczby naturalne, ca∏kowite, wymierne

� rozwiàzaç proste zadanie tekstowe dotyczàce liczb ca∏kowitych

� wykonaç dzielenie z resztà w zbiorze liczb naturalnych

� odró˝niaç liczby pierwsze i liczby z∏o˝one

� zamieniaç u∏amek zwyk∏y na u∏amek dziesi´tny

� podaç przyk∏ady liczb niewymiernych

� podaç przybli˝enie dziesi´tne liczby (np. korzystajàc z kalkulatora) z zadanà

dok∏adnoÊcià

� stosowaç kolejnoÊç dzia∏aƒ w zbiorze liczb rzeczywistych

� stosowaç wzory skróconego mno˝enia (a ± b)2, a2 – b2, (a ± b)3, a3 ± b3

� obliczyç Êrednià arytmetycznà n liczb

21

� rozwiàzywaç zadania tekstowe dotyczàce Êredniej arytmetycznej

� porównaç liczby wymierne

� odró˝niç liczb´ wymiernà od niewymiernej

� porównaç liczby rzeczywiste (np. korzystajàc z kalkulatora)

� stosowaç w∏asnoÊci dzia∏aƒ na pot´gach o wyk∏adniku wymiernym

� wykonaç dzia∏ania na pierwiastkach

� wy∏àczaç czynnik spod pierwiastka

� w∏àczaç czynnik pod pierwiastek

� usuwaç niewymiernoÊç w wyra˝eniu typu

� wykonaç dzia∏ania dodawania, odejmowania i mno˝enia na liczbach postaci

a + b� wskazaç ró˝nic´ mi´dzy definicjà pierwiastka stopnia parzystego a definicjà

pierwiastka stopnia nieparzystego

� wykonywaç dzia∏ania na pierwiastkach wy˝szych stopni

� wy∏àczaç czynnik spod pierwiastka wy˝szego stopnia

� w∏àczaç czynnik pod pierwiastek wy˝szego stopnia

� wyznaczyç na osi liczbowej danà liczb´ wymiernà

� pos∏ugiwaç si´ pot´gami o wyk∏adnikach wymiernych

� stosowaç poj´cie logarytmu

� stosowaç wzory na logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

� zaznaczaç na osi liczbowej przedzia∏y liczbowe

� wyznaczyç sum´ i cz´Êç wspólnà przedzia∏ów liczbowych

� obliczyç wartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej

� stosowaç interpretacj´ geometrycznà wartoÊci bezwzgl´dnej liczby do rozwià-

zywania prostych równaƒ i nierównoÊci typu |x| = 3, |x| < 2, |x – 2| = 4,

|x – 3| > 5

� obliczyç odleg∏oÊç dwóch liczb na osi liczbowej

� obliczyç p% danej wielkoÊci w� obliczyç wielkoÊç w, gdy dany jest jej procent

� obliczyç, jakim procentem wielkoÊci w jest wielkoÊç a� wykonaç w pami´ci proste obliczenia typu: o 50% wi´cej ni˝ 10, o 200% wi´-

cej od 15, o 20% mniej od 50 itp.

� prawid∏owo odczytaç informacje zawarte w ró˝nego rodzaju diagramach sta-

tystycznych

� obliczyç b∏àd bezwzgl´dny i wzgl´dny przybli˝enia

� oszacowaç wartoÊç wyra˝enia liczbowego

� przekszta∏ciç proste wyra˝enia algebraiczne

c

1a

22

� sprawdziç, czy dana liczba jest rozwiàzaniem równania, nierównoÊci I stop-

nia z jednà niewiadomà

� rozwiàzaç równanie i nierównoÊç I stopnia z jednà niewiadomà

� rozwiàzaç uk∏ad nierównoÊci I stopnia i zapisaç wynik w postaci przedzia∏u

liczbowego

� u∏o˝yç równanie do zale˝noÊci przedstawionej tekstem

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� odró˝niaç relacj´ nale˝enia od relacji zawierania� porzàdkowaç zbiory zgodnie z relacjà zawierania (w prostych przyk∏adach)

� wypisaç wszystkie podzbiory zbioru 1, 2, 3 i 4-elementowego

� stosowaç ogólny zapis liczb naturalnych parzystych, nieparzystych, podziel-

nych przez 3 itp.

� uzasadniç niewykonalnoÊç dzielenia przez zero

� zapisaç liczb´ naturalnà w postaci np. 3n + k (k = 0, 1, 2)

� zamieniaç u∏amek dziesi´tny okresowy na u∏amek zwyk∏y

� rozwiàzywaç zadania wymagajàce u˝ycia zapisu wyk∏adniczego

� konstruowaç odcinki o d∏ugoÊci , n Œ N� usuwaç niewymiernoÊç w mianowniku wyra˝enia typu:

� wykonywaç bardziej z∏o˝one dzia∏ania na przedzia∏ach liczbowych (np.

(A»B) – C«D� prawid∏owo zastosowaç definicj´ = |x| podczas przekszta∏cania wyra-

˝eƒ algebraicznych

� stosowaç w∏asnoÊci dzia∏aƒ na pot´gach o wyk∏adniku rzeczywistym

� stosowaç wzór na logarytm pot´gi o wyk∏adniku naturalnym

� rozwiàzaç zadanie tekstowe wymagajàce zastosowania pierwiastków wy˝-

szych stopni

� porównywaç pierwiastki (bez stosowania kalkulatora)

� krytycznie czytaç teksty zawierajàce uÊrednione dane

� obliczyç, o ile procent wielkoÊç a jest wi´ksza (mniejsza) od wielkoÊci b� swobodnie operowaç poj´ciem punktu procentowego

� krytycznie czytaç teksty zawierajàce i komentujàce dane procentowe

� rozwiàzywaç z∏o˝one zadania tekstowe prowadzàce do równania (uk∏adu

równaƒ) z wykorzystaniem obliczeƒ procentowych

� przeprowadziç proste badanie statystyczne, opracowaç i zaprezentowaç jego

wyniki

� oceniç dok∏adnoÊç zastosowanego przybli˝enia

x2

dca+b

n

23

Funkcje i ich w∏asnoÊci

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� rozpoznaç funkcje wÊród przyporzàdkowaƒ

� podaç przyk∏ady zale˝noÊci funkcyjnych w otaczajàcej nas rzeczywistoÊci

� okreÊlaç funkcje na ró˝ne sposoby (diagram, tabela, wzór, wykres, opis s∏owny)

� obliczyç wartoÊci funkcji dla ró˝nych argumentów

� wyznaczyç dziedzin´ funkcji na podstawie diagramu, tabeli, opisu s∏ownego

� wyznaczyç, w prostych przypadkach, dziedzin´ na podstawie wzoru funkcji

� znaleêç, w prostych przypadkach, zbiór wartoÊci funkcji o danej dziedzinie

i wzorze

� swobodnie operowaç uk∏adem wspó∏rz´dnych

� rozpoznaç funkcje wÊród wykresów

� sporzàdziç wykresy funkcji o kilkuelementowej dziedzinie

� narysowaç wykres funkcji liniowej i kawa∏kami liniowej

� na podstawie wykresu funkcji odczytaç jej dziedzin´

� na podstawie wykresu funkcji odczytaç zbiór jej wartoÊci

� na podstawie wykresu funkcji wskazaç najwi´kszà wartoÊç funkcji i najmniej-

szà wartoÊç funkcji (w ca∏ej dziedzinie lub w podanym przedziale)

� na podstawie wykresu funkcji odczytaç jej miejsca zerowe

� znajdowaç miejsca zerowe funkcji w przypadku, gdy prowadzi to do rozwià-

zywania równaƒ liniowych

� na podstawie wykresu funkcji okreÊliç liczb´ rozwiàzaƒ równania f(x) = mdla ustalonej wartoÊci m

� odczytaç z wykresu funkcji rozwiàzanie nierównoÊci f(x) > m, f(x) < m,

f(x) £ m, f(x) ≥ m� okreÊliç przedzia∏y monotonicznoÊci funkcji na podstawie jej wykresu

� przesunàç wykres funkcji wzd∏u˝ osi x zgodnie z podanym wzorem y = f(x – a)

� przesunàç wykres funkcji wzd∏u˝ osi y zgodnie z podanym wzorem

y = f(x) + b� narysowaç wykres funkcji y = f(x – a) + b, majàc dany wykres albo wzór

funkcji y = f(x)

� sporzàdzaç wykresy funkcji wyk∏adniczej (przy ró˝nych podstawach) i opisy-

waç jej w∏asnoÊci

24

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� wyznaczyç zbiór wartoÊci funkcji zdefiniowanych w bardziej z∏o˝ony sposób

� znaleêç na podstawie zadania tekstowego zale˝noÊç funkcyjnà mi´dzy dwie-

ma wielkoÊciami i wyznaczyç dziedzin´ otrzymanej funkcji

� narysowaç wykres funkcji na podstawie wykonanych pomiarów ró˝nych zjawisk

� na podstawie wykresu funkcji okreÊliç liczb´ rozwiàzaƒ równania f(x) = mw zale˝noÊci od wartoÊci m

� znajdowaç miejsca zerowe funkcji o dziedzinie ograniczonej pewnym warun-

kiem

� uzasadniç, ˝e funkcja f(x) = nie jest monotoniczna na swojej dziedzinie

� odczytaç z wykresów funkcji rozwiàzania równaƒ i nierównoÊci typu

f(x) = (<, >) g(m)

� zaprojektowaç wykresy funkcji o zadanych w∏asnoÊciach

Funkcja liniowa

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� zaznaczaç punkty oraz zbiory na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

� rozpoznaç wielkoÊci wprost proporcjonalne

� narysowaç wykres funkcji liniowej i omówiç jej w∏asnoÊci

� podaç wzór funkcji liniowej na podstawie jej wykresu

� narysowaç wykres funkcji kawa∏kami liniowej i omówiç jej w∏asnoÊci

� podaç zale˝noÊç funkcyjnà mi´dzy wielkoÊciami wprost proporcjonalnymi

opisanymi w zadaniu tekstowym

� przekszta∏ciç równanie prostej z postaci kierunkowej do ogólnej i odwrotnie

� wyznaczyç punkty przeci´cia prostej (opisanej równaniem w postaci ogólnej)

z osiami uk∏adu wspó∏rz´dnych

� sprawdziç rachunkowo, czy dany punkt le˝y na danej prostej

� wyznaczyç równanie prostej przechodzàcej przez dwa dane punkty

� sprawdziç wspó∏liniowoÊç punktów (na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej)

� wyznaczyç cz´Êç wspólnà dwóch prostych na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

� wyznaczyç równanie prostej równoleg∏ej do danej prostej i przechodzàcej

przez dany punkt

� wyznaczyç równanie prostej prostopad∏ej do danej prostej i przechodzàcej

przez dany punkt

1x

25

� znajdowaç wspó∏rz´dne wierzcho∏ków wielokàtów, majàc dane równania ich

boków

� obliczyç odleg∏oÊci punktów na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

� obliczaç obwody wielokàtów o danych wierzcho∏kach

� obliczyç pole trójkàta prostokàtnego o danych wierzcho∏kach

� wyznaczyç wspó∏rz´dne Êrodka odcinka, znajàc wspó∏rz´dne jego koƒców

� wyznaczyç wspó∏rz´dne koƒca odcinka, znajàc wspó∏rz´dne jego Êrodka

i drugiego koƒca

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� przeanalizowaç, jak – w zale˝noÊci od wspó∏czynników (zapisanych w posta-

ci parametrów) funkcji liniowej – zmieniajà si´ jej w∏asnoÊci

� podaç wzór funkcji kawa∏kami liniowej na podstawie jej wykresu

� rozwiàzaç proste zadania z parametrem dotyczàce po∏o˝enia prostej na

p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

� rozwiàzaç zadanie tekstowe wymagajàce znalezienia wzoru funkcji liniowej

na podstawie jej dwóch danych wartoÊci

� rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do uk∏adu równaƒ liniowych z dwie-

ma niewiadomymi

� wyznaczyç czwarty wierzcho∏ek równoleg∏oboku, majàc dane trzy pozosta∏e

� rozwiàzaç zadanie z geometrii analitycznej, wykorzystujàc równoleg∏oÊç

i prostopad∏oÊç prostych

� obliczyç odleg∏oÊç punktu od prostej

� rozwiàzaç zadanie z geometrii analitycznej, wykorzystujàc wzór na Êrodek

odcinka

Funkcja kwadratowa

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� narysowaç wykres funkcji f(x) = ax2 (x Œ R, a π 0) i podaç jej w∏asnoÊci

� narysowaç wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i podaç jej w∏a-

snoÊci

� okreÊliç w∏asnoÊci (zbiór wartoÊci, przedzia∏y monotonicznoÊci, wartoÊç eks-

tremalnà) funkcji kwadratowej na podstawie jej postaci kanonicznej

26

� przekszta∏ciç wzór funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej do ogólnej

i odwrotnie

� obliczyç wspó∏rz´dne wierzcho∏ka paraboli y = ax2 + bx + c� wyznaczyç wartoÊç najwi´kszà i wartoÊç najmniejszà funkcji kwadratowej

w podanym przedziale

� rozwiàzaç równanie kwadratowe niepe∏ne (ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0) meto-

dà rozk∏adu na czynniki

� okreÊliç liczb´ pierwiastków równania kwadratowego na podstawie znaku

wyró˝nika

� rozwiàzaç równanie kwadratowe za pomocà wzorów na pierwiastki

� sprowadziç funkcj´ kwadratowà do postaci iloczynowej

� odczytaç miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej

� rozwiàzaç nierównoÊç kwadratowà

� zapisaç równanie okr´gu o danym Êrodku i promieniu

� wyznaczyç z równania okr´gu jego Êrodek i promieƒ

� narysowaç okràg i ko∏o na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� przekszta∏ciç parabol´ przez symetri´ wzgl´dem prostej równoleg∏ej do osi x

lub osi y uk∏adu wspó∏rz´dnych oraz napisaç równanie otrzymanego obrazu

tej paraboli

� narysowaç wykres i opisaç w∏asnoÊci funkcji przedzia∏ami kwadratowej

� znaleêç brakujàce wspó∏czynniki funkcji kwadratowej na podstawie ró˝nych

informacji o jej wykresie

� rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do szukania wartoÊci ekstremalnych

funkcji kwadratowej

� rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do równania kwadratowego

� wykonaç dzia∏ania na zbiorach rozwiàzaƒ nierównoÊci kwadratowych

� znaleêç równanie okr´gu na podstawie ró˝nych informacji o jego po∏o˝eniu

Wielomiany i funkcje wymierne

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� rozpoznaç, które wyra˝enia algebraiczne sà jednomianami i okreÊliç ich stopieƒ

� wykonaç redukcj´ jednomianów podobnych

27

� napisaç wielomian o danych wspó∏czynnikach i wypisaç wspó∏czynniki dane-

go wielomianu

� okreÊliç stopieƒ wielomianu oraz obliczyç wartoÊç wielomianu dla danego ar-

gumentu

� dobraç wartoÊci parametrów tak, aby dwa wielomiany by∏y równe

� przekszta∏ciç wielomiany z zastosowaniem wzorów skróconego mno˝enia

� wykonaç dzia∏ania arytmetyczne w zbiorze wielomianów

� odczytaç pierwiastki wielomianu z jego postaci iloczynowej

� roz∏o˝yç wielomian na czynniki metodà grupowania wyrazów

� sprawdziç, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

� rozwiàzaç proste równanie wielomianowe metodà rozk∏adu na czynniki

� okreÊliç stopieƒ jednomianu i wielomianu wielu zmiennych

� zredukowaç jednomiany podobne (wielu zmiennych)

� obliczyç wartoÊç wielomianu dla podanych wartoÊci zmiennych

� zapisaç zale˝noÊç mi´dzy danymi wielkoÊciami za pomocà wielomianu wielu

zmiennych

� dodawaç, odejmowaç i mno˝yç wielomiany wielu zmiennych

� skróciç i rozszerzyç wyra˝enia wymierne

� sprowadziç wyra˝enia wymierne do wspólnego mianownika

� dodaç i odjàç wyra˝enia wymierne

� mno˝yç i dzieliç wyra˝enia wymierne

� uproÊciç wyra˝enia wymierne

� rozwiàzaç równanie wymierne prowadzàce do równania liniowego lub kwa-

dratowego

� wyznaczyç (w prostych przypadkach) ze wzoru jednà zmiennà w zale˝noÊci

od innych

� opisywaç zwiàzki pomi´dzy wielkoÊciami liczbowymi za pomocà równaƒ lub

nierównoÊci

� rozwiàzaç (w prostych przypadkach) zadania praktyczne zwiàzane z propor-

cjonalnoÊcià odwrotnà

� narysowaç wykres i podaç w∏asnoÊci funkcji y =

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� podaç przyk∏ad wielomianu, znajàc np. jego miejsca zerowe i stopieƒ

� roz∏o˝yç na czynniki wielomiany niemajàce pierwiastków (w prostych przy-

padkach, np.: x4 + 1 czy x4 + 5x2 + 1)

ax

28

� sprowadziç wyra˝enie wymierne do najprostszego wspólnego mianownika

w sytuacjach wymagajàcych stosowania np. wzoru na sum´ szeÊcianów

� rozwiàzaç (w bardziej skomplikowanych przypadkach) zadania praktyczne

zwiàzane z proporcjonalnoÊcià odwrotnà

� okreÊliç (w prostych przypadkach) dziedzin´ funkcji wymiernej

� narysowaç wykres i opisaç w∏asnoÊci funkcji f(x) = + q� narysowaç wykres funkcji typu f(x) =

� wyznaczyç ze wzoru jednà zmiennà w zale˝noÊci od innych w przypadkach

wymagajàcych wykonania bardziej skomplikowanych przekszta∏ceƒ

Planimetria

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� okreÊliç wzajemne po∏o˝enie dwóch okr´gów

� okreÊliç wzajemne po∏o˝enie okr´gu i prostej

� zastosowaç w zadaniach warunki wewn´trznej i zewn´trznej stycznoÊci okr´gów

� wskazaç kàty Êrodkowe i wpisane oparte na danych ∏ukach

� zastosowaç twierdzenie o zale˝noÊci mi´dzy kàtem Êrodkowym, kàtami wpi-

sanymi i kàtem mi´dzy stycznà a ci´ciwà (wyznaczonymi przez ten sam ∏uk)

� stosowaç wzory na pole i obwód podstawowych figur geometrycznych (trój-

kàt, czworokàt, ko∏o)

� obliczyç potrzebne wielkoÊci z trójkàtów prostokàtnych o kàtach 30°, 60° lub 45°,

wykorzystujàc wzór na wysokoÊç trójkàta równobocznego i przekàtnà kwadratu

� rozwiàzaç proste zadania tekstowe prowadzàce do obliczania pól i obwodów

figur geometrycznych

� korzystaç z twierdzenie Pitagorasa oraz zwiàzków miarowych w trójkàcie

prostokàtnym

� rozpoznaç odcinki proporcjonalne

� wykorzystaç twierdzenie Talesa do obliczenia d∏ugoÊci odcinków

� podzieliç konstrukcyjnie odcinek w zadanym (wymiernym) stosunku

� rozwiàzaç proste zadania z zastosowaniem twierdzenia Talesa

� sprawdziç czy dane (np. na p∏aszczyênie kartezjaƒskiej) figury sà podobne

� obliczyç d∏ugoÊci boków figur podobnych, wykorzystujàc skal´ podobieƒstwa

� oszacowaç rzeczywistà odleg∏oÊç mi´dzy punktami, znajàc odleg∏oÊç mi´dzy

tymi punktami na mapie i skal´ mapy

x2 – 1x + 1

ax – p

29

� zastosowaç w zadaniach twierdzenie o stosunku pól figur podobnych

� sprawdziç czy dwa trójkàty sà podobne, stosujàc cechy podobieƒstwa

� prawid∏owo zapisaç proporcje boków w trójkàtach podobnych

� stosowaç podobieƒstwo trójkàtów w elementarnych zadaniach

� obliczyç wartoÊci funkcji trygonometrycznych kàta ostrego w trójkàcie pro-

stokàtnym, majàc dane boki tego trójkàta

� obliczyç d∏ugoÊci boków i kàty trójkàta prostokàtnego, majàc dany jeden bok

i wartoÊç funkcji trygonometrycznej jednego z kàtów ostrych

� podaç wartoÊci funkcji trygonometrycznych kàtów 30°, 60° i 45°

� odczytaç z tablic wartoÊci funkcji trygonometrycznych danego kàta ostrego

� stosowaç podstawowe zwiàzki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi

� znaleêç w tablicach kàt ostry, znajàc wartoÊç jego funkcji trygonometrycznej

� obliczyç wartoÊci wszystkich funkcji trygonometrycznych kàta, znajàc jednà

z nich

� udowodniç prostà to˝samoÊç trygonometrycznà

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� udowodniç twierdzenie o odcinkach stycznych

� udowodniç twierdzenie Pitagorasa

� wyprowadziç zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym

� skonstruowaç odcinek o d∏ugoÊci równej Êredniej geometrycznej dwóch od-

cinków danych

� konstruowaç odcinki o szukanych d∏ugoÊciach (typu ) w oparciu

o twierdzenie Talesa i twierdzenie Pitagorasa

� swobodnie operowaç skalà map

� stosowaç podobieƒstwo trójkàtów w zadaniach o podwy˝szonym stopniu

trudnoÊci

� rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do wyznaczania kàtów i boków

w trójkàcie prostokàtnym z zastosowaniem trygonometrii

Ciàgi

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� obliczyç n-ty wyraz ciàgu, znajàc jego wzór ogólny

� wyznaczyç miejsce zerowe ciàgu o danym wzorze ogólnym

a2 – b2

ab

30

� narysowaç wykres ciàgu

� odczytaç z wykresu w∏asnoÊci ciàgu

� rozpoznaç ciàg arytmetyczny

� obliczyç n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego, znajàc wyraz pierwszy i ró˝nic´

� wyznaczyç ciàg arytmetyczny, znajàc jego dwa wyrazy

� obliczyç sum´ n poczàtkowych wyrazów danego ciàgu arytmetycznego

� rozpoznaç ciàg geometryczny

� obliczyç n-ty wyraz ciàgu geometrycznego, znajàc wyraz pierwszy i iloraz

� wyznaczyç ciàg geometryczny, znajàc jego dwa wyrazy

� obliczyç sum´ n poczàtkowych wyrazów danego ciàgu geometrycznego

� zastosowaç w zadaniach zale˝noÊç mi´dzy wyrazami an – 1, an, an + 1 ciàgu

arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego

� rozwiàzaç proste zadanie tekstowe, w którym dane wielkoÊci sà kolejnymi

wyrazami ciàgu arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego

� wyznaczyç wielkoÊci zmieniajàce si´ zgodnie z zasadà procentu sk∏adanego

� obliczyç wartoÊç lokaty, znajàc stop´ procentowà, okres rozrachunkowy

i czas oszcz´dzania

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� podaç wzór ogólny ciàgu, znajàc kilka poczàtkowych wyrazów

� zbadaç monotonicznoÊç ciàgu

� wyznaczyç ciàg arytmetyczny, znajàc np. jeden z jego wyrazów i iloczyn pew-

nych dwóch wyrazów lub dwie sumy cz´Êciowe itp.

� obliczyç, ile wyrazów danego ciàgu arytmetycznego nale˝y dodaç, aby otrzy-

maç okreÊlonà sum´

� zastosowaç w zadaniach zale˝noÊç mi´dzy wyrazami an – k, an, an + k ciàgu

arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego

� rozwiàzaç zadania wymagajàce jednoczesnego stosowania w∏asnoÊci ciàgu

arytmetycznego i ciàgu geometrycznego

� obliczyç wartoÊç lokaty o zmieniajàcym si´ oprocentowaniu

� obliczyç wysokoÊç raty kredytu sp∏acanego (w równych wielkoÊciach) syste-

mem procentu sk∏adanego

� obliczyç wysokoÊci rat malejàcych

� porównaç zyski z ró˝nych lokat i ró˝ne sposoby sp∏acania kredytu

31

Rachunek prawdopodobieƒstwa i statystyka

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� rozpoznaç, czy dana sytuacja jest doÊwiadczeniem losowym

� okreÊliç zbiór zdarzeƒ elementarnych danego doÊwiadczenia losowego

� zliczyç obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

� stosowaç zasad´ mno˝enia

� obliczyç prawdopodobieƒstwo zdarzenia A (AÃW) z zastosowaniem klasycz-

nej definicji prawdopodobieƒstwa, znajàc A= oraz W=

� obliczyç prawdopodobieƒstwa zdarzeƒ w prostych zadaniach o monetach,

kulach i kartach

� wyznaczyç sum´, iloczyn, ró˝nic´ danych zdarzeƒ

� rozpoznaç zdarzenia wykluczajàce si´

� wyznaczyç median´, dominant´, Êrednià i rozst´p danych surowych

� obliczyç Êrednià wa˝onà wyników

� odczytaç podstawowe informacje z wykresu, diagramu, histogramu

� zaprezentowaç dane w postaci diagramu ko∏owego, diagramu s∏upkowego,

wykresu

� narysowaç histogram

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� zastosowaç w zadaniach wzór na prawdopodobieƒstwo sumy dwóch zdarzeƒ

� zastosowaç w zadaniach wzór na prawdopodobieƒstwo zdarzenia przeciwnego

� rozwiàzaç zadania dotyczàce Êredniej wa˝onej (np. znajdowaç brakujàce wagi)

� obliczyç odchylenie przeci´tne, wariancj´ i odchylenie standardowe zbioru

danych

� narysowaç histogram wymagajàcy zgrupowania danych w klasy

� porównaç ró˝ne zestawy danych surowych na podstawie opisujàcych je para-

metrów (w prostych przypadkach)

Stereometria

Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi:� wskazaç p∏aszczyzny równoleg∏e i prostopad∏e do danej p∏aszczyzny

� wskazaç proste równoleg∏e i prostopad∏e do danej p∏aszczyzny

32

� odró˝niç proste równoleg∏e od prostych skoÊnych

� wskazaç proste prostopad∏e w przestrzeni

� wyznaczyç kàt nachylenia kraw´dzi bocznej ostros∏upa do p∏aszczyzny pod-

stawy tego ostros∏upa

� wyznaczyç kàt nachylenia Êciany bocznej ostros∏upa do p∏aszczyzny podstawy

tego ostros∏upa

� rozpoznawaç graniastos∏upy proste i pochy∏e, równoleg∏oÊciany i prostopa-

d∏oÊciany

� rysowaç siatki graniastos∏upów i ostros∏upów wypuk∏ych

� zastosowaç w zadaniach zwiàzki mi´dzy liczbà Êcian, kraw´dzi i wierzcho∏-

ków graniastos∏upów i ostros∏upów wypuk∏ych

� wskazaç promieƒ podstawy, wysokoÊç i tworzàce walca oraz sto˝ka; zastoso-

waç w zadaniach zwiàzki mi´dzy nimi

� wskazaç kàt rozwarcia sto˝ka oraz kàt nachylenia tworzàcej do podstawy

� zastosowaç funkcje trygonometryczne do wyznaczania d∏ugoÊci odcinków

i miar kàtów w bry∏ach

� obliczyç obj´toÊç i pole powierzchni graniastos∏upa, ostros∏upa, walca, sto˝-

ka i kuli

Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi:� wyznaczyç kàt nachylenia odcinka w graniastos∏upie do Êciany nieb´dàcej

podstawà graniastos∏upa

� wyznaczyç kàt dwuÊcienny mi´dzy Êcianami bocznymi ostros∏upa

� rozpoznaç wieloÊciany foremne i opisaç ich podstawowe w∏asnoÊci

� zbadaç w∏asnoÊci bry∏ powsta∏ych z obrotu wokó∏ osi ró˝nych figur p∏askich

(np. sumy dwóch trójkàtów)

� wyznaczyç obj´toÊç i pole powierzchni bry∏, w których dane majà postaç wy-

ra˝eƒ algebraicznych i doprowadziç wynik do prostej postaci

� obliczyç obj´toÊç i pole powierzchni bry∏, majàc nietypowe dane (np. kàt

mi´dzy Êcianami bocznymi ostros∏upa lub kàt nachylenia przekàtnej Êciany

bocznej graniastos∏upa trójkàtnego do sàsiedniej Êciany)

33

V. Orientacyjny przydzia∏ godzinlekcyjnych

KLASA I 3 godz. ¥ 38 tyg. = 114 godzin

� Liczby i ich zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

� Funkcje i ich w∏asnoÊci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

� Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

� Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

� Godziny do dyspozycji nauczyciela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

KLASA II 3 godz. ¥ 38 tyg.= 114 godzin

� Wielomiany i funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

� Pot´ga o wyk∏adniku wymiernym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

� Zwiàzki miarowe w figurach p∏askich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

� Ciàgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

� Godziny do dyspozycji nauczyciela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

KLASA III 3 godz. ¥ 28 tyg. = 84 godziny

� Rachunek prawdopodobieƒstwa i elementy statystyki opisowej. . . . 18

� Stereometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

� Powtórzenie materia∏u przed maturà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

34