PREZENTACJA :

FUNKCJA LINIOWA Kamil Born Eryk Człapka

Kl. IIIa

FUNKCJA LINIOWA.

Funkcja liniowa to jedna z najprostszych funkcji, jej wykresem jest linia prosta a wzór nie jest skomplikowany. Funkcje liniowe mają wiele praktycznych zastosowań, mogą opisywać proporcjonalność prostą czy posłużyć do rozwiązania układu równań, warto więc dowiedzieć się o nich nieco więcej.

DEFINICJA FUNKCJI LINIOWEJ.

Funkcja liniowa to funkcja określona wzoremy = ax + b,

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

PRZYKŁADY:y = 2x + 3 (a = 2, b = 3)y = -x – 4 (a = -1, b = -4)y = 4x (a = 4, b = 0)y = 6 (a = 0, b = 6)

Oczywiście wystarczy podać sam wzór, w nawiasach podaliśmy wartości współczynników a i b dla wyjaśnienia wzoru ogólnego.

y = ax + b

a – współczynnik kierunkowy funkcji liniowej.b – wyraz wolny funkcji liniowej.

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Gdy b = 0 i jednocześnie a ≠ 0, to funkcja liniowa przedstawia proporcjonalność prostą:

y = ax

czyli

WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ.Wykresem funkcji liniowej, jak sama nazwa wskazuje, jest linia prosta.Do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa punkty.

PRZYKŁADNarysuj wykres funkcji y = 2x + 2.

Wybieramy sobie dwa argumenty (x) i obliczamy wartość funkcji, np.:

f(0) = 2 · 0 + 2 = 0 + 2 = 2f(-1) = 2 · (-1) + 2 = -2 + 2 = 0

Zaznaczamy oba punkty w układzie współrzędnych i rysujemy wykres.

WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ.y = 2x + 2

x 0 -1

y 2 0

Zaznaczamy punkty. Rysujemy wykres.

PUNKTY PRZECIĘCIA WYKRESU FUNKCJI LINIOWEJ Z OSIAMI UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH.

Jeśli a ≠ 0, to wykres funkcji liniowej przecina oś OX w punkcie:

Wykres funkcji liniowej przecina oś OY w punkcie:

(0, b)

PRZYKŁAD.Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji y = x – 2 z osiami układu współrzędnych.

Możemy narysować funkcję i odczytać współrzędne punktów przecięcia z wykresu lub skorzystać ze wzorów:

y = x – 2 mamy wiec a = 1 oraz b = -2.Punkt przecięcia wykresu z osią OY to (0, b), mamy więc

(0, -2)Punkt przecięcia wykresu z osią OX to , mamy więc

PUNKTY PRZECIĘCIA WYKRESU FUNKCJI LINIOWEJ Z OSIAMI UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH.

MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ.

Miejsce zerowe funkcji liniowej można obliczyć tak samo jak każdej innej funkcji – wstawiając do wzoru funkcji wartość 0 i rozwiązując równanie. Jeśli jednak ktoś lubi używać wzorów, miejsce zerowe funkcji liniowej obliczy tak:

Jeśli a = 0 i b = 0, to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych (y = 0 czyli cała oś OX)

Jeśli a = 0 i b ≠ 0, to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych (y = b czyli funkcja stała, której wykresem jest linia równoległa do osi OX)

MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ.PRZYKŁAD.Znajdź miejsce zerowe funkcji określonej wzorem y = 3x + 9.

Możemy to zrobić na kilka sposobów:I.Narysować funkcję i odczytać miejsce zerowe z wykresu.II.Rozwiązać równanie wstawiając do wzoru y = 0.

0 = 3x + 9-3x = 9 /: (-3)x = -3

III. Skorzystać ze wzoru.

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ.

W przypadku funkcji liniowej sprawa jest bardzo prosta – wystarczy spojrzeć na współczynnik a we wzorze.

WSPÓŁCZYNNIK KIERUNKOWY MONOTONICZNOŚĆ PRZYKŁADY

FUNKCJI

a > 0 Funkcja rosnącay = 2x + 5

y = 4xy = 0,25x - 3

a < 0 Funkcja malejącay = -2x

y = -x + 10y = -0,5x + 2

a = 0 Funkcja stałay = 9y = -2y = 0,3

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ.

PRZYKŁAD.Zbadaj monotoniczność funkcji: y = 2x + 9, y = -2, y = -8x,y = 0,5x + 0,25, y = 1, y = x, y = -x, y = 91x + 102.

Obliczenia wprost z definicji byłyby bardzo czasochłonne, na szczęście wszystkie podane funkcję to funkcje liniowe, wystarczy więc spojrzeć na współczynnik a (liczbę stojącą przy x). Mamy:

- funkcje rosnące: y = 2x + 9, y = 0,5x + 0,25, y = x (a = 1),y = 91x + 102-funkcje malejące: y = -8x, y = -x (a = -1)

- funkcje stałe: y = -2 (a = 0), y = 1 (a = 0)

RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH.

Przykłady funkcji liniowych o wykresach równoległych:

y = 2x || y = 2x + 2 || y = 2x – 6 || y = 2x + 18 ...

y = -x || y = -x + 4 || y = -x – 23 || y = -x + 14…

y = 0,5x || y = 0,5x +2 || y = 0,5x – 4 || y = 0,5x + 9 …

Jeśli wzory funkcji liniowych mają takie same współczynniki kierunkowe a, to ich wykresy są równoległe.

RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH.

Przykłady funkcji liniowych o wykresach prostopadłych:

y = 2x + 2 y = -0,5x + 5

y = -4x – 1 y = 0,25x + 2

y = 3x + 2

Jeśli wzory funkcji liniowych zapiszemy następująco:y = a1x + b1 , y = a2x + b2 , to wykresy tych funkcji są prostopadłe gdy