Algebra

Pozostała algebra w pigułce

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japonska Wyzsza Szkoła Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdansku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdansk

Algebra – p. 1

Pozostała algebra w pigułce

Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna jest pod adresemhttp://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Algebra – p. 2

Uproszczenie wyrazen

2x+ (y − x) =

Algebra – p. 3

Uproszczenie wyrazen

2x+ (y − x) = x+ y

Algebra – p. 3

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

= (2x+ (−x)) + y

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

= (2x+ (−x)) + y

= (2x+ (−1) · x) + y

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

= (2x+ (−x)) + y

= (2x+ (−1) · x) + y

= (2 + (−1)) · x+ y

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

= (2x+ (−x)) + y

= (2x+ (−1) · x) + y

= (2 + (−1)) · x+ y

= 1 · x+ y

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Szczegóły

2x+ (y − x) =

= 2x+ (y + (−x))

= 2x+ ((−x) + y)

= (2x+ (−x)) + y

= (2x+ (−1) · x) + y

= (2 + (−1)) · x+ y

= 1 · x+ y

= x+ y

Algebra – p. 4

Uproszczenie wyrazen. Zasady

1. łacznosc dodawania (a+ b) + c = a+ (b+ c)

2. przemiennosc dodawania a+ b = b+ a

3. istnieje zero 0, takie ze a+ 0 = 0 + a = a

4. istnieje liczba przeciwna −a, taka zea+ (−a) = (−a) + a = 0

5. łacznosc mnozenia a(bc) = (ab)c

6. przemiennosc mnozenia ab = ba

7. istnieje jedynka 1, taka, ze a · 1 = 1a = a

8. rozdzielczosc mnozeniaa(b+ c) = ab+ ac

(a+ b)c = ac+ bc

Algebra – p. 5

Twierdzenie

Twierdzenie 1.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Dowód. Za pomoca zasad 1–8

Algebra – p. 6

Układy, dla których spełniono 1–8

• Z

• Q

• R

• reszty modulo 6

• reszty modulo n

Algebra – p. 7

Układy, dla których spełniono 1–8

• Z

• Q

• R

• reszty modulo 6

• reszty modulo n

Wniosek 3. We wszystkich tych układach prawidłowy jest wzór

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Algebra – p. 7

Pierscienie

Definicja 4. Zbiór X , na którym okreslone sa dodawanie i mnozenie,

spełniajace warunki 1–8 nazywa sie przemiennym pierscieniem z jedynka

Uwaga 5. Pierscieniem nazywa sie zbiór, na którym okreslone sa dodawanie

i mnozenie, spełniajece warunki 1–8 bez 6 i 7

Algebra – p. 8

Przykład pierscienia

• Niech dany bedzie niepusty zbiór T

• X bedzie zbiorem podzbiorów T◦ A+B = (A ∪B) \ (A ∩B)◦ A ·B = A ∩B

Algebra – p. 9

Działania w pierscieniu X

a+ b

T

a · bT

Twierdzenie 6. X jest przemiennym pierscieniem z jedynka

Wniosek 7. ∀a, b ∈ X : (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Algebra – p. 10

Dzielenie

9. jezeli a 6= 0, to istnieje a−1, element odwrotny, taki ze

a · a−1 = a−1 · a = 1

10. 0 6= 1

Definicja 8. Jezeli dodawanie i mnozenie okreslone na X spełniaja warunki

1–10, to X nazywa sie ciałem (niekiedy sie mówi przemiennym ciałem)

Algebra – p. 11

Przykłady ciał

• Q

• R

• reszty modulo n, jezeli n jest liczba pierwsza

• liczby algebraiczne

• liczby algebraiczne postaci a+√2b, gdzie a, b ∈ Q

Algebra – p. 12

Podwojenie szescianu

Zadanie 9. Zbudowac szescian o objetosci dwa razy wiekszej, niz dany

szescian

Algebra – p. 13

Podwojenie szescianu

Zadanie 11. Zbudowac szescian o objetosci dwa razy wiekszej, niz dany

szescian

Zadanie 12. Dany jest odcinek długosci 1. Skonstruowac (za pomoca cyrkla

i linijki) odcinek długosci3√2

Algebra – p. 13

Konstrukcje geometryczne

r + s

r s r

r − s s

r

1

srs

s

1

r

s

r

Wniosek 13. Zbiór K konstruowalnych liczb tworzy ciało (podciało R).

Algebra – p. 14

Obliczenie pierwiastka kwadratowego

1

r

√r

Algebra – p. 15

Jakie liczby mozna skonstruowac?

• 1, 2, 3, . . . , 12, 13, 23, . . . — ciało Q

• liczby p+ q√r, gdzie p, q, r ∈ Q — ciało F1

• liczby p+ q√s, gdzie p, q, s ∈ F1 — ciało F2

• i tak dalej: Q ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 ⊂ · · · ⊂ Fk−1 ⊂ Fk ⊂ · · ·

Twierdzenie 14. Kazda konstruowalna liczba nalezy do jednego z ciał Fi przy

odpowiednio dobranych r, s, . . .

Algebra – p. 16

Załózmy, ze3√2 mozna skonstruowac

• 3√2 /∈ Q

• istnieje taki ciag ciał

Q ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 ⊂ · · · ⊂ Fk−1 ⊂ Fk ⊂ · · · , ze 3√2 /∈ Fk−1

oraz 3√2 ∈ Fk

• 3√2 = p+ q

√t, gdzie p, q, t ∈ Fk−1,

√t /∈ Fk−1

• (p3 + 3pq2t− 2) + (3p2q + q3t)√t = 0

• p3 + 3pq2t− 2 = 0 oraz 3p2q + q3t = 0

• wiec p− q√t tez jest pierwiastkiem trzeciego stopnia

z dwójki

• z czego wynika, ze 3√2 ∈ Fk−1, czyli sprzecznosc

Algebra – p. 17

Inne geometryczne zagadnienia

• Trysekcja kata

◦ w prypadku kata 60◦: skonstruowac pierwiastek

równania x3 − 3x = 1

• Kwadratura koła

◦ skonstruowac liczbe π

• Wielokat foremny

◦ mozna skonstruowac wtedy i tylko wtedy, gdy liczbaboków równa jest 2n · p1 . . . pb, gdzie pi sa rózne liczby

pierwsze postaci 22c

+ 1 (liczby Fermata)• przykładowo, 65 537-kat mozna skonstruowac• (

2232

+ 1)

-kat nie mozna

Algebra – p. 18

Pierscien Z7

• dni sa podzielone na klasy: poniedziałek, wtorek, sroda,czwartek, piatek, sobota, niedziela

• przykładowo, sroda={ . . . ,−11,−4, 3, 10, 17, . . . } — wsystkieliczby, kongruentne z 3 modulo 7, 7q + 3

• niech [x] bedzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo 7

• dodawanie [x] + [y] = [x+ y]

• mnozenie [x] · [y] = [x · y]• pierscien Z7

Algebra – p. 19

Pierscien Zn

• niech [x] bedzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo n

• dodawanie [x] + [y] = [x+ y]

• mnozenie [x] · [y] = [x · y]• pierscien Zn

Algebra – p. 20

Liczby zespolone

• a+ bi, gdzie i2 = −1

• wprowadzmy liczby zespolone analogicznie dopierscienia Z7

• w pierscieniu Z7 obowiazuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno byc x2 + 1 = 0 ⇒kongruencja modulo x2 + 1

Algebra – p. 21

Liczby zespolone

• a+ bi, gdzie i2 = −1

• wprowadzmy liczby zespolone analogicznie dopierscienia Z7

• w pierscieniu Z7 obowiazuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno byc x2 + 1 = 0 ⇒kongruencja modulo x2 + 1

• pytanie: co jest kongruentne?

Algebra – p. 21

Liczby zespolone

• a+ bi, gdzie i2 = −1

• wprowadzmy liczby zespolone analogicznie dopierscienia Z7

• w pierscieniu Z7 obowiazuje 7 = 0 ⇒ kongruencja modulo 7

• w liczbach zespolonych powinno byc x2 + 1 = 0 ⇒kongruencja modulo x2 + 1

• pytanie: co jest kongruentne?

• odpowiedz: pierscien wielomianów, R[x]

Algebra – p. 21

Gra samotnik (solitaire)

• Gdzie moze sie znajdowac ostatni pionek?

Algebra – p. 22

Ciało de Bruijna

• X = { 0, 1, p, q }

+ 0 1 p q

0 0 1 p q

1 1 0 q p

p p q 0 1

q q p 1 0

× 0 1 p q

0 0 0 0 0

1 0 1 p q

p 0 p q 1

q 0 q 1 p

• p2 + p+ 1 = 0

Algebra – p. 23

Współrzedne na planszy

(−1, 3) (0, 3) (1, 3)

(−1, 2) (0, 2) (1, 2)

(−3, 1) (−2, 1) (−1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1)

(−3, 0) (−2, 0) (−1, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0)

(−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1)

(−1,−2) (0,−2) (1,−2)

(−1,−3) (0,−3) (1,−3)

Algebra – p. 24

Niezmienniki stanów planszy

• A(S) =∑

pk+l

• B(S) =∑

pk−l

• na poczatku gry A(S) = B(S) = 1

• a wiec na koncu pk+l = pk−l = 1

• czyli k i l sa wielokrotnosciami trójki

• mozliwe stany: (−3, 0), (0, 3), (3, 0), (0,−3) oraz (0, 0)

• (wszystkie sa osiagalne)

Algebra – p. 25