Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn...

Teoria maszyn i podstawy automatykisemestr zimowy 2017/2018

dr inż. Sebastian Korczak

Politechnika WarszawskaWydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Instytut Podstaw Budowy MaszynZakład Mechaniki

http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/

18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2

Wykład 14

Powtórzenie materiału.Informacje o egzaminie.

Ankiety.

Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej.


Wykład 1

pary kinematyczne, mechanizmy,ruchliwość, więzy bierne



Stopnie swobody

2 st. swob.

3 st. swob.

3 st. swob.

6 st. swob.

punkt materialny (2D) bryła sztywna (2D)

bryła sztywna (3D)punkt materialny (3D)


Pary kinematyczne i łańcuchy kinematyczne

Para kinematyczna – ruchome połączenie dwóch sztywnych elementów wywołujące ograniczenia ruchu względnego między nimi.

Łańcuch kinematyczny – połączenie co najmniej dwóch par kinematycznych.

Podstawa – nieruchomy człon mechanizmu.


Pary kinematyczne (3D)

klasa V

obrotowe

= 6 - 1

postępowa śrubowa



klasa IV

walcowa

= 6 - 2



klasa III = 6 - 3

kulista



klasa II = 6 - 4



klasa I = 6 – 5



klasa V

obrotowa

= 6 - 1

postępowa



klasa IV = 6 - 2

krzywka

popychacz

założenie toczenia z poślizgiem


Pary kinematyczne

Para niższa – kontakt powierzchniowy

Para wyższa – kontakt punktowy bądź liniowy


Pary kinematyczne

Para zamknięta – zachowanie kontaktu poprzez geometrię

Para otwarta – kontakt zachowany z użyciem dodatkowej siły


Wielokrotne pary kinematyczne

1

2

3

2 człony → 1 para kinematyczna3 człony → 2 para kinematyczna

…...


Ruchliwość łańcucha kinematycznego

Ruchliwość – liczba stopni swobody mechanizmu względem podstawy

Wzory strukturalne (Chebychev–Grübler–Kutzbach)

(3 D) F=6 N− p1− 2 p2− 3 p3− 4 p4− 5 p5

(2 D) F=3 N− p4− 2 p5

N− liczba elementów ruchomych

pi − liczba par kinematycznych i-tej klasy

F >= 1 – mechanizm z możliwością ruchu

F < 1 – mechanizm zablokowany alboruchomy z więzami biernymi


Wykład 2

Podział strukturalny mechanizmów,metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń

mechanizmów płaskich.



Klasyfikacja łańcuchów kinematycznych

Łańcuch kinematyczny prosty – każdy człon łańcucha wchodzi w nie

więcej niż dwie pary kinematyczne.

Łańcuch kinematyczny złożony – co najmniej jeden człon

mechanizmu wchodzi w więcej niż dwie pary kinematyczne.

Łańcuch kinematyczny otwarty – istnieją człony wchodzące tylko w

jedną parę kinematyczną.

Łańcuch kinematyczny zamknięty – żaden człon mechanizmu nie

wchodzi w skład tylko jednej pary kinematycznej.


Podział strukturalny mechanizmów

Grupa strukturalna – najprostszy łańcuch kinematyczny o ruchliwości

zero powstały z podziału mechanizmu.

Mechanizm płaski tylko z parami V klasy: F=3n − 2 p5=0

p5

n=

3

2=

6

4=

9

6=.. .

n=2 p5=3

II grupa strukturalna III grupa strukturalna

n=4 p5=6 n=6 p5=9

IV grupa strukturalna


Podział strukturalny mechanizmów

napęd korbowy

I grupa strukturalna – człon napędowy

n=1 p5=1 + napęd

napęd liniowy napęd obrotowy


Kinematyka mechanizmów

Analiza kinematyczna mechanizmu – polega na wyznaczeniu

prędkości i przyspieszeń wybranych członów mechanizmu w

interesujących nas położeniach tego mechanizmu. Dana musi być

budowa mechanizmu (geometria członów, rodzaje par

kinematycznych) oraz sposób jego napędzania.


Metody wyznaczania prędkościi przyspieszeń mechanizmów

Metody wykreślne Metoda analityczna

- metoda rzutów prędkości,

- metoda chwilowego środka obrotu,

- metoda chwilowego środka przyspieszeń,

- metoda prędkości obróconych,

- metoda rozkładu prędkości,

- metoda rozkładu przyspieszeń,

- metoda planu prędkości,

- metoda planu przyspieszeń.


Metoda rzutów prędkości

Rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na kierunek łączący

te punkty są sobie równe.

A

B

vA

vB


Metoda chwilowego środka obrotu

Z chwilowego środka obrotu widać końce wektorów prędkości

wszystkich punktów bryły sztywnej pod jednakowym kątem

względem prostej łączącej te punkty ze środkiem obrotu.

A

BvA

vB

S


Metoda rozkładu prędkości

Dowolny ruch płaski bryły sztywnej możemy przedstawić za pomocą

sumy ruchu postępowego i obrotowego.

AB

+AB

AB =

vB= v A+ v BA

Prędkość

bezwzględna

punktu B

Prędkość ruchu

postępowego całej bryły

Prędkość ruchu

obrotowego punktu B

względem punktu A

vBA=ω× AB

Przykład 2

ω


Metoda planu prędkości

Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce

geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych członu

odłożonych z punktu zwanego biegunem planu prędkości. Plan

prędkości członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji

punktów i obrócony o kąt 90o zgodnie ze zwrotem chwilowej

prędkości kątowej członu.


Metoda planu prędkości

A

B

v A

vB

C

vC

vB

v A

Ov

a

b

c

90o

Przykład

Rysunek w skali! np.

Podziałka geometrii: 1cm→ 10cm

Podziałka wektorów: 1cm→ 1m/s

Dane: geometria, vA i vB

Szukane: vC

Inna podziałka geometrii!


Prędkości w ruchu złożonym

A1

A2

v A2=v A1+ v A2 A1

Prędkość

bezwzględna

punktu A2

Prędkość

unoszenia

Prędkość

względna

A


Wykład 3

Metody wyznaczania przyspieszeń mechanizmów płaskich



Chwilowy środek przyspieszeń

A

BaA

aB

P

środek przyspieszeń

=arctg εω2

ψ

ψ

ψ


AB

A

Bω

+AB

=

aB=aA+ aBA=aA+ aBAn+ aBA

t

Przyspieszenie

bezwzględne punktu B

Przyspieszenie punktu B w

ruchu obrotowym względem A.

Metoda rozkładu przyspieszeń

Przykład

AB

ε+

Przyspieszenie bryły w

ruchu postępowym Przyspieszenie

dośrodkowe (normalne)

Przyspieszenie

kątowe (styczne)


AB

A

Bω

+AB

=

aB=aA+ aBA=aA+ aBAn+ aBA

t

aBA=ω×(ω× AB )= − ω2AB

Metoda rozkładu przyspieszeń

Przykład

AB

ε+

Przyspieszenie

dośrodkowe (normalne)

Przyspieszenie

kątowe (styczne)

aBA=ε× AB


Plan przyspieszeń

Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce

geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych

członu odłożonych z punktu zwanego biegunem planu

przyspieszeń.

Plan przyspieszeń członu jest do niego podobny pod względem

konfiguracji punktów i obrócony o kąt (180o-ψ) w kierunku:

- zgodnym ze zwrotem chwilowej prędkości kątowej członu,

jeżeli jednakowe są zwroty wektorów ω i ε,

- przeciwnym do zwrotu chwilowej prędkości kątowej członu,

jeżeli przeciwne są zwroty wektorów ω i ε.


Metoda planu przyspieszeń

A

B

aA

aB

C

Oa

a

b

ψ

Przyspieszenia w skali, np.: 1cm → 1m/s2

Geometria w skali względem rozmiarów rzeczywistych

Przykład

Dane: aA i aB + geometria

Szukane: aC

c

aA

aB

aC


Przyspieszenia w ruchu złożonym

B1

B2

B

aB2=aB1u+ aB2 B1

w+ a

c

Bezwzględne

przyspieszenie

punktu B2

Przyspieszenie unoszenia

(bezwzględne przyspieszenie

punktu B1)

Przyspieszenie

względne

Przyspieszenie

Coriolisa

ac=2 ωu×v B2B1


Wykład 4

Analityczna metoda wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich.

Mechanizmy krzywkowe.



Procedura postępowania w metodzie analitycznejwyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych Oxy.

2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie

ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.

3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często

występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.

4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich

orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że

będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych

a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie

do ruchu wskazówek zegara.

5. Dla każdego z wieloboku wektorów zapisać wektorowe równanie ich

sumy, np.:

∑i=1

i=n

l i=0




6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych

pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania

znaków)

Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania

są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które

się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.

W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba

niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów.

7. Rozwiązać równania rzutów wyznaczając niewiadome funkcje.

Otrzymujemy na tym etapie funkcyjny opis ruchu mechanizmu.

x: ∑i=1

i=n

|l i|cosφ i=0 y: ∑i=1

i=n

|l i|sin φ i=0




8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości

zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe.

Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian

długości wektorów i przyspieszeń kątowych.

9. Jeśli w pkt. 8 nie uzyskano pożądanych informacji należy zróżniczkować

równania rzutów z pkt. 6. i wyznaczyć prędkości. Po kolejnym

różniczkowaniu można wyznaczyć przyspieszenia. Bardzo pomocnicze

może okazać się na tym etapie obrócenie układu współrzędnych o pewien

kąt, co upraszcza niektóre składniki w równaniach rzutów.


Mechanizmy krzywkowe

Podstawowe informacje

Mechanizm krzywkowy – mechanizm składający się z krzywki i popychacza

tworzących parę kinematyczną wyższą klasy IV.

Krzywka porusza się najczęściej ruchem obrotowym (czasem postępowym,

a popychacz ruchem postępowo zwrotnym (czasem wahadłowym).

zalety

prosta konstrukcja,

łatwość wykonania,

dowolne wymiary,

łatwość uzyskania

skomplikowanych

przebiegów.

wady

niska wytrzymałość przy

dużych obciążeniach,

brak adaptacyjności


Mechanizmy krzywkowe

Podział mechanizmów krzywkowych:

płaskie / przestrzenne

z popychaczem centralnym / z popychaczem mimośrodowym

z zamknięciem kinematycznym / z zamknięciem siłowym

Podstawowe informacje


Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych

Analiza mechanizmu krzywkowego – wyznaczenie przebieguprzemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza w funkcjikąta obrotu krzywki dla zadanej konstrukcji i geometrii mechanizmu.

Synteza mechanizmu krzywkowego – zaprojektowanie geometriikrzywki dla danej konstrukcji mechanizmu krzywkowego w celuuzyskania pożądanego przebiegu przemieszczenia, prędkości lubprzyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki. Dodatkowonarzuca się pewne ograniczenia, np. maksymalny wznios popychacza,maksymalną prędkość lub przyspieszenie. Należy sprawdzić równieżtrzecią pochodną wzniosu popychacza (udar), która powinna miećskończone wartości.


Wykład 5

Mechanizmy krzywkowe cd.Dynamika mechanizmów płaskich.



Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych

Analiza Synteza

zastąpienie pary IV klasy parami V klasy i zastosowanie metod wykreślnych (plany prędkości i przyspieszeń)

graficzne wyznaczenie przebiegu wzniosu popychacza i jego różniczkowanie graficzne

zastosowanie metody analitycznej (zastąpienie mechanizmu wielobokiem wektorów)

graficzne konstruowanie zarysu krzywki poprzez obracanie koła bazowego i odkładanie pożądanego wzniosu popychacza

analityczne projektowanie zarysu krzywki poprzez opis funkcyjny


Metoda analityczna

Synteza mechanizmów krzywkowych

Dla danego przebiegu przyspieszenia lub prędkości wzniosu popychacza wfunkcji czasu (lub kąta obrotu) charakterystykę wzniosu popychaczaotrzymuje się poprzez całkowanie.

Przebieg wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki możemy wprostwykorzystać do wygenerowania zarysu krzywki (lub po przekształceniu dowspółrzędnych biegunowych).

Zastosowanie popychacza ostrzowego pozwala dokładnie odzwierciedlićzadaną funkcję wzniosu popychacza.

Zastosowanie popychacza rolkowego wprowadza ograniczenie maksymalnejprędkości wzniosu popychacza – wymaga ustalenia proporcji międzywielkością krzywki a promieniem rolki.

Często projektuje się krzywki o symetrycznym zarysie oraz gładkie(bez uskoków).


Dynamika mechanizmów


Przegląd zagadnień


Opis mechanizmu płaskiego za pomocą brył sztywnych i punktów materialnych.

Wykreślne wyznaczanie sił i momentów sił bezwładności.

Reakcje w parach kinematycznych.

Siły napędzające i robocze.

Pierwsze i drugie zadanie dynamiki mechanizmów.

Zastosowanie metod wykreślnych, analityczno-wykreślnych i analitycznych.

Tarcie w parach kinematycznych.


Reprezentacja członów mechanizmu


Dla członu mechanizmu płaskiego jako bryły sztywnej podajemy:

masa

położenie środka masy

masowy moment bezwładności względem osi prostopadłej do

płaszczyzny ruchu i przechodzącej przez środek masy

położenie punktów łączenia w pary kinematyczne


Reprezentacja członów mechanizmu


Metoda mas skupionych

równość mas

położenie środka masy

równość momentów bezwładności

układ punktów materialnych


Siły i momenty sił bezwładności


C aC

εsiła bezwładności

BC= − maC

Moment od siłbezwładności

MC= − IC ε

MC

BC


Pierwsze zadanie dynamiki


Wyznaczenie sił i momentów sił działających na mechanizm wywołującychzadany ruch mechanizmu – KINETOSTATYKA MECHANIZMÓW.

0. Zaprojektowanie mechanizmu do wykonywania konkretnego zadania.Ustalenie napędu i sprawdzenie zgodności z założeniami przebieguprzemieszczeń, prędkości i przyspieszeń.

1. W oparciu o wyznaczone przyspieszenia wyznaczyć siły bezwładnościdziałające na człony ruchome mechanizmu w wybranym położeniumechanizmu.

2.Dokonać rozkładu mechanizmu na podukłady ujawniając reakcje wpołączeniach.

3. Zapisać równania d'Alemberta dla podukładów mechanizmu (dla ruchupostępowego i obrotowego).

4. Rozwiązać powstałe równania metodą graficzną, analityczną lub mieszaną.


Wykład 6

Dynamika maszyn.Redukcja mas i sił.

Równanie ruchu maszyny.



Idea redukcji

Redukcja mas i sił

układ o wielu stopniach swobody

lub

mr(t)Fr(t )

xr( t)

I r(t)

Mr(t)

φ r (t)

układ o jednym stopniu swobody


Energia kinetyczna

Redukcja mas

mr(t)Fr(t )

xr( t)

I r(t)

Mr(t)

φ r (t)Ek =1

2I r ωr

2

zredukowany moment

bezwładności

Ek =1

2mr vr

2

masa zredukowana

lub

vr=dxr (t )

dt

ωr=d φ r (t)

dt

Całkowita energia kinetyczna układu

Ek (mi , I i , vi ,ωi)


Moc układu

Redukcja sił

Całkowita moc układu

P=Mrωr

moment zredukowany

P (Fi , Mi ,ωi , vi , ...)

P=Fr vr

siła zredukowana

lub

mr(t)Fr(t )

xr( t)

I r(t)

Mr(t)

φ r (t)

vr=dxr (t )

dt

ωr=d φ r (t)

dt


Redukcja sił i momentów sił

Pr=∑i=1

n

Pi

vi

vr

cosαi+∑j=1

k

M j

ω j

vr

Mr= ∑i=1

n

Pi

vi

ωrcosαi+ ∑

j=1

k

M j

ω j

ωr

Redukcja mas i momentów bezwładności

mr= ∑i=1

n

mi

vi

2

vr2+ ∑

j=1

k

I j

ω j

2

vr2 I r= ∑

i=1

n

mi

vi

2

ωr2+ ∑

j=1

k

I j

ω j

2

ωr2


dla ruchu postępowego

Równanie ruchu maszyny

dEk=dW

d(1

2m(t) v (t)2)=F ( t)dx

1

2dm (t)v (t)2+m( t)v ( t)dv (t)=F (t)dx

1

2dm ( t)v ( t)2+m(t )

dx (t )

dtdv (t )=F (t )dx

dm (t)

dx

v (t)2

2+m

dv (t)

dt=F (t )

dm (t )

dt

v (t )

2+m

dv (t )

dt=F (t)

if m=const . ⇒ mdv (t)

dt=P(t) o r m x ( t)=F (t )

m(t)F (t)

v (t)


dla ruchu obrotowego

Równanie ruchu maszyny

dEk=dW

d(I ω(t)2

2 )=M ( t)d φ

...

...

dI (t)

d φ

ω(t)2

2+ I (t)

dω(t )

dt=M (t )

dI ( t)

dt

ω( t)

2+ I ( t)

dω(t)

dt=M ( t)

if I=const . ⇒ Idω( t )

dt=M (t ) o r I φ (t)=M (t )

I (t)

M (t)

φ ( t)


Redukcja mas i sił

Przykład 1

I r

dω1

dt=Mr

I r(t)

Mr(t)

ω1(t )

Mr=A − Bω1 − MP

Rozruch maszyny

dω1

dt+

BIr

ω1=A − MP

Ir

rozwiązanie ogólne

rozwiązanie szczególne

ω1g(t)=E e −

BIr

tω1 p(t)=F

ω1(t)=A − MP

B(1 − e

−B

I r

t)

warunek początkowy

ω1(t=0)=0

t

ω1(t)

ωmax=A − MP

B

czas rozruchu (95% maks.)

t 95 ≈ 3I r

B


Wykład 7

Nierównomierność ruchu maszyny.Wstęp do automatyki.



silnik maszyna

φ ( t) I R

φ ( t)

t

ωmax

ωmin

Ek .max=1

2I Rωmax

2Ek .min=

1

2I Rωmin

2

Δ L=Ek .max − Ek . min=δ I Rωśr

2

δ=ωmax− ωmin

ωśr

ωśr=ωmax+ωmin

2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszynyw ruchu ustalonym


x (t)

t

vmax

v min

Δ L=Ek .max − Ek . min=δmRv śr

2

δ=vmax − vmin

vśrv śr=

vmax+vmin

2

Nierównomierność biegu maszyny


maszyna

mR

FR( t) x (t)


ω( t)

φ ( t)

silnik maszyna

φ ( t) I R

MC MB

φ ( t)

MC MB

π 2π

Δ L

Δ L=∫φmin

φmax

(MC− MB)d φ

δ=Δ L

I Rωśr

2


przyczyna nierównomierności biegu - przykład

ωmax

ωmin

Δ L=Ek .max − Ek . min=δ I Rωśr

2


silnik maszyna

φ ( t) I RIKZ

I KZ=(δ1

δ2

− 1)I R

Δ L=δ1 I Rωśr2

założenie

I R≈ const .

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ ( t) I R

φ ( t)

t

ωmax

ωmin

w ruchu ustalonym

φ ( t)

t

ωmax

ωmin

Δ L=δ2(I R+ I FW )ωśr2

δ1 I Rωśr2 =δ2(I R+ I KZ)ωśr

2


Podstawy automatyki


Podstawy automatyki

Automatyka – dyscyplina naukowa (z dziedziny nauk technicznych, wymieniana razem z robotyką) zajmująca się zagadnieniami sterowania procesami bez stałego nadzoru człowieka

automatyka ≠ automatyzacja

Teoria sterowania – gałąź matematyki i cybernetyki zajmująca się analizą i modelowaniem matematycznymukładów i procesów traktowanych jako układy dynamiczne ze sprzężeniem zwrotnym.


Teoria sterowania

Klasyczna teoria sterowaniaWspółczesna teoria

sterowania(od około 1950)

układy o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO)

układy o wielu wejściach i wyjściach

układy liniowe często układy nieliniowe

układy niezależne od czasu układy zależne od czasu

opis za pomocą transmitancji opis równaniami stanu

analiza w dziedzinie czasu i częstości analiza w dziedzinie czasu

zainteresowanie odpowiedzią układu zainteresowanie stanem układu


Single Input Single Output (SISO) system

OBIEKTx (t) y (t )


Układy liniowe niezależne od czasu(Linear time-invariant LTI)

Układ liniowy

x (t ) - wejście, y (t)=h(x (t )) - wyjście

h(α x (t ))=αh(x (t ))=α y (t ) skalowanie

h(x1(t)+x2(t))=h(x1(t))+h(x2(t )) superpozycja


Układy liniowe niezależne od czasu(Linear time-invariant LTI)

Układ niezależny od czasu

wyjście układu nie zależy wprost od czasu

jeżeli y (t)=h(x (t )) to y (t − τ)=h(x (t − τ))

Układ zależny od czasu

jeżeli y (t)=h(x (t )) to y (t − τ) ≠ h(x (t − τ))


Sterowanie w otwartej pętli

OBIEKTu(t)=x (t ) y (t )

KONTROLERyd(t )

pożądane wyjście obiektu

sygnał sterujący

wyjście obiektu

wejście obiektu


Sterowanie w zamkniętej pętli

OBIEKTu(t )=x (t ) y (t )

KONTROLER

yd(t )

pożądane wyjście obiektu sygnał

sterujący

wyjście obiektu

wejście obiektu

+

-

e(t)

błąd sterowani

a


Wykład 8

Transformata Laplace'a.Transmitancja.

Wyznaczanie odpowiedzi.



Transformata Laplace'a

Założenie: x (t ) - sygnał taki, że dla t<0 x (t)=0

X (s)=L{x (t )}= ∫0

∞

x (t)e − st

dt

gdzie: s ∈ ℂ , s=σ+ jω , j= √ − 1

Warunkiem koniecznym istnienia całki jest lokalna całkowalność x(t) dla t <0, ∞).

Transformata Laplace'a funkcji x(t):

Odwrotnatransformata Laplace'a x(t): x (t )=L − 1{X (s)}=

12π j

limω → ∞

∫γ − jω

γ+ jω

X (s)est ds


skok jednostkowy

δ(t) impuls jednostkowy


splot


Transmitancja

dny (t )

dtn +a1

dn − 1

y (t )

dtn − 1 +...+an − 1

dy(t )

dt+an y (t )=

dmx (t )

dtm +b1

dm − 1

x (t )

dtm − 1 +...+bm − 1

dx(t)

dt+bm x (t)

Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISOo ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t)

po transformacie Laplace'a z zerowymi warunkami początkowymi

snY (s)+a1 s

n − 1Y (s)+...+an − 1sY (s)+anY (s)=s

mX (s)+b1 s

m − 1X (s)+...+bm − 1s X (s)+bm X (s)

(sn+a1s

n − 1+...+an − 1 s+an)Y (s)=(s

m+b1 s

m − 1+...+bm − 1 s+bm)X (s)

G(s)=Y (s)

X (s)=

sm+b1 sm− 1+ ...+bm− 1 s+bm

sn+a1 s

n− 1+...+an− 1 s+an

Transmitancja:


Transmitancja

G(s)=Y (s)

X (s)=

sm+b1 sm− 1+ ...+bm− 1 s+bm

sn+a1 s

n− 1+...+an− 1 s+an

G(s)=Y (s)

X (s)=

(s − z1)(s − z2)...(s − zm)

(s − p1)(s − p2)...(s − pn)

z1, z2 , ... , zm - zera transmitancji

p1, p2 , ... , pn - bieguny transmitancji


Wejście i wyjście

Transmitancja:

Transformata Laplace'a wyjścia:

Wyjście w dziedzinie czasu: y(t )=L − 1{Y (s)}

y (t )=L − 1{G(s)X (s)}=L − 1{G (s)}∗ L − 1 {X (s)}=g(t)∗ x (t)

Splot: g (t ) ∗ x (t )= ∫0

∞

g ( τ) x (t − τ)d τ

g (t ) - odpowiedź impulsowa układu ( y(t) dla x (t )=δ(t ))

G(s)=Y (s)

X (s)

Y (s)=G (s)X (s)


Wejście i wyjście

x (t )

X (s) Y (s)=G(s)X (s)G (s)

dziedzina czasu

dziedzina zespolona

L L L-1

y (t )=g(t) ∗ x (t )g(t)


Przykłady funkcji sygnałów wejściowych

Brak wejścia: x (t)=0

Jendostkowe wymuszenie skokowe (funkcja Heaviside'a): 1(t )={0 , t<01 , t ⩾ 0

H (t ) lub 1+ (t)

Funkcja liniowo narastająca: x (t)={0 , t<0t , t ⩾ 0

Funkcja harmoniczna: x (t)=a sin(ω t )

Wymuszenie impulsowe (Delta Diraca): δ(t )={0, t<0 ∞ , t=00, t>0


Wykład 9

Transmitancja widmowa.Klasyfikacja podstawowych obiektów

automatyki.



Transmitancja operatorowa

G(s)=Y (s)

X (s)

Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISOo ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t)

Y (s) - transformata Laplace'a sygnału wyjściowego

X (s) - transformata Laplace'a sygnału wejściowego


Transmitancja operatorowa i widmowa

G(s)

Transmitancja operatorowa

G( jω)

Transmitancjawidmowa

s= jω

pełen opis dynamiki układu(dla dowolnych sygnałów wejściowych)

opis dynamiki układu w stanie ustalonym dla harmonicznego sygnału wejściowego


G(s) G( jω)=P (ω)+ jQ(ω)

A (ω)=|G ( jω)|= √P2(ω)+Q

2(ω)

φ (ω)=ArgG( jω)=arctgQ

PP(ω)

Q(ω)

ω=0ω= ∞

y (t)=A sin (ω t+φ)

Transmitancja widmowa

wejście: x (t)=sin (ω t) wyjście:G(s)transmitancja:

Wykres Nyquista

s= jω

Wykres transmitancji widmowej Częstościowa charakterystyka

amplitudowo-fazowa

φ (ωi)

A (ωi)

ωi

wzmocnienie

opóźnienie


φ(ω

) [r

ad]

wykres wzmocnienia(amplitudowo-częstościowy)

Wykres Bodego

y (t)=A sin (ω t+φ)wejście: x (t )=sin (ω t ) wyjście:G(s)

wykres przesunięcia fazowego(fazowo-częstościowy)


ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

L(ω)=20 log A (ω)

transmitancja:

oś pozioma w skali logarytmicznej, oś pionowa w skali liniowej!


Skala liniowa i logarytmiczna

A (wzmocnienie)

20logA[dB]

1000 60

100 40

10 20

1 0

0,1 -20

0,01 -40

0,001 -60



Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki

Nazwaelementu

Równanie Transmitancja

proporcjonalny (bezinercyjny) k

inercyjnyI rzędu

całkujący

y (t )=ku (t )

Tdy (t )

dt+y (t )=ku (t )

y (t )=k ∫0

t

u (t )dt

dy (t )

dt=ku (t )

k

Ts+1

k

s



Nazwa Równanie Transmitancja

różniczkujący

różniczkujący rzeczywisty

(z bezwładnością)

y (t )=kdu (t )

dt

Tdy (t )

dt+y (t )=k

du (t )

dt

ks

ks

Ts+1



Nazwa Równanie Transmitancja

opóźniający

inercyjny II rzędu (oscylacyjny)

y (t )=u (t − τ )

T 1

2 d 2 y (t )

dt2

+T 2

dy (t )

dt+

+y (t )=ku (t )

e − τ s

k

T 12s

2+T 2 s+1


Wykład 10

Klasyfikacja podstawowych obiektówautomatyki z przykładami.



Element proporcjonalny

1. Równanie: y (t )=ku (t )

2. Charakterystyka statyczna: y=ku

3. Transmitancja: G(s)=k

4. Odp. skokowa: y (t)=k u0 1(t )

u

y

t

u0

u(t)

k u0

y (t )

t

u(t) - wejście, y (t ) - wyjście

dla u (t)=u0 1(t)

dla dydt

=0 ∧dudt

=0


Element proporcjonalny

P (ω)=k , Q (ω)=0

6. Wykres Nyquista:

7. Wykres Bodego:

φ(ω

) [r

ad]

ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

L(ω)=20 log A (ω) φ (ω)=arctanQP={0 , dla k ≥ 0

π , dla k<0}

20 log|k|

G( jω)=k5. Transmitancja widmowa:

P(ω)

Q(ω)

A(ω)= √P2+Q

2=|k|

dla k>0


Element proporcjonalnyPrzykłady

1przekładnia zębata:wejście – prędkość kątowa ω1(t)wyjście – prędkość kątowa ω2(t)

przekładnia zębata:wejście – kąt obrotu φ1(t)wyjście – kąt obrotu φ2(t)

ω1(t)

ω2(t)

2φ1(t)

φ2(t)



4BELKA w stanie ustalonym:wejście – siła F1wyjście – siła F2

F1 F2

3 WZMACNIACZ OPERACYJNY:wejście – napięcie v1(t)wyjście – napięcie v2(t)

Vsupply

0Vv2(t)

v1(t)

R2R1

v2 (t )=v1 (t )(1+R2

R1)



5

PODNOŚNIK HYDRAULICZNY:wejście – przemieszczenie x1(t)wyjście – przemieszczenie x2(t)

x1(t)

x2(t)

6 SIŁOWNIK PNEUMATYCZNY:wejście – ciśnienie p1(t)wyjście – przemieszczenie x(t)

x(t)

p(t)


Element inercyjny pierwszego rzędu

1. Równanie:



Ts+1

u

y

Tdy (t )

dt+y (t )=ku (t ) u(t) - wejście

y (t ) - wyjście

dla dydt

=0 ∧dudt

=0



4. Odp. skokowa:

Wejście: u (t )=u0 1(t)

u0

u(t)

Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u0

1

s

Transformata Laplacea wyjścia: Y ( s)=G (s)U (s)=k u0

s(Ts+1)

Wyjście: y (t)=L − 1{Y (s)}=k u0(1 − e − t /T )

k u0

y (t )

tT 2T 3T

0,950 k u0

0,865 k u0

0,632 k u0

t



5. Transmitancja widmowa:

6. Wykres Nyquista:

P (ω)=k

T 2ω2+1, Q (ω)=

− k T ω

T 2ω2+1

P(ω)

Q(ω)

ω=0ω= ∞

k /2 k0

− k /2ω=1/T

zał.: k>0

G ( jω)=k

Tjω+1



7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)=20 log|k| − 20 log √T 2ω2+1

φ (ω)=arctanQ

P=arctan ( − T ω)

L(ω

) [d

B] ω [rad/s]1

10T1

T

20 log|k| − 3

10 /T

20 log|k| − 20φ(ω

) [r

ad]

− π2

− π4

1T

10T

ω [rad/s]

100T

110T

1100T

20 log|k|

20 log|k| − 40

A(ω)= √P2+Q

2=|k|/ √T

2ω

2+1


Element inercyjny pierwszego rzęduPrzykłady

1RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM:wejście – siła F(t)wyjście – prędkość v(t)

F(t)

v(t)

Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną)

2RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM:wejście – moment M(t)wyjście – prędkość kątowa ω(t)

M(t)

ω(t)


Element inercyjny pierwszego rzęduPrzykłady

3p1(t)

p2(t)

4 OGRZEWANY OBIEKT O MAŁEJ BEZWŁADNOŚCI:wejście – moc grzałki h(t)wyjście – temperatura obiektu Ti(t)

ZBIORNIK POWIETRZA:wejście – ciśnienie p1(t)wyjście – ciśnienie p2(t)


Element całkujący

1. Równanie:

2. Charakterystyka statyczna:

3. Transmitancja: G (s)=ks

dy (t)

dt=k u(t )

u=0

u

y

u(t) - wejściey (t ) - wyjście

dla dydt

=0 ∧dudt

=0


Element całkujący

4. Odp. skokowa:


u0

u(t)

u0

y (t )

t

Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u0

1

s

Wyjście: y (t)=L − 1{Y (s)}=k u0 t

1/kt

Transformata Laplace'a wyjścia: Y (s)=G (s)U ( s)=k u0

s2


Element całkujący


6. Wykres Nyquista:

P (ω)=0 , Q(ω)= −kω

P(ω)

Q(ω)

ω= ∞

0

dla k>0

G ( jω)=kjω


Element całkujący

7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)=20 log|kω|

A(ω)= √P2+Q2=|kω|

φ (ω)=arctanQ

P=arctan ( − ∞)

φ(ω

) [r

ad]

− π2

ω [rad/s]

dla k>0

L(ω

) [d

B] ω [rad/s]

k /10 k

− 20 dB/dek

10k0

20

40

100k


Element całkującyPrzykłady

1

h(t)

f(t)


Vsupply

0Vv2(t)

v1(t)

CR

v2(t )=1

RC ∫0

t

v1(t)dt

PROSTOPADŁOŚCIENNY ZBIORNIK PŁYNU:wejście – wydatek dopływu f(t)wyjście – poziom cieczy h(t)


Element całkującyPrzykłady

3przekładnia zębata:wejście – prędkość kątowa ω(t)wyjście – kąt obrotu φ(t)

ω(t)

φ(t)

4 CYLINDER HYDRAULICZNY:wejście – wydatek cieczy f(t)wyjście – przemieszczenie x(t)

x(t)

f(t)


Element różniczkujący idealny

1. Równanie:

2. Charakterystyka statyczna: y=0

3. Transmitancja: G(s)=k s

u

y

y (t)=kdu(t)

dtu(t) - wejściey (t ) - wyjście

dla dydt

=0 ∧dudt

=0



4. Odp. skokowa:


u0

u(t) y (t )

t

Transformata Laplacea wejścia: U ( s)=u0

1

s

Wyjście: y (t)=L − 1{Y (s)}=k u0δ(t )

t





6. Wykres Nyquista:

P (ω)=0 , Q (ω)=k ω

P(ω)

Q(ω)

ω=0

0

dla k>0

G ( jω)= j k ω



7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)=20 log|kω| φ (ω)=arctanQ

P=arctan ( ∞)

φ(ω

) [r

ad]

π2

ω [rad/s]

dla k>0

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]k /10

k

+20 dB/dek

10k0

20

40

− 20

− 40

A(ω)= √P2+Q

2=|k ω|


Element różniczkujący idealnyPrzykłady

1PRZEKŁADNIA ZĘBATA:wejście – kąt obrotu φ(t)wyjście – prędkość kątowa ω(t)

ω(t)

φ(t)


v2(t )= − RCdv1(t )

dt

Vsupply

0Vv2(t)

v1(t)

C R


Element różniczkujący rzeczywisty

1. Równanie:

2. Charakterystyka statyczna:

3. Transmitancja: G(s)=k s

Ts+1

Tdy (t)

dt+ y (t )=k

du(t )

dt

y=0

u

y

u(t) - wejściey (t ) - wyjście

dla dydt

=0 ∧dudt

=0



4. Odp. skokowa:



1

s

Wyjście: y (t)=L − 1{Y (s)}=k u0 e − t /T

k u0

y (t )

tT 2T 3T0,050 k u0

0,135 k u0

0,368 k u0u0

u(t)

t


Ts+1




6. Wykres Nyquista:

P (ω)=k T ω2

T 2ω2+1, Q (ω)=

k ω

T 2ω2+1

P(ω)

Q(ω)

ω=0 ω= ∞

k2T

k

T

0

− k /2ω=1/T

dla k>0

G ( jω)=k jω

Tjω+1



7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)=20 log|kω| − 20 log √T 2ω2+1

φ (ω)=arctanQ

P=arctan( 1

T ω)

φ(ω

) [r

ad]

π2

π4

1T

10T

ω [rad/s]

100T

110T

1100T

dla k>0

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]110T

1T

20 log|k /T| − 3

10 /T

20 log|k /T| − 20

20 log|k /T|

20 log|k /T| − 40

0

A(ω)= √P2+Q

2=|k ω|/ √T

2ω

2+1


Element różniczkujący rzeczywistyPrzykłady

1 OBWÓD RC:wejście – napięcie u1(t)wyjście – napięcie u2(t)


Element opóźniający

1. Równanie:

2. Charakterystyka statyczna: y=u

3. Transmitancja: G (s)=e− τ s

u

y

y (t)=u(t− τ) u(t) - wejściey (t ) - wyjście

dla dydt

=0 ∧dudt

=0



4. Odp. skokowa:

u0

u(t)

t

u0

y (t )

t

τ



1

s

Wyjście: y (t)=L − 1{Y (s)}=u0 1(t − τ)

Transformata Laplacea wyjścia: Y ( s)=G (s)U (s)=u0

se − τ s




6. Wykres Nyquista:

P (ω)=cos(τω), Q (ω)= − sin (τω)

P(ω)

Q(ω)

ω=00

ω= π2 τ

ω=πτ

ω=3π2 τ

1

1

− 1

− 1

G ( jω)=e − τ jω

e − x=cos x − j sin x



7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)=20 log 1=0

φ (ω)=arctanQ

P=arctan ( − tan ( τω))= − τω

φ(ω

) [r

ad]

− π

πτ

ω [rad/s]

10πτ

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

110T

1T

10T

0

A(ω)= √P2+Q

2=1


Element opóźniającyPrzykłady

1 TRANSMISJA BEZPRZEWODOWA:wejście – dane wysłanewyjście – dane odebranenadajnik odbiornik


Element inercyjny drugiego rzędu

1. Równanie:



T 12s

2+T 2 s+1

u

y

T 12 d

2y (t)

dt 2+T 2

dy (t )

dt+ y (t )=k u(t)

dla dydt

=0 ∧dudt

=0



4. Odp. skokowa:



1

s

wyjście: y (t )=L− 1 {Y (s )}=

={k u0

T 1

2(1− e

− ht (cosω t+hω sinω t )), dla h≤ ω0

k u0

T 12 (1+e

− ht((h+w

2 w− 1)e− wt

−h+w

2 we

wt)), dla h≥ ω0

gdzie: h=T 2

2T 12

, ω0=1

T 1

, ω= √ω0

2 − h2 , w= √h2 − ω0

2


s(T 12 s2+T 2 s+1)



4. Odp. skokowa:

u0

u(t)

t

k u0

y (t )

t

h<ω0

h=ω0

h>ω0



6. Wykres Nyquista:

P (ω)=k (1 − T 1

2ω

2)

(1 − T 12ω2)2+T 2

2ω2, Q (ω)=

− k T 2ω

(1 − T 12ω2)2+T 2

2ω2

P(ω)

Q(ω)

ω=0ω= ∞

k0

ω=1/T

dla k>0

dla h<ω0

dla h=ω0

dla h>ω0

5. Transmitancja widmowa: G( jω)=k

− T 12ω

2+T 2 jω+1



7. Wykres Bodego:

L(ω)=20 log A (ω)

A(ω)= √P2+Q

2

φ (ω)=arctanQ

P

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

110T 1

1T 1

20 log|k| − 20

20 log|k|

20 log|k| − 40

dla k>0

10T 1

φ(ω

) [r

ad]

π

π2

1T

10T

ω [rad/s]

100T

110T

1100T

dla h<ω0

dla h=ω0

dla h>ω0


Element inercyjny drugiego rzęduPrzykłady

punkt materialnyo masie m

liniowa sprężyna o sztywności k

liniowy tłumik o współczynniku c

1 UKŁAD DRGAJĄCY:wejście – siła F(t)wyjście – przemieszczenie y(t)

y(t)

F(t)



1RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM:wejście – siła F(t)wyjście – przemieszczenie x(t)

F(t)

x(t)

Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną)

2RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM:wejście – moment M(t)wyjście – kąt obrotu φ(t)

M(t)

φ(t)



4 OGRZEWANY OBIEKT O DUŻEJ BEZWŁADNOŚCI:wejście – moc grzałki h(t)wyjście – temperatura obiektu Ti(t)



nazwa elementu transmitancja

Proporcjonalny k

Inercyjny pierwszego rzędu

Całkujący

Różniczkujący idealny

Różniczkujący rzeczywisty


Inercyjny drugiego rzędu

k

Ts+1

ks

ks

ks

Ts+1

e − τ s

k

T 12s

2+T 2 s+1


Wykład 11

Algebra schematów blokowych.Regulatory automatyczne i sterowanie.



Algebra schematów blokowychtransmitancja

X(s) Y(s)G(s)


Algebra schematów blokowychwęzeł informacyjny

X(s)

X(s) X(s)

X(s)

Jedno wejście, wiele wyjść


Algebra schematów blokowychwęzeł sumacyjny

A(s) +

B(s)

+

A(s)+B(s)-C(s)–

C(s)

Wiele wejść, jedno wyjście


Algebra schematów blokowychpołączenie szeregowe

G1(s)x(s) y(s) x(s) y(s)

GR(s)G2(s)

GR(s)=G1(s) G2(s)


Algebra schematów blokowychpołączenie równoległe

G1(s)x(s) y(s) x(s) y(s)

GR(s)

G2(s)GR(s)= - G1(s) + G2(s) + G3(s)

-

+

G3(s)

+


Algebra schematów blokowychpołączenie ze sprzężeniem zwrotnym

G2(s)

+

–

x(s) y(s) x(s) y(s)GR(s)G1(s)

GR=G1

1+G1 G2


Algebra schematów blokowychzmiana kolejności węzłów informacyjnych

X(s) X(s)


G(s)+

+

X(s) Y(s)

A(s)

G(s)

G(s)+

+

X(s) Y(s)

A(s)

Algebra schematów blokowychprzeniesienie węzła sumacyjnego za blok transmitancji

Y=(X+A)G Y=XG+AG


-

+

A(s)

C(s)B(s)

+

-

Algebra schematów blokowychzmiana kolejności węzłów sumacyjnych

+

+

A(s)

B(s)C(s)

-

+

Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI!


G(s) G(s)

G(s)

Algebra schematów blokowychzmiana kolejności bloku transmitancji i węzła informacyjnego


Regulatory automatyczne i sterowanie



OBIEKTu(t)=x (t) y (t)

REGULATOR

yd(t )


sterujący

wyjście obiektu

wejście obiektu

+

-

e (t )

błąd sterowani

a



u(t)REGULATOR

sygnał sterujący

e(t)

błąd sterowani

a


Podstawowe regulatory

dwustanowy

trójstanowy

Proporcjonalny (P)

Całkujący (I)

Różniczkujący (D)

Proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID)


Regulator dwustanowy

u(t)

sygnał sterujący

e(t)

błąd sterowani

a

u(t)

e(t)

u(t)={umax , jeżeli e>e0

umin , jeżeli e< − e0

bez zmian, w pozostałych przypadkach}

umax

umin

e0 − e0

eo - histereza konstrukcyjna lub programowalna


Przykład 1

mdv (t )

dt= f (t ) − d (t )

G (s)=V (s)

F (s)=

1

ms+c

POJAZDf (t ) v (t )

REGULATOR

vd(t )

Prędkość zadana

+

-

e(t)

Prędkość zmierzona

Siła napędowa

Sterowanie prędkością (tempomat)

pojazd na płaskim podłożum – masa pojazdu,f(t) – siła napędowa,d(t)=c*v(t) – opór powietrza,v(t) – prędkość pojazdu

Błąd prędkości


Ograniczenie wartości sygnałów (saturacja)

wejście

wyjście


wejście

wyjście

Strefa nieczułości


Przykład 2Sterowanie poziomem wody

x1(t)[m3/ s ] - dopły wody (sterowany)

x2(t )[m3 /s ] - odpływ wody (niesterowany, nie mierzony)

h(t)[m ] - poziom wody w zbiorniku

A [m2] - pole powierzchni przekroju zbiornika prostopadłościennego

h(t)

x2(t)

x1(t)

v (t )[m3] - objętość wody w zbiorniku


Wykład 12

Regulator PID.Stabilność.




OBIEKTu(t)=x (t) y (t )

REGULATOR

yd(t )


sterujący

wyjście obiektu

wejście obiektu

+

-

e (t )

błąd sterowani

a


Transmitancje podstawowych regulatorów

kP

1

Ti s

Td s

T d s

T s+1

Regulator Transmitancja

Proporcjonalny (P)

Całkujący (I)

Różniczkujący idealny (D)

Różniczkujący rzeczywisty (D)



kP(1+ 1

Ti s )

kP (1+Td s )


Proporcjonalno-całkujący (PI)

Proporcjonalno-różniczkujący (PD)



kP(1+ 1

Ti s+Td s)

kP+ki

1

s+kd s



w postaci standardowejz różniczkowaniem idealnym


w postaci równoległejz różniczkowaniem idealnym



kP(1+ 1

Ti s+

Td s

Ts+1)

kP+ki

1

s+kd

s

Ts+1



w postaci standardowejz różniczkowaniem

rzeczywistym


w postaci równoległejz różniczkowaniem

rzeczywistym


Regulator PIDpostać standardowa

z różniczkowaniem idealnym

1

+

+

1

Ti skP

T d s

+


Regulator PIDpostać równoległa

z różniczkowaniem idealnym

+

+

ki

1

s

kP

kd s

+


Regulatory - odpowiedzi na wymuszenia skokowe

u(t)REGULATOR

sygnał sterujący

e(t)

błąd sterowani

a

?


Regulator proporcjonalny (P)

G(s)=K p

K p x0

x0

wejście

wyjście

czas


Regulator całkujący (I)

Ti

G(s)=1

Ti s

x0

czas

wejście

wyjście


Regulator proporcjonalno-całkujący (PI)

czasTi

G(s)=Kp(1+1

Ti s)

K p x0

x0

2 K p x0

wejście

wyjście


G(s)=T d s

+ ∞

x0

Regulator różniczkujący idealny (D)

czas

wejście

wyjście


G(s)=T d s

x0

Δ t

Regulator różniczkujący idealny (D)

czas

wejście

wyjście

sygnały dyskretne

Td

x0

Δ t


Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD)

czas

wejście

wyjście

G(s)=KP (1+T d s)+ ∞

x0

K p x0


Regulator różniczkujący rzeczywisty (D)

czas

wejście

wyjście

G(s)=Td s

T s+1

x0

T

umax=x0

Td

T

0,368umax

T T

0,135umax

0,05umax


Regulator proporcjonalno-różniczkujący rzeczywisty (PD)

czas

wejście

wyjście

G(s)=Kp(1+T d s

T s+1)

x0

K p x0

KP x0(1+Td

T )


Regulator PID w postaci standardowejz różniczkowaniem idealnym

czas

wejście

wyjście

G(s)=Kp(1+1

Ti s+T d s)

x0

K p x0

2 K p x0

Ti

+ ∞


czas

wejście

wyjście

G(s)=K p(1+1

Ti s+

T d s

T s+1)

x0

K p x0

KP x0(1+Td

T )2 K p x0

Ti

Regulator PID w postaci standardowejz różniczkowaniem rzeczywistym


regulator PIDcharakterystyka działania

Czynnik proporcjonalny – zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu;

Czynnik całkujący – akumuluje błędy; niezerowy błąd powoduje wzrost sygnału sterującego, co zazwyczaj pomaga osiągnąć wartość zadaną; sygnał sterujący jest uzależniony od wcześniejszego przebiegu błędów; problem nasycenia całkowania; wygładza zakłócenia;

Czynnik różniczkujący – reaguje na zmiany wartości błędu; przy stałym błędzie generuje zerowy sygnał sterujący; sygnał sterujący wynika z trendu przyszłego błędu; czynnik bardzo podatny na zakłócenia;


regulator PIDproblem nasycenia całkowania (integral windup)

Po dużej zmianie wartości zadanej czynnik całkujący może wygenerować bardzo duży sygnał sterujący na skutek długiego akumulowania błędu. Sygnał ten może wręcz osiągnąć maksymalną dopuszczalną wartość. Sygnał sterujący będzie tak duży dopóki wartość zakumulowanego błędu nie zacznie spadać, a to ma miejsce dopiero po osiągnięciu przeciwnego znaku błędu. Działanie układu sterowania jest zatem przez długi czas zablokowane, co niekorzystnie wpływa na zachowanie układu.

Możliwe rozwiązanie problemu: wyłączanie i zerowanie zakumulowanego błędu, jeśli wartość błędu jest poza pewnym małym obszarem wokół zera.


regulator PIDmetody doboru nastawów regulatora

Analityczna Symulacyjna Eksperymentalna

1: wyznaczyć transmitancję

zredukowaną układu sterowania

2: wyznaczyć odpowiedź na

wymuszenie skokowe3: dobrać parametry Kp,

Ki i Kd do uzyskania zadowalającego

kształtu odpowiedzi skokowej

(można badać również odpowiedzi na dowolne

wymuszenia lub charakterystyki Bodego)

1: wyznaczyć transmitancję

zredukowaną układu sterowania

2: dokonać symulacji działania układu dla

dowolnego interesującego nas

wymuszenia3: dobrać parametry Kp,

Ki i Kd do uzyskania zadowalającego

kształtu

Strojenie ręcznelub

metody: Zieglera-Nicholsa

Pessena Cohen’a-Coon’a

Åström’a–Hägglund’a


regulator PIDmetoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej)

1. Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartościwzmocnienia.2. Obserwować odpowiedzi skokowe układu. Przejść do punktu 3 jeślizaobserwuje się niegasnące oscylacje wyjścia układu. Jeśli brak oscylacjilub zanikają, to należy podnieść nieznacznie współczynnik wzmocnienia ipowtórzyć punkt 2.3. Dla uzyskanego w punkcie 2 wzmocnienia krytycznego Kkryti zmierzonego okresu oscylacji Tkryt wyznaczyć nastawy według tabeli:

kp Ti Td

Klasyczna reguła Zieglera-Nicholsa

0,6 Ku 0,5 Tu 0,125 Tu

Wersja Pessen 0,7 Ku 0,4 Tu 0,15 Tu

Bez przeregulowania 0,2 Ku 0,5 Tu 0,333 Tu


regulator PID (równoległy)programowanie (pseudokod)

OBIEKTPID

wartość zadana

sterowanie wyjście

+

– pomiar

błąd

dt = 0.5p_błąd = 0.suma = 0.Kp = 1.Ki = 1.Kd = 1.start:

wartość_zadana = …wartość_zmierzona = …błąd = wartość_zadana – wartość_zmierzonasuma = suma + błąd * dtpochodna = (błąd – p_błąd) / dtwyjście = Kp* błąd + Ki*suma + Kd*pochodnap_błąd = błądwait(dt)goto start


regulator PIDsymulacja

regulator PID w sterowaniu ruchem samochodu


STABILNOŚĆ UKŁADÓW AUTOMATYKI


Ogólny warunek stabilności

Kryterium Hurwitz

Kryterium Nyquista

Kryteria stabilności


Ogólny warunek stabilności

Re p1<0 ∧ Re p2<0 ∧ ... ∧ Re pn<0

Układ liniowy o jednym wejściu i jednym wyjściujest stabilny, jeśli części rzeczywiste wszystkichbiegunów jego transmitancji są mniejsze odzera.

G (s)=(s − z1)(s − z2)...( s − zm)

( s − p1)(s − p2)...( s − pn)


Wykład 13

Kryteria stabilności.Zapas modułu i zapas fazy.

Korekcja układów automatyki.



Kryterium Hurwitza

Układ liniowy typu SISO o transmitancji

an>0 , an − 1>0 , ... , a1>0 , a0>01

2

M n=[ an − 1 an 0 0 0 0

an − 3 an − 2 an − 1 an 0 0

an − 5 an − 4 an − 3 . . .

. . . . . . 0 0 0 a0 a1 a2

0 0 0 0 0 a0

]Δ2 Δ3 Δn − 1

detΔ2>0

detΔ3>0

...detΔn − 1>0

- wiodące minory głównei-tego rzędu macierzy Hurwitza

Δi

G (s)=bm s

m+bm − 1 s

m − 1+...+b1 s+b0

an sn+an − 1 s

n − 1+...+a1 s+a0

=(s − z1)(s − z2)...(s − zm)

(s − p1)(s − p2)...(s − pn)

jest stabilny, jeżeli: sprawdzamy od n>2


Kryterium Nyquista

G1(s)

G2(s)

+

–

G1 G2 = − 1Niestabilny,

gdy:ω=0

Re Gotw

Im G otw

ω → − ∞

ω → + ∞-1

Gz (s)=Y ( s)

X (s)=

G1(s)

1+G1(s)G2(s)

A(s)

X(s) Y(s)G1(s)

G2(s)

Gotw(s)=A(s)

X (s)=G1(s)G 2(s)

Y(s)X(s)

A(s)


Kryterium Nyquista (szczególne)

Układ zamknięty ze sprzężeniem zwrotnym jest stabilny, jeżeli:1) układ otwarty jest stabilny i

2) wykres Nyquista układu otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0).// punkt (-1,j0) jest po lewej stronie idąc wzdłuż charakterystyki //

ReGotw

Im Gotw

ReGotw

Im Gotw

-1 -1

układ zamknięty

stabilny

układ zamknięty niestabilny


Zapas modułu

P(ω)

Q(ω)

ΔM

-1

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

φ(ω

) [r

ad] ω [rad/s]

− π

ΔM0

Dodanie do układu (szeregowo) wzmocnienia o wartości zapasu modułu spowoduje utratę jego stabilności w czasie pracy ze sprzężeniem zwrotnym.


Zapas fazy

P(ω)

Q(ω)

-1

Δφ

L(ω

) [d

B]

ω [rad/s]

φ(ω

) [r

ad] ω [rad/s]

− πΔφ

0

Dodanie do układu (szeregowo) obiektu opóźniającego o wartości zapasu fazy spowoduje utratę jego stabilności w czasie pracy ze sprzężeniem zwrotnym.


Wykład 14

Powtórzenie materiału.Informacje o egzaminie.

Ankiety.



Teoria maszyn i podstawy automatyki

semestr zimowy 2017/2018

inżynieria pojazdów elektrycznych i hybrydowych / mechatronika

wykład: 30 godzin

projekt: 15 godzin

ECTS: 2+2

Typ zaliczenia: E / Z1


Warunek dopuszczenia do egzaminu:zaliczenie zajęć projektowych na ocenę co najmniej dostateczną

Warunek zaliczenia zajęć projektowych:Oddanie i przyjęcie przez prowadzącego grupę wszystkich projektów orazuzyskanie co najmniej dostatecznej oceny końcowej

Zasady-studiowania-na-wydziale-SiMR-w-roku-akademickim-2016-2017

“Terminem ustalenia oceny zaliczenia przedmiotu typu „Z1” jest ostatnidzień sesji egzaminacyjnej danego semestru”

“Zaliczenie wchodzących w skład przedmiotu typu „E” ćwiczeń laboratoryjnych lub projektowych może być honorowane w latach następnych na podstawie decyzji osoby odpowiedzialnej za przedmiot.”

UWAGA: osoby z zaliczonym projektem we wcześniejszych latach muszązgłosić to prowadzącemu grupę, w której są formalnie wpisani.

Przed egzaminem proszę sprawdzić prawidłowość oceny z projektu wUSOS (na stronie mogę wstawić zbiorczą listę ocen z projektów).


EGZAMIN – TERMIN 1

1 luty 2018 r. (czwartek)

11:45 – otwarcie sali

12:00-12:10 – sprawy organizacyjne

12:10-13:00 – pisanie egzaminu

od 13:25 – egzamin grupy angielskiej

5 luty 2018 r. (poniedziałek)

do 12:00 – publikacja wyników egzaminu na stronie

internetowej http://myinventions.pl/dydaktyka/

12:00-14:00 – możliwość wpisu oceny do indeksu


EGZAMIN – TERMIN 2

8 luty 2018 r. (czwartek)

11:45 – otwarcie sali

12:00-12:10 – sprawy organizacyjne

12:10-13:00 – pisanie egzaminu

od 13:30 – egzamin grupy angielskiej

do 11 luty 2018 r. (niedziela) do godz 23:59

publikacja wyników egzaminu na stronie internetowej

http://myinventions.pl/dydaktyka/

oraz ostateczne wpisanie ocen do USOS

12 luty 2018 r. (poniedziałek) – możliwość wpisu oceny

do indeksu (dokładniejsze godziny będą podane na stronie)


EGZAMIN – WAŻNE UWAGI

Na egzaminie należy obowiązkowo na ławce położyć indeks lub legitymację.

Brak oceny z projektu w USOS = egzamin nie będzie sprawdzany.

Proszę nie tracić czasu na pierwszy termin egzaminu jeśli jest się nieprzygotowanym.

Proszę pisać na papierze formatu A4 (czytelnie; najlepiej na papierze podaniowym). Każdy musi oddać pracę.

Absolutny zakaz używania urządzeń elektronicznych podczas egzaminu (telefony, zegarki smart, kalkulatory).

conajmniej 2 osoby pilnujące na sali – przyłapanie na ściąganiu oznacza zakończenie egzaminu z oceną 2.

Tematy egzaminacyjne będą dyktowane i wyświetlane.

Niezbędne elementy z tabeli transformat będą wyświetlone.


EGZAMIN – WAŻNE UWAGI

Tematy egzaminu będą oceniane na punkty w zależności od trudności.

Ocena z egzaminu wyliczona zostanie na podstawie uzyskania sumarycznej liczby punktów w zakresie:

< 50% - ocena 2

51%-60% - ocena 3,0

61%-70% - ocena 3,5

71%-80% - ocena 4,0

81%-90% - ocena 4,5

>90% - ocena 5,0

Ocena końcowa z przedmiotu = średnia arytmetyczna ocen z projektu i egzaminu (jeśli i projekt i egzamin zaliczone).


EGZAMIN

Egzamin pisemny sprawdzający wiedzęi umiejętności zdobyte na wykładzie.

PROGRAM WYKŁADU

1. Mechanizmy – ruchliwość, prędkości i przyspieszenia, dynamika.2. Dynamika maszyn – redukcja układu, równanie ruchu maszyny, koło zamachowe.3. Podstawowe obiekty automatyki i ich charakterystyki.4. Schematy blokowe.5. Regulatory.6. Stabilność.


Plan na wykład nr 15

Współczesne problemy teorii sterowania.

prezentacja doświadczenia.

Konsultacje.

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn...

Documents

Transcript of Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn...