0

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

M a c i e j G u c m aJ a k u b M o n t e w k a

PODST AWY MOR SKIEJNAW IGA CJ I I NE RCY J NE J

Szczecin 2006

q, M

1

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Maciej GucmaJakub Montewka

PODSTAWY MORSKIEJNAWIGACJI INERCYJNEJ

Szczecin 2006

2

Autorzy:Jakub Montewka: cz IMaciej Gucma: cz II

REDAKCJA NACZELNA

Redaktor naczelny

prof. dr hab. in . Bernard Wi niewski

Komitet Naukowy

prof. dr hab. in . Bernard Wi niewskidr hab. in . Zbigniew Matuszak, prof. AM

Komitet Wydawnictw Dydaktycznych

dr in . kpt. .w. Jerzy Hajduk, prof. AMdr hab. in . Ruta Le mian-Kordas, prof. AM

dr hab. in . Jerzy Listewnik, prof. AM

RECENZENT

dr hab. in . Cezary Specht, prof. AMW

REDAKTOR MERYTORYCZNY

dr in . kpt. .w. Jerzy Hajduk, prof. AM

© Copyright by Akademia Morska, Szczecin 2006

ISBN–10 83-89901-20-XISBN–13 978-83-89901-20-0

3

Spis tre ci

Wst p ……………………………………………………………………….… 5

Cz I

Nawigacja inercyjna

Spis najwa niejszych symboli wykorzystanych w cz ci I ……….………… 9Wprowadzenie ……………………………………………………………..… 111. Uk ady odniesienia w nawigacji inercyjnej ……………………….……… 13

1.1. Uk ad inercyjny ………………………………………….…...……… 141.2. Uk ad geograficzny …………………………………….……...…..… 151.3. Uk ad geocentryczny …………………………………….……..…… 151.4. Uk ad geodezyjny …………………………………….…..……….… 151.5. Uk ad zwi zany z obiektem ………………………………...……..… 16

2. Transformacja wektora po enia do wybranego uk adu odniesienia ……. 163. Klasyfikacja uk adów nawigacji inercyjnej ………………………………. 22

3.1. Uk ady kardanowe …………………………………….…………..… 223.2. Uk ady bezkardanowe …………………………………….…..…...… 26

4. Systemy nawigacji inercyjnej INS – Inertial Navigation Systems ……….. 274.1. Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacji inercyjnej ………………………………………….…………………. 284.2. Okre lanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej ………………. 304.3. Ustawianie po enia pocz tkowego ………………………………… 34

5. Zalety i wady uk adów nawigacji inercyjnej ……………………………… 36

Cz II

Budowa i dok adno sensorów inercyjnych

Spis najwa niejszych symboli wykorzystanych w cz ci II ………………… 39Wprowadzenie …………………………………….………………..……… 416. Budowa yroskopów ……………………………………………………… 41

6.1. yroskopy mechaniczne i MEMS …………………………………… 426.2. yroskopy piezoelektryczne (ceramiczne) ………………………….. 45

4

6.3. yroskopy FOG …………………………………….………………... 476.4. yroskopy RLG …………………………………….……………….. 52

7. Budowa akcelerometrów …………………………………….…………… 558. Dok adno sensorów inercyjnych …………………………………….…. 60

8.1. Dok adno yroskopów ………………………..…….….…………. 608.2. Dok adno akcelerometrów …………………………….……….….. 63

9. Dok adno systemu INS ………………………………….……………… 639.1. Procesy stochastyczne w modelowaniu b dów INS ……………….. 649.2. Gaussowski bia y szum ……………………………………………… 669.3. Losowy bias …………………………………….……………………. 689.4. Random Walk …………………………………….………………….. 699.5. Procesy Markowa …………………………………….……………… 709.6. Mo liwe kombinacje procesów losowych w systemach inercyjnych .. 719.7. Analiza Fourierowska i falkowa w zastosowaniach nawigacji

inercyjnej …………………………………….……………………… 7210. Filtracja Kalmana …………………………………….………………….. 75

Literatura …………………………………….………………………………. 79Spis rysunków …………………………………….…………………………. 81

5

Wst p

W nawigacji morskiej zachodzi konieczno estymacji wektora stanu, naelementy którego sk adaj si mi dzy innymi przyspieszenie liniowe oraz pr d-ko k towa badanego obiektu. Warto ci te mo na mierzy w sposób bezpo-redni, u ywaj c wyspecjalizowanych urz dze , takich jak akcelerometry i y-

roskopy, które zwyczajowo nale do grupy urz dze nawigacji inercyjnej.Dziedzina ta w zastosowaniach morskich, domy lnie zarezerwowana dla

celów militarnych, zdobywa coraz wi ksz popularno na gruncie u ytkowni-ków cywilnych. Przyczyn tego stanu rzeczy jest zarówno konieczno wspo-magania dzia ania systemów pozycjonowania, jak i znaczny wzrost pr dko ciobliczeniowej komputerów oraz opracowanie nowych, znacznie ta szych tech-nologii wytwarzania czujników inercyjnych.

Oddana do r k czytelnika ksi ka swoim zakresem obejmuje takie wspó -czesne zagadnienia nawigacji inercyjnej jak:

– opis teoretyczny uk adów odniesie maj cych zastosowanie w nawigacjiinercyjnej,

– klasyfikacja uk adów nawigacji inercyjnej,– ogólne zasady transformacji informacji pochodz cej z uk adów inercyj-

nych,– zasady dzia ania i budowa yrokompasów nawigacyjnych,– funkcjonowanie i konstrukcja akcelerometrów,– opis czynników wp ywaj cych na dok adno pracy uk adów inercyj-

nych.

Zagadnienia poruszane w niniejszej publikacji stanowi jedynie wst p dokonstrukcji i funkcjonowania uk adów inercyjnych w zastosowaniach cywil-nych. Jednym z czynników maj cych wp yw na powstanie tego opracowania jestbrak aktualnej literatury tematu w j zyku polskim, pomimo tak burzliwegow ostatnich latach rozwoju opisywanej dziedziny.

Nowo budowane statki wyposa ane s w ró nego typu uk ady nawigacji iner-cyjnej, st d przekonanie autorów, i w niedalekiej przysz ci znajomo funk-cjonowania takich uk adów i systemów stanie si wymogiem.

Dodatkowym elementem, jaki znalaz swoje miejsce w ksi ce, s przyk a-dowe ceny modu ów nawigacji inercyjnej. Pomimo wyj tkowo szybkiej dezak-tualizacji tego typu informacji, wydaje si , i dla celów porównawczychumieszczenie jej jest uzasadnione.

Ksi ka zawiera zagadnienia teorii i praktyki nawigacji technicznej, a prze-znaczona jest w szczególno ci dla:

6

– pracowników naukowych, zajmuj cych si problematyk nawigacjitechnicznej;

– studentów uczelni morskich ze specjalno ci:nawigacja morska,po owy morskie,in ynieria ruchu morskiego,hydrografia morska;

– osób zawodowo zajmuj cych si implementacj systemów elektronicz-nych na jednostkach p ywaj cych.

Autorzy maj nadziej , e u ytkownik odnajdzie w publikacji poszukiwaneinformacje, a dobór literatury pozwoli na bezpo rednie odniesienie do róde .Wyra amy jednocze nie przekonanie, e wszelkie niedoskona ci, braki orazniespójno ci tego opracowania zostan wykryte przez czytelnika, a wiedz tpodzieli si z autorami, do czego zach camy.

Dzi kujemy Panu Profesorowi Cezaremu Spechtowi za wnikliw recenzji bezcenne uwagi merytoryczne, bez których powstanie tego opracowania by o-by niemo liwe.

Pragniemy podzi kowa wszystkim, którzy w sposób bezpo redni przyczy-nili si do powstania tej publikacji, a w szczególno ci: dr Januszowi Chrzanow-skiemu za wst pn recenzj , dr hab. in . Lucjanowi Gucmie za rady meryto-ryczne i leksykalne, dr in . Paw owi Zalewskiemu za skierowanie naszej uwagina problemy nawigacji inercyjnej, naukowcom z Wydzia u In ynierii Geoma-tycznej Uniwersytetu w Calgary za pomoc w zdobyciu materia ów.

Autorzy

Maciej GucmaJakub Montewka

(m.gucma@am.szczecin.pl)(j.montewka@am.szczecin.pl

jakub.montewka@tkk.fi)

Dedykujemy t ksi naszym Ojcom.

7

Cz I

Nawigacja inercyjna

8

9

Spis najwa niejszych symboli wykorzystanych w cz ci I

r wektor po enia w uk adzie geocentrycznym;biC macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformuj ca

wektor po enia z uk adu b zwi zanego z obiektem (indeksgórny) do uk adu i inercyjnego (indeks dolny);

cos( xR) cosinus kierunkowy k ta pomi dzy osi x uk adu i a osi Ruk adu b;

x, y, z sk adowe wektora obrotu ;warto k ta obrotu uk adu;

nm

wektor trójelementowy pr dko ci k towej obiektu w uk adziegeograficznym wzgl dem uk adu inercyjnego;

ugo wzgl dem po udnika niebieskiego;a przyspieszenie cia a;

F si a oddzia uj ca na cia o o masie m;m masa cia a;ax, ay, az przyspieszenia sk adowe obiektu wzgl dem osi: x, y, z;Vx, Vy, Vz sk adowe pr dko ci liniowej obiektu wzgl dem osi: x, y, z;x(t), y(t), z(t) przebyta droga obiektu wzgl dem osi: x, y, z;dt przedzia czasu, w którym nast puje rejestracja warto ci

przyspiesze (granice ca kowania);vx, vy, vz sk adowe wektora pr dko ci wzgl dem osi: x, y, z;i 1, 2, 3,…, n;

t przedzia czasu okre laj cy cz stotliwo próbkowania –t = ti – t0.

10

11

Wprowadzenie

Podstawowym zadaniem nawigacji jest wyznaczenie pozycji geograficznejobiektu przemieszczaj cego si w przestrzeni trójwymiarowej (3D – ang. threedimensional), w celu bezpiecznego doprowadzenia go do punktu docelowego,z za on dok adno ci i we w ciwym czasie. Zadanie to rozwi zywane jestmetodami autonomicznymi przy zastosowaniu ró nego rodzaju pok adowychurz dze oraz systemów pomiarowych. Pierwszymi wykorzystywanymi do tegocelu urz dzeniami by y kompasy magnetyczne, logi, sekstanty oraz yrokompa-sy. Urz dzenia te umo liwiaj wyznaczenie pozycji obiektu na podstawie po-miaru nat enia pola magnetycznego Ziemi, ci nienia przep ywu wody, po e-nia cia niebieskich, czy sta ych charakterystycznych obiektów na l dzie.

W zale no ci od stosowanych urz dze , nawigacj mo na podzieli na na-st puj ce dzia y:

nawigacja astronomiczna, astronawigacja – jest to nawigacja oparta naobserwacji cia niebieskich, przy dok adnej znajomo ci bie cego czasu;nawigacja terrestryczna – jest to nawigacja morska oparta na obserwacjiznaków nawigacyjnych i innych charakterystycznych obiektów znajdu-

cych si na wybrze u, mo liwa na odleg ciach do oko o 20 mil mor-skich;nawigacja zliczeniowa – jest to przybli one okre lenie pozycji statkuwodnego lub powietrznego na podstawie znajomo ci jego ostatniejzmierzonej pozycji oraz kierunku (kursu) i szybko ci ruchu;nawigacja pilotowa – jest to lokalna nawigacja wodna z uwzgl dnieniemznaków nawigacyjnych znajduj cych si na danym akwenie i terenachokalaj cych go, stosowana w otoczeniu portów, na prowadz cych donich torach wodnych oraz w innych oznakowanych miejscach trudnychnawigacyjnie (cie niny, rafy, mielizny, zatopione wraki itp.);nawigacja radiowa, radionawigacja – jest to nawigacja oparta o sygna yradiowe wysy ane przez specjalne nadajniki;nawigacja satelitarna, np.: GPS – jest to nawigacja na podstawie sygna-ów radiowych wysy anych przez sztuczne satelity Ziemi;

nawigacja meteorologiczna, meteonawigacja – jest to nawigacja prowa-dzona dowolnymi metodami, a polegaj ca na prowadzeniu statku szla-kiem najkorzystniejszych warunków meteorologicznych;nawigacja bezw adno ciowa – inercyjna.

We wspó czesnych systemach nawigacji satelitarnej (GNSS – z ang. GlobalNavigational Satellite System) rol punktów odniesienia pe ni satelity, którychpo enie na orbicie w dowolnej chwili czasu uniwersalnego (UTC – ang.

12

Universal Time Coordinated) wzgl dem Ziemi jest znane oraz systematyczniemonitorowane.

Wszystkie systemy nawigacyjne i zwi zane z nimi instrumenty pomiaroweumo liwiaj wyznaczenie pozycji obserwowanej. W nawigacji, oprócz pozycjiobserwowanej, wykorzystuje si równie poj cie pozycji zliczonej i nawigacjizliczeniowej.

Nawigacj zliczeniow nazywane s metody wyznaczania pozycji obiektuw danej chwili na podstawie ostatniej pozycji obserwowanej (pozycji o znanychwspó rz dnych), przebytej drogi obliczanej wed ug wskaza przyrz dów pok a-dowych oraz znanego k ta drogi. W egludze morskiej nawigacj zliczeniowstosowano od dawna, gdy niemo liwe by o wyznaczenie pozycji obserwowanej.Zadaniem uk adów nawigacji zliczeniowej jest wyznaczenie przemieszczeniaobiektu w nawigacyjnym uk adzie wspó rz dnych. Z regu y uk adem tym jestuk ad wspó rz dnych geograficznych. Przyk adem uk adów nawigacji zlicze-niowej s uk ady nawigacji inercyjnej, w których proces zliczenia prowadzonyjest z wykorzystaniem czujników pomiarowych w postaci przyspieszeniomierzyoraz yroskopów. Przyspieszeniomierze wyznaczaj warto ci przyspiesze li-niowych, natomiast yroskopy s do wyznaczania pr dko ci k towych.

Przyspieszeniomierze wyznaczaj warto ci przyspiesze wzgl dnych, gdysamodzielnie nie s w stanie uwzgl dni oddzia ywania si pola grawitacyjnegoZiemi. Przyspieszeniomierz zamontowany na obiekcie umieszczonym na orbiciegeostacjonarnej porusza by si razem z Ziemi , jednak wyliczone warto ci przy-spieszenia oraz pr dko ci obiektu by yby równe zeru. Chc c wyznaczy przy-spieszenia rzeczywiste, wielko ci otrzymane z pomiaru musz zosta skorygo-wane w bloku obliczeniowym uk adu nawigacyjnego o warto przyspieszeniaziemskiego. yroskopy natomiast, w zale no ci od zastosowanych rozwi zasprz towych, wyznaczaj warto ci pr dko ci k towych lub k ty obrotu wzgl -dem danej osi.

Droga, jak przeby obiekt, mo e by wyznaczona na podstawie ca kowaniapr dko ci liniowej lub dwukrotnego ca kowania przyspieszenia obiektu wzgl -dem czasu. K t orientacji przestrzennej (kurs) wyznaczany jest poprzez jedno-krotne ca kowanie pr dko ci k towych obiektu wzgl dem czasu. Metody okre-lania pozycji za pomoc urz dze zawieraj cych elementy pomiarowe, wyko-

rzystuj ce zasady dynamiki Newtona, czyli przyspieszeniomierzy i yroskopów,stanowi istot nawigacji inercyjnej (bezw adno ciowej). W chwili obecnej naj-cz ciej spotykanymi w praktyce uk adami nawigacji zliczeniowej s uk adynawigacji inercyjnej [19], wchodz ce w sk ad systemów nawigacji inercyjnej.

Podstawowymi blokami, wchodz cymi w sk ad systemów nawigacji iner-cyjnej (INS – ang. Inertial Navigation Systems) s :

blok pomiarowy (IMU – ang. Inertial Measurement Unit), sk adaj cy siz czujników: przyspieszeniomierzy (dwa lub wi cej – z regu y trzy czuj-

13

niki) oraz yroskopów (trzech lub wi cej, z regu y stosowane s trzy),zamontowanych na wspólnej platformie;blok obliczeniowy, sk adaj cy si z komputerów nawigacyjnych, któ-rych zadaniem jest modelowanie pola grawitacyjnego Ziemi, ca kowaniesygna ów wyj ciowych z IMU oraz wyznaczanie i kontrolowanie pozy-cji obiektu.

Istnieje wiele modeli uk adów nawigacji inercyjnej, charakteryzuj cych siró nym stopniem skomplikowania, przyj tymi rozwi zaniami konstrukcyjnymiczy dok adno ci , a co za tym idzie równie i cen . Jednak wszystkie te uk adymo na podzieli na dwie podstawowe kategorie:

uk ady kardanowe (ang. gimbaled),uk ady bezkardanowe (ang. strap-down).

W rozdziale tym przedstawiona zostanie ogólna zasada dzia ania oraz bu-dowa uk adów inercyjnych. Przedstawione b tak e podstawowe regu y ma-tematyczne zwi zane z wyznaczaniem po enia oraz parametrów ruchu obiektuza pomoc uk adów nawigacji inercyjnej.

1. Uk ady odniesienia w nawigacji inercyjnej

W nawigacji inercyjnej obiekt traktowany jest jako punkt materialny poru-szaj cy si w nawigacyjnym uk adzie wspó rz dnych. Aby mo liwe by o wy-znaczenie parametrów ruchu tego obiektu, jego po enia oraz u enia w prze-strzeni wyra onego we wspó rz dnych nawigacyjnych, niezb dne jest wyzna-czenie uk adów odniesienia.

Uk adem odniesienia nazywany jest punkt lub uk ad punktów w przestrze-ni, wzgl dem którego okre la si po enie lub zmian po enia (ruch) wybra-nego cia a. Wybrany punkt cz sto wskazuje si poprzez wskazanie cia a, z któ-rym zwi zany jest uk ad wspó rz dnych. Wybór uk adu odniesienia jest warun-kiem opisu ruchu lub spoczynku. Uk ad odniesienia mo na wybra dowolnie,tak, by wygodnie opisa ruch. Z uk adem odniesienia zwi zuje si zazwyczajuk ad wspó rz dnych, z którym bywa czasami mylony [28].

Uk adem odniesienia w nawigacji inercyjnej jest trójwymiarowa przestrzewyznaczana przez uk ad trzech p aszczyzn. Wyró nia si pi zasadniczychuk adów odniesienia (ang. reference frames), z których cztery zwi zane sz przestrzeni , a jeden z obiektem. Ka dy z nich sk ada si z trzech p aszczyznwzajemnie prostopad ych, prawoskr tnych, reprezentowanych przez trzy osie:x, y, z. Ró nice pomi dzy uk adami odnosz si do:

przyjmowanego modelu kszta tu Ziemi (kula lub elipsoida),typu uk adu (kartezja ski lub biegunowy),

14

miejsca, w którym znajduje si rodek uk adu ( rodek Ziemi lub lokal-nie).

W obliczeniach nawigacyjnych, w zale no ci od zastosowanego systemunawigacji inercyjnej (analityczny, pó analityczny, bezkardanowy), przyjmowane

ró ne uk ady odniesienia dobierane w taki sposób, aby w konkretnych zasto-sowaniach zapewni najbardziej wygodny i w ciwy opis obserwowanych pa-rametrów.

Na rysunku 1 przedstawiono wykorzystane w nawigacji uk ady odniesieniaoraz ich wzajemne relacje. Ka dy z uk adów reprezentowany jest przez trzy od-powiednio oznakowane osie.

Rys. 1. Uk ad p aszczyzn odniesienia: inercyjny (x, y, z); geograficzny (xe, ye, ze); geocentryczny (xc, yc, zc); geodezyjny (N, E, D)

ród o: [6].

1.1. Uk ad inercyjny

Uk ad inercyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio: x,y, z i oznaczany wielk liter I, od angielskiego Inertial frame. Uk ad ten jestpodstawowym uk adem odniesienia z pocz tkiem w rodku Ziemi. Sam uk adpozostaje nieruchomy wzgl dem przestrzeni, co oznacza, e w stosunku dogwiazd nie wykonuje ruchu obrotowego. Osie x, y le w p aszczy nie równika,natomiast o z pokrywa si z osi obrotu Ziemi.

15

1.2. Uk ad geograficzny

Uk ad geograficzny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowied-nio: xe, ye, ze i oznaczany wielk liter E, od angielskiego Earth frame. W uk a-dzie tym Ziemia ma kszta t kuli, wi c odleg obiektu znajduj cego si na jejpowierzchni od rodka Ziemi jest sta a. Osie g ówne uk adu le na kierunkach:pó nocnym, wschodnim oraz wzd wektora prostopad ego do powierzchniZiemi.

Uk ad geograficzny jest uk adem biegunowym, którego naturalnym rod-kiem jest rodek Ziemi. Wspó rz dne obiektu wyznaczane s poprzez:

ugo geograficzn g,szeroko geograficzn g,wysoko nad powierzchni odniesienia hg.

1.3. Uk ad geocentryczny

Uk ad geocentryczny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowied-nio: xc, yc, zc i oznaczany wielk liter C. Wed ug nomenklatury angloj zycznejokre lany jest mianem geocentric frame.

Uk ad ten aproksymuje kszta t Ziemi elipsoid obrotow . Jest to uk ad bie-gunowy z pocz tkiem w rodku ci ko ci Ziemi. O z skierowana jest wzd li-nii cz cej obiekt ze rodkiem Ziemi, o y skierowana jest na wschód, natomiast

x le y w p aszczy nie po udnika lokalnego. Po enie obiektu okre lane jestprzez wspó rz dne geocentryczne:

ugo geocentryczn gc,szeroko geocentryczn gc,wektor odleg ci od rodka Ziemi Rgc.

Ze wzgl du na przyj ty model odwzorowania powierzchni Ziemi, odlegpunktu od rodka Ziemi zale y od pozycji tego punktu na elipsoidzie.

1.4. Uk ad geodezyjny

Uk ad geodezyjny opisywany jest przez trzy osie, oznaczone odpowiednio:N, E, D i oznaczany wielk liter N. Wed ug nomenklatury angloj zycznej okre-lany jest mianem geografic frame. Podobnie jak w przypadku uk adu geocen-

trycznego, uk ad geodezyjny aproksymuje kszta t Ziemi elipsoid obrotowi równie jest to uk ad biegunowy. Uk ady geodezyjny i geocentryczny ró nisi natomiast po eniem rodka uk adu, gdy rodek uk adu geodezyjnegoznajduje si na przeci ciu p aszczyzny równikowej z lini prostopad do elipso-idy w punkcie pomiarowym.

16

Parametry okre laj ce pozycj w tym uk adzie to:ugo geodezyjna c,

szeroko geodezyjna c,wektor odleg ci od rodka uk adu Rc.

1.5. Uk ad zwi zany z obiektem

Uk ad zwi zany z obiektem opisywany jest przez trzy osie, oznaczone od-powiednio: R, P, Y i oznaczany wielk liter B. Wed ug nomenklatury angloj -zycznej uk ad okre lany jest mianem Body frame. W sk ad tego uk adu wchodztrzy p aszczyzny reprezentowane przez trzy osie obrotu obiektu: ko ysanie R(ang.: roll), kiwanie P (ang.: pitch), myszkowanie Y (ang.: yaw) (rys. 2).Pocz tek uk adu znajduje si w rodku ci ko ci obiektu, uk ad jest kartezja ski,prawoskr tny. W porównaniu z wcze niej przedstawionymi uk adami, ten jestodr bny, gdy nie odnosi si do Ziemi. Trzy p aszczyzny uk adu zwi zanez obiektem pozwalaj jedynie na wyznaczenie po enia oraz u enia obiektuwzgl dem jego po enia pocz tkowego. Wyznaczenie pozycji geograficznejw tym uk adzie nie jest mo liwe.

Rys. 2. Uk ad odniesienia zwi zany z obiektem [R, P, Y] (body frame)ród o: opracowanie w asne.

2. Transformacja wektora po enia do wybranego uk aduodniesienia

Wektor po enia obiektu w przestrzeni trójwymiarowej jest wektoremtrójelementowym, a po enie punktu opisywane jest przez trzy wspó rz dne

P

Y

R

17

(x, y, z). Jednak nie ka dy wektor po enia umo liwia wyznaczenie pozycjigeograficznej obiektu.

Wektor po enia wyznaczony we wspó rz dnych lokalnych nie b dzie za-wiera informacji o pozycji geograficznej obiektu. Chc c uzyska tak informa-cj nale y przeprowadzi transformacj wektora po enia do odpowiedniegouk adu odniesienia. Transformacja w uk adach nawigacji inercyjnej dokonywanajest w sposób ci y przez komputer pok adowy. Algorytmy obliczeniowe opar-te s przede wszystkim na rachunku macierzowym.

Orientacja przestrzenna obiektu opisywana jest przez co najmniej trzy nie-zale ne parametry. Najbardziej obrazowym opisem s k ty wzgl dnego obroturozpatrywanych uk adów wspó rz dnych. Jednym ze sposobów opisu orientacjiobiektu w przestrzeni jest macierz i

bC cosinusów kierunkowych k tów obrotuwersorów* uk adu wspó rz dnych zwi zanego z obiektem, do uk adu wspó -rz dnych nawigacyjnych.

W podrozdzia ach przedstawione zostan podstawy teoretyczne zwi zanez problemem transformacji wektora po enia oraz przyj te oznaczenia i no-menklatura dotycz ca tego zagadnienia [6, 12].

Wektor

Wektory opisuj ce po enia obiektu, jego pr dko liniow , k tow lubinne stany obiektu, oznaczane s pogrubion , ma liter :

r – wektor po enia w uk adzie geocentrycznym.

Macierz kolumnowa

Wektor zwi zany z danym uk adem odniesienia i opisywany przez wspó -rz dne (x, y, z), mo na zapisa jako macierz jednokolumnow (column matrix –CM). Indeks górny macierzy (i) wskazuje na typ uk adu odniesienia. W tymwypadku jest to uk ad inercyjny:

, ,x

iy x y z

z

rr r r r r

r (1.1)

* Wersor, inaczej wektor jednostkowy – wersorem dla wektora a jest wektor a° o tymsamym kierunku i zwrocie, jednak d ugo ci 1. Wersory o kierunkach i zwrotach zgod-nych z osiami prostok tnego uk adu wspó rz dnych OX, OY, OZ oznacza si tradycyj-nie symbolami i, j, k.

18

W przypadku zapisu macierzowego wektora po enia, indeks górny, in-formuj cy o typie uk adu jest pomijany. Poszczególne parametry wektora posia-daj natomiast indeksy dolne, nomenklaturowo zwi zane z danym uk adem. Wwypadku inercyjnego uk adu odniesienia s to indeksy x, y, z. Inny typ zapisu(wspó rz dne wektora uj te w klamr ) informuje, i wektor odnosi si do uk aduinercyjnego.

Transformacja wspó rz dnych

Wektor po enia obiektu w danym uk adzie wspó rz dnych, zapisanyw formie macierzy kolumnowej mo e by transformowany do innego uk adudzi ki zastosowaniu macierzy cosinusów kierunkowych (direction cosine matrix– DCM).

W poni szym przyk adzie dokonywana jest transformacja bezpo rednia –z uk adu zwi zanego z obiektem, reprezentowanego przez indeks b do uk aduinercyjnego – indeks i:

i b biCr r (1.2)

gdzie:biC macierz cosinusów kierunkowych (DCM), transformuj ca wektor po-

enia z uk adu b zwi zanego z obiektem (indeks górny) do uk adu iinercyjnego (indeks dolny).

W celu wyznaczenia pozycji geograficznej mo na tak e dokonywa trans-formacji wielokrotnej, przechodz c pomi dzy kilkoma uk adami. W przyk adzietransformowany jest wektor rb do wektora ri, przechodz c kolejno z uk aduzwi zanego z obiektem do uk adu horyzontalnego (Cn

b), a nast pnie z uk aduhoryzontalnego do uk adu inercyjnego (Ci

n):

i n b bi nC Cr r (1.3)

W przypadku transformacji macierzowych istotna jest kolejno wykony-wania dzia , gdy iloczyn macierzowy nie jest przemienny W niektórychprzypadkach zapis w odwrotnej kolejno ci mo e spowodowa , i dzia ania bniewykonalne:

n b b b n bi n n iC C C Cr r (1.4)

19

Macierz cosinusów kierunkowych definiowana jest jako tablica sk adaj casi z dziewi ciu wielko ci, zwi zanych ze sob dodatkowymi zale no ciami[19]:

)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos(

zYzPzR

yYyPyR

xYxPxRRPYxyz

bi CC (1.5)

gdzie:biC macierz cosinusów kierunkowych (DCM),

)cos( xRcosinus kierunkowy k ta pomi dzy osi x uk adu i a osi Ruk adu b.

W przypadku, gdy dwa rozpatrywane uk ady s wzajemnie prostopad e, zacho-dzi zale no :

Tbi

ib CC (1.6)

Podstawow wad opisu orientacji przestrzennej za pomoc macierzy cosi-nusów kierunkowych jest du a liczba parametrów i dodatkowych zwi zkówmi dzy nimi, co opó nia obliczenia prowadzone w czasie rzeczywistym.

Zyskuj cym ostatnio na popularno ci sposobem opisu transformacji wspó -rz dnych w uk adach nawigacyjnych, umo liwiaj cym szybkie przeliczaniewektora stanu, jest rachunek oparty na kwaternionach, które traktowane s jakowielko ci opisuj ce obrót uk adu o k t . Warto ci kwaternionu znajduj sizawsze w przedziale [–1, 1], co znacznie u atwia i przyspiesza obliczenia nume-ryczne.

Ze wzgl du na liniowo równa , brak funkcji trygonometrycznych i sto-sunkowo niewielk liczb parametrów, zastosowanie ich w algorytmach obli-czeniowych otwiera nowe mo liwo ci rozwojowe urz dze nawigacji inercyj-nej.

Kwaterniony s wielko ciami definiowanymi przez cztery parametry: q1, q2,q3, q4, gdzie sk adowe: q1, q2, q3 opisuj po enie chwilowej osi obrotu uk adu,natomiast parametr q4 okre la warto k ta obrotu. Sk adowe kwaternionu s dosiebie wzajemnie prostopad e, czyli spe niaj warunek ortogonalno ci:

124

23

22

21 qqqq (1.7)

20

Poni sze wzory prezentuj podstawowe zale no ci mi dzy wielko ci kwa-terionu a po eniem uk adu:

1

2

3

4

sin( )2

sin( )2

sin( )2

cos( )2

x

y

z

q

q

q

q

(1.8)

1

2

3

4

sin( )2

sin( )2

sin( )2

cos( )2

x

y

z

qqqq

q (1.9)

2 2 2x y z (1.10)

gdzie:x, y, z sk adowe wektora obrotu ,

warto k ta obrotu uk adu.

Pr dko k towa

Pr dko k towa jednego uk adu wzgl dem innego wyra ana jest w formiemacierzy kolumnowej. Indeks dolny macierzy informuje o kierunku obrotuuk adu:

, ,bib R P Y (1.11)

Powy szy zapis informuje o obrocie uk adu zwi zanego z obiektem (b)wzgl dem uk adu inercyjnego (i) wyra onego we wspó rz dnych uk adu b.

q

21

Dzi ki przedstawieniu pr dko ci k towych w formie wektorowej, transformacjatych wielko ci pomi dzy uk adami odniesienia dokonywana jest analogiczniejak w przypadku wektora po enia.

ib in nb (1.12)

Zmiana kierunku obrotu uk adu skutkuje zmian znaku wektora lub zmiankolejno ci indeksów tego wektora:

ib bi (1.13)

Transformacja wektora pr dko ci k towej

Transformacja wektora pr dko ci k towej pomi dzy uk adami wspó rz d-nych dokonywana jest w sposób analogiczny jak w przypadku wektora po e-nia. W celu uproszczenia oblicze niezb dne jest uj cie wektora w formiemacierzy symetrycznej. Macierz taka opisywana jest symbolem , gdzie ozna-czenia indeksów pozostaj bez zmian:

b bib ib (1.14)

00

0

R Y P

P Y R

Y P R

(1.15)

Poni sza zale no przedstawia transformacj wektora pr dko ci k towychobiektu wyra onego w formie macierzy s y m et r y cz n e j , przedstawionegow uk adzie odniesienia zwi zanym z obiektem ( b

ib ) do uk adu inercyjnego

( iib ):

bi

bib

ib

iib CC (1.16)

Wielko ci mierzone oraz wyliczane

W celu unikni cia pomy ek zwi zanych z nomenklatur , nale y rozró niparametry bezpo rednio mierzone przez urz dzenie oraz wielko ci podawane ja-ko wynik ko cowy. Warto ci mierzone bezpo rednio przez czujniki, takie jaktrójelementowy wektor pr dko ci k towych, wzgl dem uk adu zwi zanegoz obiektem, podawane jako sygna wyj cia z trójosiowego yrokompasu, ozna-czane s znakiem (~) np.: b

ib :

22

, ,bib R P Y (1.17)

Wielko ci wyliczane przez urz dzenie, na podstawie parametrów zmierzo-nych bezpo rednio przez czujniki oraz po uwzgl dnieniu problemów geome-trycznych zwi zanych z transformacj , oznaczane s symbolem (^) np.: ˆ n

in :

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ cos , , sinnin L L L (1.18)

gdzie:

ˆ nin

wektor trójelementowy pr dko ci k towej obiektu w uk adziegeograficznym, wzgl dem uk adu inercyjnego,

ugo wzgl dem po udnika niebieskiego,ddt

pierwsza pochodna parametru wzgl dem czasu,

L ugo geograficzna,

dtdLL pierwsza pochodna parametru L wzgl dem czasu.

3. Klasyfikacja uk adów nawigacji inercyjnej

Systemy uk adów nawigacji inercyjnej mo na podzieli na dwie grupy we-ug nast puj cej systematyki [6, 19]:

1. Uk ady kardanowe:a) uk ady geometryczne,b) uk ady analityczne – system INS stabilizowany przestrzennie (ang.

SSINS – Space Stabilized INS),c) uk ady pó analityczne – system INS stabilizowany lokalnie (ang.

LLINS – Local Level INS),2. Uk ady bezkardanowe – system INS zwi zany na sta e z uk adem (ang.

SINS – Strapdown INS).

3.1. Uk ady kardanowe

Uk ady kardanowe sk adaj si z dwóch podstawowych elementów:zewn trznej ramki zbudowanej z trzech lub czterech pier cieni wza-jemnie prostopad ych tworz cych tzw. zawieszenie kardanowe;platformy czujników umieszczonej wewn trz ramki, na której zamon-towane s trzy przyspieszeniomierze oraz trzy yroskopy.

23

Charakterystyka zawieszenia kardanowego umo liwia utrzymanie platfor-my w sta ym po eniu wzgl dem wybranego uk adu wspó rz dnych, bezwzgl du na wychylenia obiektu we wszystkich trzech p aszczyznach. W uk a-dach kardanowych platforma zmienia po enie wzgl dem p aszczyzn obiektu,gdy ten wykonuje manewr. W grupie uk adów kardanowych mo na wydzieli dwie podgrupy:

uk ady stabilizowane przestrzennie, gdzie platforma zachowuje sta epo enie wzgl dem przestrzeni;uk ady stabilizowane lokalnie, gdzie platforma czujników utrzymywa-na jest w zadanej p aszczy nie lokalnej na podstawie informacji o k -tach obrotu obiektu wzgl dem przestrzeni otrzymywanych z yros-kopów. Uk ady te posiadaj dodatkowo p tle sprz enia zwrotnegoz serwomechanizmem, który powoduje odchylenie platformy wzgl -dem zawieszenia kardanowego oraz przestrzeni o k t obrotu zarejes-trowany przez yroskopy, jednocze nie utrzymuj c platform w p asz-czy nie lokalnej.

Uk ady kardanowe by y pierwszymi uk adami nawigacji inercyjnej, pow-sta y i rozwija y si w okresie, gdy przetwarzanie sygna ów z czujnika w czasierzeczywistym, ze wzgl du na niewielkie mo liwo ci obliczeniowe ówczesnychmaszyn cyfrowych, nie by o jeszcze mo liwe. Na rysunku 3 schematycznieprzedstawiono kardanowy uk ad nawigacji inercyjnej.

Rys. 3. Kardanowy uk ad nawigacji inercyjnejród o: [6].

24

Uk ady geometryczne

Elementami sk adowymi uk adów geometrycznych s dwie platformy, któ-re w czasie ruchu obiektu zmieniaj po enie zarówno wzgl dem siebie, jaki wzgl dem obiektu. Na jednej z platform umieszczone s yroskopy, na drugiejprzyspieszeniomierze. P aszczyzna yroskopów orientowana jest wzgl demuk adu równikowego (inercyjnego, przestrzennego), natomiast p aszczyzna ak-celerometrów – wzgl dem lokalnego uk adu horyzontalnego.

W uk adach geometrycznych, wp yw obrotu Ziemi oraz obiektu na p asz-czyzn yrokompasów i akcelerometrów jest kompensowany, dzi ki czemu k -ty, jakie tworz ze sob obie te p aszczyzny, odwzorowuj szeroko oraz d u-go geograficzn pozycji, w której znajduje si obiekt.

W uk adach analitycznych oraz pó analitycznych wyst puje tylko jednaplatforma, na której umieszczone s yroskopy oraz przyspieszeniomierze. Plat-forma ta zmienia swoj orientacj przestrzenn wzgl dem obiektu. Uk ady ró -ni si ustawieniem platformy wzgl dem przestrzeni.

Uk ady analityczne – uk ady INS stabilizowane przestrzennie

Osie czujników zamontowanych w uk adach stabilizowanych przestrzenniepozostaj przez ca y czas pracy zgodne z osiami uk adu inercyjnego. Oznacza to,e uk ad (platforma z czujnikami) utrzymuje sta e po enie wzgl dem prze-

strzeni, niezale nie od po enia i u enia obiektu.Ka de odchylenie obiektu od osi uk adu inercyjnego, wyznaczone przez

czujniki, kompensowane jest poprzez odpowiednie odchylenie platformy, takaby osie g ówne uk adu wci pozostawa y zgodne z osiami uk adu przestrzen-nego.

Zasad dzia ania, na której opieraj si uk ady analityczne, przedstawionoschematycznie na rys. 4.

W punkcie startowym A, uk ad horyzontalny (D, E) oraz uk ad przestrzenny(Zi, Xi) s ze sob zbie ne, co oznacza, e ich osie pokrywaj si . W trakcieprzemieszczania si obiektu do punktu B, uk ad lokalny wykonuje obrót wzgl -dem uk adu przestrzennego. Zmierzona przez yroskopy zmiana po eniaobiektu wzgl dem uk adu przestrzennego powoduje obrót platformy o warto

ta zarejestrowan przez yroskopy. W ten sposób po enie uk adu wzgl demprzestrzeni pozostaje niezmienne.

Ca kowanie przyspiesze odbywa si w odniesieniu do uk adu przestrzen-nego, a otrzymane w ten sposób dane przeliczane s nast pnie do lokalnegouk adu odniesienia.

Istotn wad systemów inercyjnych stabilizowanych przestrzennie jest fakt, czujniki przyspiesze oraz yrokompasy poddawane s dzia aniu zmiennego

pola grawitacyjnego.

25

Rys. 4. System INS stabilizowany przestrzennieród o: [27].

Uk ady pó analityczne uk ady INS stabilizowane lokalnie

Pó analityczne uk ady nawigacji inercyjnej charakteryzuj si tym, e plat-forma, na której znajduj si yroskopy i przyspieszeniomierze utrzymywanajest w p aszczy nie horyzontu lokalnego [19]. Oznacza to, e wzgl dem uk aduprzestrzennego platforma pozostaje w ci ym ruchu.

Na rysunku 5 przedstawiono schematycznie zasad dzia ania uk adów sta-bilizowanych lokalnie. O skr tu yroskopu oraz o czu ci przyspieszeniomie-rza le w p aszczy nie rysunku. yroskop zachowuje sta e po enie w prze-strzeni, natomiast platforma z przyspieszeniomierzami, utrzymuj c sta e po e-nie wzgl dem uk adu lokalnego, zostaje odchylona od po enia poziomegoo k t . Zaburzenie takie jest równowa ne przemieszczeniu uk adu o odleg Swzd powierzchni Ziemi. Ca kowanie przyspiesze oraz obliczenia nawiga-cyjne realizowane s w odniesieniu do uk adu lokalnego.

Zalet systemów inercyjnych stabilizowanych lokalnie jest wzgl dna pro-stota oblicze , nie wymagaj ca transformacji wspó rz dnych z uk adu prze-strzennego do uk adu lokalnego. Wad natomiast s b dy systemów, wyst pu-

ce na du ych szeroko ciach geograficznych, szczególnie w rejonach podbie-gunowych.

Zi

DXi

D

E

A

E

Zi

B

Zi

Xi

Xi

dS

26

Rys. 5. System INS stabilizowany lokalnieród o: opracowanie w asne.

3.2. Uk ady bezkardanowe

Uk ady bezkardanowe nawigacji inercyjnej sk adaj si z bloku czujników,czyli trzech przyspieszeniomierzy i trzech yroskopów, zamocowanych nieru-chomo wzgl dem obiektu oraz pok adowych komputerów nawigacyjnych [12].Uk ady te, w porównaniu z uk adami kardanowymi, charakteryzuj si prostszbudow , gdy nie zawieraj adnych elementów ruchomych, konieczne jest na-tomiast stosowanie wi kszych mocy obliczeniowych, aby z odpowiedni szyb-ko ci uzyskiwa na bie co pe ne informacje nawigacyjne. Dodatkow funkcjpe ni komputery nawigacyjne, modeluj ce przestrze trójwymiarow oraz roz-wi zuj ce równania dotycz ce ruchu platformy we wszystkich sze ciu stopniachswobody, w celu transformowania po enia obiektu do uk adu geograficznego.W uk adach kardanowych transformacja dokonywana by a cz ciowo mecha-nicznie dzi ki zastosowaniu zawieszenia kardanowego. W uk adach strap-downrealizowane jest to poprzez modelowanie matematyczne, wi ksze musz bytak e zakresy pomiarowe zastosowanych czujników. Jednak wraz z rozwojemtechnik komputerowych oraz zwi kszaniem mo liwo ci obliczeniowych maszyncyfrowych, uk ady bezkardanowe stopniowo zast puj uk ady kardanowe.

Na rysunku 6 przedstawiono schemat pojedynczego uk adu bezkardanowe-go sk adaj cego si z bloku trzech akcelerometrów i trzech yroskopów. Osieczujników zorientowane s zgodnie z osiami po enia obiektu, na którym uk adjest zainstalowany. Pomiary przyspiesze oraz kierunku dokonywane s wzgl -dem uk adu zwi zanego z obiektem, natomiast parametry ruchu obiektu oraz je-

Zi

DXi

D

E

A

EB

Zi

Xi

a

dS

a

27

go po enie wyliczane s na bie co w komputerze pok adowym, poprzeztransformacj parametrów do uk adu geograficznego.

Rys. 6. Bezkardanowy uk ad nawigacji inercyjnej typu strap-downród o: [12].

W uk adzie mo na wyró ni dwa podstawowe tory:tor pr dko ci k towych mierzonych przez yroskopy,tor przyspiesze mierzonych przez przyspieszeniomierze.

W chwili obecnej systemy oparte na uk adach kardanowych ust puj miej-sca systemom, w których zainstalowano uk ady typu strap down. Wskazywany-mi w literaturze [12, 19] zaletami tych ostatnich s :

prostota budowy,brak ruchomych elementów mechanicznych,ma y pobór mocy,wi ksza odporno na przeci enia w porównaniu z uk adami kardano-wymi,natychmiastowa gotowo do pracy.

Wad ich jest skomplikowany sposób oraz intensywno oblicze nume-rycznych wykonywanych w czasie rzeczywistym, wymagaj ce du ych mocy ob-liczeniowych. Jednak dzi ki dynamicznemu rozwojowi technologii komputero-wych oraz miniaturyzacji, wymagania sprz towe nie s ju przeszkod w rozwo-ju tego rodzaju systemów.

4. Systemy nawigacji inercyjnej INS – Inertial NavigationSystems

Metody okre lania pozycji za pomoc urz dze zawieraj cych elementypomiarowe, wykorzystuj ce zasady dynamiki Newtona, czyli przyspieszenio-mierzy i yroskopów, stanowi istot nawigacji inercyjnej, zwanej tak e nawi-gacj bezw adno ciow . Dzia anie systemów inercyjnych opiera si na drugiej

28

zasadzie dynamiki Newtona, wed ug której przyspieszenie cia a jest wprost pro-porcjonalne do oddzia uj cej na to cia o si y, a odwrotnie proporcjonalne do ma-sy tego cia a [6, 17, 21]:

mFa (1.19)

gdzie:a przyspieszenie cia a,

F si a oddzia uj ca na cia o o masie m,m masa cia a.

W systemach nawigacji inercyjnej realizowany jest pomiar przyspieszeoraz k tów obrotu w trzech p aszczyznach (x, y, z). Pomiar przyspiesze doko-nywany jest za pomoc urz dze zwanych przyspieszeniomierzami (akcelero-metrami), natomiast pomiaru k tów obrotu dokonuj yroskopy, zamontowanena pok adzie obiektu (statku, samolotu, samochodu).

Na podstawie analizy danych pochodz cych z pomiaru warto ci si orazpr dko ci k towych poruszaj cego si obiektu, system realizuje proces zlicze-nia, prowadz cy do uzyskania pozycji geograficznej we wspó rz dnych geogra-ficznych ( , , h).

4.1. Wyznaczanie przemieszczenia obiektu w systemach nawigacjiinercyjnej

Pomiar przyspiesze liniowych oraz k towych obiektu dokonywany jestzazwyczaj w lokalnym uk adzie odniesienia, natomiast wyznaczenie pozycjiobiektu wymaga transformacji sk adowych przemieszczenia do uk adu nawiga-cyjnego, pozwalaj cej wyznaczy pozycj geograficzn . Po enie obiektu,wzgl dem uk adu nawigacyjnego nazywane jest orientacj przestrzenn obiektu.

Na podstawie pomiaru przyspieszenia obiektu obliczane jest jego prze-mieszczenie, natomiast k ty orientacji przestrzennej wyznaczane po jednokrot-nym sca kowaniu pr dko ci k towych, pozwalaj na wyznaczenie kursu obiektu.Znajomo pocz tkowej pozycji obserwowanej pozwala natomiast na bardzodok adne wyznaczenie pozycji zliczonej obiektu w chwili t na podstawie obli-czonych warto ci przemieszczenia i k ta [6, 17, 21].

Na rysunku 7 przedstawiono schematycznie zasad wyznaczania parame-trów wektora przemieszczenia obiektu w uk adzie trzech wspó rz dnych (x, y, z).

29

a) b)

Rys. 7. Zasada wyznaczania wektora przemieszczenia obiektuna podstawie ca kowania sk adowych wektora przyspieszenia:

a) wypadkowy wektor przyspieszenia obiektu,b) schemat bloków ca kuj cych przyspieszenia

ród o: [19].

Na rysunku 7 a) liter a oznaczono wypadkowy wektor przyspieszeniaobiektu. Wektor ten wyliczany jest na podstawie wskaza trzech akcelerome-trów, których osie umieszczone s ortogonalnie, czyli wzajemnie prostopadle.Przyspieszeniomierze rejestruj warto ci przyspiesze sk adowych (ax, ay, az)wzgl dem osi uk adu lokalnego (x, y, z). W punkcie b) przedstawiono zasadwyznaczania pr dko ci obiektu oraz przebytej przez obiekt drogi poprzez ca -kowanie przyspiesze sk adowych.

Matematyczne zasady wyznaczania parametrów ruchu obiektu przedstawia- wzory 1.20 – 1.22 [6, 17]:

t

X

t

XX

dttVtx

dttatV

0

0

)()(

)()(

(1.20)

30

t

Y

t

YY

dttVty

dttatV

0

0

)()(

)()(

(1.21)

t

Z

t

ZZ

dttVtz

dttatV

0

0

)()(

)()(

(1.22)

gdzie:ax, ay, az przyspieszenia sk adowe obiektu odpowiednio wzgl dem

osi: x, y, z;Vx, Vy, Vz sk adowe pr dko ci liniowej obiektu odpowiednio wzgl -

dem osi: x, y, z;x(t), y(t), z(t) przebyta droga obiektu odpowiednio wzgl dem osi: x, y, z;dt przedzia czasu, w którym nast puje rejestracja warto ci

przyspiesze (granice ca kowania).

4.2. Okre lanie pozycji w systemach nawigacji inercyjnej

Na podstawie wskaza instrumentów pok adowych, wchodz cych w sk aduk adu nawigacji inercyjnej, otrzymywane s nast puj ce parametry [18, 21]:

kierunek pó nocny, wskazywany przez yrokompas;wskazania wektorowego miernika pr dko ci k towych;wskazania wektorowego miernika przyspiesze ;kierunek pionowy, wskazywany przez si grawitacyjn ;wskazania zegara pok adowego.

Na podstawie wymienionych parametrów, ca kuj c zarejestrowane przy-spieszenia, tworzony jest zbiór dyskretnych warto ci sk adowych wektora pr d-ko ci w chwili ti:

titvtv

titvtv

titvtv

ziz

yiy

xix

0

0

0

(1.23)

31

gdzie:zyx vvv ,, sk adowe wektora pr dko ci wzgl dem osi: x, y, z;

i 1, 2, 3,…, n;

0t moment wyznaczenia ostatniej pozycji obserwowanej;

it moment wyznaczenia pozycji zliczonej;

t przedzia czasu okre laj cy cz stotliwo próbkowania –

0ttt i .

Na podstawie przedstawionych powy ej dyskretnych warto ci poszczegól-nych sk adowych wektora pr dko ci, drog interpolacji wyznaczane s funkcje

)(),(),( tvtvtv zyx , ci e w przedziale czasowym tntttt i 00 .Znaj c warto ci funkcji oraz wspó rz dne pozycji obserwowanej, traktowa-

ne jako wspó rz dne pocz tkowe 000 ,, zyx , mo na wyznaczy wspó rz dnepierwszej pozycji zliczonej ),,( 111 zyx , które s równe:

1

0

1

0

1

0

)(

)(

)(

01

01

01

t

tz

t

ty

t

tx

dttvzz

dttvyy

dttvxx

(1.24)

gdzie:

1 0 .t t n t

Na rysunku 8 przedstawiono schemat blokowy uk adu kardanowego nawi-gacji inercyjnej. Schemat ogólnie opisuje zasad wyznaczania pozycji obiektuw tego typu uk adach. Gdzie:

1. Czujniki pomiarowe jest to zestaw trzech przyspieszeniomierzy oraztrzech yroskopów umieszczonych w zawieszeniu kardanowym. Danewyj ciowe z tego bloku to przyspieszenia wzd trzech osi wybranegouk adu odniesienia.

2. Blok czujników jest bezpo rednio sprz ony z serwomechanizmemzawieszenia kardanowego, utrzymuj cym platform czujników w sta-ym po eniu. Informacje o k tach obrotu zarejestrowanych przez y-

32

rokompasy przekazywane s do silników koryguj cych, które sterujodchyleniami platformy o warto k ta uzyskan z yrokompasów.

Rys. 8. Schemat blokowy uk adu wyznaczania pozycjiw kardanowym uk adzie nawigacji inercyjnej

ród o: [12].

3. Blok kompensacji b dów yroskopów odpowiada za korekt sygna-ów pochodz cych z bloku czujników pomiarowych. Sygna y z yro-

skopów korygowane s pod k tem wp ywu ruchu obrotowego Ziemi,zmian po enia obiektu na warto ci rejestrowane przez yroskopy oraztypowych b dów yrokompasów.

4. Blok kompensacji b dów przyspieszeniomierzy realizuje kompensa-cja b dów czujników oraz uwzgl dnienie wp ywu pola grawitacyjnegoZiemi i przyspieszenia Coriollisa na wskazania czujników.

5. Model pola grawitacyjnego Ziemi to blok, który w sposób dynamicznywyznacza warto ci pola grawitacyjnego Ziemi w danej pozycji obiektu.Informacja o warto ci pola jest na bie co przesy ana do bloku kompen-sacji b dów przyspieszeniomierzy.

6. W w ach sumacyjnych nast puje wyznaczanie warto ci przyspieszeskorygowanych, odnosz cych si do geograficznego uk adu odniesienia.

7. Pierwszy blok ca kuj cy przyspieszenia wylicza ca ki oznaczonez warto ci przyspiesze sk adowych wzgl dem czasu, daj c w rezultaciepr dko ci sk adowe obiektu wzd trzech osi uk adu. Podanie pr dko-ci pocz tkowej pozwala na wyliczenie pr dko ci bie cej obiektu.

8. Drugi blok ca kuj cy oblicza przebyt drog na podstawie ca kowaniapr dko ci sk adowych wzgl dem czasu. Podanie pozycji pocz tkowejpozwala na wyznaczenie przez uk ad pozycji bie cej obiektu we wspó -rz dnych geograficznych.

Serwo-mechanizmzawieszenia

kardanowego

Kompensacjadów

yroskopów

Model polagrawitacyj-nego Ziemi

Pr dkopocz tkowa

x’(t0)

Pozycjapocz tkowa

x’(t0)

Czujnikipomiarowe

Kompensacjadów

przyspiesze-niomierzy 0

t

t0

t

t

x”1

x”2

x”3

x’1

x’2

x’3

x1(t)x2(t)x3(t) h

33

Rysunek 9 przedstawia schemat blokowy uk adu wyznaczania pozycji dlabezkardanowego uk adu nawigacji inercyjnej. Najistotniejsze ró nice pomi dzyblokami wyznaczania pozycji uk adów kardanowych a typu strap-down, wyni-kaj z zamocowania czujników w stosunku do obiektu. W uk adach bezkarda-nowych czujniki s nieruchome wzgl dem obiektu, komputer natomiast rozwi -zuje równania matematyczne opisuj ce ruch obiektu we wszystkich sze ciustopniach swobody, zast puj c w tym zadaniu zawieszenie kardanowe.

Rys. 9. Schemat blokowy uk adu wyznaczania pozycjiw bezkardanowym uk adzie nawigacji inercyjnej

ród o: [12].

1. Kompensacja b dów akcelerometrów to blok, który oprócz wymie-nionych ju wcze niej b dów, dodatkowo uwzgl dnia b dy generowa-ne wskutek du ych przeci , jakim w uk adach strap-down poddawa-ne s akcelerometry. Jednym ze róde b dów jest si a zwi zana z przy-spieszeniem poprzecznym wzgl dem osi czu ci, oddzia uj ca na akce-lerometry, zale na od szybko ci zmiany po enia obiektu. W uk adachkardanowych, dzi ki zastosowaniu zawieszenia kardanowego, akcele-rometry by y izolowane od tego rodzaju zak óce .

2. Transformacja przyspiesze oraz transformacja uk adów odniesie-nia to bloki, które pe ni rol analogiczn do roli bloku serwomechani-zmu w uk adach kardanowych. W blokach tych nast puje transformacjawektorów przyspiesze oraz uk adów odniesienia z poziomu obiektu dowybranego poziomu lokalnego.

Podobnie jak uk ady kardanowe, uk ady typu strap-down wymagaj proce-dury inicjalizacji, czyli podania parametrów pocz tkowych: pr dko ci oraz po-zycji. Na przedstawionym schemacie bloki ca kowania przyspiesze domy lnieuwzgl dniaj te procedury.

przyspieszeniewzgl dem uk adu

zwi zanego z obiektem

Model pola grawitacyjnego Ziemi

Przyspieszenieca kowite

Pr dko zmianypo enia obiektu

Pr dko ci Pozycja

Po enie obiektu

Kompensacja b dówyroskopów

Transformacjaprzyspiesze

Kompensacja b dówakcelerometrów

Transformacjauk adów odniesienia

przyspieszeniewzgl dem uk adu

inercyjnego

34

4.3. Ustawianie po enia pocz tkowego

Aby uk ad nawigacji zliczeniowej móg rozpocz prac , wymagane jestpodanie pocz tkowych warto ci parametrów nawigacyjnych. Uk ady nawigacjiinercyjnej s pod tym wzgl dem uk adami specyficznymi, gdy czujniki zamon-towane s na obiekcie nie poruszaj cym si wzgl dem Ziemi, a na skutek jej ob-rotu dobowego poddawane s zmiennym warunkom pracy, przez co, pozostaj cnieruchome, zwracaj pewn warto przyspieszenia [6, 12, 19].

Dok adno , z jak zostaj wprowadzone parametry pocz tkowe orazuwzgl dnienie wp ywu wspomnianych zmiennych warunków pracy uk adu, rzu-tuje znacz co na pó niejsze wskazania ca ego uk adu. Wymagane parametry po-cz tkowe uk adu to:

pozycja pocz tkowa,pr dko pocz tkowa,po enie pocz tkowe.

Warto ci pozycji obiektu podawane s na podstawie informacji z zewn trz-nych róde pozycjonowania, np.: z systemów GNSS. Warto pr dko ci usta-wiana jest jako zerowa w momencie, gdy obiekt nie porusza si . Ustawianie po-

enia uk adu nazywane jest poziomowaniem uk adu.Procedura wprowadzania parametrów pocz tkowych w uk adach nawigacji

inercyjnej nazywana jest wst pn orientacj uk adu nawigacyjnego [19]. Z punktuwidzenia metodologicznego, procedura ta jest taka sama zarówno dla uk adówkardanowych, jak i bezkardanowych. Ró nica pojawia si natomiast w rozwi -zaniach technicznych. W przypadku uk adów kardanowych, podczas orientacjiwst pnej nast puje odpowiednie ustawienie platformy czujników, w uk adachbezkardanowych po enie startowe oraz wszystkie parametry potrzebne do zli-czania pozycji wyliczane s przez komputer nawigacyjny.

Przed przyst pieniem do orientacji dokonywana jest kalibracja czujnikówpomiarowych oraz uwzgl dniany jest wp yw m.in.: ruchu obiektu, temperaturyoraz pola magnetycznego na wskazania przyspieszeniomierzy oraz yroskopów.W trakcie przeprowadzania procedury orientacji wst pnej nale y:

wykona yrokompasowanie uk adu, czyli okre li kierunek pó nocyrzeczywistej, a nast pnie zorientowa platform uk adu nawigacyjnegowzgl dem tego kierunku;wypoziomowa uk ad, czyli ustawi platform w p aszczy nie równi-kowej lub horyzontu lokalnego (uk ady kardanowe), wyznaczy po e-nie osi przyspieszeniomierzy wzgl dem horyzontalnego uk adu wspó -rz dnych (uk ady bezkardanowe).

Orientacja wst pna uk adu kardanowego polega na ustawieniu platformyczujników w po eniu zgodnym z p aszczyzn nawigacyjnego uk adu wspó -

35

rz dnych. Dla uk adu geograficznego b dzie to p aszczyzna horyzontu lokalne-go, zorientowana w kierunku pó nocnym.

Warto ci wektorów przyspieszenia ziemskiego oraz pr dko ci k towej ob-rotu Ziemi, dla tak zorientowanego uk adu powinny wynosi :

0,0, gg(1.25)

0 cos ,0, sinz z

gdzie:sk adowa xwektorów g i skierowana jest w stron pó nocy rzeczywistej,

sk adowa ywektorów g i skierowana jest wzd równole nika lokalnego,

sk adowa zwektorów g i

skierowana jest zgodnie z kierunkiem i zwrotem przy-spieszenia ziemskiego.

Niedok adno ustawienia platformy czujników wynika z odchylenia plat-formy od po enia nominalnego. Spowodowany tym b d wskaza czujnikówmo e by skompensowany poprzez wprowadzenie macierzy obrotu P. Wskaza-nia przyspieszeniomierzy oraz yroskopów b okre lone nast puj cymi rów-naniami:

Pa g

0P (1.26)

gdzie:P macierz obrotu wynikaj ca z niedok adno ci ustawienia platformy.

Powy sze równania ilustruj fakt, i podczas orientacji wst pnej uk aduczujniki przyspieszenia ziemskiego oraz pr dko ci k towej obrotu Ziemi do-prowadzone zostaj do zadanego po enia w przestrzeni.

W uk adach bezkardanowych realizowane jest to poprzez wyliczenie, a na-st pnie uwzgl dnienie w czasie pracy uk adu macierzy poprawek P. W uk adachkardanowych odchylenie, powoduj ce b d wskaza czujników, korygowanejest mechanicznie poprzez odpowiednie ustawienie platformy w przestrzeni.W tym przypadku wyznaczenie macierzy poprawek nie jest konieczne [12, 19].

36

5. Zalety i wady uk adów nawigacji inercyjnej

Jako zalety uk adów nawigacji inercyjnej mo na wymieni :ca kowit autonomiczno , czujniki pomiarowe znajduj si na obiekcie;brak promieniowania adnej formy energii na zewn trz, uk ad nie jestwra liwy na zak ócenia zewn trzne;wskazania parametrów ruchu obiektu oraz pozycji podawane s w spo-sób ci y, niezale nie od miejsca po enia obiektu (m.in. w tunelachczy pod wod );w celu wypracowania przez uk ad pozycji oraz parametrów ruchu obiek-tu nie jest wymagana informacja ze stacji naziemnych, a obszar dzia a-nia systemów nawigacji inercyjnej jest praktycznie nieograniczony;jako informacji nawigacyjnej jest niezale na od manewrów obiekturuchomego;uk ad nawigacji inercyjnej dostarcza informacji o pozycji, pr dko ci,azymucie oraz pionie, uk ady inercyjne s najdok adniejszymi uk adamiokre laj cymi azymut oraz pion ziemski na obiekcie ruchomym.

Wadami uk adów nawigacji inercyjnej s :spadek dok adno ci wyznaczenia pozycji oraz pr dko ci wraz z up y-wem czasu, nie ma tu znaczenia czy obiekt porusza si , czy nie;uk ady inercyjne wymagaj czasoch onnej wst pnej kalibracji polegaj -cej na ustawieniu kierunku oraz pionu;utrudnione jest poziomowanie uk adu inercyjnego na obiekcie rucho-mym oraz dla szeroko ci geograficznych powy ej 75º [19].

37

Cz II

Budowa i dok adnosensorów inercyjnych

38

39

Spis najwa niejszych symboli wykorzystanych w cz ci II

t0 czas obiegu wi zki wiat a w kierunku zgodnym z kierunkiem ob-rotu uk adu;pr dko k towa;

c pr dko wiat a;R promie toru;

t ró nica czasów obiegu obu wi zek;A powierzchnia ograniczona uk adem interferometru;

zmierzone przesuni cie fazy dla obu wi zek wiat a;L ugo drogi optycznej ( wiat owodu);D rednica wiat owodu;

ugo fali;fn cz stotliwo rezonansowa;

pr dko fali;np odleg pomi dzy pr kami interferencyjnymi;

p odchylenie k ta ami cego w pryzmacie;F si a oddzia u ca na uk ad;m masa pomiarowa;a wektor przyspieszenia wzgl dnego;w wektor przyspieszenia bezwzgl dnego;g wektor przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi;Fa przy ona si a;Fd si a t umienia;Fs si a oddzia ywania spr yny;

x przyspieszenie, czyli: 2

2

dtxd ;

x pr dko , czylidtdx ;

k sta a spr yny;

n cz stotliwo rezonansowa, czyli kn

;

wspó czynnik t umienia, czyli12

kcm

;

Sm czu mechaniczna u adu, czylimk

;

b bias;bg wektor reprezentuj cy bias zale ny od przyspieszenia ziemskiego;a sk adowa przyspieszenia ziemskiego;

40

sf d wspó czynnika skali;pr dko k towa;

d zwi zany z szumem;

bbR funkcja ACF biasu b;

E operator matematyczny warto ci oczekiwanej;t czas próbkowania;

odst p czasowy pomi dzy kolejnymi próbkami;b odchylenie standardowe biasu;b rednia warto biasu;b d redni kwadratowy biasu;bbR funkcja autokorelacji biasu b;

b odchylenie standardowe pomiarów;

1 ci g czasu korelacji dany jako:1c (

1c przy1

21ebb bR );

RW Random Walk;KF filtr Kalmana;FT transformata Fouriera;WT transformata falki.

41

Wprowadzenie

Sensory inercyjne maj zastosowanie w uk adach, w których obrotowe i li-niowe zmiany po enia mierzone s bez odniesienia do zewn trznych wspó -rz dnych. Pomiar tych warto ci odbywa si przy u yciu yroskopów i akcelero-metrów (przyspieszeniomierzy). Systemy inercyjne wykorzystywane s g ówniew nawigacji lotniczej i morskiej oraz w innych zastosowaniach nawigacyjnych.

W ostatnich latach, rosn ce zainteresowanie systemami inercyjnymi spo-wodowa o pojawienie si wielu nowych uk adów, zarówno wyspecjalizowanychjak i ogólnego przeznaczenia.

Na rysunku 10 a) przedstawiono osie uk adu inercyjnego, za na rysunku10 b) schemat budowy systemu INS po rozwini ciu na p aszczyzn . System takiw wersji podstawowej sk ada si z trzech yroskopów, trzech akcelerometrówi trzech uk adów kontrolnych.

Rys. 10. System inercyjny: a) schematyczne przedstawienie osi czu ci w INSb) schemat po rozwini ciu na p aszczyzn

ród o: opracowanie w asne.

6. Budowa yroskopów

yroskopy ( yra) mierz pr dko obrotow w jednej (lub wi cej) p asz-czy nie. Pr dko obrotowa najcz ciej jest wyra ana w stopniach na sekund( /s) lub stopniach na godzin ( /h). W uk adach inercyjnych stosuje si trzy yro-skopy umieszczone ortogonalnie wzgl dem siebie, co daje trzy stopnie swobody.

a) b)

42

Urz dzenia te mo na podzieli na trzy podstawowe grupy:uk ady z wibruj cym elementem VSG (ang. Vibratory Structures Gyros-copes),uk ady optyczne,inne.

Do grupy yr VSG nale yroskopy mechaniczne, MEMS i ceramiczne.Podstawowy sk adnik tych yr to element liniowo wibruj cy ze znan cz stotliwo-ci . W przypadku wyst pienia obrotu prostopad ego do wibruj cego elementu,

generowana jest si a Coriolisa, która przy obrocie zmienia cz stotliwo rezonan-sow . Ta zmiana jest traktowana jako ró nica k towa.

yroskopy MEMS wypieraj z rynku yroskopy mechaniczne. TechnologiaMEMS wykorzystuje najnowsze osi gni cia mechatroniki oraz nanotechnologiiw dziedzinie miniaturowych urz dze elektronicznych.

yra optyczne to przede wszystkim yroskopy wiat owodowe (FOG – ang.Fiber Optic Gyro) i laserowe z komor wy adowcz (RLG – ang. Ring LaserGyro). Istniej tak e inne, bardziej specjalistyczne rozwi zania yroskopówoptycznych. yra optyczne nie s podatne na zak ócenia spowodowane przy-spieszeniami i nie wyst puj w nich zjawiska precesji, czy blokowania.

6.1. yroskopy mechaniczne i MEMS

Pierwszy yroskop zosta zbudowany przez Niemca G.C. Bohnenbergeraw 1810 r. W 1852 roku L. Foucault wykaza , e yroskop mo e wykrywa ruchobrotowy Ziemi. yroskop z definicji to wiruj ca z du pr dko ci obrotowmasa, umieszczona w swobodnym zawieszeniu (zawieszenie kardana). Zasadadzia ania yroskopu mechanicznego jest szczegó owo przedstawiona m. in.w Podstawach uk adów nawigacyjnych [19] i w Global Positioning Systems, In-ertial Navigation, and Integration [12] i nie b dzie omawiana w niniejszej pu-blikacji.

Obecnie yroskopy mechaniczne mog by wykorzystywane w wielu dzie-dzinach nauki i techniki. Ich dok adno zale y od przewidywanego zastosowa-nia i co za tym idzie – ceny. Przyk adowo yrokompas dwu yroskopowy, wyko-rzystywany w nawigacji na statkach morskich, kosztuje ok. 10 000 $ i wskazujepó noc z dok adno ci ok. 1 . yroskop u yty w zastosowaniach militarnychpodaj cy pr dko k tow z dok adno ci do 0,1 /s i maksymalnej pr dko cizmian k ta rz du 500 /s, mo e kosztowa nawet 100 000 $. Urz dzenie takiewymaga specjalistycznych instalacji (elektrycznej i ch odz cej). Natomiast roz-wi zanie amatorskie, przeznaczone do modeli lataj cych (produkcji Futaba)o niskiej dok adno ci, kosztuje ok. 150 $ i jest niewiele wi ksze od pude ka za-pa ek.

43

Do yroskopów mechanicznych mo na tak e zaliczy yroskopy MEMS(ang. Microelectromechanical systems – systemy mikroelektromechaniczne).Zjawiskiem, które wykorzystywane jest do wyznaczania pr dko ci obrotowejw yroskopach MEMS jest si a Coriolisa. Si a ta zwi zana jest z przyspiesze-niem, jakie musi zosta przy one do cia a, aby mog o utrzyma si na obraca-

cej si powierzchni. yroskopy wykonane w technologii MEMS, ze wzgl dówtechnologicznych, wykorzystuj nast puj ce rozwi zania [5]:

uk ady z wibruj cym strojonym elementem – kamertonem (ang. vibra-ting tuning fork gyro);uk ady z wiruj mas (ang. vibrating-wheel gyro);uk ady z rezonuj obr cz (ang. resonant wheel gyro, hemisphericalresonant gyro);uk ady z wahad em Focaulta (ang. Foucault pendulum gyro).

Uk ady z wibruj cym strojonym elementem – kamertonem posiadaj parodpowiednio ukszta towanych elementów o okre lonej masie. Ka da z dwóchcz ci takiego elementu oscyluje z jednakowymi amplitudami, ale w przeciw-nych kierunkach. Podczas obrotu takiego uk adu si a Coriolisa wprowadza pro-stopad e wibracje na rami kamertonu. Te wibracje mo na zmierzy ró nymimetodami. W wi kszo ci rozwi za takich pojedynczych uk adów jest wiele i sone u one w grupy kamertonów cz sto zwane grzebieniami (ang. comb). Sen-sory wykrywaj ce ruch kamertonu to przewa nie sensory piezoelektryczne, pie-zorezystywne lub pojemno ciowe. Przyk ad struktury takiego uk adu wyprodu-kowanego w Draper Lab zaprezentowano na rysunku 11 w powi kszeniu 2,500 xpod mikroskopem elektronowym.

Rys. 11. Struktura yroskopu typu wibruj cy strojony element – kamertonw powi kszeniu pod mikroskopem elektronowym

ród o: Draper Lab za [5].

44

Jedn z odmian yroskopu z wibruj cym strojonym elementem – kamerto-nem jest yroskop firmy BEI typu GyroChip. Sk ada si on z podwójnego ele-mentu, którego jedna strona s y do wykrywania ruchu obrotowego, druga na-tomiast wprowadza oscylacje. Z by cz ci wibruj cej s zasilane przez obwódoscylatora pracuj cego z okre lon amplitud . Z by kamertonu, poruszaj c siwokó w asnych osi, powoduj , e wibruj ca cz staje si czu a na zmianypr dko ci obrotowej w osi prostopad ej do z bów. O ta definiowana jest jako oczu ci yroskopu. Z by kamertonu powoduj generowanie momentu obroto-wego, powstaj cego w wyniku dzia ania si y Coriolisa. Powstaj cy moment po-woduje wzd ne ruchy elementów wykrywaj cych ruch obrotowy. Ruchy tewzbudzaj pole elektryczne, które nast pnie dostarczane jest do wzmacniacza ikonwertera. Powsta y impuls elektryczny jest proporcjonalny do pr dko ci obro-towej dzi ki obróbce w demodulatorze. yroskop ten przedstawiono na rysunku12.

Rys. 12. Schemat uk adu yroskopu BEI GyroChipród o: opracowanie w asne na podstawie [30].

Uk ady z wiruj mas dzia aj podobnie jak klasyczne yra mechaniczne.Si a Coriolisa wp ywa na wiruj mas , co mo e by wykryte przez np. czujni-ki pojemno ciowe. Wskazania yra podczas spoczynku oscyluj wokó jednejwarto ci napi cia i w momencie obrotu uk adu napi cie to zwi ksza si bzmniejsza, w zale no ci od kierunku obrotu.

Wahad o Focaulta to hipotetyczna masa m wprawiona w ruch z pr dko cipost pow V i pr dko ci k tow . Na wahad o dzia a si a Coriolisa Fc. Sche-matycznie przedstawiono to na rysunku 13.

45

Rys. 13. Powstawianie si y Coriolisa podczas ruchu wahad a Focaultaród o: opracowanie w asne.

Ca y uk ad, sk adaj cy si z czujnika ( yra), uk adów zasilaj cych, prze-tworników analogowo-cyfrowych, czujników temperatury, jest zamkni ty w po-jedynczej obudowie typu SMT (ang. Surface Mount Technology). Przyk adowo,dla uk adu ADXR firmy Analog Devices obudowa typu BGA ma wymiary7 x 7 x 3 mm.

6.2. yroskopy piezoelektryczne (ceramiczne)

Odmian yroskopów mechanicznych s yroskopy piezoelektryczne, którepodobnie jak yra mechaniczne wykorzystuj si Coriolisa do wyliczenia pr d-ko ci obrotowej. W typowym uk adzie trzy piezoelektryczne przetworniki szamontowane na bokach sto kowatego pryzmatu – taki uk ad produkuje firmaMurata (stosuje si tak e pr ty ceramiczne – konstrukcja opatentowana przezfirm Nec-Tokin). Budow pr ta piezoelektrycznego przedstawiono na rysunku14. W momencie, gdy jeden z przetworników jest pobudzany na cz stotliwo cirezonansowej, wibracje s przekazywane na pozosta e dwa przetworniki z równintensywno ci . W chwili, gdy pryzmat obraca si wokó jego wzd nej osi,wynikowa si a Coriolisa b dzie wp ywa a na warto wibracji dwóch pomiaro-wych przetworników. W efekcie powstanie ró nica napi cia przy onego doprzetworników. Ró nica ta jest liniowo zale na od pr dko ci obrotowej uk adu.Przyk adem takiego yra jest Murata Gyrostar ENV-05H wykorzystywana m.in.w ma ych robotach i uk adach stabilizacji obrazu. Dok adno tego uk adu jestbardzo niska, b d deklarowany przez producenta wynosi 9 /s, natomiast SFrówna si 22.2 mV/ /s.

Kolejne fazy wygi cia pr ta ceramicznego wzgl dem po enia neutralnego(0) przedstawiono na rysunku 15. Oscylacje te odbywaj si z du cz stotliwo-ci potrzebn do wywo ania si y Coriolisa.

Schemat sensora z pr tem ceramicznym wraz z rozmieszczeniem elektrodpomiarowych i wzbudzaj cej zaprezentowano na rysunku 16.

46

Rys. 14. Pr t ceramiczny wykorzystywany w yroskopach ceramicznychród o: opracowanie w asne na podstawie [33].

Rys. 15. Fazy wibracji pr ta ceramicznego w yroskopie ceramicznymród o: opracowanie w asne na podstawie [33].

Rys. 16. Schemat budowy sensora z wibruj cym pr temród o: opracowanie w asne na podstawie [33].

47

6.3. yroskopy FOG

Zasada dzia ania yr optycznych FOG i RLG opiera si na zjawisku Sa-gnacka odkrytym w 1911 r. polegaj cym na tym, e fale wietlne pod aj cw p askim kanale w przeciwnych kierunkach, posiadaj ro ne czasy transmisjipodczas obrotu sensora (rys. 17 b). Gdy sensor jest nieruchomy, czasy s jedna-kowe (rys 17 a). Pomiar pr dko ci k towej odbywa si na zasadzie pomiaru in-terferencji promienia; uk ad elementów optoelektronicznych liczy pr ki interfe-rencyjne [5].

Rys. 2.1. Zjawisko Sagnacka w yroskopie optycznym:

Rys. 17. Zjawisko Sagnacka w yroskopie optycznym:a) dla nieruchomego sensora = 0, b) dla sensora w ruchu > 0

ród o: opracowanie w asne na podstawie [5].

W przypadku obrotu uk adu uzyskujemy [19]:

1 0 0L ct R Rt (2.1)

gdzie:L1 droga obiegu w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu uk adu,t0 czas obiegu w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu uk adu,

pr dko k towa,c pr dko wiat a,R promie toru.

a) b)

48

Zatem:

02 Rt

c R,

natomiast dla L2:

2 1 1L ct R Rt (2.2)

gdzie:L2 droga obiegu w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu uk adu,t1 czas obiegu w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu uk adu.

Zatem:

12 Rt

c R,

czas obiegu obu wi zek:

2

0 1 2

R R Rt t tc R c R c

(2.3)

gdzie:t ró nica czasów obiegu obu wi zek.

Droga natomiast wynosi:

2

0 1 2( ) RL c t t Kc

(2.4)

gdzie:K sta a charakteryzuj ca czu konkretnego rozwi zania, zwi zana

z parametrami geometrycznymi yroskopu.

yroskopy typu FOG mo na podzieli na:yroskopy z otwart p tl wiat owodu (ang. open loop interferometric

FOG),yroskopy z zamkni p tl wiat owodu (ang. closed loop interferome-

tric FOG),yroskopy rezonuj ce (ang. resonant FOG).

49

Podstawowy schemat dowolnego yroskopu FOG przedstawiono na rysun-ku 18. Ró nice w konstrukcji i w ciwo ciach poszczególnych typów yrosko-pów opisano poni ej.

Rys. 18. Uproszczony schemat yroskopu FOGród o: opracowanie w asne na podstawie [5].

yroskopy z otwart p tl wiat owodu (oznaczone: IFOG), jako ród owiat a wykorzystuj diody elektroluminescencyjne du ej jasno ci (SLED – ang.

Super Electro Luminenscent Diode). Diody powinny by jak najwy szej jako ci,eby nie wprowadza do obwodu zb dnych szumów. Zjawisko to dodatkowo

mo e by eliminowane specjaln konstrukcj detektora (interferometru).Przesuni cie fazy Sagnacka dla IFOG okre lane jest za pomoc wzoru [5]:

LDc

(2.5)

gdzie:zmierzone przesuni cie fazy dla obu wi zek wiat a,

L ugo drogi optycznej ( wiat owodu),D rednica wiat owodu,

ugo fali,c pr dko wiat a.

Wynika z tego, e zwi kszenie stabilno ci IFOG (a wi c ustabilizowaniewspó czynnika scale factor) zale y od zmienno ci D, L i . Zwi kszenie czu o-

detektor

50

ci mo e si odby przez zwi kszenie d ugo ci wiat owodu (L). D ugo poje-dynczej p tli w istniej cych rozwi zaniach wynosi do kilku kilometrów. Sche-mat yroskopu IFOG przedstawiono na rysunku 19.

Rys. 19. Schemat yroskopu typu IFOGród o: [5].

yroskopy typu IFOG s pod wzgl dem technologicznym prostymi rozwi -zaniami, posiadaj cymi korzystny stosunek ceny do jako ci. Ich g ównymi ogra-niczeniami s : ma y zakres dynamiczny (nie nadaj si do zastosowa w szybkozmieniaj cych si rodowiskach), d uga droga optyczna podatna jest na od-kszta cenia, wp ywaj c tym samym na dok adno .

yroskopy z zamkni p tl wiat owodu posiadaj dodatkowo sprz eniezwrotne wprowadzone do elementu zmieniaj cego faz . Takie sprz nie wp ywakorzystnie na dok adno yroskopu, ale znacznie zwi ksza ilo koniecznychoblicze .

yroskopy rezonuj ce FOG zosta y wprowadzone jako rozwini cie yrosko-pów RLG. Wn ka rezonansowa zosta a zast piona p tl wiat owodu, zako czon

czem, przez które wysy ana jest w obu kierunkach zmodulowana fala wietlna,generowana przez diod laserow . Gdy cz stotliwo tej fali przekroczy warto ,w której obwód p tli pokrywa si z ca kowit liczb d ugo ci fali dla tej cz stotli-wo ci, fala jest sprz gana do p tli. Gdy ca y uk ad si nie obraca, maksymalnesprz nie dla fali poruszaj cej si w obu kierunkach objawia si jako ostry wierz-cho ek w warto ci cz stotliwo ci rezonansowej. Podczas obrotu fale pod aj cew przeciwnych kierunkach posiadaj ró ne cz stotliwo ci, co po demodulacji po-zwala na dok adne okre lenie ich cz stotliwo ci rezonansowych [1].

Rozwi zaniem yra IFOG typu low-cost (co nale y rozumie jako korzyst-ny stosunek ceny do mo liwo ci) jest produkt DSP 3000 firmy KVH. DSP 3000jest jednoosiowym yrem interferometrycznym, posiadaj cym cyfrowe i analo-gowe wyj cie. Jego wymiary to: 30 x 30 x 80 mm, masa: 300 g, pobór pr du:3W@5VDC. Dok adno takiego rozwi zania wynosi: bias 6 /h i b d RW

51

(szum) na poziomie 4 /h/ Hz, co pozwala na zastosowanie go w mniej wymaga-cych aplikacjach jak np.: roboty ko owe, zdalnie sterowne pojazdy podwodne

ROV (ang. remote operated vehicle), czy zintegrowane systemy GPS/INS.Wst pne próby z tym uk adem w Akademii Morskiej w Szczecinie potwierdzajjego przydatno do krótkookresowego pozycjonowania GPS/INS. DSP 3000przedstawiono na rys. 20. Koszt takiego rozwi zania to ok. 3 900 USD.

Rys. 20. yro DSP 3000 firmy KVHród o: [32].

Rozwi zaniem wysokiej dok adno ci jest produkt iNAV-FMS firmy iMAR,zawieraj cy trzy jednoosiowe yroskopy FOG i trzy akcelerometry. Dok adnoyroskopów wynosi 1 /h (bias) i 0,3 /h/ Hz (RW). Wymiary ca ego systemu to

265 x 145 x 132 mm, masa – 5500 g. Koszt ca ego urz dzenia to ok. 65 000 eu-ro. Urz dzenie przedstawiono na rysunku 21.

Rys. 21. System iNAV-FMS firmy iMARród o: [31].

52

6.4. yroskopy RLG

yroskopy laserowe RLG (schemat przedstawiony na rys. 22) s budowanejako konstrukcje z integralnym laserem gazowym, co przedstawiono na rys. 21.Wn trze kana u wiat owodowego jest wype nione helem (albo mieszanin helui neonu). W yroskopach RLG wykorzystuje si interferometry czynne ( ród owiat a obraca si wraz z ca ym uk adem). Aby yroskop laserowy pracowa

efektywnie, konieczne jest uzyskanie fali o odpowiedniej, sta ej d ugo ci, o sta-ym kierunku polaryzacji i sta ym nat eniu. W RLG wiat o wytwarzane jest

we wn ce rezonansowej, gdzie tworzy si fala stoj ca, której cz stotliwo spe -nia warunki rezonansu [5]. Dostrojenie tej cz stotliwo ci odbywa si przezzmian d ugo ci wn ki. Wzbudzenie drga jest najbardziej efektywne, gdy dro-ga, któr przebywa wiat o stanowi ca kowit liczb po owy d ugo ci fali:

2 nL n (2.6)

gdzie:L ugo drogi optycznej,n liczba naturalna,

n ugo fali.

Rys. 22. Schemat yroskopu laserowegoród o: opracowanie w asne na podstawie [5].

53

Cz stotliwo ci rezonansowe wynosz :

2nn

c ncfL

(2.7)

gdzie:fn cz stotliwo rezonansowa,c pr dko wiat a.

Istotnym zagadnieniem staje si utrzymanie monochromatyczno ci wi zki,a realizuje si to poprzez zastosowanie selektywnych zwierciade .

Pomiar realizowany jest nast puj co: wi zka L2 kierowana jest bezpo red-nio na uk ad czujników, natomiast wi zka L1 dociera tam po rednio przez pry-zmat. Sytuacj t przedstawiono na rysunku 23. W punkcie skupienia tworz sipr ki interferencyjne w odleg ci [25]:

p

d (2.8)

gdzie:d odleg pomi dzy pr kami interferencyjnymi,

p rozbie no k towa wi zek wychodz cych z pryzmatu.

Rys. 23. Schemat detektora yroskopu RLGród o: opracowanie w asne na podstawie [23].

54

Parametr p definiujemy jako [23]:

2p p pn (2.9)

gdzie:np odleg pomi dzy pr kami interferencyjnymi,

p odchylenie k ta ami cego w pryzmacie.

Podczas obrotu yroskopu wokó osi prostopad ej do p aszczyzny drogipromieni wietlnych, pr ki poruszaj si z pr dko ci proporcjonaln do cz -stotliwo ci w miejscu interferencji. Kierunek ruchu pr ków jest zgodny z kie-runkiem obrotu, natomiast ró nica cz stotliwo ci, wynikaj ca z ró nicy drógoptycznych na skutek obrotu yroskopu wynosi [19]:

2

22 2 2a bnc nc Lnc Rf f K

L L L L L L (2.10)

zatem:,f K

gdzie:K wspó czynnik okre laj cy czu pomiarow yroskopu.

Przy czym:24 RK

L (2.11)

Uk ad czujników obrazu interferencyjnego zlicza pr ki i okre la kierunek ipr dko obrotu. Liczba zliczonych pr ków wynosi [19]:

0 0 0

4t t tAN fdt dt K dtL

(2.12)

Liczba ta zale y zatem od d ugo ci fali, powierzchni drogi optycznej A orazugo ci drogi optycznej i decyduje o rozdzielczo ci yroskopu.

Na dok adno pracy yroskopu RLG wp ywa szereg czynników m.in. d u-go fali wietlnej, temperatura, ci nienie i wilgotno . Wp yw ma tak e stopiezjonizowania gazu wype niaj cego yroskop. Dodatkowo nale y uwzgl dnikonstrukcj luster czy fluktuacje pr du wy adowania w kanale optycznym [5].

Jednym ze róde zak óce pracy yroskopów RLG s termiczne i wibra-cyjne zmiany geometrii uk adu optycznego [5]. Do ich kompensacji wykorzystu-

55

je si uk ad detektorów pionowania zwierciade . Detektory steruj miniaturo-wym krokowym silnikiem piezoelektrycznym, reguluj cym po enie jednegoze zwierciade .

Geometrycznie najkorzystniejszy uk ad stanowi trójk t równoboczny po-siadaj cy najwi kszy stosunek powierzchni do obwodu. Dobór d ugo ci rezo-nansowej polega na takim ustawieniu luster, aby pr ki przy pr dko ci k towejrównej zeru nie wyst powa y.

yroskopy RLG przewa enie s wyposa one w jedn katod i dwie anody.Wp ywa to na os abienie efektu Fizeau – polegaj cego na wyst powaniu ró nicycz stotliwo ci, nawet przy nieruchomym sensorze.

W yrach RLG wyst puje niekorzystne zjawisko zacinania si (ang. lock-in), objawiaj ce si brakiem wskaza przy ma ych pr dko ciach k towych.Uk ad mimo tego, e jest zdolny do zmierzenia ma ej ró nicy d ugo ci fali od-powiadaj cej niewielkiemu obrotowi, nie wykrywa zmiany k ta, gdy pr ki szbyt szerokie dla detektora. Likwidacja zjawiska polega na obracaniu yroskopuz du , znan cz stotliwo ci (ok. 100 Hz) o niewielki k t, co sztucznie zwi k-sza pr dko k tow . Warto zmiany k ta jest nast pnie odejmowana od wyni-ku. Do wytwarzania tych oscylacji stosuje si silniki piezoelektryczne.

7. Budowa akcelerometrów

Akcelerometr (przyspieszeniomierz) stosowany jest do pomiaru przyspie-sze liniowych. Akcelerometr wykorzystuje drug zasad dynamiki Newtona.

to zwykle konstrukcje mechaniczne, mierz ce przesuni cie danej masywzgl dem na sta e zamocowanej obudowy, a warto ci pomiaru s wyra ane wjednostkach przyspieszenia ziemskiego g (1g = 9,81 m/sec2) lub mg [20]. Przy-

ad akcelerometru zobrazowano na rys. 24. W chwili obecnej akcelerometrynajcz ciej wykonane s w technologii MEMS.

Rys. 24. Schemat budowy akcelerometruród o: [12].

56

Najprostszym rozwi zaniem konstrukcyjnym akcelerometru jest zastoso-wanie wahad a o jednym stopniu swobody. Si a bezw adno ci powoduje odchy-lenie wahad a od pionu. K t odchylenia zale y od stosunku si y bezw adno ci dosi y ci ko ci i mo na przyj , e przy ma ych wychyleniach jest do niego pro-porcjonalny. Dodatkowo stosuje si uk ady t umi ce, zapobiegaj ce nadmiernymwychyleniom. Przy wyznaczaniu warto ci przyspieszenia nale y uwzgl dni si ybezw adno ci, ci ko ci i t umienia.

Akcelerometry liniowe (w tym MEMS) wykorzystuj odkszta cenie spr y-stego uk adu belkowego w celu przeciwdzia ania sile bezw adno ci. Pomiarprzemieszczenia najcz ciej odbywa si poprzez pomiar zmiany pojemno cielektrycznej kondensatora ( C), w wyniku wzajemnego przesuni cia si jego

yt o x, wywo anego przyspieszeniem w kierunku x. Takie rozwi zanieznacznie zmniejsza wielko przyrz du. W przeciwie stwie do akcelerometrówwahad owych, pozwala to na zwi kszenie zakresu pomiarowego, a tak e brakczu ci poza osi pomiarow . Typowy akcelerometr MEMS sk ada si z kilku-dziesi ciu warstw takich czujników. Uk ad pojemno ciowego akcelerometruMEMS zobrazowano na rys. 25.

Rys. 25. Schemat akcelerometru belkowegoród o: [12].

57

Czujniki przesuni cia masy pomiarowej to zwykle czujniki pojemno ciowe,piezo-rezystywne, czy bardziej precyzyjne czujniki optyczne. Czujniki pojemno-ciowe s wystarczaj co dok adne dla wi kszo ci zastosowa . Optyczny czujnik

przesuni cia liczy znaczniki na elemencie ruchomym (podobnie jak w mecha-nicznych myszkach komputerowych). Jego zalet jest bezpo rednie wej cie sy-gna u do uk adów cyfrowych. Wi ksza dok adno wynika z braku obwodówanalogowych, z natury do wra liwych na zak ócenia.

Nowoczesne akcelerometry MEMS s chemicznie trawione w p ytce krze-mowej i stanowi integraln ca z czujnikami przesuni cia. Wielko takiegouk adu nie przekracza wymiarów typowego uk adu scalonego SMD. Rysunki 26i 27 przedstawiaj 300-krotne powi kszenie uk adu pomiarowego akcelerometruMEMS serii ADXL firmy Analog Devices.

Rys. 26. Powi kszenie struktury akcelerometru MEMSród o: [31].

W nawigacji stosuje si zestawy trzech akcelerometrów o osiach czu ciustawionych prostopadle wzgl dem siebie, co daje trzy stopnie swobody. Istotnejest dok adne ustawienie k towe uk adu pomiarowego.

Wyznaczanie warto ci przyspieszenia odbywa si na zasadzie pomiaru si y,zgodnie ze wzorem:

F = m a (2.13)

gdzie:a wektor przyspieszenia wzgl dnego,F si a dzia aj ca na uk ad,m masa pomiarowa.

58

Rys. 27. Widok pojedynczej grupy grzebieni akcelerometruród o: [31].

Przyspieszeniomierz mierzy sk adow przyspieszenia ca kowitego, na którewp yw ma tak e przyspieszenie grawitacyjne. W celu uzyskania jedynie warto-ci przyspieszenia uk adu pomiarowego wynikaj cego z ruchu, w odczycie nale-y uwzgl dni :

a = w – g (2.14)

gdzie:w wektor przyspieszenia bezwzgl dnego,g wektor przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi.

Zak adaj c, e masa pomiarowa umieszczona jest na spr ynie, a jej ruchy kompensowane przez t umik:

- -a d sF F F mx (2.15)

gdzie:Fa przy ona si a,Fd si a t umienia,Fs si a oddzia ywania spr yny,

x przyspieszenie, czyli:2

2

d xdt

.

59

Zatem:

aF tmx w x kx (2.16)

gdzie:wt wspó czynnik t umienia;

x pr dko , czylidtdx ;

k sta a spr yny.

Podstawiaj c:

aF a tm mx w x kx ,

czyli:

a tw kx x xm m

.

Przyjmuj c warunki pocz tkowe 0 0x i 0 0x , otrzymujemy funkcjprzeniesienia Gm(s):

2

2 2( )2

nm m

n n

x sG s S

x s s s (2.17)

gdzie:

nkn

cz stotliwo rezonansowa,

12

kcm

wspó czynnik t umienia,

mmSk

czu mechaniczna uk adu.

Odpowied systemu b dzie zwi zana ze wspó czynnikiem t umienia .W przypadku zbyt niskiego wspó czynnika dojdzie do oscylacji, natomiast zbytdu a warto mo e spowodowa spowolnienie reakcji uk adu.

60

8. Dok adno sensorów inercyjnych

Dok adno wskaza systemu inercyjnego ma znacz cy wp ywu na jegodzia anie, a w przypadku, gdy wymagana jest d ugotrwa a praca z du precyzj ,w dynamicznym rodowisku, bez mo liwo ci korekty wskaza (np. poprzez in-tegracj z systemem GPS), koniecznym staje si zastosowanie specjalistycznych– a co za tym idzie – bardzo drogich uk adów. Je eli istniej mo liwo ciw miar cz stej korekty wskaza , a przeznaczenie uk adu nie zak ada dynamicz-nych zmian po enia, to mo liwe staje si zastosowanie ta szych, ale mniej do-

adnych czujników.Na rysunku przedstawiono elipsy b dów pozycji w przypadku utraty sy-

gna u GPS na statku z zainstalowanym systemem INS/GPS.

Rys. 28. Wp yw utraty sygna u GPS na dok adno pozycji w systemie INS/GPSród o: opracowanie w asne.

W nast pnych paragrafach przedstawiono podstawy oceny dok adno ci sen-sorów inercyjnych, omawiaj c ich g ówne parametry oraz podstawy modelowa-nia b dów wyst puj cych w sensorach inercyjnych. Znajomo funkcji mode-lowania b dów jest niezb dna do oceny dok adno ci pracy systemu INS [17].

8.1. Dok adno yroskopów

ówne parametry opisuj ce dok adno yroskopów to [12, 21]:bias (z ang. b d systematyczny – b d poprawno ci wskaza ),

d wspó czynnika skali (ang. scale factor error),nieliniowo wskaza (ang. linearity error),

61

niedok adno kalibracji,szum.

Bias z definicji to b d wskaza na wyj ciu, niezale ny od wej cia sensora,zwykle wyra any w stopniach na godzin ( /h), który wskazuje jak szybko b -dzie narasta b d wskaza w uk adzie yroskopu. Bias jest definiowany jakosta a warto , w przypadku yroskopów jednak jest sta y w krótkim czasie, alemo na go modelowa procesem Markowa. Mo e by zmierzony podczas pomia-rów statycznych. Je eli system INS pracuje jako autonomiczny, to bias wyra awzrost b du pomiaru k ta w czasie. W przypadku, gdy INS jest pod czony dosensora pr dko ci (np. logu), to przechy wzd ny i poprzeczny jest skompen-sowany, a b d wp ywa g ównie na wskazania kursu. W przypadku, gdy dodat-kowo pod czony jest modu GPS, wskazania kursu równie s kompensowane.Bias yra jest g ównym czynnikiem wp ywaj cym na dok adno i przydatnosystemu INS, typowa warto w systemie dobrej klasy to 0,002-0,01 /h. Prze-bieg warto ci zmierzonej obarczonej biasem przedstawiono na rys. 29 a).

Rys. 29. Zobrazowanie b dów w sensorach inercyjnych: a) biasu, b) scale factor, c) linearity error

ród o: opracowanie w asne.

Nale y tutaj podkre li , i w literaturze przedmiotu dominuj dwa podsta-wowe uj cia opisuj ce bias. Jedno z nich mówi o traktowaniu biasu jako sk a-dowej trzech czynników, w tym [12]:

deterministycznego,losowego,zwi zanego z wp ywem temperatury.

Inne uj cie stanowi, aby parametry zwi zane z szumem traktowa oddziel-nie. W tym podej ciu równie istnieje poj cie biasu liniowego (ang. bias) orazbiasu losowego (ang. random bias) [21]. Ze wzgl du na wi ksz czytelno zo-stanie zaprezentowane drugie podej cie.

62

d wspó czynnika skali to liniowa odchy ka od warto ci rzeczywistej,najcz ciej wyra ana jako FS (ang. full scale), czyli stosunek aktualnej warto cido zakresu, wyra any w % lub ppm (ang. parts per million – cz ci na milion)100 ppm = 0,01%. B d ten wyst puje w przypadku wykonywania obrotu. Przy-

adowo, przy b dzie 300 ppm, ca kowity b d spowodowany tym czynnikiem,po pe nym obrocie waha si w granicach 0,1 . Przeci tna warto dla yroptycznych to < 10 ppm (czyli 1arcsec (0,0003 ) przy obrocie o 30 ). Przebiegwarto ci zmierzonej, obarczonej SF, przedstawiono na rys. 2.20 b).

Nieliniowo zwana jest tak e b dem liniowo ci LE (ang. linearity error).Jest to odkszta cenie na wyj ciu w zale no ci od warto ci. Wyra ana jest w ta-kich samych jednostkach jak SF i cz sto czona z nim w jeden parametr. Prze-bieg warto ci zmierzonej obarczonej biasem przedstawiono na rys. 2.20 c).

Niedok adno kalibracji jest parametrem zwi zanym z nieprostopad ymustawieniem yroskopów wzgl dem siebie. Np.: niedok adno kalibracji yro-skopu wg osi Y, rz du 1 mrad, prowadzi do b du wskaza przechy u 0,036 pojednym obrocie wg tej osi. Najcz ciej wyra any w mrad.

Szum wp ywa na odczyt w sposób bezpo redni – im wi kszy szum, tymwi kszy stopie jego uwzgl dnienia w odczycie. Szum jest wa nym parame-trem, bowiem po integracji (GPS/INS) wp ywa na zachowania niedetermini-styczne pomiaru – parametr RW (ang. Random Walk). Innym parametrem zwi -zanym z szumem jest bias losowy (ang. random bias), który cz sto bywa czo-ny z RW. Zwykle wyra any w 2/h lub /h2Hz. Przeliczenie pomi dzy nimi od-bywa si przez przemno enie warto ci czasu w sekundach przez 60. B d RW,wynosz cy 0,003 2/h wskazuje, e niepewno pomiaru k ta na poziomie 1 ,spowodowany b dem RW, wynosi 0,001 po 6 minutach lub 0,0004 po 1 mi-nucie. Parametr RW jest istotny zw aszcza w przypadku yr stosowanychw uk adach do wskazywania pó nocy ( yrokompasy).

Uogólnione równanie b du yroskopu przedstawia si nast puj co (wzdosi x):

gbx

X y f x y y z z

z

ab a s m m

a (2.18)

gdzie:b bias,bg wektor reprezentuj cy bias zale ny od przyspieszenia ziemskiego,a sk adowa przyspieszenia ziemskiego,sf d wspó czynnika skali,

pr dko k towa,m przesuni cie umieszczenia sensora,

d zwi zany z szumem.

63

8.2. Dok adno akcelerometrów

Akcelerometry podaj warto przyspieszenia odniesion wzgl dem przy-spieszenia ziemskiego wynosz cego 1g = 9,81 m/s2, w zakresie podanym przezproducenta. Podobnie, jak w przypadku yroskopów, parametry opisuj ce do-

adno akcelerometrów to [12]:bias,

d wspó czynnika skali,niedok adno kalibracji,szum.

Bias wskazuje jak szybko b dzie narasta b d wskaza w uk adzie akcele-rometru. Sama definicja biasu jest taka jak w przypadku yr, a warto ci s po-dawane najcz ciej w g. Typowa warto biasu w systemie dobrej klasy to1-5 g (np.: iMAR iNAV-FJI-001-N), natomiast w systemie ogólnego przezna-czenia to ok. 10 mg (np.: CrossBow IMU400CC).

d wspó czynnika skali to liniowa odchy ka od warto ci rzeczywistejprzyspieszenia. Podobnie jak w yroskopach wyra ana jest jako: FS (jednostki% lub ppm) lub jako g/g2. Przeci tna warto dla akcelerometrów dobrej klasyto ok. 20 g/g2, czyli ok. 60 ppm (iNAV-FJI-001-N) i ok. 1% dla CrossBow.

Niedok adno kalibracji jest parametrem zwi zanym z nieprostopad ymustawieniem akcelerometrów wzgl dem siebie. Szum oraz zwi zany z nim pa-rametr RW, zwykle wyra any w mg2/h lub g/ Hz, w systemie iNAV-FJI-001-N wynosi przyk adowo 8 g/ Hz.

Uogólnione równanie b dów dla akcelerometru mo na przedstawi nast -puj co:

x f x y y z zf b s a m a m a (2.19)

9. Dok adno systemu INS

Ze wzgl du na brak jednolitych standardów budowy systemów INS, a tak ecz sto niejednoznaczne nazewnictwo, nie jest mo liwe uwzgl dnienie wszyst-kich czynników wp ywaj cych na systemy INS.

Przedstawiony zostanie przybli ony model b dów w systemach INS, a wszczególno ci systemów SINS. W przypadku platform stabilizowanych koniecz-nym staje si uwzgl dnienie metod stabilizacji i jej dok adno ci.

Wszystkie przedstawione poni ej b dy s zale ne od temperatury, do któ-rej powinny by skompensowane. Nale y podkre li , i wp ywu temperaturynigdy nie da si pomin , dlatego wszelkie rachunki musz go uwzgl dnia . Od-

64

czyty z sensorów inercyjnych s tak e podatne na wewn trz uk adowe napr e-nia mechaniczne, zwi zane z metodami konstrukcji systemów INS.

Innym typem b dów s b dy zwi zane z kwantowaniem. Na wyj ciuuk adu pojawiaj si niewielkie ró nice warto ci, a w przypadku zastosowaniatechniki cyfrowej nie mamy dost pnej niesko czonej precyzji konwersji ana-log/cyfra. W efekcie powstaje szum proporcjonalny do stopnia kwantowania.

Modelowanie matematyczne uk adów SINS realizowane jest zwykle po-przez rozwi zanie równa ró niczkowych pierwszego rz du, które zawieraj za-równo deterministyczne, jak i losowe b dy. B dy te nale y okre li , a nast p-nie otrzymane warto ci na wyj ciu systemu skorygowa .

W przypadku uk adów GPS/INS wchodz w rachunek b dów dodatkowedy zwi zane z integracj GPS/INS oraz przek amaniami powsta ymi przy in-

terpolacji.Jako g ówne rodzaje b dów mo na wyszczególni :

dy inicjalizacji zwi zane z okre leniem wst pnych parametrówpracy systemu;

dy wyrównania – zwi zane z wyrównaniem wzgl dem uk adu odnie-sienia;

dy modelu grawitacji – zwi zane z przyj tym modelem grawitacyj-nym.

9.1. Procesy stochastyczne w modelowaniu b dów INS

dy deterministyczne (bias i SF) modeluje si poprzez linearyzacj rów-na ró niczkowych. B dy deterministyczne s okre lane, a nast pnie odejmo-wane od danych wyj ciowych.

Okre lenie modelu b dów stochastycznych (losowych) s y nast pnie douogólnienia ca kowitej odchy ki wskaza INS-u, co w rezultacie umo liwi wpro-wadzenie oszacowanej warto ci do filtru Kalmana.

Przedstawione w tym rozdziale metody modelowania b dów dotyczównie b dów stochastycznych, a w szczególno ci procesów b cych po-

chodnymi procesów Markowa: bia ego szumu, losowego biasu (b), RandomWalk (RW). Szczegó owe przedstawienie tych procesów czytelnik odnajdziew literaturze [2, 7, 10, 11]. Polskimi, polecanymi pozycjami s : [9, 20].

Procesy stochastyczne, u yte do modelowania b dów, mog by traktowa-ne jako stacjonarne, czyli ich wielko ci statystyczne s niezmienne w czasie (dlauproszczenia). Rozwa aj c proces stacjonarny uznaje si , e mo e on by opisa-ny ca kowicie przez funkcj autokorelacji (ACF). Jest to zwi zane z faktem, iACF dla danych losowych opisuje generaln zale no warto ci w danym czasiedo danych w innym momencie czasu. Dla stacjonarnych procesów losowychACF procesu b(t) jest zdefiniowana jako wynik b(t)b(t+ ), czyli [23]:

65

bbk=-

R =E b t b t+ = b k b k+m (2.20)

gdzie:

bbR funkcja ACF biasu b,E operator matematyczny warto ci oczekiwanej,t czas próbkowania,

odst p czasowy pomi dzy kolejnymi próbkami.

Rozwa aj c sygna dyskretyzowany w czasie, zamiast funkcji ACF mo na sekwencji autokorelacji (ACS). W funkcji ACS czas t zast pujemy sekwen-

cj k-t , a odst p – odst pem pomi dzy próbkami m, w efekcie otrzymujemy[23]:

bbk

R m E b k b k+m b k b k+m (2.21)

Warto ci )(mRbb upraszczaj funkcj autokorelacji pod warunkiem za-pewnienia niesko czonej liczby danych. W praktyce dysponujemy sko czonpopulacj próbek (o liczbie N). )(mRbb zamieniane jest wtedy na Rbb(m). Dlaczasowej serii pomiarów b(k), k = 1,2,3,…n ACS jest dana równaniem [20, 25]:

1 N-m

bbk=-

R m E b k b k+m b k b k+mN-m

(2.22)

Warto w punkcie m = 0 wynosi:

2 2 2 2 2

1

10N

bb b b bk=

R E b k b k =N

(2.23)

gdzie:b odchylenie standardowe biasu,b rednia warto biasu,b d redni kwadratowy biasu.

Aby wyliczy funkcj ACS biasu dla sensora SINS, koniecznym jest wyli-czenie najpierw warto ci b dów. W tym celu wykonuje si seri statycznychpomiarów d ugookresowych zak adaj c, e b b dzie wynosi o zero. Wtedy war-to Rbb(0) b dzie wariancj biasu 2

b. Transformata Fouriera (ci a lub dys-

66

kretna) funkcji (ACF lub ACS) nazywa si widmow g sto ci mocy (PSD) Sbb.Dla ci ego sygna u przyjmuje posta [23]:

e-j tbb bbS

(2.24)

e ej -j mbb bb

mS R m

Innymi s owy PSD opisuje, jak moc (w naszym przypadku wariancja) sze-regu czasowego pomiarów jest roz ona w funkcji cz stotliwo ci. ACF i ACS

dane jako odwrócone transformaty Fouriera funkcji PSD, czyli [23]:

1 e2bb bbR = S

(2.25)1 e e

2j j m

bb bbR m = S d

9.2. Gaussowski bia y szum

Do modelowania wielu losowych sygna ów u ywa si procesu gaussow-skiego z czasem ci ym o zerowej warto ci oczekiwanej, niezale nych warto-ciach i dodatniej sta ej g sto ci widmowej. Przymiotnik „bia y” w nazwie bie-

rze si z jednakowych udzia ów energii, wnoszonych przez wszystkie sk adoweharmoniczne do jego ca kowitej energii, co sprawia, e przypomina on bia ewiat o [26].

W przypadku procesu stacjonarnego, szum ma warto zero PSDSbb = Sbb(0). ACF i ACS dla takiego procesu wynosz odpowiednio:

01 e e 02 2

bbbb bb bb

- -

SR = S = d = S

(2.26)01 e e e 0

2 2bbm j m

bb bb bb- -

SR m = S d = d m

67

gdzie:(y) dystrybucja delta (dystrybucja delta-Diraca dla pomiaru ci ego

( ) i jednostkowa funkcja impulsowa (m) dla danych dyskrety-zowanych).

0 dla 0; 1

dla 0d dla dowolnego > 0 (2.27)

Wracaj c do równania (2.25) i (2.26) oraz wstawiaj c dystrybucj deltaotrzymujemy:

2 2 20 = 0 0bb b bb bb bR E b k R m m (2.28)

Zatem ACF (lub ACS) bia ego szumu wykazuje brak korelacji dla wszystkichwarto ci elementów poza elementem równym zeru, uwzgl dniaj c oczywi ciefunkcj delta. Proces taki jest nazywany czystym procesem losowym (ang. purerandom proces). ACF i ACS dla bia ego szumu przedstawiono na rysunku 30.

Rys. 30. Funkcje ACF i ACS dla bia ego szumuród o: opracowanie w asne.

Uwzgl dniaj c funkcj delta mo na stwierdzi , e wariancja procesu bia e-go szumu jest niesko czona. Taki proces jest oczywi cie jedynie koncepcj teo-retyczn (nie jest realizowalny fizycznie). Pomimo tego omawiany szum mo eby w pewnym sensie u yteczny dla przybli enia niektórych procesów fizycz-nych. Co wi cej, bia y szum mo e s do generowania innych procesów lo-sowych poprzez zastosowanie uk adów filtracyjnych.

Bia y szum nie zawsze odzwierciedla prawid owo przebieg rzeczywistegoprocesu, dlatego cz sto zast puje si go procesem Ornsteina-Uhlenbecka [10].

W rzeczywisto ci wyliczona warto ACS b dów sensora SINS (po usu-ni ciu deterministycznego biasu) nie odzwierciedla dyskretnego bia ego szumu

Rbb = Sbb(0) (0) Sbb = Sbb(0) = const.

- -

68

procesu. Sk adowe losowe b dów systemu mog by modelowane poprzezprzepuszczenie szumu w t o redniej b = 0 poprzez odpowiedni filtr kszta tuj cy(liniowy system dynamiczny), eby uzyska na wyj ciu skorelowany czasowoszum. Ta operacja zmieni korelacj charakterystyk wej cia sensora, aby dopa-sowa w ciw sk adow b du sensora. Warto ci parametrów filtracji s opty-malnie dobierane poprzez minimalizacj ró nic pomi dzy wyj ciem filtru a w a-ciw sekwencj szumu na wyj ciu z sensora inercyjnego w rozumieniu metody

najmniejszych kwadratów. Na rysunku 31 przedstawiono przyk adowy filtr for-muj cy.

Rys. 31. Filtr formuj cy stosowany w modelowaniu szumuród o: opracowanie w asne.

9.3. Losowy bias

Losowy bias to nieprzewidywalna wielko losowa ze sta warto ci ocze-

kiwan . Przy za eniu ( ) dbb tdt

, b d wywo any biasem jest zdefiniowany

przez równanie:

0b t = (2.29)Dyskretna posta tego równania:

1k kb = b .

Prawdziwe zatem jest:

2 0 const.bb k bbR =E b =R = (2.30)

b(t)

w(t)

69

Zatem bias jest specjalnym przypadkiem filtracji przy za eniu losowychwarunków pocz tkowych [26].

9.4. Random Walk

Proces Random Walk (RW) nale y do grupy procesów Wienera, posiadaj -cych w asno ci Markowa i jest szczególnym przypadkiem procesu dyfuzji. Pro-ces RW mo e by opisany jako suma procesów bia ego szumu.

Analizuj c proces RW, ró nica (bk+1 – bk) jest losow sekwencj wk czyli:

1k+ k kb = b + w

.b t = w t

Zatem dla licznej próby statystycznej:

11

k

k+ ii=

b = w (2.31)

Z równania 2.31 wynika, e RW jest procesem generowanym poprzez inte-gracj (ca kowanie) nieskorelowanych sekwencji. Nazwa Random Walk (z ang.Losowy Chód) wzi a si z analogii do cz owieka stawiaj cego kroki o jedna-kowej d ugo ci, ale w ro nych kierunkach. Warto rednia b procesu RW jestdana zale no ci [25]:

11 1

0k k

b k+ i i wi= i=

= E b = E w = E w = = (2.32)

Wariancja 2b dla nieskorelowanych sekwencji wi mo e by wyliczona:

22 2 2 2 2 2

1 11 1

k k

b k+ b k+ i i wi= i=

= E b - = E b = E w = E w = k (2.33)

Proces RW nie jest zatem procesem stacjonarnym (jego wariancja zmieniasi w zale no ci od liczby sampli) i co za tym idzie, ACS nie definiuje nam tegoprocesu. Nale y jednak pami ta , e ró nica (bk+1 – bk) jest stacjonarna [8]. Pro-ces RW mo e by uwa any za stacjonarny dla ma ych przedzia ów czasu, co madu e znaczenie praktyczne.

70

9.5. Procesy Markowa

Niektóre ród a szumów s skorelowane w czasie, ich bie ca warto zale-y od warto ci poprzednich. Do modelowania tego typu zachowa stosuje si lo-

sowe procesy Markowa (GM). Procesy GM s stacjonarnymi procesami, posia-daj cymi wyk adnicz funkcj autokorelacji i s one wyj tkowo u yteczne dlain ynierów ze wzgl du na mo liwo opisu wielu przypadkowych procesów naodpowiednim poziomie aproksymacji [9]. Wi kszo systemów inercyjnychmo e by opisana funkcj autokorelacji procesu GM pierwszego rz du [27]:

1

1

2e-bb b (2.34)

gdzie:

bbR funkcja autokorelacji biasu b,

b odchylenie standardowe pomiarów,

1 ci g czasu korelacji dany jako:1 1 1

2przy

1ec c bb b .

Funkcj autokorelacji tego typu przedstawiono na rys. 32. Filtr kszta tuj cy jestuk adem zamkni tym pierwszego rz du, co wida na rys. 33.

Jak pokazano na rysunku 32, korelacja pomi dzy danymi z procesu pierw-szego rz du spada wraz ze wzrostem odst pu czasowego pomi dzy próbkamidanych. Jest to spadek do 0 w . Procesy pierwszego rz du GM s cz sto sto-sowane do opisu b dów w systemach inercyjnych ze wzgl du na prostot apara-tu matematycznego i w miar dobre przybli enia rzeczywisto ci.

Rys. 32. Funkcja autokorelacji pierwszego rz duród o: [27].

21e b

2b

12eb

11

1c

11

1c

-

71

ywaj c modelu GM pierwszego rz du mo na opisa bias jako równanieró niczkowe [27]:

21 1- 2 bb t b t + w t (2.35)

Rys. 33. Uk ad filtruj cy pierwszego rz duród o: [27].

9.6. Mo liwe kombinacje procesów losowych w systemachinercyjnych

Procesy losowe i b dy z nimi zwi zane mog by przedstawione jakokombinacja dwóch lub wi cej procesów. Przyk adowo, losowy bias i RW mogby przedstawione jako jeden proces losowy wyra ony za pomoc zmiennej.Kombinacje tych procesów dobiera si na podstawie specyfikacji bada , jakiemaj by przeprowadzone w przypadku konkretnego systemu inercyjnego.

Nale y podkre li , i obróbka danych przedstawionymi metodami wymagawcze niejszego ich przygotowania. Dane pochodz ce z systemów inercyjnychcharakteryzuj si wysokim poziomem szumów pomiarowych. Stosuje si ró nemetody usuwania tych zak óce m.in. analiz Fouriera i funkcje falki.

Do modelowania zjawisk rz dz cych prawami systemów inercyjnych wy-korzystuje si równania ró niczkowe losowe. Niestety, w przypadku dynamicz-nych procesów losowych typowe metody rozwi zywania zwyk ych równa ró -niczkowych zwykle zawodz . Wprowadza si stochastyczne równania ró nicz-kowe, jednak rozwi zania tego typu uk adów cz sto s jedynie przybli one (np.:proces Wienera nie jest ró niczkowalny w ca ej swojej dziedzinie, co wi cej niejest nawet redniokwadratowo ró niczkowalny). Stosuje si wtedy teori dystry-bucji (powstaje gaussowski bia y szum) lub zamian na równanie ca kowe (naj-cz ciej s to ca ki Ito lub Stratonowicza) [9].

w(t) b(t)

b(0)

1

72

Modelowanie b dów systemu inercyjnego jest do skomplikowanym za-daniem ze wzgl du na losowy charakter tych b dów. Obecnie wprowadza sitechniki pozwalaj ce na szybk analiz b dów (np.: funkcje autoregresji), jed-nak formalizm matematyczny tych rozwi za znacznie wykracza poza ramy te-go opracowania.

9.7. Analiza Fourierowska i falkowa w zastosowaniach nawigacjiinercyjnej

Analiza falkowa, w przeciwie stwie do analizy Fourierowskiej, u ywafunkcji aproksymuj cych, które s zlokalizowane zarówno w dziedzinie czasu,jak i cz stotliwo ci. W nie z tego powodu falki s bardzo przydatne do aprok-symowania funkcji (obróbki sygna ów) z ostrymi pikami oraz nieci ciami[4].

Falki s matematycznymi funkcjami, które dziel dane wej ciowe na sk ad-niki ró nej cz stotliwo ci, a potem analizuj ka dy element z dok adno ci od-powiadaj skali próbki. Daje to bardzo dobre mo liwo ci poznania natury sy-gna u.

Klasyczne podej cie do analizy cz stotliwo ci przewiduje stosowanie wzo-rów Fouriera. Wykazano, e ka da funkcja mo e by przedstawiona jako szeregfunkcji okresowych:

01

cos sink kk

a a kx b kx (2.36)

Wspó czynniki a0, ak, bk wyznaczane s w nast puj cy sposób:

2

00

1 ( )2

a f x dx

2

0

1 coska f x kx dx (2.37)

2

0

1 sinkb f x kx dx

73

Transformaty Fouriera (FT – ang. Fourier Transforms)

Pod ogólnym poj ciem transformat Fouriera rozumie si funkcje do anali-zowania cz stotliwo ci sygna u w pewnym przedziale czasu. Transformataogólnie polega na zmianie funkcji z zale no ci od czasu na funkcj zale odcz stotliwo ci. Taki sygna mo e by analizowany ze wzgl du na swoj cz sto-tliwo , gdy wspó czynniki Fouriera reprezentuj wk ad ka dej funkcji sinusi cosinus do poszczególnych cz stotliwo ci [11].

Wa ona (okienkowa) transformata Fouriera (WFT – ang. Windowed Fo-urier Transforms) mo e by zastosowana w przypadku, gdy analizowana funk-cja nie jest okresowa, a z enie funkcji okresowych nie odwzoruje jej dok ad-nie. Mo emy jednak tak roz sygna , aby jego poszczególne cz ci by yfunkcjami okresowymi. WFT daje informacje jednocze nie o dziedzinie czasui cz stotliwo ci. WFT sygna wej ciowy dzieli na przedzia y, a ka dy z nich jestoddzielnie analizowany ze wzgl du na cz stotliwo . Je eli sygna posiada ostreprzej cia, to podzia jest tak dopasowany, aby w miejscu tego przej cia znalazsi koniec przedzia u. Procedura przywi zuje wi ksz wag do punktów zerodka przedzia u, a nie z okolic ko ców.

Dyskretna transformata Fouriera (DFT – ang. Discrete Fourier Transforms)szacuje transformat Fouriera na podstawie sko czonej ilo ci punktów, któreodwzorowuj zachowanie si ca ej funkcji.

Zastosowanie komputerów oraz oblicze w czasie rzeczywistym wymagastosowania przekszta ce numerycznych. Wykorzystuje si tu algorytm podanyprzez J. Tuckeya i J. Cooleya, obliczaj cy DFT, oparty na symetrii funkcji har-monicznych, nazwany szybk transformat Fouriera (FFT – ang. Fast FourierTransforms). Aproksymacja funkcji seriami pojedynczych pomiarów wymagazastosowania w obliczeniach macierzy rz du n (ilo u ytych punktów). Mno-enie macierzy n × n wymaga wykonania operacji n2, co przy du ej ilo ci po-

miarów punktowych, np.: w przypadku sygna ów pochodz cych z czujników in-ercyjnych, staje si problematyczne ze wzgl du na sko czon moc obliczeniowkomputera. Je eli punkty roz one s w jednolity sposób, wtedy macierz n × nmo e zosta podzielona na kilka macierzy rzadkich, a ilo wykonywanych ope-racji arytmetycznych wynosi wtedy n logn.

Analiza falki (ang. wavelet) w odró nieniu od analizy fourierowskiej niewyra a badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez funkcje, które stworzone ze sta ej funkcji zwanej falk bazow , poddawanej wielokrotnymprzekszta ceniom [4]. Funkcje te mo na odnosi zarówno do czasu, jak i do cz -stotliwo ci, dopuszczaj c zwi zki pomi dzy funkcj reprezentowan a jejwspó czynnikami. Dzi ki temu uzyskano wi ksz stabilno numeryczn w pro-cesie odtwarzania badanej funkcji.

Z praktycznego punktu widzenia, celem analizy falki jest znalezienie funk-cji bazowych i sposobów ich uzyskania z u yciem metod numerycznych. Do-

74

wiedziono, e ka da funkcja daj ca si aproksymowa szybk transformat Fo-uriera, mo e zosta przedstawiona za pomoc falek, zawieraj c przy tym wi cejinformacji przestrzennej jak i cz stotliwo ciowej ni FFT [11]. Analiza falek jestz tego wzgl du doskona ym narz dziem w analizie przebiegów niestacjonar-nych, np.: bia ego szumu.

Przyjmuj c za enie, e funkcja f(x) jest okre lona w ca ej dziedzinie liczbrzeczywistych, mo na przedstawi funkcj jako sum :

k kk

f a F (2.38)

przyjmuj c za ak pewne wspó czynniki liczbowe, za Fk traktuj c jako rodzinprostych funkcji. Istotne jest tak e, aby ju sko czona suma przybli a w miardobrze funkcj wyj ciow .

Funkcja wej ciowa f(x) mo e by zapisem ko ysa statku, wykresem EKG,czy zapisem d wi ku. Rozwi zanie tego problemu sprowadza si do:

wyznaczenia wspó czynnika ak;wyznaczenia sko czonej sumy, przybli aj cej na odpowiednim pozio-mie.

Dodatkowo koniecznym staje si wprowadzenie poj cia uk adu ortonor-malnego funkcji F(k), spe niaj cego warunek:

0, gdy1, gdyk l

k lF x F x dx

k l (2.39)

Falk nazywamy tak funkcj , której uk ad funkcji j,k zdefiniowany ja-ko:

2, 2 2j j

j k x k (2.40)

gdzie:k, j, l – nale do uk adu liczb ca kowitych,

jest uk adem ortonormalnym i zupe nym.Funkcje te d do zera dla argumentu d cego do niesko czono ci, a ich

suma wa ona umo liwia przedstawienie z dowoln dok adno ci dowolnejfunkcji ci ej (podobnie jak funkcje cosinus (transformata Fouriera) o ró nychokresach umo liwiaj przedstawienie ka dej funkcji okresowej).

75

Jako najprostsz falk przyjmuje si falk Haara, skonstruowan ok. 1890 r.,zdefiniowan jako [4]:

,

11 dla 02

11 dla 12

0 w pozostalych przypadkach

j kh x

x

x (2.41)

Z definicji wynika, e funkcja hj,k (x) jest zerem poza odcinkiem [2-jk,2-j(k + 1)], czyli wspó czynnik aj,k przyjmie tak warto jak funkcja na tym od-cinku. Zarówno funkcja aj,k, hj,k, jak i jej sko czona suma w przypadku falki Ha-ara jest nieci a. Falki, które powsta y w latach 80 i 90 ubieg ego stulecia by yju ci e i mia y pochodne. Dziedzina ta jednak wci dynamicznie si rozwijaze wzgl du na du e mo liwo ci praktycznego zastosowania.

Podobnie jak w przypadku analizy Fourierowskiej, skonstruowano dyskret- transformat falki (DWT – ang. Discrete Wavelet Transform) oraz szybk

transformat falki (FWT – ang. Fast Wavelet Transform). Macierz DWT nie jestw ogólno ci macierz rzadk . Dzieli si j w celu uzyskania kilku macierzyrzadkich, wykorzystuj c do tego celu w asno ci samopodobie stwa. Algorytmtaki wymaga wykonania n operacji do przekszta cenia n wymiarowego wektora.Jego nazwa pochodzi od nazwisk twórców: DWT Mallata i Daubechies [4].

Transformaty falkowe s tak e sk adnikiem bardziej uniwersalnych pakie-tów falkowych (ang. wavelet packets), czyli kombinacji kilku funkcji falki. Two-rz one baz zachowuj parametry ortogonalno ci i w ciwo ci lokalizacjibazowej funkcji falkowej. Rekurencyjny algorytm wylicza odpowiednie wspó -czynniki w liniowej kombinacji. Ka dy wyliczony wspó czynnik pakietu falko-wego zapami tuje jako jedn z ga zi swojego drzewa analitycznego [4].

Analiza falki, jak i transformaty Fouriera, zosta y zaimplementowane m.in.w pakiecie in ynierskim MATLAB. Praktyczne zastosowanie tego pakietu jestogromne, a jego przedstawienie wychodzi poza ramy tej publikacji. Omówionyzostanie jednak w kolejnej publikacji dotycz cej zastosowa inercyjnych.

10. Filtracja Kalmana

Filtracja Kalmana jest podstawow technik analizy danych pochodz cychz czujników inercyjnych. Sam problem zosta opisany przez W gra, RudolfaKalmana, który w 1960 r. opisa rekurencyjne rozwi zanie problemu dyskretnej

w pozosta ych przypadkach

76

filtracji liniowej [14]. Zak adaj c dany poziom b du, rozwi zanie sprowadza osi do oszacowania chwilowego wektora stanu uk adu dynamicznego. Zak óce-nia w uk adzie s traktowane jako bia y szum. Poniewa filtr Kalmana ma wielezastosowa praktycznych, sta si on przedmiotem szeroko zakrojonych bada ,a od momentu pierwszej publikacji wprowadzono do podstawowego algorytmuwiele zmian. Bazuj c na samym za eniu filtracji Kalmana powsta o wiele po-krewnych narz dzi do analizy dynamicznych danych.

Estymacja procesu

W uj ciu ogólnym, filtracja Kalmana sprowadza si do estymacji stanux n, jako zdyskretyzowanego czasowego procesu przybli onego przez rów-nanie [18]:

1 1k k k kx x u wA B (2.42)

z pomiarem z n opisanym:

k k kz x vH (2.43)

gdzie:xk warto dyskretna wektora stanu,A macierz systemowa (przej cia),B macierz wyj ciowa.

Zmienne losowe vk i wk reprezentuj odpowiednio szum pomiarowy i szumprocesu. Zmienne te s niezale ne, czysto losowe oraz posiadaj normalny roz-

ad prawdopodobie stwa o warto ci oczekiwanej zero i odchyleniu standardo-wym R i Q:

p(v) ~ N (0, R)

p(w) ~ N (0, Q)

W implementacjach praktycznych, macierz reprezentuj ca kowariancjszumu pomiarowego R oraz macierz reprezentuj ca kowariancj szumu procesuQ, mog ulega zmianie przy zmianie kroku czasowego, jakkolwiek dla uprosz-czenia mo na za , e s sta e.

Macierz A o wymiarach n × n wi e stan uk adu z poprzedniego kroku k – 1z krokiem k. Macierz ta mo e ulega zmianie przy zmianie kroku czasowego,jakkolwiek dla uproszczenia mo na za , e jest sta a. Macierz B o wymia-

77

rach n × l wi e parametr u wej cia stanu. Macierz H o wymiarach m × n,to macierz, wi ca stan z pomiarem zk.

Definiuj c ˆ nkx jako estymat stanu a priori w chwili k (wiedz o pro-

cesie przed tym momentem), natomiast ˆ nkx jako estymat a posteriori sta-

nu w chwili k (informacja na podstawie pomiaru zk), estymaty b du a priori i aposterpriori mo emy zapisa jako:

ˆek k kk x(2.44)

ˆek k kx x

Odpowiadaj ce im macierze kowariancji s nast puj ce:

e e Tk k kP E

(2.45)e eT

k k kP E

Wyznaczamy równanie, które pozwoli nam na wyliczenie estymaty a po-steriori ˆkx jako liniowej kombinacji estymaty a priori ˆkx i wa onej ró nicy

pomi dzy pomiarem zk a przewidywan warto ci pomiaru ˆxxH :

ˆ ˆ ˆk k k kx x z xK H (2.46)

Ró nica ˆk kz xH nazywana jest pozosta ci w pomiarze (ang. residual,

innovation).Macierz K o wymiarach n × m odpowiada za parametr zwany wzmocnie-

niem lub czynnikiem mieszania (ang. gain, blending factor), który odpowiada zazmniejszenie k.

Zasada rekurencji dla filtru Kalmana polega na tym, e w danej chwili k,dokonywany jest pomiar stanu, na podstawie którego oraz estymaty a prioriw chwili k – 1 wyznaczana jest estymata a posteriori. S y ona nast pnie dopredykcji estymaty stanu w nast pnym, k + 1 momencie. A zatem równania opi-suj ce filtr Kalmana dziel si na dwie kategorie: równania aktualizuj cew chwili k oraz równania predykcyjne dla chwili k + 1 [9].

W przypadku, gdy proces nie jest opisany liniowymi równaniami ró nicz-kowymi jednym z lepiej sprawdzaj cych si zastosowa jest rozszerzony filtr

78

Kalmana (EKF – ang. Extended Kalman Filter). Filtr ten linearyzuje równania,ywaj c warto ci rednich i kowariancji procesu [9].

79

Literatura

1. Allen L., Eberly J.H., Optical resonance and two level atoms. John Willeyand Sons, New York 1975.

2. Arnold L., Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Wi-ley 1974.

3. Bernstein et al., A micromachined comb-drive tuning fork rate gyroscope.Proc IEEE Micro Electro Mechanical Systems Workshop (MEMS 93), FortLauderdale 1993.

4. Bia asiewicz J.T., Falki i aproksymacje. WNT, Warszawa 2004.5. Borenstein J., Everett H.R., Feng L. Where am I? Sensors and Methods for

Mobile Robot Positioning. University of Michigan 1996.6. Britting K. R., Inertial navigation systems analysis. Wiley-Interscience,

New York 1971.7. Chung K.L., Elementary Probability Theory with Stochastic Processes.

Springer, 1975.8. Evans L. C., An Introduction to Stochastic Differential Equations. Depart-

ment of Mathematics, UC Berkeley 1996.9. Gajek L., Ka uszka M., Wnioskowanie statystyczne. WNT, Warszawa 1996.10. Gibson J., Koo B., Filtering of Colored Noise for Speech Enhancement and

Coding. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 39, No. 8, 1991.11. Gray R. M., Davisson L. D., An Introduction To Statistical Signal

Processing. McGraw Hill 1999.12. Grewall M. S., Weill L. R., Andrews A. P., Global Positioning Systems, In-

ertial Navigation, and Integration. John Wiley&Sons, 2001.13. Hsu Hwei P., Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability,

Random Variables, and Random Processes. McGraw Hill 1997.14. Kalman R., A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems.

Transactions of the ASME, Journal of Basing Engineering, vol. 82, 1960.15. Kayton N., Fried W.R., Elektroniczne uk ady nawigacji lotniczej. WK ,

Warszawa 1976.16. Maluf N., Williams K., An Introduction to Microelectromechanical Systems

Engineering. Second Edition, Artech House, Boston 2004.17. Markey W., Hovorka J., The mechanics of inertial positioning and heading

indication. Methuen & co Ltd, London 1961.18. Moghaddamjoo A., Kirlin L., Robust Kalman Filtering with Unknown In-

puts. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, vol.37, No. 8, 1989.

19. Narkiewicz J., Podstawy uk adów nawigacyjnych. WK , Warszawa 1999.20. Nowak R., Statystyka dla fizyków. PWN, Warszawa 2003.

80

21. Omerbashich M., Integrated INS/GPS navigation from a popular perspec-tive. Journal of Air Transportation, Vol .7, University of New Brunswick2002.

22. Putty M.W., A micromachined vibrating ring gyroscope. Rozprawa dok-torska, University of Michigan 1995.

23. Sameh, N., Improving the Inertial Navigation System (INS) Error Model forINS and INS/DGPS Applications. Rozprawa doktorska, UCGE ReportsNumber 20183, Department of Geomatics Engineering, University of Cal-gary 2003.

24. Sobczyk K., Stochastyczne równania ró niczkowe. WNT, Warszawa 1996.25. Titterton D. H., Weston J. L., Strapdown Inertial Navigation Technology.

Peter Peregrinus Ltd, 1997.26. Vaseghi S., Advanced Signal Processing and Digital Noise Reduction. Wi-

ley & Teubner, New York 1997.27. Zhang X., Integration of GPS with a medium accuracy IMU for meter –

level positioning, University of Calgary, Department of geomatics engineer-ing, Calgary 2003.

28. Serwis internetowy: www.wikipedia.org.pl29. Witryna internetowa Analog Devices: www.analog.com30. Witryna internetowa BEI: www.bei.com31. Witryna internetowa iMAR: www.imar.com32. Witryna internetowa KVH: www.kvh.com33. Witryna internetowa NEC-Tokin: www.nec-tokin.com

81

Spis rysunków

1. Uk ad p aszczyzn odniesienia: inercyjny (x, y, z); geograficzny(xe, ye, ze); geocentryczny (xc, yc, zc); geodezyjny (N, E, D) …….. 14

2. Uk ad odniesienia zwi zany z obiektem [R, P, Y] (body frame) ……. 163. Kardanowy uk ad nawigacji inercyjnej ……………………………… 234. System INS stabilizowany przestrzennie …………………………… 255. System INS stabilizowany lokalnie …………………………………. 266. Bezkardanowy uk ad nawigacji inercyjnej typu strap-down ….……. 277. Zasada wyznaczania wektora przemieszczenia obiektu na podstawie

ca kowania sk adowych wektora przyspieszenia …………………… 298. Schemat blokowy uk adu wyznaczania pozycji w kardanowym

uk adzie nawigacji inercyjnej ……………………………………….. 329. Schemat blokowy uk adu wyznaczania pozycji w bezkardanowym

uk adzie nawigacji inercyjnej ……………………………………….. 3310. System inercyjny …………………………………………………….. 4111. Struktura yroskopu typu wibruj cy strojony element – kamerton

w powi kszeniu pod mikroskopem elektronowym ………………….. 4312. Schemat uk adu yroskopu BEI GyroChip ………………………….. 4413. Powstawianie si y Coriolisa podczas ruchu wahad a Focaulta ……… 4514. Pr t ceramiczny wykorzystywany w yroskopach ceramicznych …... 4615. Fazy wibracji pr ta ceramicznego w yroskopie ceramicznym …….. 4616. Schemat budowy sensora z wibruj cym pr tem …………………….. 4617. Zjawisko Sagnacka w yroskopie optycznym ………………………. 4718. Uproszczony schemat yroskopu FOG ……………………………… 4919. Schemat yroskopu typu IFOG ……………….…………………….. 5020. yro DSP 3000 firmy KVH …………………………………………. 5121. System iNAV-FMS firmy iMAR ……………………………………. 5122. Schemat yroskopu laserowego ……………………………………... 5223. Schemat detektora yroskopu RLG …………………………………. 5324. Schemat budowy akcelerometru …………………………………….. 5525. Schemat akcelerometru belkowego ………………………………….. 5626. Powi kszenie struktury akcelerometru MEMS ……………………… 5727. Widok pojedynczej grupy grzebieni akcelerometru ………………… 5728. Wp yw utraty sygna u GPS na dok adno pozycji w systemie

INS/GPS ……………………………………………………………... 6029. Zobrazowanie b dów w sensorach inercyjnych …………….……… 6130. Funkcje ACF i ACS dla bia ego szumu ……………………………… 6731. Filtr formuj cy stosowany w modelowaniu szumu …………………. 6832. Funkcja autokorelacji pierwszego rz du …………………………….. 7033. Uk ad filtruj cy pierwszego rz du …………………………………... 71

82

RedaktorPaulina M drawska

Redakcja technicznaElwira Goryczko

Szczecin 2006. Typografia i sk ad – Dzia Wydawnictw Akademii Morskiej. Wyd. I. Nak ad 150 egz. Format B5. Ark. wyd. 5,3. Ark. druk. 5,0.

83

ISBN–10 83-89901-20-XISBN–13 978-83-89901-20-0

84

M.

Gu

cma

J.

Mo

nte

wka

Po

dst

awy

mo

rski

ej

na

wig

acj

i in

erc

yjn

ej