Podstawy Fizyki

Wykład 8

Pole magnetyczne

2

Pole magnetyczne jest polem wektora B, które możemy określić jako pewien stan przestrzeni. Pole to jest wytwarzane przez np. magnesy stałe oraz prądy elektryczne. Można go uwidocznić np. przy pomocy igły kompasu, opiłkami żelaza oraz siłą, którą to pole działa na poruszające się ładunki.

Pole magnetycznePole magnetyczne

3

Doświadczalnie stwierdzamy, że występuje oddziaływanie:

• pomiędzy magnesami naturalnymi, np. magnetyt (Fe3O4);

• przewodników z prądem;

• pola magnetycznego na ładunki elektryczne będące w ruchu.

4

Magnesem jest także Ziemia

Geograficzna Północ

Geograficzne Południe

Magnetyczne Południe

Magnetyczna Północ

Ziemskie polemagnetyczne

Ziemskie polemagnetyczne

5

Siła magnetyczna Siła magnetyczna

Cechą pola magnetycznego jest indukcja magnetyczna

max

v

FB

q

Siła działa na ładunki w ruchu i jest proporcjonalna do iloczynu q·v.

Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla; 1T = N/(A·m)

Siła Lorentza zależy od kierunku wektora prędkości v. Ta zależność jest zapisana poprzez równanie wektorowe

L q F v B

Siła LorentzaSiła Lorentza

6

Kierunek siły Lorentza definiuje się za pomocą reguły śruby prawoskrętnej (iloczyn wektorowy).

7

Ślady dwóch elektronów (e-) i pozytonu (e+) w komorze pęcherzykowej, umieszczonej w jednorodnym polu magnetycznym, które jest skierowane prostopadle przed płaszczyznę rysunku

8

Zauważmy, że FL jest zawsze prostopadła do v. Stąd:

2vm qvBr

mvr

qB promień okręgu

Zasadnicze elementy spektrometru mas.

9

BevF u BnSe

IeF

Siła działa na ładunki w ruchu więc działa na cały przewodnik z prądem.

10

W przewodniku o długości l znajduje się nSl elektronów

lBIBnS

IlnSF

Równanie w ogólnym przypadku ma postać

I F l B

11

Rozważymy działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem.

Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem

12

Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem

Prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt z polem B.

13

Wypadkowy moment siły

sinsin2

sin2 131 bF

bF

bF

13 FF

lub wektorowo

bFτ 1

IaBF 1 sinsin ISBIabB

BSτ I

Sμ Imagnetycznym moment

dipolowy

Bμτ

14

Z momentem siły działającym na dipol związana jest tzw. energia magnetyczna dipola. Ta energia wyraża się wzorem

cosBEm Bμ

Zauważmy, że minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoległym do pola magnetycznego B ( = 0).

15

Efekt Halla

E.H. Hall odkrył w 1897 r. efekt (nazwany później jego nazwiskiem), dzięki któremu możemy określić znak ładunku płynącego w przewodniku.

Jeżeli płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieścimy w polu magnetycznym, prostopadłym do kierunku przepływu prądu, to na ładunki będzie działać siła odchylająca ich tor ruchu, powodująca zakrzywienie torów ładunków w kierunku jednej ze ścianek bocznych płytki. Niezależnie czy prąd jest związany z ruchem ładunków dodatnich czy ujemnych mamy do czynienia z odchylaniem ładunków w kierunku jednej krawędzi.

16

Dla ładunku ujemnego Dla ładunku dodatniego

Znak płynących ładunków jest określony przez znak wytworzonej różnicy potencjałów.

17

Pomiary zjawiska Halla pozwalają na wyznaczenie trzech wielkości1) Znaku ładunku nośników prądu2) Liczby nośników ładunku w jednostce objętości3) Ruchliwość nośników

Można też wykorzystać ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.

18

Prawo Ampère’a

I

Odkrycia, że prąd wytwarza pole magnetyczne dokonał Oersted.

Kiedy przez przewód płynie prąd elektryczny, magnesy wskazują, że linie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd są okręgami.

Linie pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi

19

Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą zasadę: Jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kierunek B

20

Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez prawo Ampère’a.

I0d lB

gdzie 0 = 4·10-7 Tm/A, jest przenikalnością magnetyczną próżni

Wynik ten nie zależy od kształtu konturu zamkniętego

21

PrzykładObliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika w odległości r od niego.

Z prawa Ampère’a wynika, że dla konturu kołowego

IrB 02

lBlB ddd lB

Stąd

r

IB

20

22

Strumień magnetyczny Strumień magnetyczny

Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez powierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B

dB

S

B S

Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi być równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).

S

0dSB

Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Biegunów magnesu nie da się wyizolować, tak jak można rozdzielić ładunki elektryczne.

23

Różne rozkłady prądów

Pręt (przewodnik)Na zewnątrz pręta (r > R)

r

IB

20

0d IB l

24

Wewnątrz pręta (r < R).

Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią całkowitego prądu I

20

2 R

IrB

0d iB l

25

Cewka (solenoid)

Solenoidem nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola magnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest prawie jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.

26

Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako układ połączonych szeregowo prądów kołowych

Całkę po konturze zamkniętym

a

d

d

c

c

b

b

a

lBlBlBlBlB ddddd

B l. 0 0

0 B=0

b

a

hBlBd

27

Teraz obliczmy prąd obejmowany przez kontur. Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:

czyli

nhII 0gdzie I0 jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).

nhIBh 00

nIB 00

B nie zależy od średnicy i długości solenoidu

28

Prawo Biota-SavartaPrawo Biota-Savarta

Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć B z rozkładu prądu.

Gdy rozkład prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nieskończenie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy wektor B.

29

Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi

02

sin

4

IdB dl

r

a zapisane w postaci wektorowej

034

I dd

r

l rB

30

PrzykładObliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem

Z prawa Biota-Savarta otrzymujemy

20 90sind

4d

r

lIB

o

20

4

dcoscosdd

r

lIBBII

22 zRr

ponieważ

22cos

zR

R

r

R

lzR

IRBII d

)(4d

23220

31

2322

20

23220

23220

)(2)2(

)(4d

)(4d

zR

IRR

zR

IRl

zR

IRBB II

Dla z >> R dostajemy

3

20

2z

IRB

32

Indukcja elektromagnetyczna Indukcja elektromagnetyczna

Prawo FaradayaPrawo Faradaya

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego zamkniętego obwodu.

Mówimy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyjnego.

Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:

33

1. Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego

34

2. Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego

35

3. Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd, który jest źródłem pola magnetycznego

36

Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest szybkość zmian strumienia magnetycznego B. Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya

tB

d

d

Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to

tN B

d

d

37

Reguła Lenza Reguła Lenza

Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywołała. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy strumień rośnie czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy prądów indukowanych.