penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso...
Transcript of penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso...
penzenskij gosudarstwennyj uniwersitet
kafedramatematiki i matemati�eskogo modelirowaniq
a�a cupak
psewdoobratnye matricy
penza ����
udk �����������bbk ������
iZLOVENA TEORIQ POLUOBRATNYH I PSEWDOOBRATNYH MATRIC NA OSNOWESKELETNOGO RAZLOVENIQ �ISLOWYH MATRIC NAD POLEM KOMPLEKSNYH �ISEL�dOKAZANY TEOREMY SU�ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI PSEWDOOBRATNYHMAT RIC� oPISAN ALGORITM PSEWDOOBRA�ENIQ� PRIWEDENY PRIMERY�
mETODI�ESKIE UKAZANIQ PODGOTOWLENY NA KAFEDRE �mATEMATIKA I MA TEMATI�ESKOE MODELIROWANIE� I PREDNAZNA�ENA DLQ STUDENTOW I ASPIRAN TOW SPECIALXNOSTEJ �mATEMATIKA� I �pRIKLADNAQ MATEMATIKA��
aWTOR a�a� cUPAK
c�cUPAK a�a�� ����c�iZDATELXSTWO pENZENSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA� ����
rECENZENT� s�n� dOROFEEW� DOKTOR PEDAGOGI�ESKIH NAUK� KANDIDATFIZ� MAT� NAUK� ZAWEDU��IJ KAFEDROJ �mATEMATIKA�pENZENSKOJ GOSUDAR STWENNOJ TEHNOLOGI�ESKOJ AKADEMII
sODERVANIE
� pOLUOBRATNYE MATRICY ���� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE MATRIC � � � � � � � � � � � � � � � �
����� oPREDELENIQ� SWQZX OBRA�ENIQ S ODNOSTORONNIM OB RA�ENIEM � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� pROSTYE SWOJSTWA ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ � � � � � ������ zAME�ANIE OB ODNOSTORONNEJ OBRATIMOSTI � � � � � � � �
��� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRIC � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ sKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY srm� � � � � � � � � ������ oDIN IZ SPOSOBOW NAHOVDENIQ srm � � � � � � � � � � � ������ wTOROJ SPOSOB NAHOVDENIQ srm � � � � � � � � � � � � ������� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE SOMNOVITELEJ srm � � � � ������� sWQZX OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S DRUGI
MI UNARNYMI OPERACIQMI � � � � � � � � � � � � � � � � ������� wAVNYE SWOJSTWA MATRIC MAKSIMALXNOGO RANGA � � � ��
��� wZAIMNYE POLUOBRATNYE MATRICY � � � � � � � � � � � � � � � ������� oPREDELENIQ I PROSTYE SWOJSTWA � � � � � � � � � � � � ������� wY�ISLENIE POLUOBRATNOJ MATRICY � � � � � � � � � � ��
� pSEWDOOBRATNYE MATRICY ����� pSEWDOOBRATNAQ MATRICA W PERWOM SMYSLE� � � � � � � � � � ��
����� oPREDELENIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY pSom� � � � � ������� sU�ESTWOWANIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY � � � � � � � ������� eDINSTWENNOSTX pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� wYRAVENIE pSom �EREZ SOMNOVITELI SKELETNOGO
RAZLOVENIQ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� sWOJSTWA pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� wTOROE OPREDELENIE pSom I EGO �KWIWALENTNOSTX PERWOMU � ������� oPREDELENIE pSom WO WTOROM SMYSLE pSom �� � � � ������� eDINSTWENNOSTX pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� pSom � DLQ MATRICY� OBRATIMOJ SLEWA � � � � � � � � ������� pSom � DLQ MATRICY� OBRATIMOJ SPRAWA � � � � � � � ������ pSom � DLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY � � � � � � � � � � ��
lITERATURA � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�
� pOLUOBRATNYE MATRICY
��� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE MATRIC
����� oPREDELENIQ� SWQZX OBRA�ENIQ S ODNOSTORONNIM OBRA�E�NIEM
iZ KURSA ALGEBRY IZWESTNY SLEDU��IE OPREDELENIQ I SWOJSTWA ODNO STORONNEJ OBRATIMOSTI �ISLOWYH MATRIC MATRIC NAD POLEM C ��
� mATRICA B��ln�m QWLQETSQ LEWOJ OBRATNOJ MATRICEJ MATRICY Bm�n�
ESLI B��ln�m �Bm�n � En�n�
� B��ln�m � rangBm�n � n � m�
� � B��ln�m � rangBm�n � n � m�
� mATRICA C��rn�m QWLQETSQ PRAWOJ OBRATNOJ MATRICEJ DLQ MATRICYCm�n� ESLI Cm�n � C
��rn�m � Em�m�
� C��rn�m � rangCm�n � m � n�
� � C��rn�m � rangCm�n � m � n�
� mATRICA A��n�n QWLQETSQ OBRATNOJ MATRICEJ DLQ MATRICY An�n�
ESLI A��n�n � An�n � An�n � A��n�n � En�n�
� A��n�m � rangAn�n � n� fn � mg�
� � A��n�m � rangAn�n � n� fn � mg�
tEOREMA� mATRICA OBRATIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA� KOGDA ONA OBRATIMAI SLEWA� I SPRAWA�
dOKAZATELXSTWO� sLEDUET IZ WY�EIZLOVENNOGO�
Am�n OBRATIMA �� r � m � n��
�r � n � m�
r � m � n��
��
�Am�n OBR� SLEWA �Am�n OBR� SPRAWA �
�
����� pROSTYE SWOJSTWA ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ
tEOREMA �� eSLI MATRICA B OBRATIMA SLEWA� TO WSQKAQ LEWAQ OBRATNAQMATRICA B��l OBRATIMA SPRAWA� I ODNIM IZ ZNA�ENIJ IMEET ISHODNU�MATRICU B �
B��l���r � B�
dOKAZATELXSTWO� o�EWIDNO� WEDX
B��ln�m �Bm�n � En�n�
tEOREMA �� eSLI MATRICA C OBRATIMA SPRAWA� TO WSQKAQ PRAWAQ OBRAT NAQ MATRICA C��r OBRATIMA SLEWA� I ODNIM IZ ZNA�ENIJ IMEET ISHODNU�MATRICU C �
C��r���l � C�
dOKAZATELXSTWO� o�EWIDNO� WEDX
Cm�n � C��rn�m � Em�m�
����� zAME�ANIE OB ODNOSTORONNEJ OBRATIMOSTI
nEKOTORYE MATRICY MOGUT NE IMETX NI LEWOJ OBRATNOJ� NI PRAWOJOBRATNOJ MATRIC� �TO BUDET WSQKIJ RAZ� KOGDA
rangAm�n � minfm�ng�
w SWQZI S �TIM W TEORII ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ OSOBU� ROLX IGRAETTAK NAZYWAEMOE SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�
��� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRIC
����� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY srm
oPREDELENIE� srm NAZYWAETSQ PREDSTAWLENIE PROIZWOLXNOJ MATRICYAm�n W WIDE PROIZWEDENIQ Am�n � Bm�r � Cr�n PRI OBQZATELXNYH RAN GOWYH USLOWIQH
rangBm�r � rangCr�n � r � rangAm�n � �
KOTORYE OBESPE�IWA�T SU�ESTWOWANIE ODNOSTORONNIH OBRA�ENIJ
B��lr�m � C��rn�r �
�
zAME�ANIE� w L�BOM SLU�AE srm NE EDINSTWENNO� T�K� ESLI
Am�n � Bm�r � Cr�n �
TO DLQ PROIZWOLXNOJ NEWYROVDENNOJ MATRICY Dr�r
Am�n � Bm�rDr�r� � D��r�r Cr�n��
����� oDIN IZ SPOSOBOW NAHOVDENIQ srm
dLQ ISHODNOJ MATRICY WY�ISLQEM METODOM �LEMENTARNYH PREOBRAZO WANIJ EE RANG� MAKSIMALXNOE �ISLO lnz STOLBCOW I KO�FFICIENTY� S KO TORYMI WSE STOLBCY WYRAVA�TSQ �EREZ NAJDENNYE lnz�
t�K� rangAm�n � r� W MATRICE Am�n SU�ESTWU�T r lnz STOLBCOW�ai� ��ai� � � � � ��air � A WSE PRO�IE QWLQ�TSQ IH LINEJNYMI KOMBINACIQMI� SAMIlnz �aij TAKVE QWLQ�TSQ SWOIMI LINEJNYMI KOMBINACIQMI� TAKIM OBRA ZOM� WSE STOLBCY MATRICY A � �a��a��a� � � ��an� QWLQ�TSQ LINEJNYMI KOM BINACIQMI STOLBCOW �aij �
�bj � SOSTAWLQ��IH MATRICU B � �b��b� � � ��br� �
�as �
rXt��
�btcts� s � �� �� � � � � n�
kO�FFICIENTY cts OBRAZU�T MATRICU Cr�n � rANGOWYE USLOWIQ � WY POLNENY O�EWIDNYM OBRAZOM�
pRIMER �� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�
A �
�� � � ��
� � �� �
�����
�
w �TOM PROSTOM PRIMERE I BEZ �LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ WIDNO� �TOPERWYE DWA STOLBCA �a�� �a� lnz� A TRETIJ RAWEN SUMME DWUH PERWYH IODNOGO WTOROGO� �a� � ��a� � �a� � PO�TOMU��
��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a�
�
sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX
B �
�� � �
� ��
�����
� C �
� � �� � �
���
�
�
pRIMER �A� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�
A �
����
� � �� �� � � ��
� � �� ��� � � ��
�������
�
pROWEDEM �LEMENTARNYE STRO�E�NYE PREOBRAZOWANIQ ZADANNOJ MATRICY�����
� � �� �� � � ��
� � �� ��� � � ��
���� �
����
� �� �� ��� � � ��� � �� ��� � � ��
���� �
�
����
� � � �� � � �� � � �� � � �
���� �
����
� � � �� � � �� � � �� � � �
���� �
pERWYE DWA STOLBCA �a�� �a� lnz� TRETIJ RAWEN SUMME �ESTI PERWYH IMINUS DWUH WTORYH� A �ETWERTYJ RAWEN SUMME PERWOGO I PQTI WTORYH��a� � ��a� � �a� � �a� � �a� � ��a� � PO�TOMU� �
��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � �a��a� � � � �a� � � � �a�
�
sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX
B �
����
� �� �
� �� �
�������
� C �
� � � �� � � �
���
�
pRIMER �B� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�
A �
����
� � �� �� � � ��
� � �� ��� � � ��
�������
�
pERED NAMI PREVNQQ MATRICA� NO TEPERX MY BUDEM PROWODITX INYE �LE MENTARNYE STRO�E�NYE PREOBRAZOWANIQ��
���� � �� �� � � ��
� � �� ��� � � ��
���� �
����� � �� �� � � ��
� � �� ��� � � ��
���� �
�
����� � �� ��� � �� ���� � �� ���� � �� ��
���� �
����� � �� �� � � �� � � �� � � �
���� �
�
����� � �� �� � � �� � � �� � � �
���� �
����� � �� �� � � �� � � �� � � �
���� �
wTOROJ I �ETWERTYJ STOLBCY �a�� �a� lnz� PERWYJ RAWEN SUMME MINUSPQTI WTORYH I ODNOGO �ETWERTOGO� A TRETIJ RAWEN SUMME MINUS TRIDCATIDWUH WTORYH I �ESTI �ETWERTYH� �a� � ��a� � �a� � �a� � ���a� � ��a� �PO�TOMU � �
��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � �� � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a�
�
sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX
B �
����� �� ��� ��� ��
�������
� C �
� � �� �� � � �
���
�
oBOB�ENIE NABL�DENIJ� pUSTX ZADANA PROIZWOLXNAQ MATRICA
Am�n � ��a� �a� � � � �an�m�n
I EE UPRO�ENNYJ WID � OJ STUPENI PRIMENQLISX TOLXKO STRO�E�NYE PRE OBRAZOWANIQ� W T��� I PERESTANOWKA STROK� A�m�n �
����� � � ���s����e��s��a
�
s��� � � ��a�
s����e��s��a�
s��� � � � � � ��a�
sr���er�sr�a�
sr�� � � ��a�
sn
�pARAMETR r �TO RANG MATRIC A� A��
�
sOZDADIM IZ MATRICY A NOWU� MATRICU B� WYBIRAQ STOLBCY S BA ZISNYMI NOMERAMI s�� s�� � � � � sr �
B � ��as� �as� �as� � � � �asr �m�r�
sOZDADIM IZ MATRICY A�m�n MATRICU Cr�n� WY�ERKIWAQ IZ A�m�n NIV NIE NULEWYE STROKI� Cr�n �
����� � � ���s����e��s��cs��� � � � �cs����e��s��cs��� � � � � � ��csr���er�sr�csr�� � � ��csn
��
wID MATRICY A� GOWORIT NAM� �TO W MATRICE A STOLBCY S NOME RAMI �� �� � � � � s� �� � NULEWYE� STOLBCY S NOMERAMI s�� s�� � � � � sr �lnz� WSE VE STOLBCY � �TO LINEJNYE KOMBINACII lnz STOLBCOW S KO �FFICIENTAMI� OBRAZU��IMI STOLBCY �a�k� OBREZANNYE DO WYSOTY r� T�E�OBRAZU��IMI STOLBCY �ck�
nO SLOWA POSLEDNEGO ABZACA I OZNA�A�T� �TO
Am�n � Bm�r � Cr�n �
pRIMER �� rASSMOTRIM MATRICU
A���� �
������
� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �
����������
I EE UPRO�ENNYJ WID WTOROJ STUPENI
A����� �
��������
� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �
� � ��
������������
�
w ISHODNOJ MATRICE A STOLBCY S NOMERAMI �� �� �� � lnz� WSE VE STOLB CY � �TO LINEJNYE KOMBINACII lnz STOLBCOW S KO�FFICIENTAMI� OBRA ZU��IMI KOROTKIE STOLBCY MATRICY A�� sKELETNOE RAZLOVENIE MAT
�
RICY A TAKOWO�
A���� �
��������
� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �
� � ��
������������
�
�
��������
� � �� � �� � �� � �� � �� � ��
�����������
�
����
� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �
� � ��
��������
�
����� wTOROJ SPOSOB NAHOVDENIQ srm
mATRICA Am�nrangA � r� S POMO�X� �LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJSTRO�E�NYH I STOLBCOWYH� MOVET BYTX UPRO�ENA�
A � � �
Er O
O O
�
PO�TOMU Am�n Em�m
En�n
�
�m�n Sm�mTn�n
�
TAKIM OBRAZOM�
�m�n � Sm�mAm�nTn�m � Am�n � S��m�m�m�nT��n�n�
ILI W �UTX BOLEE PODROBNOJ BLO�NOJ ZAPISI�
Am�n � S��m�m
Er O
O O
m�n
T��n�n �
� S��m�m
Er
O
m�r� �z �
Bm�r
��Er O
�r�n
T��n�n� �z �Cr�n
� SSDM�
w POSLEDNEJ FORMULE MATRICA Bm�r POLU�AETSQ IZ MATRICY S��m�m WY DELENIEM r PERWYH STOLBCOW� A Cr�n POLU�AETSQ IZ MATRICY T��n�n WY DELENIEM r PERWYH STROK�
��
oPREDELENIE� pREDSTAWLENIE MATRICY A FORMULOJ SSDM� BUDEMNAZYWATX STANDARTNYM SKELETNYM RAZLOVENIEM MATRICY A �
����� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE SOMNOVITELEJ srm
tEOREMA�B��l�r�m �
�Er V
�r�m
� Sm�m�
C��r�n�r � Tn�n �
Er
U
n�r
�
GDE Vr��m�r� U�n�r�r � PROIZWOLXNYE MATRICY UKAZANNYH FORMATOW�
dOKAZATELXSTWO� pROWODITSQ PRQMYMI MATRI�NYMI WY�ISLENIQMI�
B��l � B ��Er V
�r�m
Sm�m � S��m�m
Er
O
m�r
�
��Er V
�r�m
�
Er
O
m�r
� Er�
C � C��r ��Er O
�r�n
T��n�n � Tn�n
Er
U
n�r
�
��Er O
�r�n
�
Er
U
n�r
� Er�
����� sWQZX OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S DRUGIMI
UNARNYMI OPERACIQMI
rASSMOTRIM SWQZI OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S UNARNYMIMATRI�NYMI OPERACIQMI KOMPLEKSNOGO SOPRQVENIQ� TRANSPONIROWANIQ I�RMITOWA SOPRQVENIQ� OBOZNA�AEMYMI PONQTNYMI OB�EPRINQTYMI SIM
WOLAMI� A � A� � A� � A�
�pUSTX Cm�n � C
��rn�m � Em� TOGDA
� Cm�n � C��rn�m � Em� I� SLEDOWATELXNO� C
��r� C��r�
� C��rn�m�� � Cm�n�� � Em� I� SLEDOWATELXNO� C��r�� � C����l�
� C��rn�m�� � Cm�n�� � Em� I� SLEDOWATELXNO� C��r�� � C����l�
aNALOGI�NO
C��l
� C��l� C��l�� � C����r� C��l�� � C����r�
��
����� wAVNYE SWOJSTWA MATRIC MAKSIMALXNOGO RANGA
tEOREMA �� eSLI rangBm�r � r r � m�� TO rangB�r�m � Bm�r� � r�
T�E� detB�B� �� ��
dOKAZATELXSTWO� pUSTX �x QWLQETSQ RE�ENIEM URAWNENENIQ
B�B��x � ���
uMNOVIM POSLEDNEE RAWENSTWO NA STROKU �x� SLEWA�
�x�B�B��x � ��
rASSTAWIM UDOBNYM OBRAZOM SKOBKI I WWEDEM SOKRA�A��IE OBOZNA�ENIQ�
�x�B��� �z ��y�
� B�x�� �z ��y
� ��
zAPI�EM RQD PROSTYH I PONQTNYH �KWIWALENTNOSTEJ�
�y� � �y � ��
mXi��
yi � yi � ��
mXi��
jyij� � ��
iyi � ��
tAKIM OBOAZOM RASSMOTRENNYJ WEKTOR OKAZALSQ NULEWYM�
�y � ��
�TO W POLNYH OBOZNA�ENIQH DAET URAWNENIE
Bm�r � �xr�� � ��m���
rE�IM �TO URAWNENIE� PREOBRAZUQ RAS�IRENNU� MATRICU METODOM gAUSSA�
B j �� � �
���������
� �� � �
����rr �
� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �
����������
uRAWNENIE IMEET EDINSTWENNOE NULEWOE RE�ENIE �x � ��� wSPOMINAQ� �TO�x OBOZNA�AET RE�ENIE URAWNENIQ B�B��x � ��� POLU�IM TREBUEMOE�
detB�B� �� ��
��
tEOREMA �� eSLI rangCr�n � rr � n�� TO rangCr�nC�n�r� � r� T�E�
detCC�� �� ��
dOKAZATELXSTWO� aNALOGI�NO PREDYDU�EMU�
sLEDSTWIE� sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ QWLQ�TSQ MATRICAMIMAKSIMALXNOGO RANGA� PO�TOMU DLQ NIH IME�T MESTO DOKAZANNYE SWOJSTWA�
detB�B �� ��� detCC�� �� ��
��� wZAIMNYE POLUOBRATNYE MATRICY
����� oPREDELENIQ I PROSTYE SWOJSTWA
oPREDELENIE� dLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY Am�n MATRICA A�n�m NA ZYWAETSQ POLUOBRATNOJ MATRICEJ pLom�� ESLI WYPOLNENY SLEDU��IESOOTNO�ENIQ� ��
�Am�nA
�n�mAm�n � Am�n �
A�n�mAm�nA�n�m � A�n�m �
RSIM�
mATRICY A� A�� UDOWLETWORQ��IE USLOWIQM RSIM�� NAZYWA�T WZAIM NYMI POLUOBRATNYMI MATRICAMI wpLom��
sWOJSTWO ��A��� � A�
W TOM SMYSLE� �TO ESLI DLQ NEKOTOROJ MATRICY A NAJDENA NEKOTORAQpLom A�� TO ODNIM IZ ZNA�ENIJ EE pLom BUDET ISHODNAQ MATRICA A �
sWOJSTWO �� eSLI A OBRATIMA� TO EDINSTWENNAQ pLom SOWPADAET SOBRATNOJ MATRCEJ� A� � A���
dOKAZATELXSTWO SU�ESTWOWANIQ� o�EWIDNO����
AA�� A � A �
A��AA�� � A�� �
��
dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI� pUSTX DLQ NEKOTOROJ MATRICY B
WYPOLNENY RSIM� � ���
ABA � A �
B AB � B�
TOGDAA �B � E �� B � A���
sWOJSTWO �� �RMITOWO SOPRQVENIE ODNOJ IZ pLom SOWPADAET S ODNIMIZ ZNA�ENIJ pLom �RMITOWOGO SOPRQVENIQ�
A��� � A��� �
dOKAZATELXSTWO� pRIMENIM K RAWENSTWAM RSIM� OPERACI� �RMITO WA SOPRQVENIQ� ��
�A� A��� A� � A� �
A���A� A��� � A��� �
TAKIM OBRAZOM�A��� � A��� �
sWOJSTWO �� eSLI IMEETSQ SKELETNOE RAZLOVENIE Am�n � Bm�r �Cr�n�TO A�n�m � C��rn�r �B
��lr�m �
dOKAZATELXSTWO� pROWERIM WYPOLNENNOSTX USLOWIJ RSIM� ����
BC�C��rB��l�BC� � B �E �E � C � BC� �
C��rB��l�BC�C��rB��l� � C��r �E �E �B��l � C��rB��l� �
uSLOWIQ RSIM� WYPOLNENY�
����� wY�ISLENIE POLUOBRATNOJ MATRICY
dLQ MATRICY Am�n SOSTAWIM POLNU� RAS�IRENNU� MATRICUAm�n Em�m
En�n
I PROWEDEM UPRO�ENIE MATRICY Am�n DO MATRICY
�m�n �
Er�r Or��n�r
O�m�r�r
�
��
PRI �TOM RAS�IRENNAQ MATRICA PREWRATITSQ W
�m�n Sm�mTn�n
�
T�E��m�n � Sm�m � Am�n � Tn�n�
nAPOMNIM� �TO MATRICA Tn�n POLU�ENA IZ MATRICY En�n S POMO�X�TEH VE STOLBCOWYH PREOBRAZOWANIJ� �TO I �m�n IZ Am�n� A MATRICASm�m POLU�ENA IZ MATRICY Em�m S POMO�X� TEH VE STROKOWYH PREOB RAZOWANIJ� �TO I �m�n IZ Am�n� TAKIM OBRAZOM�
�m�n � Sm�m � Am�n � Tn�n�
tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY Am�n EE POLUOBRATNU� MATRICU MOVNOPREDSTAWITX PROIZWEDENIEM
A� � Tn
Er
U
n�r
��Er V
�r�m
Sm�
GDE U�n�r�r� Vr��m�r �TO PROIZWOLXNYE MATRICY� IME��IE RAZMERYfn r� � rg I fr � m r�g SOOTWETSTWENNO�
dOKAZATELXSTWO� pREDSTAWIM MATRICU A EE SKELETNYM RAZLOVENIEM
A � B � C � S��m
Er
O
m�r
��Er O
�r�n
T��n
I PROWERIM WYPOLNENNOSTX DWUH SOOTNO�ENIJ RSIM� �
�� A � A� �A � S��Er
O
�Er O
�T�� �
� T
Er
U
�Er V
�S �
�S��Er
O
��Er O
�T�� �
� S��Er
O
�
��Er O
�T��T
Er
U
�Er V
�SS��
Er
O
�
��Er O
�T�� �
� A�
��
�� A� � A �A� � T
Er
U
�Er V
�S �
� S��Er
O
�Er O
�T�� �
� T
Er
U
�Er V
�S �
� T
Er
U
�
��Er V
�SS��
Er
O
�Er O
�T��T
Er
U
�
��Er V
�S �
� A��
zAME�ANIE� eSLI TREBUETSQ NAJTI NE WSE� A TOLXKO KAKOE NIBUDX ZNA �ENIE A�� TO MOVNO POLOVITX U � O� V � O� TOGDA
A� � Tn�n
Er
O
n�r
� � Er j O �r�mSm�m ��
pERWYJ SOMNOVITELX POLU�AETSQ IZ MATRICY Tn�n WYDELENIEM PERWYHr STOLBCOW� A WTOROJ� IZ MATRICY Sm�m WYDELENIEM PERWYH r STROK�w TEORETI�ESKIH CELQH PROIZWEDENIE �ETYREH MATRIC MOVNO UPROSTITX�
�� Tn�n
Er O
O O
n�m
Sm�m � Tn�n��Sm�m�
pRIMER� dLQ PRQMOUGOLXNOJ MATRICY A �
� � � � � � �
NAJTI
KAKU� NIBUDX POLUOBRATNU� MATRICU�
rE�ENIE� dLQ ISHODNOJ MATRICY SOSTAWIM POLNU� RAS�IRENNU� MAT RICU I PROWEDEM UPRO�ENIQ MATRICY � OJ� � OJ� � EJ STUPENEJ�
��������
� � � � �� � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �
���������
��������
� � � � � �� � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �
���������
��
�
��������
� � � � � �� �� �� �� � �� � � �� � � �� � � �� � � �
���������
��������
� � � � � �� � ��� ��� ��� ���� � � �� � � �� � � �� � � �
���������
�
��������
� � ��� ��� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� � � �� � � �� � � �� � � �
���������
������
� � � � ��� ���� � � � ��� ���� � ��� ���� � � �� � � �
������ �
wIDIM� �TO rangA � � � wYDELQQ IZ NIVNEJ LEWOJ MATRICY DWA PERWYHSTOLBCA� A IZ PRAWOJ WERHNEJ� DWE PERWYE STROKI� POLU�IM SOMNOVITELI�DA��IE W PROIZWEDENII pLom�
A� �
����
� �� �� �� �
���� �
��� ���
��� ���
�
����
��� ������ ���
� �� �
���� �
pROWERKA�
AA� �
� � � � � � �
�
����
��� ������ ���
� �� �
���� �
� �� �
�
AA�A �
� �� �
�
� � � � � � �
�
� � � � � � �
� A�
A�AA� �
����
��� ������ ���
� �� �
���� �
� �� �
�
����
��� ������ ���
� �� �
���� � A��
�
� pSEWDOOBRATNYE MATRICY
��� pSEWDOOBRATNAQ MATRICA �W PERWOM SMYSLE�
����� oPREDELENIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY pSom
oPREDELENIE� mATRICA A�n�m NAZYWAETSQ PSEWDOOBRATNOJ MATRICEJ
pSom� DLQ MATRICY Am�n� ESLI WYPOLNENY SLEDU��IE SOOTNO�ENIQSOOTNO�ENIQ pENROUZA��
� � �
AA�A � A
A�AA� � A�
AA��� � AA��A�A�� � A�A�
RPIM�
mATRICY A� A�� UDOWLETWORQ��IE USLOWIQM RPIM�� NAZYWA�T WZA IMNYMI PSEWDOOBRATNYMI MATRICAMI wpSom��
sWOJSTWO� wSQKAQ PSEWDOOBRATNAQ MATRICA QWLQETSQ I POLUOBRATNOJMATRICEJ�
����� sU�ESTWOWANIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY
tEOREMA� pSom A� MOVET BYTX NAJDENA SREDI pLom A� PUTEM POD HODQ�EGO WYBORA MATRI�NYH PARAMETROW U� V MATRICY A� �
dOKAZATELXSTWO KONSTRUKTIWNOE� pREDSTAWIM ISHODNU� MATRICUA STANDARTNYM SKELETNYM RAZLOVENIEM
A � S��m�m
Er
O
m�r
��Er O
�r�n
T��n�n � SSDM�
pSom A� BUDEM ISKATX W WIDE
A� � Tn�n
Er
U
n�r
��Er V
�r�m
Sm�m �
wY�ISLIM DWA PROIZWEDENIQ�
AA� � S��Er
O
�Er O
�T��T
Er
U
�Er V
�S �
� S��Er
O
�Er O
� Er
U
�Er V
�S �
��
� S��Er
O
�Er V
�S �
� S��Er V
O O
m�m
S� ��
A�A � T
Er
U
�Er V
�SS��
Er
O
�Er O
�T�� �
� T
Er
U
�Er V
� Er
O
�Er O
�T�� �
� T
Er
U
�Er O
�T�� �
� T
Er O
U O
n�n
T��� ��
wY�ISLIM MATRICU V � ZAPISYWAQ DLQ �� TRETXE SOOTNO�ENIE pENROUZARPIM� � I PREOBRAZUQ EGO PONQTNYM OBRAZOM�
S�Er O
V � O
S���� � S��
Er V
O O
S�
SS��m�m
Er O
V � O
m�m
�
Er V
O O
m�m
SS��m�m � ��
pERED NAMI URAWNENIE OTNOSITELXNO MATRICY Vr��m�r � dLQ EGO RE�E NIQ ZAPI�EM SS�� W BLO�NOM WIDE� NUMERUQ BLOKI DWOJNYMI WERHNIMIINDEKSAMI�
SS�� �
S��r�r S��
S�� S��
m�m
�
uRAWNENIE �� W BLO�NOM WIDE WYGLQDIT PROSTO� I LEGKO UPRO�AETSQ�S�� S��
S�� S��
�
Er O
V � O
�
Er V
O O
�
S�� S��
S�� S��
�
S�� � S��V � O
S�� � S��V � O
�
S�� � V S�� S�� � V S��
O O
�
pRIRAWNIWAQ DRUG DRUGU ODNOIMENNYE BLOKI� POLU�IM SISTEMU MATRI� NYH URAWNENIJ� ��
�S�� � S��V � � S�� � V S���
S�� � V S�� � O�
S�� � S��V � � O�
��
t�K� MATRICA SS�� QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNOJ I NEWYROVDENNOJ� IME�TMESTO SLEDU��IE SOOTNO�ENIQ MEVDU EE BLOKAMI�
S���� � S��� S���� � S��� S���� � S��� S���� � S��� detS�� � ��
WEDX detS�� �TO GLAWNYJ MINOR MATRICY SS�� �w SILU �TIH SOOTNO�ENIJ SISTEMA MATRI�NYH URAWNENIJ UPRO�AETSQ
�KWIWALENTNYM OBRAZOM DO EDINSTWENNOGO TRIWIALXNOGO URAWNENIQ� KOTO ROE I OPREDELQET SWOE SOBSTWENNOE RE�ENIE����
S��V � � V S��
V S�� � S��
V S���� � S���
�S��V � � V S��
V � S��S������
�S��S��S������� � S��S������S��
V � S��S������
�S��S��S������� � S��S��S�������
V � S��S������
�V � S��S����� �
wY�ISLIM MATRICU U � ZAPISYWAQ DLQ �� �ETWERTOE SOOTNO�ENIE pEN ROUZA RPIM� � I PREOBRAZUQ EGO PONQTNYM OBRAZOM�
T����Er O
U O
T � � T
Er O
U O
T�� �
Er U�
O O
T �T � � T �T �
Er O
U O
� ��
pERED NAMI URAWNENIE OTNOSITELXNO MATRICY U�n�r�r � dLQ EGO RE�E NIQ ZAPI�EM T �T � W BLO�NOM WIDE� NUMERUQ BLOKI DWOJNYMI WERHNIMIINDEKSAMI�
T �T �
T ��r�r T ��
T �� T ��
n�n
uRAWNENIE �� W BLO�NOM WIDE WYGLQDIT PROSTO� I LEGKO UPRO�AETSQ�
Er U�
O O
�
T �� T ��
T �� T ��
�
T �� T ��
T �� T ��
�
Er O
U O
�
T �� � U�T �� T �� � U�T ��
O O
�
T �� � T ��U O
T �� � T ��U O
��
pRIRAWNIWAQ DRUG DRUGU ODNOIMENNYE BLOKI� POLU�IM SISTEMU MATRI� NYH URAWNENIJ� ��
�T �� � U�T �� � T �� � T ��U�
T �� � V �T �� � O�
T �� � T ��U � O�
t�K� MATRICA T �T � QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNOJ I NEWYROVDENNOJ� IME�TMESTO SLEDU��IE SOOTNO�ENIQ MEVDU EE BLOKAMI�
T ���� � T ��� T ���� � T ��� T ���� � T ��� T ���� � T ��� detT �� � ��
WEDX detT �� �TO GLAWNYJ MINOR MATRICY T �T � �w SILU �TIH SOOTNO�ENIJ SISTEMA MATRI�NYH URAWNENIJ UPRO�AETSQ
�KWIWALENTNYM OBRAZOM DO EDINSTWENNOGO TRIWIALXNOGO URAWNENIQ� KOTO ROE I OPREDELQET SWOE SOBSTWENNOE RE�ENIE�
U � T �����T �� �
����� eDINSTWENNOSTX pSom
tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A MATRICA A� � UDOWLETWORQ��AQ SIS TEME pENROUZA � �
�AA�A � A
A�AA� � A�
AA��� � AA��A�A�� � A�A�
RPIM�
EDINSTWENNA�
dOKAZATELXSTWO� pUSTX DWE MATRICY X�Y UDOWLETWORQ�T SISTEMEpENROUZA RPIM� �� �
�AXA � A
XAX � X
AX�� � AX�XA�� � XA�
�
� � �
AY A � A
Y AY � Y
AY �� � AY �Y A�� � Y A�
TOGDA
X � XAX � X �AX � X � AX�� � X �X�A� � X �X� �A� �
� X �X�A� � Y �A� � X � AX�� � AY �� � X � AX �AY �
� XAX �AY � X �AY � XA � Y � XA � Y AY �
��
� XA � Y A � Y � XA�� � Y A�� � Y � A�X� �A�Y � � Y �
� A� � Y � � Y � A�Y � � Y � Y A�� � Y � Y A � Y � Y AY � Y
nAMI FAKTI�ESKI DOKAZANA
tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY Am�n SU�ESTWUET EDINSTWENNAQ PSEW DOOBRATNAQ MATRICA A�
n�m � KOTORAQ DLQ KWADRATNOJ NEWYROVDENNOJ MAT RICY An�n SOWPADAET S OBRATNOJ MATRICEJ A��n�n �
zAME�ANIE� aLGORITM WY�ISLENIQ A� IZLOVEN W PREDYDU�EM PUNKTE�
����� wYRAVENIE pSom �EREZ SOMNOVITELI SKELETNOGO
RAZLOVENIQ
tEOREMA� pUSTX A � BC ESTX KAKOE NIBUDX SKELETNOE RAZLOVENIE PRI�TOM SU�ESTWU�T B��l I B��r �� TOGDA
A� � C�CC����B�B���B� �
dOKAZATELXSTWO� pROWODITSQ PRQMOJ PROWERKOJ WYPOLNENNOSTI �ETY REH URAWNENIJ pENROUZA RPIM� �
�� AA�A � BC � C�CC����B�B���B� �BC �� BCC��CC����B�B���B�B�C �� A�
�� A�AA� � C�CC����B�B���B� �BC � C�CC����B�B���B� �� C�CC���� � B�B���B�B�CC��CC���� � B�B���B� �� C�CC����B�B���B� �� A��
�� AA�� � BC � C�CC����B�B���B�� �� B � CC��CC���� � B�B���B�� �� BB�B���B�� � BB�B���B��� �� AA����
�� A�A� � C�CC����B�B���B� � BC� �� C�CC���� � B�B���B�B� � C� �� C�CC����C� � C�CC����C�� �� A�A���
��
����� sWOJSTWA pSom
sWOJSTWO ��A��� � A�
dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO ZAMETITX� �TO MATRICY A�A� SIMMET RI�NO WHODQT W SISTEMU URAWNENIJ pENROUZA RPIM� � I WSPOMNITX� �TOpSom EDINSTWENNA�
sWOJSTWO ��A��� � A����
dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO PRIMENITX �RMITOWO SOPRQVENIE K KAV DOMU IZ �ETYREH URAWNENIJ pENROUZA�
sWOJSTWO ��AA��� � AA� � A�A�� � A�A �
dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO ZAPISATX LEWYE �ASTI DOKAZYWAEMYH RA WENSTW W RAZWERNUTYH FORMAH I PRIMENITX PERWYE DWA SWOJSTWA RPIM� �
AA��� � AA� �AA� � AA�AA�� � AA��
A�A�� � A�A �A�A � A�AA�A� � A�A�
sWOJSTWO �� dLQ KAVDOJ MATRICY A PSEWDOOBRATNAQ MATRICA A�
PROPORCIONALXNA EE �RMITOWO SOPRQVENNOJ MATRICE A� S LEWYM MAT RI�NYM KO�FFICIENTOM PROPORCIONALXNOSTI�
A� � A�A��A��
dOKAZATELXSTWO� wOSPOLXZUEMSQ SKELETNYMI RAZLOVENIQMI TREH MAT RIC�
A � B � C� A� � C� �B�� A�A � C�B�BC � C�B�B� � C�
pO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA
A�A�� � C�CC����C�B�B��C�B�B����C�B�B�� �� C�CC����B�BCC�B�B���B�BC �� C�CC����B�B���CC����B�B���B�B�C �
��
� C�CC����B�B���CC����C�PO�TOMUA�A�� � A� � C�CC����B�B���CC����C � C�B� �
� C�CC����B�B���B� �� A��
OPQTX VE PO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA�
sWOJSTWO �� dLQ KAVDOJ MATRICY A PSEWDOOBRATNAQ MATRICA A�
PROPORCIONALXNA EE �RMITOWO SOPRQVENNOJ MATRICE A� S PRAWYM MAT RI�NYM KO�FFICIENTOM PROPORCIONALXNOSTI�
A� � A�A�A���
dOKAZATELXSTWO� wOSPOLXZUEMSQ SKELETNYMI RAZLOVENIQMI TREH MAT RIC�
A � B � C� A� � C� �B�� AA� � BCC�B� � B � CC�B��
pO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA
AA��� � CC�B���CC�B�BCC����B�B���B� �� BCC��CC����B�B���CC����B�B���B� �� BB�B���CC����B�B���B��
PO�TOMUA� � A�A�� � C�B� �BB�B���CC����B�B���B �
� C�CC����B�B���B �� A��
OPQTX VE PO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA�
��� wTOROE OPREDELENIE pSom I EGO �KWIWALENTNOSTX
PERWOMU
����� oPREDELENIE pSom WO WTOROM SMYSLE pSom��
oPREDELENIE� mATRICA A� NAZYWAETSQ pSom � DLQ MATRICY A � ESLI���
AA�A � A�
�U A� � UA��
�V A� � A�V�
PIM��
����� eDINSTWENNOSTX pSom��
tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A pSom � A� EDINSTWENNA�
��
dOKAZATELXSTWO� rASSMOTRIM DWE MATRICY A�� � A
�� � UDOWLETWORQ�
�IE PIM�� SO SWOIMI KO�FFICIENTAMI PROPORCIONALXNOSTI�
���
AA�� A � A�
A�� � U�A
��
A�� � A�V��
�
���
AA�� A � A�
A�� � U�A
��
A�� � A�V��
TOGDA� POLOVIW�
D � A�� A�
� � U � U� U�� V � V� V��
POLU�IM MATRI�NU� SISTEMU
���
ADA � O�
D � UA��
D � A�V�
��
� � �
ADA � O� ��
D � UA�� ��
D� � AU�� ��
D � A�V� ��
D� � V �A� ��
ISPOLXZUQ URAWNENIQ KOTOROJ� PROWEDEM NESLOVNYE WYKLADKI�
DA��DA� � A�D�DA � A�D��DA��� A�V �A�DA � A�V �ADA� � O�
T�E�DA��DA� � O�
ZNA�IT� PROIZWEDENIE DWUH �RMITOWO SOPRQVENNYH MATRIC ESTX NULEWAQMATRICA� PO�TOMU I SAMA MATRICA NULEWAQ�
DA� � O�
wY�ISLIM E�E ODNO PROIZWEDENIE�
D �D� ��� DAU�� � DA�U� � OU � O�
OPQTX PROIZWEDENIE DWUH �RMITOWO SOPRQVENNYH MATRIC ESTX NULEWAQMATRICA� PO�TOMU I SAMA MATRICA NULEWAQ�
D � O�
NU A �TO I OZNA�AET� �TOA�� � A�
� �
��
����� pSom�� DLQ MATRICY OBRATIMOJ SLEWA
tEOREMA� dLQ WSQKOJ OBRATIMOJ SLEWA MATRICY B SU�ESTWUET EDIN STWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ
B� � B�B���B��
PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �
dOKAZATELXSTWO� sOSTAWIM DLQ MATRICY B SISTEMU PIM�� I PRE OBRAZUEM EE �KWIWALENTNYM OBRAZOM�� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VB
� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBBUBB
�B � B
BB�VBB � B
� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBB�BUBB
�B � B�B
BB�VBBB� � BB�
A T�K� MATRICY BB��� B�B� OBRATIMY� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBUB � B�B���
VB � BB����
� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBUB � B�B���
VB � BB����
B� � B�B���B�
B� � B�B�B���
� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBUB � B�B���
VB � BB����
B� � B�B���B�
B� � B�B�B���
B�BB� � B�
PRODOLVAQ �KWIWALENTNYE PREOBRAZOWANIQ� POLU�IM�� � �
BB�B � B
B� � UBB�
B� � B�VBUB � B�B���
VB � BB����
B� � B�B���B�
B� � B�B�B���
B�BB� � B�
BB��� � BB��B�B�� � B�B�
� � �
BB�B � B
B�BB� � B�
BB��� � BB��B�B�� � B�B�
A �TO URAWNENIQ pENROUZA� dLQ WOSSTANOWLENIQ PREDPOSLEDNEJ SISTEMY POPOSLEDNEJ NEOBHODIMO POLXZOWATXSQ DOKAZANNYMI SWOJSTWAMI pSom�
��
����� pSom�� DLQ MATRICY OBRATIMOJ SPRAWA
tEOREMA� dLQ WSQKOJ OBRATIMOJ SPRAWA MATRICY C SU�ESTWUET EDIN STWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ
C� � C�CC�����
PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �
dOKAZATELXSTWO� sOSTAWIM DLQ MATRICY C SISTEMU PIM�� I PRE OBRAZUEM EE �KWIWALENTNYM OBRAZOM�� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VC
� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCCUCC
�C � C
CC�VCC � C
� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCC�CUCC
�C � C�C
CC�VCCC� � CC�
A T�K� MATRICY CC��� C�C� OBRATIMY� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCUC � C�C���
VC � CC����
� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCUC � C�C���
VC � CC����
C� � C�C���C�
C� � C�CC����
� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCUC � C�C���
VC � CC����
C� � C�C���C�
C� � C�CC����
C�CC� � C�
PRODOLVAQ �KWIWALENTNYE PREOBRAZOWANIQ� POLU�IM�� � �
CC�C � C
C� � UCC�
C� � C�VCUC � C�C���
VC � CC����
C� � C�C���C�
C� � C�CC����
CC��� � CC��C�C�� � C�C
� � �
CC�C � C
C�CC� � C�
CC��� � CC��C�C�� � C�C�
I �TO URAWNENIQ pENROUZA� dLQ WOSSTANOWLENIQ PREDPOSLEDNEJ SISTEMYPO POSLEDNEJ NEOBHODIMO POLXZOWATXSQ DOKAZANNYMI SWOJSTWAMI pSom�
�
����� pSom�� DLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY
tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A SO SKELETNYM RAZLOVENIEM A � BC
SU�ESTWUET EDINSTWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ
A� � C�B� � C�CC����B�B���B��
PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �
dOKAZATELXSTWO� pOKAVEM� �TO MATRICA A� UDOWLETWORQET PIM�� �
�� AA�A � BCC�CC����B�B���B�BC � BEEC � BC � A�
�� A� � C�CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���CC����CC��B� �� C�CC����B�B���CC����C� �z �
U
�C�B�� �z �A�
�
� UA�
�� A� � C�CC����B�B���B� �� C�B�BB�B���CC����B�B���B� �� C�B�BB�B���CC����B�B���B� �� C�B�� �z �
A�
�BB�B���CC����B�B���B�� �z �V
�
� A�V�
pOKAVEM E�E� �TO MATRICA A� UDOWLETWORQET RPIM� �
�� AA�A � A � �TO POKAZANO WY�E�
�� A�AA� � C�CC����B�B���B� �BC � C�CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���B�B�CC��CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���B� �� A��
�� AA� � BC � C�CC����B�B���B� � BCC��CC����B�B���B� �� BB�B���B� � BB�B���B��� �� BCC��CC����B�B���B��� �� AA����
�� A�A � C�CC����B�B���B� � BC �� C�CC����B�B���B�B�C � C�CC����C �� C�CC����C�� � C�CC����CB�B���B�B��� �� A�A���
��
t�K� MATRICY� UDOWLETWORQ��IE RPIM� I PIM�� � EDINSTWENNY� AODNA I TA VE MATRICA A� UDOWLETWORQET I RPIM� � I PIM�� � TOPONQTIQ pSom I pSom � OKAZYWA�TSQ LOGI�ESKI �KWIWALENTNYMI�
lITEpATUpA
��� bORTAKOWSKIJ a�s�� pANTELEEW a�w� lINEJNAQ ALGEBRA W PRIMERAH IZADA�AH� u�EB� POSOBIE� � m�� wYS�� �K�� ����� � ��� S�
��� wOEWODIN w�w� lINEJNAQ ALGEBRA� iZD� � E� PERERAB� I DOP� � m��nAUKA� ����� � ��� S�
��� gANTMAHER f�r� tEORIQ MATRIC� � � E IZD� � m�� nAUKA� ���� ��� S�
��� dEMMELX dV� wY�ISLITELXNAQ LINEJNAQ ALGEBRA� tEORIQ I PRILOVE NIQ� pER� S ANGL� h�d� iKRAMOWA� � m�� mIR� ����� � ��� S�
��� lANKASTER p� tEORIQ MATRIC� pER� S ANGL� � m�� nAUKA� ���� ���� S�
��� tYRTY�NIKOW e�e� mATRI�NYJ ANALIZ I LINEJNAQ ALGEBRA� � m��fizmatlit� ���� � ��� S�
�� tYRTY�NIKOW e�e� kRATKIJ KURS �ISLENNOGO ANALIZA� � m�� wini ti� ����� � ��� S�
��� hORN z�� dVONSON �� mATRI�NYJ ANALIZ� pER� S ANGL� � m�� mIR������ � ��� S�
��� �IKIN e�w� lINEJNYE PROSTRANSTWA I OTOBRAVENIQ� � m�� iZD WOmgu� ���� � ��� S�
��