penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso...

29

Transcript of penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso...

Page 1: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

penzenskij gosudarstwennyj uniwersitet

kafedramatematiki i matemati�eskogo modelirowaniq

a�a cupak

psewdoobratnye matricy

penza ����

Page 2: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

udk �����������bbk ������

iZLOVENA TEORIQ POLUOBRATNYH I PSEWDOOBRATNYH MATRIC NA OSNOWESKELETNOGO RAZLOVENIQ �ISLOWYH MATRIC NAD POLEM KOMPLEKSNYH �ISEL�dOKAZANY TEOREMY SU�ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI PSEWDOOBRATNYHMAT RIC� oPISAN ALGORITM PSEWDOOBRA�ENIQ� PRIWEDENY PRIMERY�

mETODI�ESKIE UKAZANIQ PODGOTOWLENY NA KAFEDRE �mATEMATIKA I MA TEMATI�ESKOE MODELIROWANIE� I PREDNAZNA�ENA DLQ STUDENTOW I ASPIRAN TOW SPECIALXNOSTEJ �mATEMATIKA� I �pRIKLADNAQ MATEMATIKA��

aWTOR a�a� cUPAK

c�cUPAK a�a�� ����c�iZDATELXSTWO pENZENSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA� ����

rECENZENT� s�n� dOROFEEW� DOKTOR PEDAGOGI�ESKIH NAUK� KANDIDATFIZ� MAT� NAUK� ZAWEDU��IJ KAFEDROJ �mATEMATIKA�pENZENSKOJ GOSUDAR STWENNOJ TEHNOLOGI�ESKOJ AKADEMII

Page 3: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

sODERVANIE

� pOLUOBRATNYE MATRICY ���� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE MATRIC � � � � � � � � � � � � � � � �

����� oPREDELENIQ� SWQZX OBRA�ENIQ S ODNOSTORONNIM OB RA�ENIEM � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� pROSTYE SWOJSTWA ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ � � � � � ������ zAME�ANIE OB ODNOSTORONNEJ OBRATIMOSTI � � � � � � � �

��� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRIC � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ sKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY srm� � � � � � � � � ������ oDIN IZ SPOSOBOW NAHOVDENIQ srm � � � � � � � � � � � ������ wTOROJ SPOSOB NAHOVDENIQ srm � � � � � � � � � � � � ������� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE SOMNOVITELEJ srm � � � � ������� sWQZX OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S DRUGI

MI UNARNYMI OPERACIQMI � � � � � � � � � � � � � � � � ������� wAVNYE SWOJSTWA MATRIC MAKSIMALXNOGO RANGA � � � ��

��� wZAIMNYE POLUOBRATNYE MATRICY � � � � � � � � � � � � � � � ������� oPREDELENIQ I PROSTYE SWOJSTWA � � � � � � � � � � � � ������� wY�ISLENIE POLUOBRATNOJ MATRICY � � � � � � � � � � ��

� pSEWDOOBRATNYE MATRICY ����� pSEWDOOBRATNAQ MATRICA W PERWOM SMYSLE� � � � � � � � � � ��

����� oPREDELENIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY pSom� � � � � ������� sU�ESTWOWANIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY � � � � � � � ������� eDINSTWENNOSTX pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� wYRAVENIE pSom �EREZ SOMNOVITELI SKELETNOGO

RAZLOVENIQ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� sWOJSTWA pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� wTOROE OPREDELENIE pSom I EGO �KWIWALENTNOSTX PERWOMU � ������� oPREDELENIE pSom WO WTOROM SMYSLE pSom �� � � � ������� eDINSTWENNOSTX pSom � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� pSom � DLQ MATRICY� OBRATIMOJ SLEWA � � � � � � � � ������� pSom � DLQ MATRICY� OBRATIMOJ SPRAWA � � � � � � � ������ pSom � DLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY � � � � � � � � � � ��

lITERATURA � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 4: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

� pOLUOBRATNYE MATRICY

��� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE MATRIC

����� oPREDELENIQ� SWQZX OBRA�ENIQ S ODNOSTORONNIM OBRA�E�NIEM

iZ KURSA ALGEBRY IZWESTNY SLEDU��IE OPREDELENIQ I SWOJSTWA ODNO STORONNEJ OBRATIMOSTI �ISLOWYH MATRIC MATRIC NAD POLEM C ��

� mATRICA B��ln�m QWLQETSQ LEWOJ OBRATNOJ MATRICEJ MATRICY Bm�n�

ESLI B��ln�m �Bm�n � En�n�

� B��ln�m � rangBm�n � n � m�

� � B��ln�m � rangBm�n � n � m�

� mATRICA C��rn�m QWLQETSQ PRAWOJ OBRATNOJ MATRICEJ DLQ MATRICYCm�n� ESLI Cm�n � C

��rn�m � Em�m�

� C��rn�m � rangCm�n � m � n�

� � C��rn�m � rangCm�n � m � n�

� mATRICA A��n�n QWLQETSQ OBRATNOJ MATRICEJ DLQ MATRICY An�n�

ESLI A��n�n � An�n � An�n � A��n�n � En�n�

� A��n�m � rangAn�n � n� fn � mg�

� � A��n�m � rangAn�n � n� fn � mg�

tEOREMA� mATRICA OBRATIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA� KOGDA ONA OBRATIMAI SLEWA� I SPRAWA�

dOKAZATELXSTWO� sLEDUET IZ WY�EIZLOVENNOGO�

Am�n OBRATIMA �� r � m � n��

�r � n � m�

r � m � n��

��

�Am�n OBR� SLEWA �Am�n OBR� SPRAWA �

Page 5: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� pROSTYE SWOJSTWA ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ

tEOREMA �� eSLI MATRICA B OBRATIMA SLEWA� TO WSQKAQ LEWAQ OBRATNAQMATRICA B��l OBRATIMA SPRAWA� I ODNIM IZ ZNA�ENIJ IMEET ISHODNU�MATRICU B �

B��l���r � B�

dOKAZATELXSTWO� o�EWIDNO� WEDX

B��ln�m �Bm�n � En�n�

tEOREMA �� eSLI MATRICA C OBRATIMA SPRAWA� TO WSQKAQ PRAWAQ OBRAT NAQ MATRICA C��r OBRATIMA SLEWA� I ODNIM IZ ZNA�ENIJ IMEET ISHODNU�MATRICU C �

C��r���l � C�

dOKAZATELXSTWO� o�EWIDNO� WEDX

Cm�n � C��rn�m � Em�m�

����� zAME�ANIE OB ODNOSTORONNEJ OBRATIMOSTI

nEKOTORYE MATRICY MOGUT NE IMETX NI LEWOJ OBRATNOJ� NI PRAWOJOBRATNOJ MATRIC� �TO BUDET WSQKIJ RAZ� KOGDA

rangAm�n � minfm�ng�

w SWQZI S �TIM W TEORII ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ OSOBU� ROLX IGRAETTAK NAZYWAEMOE SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�

��� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRIC

����� sKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY srm

oPREDELENIE� srm NAZYWAETSQ PREDSTAWLENIE PROIZWOLXNOJ MATRICYAm�n W WIDE PROIZWEDENIQ Am�n � Bm�r � Cr�n PRI OBQZATELXNYH RAN GOWYH USLOWIQH

rangBm�r � rangCr�n � r � rangAm�n � �

KOTORYE OBESPE�IWA�T SU�ESTWOWANIE ODNOSTORONNIH OBRA�ENIJ

B��lr�m � C��rn�r �

Page 6: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

zAME�ANIE� w L�BOM SLU�AE srm NE EDINSTWENNO� T�K� ESLI

Am�n � Bm�r � Cr�n �

TO DLQ PROIZWOLXNOJ NEWYROVDENNOJ MATRICY Dr�r

Am�n � Bm�rDr�r� � D��r�r Cr�n��

����� oDIN IZ SPOSOBOW NAHOVDENIQ srm

dLQ ISHODNOJ MATRICY WY�ISLQEM METODOM �LEMENTARNYH PREOBRAZO WANIJ EE RANG� MAKSIMALXNOE �ISLO lnz STOLBCOW I KO�FFICIENTY� S KO TORYMI WSE STOLBCY WYRAVA�TSQ �EREZ NAJDENNYE lnz�

t�K� rangAm�n � r� W MATRICE Am�n SU�ESTWU�T r lnz STOLBCOW�ai� ��ai� � � � � ��air � A WSE PRO�IE QWLQ�TSQ IH LINEJNYMI KOMBINACIQMI� SAMIlnz �aij TAKVE QWLQ�TSQ SWOIMI LINEJNYMI KOMBINACIQMI� TAKIM OBRA ZOM� WSE STOLBCY MATRICY A � �a��a��a� � � ��an� QWLQ�TSQ LINEJNYMI KOM BINACIQMI STOLBCOW �aij �

�bj � SOSTAWLQ��IH MATRICU B � �b��b� � � ��br� �

�as �

rXt��

�btcts� s � �� �� � � � � n�

kO�FFICIENTY cts OBRAZU�T MATRICU Cr�n � rANGOWYE USLOWIQ � WY POLNENY O�EWIDNYM OBRAZOM�

pRIMER �� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�

A �

�� � � ��

� � �� �

�����

w �TOM PROSTOM PRIMERE I BEZ �LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ WIDNO� �TOPERWYE DWA STOLBCA �a�� �a� lnz� A TRETIJ RAWEN SUMME DWUH PERWYH IODNOGO WTOROGO� �a� � ��a� � �a� � PO�TOMU��

��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a�

sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX

B �

�� � �

� ��

�����

� C �

� � �� � �

���

Page 7: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

pRIMER �A� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�

A �

����

� � �� �� � � ��

� � �� ��� � � ��

�������

pROWEDEM �LEMENTARNYE STRO�E�NYE PREOBRAZOWANIQ ZADANNOJ MATRICY�����

� � �� �� � � ��

� � �� ��� � � ��

���� �

����

� �� �� ��� � � ��� � �� ��� � � ��

���� �

����

� � � �� � � �� � � �� � � �

���� �

����

� � � �� � � �� � � �� � � �

���� �

pERWYE DWA STOLBCA �a�� �a� lnz� TRETIJ RAWEN SUMME �ESTI PERWYH IMINUS DWUH WTORYH� A �ETWERTYJ RAWEN SUMME PERWOGO I PQTI WTORYH��a� � ��a� � �a� � �a� � �a� � ��a� � PO�TOMU� �

��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � �a��a� � � � �a� � � � �a�

sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX

B �

����

� �� �

� �� �

�������

� C �

� � � �� � � �

���

pRIMER �B� nAJTI SKELETNOE RAZLOVENIE MATRICY�

A �

����

� � �� �� � � ��

� � �� ��� � � ��

�������

Page 8: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

pERED NAMI PREVNQQ MATRICA� NO TEPERX MY BUDEM PROWODITX INYE �LE MENTARNYE STRO�E�NYE PREOBRAZOWANIQ��

���� � �� �� � � ��

� � �� ��� � � ��

���� �

����� � �� �� � � ��

� � �� ��� � � ��

���� �

����� � �� ��� � �� ���� � �� ���� � �� ��

���� �

����� � �� �� � � �� � � �� � � �

���� �

����� � �� �� � � �� � � �� � � �

���� �

����� � �� �� � � �� � � �� � � �

���� �

wTOROJ I �ETWERTYJ STOLBCY �a�� �a� lnz� PERWYJ RAWEN SUMME MINUSPQTI WTORYH I ODNOGO �ETWERTOGO� A TRETIJ RAWEN SUMME MINUS TRIDCATIDWUH WTORYH I �ESTI �ETWERTYH� �a� � ��a� � �a� � �a� � ���a� � ��a� �PO�TOMU � �

��a� � � � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a��a� � �� � �a� � � � �a��a� � � � �a� � � � �a�

sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ SUTX

B �

����� �� ��� ��� ��

�������

� C �

� � �� �� � � �

���

oBOB�ENIE NABL�DENIJ� pUSTX ZADANA PROIZWOLXNAQ MATRICA

Am�n � ��a� �a� � � � �an�m�n

I EE UPRO�ENNYJ WID � OJ STUPENI PRIMENQLISX TOLXKO STRO�E�NYE PRE OBRAZOWANIQ� W T��� I PERESTANOWKA STROK� A�m�n �

����� � � ���s����e��s��a

s��� � � ��a�

s����e��s��a�

s��� � � � � � ��a�

sr���er�sr�a�

sr�� � � ��a�

sn

�pARAMETR r �TO RANG MATRIC A� A��

Page 9: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

sOZDADIM IZ MATRICY A NOWU� MATRICU B� WYBIRAQ STOLBCY S BA ZISNYMI NOMERAMI s�� s�� � � � � sr �

B � ��as� �as� �as� � � � �asr �m�r�

sOZDADIM IZ MATRICY A�m�n MATRICU Cr�n� WY�ERKIWAQ IZ A�m�n NIV NIE NULEWYE STROKI� Cr�n �

����� � � ���s����e��s��cs��� � � � �cs����e��s��cs��� � � � � � ��csr���er�sr�csr�� � � ��csn

��

wID MATRICY A� GOWORIT NAM� �TO W MATRICE A STOLBCY S NOME RAMI �� �� � � � � s� �� � NULEWYE� STOLBCY S NOMERAMI s�� s�� � � � � sr �lnz� WSE VE STOLBCY � �TO LINEJNYE KOMBINACII lnz STOLBCOW S KO �FFICIENTAMI� OBRAZU��IMI STOLBCY �a�k� OBREZANNYE DO WYSOTY r� T�E�OBRAZU��IMI STOLBCY �ck�

nO SLOWA POSLEDNEGO ABZACA I OZNA�A�T� �TO

Am�n � Bm�r � Cr�n �

pRIMER �� rASSMOTRIM MATRICU

A���� �

������

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

����������

I EE UPRO�ENNYJ WID WTOROJ STUPENI

A����� �

��������

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

� � ��

������������

w ISHODNOJ MATRICE A STOLBCY S NOMERAMI �� �� �� � lnz� WSE VE STOLB CY � �TO LINEJNYE KOMBINACII lnz STOLBCOW S KO�FFICIENTAMI� OBRA ZU��IMI KOROTKIE STOLBCY MATRICY A�� sKELETNOE RAZLOVENIE MAT

Page 10: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

RICY A TAKOWO�

A���� �

��������

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

� � ��

������������

��������

� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

�����������

����

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �

� � ��

��������

����� wTOROJ SPOSOB NAHOVDENIQ srm

mATRICA Am�nrangA � r� S POMO�X� �LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJSTRO�E�NYH I STOLBCOWYH� MOVET BYTX UPRO�ENA�

A � � �

Er O

O O

PO�TOMU Am�n Em�m

En�n

�m�n Sm�mTn�n

TAKIM OBRAZOM�

�m�n � Sm�mAm�nTn�m � Am�n � S��m�m�m�nT��n�n�

ILI W �UTX BOLEE PODROBNOJ BLO�NOJ ZAPISI�

Am�n � S��m�m

Er O

O O

m�n

T��n�n �

� S��m�m

Er

O

m�r� �z �

Bm�r

��Er O

�r�n

T��n�n� �z �Cr�n

� SSDM�

w POSLEDNEJ FORMULE MATRICA Bm�r POLU�AETSQ IZ MATRICY S��m�m WY DELENIEM r PERWYH STOLBCOW� A Cr�n POLU�AETSQ IZ MATRICY T��n�n WY DELENIEM r PERWYH STROK�

��

Page 11: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

oPREDELENIE� pREDSTAWLENIE MATRICY A FORMULOJ SSDM� BUDEMNAZYWATX STANDARTNYM SKELETNYM RAZLOVENIEM MATRICY A �

����� oDNOSTORONNEE OBRA�ENIE SOMNOVITELEJ srm

tEOREMA�B��l�r�m �

�Er V

�r�m

� Sm�m�

C��r�n�r � Tn�n �

Er

U

n�r

GDE Vr��m�r� U�n�r�r � PROIZWOLXNYE MATRICY UKAZANNYH FORMATOW�

dOKAZATELXSTWO� pROWODITSQ PRQMYMI MATRI�NYMI WY�ISLENIQMI�

B��l � B ��Er V

�r�m

Sm�m � S��m�m

Er

O

m�r

��Er V

�r�m

Er

O

m�r

� Er�

C � C��r ��Er O

�r�n

T��n�n � Tn�n

Er

U

n�r

��Er O

�r�n

Er

U

n�r

� Er�

����� sWQZX OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S DRUGIMI

UNARNYMI OPERACIQMI

rASSMOTRIM SWQZI OPERACIJ ODNOSTORONNEGO OBRA�ENIQ S UNARNYMIMATRI�NYMI OPERACIQMI KOMPLEKSNOGO SOPRQVENIQ� TRANSPONIROWANIQ I�RMITOWA SOPRQVENIQ� OBOZNA�AEMYMI PONQTNYMI OB�EPRINQTYMI SIM

WOLAMI� A � A� � A� � A�

�pUSTX Cm�n � C

��rn�m � Em� TOGDA

� Cm�n � C��rn�m � Em� I� SLEDOWATELXNO� C

��r� C��r�

� C��rn�m�� � Cm�n�� � Em� I� SLEDOWATELXNO� C��r�� � C����l�

� C��rn�m�� � Cm�n�� � Em� I� SLEDOWATELXNO� C��r�� � C����l�

aNALOGI�NO

C��l

� C��l� C��l�� � C����r� C��l�� � C����r�

��

Page 12: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� wAVNYE SWOJSTWA MATRIC MAKSIMALXNOGO RANGA

tEOREMA �� eSLI rangBm�r � r r � m�� TO rangB�r�m � Bm�r� � r�

T�E� detB�B� �� ��

dOKAZATELXSTWO� pUSTX �x QWLQETSQ RE�ENIEM URAWNENENIQ

B�B��x � ���

uMNOVIM POSLEDNEE RAWENSTWO NA STROKU �x� SLEWA�

�x�B�B��x � ��

rASSTAWIM UDOBNYM OBRAZOM SKOBKI I WWEDEM SOKRA�A��IE OBOZNA�ENIQ�

�x�B��� �z ��y�

� B�x�� �z ��y

� ��

zAPI�EM RQD PROSTYH I PONQTNYH �KWIWALENTNOSTEJ�

�y� � �y � ��

mXi��

yi � yi � ��

mXi��

jyij� � ��

iyi � ��

tAKIM OBOAZOM RASSMOTRENNYJ WEKTOR OKAZALSQ NULEWYM�

�y � ��

�TO W POLNYH OBOZNA�ENIQH DAET URAWNENIE

Bm�r � �xr�� � ��m���

rE�IM �TO URAWNENIE� PREOBRAZUQ RAS�IRENNU� MATRICU METODOM gAUSSA�

B j �� � �

���������

� �� � �

����rr �

� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �

����������

uRAWNENIE IMEET EDINSTWENNOE NULEWOE RE�ENIE �x � ��� wSPOMINAQ� �TO�x OBOZNA�AET RE�ENIE URAWNENIQ B�B��x � ��� POLU�IM TREBUEMOE�

detB�B� �� ��

��

Page 13: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

tEOREMA �� eSLI rangCr�n � rr � n�� TO rangCr�nC�n�r� � r� T�E�

detCC�� �� ��

dOKAZATELXSTWO� aNALOGI�NO PREDYDU�EMU�

sLEDSTWIE� sOMNOVITELI SKELETNOGO RAZLOVENIQ QWLQ�TSQ MATRICAMIMAKSIMALXNOGO RANGA� PO�TOMU DLQ NIH IME�T MESTO DOKAZANNYE SWOJSTWA�

detB�B �� ��� detCC�� �� ��

��� wZAIMNYE POLUOBRATNYE MATRICY

����� oPREDELENIQ I PROSTYE SWOJSTWA

oPREDELENIE� dLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY Am�n MATRICA A�n�m NA ZYWAETSQ POLUOBRATNOJ MATRICEJ pLom�� ESLI WYPOLNENY SLEDU��IESOOTNO�ENIQ� ��

�Am�nA

�n�mAm�n � Am�n �

A�n�mAm�nA�n�m � A�n�m �

RSIM�

mATRICY A� A�� UDOWLETWORQ��IE USLOWIQM RSIM�� NAZYWA�T WZAIM NYMI POLUOBRATNYMI MATRICAMI wpLom��

sWOJSTWO ��A��� � A�

W TOM SMYSLE� �TO ESLI DLQ NEKOTOROJ MATRICY A NAJDENA NEKOTORAQpLom A�� TO ODNIM IZ ZNA�ENIJ EE pLom BUDET ISHODNAQ MATRICA A �

sWOJSTWO �� eSLI A OBRATIMA� TO EDINSTWENNAQ pLom SOWPADAET SOBRATNOJ MATRCEJ� A� � A���

dOKAZATELXSTWO SU�ESTWOWANIQ� o�EWIDNO����

AA�� A � A �

A��AA�� � A�� �

��

Page 14: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI� pUSTX DLQ NEKOTOROJ MATRICY B

WYPOLNENY RSIM� � ���

ABA � A �

B AB � B�

TOGDAA �B � E �� B � A���

sWOJSTWO �� �RMITOWO SOPRQVENIE ODNOJ IZ pLom SOWPADAET S ODNIMIZ ZNA�ENIJ pLom �RMITOWOGO SOPRQVENIQ�

A��� � A��� �

dOKAZATELXSTWO� pRIMENIM K RAWENSTWAM RSIM� OPERACI� �RMITO WA SOPRQVENIQ� ��

�A� A��� A� � A� �

A���A� A��� � A��� �

TAKIM OBRAZOM�A��� � A��� �

sWOJSTWO �� eSLI IMEETSQ SKELETNOE RAZLOVENIE Am�n � Bm�r �Cr�n�TO A�n�m � C��rn�r �B

��lr�m �

dOKAZATELXSTWO� pROWERIM WYPOLNENNOSTX USLOWIJ RSIM� ����

BC�C��rB��l�BC� � B �E �E � C � BC� �

C��rB��l�BC�C��rB��l� � C��r �E �E �B��l � C��rB��l� �

uSLOWIQ RSIM� WYPOLNENY�

����� wY�ISLENIE POLUOBRATNOJ MATRICY

dLQ MATRICY Am�n SOSTAWIM POLNU� RAS�IRENNU� MATRICUAm�n Em�m

En�n

I PROWEDEM UPRO�ENIE MATRICY Am�n DO MATRICY

�m�n �

Er�r Or��n�r

O�m�r�r

��

Page 15: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

PRI �TOM RAS�IRENNAQ MATRICA PREWRATITSQ W

�m�n Sm�mTn�n

T�E��m�n � Sm�m � Am�n � Tn�n�

nAPOMNIM� �TO MATRICA Tn�n POLU�ENA IZ MATRICY En�n S POMO�X�TEH VE STOLBCOWYH PREOBRAZOWANIJ� �TO I �m�n IZ Am�n� A MATRICASm�m POLU�ENA IZ MATRICY Em�m S POMO�X� TEH VE STROKOWYH PREOB RAZOWANIJ� �TO I �m�n IZ Am�n� TAKIM OBRAZOM�

�m�n � Sm�m � Am�n � Tn�n�

tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY Am�n EE POLUOBRATNU� MATRICU MOVNOPREDSTAWITX PROIZWEDENIEM

A� � Tn

Er

U

n�r

��Er V

�r�m

Sm�

GDE U�n�r�r� Vr��m�r �TO PROIZWOLXNYE MATRICY� IME��IE RAZMERYfn r� � rg I fr � m r�g SOOTWETSTWENNO�

dOKAZATELXSTWO� pREDSTAWIM MATRICU A EE SKELETNYM RAZLOVENIEM

A � B � C � S��m

Er

O

m�r

��Er O

�r�n

T��n

I PROWERIM WYPOLNENNOSTX DWUH SOOTNO�ENIJ RSIM� �

�� A � A� �A � S��Er

O

�Er O

�T�� �

� T

Er

U

�Er V

�S �

�S��Er

O

��Er O

�T�� �

� S��Er

O

��Er O

�T��T

Er

U

�Er V

�SS��

Er

O

��Er O

�T�� �

� A�

��

Page 16: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

�� A� � A �A� � T

Er

U

�Er V

�S �

� S��Er

O

�Er O

�T�� �

� T

Er

U

�Er V

�S �

� T

Er

U

��Er V

�SS��

Er

O

�Er O

�T��T

Er

U

��Er V

�S �

� A��

zAME�ANIE� eSLI TREBUETSQ NAJTI NE WSE� A TOLXKO KAKOE NIBUDX ZNA �ENIE A�� TO MOVNO POLOVITX U � O� V � O� TOGDA

A� � Tn�n

Er

O

n�r

� � Er j O �r�mSm�m ��

pERWYJ SOMNOVITELX POLU�AETSQ IZ MATRICY Tn�n WYDELENIEM PERWYHr STOLBCOW� A WTOROJ� IZ MATRICY Sm�m WYDELENIEM PERWYH r STROK�w TEORETI�ESKIH CELQH PROIZWEDENIE �ETYREH MATRIC MOVNO UPROSTITX�

�� Tn�n

Er O

O O

n�m

Sm�m � Tn�n��Sm�m�

pRIMER� dLQ PRQMOUGOLXNOJ MATRICY A �

� � � � � � �

NAJTI

KAKU� NIBUDX POLUOBRATNU� MATRICU�

rE�ENIE� dLQ ISHODNOJ MATRICY SOSTAWIM POLNU� RAS�IRENNU� MAT RICU I PROWEDEM UPRO�ENIQ MATRICY � OJ� � OJ� � EJ STUPENEJ�

��������

� � � � �� � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �

���������

��������

� � � � � �� � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �

���������

��

Page 17: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

��������

� � � � � �� �� �� �� � �� � � �� � � �� � � �� � � �

���������

��������

� � � � � �� � ��� ��� ��� ���� � � �� � � �� � � �� � � �

���������

��������

� � ��� ��� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� � � �� � � �� � � �� � � �

���������

������

� � � � ��� ���� � � � ��� ���� � ��� ���� � � �� � � �

������ �

wIDIM� �TO rangA � � � wYDELQQ IZ NIVNEJ LEWOJ MATRICY DWA PERWYHSTOLBCA� A IZ PRAWOJ WERHNEJ� DWE PERWYE STROKI� POLU�IM SOMNOVITELI�DA��IE W PROIZWEDENII pLom�

A� �

����

� �� �� �� �

���� �

��� ���

��� ���

����

��� ������ ���

� �� �

���� �

pROWERKA�

AA� �

� � � � � � �

����

��� ������ ���

� �� �

���� �

� �� �

AA�A �

� �� �

� � � � � � �

� � � � � � �

� A�

A�AA� �

����

��� ������ ���

� �� �

���� �

� �� �

����

��� ������ ���

� �� �

���� � A��

Page 18: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

� pSEWDOOBRATNYE MATRICY

��� pSEWDOOBRATNAQ MATRICA �W PERWOM SMYSLE�

����� oPREDELENIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY pSom

oPREDELENIE� mATRICA A�n�m NAZYWAETSQ PSEWDOOBRATNOJ MATRICEJ

pSom� DLQ MATRICY Am�n� ESLI WYPOLNENY SLEDU��IE SOOTNO�ENIQSOOTNO�ENIQ pENROUZA��

� � �

AA�A � A

A�AA� � A�

AA��� � AA��A�A�� � A�A�

RPIM�

mATRICY A� A�� UDOWLETWORQ��IE USLOWIQM RPIM�� NAZYWA�T WZA IMNYMI PSEWDOOBRATNYMI MATRICAMI wpSom��

sWOJSTWO� wSQKAQ PSEWDOOBRATNAQ MATRICA QWLQETSQ I POLUOBRATNOJMATRICEJ�

����� sU�ESTWOWANIE PSEWDOOBRATNOJ MATRICY

tEOREMA� pSom A� MOVET BYTX NAJDENA SREDI pLom A� PUTEM POD HODQ�EGO WYBORA MATRI�NYH PARAMETROW U� V MATRICY A� �

dOKAZATELXSTWO KONSTRUKTIWNOE� pREDSTAWIM ISHODNU� MATRICUA STANDARTNYM SKELETNYM RAZLOVENIEM

A � S��m�m

Er

O

m�r

��Er O

�r�n

T��n�n � SSDM�

pSom A� BUDEM ISKATX W WIDE

A� � Tn�n

Er

U

n�r

��Er V

�r�m

Sm�m �

wY�ISLIM DWA PROIZWEDENIQ�

AA� � S��Er

O

�Er O

�T��T

Er

U

�Er V

�S �

� S��Er

O

�Er O

� Er

U

�Er V

�S �

��

Page 19: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

� S��Er

O

�Er V

�S �

� S��Er V

O O

m�m

S� ��

A�A � T

Er

U

�Er V

�SS��

Er

O

�Er O

�T�� �

� T

Er

U

�Er V

� Er

O

�Er O

�T�� �

� T

Er

U

�Er O

�T�� �

� T

Er O

U O

n�n

T��� ��

wY�ISLIM MATRICU V � ZAPISYWAQ DLQ �� TRETXE SOOTNO�ENIE pENROUZARPIM� � I PREOBRAZUQ EGO PONQTNYM OBRAZOM�

S�Er O

V � O

S���� � S��

Er V

O O

S�

SS��m�m

Er O

V � O

m�m

Er V

O O

m�m

SS��m�m � ��

pERED NAMI URAWNENIE OTNOSITELXNO MATRICY Vr��m�r � dLQ EGO RE�E NIQ ZAPI�EM SS�� W BLO�NOM WIDE� NUMERUQ BLOKI DWOJNYMI WERHNIMIINDEKSAMI�

SS�� �

S��r�r S��

S�� S��

m�m

uRAWNENIE �� W BLO�NOM WIDE WYGLQDIT PROSTO� I LEGKO UPRO�AETSQ�S�� S��

S�� S��

Er O

V � O

Er V

O O

S�� S��

S�� S��

S�� � S��V � O

S�� � S��V � O

S�� � V S�� S�� � V S��

O O

pRIRAWNIWAQ DRUG DRUGU ODNOIMENNYE BLOKI� POLU�IM SISTEMU MATRI� NYH URAWNENIJ� ��

�S�� � S��V � � S�� � V S���

S�� � V S�� � O�

S�� � S��V � � O�

��

Page 20: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

t�K� MATRICA SS�� QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNOJ I NEWYROVDENNOJ� IME�TMESTO SLEDU��IE SOOTNO�ENIQ MEVDU EE BLOKAMI�

S���� � S��� S���� � S��� S���� � S��� S���� � S��� detS�� � ��

WEDX detS�� �TO GLAWNYJ MINOR MATRICY SS�� �w SILU �TIH SOOTNO�ENIJ SISTEMA MATRI�NYH URAWNENIJ UPRO�AETSQ

�KWIWALENTNYM OBRAZOM DO EDINSTWENNOGO TRIWIALXNOGO URAWNENIQ� KOTO ROE I OPREDELQET SWOE SOBSTWENNOE RE�ENIE����

S��V � � V S��

V S�� � S��

V S���� � S���

�S��V � � V S��

V � S��S������

�S��S��S������� � S��S������S��

V � S��S������

�S��S��S������� � S��S��S�������

V � S��S������

�V � S��S����� �

wY�ISLIM MATRICU U � ZAPISYWAQ DLQ �� �ETWERTOE SOOTNO�ENIE pEN ROUZA RPIM� � I PREOBRAZUQ EGO PONQTNYM OBRAZOM�

T����Er O

U O

T � � T

Er O

U O

T�� �

Er U�

O O

T �T � � T �T �

Er O

U O

� ��

pERED NAMI URAWNENIE OTNOSITELXNO MATRICY U�n�r�r � dLQ EGO RE�E NIQ ZAPI�EM T �T � W BLO�NOM WIDE� NUMERUQ BLOKI DWOJNYMI WERHNIMIINDEKSAMI�

T �T �

T ��r�r T ��

T �� T ��

n�n

uRAWNENIE �� W BLO�NOM WIDE WYGLQDIT PROSTO� I LEGKO UPRO�AETSQ�

Er U�

O O

T �� T ��

T �� T ��

T �� T ��

T �� T ��

Er O

U O

T �� � U�T �� T �� � U�T ��

O O

T �� � T ��U O

T �� � T ��U O

��

Page 21: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

pRIRAWNIWAQ DRUG DRUGU ODNOIMENNYE BLOKI� POLU�IM SISTEMU MATRI� NYH URAWNENIJ� ��

�T �� � U�T �� � T �� � T ��U�

T �� � V �T �� � O�

T �� � T ��U � O�

t�K� MATRICA T �T � QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNOJ I NEWYROVDENNOJ� IME�TMESTO SLEDU��IE SOOTNO�ENIQ MEVDU EE BLOKAMI�

T ���� � T ��� T ���� � T ��� T ���� � T ��� T ���� � T ��� detT �� � ��

WEDX detT �� �TO GLAWNYJ MINOR MATRICY T �T � �w SILU �TIH SOOTNO�ENIJ SISTEMA MATRI�NYH URAWNENIJ UPRO�AETSQ

�KWIWALENTNYM OBRAZOM DO EDINSTWENNOGO TRIWIALXNOGO URAWNENIQ� KOTO ROE I OPREDELQET SWOE SOBSTWENNOE RE�ENIE�

U � T �����T �� �

����� eDINSTWENNOSTX pSom

tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A MATRICA A� � UDOWLETWORQ��AQ SIS TEME pENROUZA � �

�AA�A � A

A�AA� � A�

AA��� � AA��A�A�� � A�A�

RPIM�

EDINSTWENNA�

dOKAZATELXSTWO� pUSTX DWE MATRICY X�Y UDOWLETWORQ�T SISTEMEpENROUZA RPIM� �� �

�AXA � A

XAX � X

AX�� � AX�XA�� � XA�

� � �

AY A � A

Y AY � Y

AY �� � AY �Y A�� � Y A�

TOGDA

X � XAX � X �AX � X � AX�� � X �X�A� � X �X� �A� �

� X �X�A� � Y �A� � X � AX�� � AY �� � X � AX �AY �

� XAX �AY � X �AY � XA � Y � XA � Y AY �

��

Page 22: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

� XA � Y A � Y � XA�� � Y A�� � Y � A�X� �A�Y � � Y �

� A� � Y � � Y � A�Y � � Y � Y A�� � Y � Y A � Y � Y AY � Y

nAMI FAKTI�ESKI DOKAZANA

tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY Am�n SU�ESTWUET EDINSTWENNAQ PSEW DOOBRATNAQ MATRICA A�

n�m � KOTORAQ DLQ KWADRATNOJ NEWYROVDENNOJ MAT RICY An�n SOWPADAET S OBRATNOJ MATRICEJ A��n�n �

zAME�ANIE� aLGORITM WY�ISLENIQ A� IZLOVEN W PREDYDU�EM PUNKTE�

����� wYRAVENIE pSom �EREZ SOMNOVITELI SKELETNOGO

RAZLOVENIQ

tEOREMA� pUSTX A � BC ESTX KAKOE NIBUDX SKELETNOE RAZLOVENIE PRI�TOM SU�ESTWU�T B��l I B��r �� TOGDA

A� � C�CC����B�B���B� �

dOKAZATELXSTWO� pROWODITSQ PRQMOJ PROWERKOJ WYPOLNENNOSTI �ETY REH URAWNENIJ pENROUZA RPIM� �

�� AA�A � BC � C�CC����B�B���B� �BC �� BCC��CC����B�B���B�B�C �� A�

�� A�AA� � C�CC����B�B���B� �BC � C�CC����B�B���B� �� C�CC���� � B�B���B�B�CC��CC���� � B�B���B� �� C�CC����B�B���B� �� A��

�� AA�� � BC � C�CC����B�B���B�� �� B � CC��CC���� � B�B���B�� �� BB�B���B�� � BB�B���B��� �� AA����

�� A�A� � C�CC����B�B���B� � BC� �� C�CC���� � B�B���B�B� � C� �� C�CC����C� � C�CC����C�� �� A�A���

��

Page 23: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� sWOJSTWA pSom

sWOJSTWO ��A��� � A�

dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO ZAMETITX� �TO MATRICY A�A� SIMMET RI�NO WHODQT W SISTEMU URAWNENIJ pENROUZA RPIM� � I WSPOMNITX� �TOpSom EDINSTWENNA�

sWOJSTWO ��A��� � A����

dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO PRIMENITX �RMITOWO SOPRQVENIE K KAV DOMU IZ �ETYREH URAWNENIJ pENROUZA�

sWOJSTWO ��AA��� � AA� � A�A�� � A�A �

dOKAZATELXSTWO� dOSTATO�NO ZAPISATX LEWYE �ASTI DOKAZYWAEMYH RA WENSTW W RAZWERNUTYH FORMAH I PRIMENITX PERWYE DWA SWOJSTWA RPIM� �

AA��� � AA� �AA� � AA�AA�� � AA��

A�A�� � A�A �A�A � A�AA�A� � A�A�

sWOJSTWO �� dLQ KAVDOJ MATRICY A PSEWDOOBRATNAQ MATRICA A�

PROPORCIONALXNA EE �RMITOWO SOPRQVENNOJ MATRICE A� S LEWYM MAT RI�NYM KO�FFICIENTOM PROPORCIONALXNOSTI�

A� � A�A��A��

dOKAZATELXSTWO� wOSPOLXZUEMSQ SKELETNYMI RAZLOVENIQMI TREH MAT RIC�

A � B � C� A� � C� �B�� A�A � C�B�BC � C�B�B� � C�

pO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA

A�A�� � C�CC����C�B�B��C�B�B����C�B�B�� �� C�CC����B�BCC�B�B���B�BC �� C�CC����B�B���CC����B�B���B�B�C �

��

Page 24: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

� C�CC����B�B���CC����C�PO�TOMUA�A�� � A� � C�CC����B�B���CC����C � C�B� �

� C�CC����B�B���B� �� A��

OPQTX VE PO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA�

sWOJSTWO �� dLQ KAVDOJ MATRICY A PSEWDOOBRATNAQ MATRICA A�

PROPORCIONALXNA EE �RMITOWO SOPRQVENNOJ MATRICE A� S PRAWYM MAT RI�NYM KO�FFICIENTOM PROPORCIONALXNOSTI�

A� � A�A�A���

dOKAZATELXSTWO� wOSPOLXZUEMSQ SKELETNYMI RAZLOVENIQMI TREH MAT RIC�

A � B � C� A� � C� �B�� AA� � BCC�B� � B � CC�B��

pO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA

AA��� � CC�B���CC�B�BCC����B�B���B� �� BCC��CC����B�B���CC����B�B���B� �� BB�B���CC����B�B���B��

PO�TOMUA� � A�A�� � C�B� �BB�B���CC����B�B���B �

� C�CC����B�B���B �� A��

OPQTX VE PO TEOREME IZ PREDYDU�EGO PUNKTA�

��� wTOROE OPREDELENIE pSom I EGO �KWIWALENTNOSTX

PERWOMU

����� oPREDELENIE pSom WO WTOROM SMYSLE pSom��

oPREDELENIE� mATRICA A� NAZYWAETSQ pSom � DLQ MATRICY A � ESLI���

AA�A � A�

�U A� � UA��

�V A� � A�V�

PIM��

����� eDINSTWENNOSTX pSom��

tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A pSom � A� EDINSTWENNA�

��

Page 25: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

dOKAZATELXSTWO� rASSMOTRIM DWE MATRICY A�� � A

�� � UDOWLETWORQ�

�IE PIM�� SO SWOIMI KO�FFICIENTAMI PROPORCIONALXNOSTI�

���

AA�� A � A�

A�� � U�A

��

A�� � A�V��

���

AA�� A � A�

A�� � U�A

��

A�� � A�V��

TOGDA� POLOVIW�

D � A�� A�

� � U � U� U�� V � V� V��

POLU�IM MATRI�NU� SISTEMU

���

ADA � O�

D � UA��

D � A�V�

��

� � �

ADA � O� ��

D � UA�� ��

D� � AU�� ��

D � A�V� ��

D� � V �A� ��

ISPOLXZUQ URAWNENIQ KOTOROJ� PROWEDEM NESLOVNYE WYKLADKI�

DA��DA� � A�D�DA � A�D��DA��� A�V �A�DA � A�V �ADA� � O�

T�E�DA��DA� � O�

ZNA�IT� PROIZWEDENIE DWUH �RMITOWO SOPRQVENNYH MATRIC ESTX NULEWAQMATRICA� PO�TOMU I SAMA MATRICA NULEWAQ�

DA� � O�

wY�ISLIM E�E ODNO PROIZWEDENIE�

D �D� ��� DAU�� � DA�U� � OU � O�

OPQTX PROIZWEDENIE DWUH �RMITOWO SOPRQVENNYH MATRIC ESTX NULEWAQMATRICA� PO�TOMU I SAMA MATRICA NULEWAQ�

D � O�

NU A �TO I OZNA�AET� �TOA�� � A�

� �

��

Page 26: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� pSom�� DLQ MATRICY OBRATIMOJ SLEWA

tEOREMA� dLQ WSQKOJ OBRATIMOJ SLEWA MATRICY B SU�ESTWUET EDIN STWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ

B� � B�B���B��

PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �

dOKAZATELXSTWO� sOSTAWIM DLQ MATRICY B SISTEMU PIM�� I PRE OBRAZUEM EE �KWIWALENTNYM OBRAZOM�� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VB

� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBBUBB

�B � B

BB�VBB � B

� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBB�BUBB

�B � B�B

BB�VBBB� � BB�

A T�K� MATRICY BB��� B�B� OBRATIMY� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBUB � B�B���

VB � BB����

� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBUB � B�B���

VB � BB����

B� � B�B���B�

B� � B�B�B���

� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBUB � B�B���

VB � BB����

B� � B�B���B�

B� � B�B�B���

B�BB� � B�

PRODOLVAQ �KWIWALENTNYE PREOBRAZOWANIQ� POLU�IM�� � �

BB�B � B

B� � UBB�

B� � B�VBUB � B�B���

VB � BB����

B� � B�B���B�

B� � B�B�B���

B�BB� � B�

BB��� � BB��B�B�� � B�B�

� � �

BB�B � B

B�BB� � B�

BB��� � BB��B�B�� � B�B�

A �TO URAWNENIQ pENROUZA� dLQ WOSSTANOWLENIQ PREDPOSLEDNEJ SISTEMY POPOSLEDNEJ NEOBHODIMO POLXZOWATXSQ DOKAZANNYMI SWOJSTWAMI pSom�

��

Page 27: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� pSom�� DLQ MATRICY OBRATIMOJ SPRAWA

tEOREMA� dLQ WSQKOJ OBRATIMOJ SPRAWA MATRICY C SU�ESTWUET EDIN STWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ

C� � C�CC�����

PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �

dOKAZATELXSTWO� sOSTAWIM DLQ MATRICY C SISTEMU PIM�� I PRE OBRAZUEM EE �KWIWALENTNYM OBRAZOM�� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VC

� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCCUCC

�C � C

CC�VCC � C

� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCC�CUCC

�C � C�C

CC�VCCC� � CC�

A T�K� MATRICY CC��� C�C� OBRATIMY� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCUC � C�C���

VC � CC����

� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCUC � C�C���

VC � CC����

C� � C�C���C�

C� � C�CC����

� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCUC � C�C���

VC � CC����

C� � C�C���C�

C� � C�CC����

C�CC� � C�

PRODOLVAQ �KWIWALENTNYE PREOBRAZOWANIQ� POLU�IM�� � �

CC�C � C

C� � UCC�

C� � C�VCUC � C�C���

VC � CC����

C� � C�C���C�

C� � C�CC����

CC��� � CC��C�C�� � C�C

� � �

CC�C � C

C�CC� � C�

CC��� � CC��C�C�� � C�C�

I �TO URAWNENIQ pENROUZA� dLQ WOSSTANOWLENIQ PREDPOSLEDNEJ SISTEMYPO POSLEDNEJ NEOBHODIMO POLXZOWATXSQ DOKAZANNYMI SWOJSTWAMI pSom�

Page 28: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

����� pSom�� DLQ PROIZWOLXNOJ MATRICY

tEOREMA� dLQ WSQKOJ MATRICY A SO SKELETNYM RAZLOVENIEM A � BC

SU�ESTWUET EDINSTWENNAQ pSom �� OPREDELQEMAQ FORMULOJ

A� � C�B� � C�CC����B�B���B��

PRI�EM� ONA OKAZYWAETSQ I pSom� T�E� PIM�� �KWIWALENTNA RPIM� �

dOKAZATELXSTWO� pOKAVEM� �TO MATRICA A� UDOWLETWORQET PIM�� �

�� AA�A � BCC�CC����B�B���B�BC � BEEC � BC � A�

�� A� � C�CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���CC����CC��B� �� C�CC����B�B���CC����C� �z �

U

�C�B�� �z �A�

� UA�

�� A� � C�CC����B�B���B� �� C�B�BB�B���CC����B�B���B� �� C�B�BB�B���CC����B�B���B� �� C�B�� �z �

A�

�BB�B���CC����B�B���B�� �z �V

� A�V�

pOKAVEM E�E� �TO MATRICA A� UDOWLETWORQET RPIM� �

�� AA�A � A � �TO POKAZANO WY�E�

�� A�AA� � C�CC����B�B���B� �BC � C�CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���B�B�CC��CC����B�B���B� �� C�CC����B�B���B� �� A��

�� AA� � BC � C�CC����B�B���B� � BCC��CC����B�B���B� �� BB�B���B� � BB�B���B��� �� BCC��CC����B�B���B��� �� AA����

�� A�A � C�CC����B�B���B� � BC �� C�CC����B�B���B�B�C � C�CC����C �� C�CC����C�� � C�CC����CB�B���B�B��� �� A�A���

��

Page 29: penzen - dep_msm.pnzgu.rudep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/psim.pdf · ob ratim o jsl ewa pso m dlq matricy ob ratim o j sprawa pso m dlq pro izwolxn o j matricy lit eratura.

t�K� MATRICY� UDOWLETWORQ��IE RPIM� I PIM�� � EDINSTWENNY� AODNA I TA VE MATRICA A� UDOWLETWORQET I RPIM� � I PIM�� � TOPONQTIQ pSom I pSom � OKAZYWA�TSQ LOGI�ESKI �KWIWALENTNYMI�

lITEpATUpA

��� bORTAKOWSKIJ a�s�� pANTELEEW a�w� lINEJNAQ ALGEBRA W PRIMERAH IZADA�AH� u�EB� POSOBIE� � m�� wYS�� �K�� ����� � ��� S�

��� wOEWODIN w�w� lINEJNAQ ALGEBRA� iZD� � E� PERERAB� I DOP� � m��nAUKA� ����� � ��� S�

��� gANTMAHER f�r� tEORIQ MATRIC� � � E IZD� � m�� nAUKA� ���� ��� S�

��� dEMMELX dV� wY�ISLITELXNAQ LINEJNAQ ALGEBRA� tEORIQ I PRILOVE NIQ� pER� S ANGL� h�d� iKRAMOWA� � m�� mIR� ����� � ��� S�

��� lANKASTER p� tEORIQ MATRIC� pER� S ANGL� � m�� nAUKA� ���� ���� S�

��� tYRTY�NIKOW e�e� mATRI�NYJ ANALIZ I LINEJNAQ ALGEBRA� � m��fizmatlit� ���� � ��� S�

�� tYRTY�NIKOW e�e� kRATKIJ KURS �ISLENNOGO ANALIZA� � m�� wini ti� ����� � ��� S�

��� hORN z�� dVONSON �� mATRI�NYJ ANALIZ� pER� S ANGL� � m�� mIR������ � ��� S�

��� �IKIN e�w� lINEJNYE PROSTRANSTWA I OTOBRAVENIQ� � m�� iZD WOmgu� ���� � ��� S�

��