Optyka Fourierowska - if.pw.edu.pl
Transcript of Optyka Fourierowska - if.pw.edu.pl
Optyka Fourierowska
Wykład 1
Analiza sygnałów i układów dwuwymiarowych
Literatura
• K. Gniadek „Optyka Fourierowska”
• K. Gniadek „Optyczne przetwarzanie informacji”
• J.W. Goodman „Introduction to Fourier Optics”
• O. K. Ersoy „Diffraction, Fourier Optics and Imaging”
Dyfrakcja
• Kiedy pole falowe przechodzi przez przeszkody jego bieg nie może być opisany w koncepcji promieni, zmienia się jego kształt i wielkosć – zjawisko dyfrakcji
• Dyfrakcja dotyczy wszelkich fal: elektromagnetycznych, akustycznych, radiowych, ultradźwiękowych.
• W przeszłości dyfrakcja głównie szkodziła ograniczając rozdzielczość układów optycznych. Dziś powstają technologie ją wykorzystujące: holografia, dyfrakcyjne elementy optyczne DOE (hologramy syntetyczne, komputerowe), optyka dyfrakcyjno-refrakcyjna
Optyka Fourierowska
• Optyka Fourierowska opisuje te tematy i zastosowania optyki, które wykorzystują ciągłą lub dyskretną transformatę Fouriera
• Przede wszystkim jest to skalarna teoria dyfrakcji, ale także np. właściwości transformujące i obrazujące soczewek, analiza częstotliwościowa układów obrazujących, filtracja przestrzenna, optyczne przetwarzanie sygnałów, holografia klasyczna i komputerowa, projektowanie i analiza DOE a także nowe techniki obrazowania.
Zastosowania optyki fourierowskiej
• Gęste zwielokrotnienie falowe (DWDM) – Elementy obrazujące typu PHASAR pozwalają na
łączenie/rozłączanie (multipleksację) kanałów
• Optyczne elementy dyfrakcyjne i subfalowe – Elementy o dowolnych właściwościach fazowych w każdym
punkcie (elektronolitografia, techniki nanofabrykacji)
• Urządzenia nanodyfrakcyjne i ścisła teoria dyfrakcji – Warunki brzegowe równań Maxwella – Mikrozwierciadła MEMS, optyczne układy zintegrowane
• Współczesne metody obrazowania – Obrazowanie koherentne, holografia, przestrzenne
modulatory światła
Układy optyczne • Układem nazywamy pewne mapowanie sygnału
wejściowego na sygnał wyjściowy – W przypadku dyfrakcji i obrazowania najczęściej sygnałem
wejściowym i wyjściowym są fale
• Układy mogą być jednowymiarowe (np. sygnał elektryczny, dźwięk) i zwykle czasowe, lub też dwuwymiarowe (np. obraz) i zazwyczaj przestrzenne
• Światło posiadające koherencję można charakteryzować przez dwu- lub trójwymiarowe rozkłady amplitudy zespolonej, tj. amplitudy i fazy, podczas gdy światło niekoherentne przez rzeczywiste wartości natężenia
Analiza częstotliwościowa
• Zarówno sygnały czasowe jak i przestrzenne mogą być analizowane częstotliwościowo za pomocą transformaty Fouriera
• Transformata Fouriera może być używana także do łączenia (syntezy) sygnałów o poszczególnych częstotliwościach (np. filtracja)
• Właściwość liniowości pozwala rozłożyć złożony sygnał na sygnały elementarne zwane sygnałami bazowymi. W analizie fourierowskiej sygnałami składowymi są sinusoidy o różnych częstotliwościach
Układy liniowe
• a1 i a2 są dowolnymi stałymi zespolonymi
yxuOayxuOayxuayxuaO
yxuOyxg
,,,,
,,
22112211
Funkcja impulsu
• Możliwe są także inne definicje
thdht
dtt
txt
at
a
atx
a
1
lim
022
1
0
hprzypadkachpozostałycw
Odpowiedź impulsowa
• Jest to całka superpozycji fal
111111
111111
111111
1111
,;,,
,,,,
,,,
,,;,
dydxyxyxhyxu
dydxyyxxOyxuyxuOyxg
dydxyyxxyxuyxu
yyxxOyxyxh
Układy niezmiennicze przestrzennie (izoplanarne)
• W układach niezmienniczych przestrzennie wartość odpowiedzi impulsowej zależy jedynie od i możemy zapisać:
• W układach niezmienniczych przestrzennie
11, yyxx
yxOyxh ,0,0;,
yxhyxu
dydxyyxxhyxuyxg
,,
,,, 111111
Funkcja przenoszenia
• Ponieważ transformata Fouriera splotu jest iloczynem transformat, możemy zapisać:
• nazywana jest funkcją przenoszenia układu
dxdyyfxfiyxhyxhffH
ffHffUffG
yxyx
yxyxyx
2exp,,,
,,,
yx ffH ,
Transformata Fouriera (FT) • Sygnały jednowymiarowe (czasowe)
– Równanie analizy:
– Równanie syntezy:
• Sygnały dwuwymiarowe (przestrzenne)
dfiftfUfUtu
dtifttutufU
2exp
2exp
1
dftyfxfiffUffUyxu
dtyfxfiyxuyxuffU
yxyxyx
yxyx
2exp,,,
2exp,,,
1
Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)
• W przypadku sygnału dyskretnego i układu niezmienniczego i liniowego w miejsce splotu sumę:
• Funkcja przenoszenia wyraża się wówczas wzorem:
11
1 1
11 nnmm
m n
nmmn hug
m n
yxmnxx ynfxmfihffH 2exp,
Właściwości FT
• Liniowość
• Splot
• Korelacja
yxyxyx
yxyxyx
yxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
dfdfffUffUdxdyyxuyxu
yfxfiffUffGyyxxuyxg
fUfUffGyuxuyxg
ffUffUffGyxuyxuyxg
ffUffUffGyxuyxuyxg
ffUffUffGyxuyxuyxg
ffbUffaUffGyxbuyxauyxg
,,,,
2exp,,,,
,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
**
0000
2121
2121
*
2121
2121
2121
• Modulacja
• Funkcje rozłączne
• Przesunięcie przestrzenne
Właściwości FT
• Rzeczywisty i parzysty sygnał ma rzeczywiste i parzyste widmo
• Rzeczywisty i nieparzysty sygnał ma urojone i nieparzyste widmo
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyx
ffUffUffUffU
yxuyxuyxuyxu
ffUffUffUffU
yxuyxuyxuyxu
ffUffUyxuyxu
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
*
*
*
*
**
Widmo amplitudowe i fazowe • Widmo możemy zapisać jako
gdzie
Transformata wyraża się w tym przypadku przez:
i jeśli sygnał jest rzeczywisty można to zapisać jako
dffftfUtu
dfefUtu
fU
fUf
fUfU
a
ffti
a
a
2cos
Re
Imarctan
2
fi
a efUfU
Symetria obrotowa
• Jeśli sygnały przestrzenne mają symetrię obrotową łatwiej jest używać współrzędnych radialnych
• Transformata Fouriera
we współrzędnych sferycznych przyjmuje postać:
Transformata Fouriera-Bessela (Hankela)
• Jeśli pole ma symetrię obrotową
można zapisać
i wykorzystując definicję funkcji Bessela zerowego rzędu
otrzymujemy transformatę Fouriera-Bessela (Hankela)
Transformata Fouriera-Bessela (Hankela)
Funkcje specjalne
• Funkcja kwadratowa (rectus)
• Funkcja sincus
• Funkcja znaku (signum)
hprzypadkachpozostałycw0
1
21
21
21
21
x
x
xrect
x
xx
sinsinc
0x1
00
01
sgn x
x
x
b
f
a
f
abbyrectaxrect
yx sincsinc1
yx fifi
abbyax
11sgnsgnsgn
Funkcje specjalne
• Funkcja trójkątna
• Funkcja grzebieniowa (combus)
• Funkcja kołowa (circus)
hprzypadkachpozostałycw0
11 xxx
n
nxxcomb
hprzypadkach pozostałyc w0
1
1122
21
22
22 yx
yx
yxcircrcirc
b
f
a
f
abbyax
yx 22 sincsinc1
b
fcomb
a
fcomb
abbycombaxcomb
yx1
21Jrcirc
Próbkowanie
• Często wygodniej zarówno dla przetwarzania danych jak i dla analizy matematycznej posługiwać się sygnałem dyskretnym
• Jeśli sygnał ma ograniczone widmo można znaleźć taką odległość próbkowania, że możliwe będzie odbudowanie pełnej informacji o sygnale na podstawie ograniczonej liczby dyskretnych wartości
Twierdzenie Whittakera - Shannona
• Zdefiniujmy próbkowany sygnał jako:
• Widmo takiego sygnału dyskretnego będzie równe:
yxgy
combx
combyxgyx
d ,,
n m y
y
x
xyx
n m y
y
x
x
yxyyxxyxyx
yx
yxd
mf
nfGffG
mf
nf
ffGfcombfcombffGy
combx
combffG
,,,
,,,
Twierdzenie Whittakera - Shannona
• Widać, że są to rozsunięte o odległości kompletne widma sygnału
• Zakładając, że widmo sygnału jest ograniczone i mieści się w prostokącie i, że gęstość próbkowania spełnia warunki i filtrując jedynie jeden element widma możemy odtworzyć sygnał
yx
1,
1
yxg ,
yx BB 2,2
y
y
x
xBB 2
1
2
1