22-03-2007

06-05-2005

grzbiet-11

Pow

tórz

enie. Prz

yg

oto

wan

ie do m

atury

Przyg

oto

wan

ie do m

atury

Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.

Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.

Ksi¹¿ka ta jest przeznaczona dla wszystkich, którzy chc¹ siê dobrze

przygotowaæ do egzaminu maturalnego, niezale¿nie od tego, z jakich

programów nauczania korzystali do tej pory.

W pierwszej czêœci ksi¹¿ki proponujemy solidne i systematyczne

powtórzenie wiadomoœci z poszczególnych dzia³ów matematyki.

W drugiej czêœci mo¿na znaleŸæ zestawy maturalne dla zakresu

podstawowego i rozszerzonego, wœród nich zestaw zadañ z egzaminu

maturalnego 2005.

kod-ok.

83-7420-003-0 978-83-7420-003-5 MLP3 X 16 EAN: 9788374200035

ISBN 978-83-7420-003-5

Spis treści

Powtórzenie wiadomości .......................................................................................... 9

Zadania i zbiory ................................................................................... 10

Obliczenia ............................................................................................. 18

Ciągi ....................................................................................................... 27

Własności funkcji ................................................................................. 31

Funkcje liniowe i kwadratowe ........................................................... 39

Wielomiany i wyrażenia wymierne ................................................... 45

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne .............................................. 51

Trygonometria ...................................................................................... 55

Granice i pochodne ............................................................................. 62

Statystyka .............................................................................................. 69

Rachunek prawdopodobieństwa ....................................................... 74

Planimetria ............................................................................................ 81

Planimetria (cd.) ................................................................................... 89

Stereometria ......................................................................................... 96

Zestawy zadań maturalnych ................................................................................ 105

Zestaw maturalny 2005 ........................................................................................ 125

Wskazówki i szkice rozwiązań ............................................................................. 131

Odpowiedzi ........................................................................................................... 169

Ciągi

Podstawowe pojęcia

Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich (ciąg nie-skończony) lub na jego skończonym podzbiorze {1, 2, 3, . . . ,k} (ciąg skończo-ny). Wartości takiej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.

Ciąg, w którym dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 zacho-dzi nierówność an < an+1, nazywamy rosnącym, a gdy zachodzi nierównośćan+1 < an, to ciąg nazywamy malejącym. Ciąg, w którym dla każdego n zacho-dzi równość an+1 = an, nazywamy stałym.

zob. II str. 162 198

Ciąg arytmetyczny

Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym,jeśli ma co najmniej trzy wyrazyi każdy jego wyraz, z wyjątkiem pier-wszego, powstaje przez dodaniepewnej stałej liczby r do poprzed-niego wyrazu.

Wzór rekurencyjny:

an+1 = an + rr — różnica ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny:

an = a1 + (n − 1)r

Ciąg geometryczny

Ciąg (an) nazywamy geometrycznym,jeśli ma co najmniej trzy wyrazyi każdy, z wyjątkiem pierwszego, po-wstaje w wyniku pomnożenia po-przedniego wyrazu przez pewną sta-łą liczbę q.

Wzór rekurencyjny:

an+1 = an · qq — iloraz ciągu geometrycznego

Wzór ogólny:

an = a1 · qn−1

Suma n początkowych wyrazów:

Sn =a1 + an

2· nzob. II str. 171 207

Suma n początkowych wyrazów:

Sn = a1 · 1 − qn

1 − q, gdy q �= 1

zob. II str. 180 216

Szereg geometryczny

Niech (an) oznacza ciąg geometryczny o ilorazie q. Ciąg sum częściowych (Sn),czyli S1 = a1, S2 = a1 + a1q, S3 = a1 + a1q + a1q2, . . . nazywamy szeregiemgeometrycznym.

Jeśli |q| < 1, to ciąg (Sn) jest zbieżny, a liczbę S = limn→+∞Sn nazywamy sumą

szeregu geometrycznego. Mówimy też, że S jest sumą wszystkich wyrazów

nieskończonego ciągu geometrycznego (an).

S =a1

1 − q zob. II str. 245

28 C I Ą G I

Zadania kontrolne

I. Ciąg (an) określony jest wzorem an = n(3n+1). Liczba 200 jest jednym z wyrazówtego ciągu. Którym?

II. Zapisz dziesiąty, jedenasty i dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym:

zob. II str. 173 209a) a1 = −2, r = 5 b) a3 = 8, a7 = 6

III. Wykaż, że liczby (√

3)4 − 2√

3, 9, 32 +√

3 tworzą ciąg geometryczny. Czy iloraz tegociągu jest liczbą większą od 3?

IV. Zbadaj monotoniczność ciągu an = 3nn + 2

.zob. II str. 166 202

V. Liczby 1 +√

2, 1, 1 −√

2 to trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciąguarytmetycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu.

VI. Liczby 3√

3, 3,√

3 są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonegociągu geometrycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu.

zob. II str. 182 218

VII. Liczby −2 i 4 to odpowiednio drugi i piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego(an). Oblicz sumę a20 + a21 + . . . + a30.

zob. II str. 174 210

VIII. Składniki sumy 2 + 2√

2 + 4 + . . . + 16√

2 są kolejnymi wyrazami ciągu geome-trycznego. Oblicz tę sumę.

zob. II str. 184 220

IX. Który z podanych ciągów jest rosnący, który malejący, a który nie jest ani ro-snący, ani malejący?

an = 3 − 2n

bn = n2 − 2n cn = n + 12n

dn = |7 − n|

X. Poniżej podano wzory ogólne kilku ciągów. Który z tych ciągów jest ciągiemarytmetycznym, a który geometrycznym?

an = n3 cn = 3n en = |n + 2| bn = 3n dn = 1 − n4

fn = |n − 2|

XI. Czwarty wyraz pewnego ciągu jest równy 9, a ósmy jest równy 81. Podaj pierw-sze dwa wyrazy tego ciągu, jeśli wiadomo, że jest to:

a) ciąg arytmetyczny, b) ciąg geometryczny.

XII. Sprawdź, że ciąg an = 45n−1 jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę wszyst-

kich wyrazów tego ciągu.

134 WSKAZÓWKI I SZKICE ROZWIĄZAŃ

Ciągi

str. 28 XII. Wskazówka. Ciąg (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznymo ilorazie q = 1

5.

str. 29 3. Wskazówka. Wszystkie trzycyfrowe parzyste liczby naturalne tworząciąg arytmetyczny, w którym a1 = 100 oraz r = 2. Ostatnim wyrazem tegociągu jest a450 = 998. Wystarczy zatem obliczyć S450.

4. a) Wskazówka. Liczby miejsc w kolejnych rzędach tworzą ciąg arytme-tyczny (an), w którym r = 3. Aby znaleźć a1, należy rozwiązać równanieS25 = 1250.b) Wskazówka. Należy sprawdzić, czy zachodzi nierówność S16 > 625.

5. Liczby osób, które po kolejnych dniach znają plotkę, tworzą ciąg:

15, 15 + 3 · 15 = 4 · 15, 4 · 15 + 3 · 4 · 15 = 42 · 15, . . . , 46 · 15

Zatem w niedzielę plotkę znało 46 · 15 = 61 440 osób. Liczba mieszkańcówmiasteczka wynosi więc 61 446 osób.

6. Wskazówka. Kolejne wyrazy ciągu można zapisać w postaci:

log2 10, 2 log2 10, 3 log2 10, . . .

7. Wskazówka. W ciągu powtarza się sekwencja sześciu wyrazów: 5, 8, 3,−5, −8, −3.

8. Wskazówka. Rozwiąż równanie a1 + a1q + a1q2 = 3a1. Ponieważ ciąg niejest stały, więc a1 �= 0 i q �= 1.

9. Wskazówka. Zob. zadanie 2 na str. 15.

Własności funkcji

str. 34 IV. c) Funkcja jest rosnąca w przedziale (−∞; 5〉 i malejąca w przedziale〈5; +∞), zatem z warunków zadania wynika, że:

f (−2) < f (1) = f (7) < f (6)

str. 35 XII. a) Aby wykazać, że funkcja f (x) = 3x2 −5x nie jest różnowartościowa,wystarczy wskazać takie dwa argumenty x1 i x2, dla których spełniony jest

warunek f (x1) = f (x2)(

np. x1 = 0, x2 = 53

).

b) Dziedziną funkcji g jest zbiór D = �, zatem jeśli x ∈ D, to −x ∈ D.Ponadto:

g(−x) = 3 − (−x)2

5 + |−x| = 3 − x2

5 + |x| = g(x)

Zatem funkcja g jest parzysta.

22-03-2007

06-05-2005

grzbiet-11

Pow

tórz

enie. Prz

yg

oto

wan

ie do m

atury

Przyg

oto

wan

ie do m

atury

Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.

Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.

Ksi¹¿ka ta jest przeznaczona dla wszystkich, którzy chc¹ siê dobrze

przygotowaæ do egzaminu maturalnego, niezale¿nie od tego, z jakich

programów nauczania korzystali do tej pory.

W pierwszej czêœci ksi¹¿ki proponujemy solidne i systematyczne

powtórzenie wiadomoœci z poszczególnych dzia³ów matematyki.

W drugiej czêœci mo¿na znaleŸæ zestawy maturalne dla zakresu

podstawowego i rozszerzonego, wœród nich zestaw zadañ z egzaminu

maturalnego 2005.

kod-ok.

83-7420-003-0 978-83-7420-003-5 MLP3 X 16 EAN: 9788374200035

ISBN 978-83-7420-003-5