O Z A D A N I A C H N A D O W O D Z E N I E W G E O M E T...
36
O ZADANIACH NA DOWODZENIE W GEOMETRII W. GUZICKI ORE, 6 kwietnia 2017 r.
-
Upload
nguyenlien -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of O Z A D A N I A C H N A D O W O D Z E N I E W G E O M E T...
O Z A D A N I A C H
N A D O W O D Z E N I E
W G E O M E T R I I
W. G U Z I C K I
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 1
Zadanie 1. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = BC. W tym trójkącie
poprowadzono wysokość AD. Udowodnij, że
]ACB = 2 · ]BAD.
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 1
Zadanie 1. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = BC. W tym trójkącie
poprowadzono wysokość AD. Udowodnij, że
]ACB = 2 · ]BAD.
Zadanie 2. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = BC. W tym trójkącie
poprowadzono wysokość AD. Ponadto ]BAD = 24◦. Oblicz kąt ACB.
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 3
A B
C
D
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 4
A B
C
D
24◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 5
A B
C
D
24◦ 90◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 6
A B
C
D
24◦ 90◦
66◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 7
A B
C
D
24◦ 90◦
66◦66◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 8
A B
C
D
24◦ 90◦
66◦66◦
180◦ − 2 · 66◦ = 48◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 9
A B
C
D
α
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 10
A B
C
D
α 90◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 11
A B
C
D
α 90◦
90◦ − α
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 12
A B
C
D
α 90◦
90◦ − α90◦ − α
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 13
A B
C
D
α 90◦
90◦ − α90◦ − α
180◦ − 2 · (90◦ − α) = 2α
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 14
A B
C
D
α 90◦
90◦ − α90◦ − α
180◦ − 2 · (90◦ − α) = 2α
Nr Wniosek Uzasadnienie
1. ]BAD = α oznaczenie,
2. ]ADB = 90◦ z założenia,
3. ]ABC = 180◦−]BAD−]ADB kąty 4ABD,
4. ]ABC = 90◦ − α 1, 2, 3,
5. ]BAC = ]ABC AC = BC,
6. ]BAC = 90◦ − α 4, 5,
7. ]ACB = 180◦−]BAC−]ABC kąty 4ABC,
8. ]ACB = 2α 4, 6, 7,
c. b. d. o.
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 15
Zadanie 3. Na bokach BC i CD prostokąta ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta, dwa
trójkąty równoboczne BCE i CDF . Udowodnij, że AE = AF .
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 16
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 17
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 18
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 19
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 20
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 21
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 22
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 23
A B
CD
E
F
90◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 24
A B
CD
E
F
90◦
60◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 25
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 26
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
90◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 27
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
90◦ 60◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 28
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
90◦ 60◦
150◦
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 29
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
90◦ 60◦
150◦
Nr Wniosek Uzasadnienie
1. AB = DC boki prostokąta,
2. DC = DF boki 4 równobocznego,
3. AB = DF 1, 2,
4. AD = BC boki prostokąta,
5. BC = BE boki 4 równobocznego,
6. AD = BE 4, 5,
7. ]ADC = 90◦ kąt prostokąta,
8. ]CDF = 60◦ kąt 4 równobocznego,
9. ]ADF = 150◦ 7, 8,
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 30
A B
CD
E
F
90◦
60◦
150◦
90◦ 60◦
150◦
Nr Wniosek Uzasadnienie
3. AB = DF 1, 2,
6. AD = BE 4, 5,
9. ]ADF = 150◦ 7, 8,
10. ]ABC = 90◦ kąt prostokąta,
11. ]CBE = 60◦ kąt 4 równobocznego,
12. ]ABE = 150◦ 10, 11,
13. ]ADF = ]ABE 9, 12,
14. 4FDA = 4ABE 3, 6, 13, BKB,
15. AF = AE 14, c. b. d. o.
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 31
Zadanie 4. Na bokach BC i CD prostokąta ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta, dwa
trójkąty równoboczne BCE i CDF . Udowodnij, że trójkąt AEF jest równoboczny.
A B
CD
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 32
Zadanie 5. Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta,
dwa trójkąty równoboczne BCE i CDF . Udowodnij, że trójkąt AEF jest równoboczny.
A
B
C
D
E
F
A B
C
D
E
F
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 33
Zadanie 6. Dane są dwa kwadraty ABCD i AEFG położone tak jak na rysunku poniżej:
A B
CD
E
F
G
Udowodnij, że BE = DG.
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 34
Zadanie 6. Dane są dwa kwadraty ABCD i AEFG położone tak jak na rysunku poniżej:
A B
CD
E
F
G
Udowodnij, że BE = DG.
A B
CD
E
F
G
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 35
K O N I E C
ORE, 6 kwietnia 2017 r.
