Nierozróznialno cz stek w mechanice kwantowejzebra/F2_IBM/FI2 W7 Wiele czastek... · 2015. 1....
Transcript of Nierozróznialno cz stek w mechanice kwantowejzebra/F2_IBM/FI2 W7 Wiele czastek... · 2015. 1....
Fizyka 2 Wykad W7 1
Nierozróznialno czstek w mechanice kwantowej (copyright: wikszo ilustracji pochodzi ze strony www.aip.org/physnews/graphics oraz z Wikipediii)
Dotychczas rozpatrywalimy jedynie ukady zawierajce tylko 1 kwantow czstk.
Gdy mamy N czstek funkcja falowa układu zaley od wszystkich wspórzdnych wszystkich
czstek:
i,...N)(1,2,3,., ,
gdzie “i” oznacza wspórzdn przestrzenn oraz rzut momentu spinowego na wybran o (kierunek
w przestrzeni).
Hamiltonian takiego ukadu
i
ii
i VVTTW + V + T = H^^^^
;;ˆˆˆˆ
gdzie T jest operatorem energii kinetycznej, Vi jest jednoczstkowym operatorem energii
potencjalnej
)j i, (W = Winejji,
ˆˆ jest operatorem energii oddziaywania (te rodzaj energii potencjalnej)
Rozwizanie N-czstkowego równania Schrödingera z wyej opisanym hamiltonian w ogólnosci
okazuje si niezwykle trudne.
Konieczne s drastyczne przyblienia.
Podstawowe przybliżenie: przybliżenie jednoczstkowe:
zakada si, e ukad mona opisa kombinacjami liniowymi jednoczstkowych funkcji
falowych
(np. funkcji falowych wspólrzdnych tylko 1 elektronu)
Fizyka 2 Wykad W7 2
Tak wic
i,...N)(1,2,3,., zapisuje si (“konstruuje si”) za pomoc funkcji (i) ,
gdzie “i” s wspórzdnymi (wraz ze zmienn spinow)
dowolnej czstki w ukadzie.
Jest to bezporednia konsekwencja (wyraenie) zasady nieodrónialnoci czstek w mechanice
kwantowej - czstek nie da si ledzi jako czstka 1 lub 2 (“Marek” czy “Wacek”).
Skoro czstki s nierozrónialne to hamiltonian musi by niezmienniczy wzgldem wzajemnych
przestawie wspórzdnych czstek.
W konsekwencji:
Gsto prawdopodobiestwa musi te by niezmiennicza wzgldem takich przestawie.
|N)i,.....,j,....,,(1,2,3,...| = |N)j,.....,i,....,,(1,2,3,...|22
A inaczej: N)i,.....,j,....,,(1,2,3,... = N)j,.....,i,....,,(1,2,3,...
Zakaz Paulliego:
Paulli doszedł do wniosku, że znak jaki naley wybra zaley od spinu czstki
Dla fermionów (czstek, których rzut spinu na wyróniony kierunek jest wielokrotnoci 2
)
znak “-” co daje nam antysymetryczn funkcje falow
Fizyka 2 Wykad W7 3
Przykad dla dwóch fermionów
Dla elektronów w czsteczce skadajcej si z dwóch atomów „a” i „b”
funkcja falowa w przyblieniu jednoczstkowym
) (1)(2) (2)(1) ( 2
1 = (1,2)
baba
Widzimy, e fermionom odpwiada antysymetryczna funkcja falowa: (1,2) - = (2,1)
Uwaga: “1” oraz “2” to symboliczne oznaczenie wszystkich współrzędnych elektronu włącznie ze
współrzędną spinową.
Przykad: dla dwóch bozonów (np. dla fononów) funkcja falowa w przyblieniu jednoczstkowym
) (1)(2) + (2)(1) ( 2
1 = (1,2) baba
Widzimy, e bozonom odpowiada symetryczna funkcja falowa: (1,2) = (2,1)
Wniosek: zakaz Pauliego gdy „1” = „2” tzn wszystkie liczby kwantowe obu fermionów s równe -
funkcja falowa ukadu znika !
Fizyka 2 Wykad W7 4
Przykad: Fermiony i bozony w pobliżu temperatury bezwzględnego zera.
Rysunek obok przedstawia obraz dwóch chmur
dwóch różnych (stabilnych) izotopów litu: litu 6 oraz
litu 7 wytworoznych w Rice University (USA) w
ultraniskich temperaturach. Lit 7 jest bozonem a lit 6
jest fermionem. Izotopy różnią się liczbą nukleonów
w jadrze (własności chemiczne natomiast są
identyczne).
nK to temperatura 10-9 K !
W eksperymencie (sławna kondensacja Bose-
Einsteina) ściskano obie chmury starając się
zmniejszyć ich rozmiary. Jak widać rozmiary chmury
bozonów można zmniejszyć o wiele łatwiej niż
chmurę fermionów. To właśnie zakaz Paulliego
uniemożliwia zbliżenie się fermionów do siebie:
gdyby nastąpiło dalsze zbliżenie funkcja falowa układu fermionów musiałaby zniknąć – czyli atomy
musiałyby przestać istnieć. Zakaz Paulliego obowiązuje jedynie fermiony i dlatego własności
statystyczne tych dwóch rodzajów cząstek są istotnie różne.
Fizyka 2 Wykad W7 5
Wybrane zastosowania mechaniki kwantowej Technologia mikrostruktur bardzo szybko si rozwija:
Przykad Nanogitara
Electron-microscope image of the
world's smallest guitar, based
roughly on the design for the Fender
Stratocaster, a popular electric
guitar. Its length is 10 millionths of a
meter-- approximately the size of a
red blood cell and about 1/20th the
width of a single human hair. Its
strings have a width of about 50
billionths of a meter (the size of
approximately 100 atoms). Plucking
the tiny strings would produce a
high-pitched sound at the inaudible frequency of approximately 10 megahertz. Made by Cornell
researchers with a single silicon crystal, this tiny guitar is a playful example of nanotechnology, in
which scientists are building machines and structures on the scale of billionths of a meter to perform
useful technological functions and study processes at the submicroscopic level. (Image courtesy
Dustin W. Carr and Harold G. Craighead, Cornell.)
Fizyka 2 Wykad W7 6
Najbardziej popularnym przykadem zastosowania efektu tunelowego jest póprzewodnikowa {hiperlink:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82%C4%85cze_p-n} dioda Zenera (zob. też złącze p-n {hiperlink:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82%C4%85cze_p%C3%B3%C5%82przewodnikowe}):
Pod wpywem napicia przyoonego w
kierunku zaporowym efektywna szeroko
przerwy zabronionej staje si tak cienka, e
noniki tuneluj przez ni tak jak w
analizowanych przez nas symulacjach zjawiska
tunelowego.
Prowadzi to do
gwatownego wzrostu
natenia prdu pynacego przez diod (przebicie lawinowe – na
żółto).
Fizyka 2 Wykad W7 7
Przykad: Kwantowym tranzystor tunelowy (1997)
Quantum Tunneling Transistor
Schematic diagram of a quantum
tunneling transistor, an on-off
switch that exploits an electron's
ability to pass through normally
impenetrable energy barriers. The
various contacts and gates adjust
the voltage between the upper
quantum well (labelled "top QW")
and the lower quantum well
("bottom QW"), both made of
gallium arsenide and having
thicknesses of just 150 Angstroms (where 1 Angstrom equals 10-10 meters). Adjusting the voltage in
the right way allows the electrons in the top QW to "tunnel through" an ordinarily insurmountable
barrier (made of aluminum gallium arsenide, depicted as a sawtoothed energy barrier in the
leftmost diagram) to the bottom QW. Tunneling occurs when the top QW and bottom QW accept
electrons with the same energy and momentum states. (Figure courtesy Sandia National
Laboratories)
This research was described at the 1997 IEEE International Electron Device Meeting in Washington,
DC, December 7-10, 1997.
Fizyka 2 Wykad W7 8
Przykad: nanotrioda (1999) – lampa elektronowa o rozmiarach nanometrowych
Schematyczny rysunek pokazuje
przekrój triody opracowanej przez
Driskill-Smith et al., I
opublikowanej w Applied Physics
Letters, w listopadzie 1999
1 nm = 10-9 m
Std nawet bardzo mae napicie
daje ogromne pole wewntrz
elementu: 1 V napicia
przyoonego odpowiada 10 MV/m
natenia pola pomiedzy katod a
anod. Wewnątrz elementu jest
wysoka próżnia.
Fizyka 2 Wykad W7 9
Mikroskop tunelowy
Zjawisko tunelowe zostao wykorzystane w 1982 roku do budowy skanujcego mikroskopu
tunelowego.
Prd pyncy przez zcze tunelowe
(rzdu nA) zaley silnie (zaleno
ekspotencjalnie malejąca !) od
odlegoci czubka sondy od
powierzchni:
Zmiana o 0.1 nm (10-10 m) wywouje
10-krotn zmian natenia prdu.
Sond przesuwa si wzdu
powierzchni tak sterujc jej pooenie
aby natenie prdu byo stae.
Wymagania kontroli staoci prdu
mona przeliczy na odlego czyli
ksztat powierzchni.
Fizyka 2 Wykad W7 10
Tunelowy mikroskop skaningowy jest czuły na gsto elektronów na powierzchni badanego
materiau.
Fizyka 2 Wykad W7 11
Trzy nietypowe przykłady
Obraz obok przedstawia widok fal elektronowych
rozbijajacych si na 2 defektach o rozmiarach
pojedyczych atomów na powierzchni krysztau
miedzi.
Oczywiscie widzimy stay wzór przestrzenny bo
powstaj fale stojce dziki interferencji. Inaczej
nie było by nic widać bo fale elektronowe mają
dużą częstość i prędkośća obraz w mikroskopie
tunelowym powstaje powoli.
Czubkiem sondy mikroskopu tunelowego mona te
przemieszcza atomy i rozmieszcza je w dowolny sposób.
Liczydo z kulek atomów wgla (C60 tzw. fulleren) {hyperlink: http://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene}
{hyperlink: http://www.ifw-dresden.de/institutes/iff/research/Carbon/fullerenes/introduction} Fulereny mają ciekawe własności elektronowe, optyczne oraz
mogą służyć jako mikronośniki przenoszące molekuły
farmaceutycznie czynne wewnątrz organizmu.
Fizyka 2 Wykad W7 12
„Stadion” z atomów elaza na powierzchni miedzi: stworzony dla obserwacji fal elektronowych w
obszarze ograniczonym
Fizyka 2 Wykad W7 13
Istniej wielorakie rozwinicia skaningowego mikroskopu
tunelowego:
Mikroskopia si atomowych
Mikroskopia si rezonansu magnetycznego:
Mikroskopia taka daje 3-wymiarowe, nieniszczce i bezwyjmowania
ze rodowiska rodzimego obrazy atomów, moleku, defektów cia
staych, domieszek w
póprzewodnikach oraz wirusów.
Delikatna dwignia z krzemu ma
na kocu sadowe iloci materiau
ferromagnetycznego.
Widoczna w tle cewka wywouje oddziaywania czubka sondy z
nawet ladowymi ilociami jonów w próbce, które posiadaj
moment magnetyczny - to wystarczy aby mikroskop si
rezonansu magnetycznego pozwoli zobrazowa próbk.
Mikroskop taki mierzy siy rzdu 10-18 N.
Fizyka 2 Wykad W7 14
Nadprzewodnictwo (szkic)
W metalach przewodzą elektrony w paśmie przewodnictwa.
Zgodnie z zakazem Paulliego wszystkie poziomy energetyczne tego pasma są zajęte
od dna pasma przewodnictwa do pewnego poziomu tzw. poziomu Fermiego.
Elektrony blisko wierzchołka pasma przewodnictwa (ale głębiej poniżej poziomu Fermiego) jest
trudno przyspieszyć (zwiększyć ich energię kinetyczną)
bo sąsiednie poziomy energetyczne są zajęte.
Elektrony w pobliżu poziomu Fermiego można przyspieszyć
bo nad nimi są wolne poziomy energetyczne.
Dlatego to elektrony w pobliżu poziomu Fermiego biorą udział w przewodnictwie.
Fizyka 2 Wykad W7 15
W niskich temperaturach, bliskich zera bezwzględnego, pojedyncze elektrony w trakcie
przewodzenia prądu elektrycznego zaburzają strukturę sieci krystalicznej:
ujemny ładunek elektronu przyciąga dodatnie jony sieci krystalicznej.
W ten sposób pod wpływem przepływem prądu po sieci krystalicznej rozchodzą się zaburzenia
w postaci fali – drgania sieci krystalicznej tzw. fonony.
Obecność fononu wysłanego przez jeden elektron wpływa na ruch
drugiego elektronu.
W normalnych temperaturach prowadzi to do wzrostu oporności
elektrycznej: ruch elektronów rozpraszany jest na fononach i średnia
prędkość elektronów maleje zmniejsza się natężenie prądu przy
stałym napięciu.
W niskich temperaturach i w takich materiałach, w których
oddziaływanie elektronu z siecią krystaliczną jest silne (słabe
przewodniki, duża oporność właściwa), może dojść do
przyciągającego oddziaływania dwóch elektronów za pośrednictwem
wysyłanych przez nie fononów.
Efekt jest złożony: aby doszło do przyciągania 2 elektronów między
sobą musi zostać zniwelowane odpychanie między nimi na skutek:
jednoimiennych ładunków obu elektronów na skutek
oddziaływania Kulomba
odpychającego oddziaływania ich spinów
Fizyka 2 Wykad W7 16
Pierwszego oddziaływania nie da się usunąć.
Drugie znika gdy spiny ustawią się antyrównolegle.
Wtedy elektrony w paśmie przewodnictwa o energiach
bliskich energii Fermiego
mogą łączyć się w pary (pary Coopera) ze spinami
ustawionymi antyrównolegle.
Elektron jest fermionem i podlega zakazowi Paulliego.
Para Coopera ma wypadkowy spin 0 i podwójny ładunek
elementarny (jest bozonem).
Nie podlega zakazowi Paulliego więc:
a) wszystkie pary gromadzą się na jednym poziomie
energetycznym i są oddzielone od reszty (niesparowanych)
elektronów wąską przerwą energetyczną Eg
b) tak zgrupowane w pary elektrony łatwo ulegają
przyspieszeniu pod wpływem zewnętrznego pola
elektrycznego i nie wykazują oporu elektrycznego.
Zjawisko to nazywa się nadprzewodnictwem {hyperlink: http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/physics_at_work/2005/exhibit/irc.php}
Własności nadprzewodnictwa (przykład)
Inne zjawisko fizyki niskich temperatur zachodzi w ciekłym Helu w temp. ok. 2 K – to nadciekłość {hyperlink: http://www.youtube.com/watch?v=2Z6UJbwxBZI&feature=youtu.be }
Fizyka 2 Wykad W7 17
Nadprzewodnictwo znajduje wiele zastosowań m.in.:
a) nadprzewodzące uzwojenia magnesów rezonatorów MRI – dzięki zerowej oporności można
zmniejszyć straty na ciepło normalnie związane z przepływem prądu elektrycznego (ciepło Joule’a-
Lenza)
b) nadprzewodzące kable energetyczne – na razie w planach bo w takich kablach płyną bardzo duże
natężenia prądu i ich pole magnetyczne może zniszczyć stan nadprzewodnictwa (pole to zmienia
wzajemne ustawienie spinów pary Coopera w końcu niszcząc ją).
c) czułe magnetometry SQUID wykorzystujące nadprzewodzące złącza Josephsona –
wykorzystywane w magnetokardiografii i magnetoenecefalografii
d) niezwykle stabilne i niskoszumne generatory wysokiej częstotliwości stosowane m.in. w
technikach pomiarowych.
Od odkrycia w 1908 roku nadprzewodnictwa w rtęci
temperatura krytyczna, w której stan nadprzewodnictwa
ulega zniszczeniu na skutek rozerwania par Coopera pod
wpływem drgań cieplnych znacznie została podwyższona. Nowe materiały ceramiczne są nadprzewodzące już w
temperaturach ciekłego azotu.
Fizyka 2 Wykad W7 18
Kropki kwantowe S to mae ograniczone obszary ciaa staego (np. póprzewodnika) o rozmiarach od kilku nm
do kilku mikronów. Nanotechnologia pozwala nam stosunkowo swobodnie ksztatowa ksztat i
rozmiary takich objektów.
Mieci si w nich od 1000 do 102 atomów wraz z ich elektronami. Oznacza to, e w przypadku
kropki kwantowej w póprzewodniku moe by (w zalenoci od rozmiaru i warunków
zewntrznych) od pojedynczego do kilku tysicy wolnych elektronów zamknitych w kropce jak w
pudeku.
Wasnoci elektronowe kropek kwantowych s nadspodziewanie podobne do wasnoci
elektronowych atomów. W szczególnoci ograniczenie rozmiarów we wszystkich trzech kierunkach
naraz oznacza skawntowane widmo energii kropki.
Z tego względu czsto mówimy o sztucznych atomach.
Fizyka 2 Wykad W7 19
Jeeli zaopatrzy kropk w kontakty to mona za
pomoc napicia zmienia liczb elektronów w
kropce (podobnie jak to byo w tranzystorze
tunelowym).
Oznacza to, e mona - zmieniajc napięcie
porusza si jakby po tablicy Mendelejewa {hyperlink:
http://www.pazdro.com.pl/zdjecia/322.jpg} wytwarzajc wewntrz
kropki rón liczb elektronów.
O tym jednak jakie wasnoci szczegóowe
bd miay elektrony wewntrz kropki kwantowej
decyduje symetria i posta funkcyjna potencjau
dziaajcego na nie.
Fizyka 2 Wykad W7 20
Przykad: dla kropki o podstawie okrgej na rysunku powyej potencja jaki dziaa na elektron jest
proporcjonalny do r2 a wic jest bardzo podobny oscylatorze harmonicznym.
Jednake jest to taki “2-wymiarowy” oscylator i to daje nieco inne wasnoci.
Funkcje falowe obliczone dla takiej kropki kwantowej s nastepujce:
Fizyka 2 Wykad W7 21
Na rysunku pokazano obok wasnoci sztucznego atomu jaki si
otrzymuje z kropki kwantowej o okrgej podstawie.
Na górnym rysunku wida jak zwikszanie napicia powoduje
skokowy wzrost prdu pyncego przez kropk (tunelowanie !)
na skutek tego, e energia elektronów zrównuje si z kolejnymi
poziomami energii dozwolonej kropki.
Prd tunelowy nie popynie dopóki nie zostanie dostarczona
energia na pokonanie kulombowskiego odpychania pomidzy
elektronami wewnątrz kropki a tymi, które maj do niej
wpyn.
Czsto wytwarza si te kropki kwantowe z gazu elektronów
swobodnych w strukturach póprzewodnikowych przez
przyożenie napicia o odpowiedniej symetrii przestrzennej
(drutu i kropki kwantowe). W takich ukadach jednak opis
zjawisk jest bardziej skomplikowany ze względu na bardziej
złożony rozkład potencjału (nie są to prostokątne studnie
potencjału).
Fizyka 2 Wykad W7 22
Obecnie technologia pozwala na samoczynne tworzenie si sieci kropek kwantowych w trakcie
chemicznych procesów technologicznych. Zamiast 1 kropki można na przykład uzyskać strukturę
rastrową jak na rysunku poniżej. Taki układ kropek kwantowych może być wykorzystany jaki panel
ekranu komputerowego lub telewizyjnego.
Kropki są położone tak blisko siebie, że
elektrony tunelują z jednej do drugiej.
Tworzy się wtedy wspólna struktura
elektronowa – tzw. supersieć: wewnątrz
kropki znajduje się wiele atomów ale
periodyczność makroskopowej struktury
ułożenia kropek powoduje wspólne pasma
energetyczne elektronów.
Oprócz supersieci wytworzonych z
kropek kwantowych można uzyskać
podobny efekt układając bardzo cienkie (1,
2 atomowe) warstwy różnych atomów jedne
na drugich. Poszczególne warstwy razem
tworzą też supersieć i posiadają nowe, niespotykane w przyrodzie własności.