Nierówności kwadratowe

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

NIERWNOSCI KWADRATOWENierwnosc kwadratowa to nierwnosc postaci

ax2 + bx + c > 0, (lub < 0,> 0,6 0).

Przypomnijmy, ze wykresem lewej strony takiej nierwnosci jest parabola, ktrej ramionasa skierowane do gry dla a > 0 i w d dla a < 0. Ponadto

a) parabola nie przecina osi Ox jezeli < 0;

x

y

x

y0


x

y

a0

x

y

++++++

>0a>0

------ ---+++

x2x1x1 x2

Patrzac na powyzsze rysunki, bez trudu ustalamy znak wyrazenia ax2 + bx + c.

a) Jezeli < 0 to wyrazenie ax2 + bx + c jest stale dodatnie dla a > 0 i ujemne dla a < 0.

b) Jezeli = 0 to wyrazenie ax2 + bx + c = a(x + b2a )2 jest rwne 0 dla x0 = b2a i jest

dodatnie dla a > 0 (ujemne dla a < 0) na zbiorze R \ { b2a}.c) Jezeli > 0 i x1 > x2 sa pierwiastkami, to wyrazenie ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)

jest dodatnie dla a > 0 (ujemne dla a < 0) na zbiorze

(, x1) (x2,+),oraz ujemne dla a > 0 (dodatnie dla a < 0) na zbiorze (x1, x2).

Nierwnosc9x2 5x + 2 > 0

jest zawsze speniona, gdyz = 25 72 < 0.

Jak to zapamietac?

Na pierwszy rzut oka mozna czuc sie zagubionym w tych wszystkich przypadkach, alegrunt to nie uczyc sie tego na pamiec, tylko wypracowac system. Przede wszystkim, zawszemozemy nierwnosc sprowadzic do postaci z dodatnim wspczynnikiem przy x2 moznato atwo zrobic mnozac nierwnosc przez -1. Przy takim zaozeniu sprawa zaczyna bycprosta.

Funkcja kwadratowa jest ujemna miedzy pierwiastkami i dodatnia na zewnatrzod pierwiastkw.

W zasadzie to jest wszystko co trzeba pamietac. Przypadki < 0 i = 0 tez podpadaja podte formuke dla < 0 nie ma pierwiastkw i funkcja jest cay czas dodatnia, a dla = 0funkcja jest dodatnia na zewnatrz od jedynego pierwiastka.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info2


Sprbujmy rozwiazac nierwnosc

x x2 + 2 > 0 / (1)x2 x 2 6 0 = 1 + 8 = 9 x1 = 1, x2 = 2x 1, 2.

Rozwiazmy nierwnosc

4x2 12x + 9 > 0 = 144 144 = 0 x0 = 32x R \

{32

}.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Ustalajac znak wyrazenia (x x1)(x x2), gdzie x2 > x1, zamiast myslec o paraboli, mo-zemy myslec o iloczynie dwch liczb: iloczyn jest dodatni gdy obie sa dodatnie, czyli dlax > x2 lub gdy obie sa ujemne: x < x1. Iloczyn jest ujemny, gdy jedna jest ujemna, a drugadodatnia, czyli dla x (x1, x2).

2Jezeli widac pierwiastki trjmianu goym okiem, to nie ma potrzeby uzywac -y.

Rozwiazmy nierwnosc16 x2 < 0 / (1)x2 16 > 0(x 4)(x + 4) > 0x (,4) (4,+).



3

W przypadku nierwnosci z parametrem, jak zwykle w przypadku zadan, w ktrych sto-sujemy wzory na pierwiastki trjmianu kwadratowego, bardzo wazne jest sprawdzenie czywspczynnik przy x2 jest niezerowy.

Sprawdzmy kiedy rozwiazaniem nierwnosci

a2x2 + ax + 1 6 0

jest zbir R. Poniewaz = 3a2 6 0,

mogoby sie wydawac, ze tak jest zawsze. Jednak dla a = 0 mamy sprzeczna nie-rwnosc 1 6 0, czyli odpowiedzia jest a R \ {0}.

4

Wiele, pozornie bardziej skomplikowanych nierwnosci, sprowadza sie do opisanej sytuacjinierwnosci kwadratowej.

Typowy przykad to nierwnosc postaci

x 3x + 1

< 0.

Kiedy ta nierwnosc bedzie speniona? wtedy kiedy licznik i mianownik bedarznych znakw. Zatem zbir rozwiazan jest dokadnie taki sam jak zbir rozwia-zan nierwnosci

(x 3)(x + 1) < 0.Jest to wiec przedzia (1, 3).

W przypadku sabej nierwnosci

x 3x + 1

6 0

trzeba byc odrobine ostrozniejszym, bo rozwiazaniem nierwnosci

(x 3)(x + 1) 6 0jest miedzy innymi x = 1, ktre nie jest rozwiazaniem wyjsciowej nierwnoscize wzgledu na x + 1 w mianowniku. Jest to jednak jedyny problem wyrzucamyx = 1 ze zbioru rozwiazan i mamy rozwiazanie x (1, 3. Inny sposb rozpa-trywania takiej sytuacji, to osobno rozwazyc przypadek x3x+1 = 0 (czyli x = 3), apotem rozwiazywac nierwnosc ostra x3x+1 < 0.



Jeszcze jeden przykad:

(x 3)2(x + 1)(x 2) 6 0.Czynnik (x 3)2 jest dodatni dla x 6= 3. Pamietamy wiec, zeby doozyc x = 3 dozbioru rozwiazan (gdyby nierwnosc bya ostra to nie dokadamy) i dzielimy przez(x 3)2. Pozostaje nam nierwnosc kwadratowa

(x + 1)(x 2) 6 0.Rozwiazaniem jest wiec zbir 1, 2 {3}.

5

Nierwnosci kwadratowe sa blisko zwiazane z nierwnosciami z wartoscia bezwzgledna.Zwiazek ten pochodzi od rwnosci:

a2 = |a||a|2 = a2.

Jezeli spierwiastkujemy nierwnosc stronami (obie strony sa nieujemne)

x2 < 4 /|x| < 2,

to widzimy, ze nierwnosci x2 < 4 i |x| < 2 sa sobie rwnowazne rozwiazaniemkazdej z nich jest przedzia (2, 2).

Sprbujmy rozwiazac nierwnosc

|x|+ x > 2|x| > 2 x /()2

Podniesiemy teraz nierwnosc do kwadratu, aby to zrobic musimy wiedziec, zeprawa strona jest nieujemna, czyli x 6 2 (jezeli prawa strona jest ujemna, to nie-rwnosc na pewno nie jest speniona).

x2 > 4 4x + x24x > 4x (1, 2.

Na koniec podkreslmy, ze bardzo wazne byo sprawdzenie, kiedy strony nierw-nosci sa nieujemne inaczej otrzymalibysmy bedna odpowiedz.



Rozwiazmy nierwnosc|x 1| < |2 x|.

Podnosimy obie strony do kwadratu.

(x 1)2 < (2 x)2

x2 2x + 1 < 4 4x + x2 x < 32

.

6

Nierwnosc kwadratowa postaci(x a)2 > 0

jest niezwykle popularnym motywem w wielu zadaniach na dowodzenie nierwnosci.

Uzasadnijmy, ze srednia arytmetyczna liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ichsredniej geometrycznej.

a + b2

>

ab

a + b > 2

ab ()2

a2 + 2ab + b2 > 4aba2 2ab + b2 > 0(a b)2 > 0.


Nierówności kwadratowe

Documents

Transcript of Nierówności kwadratowe