i, lub, nieCegieªki buduj¡ce wspóªczesne procesory.

Piotr Fulma«ski

Uniwersytet ódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki Upiotr@fulmanski.pl

http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

fulmanp.pdf

5 kwietnia 2017

mailto:piotr@fulmanski.plhttp://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_fulmanp.pdfhttp://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_fulmanp.pdf

Table of contents

1 Algebra Boole'a

2 Bramki

3 Liczby dwójkowe

4 Sumator 1-bitowy

Algebra Boole'aDe�nicja

Niech b¦dzie dana szóstka uporz¡dkowanaT = (B,AND,OR,NOT , 0, 1), gdzie

B � pewien zbiór,

AND (·) oraz OR (+) � dwa binarne operatory (dziaªania)okre±lone na elementach zbioru B,

NOT (linia nad symbolem, jak np. x) � unarny operator (dziaªanie)okre±lone na elementach zbioru B,

0, 1 � dwa wyró»nione elementy ze zbioru B.

Algebra Boole'aDe�nicja

Dla dowolnych elementów a, b oraz c nale»¡cych do B okre±lamynast¦puj¡cy zbiór aksjomatów A

a+ (b + c) = (a+ b) + c a · (b · c) = (a · b) · c ª¡czno±¢a+ b = b + a a · b = b · a przemienno±¢

a+ (a · b) = a a · (a+ b) = a pochªanianiea+ 0 = a a · 1 = a identyczno±¢

a+ (b · c) = (a+ b) · (a+ c) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) rozdzielno±¢a+ a = 1 a · a = 0 dopeªnienie

Algebra Boole'aKonsekwencje � twierdzenia

Z podanych powy»ej aksomatów mo»na wyprowadzi¢ wiele ró»nychtwierdze«, z których jednym z najpowszechniej u»ywanych s¡ prawa DeMorgana

x + y = x · yx · y = x + y

Algebra Boole'aDwuelementowa algebra Boole'a

Z informatycznego punktu widzenia istotna dla nas jest najprostszaalgebra Boole'a, tzn. tak, w której zbiót B jest dwuelementowy a wi¦cskªada si¦ tylko z elementów 0 i 1.Na podstawie podanych wcze±niej aksjomatów mo»na wyprowadzi¢ zbiórreguª charakteryzuj¡cych operacje AND, OR oraz NOT. Zwykle reguªy tezapisujemy w postaci tzw. tabel prawdy

a b AND(a, b) OR(a, b) NOT(a)

0 0 0 0 10 1 0 1 11 0 0 1 01 1 1 1 0

Algebra Boole'aDlaczego to nas interesuje?

Algebra Boole'a ma zastosowania w logice, gdzie 0 mo»emy interpretowa¢jako FASZ (FALSE), 1 za± jako PRAWD (TRUE). Dwuprzedmiotowaalgebra Boole'a jest równie» wykorzystywana do projektowania obwodóww elektrotechnice. W takim przypadku 0 i 1 reprezentuj¡ dwa ró»ne stanyjednego bitu w obwodzie cyfrowym, zazwyczaj wysokie i niskie napi¦cie.Obwody s¡ opisywane przez wyra»enia zawieraj¡ce zmienne, a dwa takiewyra»enia s¡ równe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich warto±cizmiennych, odpowiednie obwody generuj¡ takie same sygnaªy wyj±ciowe.Ponadto, ka»dy mo»liwy zwi¡zek pomi¦dzy wej±ciem a wyj±ciem mo»eby¢ modelowany przez odpowiednie wyra»enie boolowskie. To sprawia, »ealgebra Boole'a jest idealnym narz¦dziem, które mo»emy wykorzysta¢podczas projektowania obwodów logicznych.

Bramki

Cho¢ funkcje logiczne AND, OR, NOT uwa»ane s¡ za podstawowe, to wpraktyce w informatyce wykorzystuje si¦ tak»e, a cz¦sto przedewszystkim, inne tj. NAND, NOR, XOR.W elektronice powy»sze funkcje logiczne implementowane s¡ za pomoc¡bramek

Maj¡c okre±lony schemta logiczny (sposób poª¡czenia bramek ze sob¡)bez trudu mo»na okre±li¢ stan wyj±¢ ukªadu w odpowiedzi na okre±lon¡kombinacj¦ sygnaªow wej±ciowych.

BramkiZwi¡zek wej±cia z wyj±ciem

Przyjrzyjmy si¦ jak reaguje ukªad nazywany komparatorem

Liczby dwójkowe

Dodawanie liczb dwójkowych

bit przeniesienia

|

1

0 0 1 1

0 + 1 + 0 + 1 +

===== ===== ===== ======

0 1 1 10

Dodawanie liczb dwójkowych � troch¦ praktyki

bit przeniesienia

|

1

0 0 1 1

0 + 1 + 0 + 1 +

===== ===== ===== ======

0 1 1 10

11 1 11 1

01101100101100 6956

01100101101010 + 6506 +

================== =========

11010010010110 13462

Sumator 1-bitowy

Ukªad realizuj¡cy dodawanie dwóch cyfr dwójkowych na jednej pozycji wliczbie dwójkowej.

cin x y value cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 1

Sumator 1-bitowyModel dziaªania

Sumator 1-bitowySchemat

Sumator 1-bitowySymulacja

Sumator 1-bitowyRealny ukªad

Algebra Boole'aBramkiLiczby dwójkoweSumator 1-bitowy