Na Zaliczenie - Kochman - Algebra

8/15/2019 Na Zaliczenie - Kochman - Algebra

1/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA

Źródło: www.touchmathematics.org

TTRRY Y GGOONNOOMMEETTRRII A A

0° 30°

45°

60°

90°

180°

π

270°

360°

2π

I II III IV

sin α 0 1/2 22 2 1 0 -1 0 + + – –

cos α 1 2 22 1/2 0 -1 0 1 + – – +

tg α 0 1 n.o. 0 n.o. 0 + – + –

ctg α n.o. 1 0 n.o. 0 n.o. + – + –

Podstawowe tożsamości:

Wzory redukcyjne:


2/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA Funkcje sumy i różnicy kątów:

Funkcje wielokrotności kątów:

Suma i różnica funkcji:

Funkcje połowy kąta:


3/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA LLIICCZZBBYY ZZEESSPPOOLLOONNEE

Definicja: Liczby zespolone (complex) ,x - część rzeczywista (Re z ), y – część urojona (Im z ) l.z.

Postać algebraiczna: z = x + i y , i – jednostka urojona l.z., gdzie i2 = -1.

Własności:

1) z1 = z2 x1 = x2 ∧ y1 = y2

2) z1 ± z2 = (x1 ± x2; y1 ± y2) = (x1 ± x2) +i(y1 ± y2)3) z1 · z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

4)

Definicje: liczba przeciwna: z = (- x; - y) = x – iy; z + ( z) = 0

liczba odwrotna:

sprzężenie l.z.: moduł l.z.:

Własnościsprzężenia:

Własnościmodułu:

Argument główny: arg z – najmniejszy nieujemny kąt spełniający warunek

Argument l.z.:

r ≥ 0– moduł l. z.; φ ∊ R– argument l.z. 1) 2)

; 3) - wzór Moivre’a 4) 5)

6)

r ≥ 0– moduł l. z.; φ ∊ R– argument l.z.

1) 2) 5) z3)

6)

4) 7) 8) 1) 4) 2) 5) 3) 6) 7)

1) ; arg z≠0 2) 3) ; arg z≠0

4) ; k = 0 lub k = 15) 6) ; k = 0 lub k = 1; z 2≠0

1) 2) 3) 4) 5) 6)

z1 = x1 + iy1

z2 = x2 + iy2

z = x + iy

Argument i

argument

główny liczbyzespolonej

z = x + iy ≠ 0:

Własnościargumentu:

z ≠ 0

Postaćtrygono-

metryczna:

Postać

wykładnicza:


4/24


Pierwiastek n-tego stopnia w: n ϵ N w,z ϵ C ozn. Uwaga: Istnieje zawsze n pierwiastków takiego równania Wzór: , k = 0, 1, 2, …, n-1 – najmniejszy nieujemny argument

7) 8) 1) 4) 2)

; 5) ; 3) 6)

Wzory Eulera:

Pierwiastkowanie

liczby zespolonej:

Interpretacja

geometryczna

pierwiastkówliczby zespolonej:


5/24


Definicja: Liczby zespolone (complex) ,x - część rzeczywista (Re z ), y – część urojona (Im z ) l.z.

z = x + i y , i – jednostka urojona l.z., gdzie i2 = -1.

Własności:

1) z1 = z2 x1 = x2 ∧ y1 = y2

2) z1 ± z2 = (x1 ± x2; y1 ± y2) = (x1 ± x2) +i(y1 ± y2)

3) z1 · z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

4)

Definicje: liczba przeciwna: z = (- x; - y) = x – iy; z + ( z) = 0

liczba odwrotna:

sprzężenie l.z.:

moduł l.z.:

Własnościsprzężenia:

Własnościmodułu:

1) 2) 5) z3) 6) 4) 7) 8) 1) 4) 2) 5) 3)

6)

7)

z1 = x1 + iy1z2 = x2 + iy2

z = x + iy

Interpretacja

eometr czna

P o s t a ć a l g e

b r a i c z n a :


6/24



7/24


Argument główny: arg z – najmniejszy nieujemny kąt spełniającywarunek Argument l.z.:

1) ; arg z≠0 2) 3) ; arg z≠0

4) ; k = 0 lub k = 15)

6) ; k = 0 lub k = 1; z 2≠0

Argument i

argument

główny liczbyzespolonej

z = x + iy ≠ 0:

Własnościargumentu:

z ≠ 0


8/24


9/24



1) 2)

; 3) - wzór Moivre’a 4) 5)

6)


1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 1) 4) 2) ; 5) ; 3) 6)

P o s t a ć t r y g o n o m e t r y c z n a :

P o s t a ć w y k ł a d n i c z a :

Wzory

Eulera:


10/24


Pierwiastek n-tego stopnia w: n ϵ N w,z ϵ C ozn. Uwaga: Istnieje zawsze n pierwiastków takiego równania

Wzór: , k = 0, 1, 2, …, n-1 – najmniejszy nieujemny argument

Pierwiastkowanie

liczby zespolonej:

Interpretacja

geometryczna

pierwiastkówliczby zespolonej:


11/24


WWIIEELLOOMMII A ANNY Y

wwiieelloommiiaann rrzzeecczzyywwiisst t yy – wielomian stopnia n, gdyn – stopień wielomianu, an, an-1 , …, a 2 , a1 , a0 – współczynniki wielomianu wwiieelloommiiaann zzeessppoolloonnyy – wielomian stopnia n, gdy n – stopień wielomianu, cn, cn-1 , …, c 2 , c1 , c0 – współczynniki wielomianu

Twierdzenie Bezouta:

Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W ( x ) (W ( x 0)=0)wtedy i tylko wtedy, gdy W ( x ) jest podzielnyprzez ( x – x 0).

Uwaga: Reszta z dzielenia wielomianu W ( x )/( x - x 0) = W( x 0)

Postać iloczynowa: wielomianu zespolonego W stopnia n∊N m dokłdnie n pierwistków jeśli pierwistek zj jest k j –krotny (k 1+k 2kmn wówczs Schemat Hornera:

Wykorzystując wielomian w postaci:

dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian x-x0 można przeprowadzić według schematu:

x an an-1 … a2 a1 a0x0 bn-1 =an bn-2 = x0·bn-1 + an-1 b1 = x0·b2 + a2 b0 = x0·b1 + a1 R = x0·b0 + a0

gdzie W ( x )/( x – x 0) = P ( x ) + R; Zasadnicze twierdzenie algebry:

Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Pierwiastki wielomianu:

Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych i dokładnie n pierwiastków

zespolonych.

x0 nazywamy pierwiastkiem k-krotnym k wielomianu W(x) jeżeli wielomian jest podzielnyprzez ( x – x 0)k , a nie jest podzielny przez ( x – x 0)k+1

Pierwiastki całkowite: Gdy współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi i pierwiastekwielomianu p jest liczbą całkowitą różną od zera to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a0.

Pierwiastki wymierne: Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek, który jest

nieskracalnym ułamkiem postaci (liczba wymierna), p,q (liczby całkowite) to p jest dzielnikiem

wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem an Pierwiastek trójmianu kwadratowego: ∆>0 – dwa różne rzeczywiste pierwiastki

∆=0 – jeden dwukrotny rzeczywisty pierwiastek

∆


12/24


13/24

Liczby zespolone:

Obliczanie pierwiastków z liczb zespolonych w postaci algebraicznej: Pierwiastki z liczb zespolonych prościej jest obliczać w postaci trygonometrycznej

(wzory podane w karcie wzorów).

Jednak dla pierwiastków stopnia 2 i 3 można skorzystać z postaci algebraicznej:

; , = + , , ∈ √ = ; ∈ ; = + (, , ą ) = + = ( + ) + = +2 { = = 2 =

− = 4

= −4 4 = 0 - do wyznaczenia z układu równań y i x

W wyniku podajemy 1 = 1 + 1; = + ; przy czym ( z 1 = - z 2)√ , = + , , ∈ √ = ; ∈ ; = + (, , ą ) = + = ( + ) + = 3 +(3 )

{ = 3 = 3

{ = ( 3) = ( 3 )

- proste do rozwiązania tylko gdy a lub b jest równy 0 do wyznaczenia z układu równań y i x

W wyniku podajemy 1 = 1 + 1; = + , = +


14/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA MMAACCIIEERRZZEE

Typy macierzy i oznaczenia:

A = 0mxn= L =

diag(a11,a22,…,ann) =

AT =

macierz

wymiar mxn macierz zerowa

macierz trójkątna

dolna macierz diagonalna (nx

n)

macierz transponowana AT

do mac. A

B = U =

In=

B-1 =

macierz

kwadratowa

wymiar nxn

(stopnia n)

macierz

blokowa

wymiar mxn

macierz trójkątna

górna macierz jednostkowa (nxn)

macierz odwrotna B-1 do

mac. B

Suma, różnica macierzy, iloczyn macierzy przez liczbę (skalar)

A=

, A±B =

; A, B – wymiar mxn (łączymy elem. na tych samych pozycjach)

A= A = ; A– wymiar mxn ,αϵR (każdy element mac. razy liczbę) Własności działań 1) A +B = B+A 2) A + (B + C) = (A + B) + C

3) A +0 = 0+A = A 4) A + (- A) = 0

5) α(A + B) = αA + αB 6) (α + β)A = αA +βA

7) 1·A = A 8) (αβ)A = αβA

Iloczyn macierzy

Amxn= , C mxk = AB ; ; Macierze można mnożyć gdy ich

wewnętrzne wymiary są jednakowe,

zewnętrzne wymiary są wymiarami

macierzy wynikowej: Am·nBn·k = Cm·k Uwagi:

Iloczyn macierzy diagonalnych jest mac.

diagonalną.

Iloczyn macierzy trójkątnych górnych

(dolnych) jest mac. trój. górną (dolną)

Na ogół AB ≠ BA, jeżeli AB = BA macierze

takie nazywamy przemienne

Własności*:* prawdziwe jeżeli działania są wykonalne

1) A (B + C) = AB + AC

2) (A + B)C = AC + BC

3) A (αB) = (αA)B = α(AB)

4) (AB)C = A(BC)

5) AIn = A

6) ImA = A


15/24


16/24


Własności (operacje) wyznaczników: oznaczenia dla operacji elementarnych na kolumnach

1. Wyznacznik macierzy z kolumną (wierszem) złożonym z samych zer jest równy 0.

2. Wyznacznik macierzy zmienia znak jeśli przestawimy dwie kolumny (wiersze). k i ⇿k j 3. Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych kolumnach (wierszach) jest równy 0.

4.

Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) zawierają wspólny czynnik to

czynnik ten można wyznaczyć przed wyznacznik macierzy. ck j

5.

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są

sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy w którejkolumny (wiersze) są zastąpione tymi składnikami.

6. Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeśli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy

odpowiadający im element innej kolumny (wiersza) pomnożony przez dowolną liczbę k i+ck j

7. Wyznacznik mac. kwadratowej A i jej transpozycji jest taki sam det A = det AT

8. A1, A2, …, Ar mac. kwadratowe niekoniecznie tych samych stopni:

* trzy podkreślone własności nazywamy operacjami elementarnymi (są one wykorzystywane w algorytmie

Gaussa oraz Gaussa-Jordana , dla wyznaczenia macierzy odwrotnej)

1) det (A B) = det A · det B * 2) detAT = det A

3) det (A-1) = (det A)-1 4) det (Ak ) = (det A) k ,k ∊N *

5) det (cA) =cn det (A), n –stopień mac.

* własność 1 i 4 tworzą twierdzenie i wniosek tw. Cauchy’go o wyznaczniku iloczynu macierzy

Algorytm Gaussa obliczania wyznaczników:

Kolejne kroki zmniejszają stopień wyznacznika o 1. Zał: A = [aij] – mac. kwadratowa n≥2, a11≠0:

gdzie


17/24


Macierz odwrotna

Definicja Zał: A – mac. kwadratowa, stopnia n, In - macierz jednostkowa st. n.

Macierz odwrotna do A ozn A-1: spełniająca warunek:

AA-1=A-1 A = InUwagi:

Jeżeli istnieje A-1 – macierz nazywamy odwracalną wówczas det A ≠0

Macierz odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie

Macierz osobliwa – gdy det A=0, macierz nieosobliwa – gdy detA ≠ 0

Twierdzenie o postaci macierzy odwrotnej

1. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest nieosobliwa.

2. Jeżeli macierz A = [aij ] stopnia n jest nieosobliwa to:

gdzie Dij ozn. – dopełnienie algebraiczne elementu aij macierzy A.

Własności macierzy odwrotnych i wyznaczników:

1) det (A-1) = (det A)-1 2) (A-1) -1 = A

3) (A T) -1 = (A-1)T 4) (AB) -1 = B-1 A-1

5) (αA) -1 = (A)-1 6) (An) -1 = (A-1)nSchemat bezwyznacznikowego znajdowania macierzy odwrotnej:(metoda przekształceń elementarnych)

A – macierz kwadratowa nieosobliwa.

1. Do macierzy A z prawej strony dopisujemy macierz jednostkową – macierz blokowa 2. Na wierszach otrzymanej macierzy blokowej wykonujemy operacje elementarne

doprowadzając ją do postaci

Algorytm Gaussa – Jordana przekształcania macierzy nieosobliwej do macierzy jednostkowejA – macierz nieosobliwa, stopnia n≥2

1.

Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na przekątnej:

wykonując operację na wierszach (założenie że a11≠0):

Zerowanie elementów 1. kolumny (wiersze wi przekształcamy na wi’):

Operacje powtarzamy dla kolumny 2 i następnych– zaczynając od elementu na przekątnej.

(Zmieniamy tylko elementy na i pod przekątną).

Aż do uzyskania macierzy trójkątnej górnej:

2.

Otrzymanie macierzy jednostkowej

Zerowanie elementów nad przekątną (obliczamy tylko dla elementów nad przekątną)

(wiersze wi’ przekształcamy na wi’’):

Algorytm Gaussa-Jordana wykorzystywany jest do odwracania macierzy, określania rzędów oraz rozwiązywania

układów równań liniowych.

operacje elementarne

na wierszach A I I A-1


18/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA UUk k łłaaddyy rróówwnnaańń lliinniioowwyycchh

Definicja Układ równań liniowych Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …, xn gdzie m, n ϵ N nazywamy układ równańpostaci: (

Rozwiązanie układu: ciąg liczb x1, x2, …, xn

Układowi temu odpowiada układ macierzowy AX = B, gdzie

A =

; X=

B =

A –macierz główna, X – kolumna niewiadomych, B – kolumna wyrazów wolnych

Układ jednorodny: AX = 0 Układ niejednorodny: AX = B (B≠0)

Układ Cramera: układ AX = B gdzie A jest macierzą kwadratową nieosobliwą (dla n niewiadomych jest n równań, det A≠ 0)

Rozwiązywanie układów Cramera: 1. Definicja: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci:

n – stopień macierzy A, Aj – macierzy w której j-tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów

wolnych B

2. Metoda macierzy odwrotnej: przekształcamy równanie z postaci AX = B mnożąc lewostronnie przez

A-1 do postaci: X = A-1B.3. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana:

I.

Budujemy macierz rozszerzoną [A|B]

II.

Wyk onując operacje elementarne na wierszach przekształcamy ją do postaci [I|X].

gdzie A przechodzi w I (macierz jednostkowa) a B w X – kolumna rozwiązań.

[A|B]=

= [I|X]

Rząd macierzy

Definicja

Minor macierzy stopnia n: wyznacznik utworzony z elementów stojących na przecięciu wybranych k

kolumn i k wierszy. Macierz o wymiarach m*n posiada minorów stopnia k. Rząd macierzy: stopień największego niezerowego minora. Ozn. Rz(A) lub rank (A).Właściwości: 1) Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi 2) Operacje elementarne na wierszach (kolumnach) nie zmieniają jej rzędu 3) Rząd macierzy i jej transpozycja są jednakowe rz(A) = rz(AT)

Metody wyznaczania rzędu 1) Z definicji, przekształcając macierz i badając minory.

2) Za pomocą operacji elementarnej przekształcając macierz do macierzy schodkowej: w kolejnych

niezerowych wierszach pierwsze niezerowe elementy znajdują się w kolumnach o rosnących

numerach (tworzą schodki). Rząd macierzy równy jest liczbie schodków.

Np.


19/24

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA UUk k łłaaddyy rróówwnnaańń lliinniioowwyycchh

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Układ równań macierzowych AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A jest równyrzędowi macierzy rozszerzonej [A|B].

Rz A = Rz [A|B].Liczba rozwiązań układu (dla A stopnia n – n niewiadomych):

1) Rz A ≠Rz [A|B] - brak rozwiązań (sprzeczny),

2) Rz A = Rz [A|B] = n - jedno rozwiązanie (oznaczony),

3)

Rz A = Rz [A|B] = r < n - nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od n-r parametrów.

Metody rozwiązywania dowolnych układów równań

Definicja równoważność układów równań Dla A, A’, B, B’ o wymiarach odpowiednio: m×n, k ×n, m×1, k ×1, Gdzie X, X’ są macierzami niewiadomych

przy czym (x’1, x’2, …, x’n) jest permutacją ciągu (x1, x2, …, xn).

Mówimy że układy są równoważne jeżeli zbiory ich rozwiązań są jednakowe.

Przekształcenia równoważne:przekształcenia te zamieniają układ AX = B w układ równoważny (o tym samym zbiorze rozwiązań):

1)

Operacje elementarne na wierszach,

2) Skreślenie wiersza złożonego z samych zer, wi

3)

Skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych, wi ~wj 4) Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy A przy jednoczesnej zamianie odpowiadających im

niewiadomych.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

AX = B – układ równań liniowych gdzie A jest wymiaru m×n

1) Budujemy macierz rozszerzoną układu postaci [A|B]

2) Na niej dokonujemy przekształceń równoważnych doprowadzając do postaci [A’|B’].

Interpretacja rozwiązania:a) zr+1 ≠ 0 - układ sprzeczny,

b) brak ostatniego wiersza (zerowego macierzy [A’|B’]) i n = r to układ AX = B jest równoważny

układowi Cramera - oznaczony, jego jedyne rozwiązanie tworzy kolumna z1, …., zr.c) brak ostatniego wiersza i n > r – układ AX = B jest nieoznaczony (nieskończenie wiele

rozwiązań), przy czym r niewiadomych jest zależnych od pozostałych n-r rozwiązań

(parametry).

r jest rzędem macierzy A. Uwaga: operacje nietypowe dla innych eliminacji Gaussa a tu występujące:

1)

Skreślenie wiersza zer,

2) Skreślenie wiersza równego lub proporcjonalnego do innego wiersza, 3) Brak elementu niezerowego w danej kolumnie ( nie można ustawić 1 na diagonali) –

przestawiamy całą kolumną wraz z niewiadomą na przedostatnie miejsce ( przed B) –

niewiadoma ta będzie parametrem.

przekształcenia równoważne


20/24

Operacje przekszta!ce" macierzy:

"#$%&'$()*+%,-% .$, /0$,)+$,-&1

2%$30$,)+$,-&.3%

30$,)+$),-% 4)+-%#$0

.53#.(,%6

)78.#0(4 9):'');

#.$3-=$03),-%

:&*)5?3 @#)4%#) AB

4%(.5) %7-4-,)+6-

9):'')CA 57) :&*)5?3

#?3,.3)D,0+E

!"#$%&'("*"+ ,-"./"0$-& *"+1 ,-"./"0$-"2

.&0 345

*"+1 ,-"./"0$-"2

.&0 345

.$-$6'"

*"+(&/7

*"+1 3 ,-"./"0$-"2

.&0 345

.$-$6'8 9,#1 /:-'";

F.7:4,= G3-%#'$%4H

$*.D.,04 $ ')40+E

$%# 6%'( #?3,0 IJ

,(& *1 $.-/$0'" ? @$%'"

=,/&A6(B

?

. $ 7 - $ 6 $ ' & . 7 ( " # " ' ( " 0 8 6 , $ ' " - ( & / = 7 " + C 2

' ( & ' " ,

$ 6 9 * ' " + C 2

" # $ % & ' $ ( ) * + % , - ) # ? 3 , . 3 ) D , %

=,/&A6"*8

K3-% 6%5,)&.3%

&.7:4,0G3-%#'$%H

,(2

-(

.&0 3 < 5 '(& (=0'(&>& *1 $.-1 ? @$%'"

=,/&A6(B

? =,/&A6"*8

>&.&' 7 '(+C

D E & / " + > & & 6 & * " 0 ' " / ' &

L#$%'()3-)40 53-%

&.7:4,0 G3-%#'$%HJ

,( !, >

-( !- >

.&0 3 < ? .&0 3F

. $ 7 - $

6 $ ' & . 7 ( " # " ' ( " 0 8 6 , $ ' " - ( & / = 7 " + C 2

' ( & ' " , $ 6 9 * ' " + C

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C -(&/=78

. $ 7 - $

6 $ ' & . 7 ( " # " ' ( " 0 8 6 , $ ' " - ( & / = 7 " + C 2

' ( & ' " , $ 6 9 * ' " + C

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C -(&/=78

.$7-$6$'&

/7 3 < /7 3F

. $ 7 - $

6 $ ' & . 7 ( " # " ' ( " 0 8 6 , $ ' " - ( & / = 7 " + C 2

' ( & ' " , $ 6 9 * ' " + C

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C -(&/=78

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C -(&/=78

3'$0'(&-% %7%4%,(0

"%3,%6 &.7:4,0

G3-%#'$)H $)3-%#)6=

3'"?7,0 +$0,,-&

+, >2 +-(

+45

.&0 3 < + G.&0 3F

+78''(, 0&' *$%'"

-87'"+78B E/7&.

-87'"+7'(, *"+(&/78

E$*'$%&'(&

-(&/=7" E/7&7

6(+7HI

E$*'$%&'(&

-(&/=7" E/7&7

6(+7HI

.$7-$6$'&

/7 3 < /7 3F

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C -(&/=78

E/7&=0"-(&'(&

.-:+C

-(&/=78J

K. %7%4%,(?3

5.3.7,%6 &.7:4,0

G3-%#'$)H 5.5)40

.5".3-)5)6=+0 -4

%7%4%,( -,,%6

&.7:4,0 G3-%#'$)H

".4,.D.,0 "#$%$

5.3.7,= 7-+$2M

,(K+, > 2-(K+- >

+45

.$7-$6$'&

.&0 3< .&0 3F

.$ -(&/=7"

.$."'(& (''&L$

-(&/=7"M=0"#"

.$ -(&/=7"

.$."'(& (''&L$

-(&/=7"M=0"#"

.$7-$6$'&

/7 3 < /7 3F

.$ -(&/=7"

.$."'(& (''&L$

-(&/=7"M=0"#"

.$ -(&/=7"

.$."'(&

(''&L$

-(&/=7"M=0"#"

* tak #e metoda kolumn jednostkowych

1 Przekszta!cenia nie zmieniaj$ warto%ci wyznacznika

2 Dozwolone oznacza #e przekszta!cenia nie zmieniaj$ rz&du maciersy

3 Metoda eliminacji Gaussa oraz metoda kolumn jednostkowych

4 Dotyczy dowolnych uk !adów równa" liniowych

5 Dopuszczalne jest przestawienie dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie niewiadomych odpowiadaj$cych tym kolumn$


21/24


GGEEOOMMEETTR R IIAA AA N NAALLIITTYYCCZZ N NAA

http://mathinsight.org

IIlloocczzyynn ssk k aallaarrnnyy ii wweek k t t oorroowwyy

Definicje: przestrzeń R3: zbiór uporządkowanych trójek ℝ3 = {(,,): ,, ℝ} interpretowanejako:

1) Zbiór punktów przestrzeni P = (x, y, z)

2) Zbiór wektorów zaczepionych

⃗ = ⃗ w punkcie O(0,0,0) i końcu w P(x,y,z)

wektor zerowy 0⃗ =(0,0,0) wektor przeciwny – ⃗ = (− , −, −) 3) Zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni ⃗ (tu u przyjmujemy jako zbiór

wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach ale o tym samym kierunku, zwrociei długości co wektor ⃗ )

Wersor: wektor o długości 1. Wersory osi układu OX, OY, OZ oznaczamy odpowiednio jako, ̂, Punkty współliniowe: punkty A, B, C w ℝ3 gdy istnieje prosta, do której należą te punkty. Punkty współpłaszczyznowe: punkty K, L, M, N w ℝ3 gdy istnieje płaszczyzna do której należąte punkty.

Wektory współliniowe (wektory równoległe): wektory

⃗ , gdy istnienie prosta w której

zawarte są te wektory ozn. ⃗ ∥ 0⃗ jest równoległy do każdego wektora wektory ⃗ , są równoległe gdy istnieją liczby , ∈ ℝ nie równe równocześnie zero

takie, że + ⃗ = 0⃗ lub dla ⃗ ≠ 0, gdy istnieje takie , że =⃗ Wektory współpłaszczyznowe: ⃗ , , ⃗ gdy istnieje płaszczyzna w której zawarte są tewektory.

0⃗ i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe wektory ⃗ , ,⃗ ⃗ są współpłaszczyznowe gdy istnieją liczby , , ∈ ℝ nie równe

równocześnie zero takie, że + ⃗ + ⃗ = 0⃗ lub dla ⃗ ∦ , gdy istnieje takie , , że⃗ = ⃗ +

iloczyn mieszany jest równy 0. Obliczanie współrzędnych wektora =⃗ = ( − ; − ; − ) Długość wektora || = ⃗ = √ ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 Działania na wektorach

Suma wektorów ⃗ + = ( + 2; + 2; + 2) Różnica wektorów ⃗ − = ⃗ + (−) Iloczyn wektora przez liczbę ⃗ = ( ; ) 1. Dodawanie wektorów jest przemienne + ⃗ = ⃗ + 2. Dodawanie wektorów jest łączne ⃗ + ( + ⃗ ) = (⃗ + ) + ⃗ 3. Wektor

0⃗ jest elementem neutralnym dodawania

⃗ + 0⃗ = ⃗

4.

Wektor – ⃗ jest elementem przeciwnym do wektora ⃗ ⃗ + (−⃗ ) = 0⃗ 5. 1 jest elementem neutralnym mnożenia przez liczbę ⃗ ∙ 1 = ⃗ 6. ()⃗ = (⃗ ) 7. (+⃗)=+⃗ 8. (+)=+

Iloczyn skalarny ⃗ ° ⃗°= 2 + 2 + 2 ⃗ ° = |||| α – kąt pomiędzy wektorami u, v

∡(⃗ , ⃗ ) = ⃗ °⃗|||| - wzór na kąt pomiędzy wektorami ⃗ ⊥ ⟺ ⃗ ° = 0 - warunek prostopadłości

⃗ , , ⃗ ∈ ℝ 3 Wektory swobodne , ∈ ℝ

⃗ = (,,) ⃗ = ( , , ) =(2, 2, 2)


⃗ = ( , , ) =(2, 2, 2)


22/24


GGEEOOMMEETTR R IIAA AA N NAALLIITTYYCCZZ N NAA

http://mathinsight.org

Rzuty wektorów 1. rzut prostokątny sumy wektorów ⃗ , jest równy sumie rzutów tych wektorów 2. Rzut prostokątny iloczynu wektora przez liczbę jest równy iloczynowi liczby i rzutu

wektora.

3. Rzut wektora

⃗ = (,,) na oś układu Ox ma współrzędne

′⃗ = (,0,0), rzut wektora

na płaszczyznę układu xOz ′′⃗ = (,,0) (analogicznie dla pozostałych osi i płaszczyznukładu) 4. Rzut pr. wektora u na wektor v : ′⃗ = ⃗ °⃗|⃗ | 5. Rzut pr. wektora u na płaszczyznę rozpiętą na wektorach v1, v2:

′⃗ = ⃗° ⃗|⃗ |2 ⃗ +⃗° 2⃗|2⃗ |2 2⃗

Iloczyn wektorowy ⃗ × ⃗ , - wektory niewspóliniowe, wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor

prostopadły do

⃗ , (zwrot zgodnie z regułą prawej dłoni)

⃗ × = ⃗ = 2 2 2 |⃗ | = |⃗ × | = ||||, - długość wektora w jest równa polu równoległoboku

rozpiętego na wektorach ⃗, ⃗ × = 0 ⟺ ⃗ ∥ ⟺ ⃗ = - warunek równoległości wektorów ⃗ × = − ⃗ × ⃗ ()⃗ × = ( ⃗ × ) ⃗ × ( + ⃗ ) = ⃗ × + ⃗ × ⃗ ⃗ × ⃗ = 0

Iloczyn mieszany (⃗ × )°⃗ = (⃗ , , ⃗ ) 1. (⃗ × )°⃗ = = 2 2 23 3 3 2. Objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach ⃗ , , ⃗ jest równa = |(⃗ × )°⃗ | 3. Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach ⃗ , , ⃗ jest równa = 6 (⃗ × )°⃗ 4. Trójka wektorów leży w jednej płaszczyźnie jeżeli ich iloczyn mieszany jest równy 0.


l dowolna

prosta w ℝ3

⃗ = ( , , ) =(2, 2, 2) α - kąt pomiędzy

wektorami ⃗ , k∈ ℤ

Własności:

⃗ = ( , , ) =(2, 2, 2) ⃗ = ( 3, 3, 3)


23/24


24/24

Rzut ukośny punktu P na prostą l (płaszczyznę π) w kierunku wektora v

Punkt przecięcia prostej l (płaszczyzny π) i prostej k równoległej do wektora v ( wektor

kierunkowy) i przechodzącej przez punkt P

Odległości

Punktu P od płaszczyzny π

(, ) = | + + + |√ + + Płaszczyzn równoległych π1, π2 (, ) = | |√ + + Punktu P od prostej l :

I. Odległość między punktem P a rzutem P’ punktu P na prostą P’

1.

wyznaczyć współrzędne rzutu

2. obliczyć odległość PP’

II. Wzór: (, ) = |(−)×||| Prostych skośnych l 1 i l 2:

Odległość dwóch płaszczyzn równoległych do których należą te proste: ∈ , ∈ ,1. Określić równania płaszczyzn równoległych: , ⊥ ⇒ = × 2. Obliczyć ze wzoru odległość płaszczyzn Dwóch prostych równoległych , prostej równoległej od płaszczyzny:

I. odległość punktu P należącego do prostej od jego rzutu prostokątnego P’ na

drugą prostą (płaszczyznę)

II.

odległość punktów przecięcia prostych i płaszczyzny prostopadłej

Symetria

Punkt P względem punktu S: = ′ Punktu wzg prostej l :

1. wyznaczamy punkt S będący rzutem prostokątnym P na prostą;

2.

znajdujemy punkt symetryczny do P względem S

Punktu P względem płaszczyzny

wyznaczamy punkt S będący rzutem prostokątnym P na płaszczyznę;

znajdujemy punkt symetryczny do P względem S

Kąty

Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny i wektorowy, kąty obliczamy jako kąty pomiędzy

wektorami kierunkowymi i normalnymi odpowiadającymi danym prostym i płaszczyznom:

Kąt pomiędzy prostymi l 1 i l 2: ∡(, ) = ∡(1 , 2 ) = °|||| Kąt pomiędzy płaszczyznami:

∡(, ) = ∡(1 , 2 ) = °||||

Kąt między prostą l i płaszczyzną π: ∡(, ) = ∡( , ) = ×||||

α ϕ

n

v

P 0( x0, y0, z 0): + + + = 0 ∥ : + + + = 0 : + + + = 0

: = + t ∈ ℝ - parametrr 1 - wektor wodzący punktu P 1( x1, y1, z 1)

P’ punkt symetryczny do P

Na Zaliczenie - Kochman - Algebra

Documents

Transcript of Na Zaliczenie - Kochman - Algebra