Mulţimidenumere(naturale,raţionale,...
30
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate Mulţimi de numere (naturale, raţionale, iraţionale, reale) Lect. univ. dr.Anca GRAD octombrie 2018 1
Transcript of Mulţimidenumere(naturale,raţionale,...
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi de numere (naturale, raţionale,iraţionale, reale)
Lect. univ. dr.Anca GRADoctombrie 2018
1
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Conceptul de relaţie este strâns legat de conceptul de produs cartezian.Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte relaţie saucorespondenţă de la A la B orice triplet ordonat r = (A, B, G),unde G este o submulţime a produsului cartezian A× B.
Dacă r = (A, B, G) este o relaţie de la A la B, si x ∈ A iar y ∈ Bau proprietatea că (x , y) ∈ G , spunem că elementul x este înrelaţia r cu elementul y , şi scriem xry .
Terminologie:I A s.n. mulţimea de pornire a relaţiei r ;I B s.n. mulţimea de sosire a relaţiei r ;I G s.n. graficul relaţiei r ;I mulţimea D := {x ∈ A : ∃y ∈ Ba.i .(x , y) ∈ G} s.n. mulţimea
de definiţie a relaţiei r ;I mulţimea r(A) := {y ∈ B : ∃x ∈ Aa.i .(x , y) ∈ G} s.n.
mulţimea valorilor relaţiei r ;I dacă x ∈ A, atunci mulţimea r(x) = {y ∈ B : (x , y) ∈ G} s.n.
imaginea directă a elementului x prin relaţia r .2
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
FuncţiiÎn cazul unei relaţii imaginea directă r(x) poate fiI vidăI formată dintr-un singur elementI formată din mai multe elemente.
Pionieri ai teoriei funcţiilor: Leibniz(1673-1692), Bernoulli (1968),Euler (1750).
Definiţie.Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funţie definită pemulţimea A cu valori în mulţimea B orice relaţie f = (A, B, G) dela mulţimea A la mulţimea B care are proprietatea că pentrufiecare element x ∈ A există un element y ∈ B şi unul singur, a.i.x să fie în relaţie cu y .
3
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie.Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte operaţie internăpe M, orice funcţie f : M ×M → M.
Definiţie: Se numeşte corp orice triplet (K , +, ·) format dintr-omulţime nevidă K şi două operaţii interne
+, · : K × K → K
care se bucură de proprietăţile:1. (K , +) este un grup comutativ2. (K ∗, ·) este un grup3. oricare ar fi x , y , z ∈ K au log egalităţile
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
4
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie.Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte operaţie internăpe M, orice funcţie f : M ×M → M.
Definiţie: Se numeşte corp orice triplet (K , +, ·) format dintr-omulţime nevidă K şi două operaţii interne
+, · : K × K → K
care se bucură de proprietăţile:1. (K , +) este un grup comutativ2. (K ∗, ·) este un grup3. oricare ar fi x , y , z ∈ K au log egalităţile
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
4
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Fie D o mulţime. Se numeşte relaţie binară pe D orice relaţier = (D, D, G)
Definiţie: Fie D o mulţime. O relaţie binară pe D, r = (D, D, G)se numeşteI reflexivă dacă ∀x ∈ D, xrx ;I simetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry avem yrx ;I antisimetrică dacă ∀x , y ∈ D, cu xry şi yrx , avem x = y ;I tranzitivă dacă ∀x , y , z ∈ D cu xry şi yrz , avem xrz ;I de echivalenţă daca este reflexivă, simetrică şi tranzitivă;I de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă;I de ordine strictă dacă este tranzitivă şi ∀x , y ∈ D cu xry ,
avem x 6= y ;I de orgine totală dacă este relaţie de ordine şi dacă pentru
oricare x , y ∈ D avem xry sau yrx .
5
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi ordonateDefiniţie: Se numeşte mulţime ordonată orice pereche (A,≤) undeA este o mulţime iar ≤ este o relaţie de ordine pe mulţimea A.
Definiţie: Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem cămulţimea B este total ododonată în raport cu relaţia ≤ dacăoricare ar fi x , y ∈ B avem x ≤ y sau y ≤ x .
Definiţie:Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem căelementul a ∈ A este:I cel mai mic element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem a ≤ x ;I cel mai mare element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem x ≤ a;I minorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem a ≤ x ;I majorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem x ≤ a;I infimum al mulţimii B, dacă este cel mai mare minorant al lui
B;I supremum al mulţimii B, dacă este cel mai mic majorant al lui
B.6
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimi ordonateDefiniţie: Se numeşte mulţime ordonată orice pereche (A,≤) undeA este o mulţime iar ≤ este o relaţie de ordine pe mulţimea A.
Definiţie: Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem cămulţimea B este total ododonată în raport cu relaţia ≤ dacăoricare ar fi x , y ∈ B avem x ≤ y sau y ≤ x .
Definiţie:Fie (A,≤) o mulţime ordonată şi B ⊆ A. Spunem căelementul a ∈ A este:I cel mai mic element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem a ≤ x ;I cel mai mare element al mulţimii B dacaă a ∈ B şi ∀x ∈ B,
avem x ≤ a;I minorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem a ≤ x ;I majorant al mulţimii B, dacă ∀x ∈ B, avem x ≤ a;I infimum al mulţimii B, dacă este cel mai mare minorant al lui
B;I supremum al mulţimii B, dacă este cel mai mic majorant al lui
B.6
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Mulţimea numerelor realeDefiniţie: Se numeşte corp comuttiv total ordonat orice sistem(K , +, ·,≤) unde (K , +, ·) este un corp comuativ iar ≤ este orelaţie de ordine totală pe K .Definiţie: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ total ordonat. Senumeşte mulţime inductivă a lui K orice submulţime I ⊆ K a.i.:I 1 ∈ I;I dacă x ∈ I, atunci x + 1 ∈ I.
Definiţie: Mulţimea tuturor mulţimilor inductive ale lui K senumeşte mulţimea numerelor naturale ale lui K .Definiţie: Mulţimea
Z := N ∪ {0} ∪ {x ∈ K : −x ∈ N}
s.n. mulţimea numerelor întregi ale lui K .Definiţie: Mulţimea numerelor raţionale este
Q := {x ∈ K : ∃p, q ∈ Z, q 6= 0 a.î.x = p · q−1}.
7
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ total ordonat.Afirmaţia: "Pentru orice pereche ordonată (A,B) de submulţiminevide ale lui K , care are proprietatea că
x ≤ y , ∀x ∈ A, y ∈ B
există cel puţin un element z ∈ K a.i.
x ≤ z ≤ y ,∀x ∈ A, y ∈ B”
se numeşte axioma elementului separator (AES).
Afirmaţia: "Orice submulţime nevidă şi minorată a lui K areinfimum în K" s.n. axioma existenţei infimumului. (AI)
Teoremă: În orice CCTO
AES ⇐⇒ AI ⇐⇒ AS.
8
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Definiţie: Se numeşte mulţime a numerelor reale, şi se notează cuR orice CCTO, care satisface AES (AI, AS)
Teoremă:Fie ∅ 6= A ⊆ R şi m ∈ R. Atunci
m = sup A
dacă şi numai dacăm ≥ A,∀a ∈ A
şi∀ε > 0,∃aε ∈ A a. i. m − ε < aε.
m = inf A
dacă şi numai dacăm ≤ a,∀a ∈ A
şi∀ε > 0,∃aε ∈ A a. i. aε < m + ε.
9
Relaţii Relaţii Structuri algebrice Mulţimi ordonate Mulţimi ordonate
Axioma lui Arhimede: Fie (K , +, ·,≤) un corp comutativ totalordonat. Pentru fiecare x , y ∈ K cu y > 0 există un număr naturaln a.i.
x < n · y .
Teoremă: Pentru orice număr real ε > 0 există un număr naturaln a.i.
1n < ε.
Teoremă: Orice submulţime nevidă şi minorată ⊆ Z are un celmai mic element.Teoremă: Orice submulţime nevidă şi majorată ⊆ Z are un celmai mare element.Teoremă: ∀x ∈ R există un număr natural n şi unul singur a.i.
n ≤ x < n + 1.
10
