Moment Krytyczny

8/10/2019 Moment Krytyczny

1/4

ZK2014Konstrukcje metalowe / Metal Structures 24 lipca / July 2014, Kielce-Suchedniw, Poland

Moment krytyczny zwichrzenia niestonych dwuteownikw monosymetrycznych

podpartych widekowo

The lateral buckling moment of simply supported unrestrained monosymmetric

I-shaped beams

Roman Bijak

Katedra Mechaniki, Konstrukcji Metalowych i Metod Komputerowych,

Wydzia Budownictwa i Architektury,Politechnika witokrzyskaAl. 1000-lecia P.P. 7, 25-323 Kielce

e-mail: [email protected]

Streszczenie

W pracy analizowano metod Bubnowa-Galerkina rwnanie rniczkowe gitno-skrtnej utraty paskiej postaci zginania, otrzymanepo uwzgldnieniu warunkw brzegowychdla podparcia widekowego [2]. Przedstawiono wzory analitycznepozwalajce oszacowamoment krytyczny zwichrzenia niestonych belek monosymetrycznych podpartych widekowo. Kade z obcie skupionychi rozoonych moe mie rny zwrot i rn wsprzdn przyoenia siy po wysokoci przekroju poprzecznego.Wyprowadzone

wzory pozwalaj na prost i szybk kontrol poprawnoci momentu krytycznego oszacowanego za pomoc MES [1].

Abstract

The stability equations for simply supported beams were solved approximately using the BubnovGalerkin method [2]. Theanalytical solutions was used for checking the stability of laterally unrestrained monosymmetric beams. The lateral buckling momentdepends on bending distribution and on the load height effect. Each of applied concentrated and distributed loads, may have arbitrarydirection and optional coordinate for the applied force along the cross sections height. Derived equations allow for simple , yet fastcontrol of lateral buckling moment estimated by FEM [1].

Sowa kluczowe: moment krytyczny zwichrzenia,podparcie widekowe, monosymetryczne belki dwuteowe, wzory analityczne

Keywords: lateral buckling moment,simply supported beamswith free warping, monosymmetric I-shaped beams, analytical solution

1.

Wstp 1.

Introduction

W celu wyznaczenia momentu krytycznego zwichrzenia

belek o przekroju monosymetrycznym korzystamy z oglniedostpnego programu LTBeam [1]. W prezentowanej pracyprzedstawiono bardziej tradycyjn metod na jegowyznaczenie, opart na wzorach analitycznych. Jest touzupenienie pracy [6], w ktrej rozpatrywano przypadek, gdyobcienie jest przyoone na tej samej rzdnej po wysokociprzekroju poprzecznego. W tym opracowaniu kade obcieniemoe by przyoone na rnej rzdnej po wysokociprzekroju. Jest to istotne rozszerzenie w stosunku do rozwizaprezentowanych w literaturze, ktre s ograniczone dopodstawowych schematw statycznych [24].

To determine the lateral buckling moment of the

monosymmetric I-shaped beams the LTBeam [1] programme iscommonly used. The analytical solution of the lateral bucklingmoment of the monosymmetric I-shaped beams is presentedhere. It is follow-up of [6]. There, the case was considered,

when the load was applied at the same height of the cross

section. In this publication arbitrary load may be applied at theoptional height of the cross section. Thus, the method presentedhere is the significant extension, as compared to solutions

presented in the literature. As those are limited to basic staticalschemes [24].

2.

Sformuowanie problemu 3. Statement of the problem

Rozpatrzmy belk podpart widekowo, obcionmomentami skupionymi na kocach oraz obcieniempoprzecznym w przle (Rys. 1). Kade z obcie skupionychi rozoonych moe mie rn wsprzdn przyoenia siypo wysokoci przekroju poprzecznego (rodek cikociprzekroju oznaczono przez G, natomiast rodek cinania przezS).Po uwzgldnieniu warunkw brzegowych dla podparciawidekowego rwnanie rniczkowe gitno-skrtnej utratystatecznoci w zalenoci od funkcji kta skrcenia (x), monaprzedstawi w postaci [2]:

Lets consider the simply supported beam. It is loaded by themoments, which are concentrated at its ends and the lateral loadat span (Fig. 1). Any distributed and concentrated loads mayhave an arbitrary coordinate for the force applied at the height of

the lateral cross section. The center of gravity of the cross

section is denoted as G. The shear center is denoted by S.Considering the boundary conditions for the simply supportedbeam, the differential equation of the flexural-torsional loss of

stability, as the function of the torsion angle (x) can be writtenas [2]:


2/4


0)()(])(2[)(

)2()4(

1

)1()1(

2

Tw

N

k

kkzkAzyz

z

yIGEIxxeQexqxM

EI

xM (1)

gdzie:My(x)rozkad momentu zginajcego po dugoci belki,E, Gmodu sprystoci podunej i poprzecznej,Izmomentbezwadnoci wzgldem osi z, IT moment bezwadnociskrcania St. Venanta, Iwwycinkowy moment bezwadnoci,qz(x) obcienie rozoone, N liczba si skupionych,Qzkk-ta sia skupiona,xkwsprzdna miejsca przyoeniak-tej siy skupionej, funkcja Diraca, (k)=k/xk oznaczenie pochodnej.

where: My(x) distribution of the bending moment along thebeam,E, GYoung's and shear modulus,Izprincipal momentof inertia about z axes, IT St. Venant torsion constant,Iwwarping constant, qz(x)distributed load in the z direction,

the number of condensed forces, Qzkkthconcentrated load

in the z direction, xk coordinate of applied kth concentrated

load, Diracs function, (k)=k/xk denotation ofderivative.

Rys. 1. Schemat statyczny: a) dodatnie zwroty obcienia, b) parametry przekroju poprzecznego.Fig. 1. Statical scheme: a) positive directions of load b) cross sections parameters

Wpyw miejsca przyoenia obcienia poprzecznego powysokoci przekroju poprzecznego definiujemy wzgldem

rodka cinaniaS, niepokrywajcego si z rodkiem cikoci

G

(Rys.1):

The influence of placement of the lateral load along theheight of the lateral cross section is defined with respect to shear

center S. The shear center Sis not coinciding with the center o

gravity G(Fig. 1):

SAA zze , Skk zze (2ab)

Dla dwuteownikw monosymetrycznych charakterystykiskrtne moemy wyznaczy w sposb przybliony ze wzorw(3,4abc) [3] (pka dwuteownika oznaczona jako 2 jestprzyjmowana po dodatniej stronie osiz):

For the monosymmetric I-shaped beams the torsioncharacteristic may be approximately determined with equations(3, 4abc) [3] (flange of an I-section beam denoted as 2 is

considered at the positivez-axis):

Sw

zz

y

z zt

ht

ht

hAhIhAhII

411

422

31111

32222 )

2()

2(

42

1 (3)

1021

2 hhII

Iz

zz

z

S

, 20

21

21 hII

III

zz

zz

w ,

3

3322

311 ww

T

thtbtbI

(4abc)

gdzie:A1=t1b1,Iz1=t1b13/12,A2=t2b2,Iz2=t2b2

3/12 (hwwysokorodnika, Iymoment bezwadnoci wzgldem osi y, pozostaeoznaczenia wg Rys. 1.

where: A1=t1b1, Iz1=t1b13/12, A2=t2b2, Iz2=t2b2

3/12 (hw websheight, Iyprincipal moment of inertia about y axes, remainingnotation as in Fig. 1.

4.

Moment krytyczny zwichrzenia 4.

The lateral buckling moment

W celu oszacowania momentu krytycznego zwichrzeniawykorzystamy metod ortogonalizacji Bubnowa-Galerkinaaproksymujc kt skrcenia przekroju za pomoc jednegowyrazu szeregu trygonometrycznego. Wykonujc odpowiednieprzeksztacenia, otrzymujemy rwnanie kwadratowe zewzgldu na maksymalny, co do wartoci bezwzgldnej,moment

zginajcyM0 (Rys. 2):

The stability equations (1) were solved approximately usingthe BubnovGalerkin method. In case of simply supportedbeams with free warping, sinusoidal mode is assumed for thetorsion angle. After integration, the lateral buckling moment is

given by the roots of the quadratic equation, with regard to theabsolute of the maximum bending momentM0 (Fig. 2):


3/4


0)( 2 ,032,1 DNMaaNMa zcrzzzcr20 , (5)

gdzie where:

2

2

,L

EIN zzcr ,

zcr

T

z

w

NGI

IID

,

(6ab)

We wzorze (7a) wspczynnik a1 opisuje wpyw rozkadumomentu zginajcego wzdu dugoci elementu, natomiast a2miejsce przyoenia obcienia poprzecznego wedug wzoru(7b):

In equation (7a) a1 coefficient describes the influence odistribution of bending moment along the length of an element.

Coefficient a2 denotes the placement of the lateral loadaccording to equations (7b):

0)(sin)(2

0

22

20

1 L

y dxLxxMLM

a ,

N

k

kkzkAz

z LxeQeLq

M

La

1

2

20

2 )(sin2

2 (7ab)

Dla przekrojw monosymetrycznych wyznaczamy dodatkowowspczynnik a3ze wzoru (8)

In case of monosymmetric cross sections the coefficient a3 isadditionally determined using equation (8)

N

k

kkk

zkzRL Lx

L

x

L

xQ

LqM

L

M

MMa

1

222

200

3 )(sin1

6

3 (8)

Moment krytyczny zwichrzenia otrzymany z rozwizaniarwnania kwadratowego (5) obliczamy ze wzoru (9) :

Derived from the solution of quadratic equation (5) thelateral buckling moment is given by (9):

])([ 23232,1 zzzzzcrcr CCDCCNCM (9)

gdzie: where:

1

1

1

aC ,

2

212

zz

aCC ,

2

313

aCC (10abc)

W przypadku dowolnego rozkadu momentu zginajcego,wspczynnik C1 moemy oszacowa na podstawie wartocibezwzgldnych momentw zginajcych:

In case of an arbitrary distribution of the buckling moment,the C1 coefficient cam be estimated, based on the absolute

values of bending moments:

4320

01

3435,2

5,12

MMMM

MC

lecz 27,21C (11)

gdzie: M0=maxMy(x), M2, M3 and M4momenty zginajcew , oraz rozpitoci belki(Rys.2b).

where: M0 the higher bending moment, M2, M3 and M4bending moments values atx=L/4,L/2 and 3L/4 (Fig. 2b):

5.

Przykad liczbowy 5.

Numerical example

Rozpatrzmy dwuteownik o przekroju monosymetrycznym(Rys. 1). Przyjmijmy za mud [4] (wymiary w mm): b2 = 400,t2= 30, b1 = 300, t2= 30, h0 = 470, tw= 15, h2 = 209, h1 = 261.

Podstawiajc: A2 = 120 cm2; Iz2 = 16000 cm

4; A1 = 90 cm2,

Iz2 =6750 cm4, Iy= 124870 cm

4 do wzorw (3,4abc) otrzymu-emy:zS= 6,955 cm,z= 8,679 cm, Iw = 1048710

3cm6,IT =

679,5 cm4 (Iz = 22762 cm4). Na podstawie wzorw (6ab), dlabelki o rozpitoci L = 7,5 m otrzymujemy: Ncr,z = 8387 kN,D=1117 cm2.Podstawiajc (w kNm): M0 = 250; M2 = 144,3; M3 = 200,8;

4 = 19,3 do wzoru (11) otrzymujemy:

Lets consider the I-shaped beam with its monosymmetriccross section (Fig. 1). Lets take after Zmuda [4] (dimensions inmm): b2= 400, t2 = 30, b1 = 300, t2 = 30, h0 = 470, tw = 15,

h2=209, h1= 261. Substituting:A2= 120 cm2;Iz2= 16000 cm

4;

1=90 cm2, Iz2 = 6750 cm

4, Iy = 124870 cm4 in the equation

(3,4abc) well get: zS = 6,955 cm, z = 8,679 cm,Iw =10487103 cm6, IT = 679,5 cm4 (Iz = 22762 cm4). Fromequations (6ab) for the beam of L = 7,5 m span well obtain:

cr,z= 8387 kN,D= 1117 cm2.

Substituting (in kNm): M0 = 250; M2 = 144,3; M3 = 200,8;

4= 19,3 into equation (11), well receive:

628,13,1938,20043,14432505,2

2505,121

C (12)

Podstawiajc (w kN i m)M0= 250, qz= 25, Qz1= 80,x1=3,75 orazMR= 250 do wzoru (8) obliczamy a3:

Substituting (in kNm and m) M0 = 250, qz = 25, Qz1 = 80,x1= 3,75 andMR= 250 into equation (8) we calculate a3:

009,05,7

75,3sin

5,7

75,31

5,7

75,3)80(

6

35,7)25(

250

5,7

250

250 222

23

a (13)

Do wzoru (7b) podstawiamy: M0 = 250, qz = 25, Qz1 = 80,x1= 3,75 (w kN i m). W przypadku obcienia pokazanego na

In the equation (7b) well substitute:M0 = 250, qz = 25,Qz1=80, x1 = 3,75 (in kN and m). In case of distributed and


4/4


rys. 2c (eA = e1 = 19,44 cm) ze wzoru (7b) otrzymujemya2z= 20,53 cm, natomiast dla obcienia pokazanego na rys.2d (eA= 19,44 cm, e1= 34,56 cm) a2z= 5,70 cm.Nastpnie wyznaczamy dla obu typw obcienia wspczynnik

C2zze wzoru (10b) i C3ze wzoru (10c).W tabeli 1 porwnano momenty krytyczne zwichrzeniaotrzymane na podstawie wzoru (9) z momentami krytycznymiwyznaczonymi za pomoc programu LTBeam [1]. W obuprzypadkach bd oszacowania by poniej 1%. Wicejprzykadw przedstawiono w pracy [6]. Wynika z nich, eprzedstawiona metoda prowadzi do wystarczajco dokadnegooszacowania momentu krytycznego zwichrzenia.

concentrated load shown at Fig. 2c (eA= e1= 19,44 cm) usingequation (7b) well get a2z= 20,53 cm. For the load shown inFig. 2d (eA= 19,44 cm, e1= 34,56 cm) a2z= 5,70 cm. Next, forboth types of loads, well calculate the coefficient C2z from

equation (10b) and C3 from equation (10c), respectively. Thecomparison of lateral buckling moments obtained with equation

(9) and LTBeam [1] programme is presented at the Table 1. Inboth cases the estimation error is less 1 %. More examples canbe found in [6]. In conclusion we may state, that the proposedmethod, described above, give estimation of lateral buckling

moment with accuracy sufficient for design purposes.

Rys. 2.

Dane do przykadu liczbowego a) schemat statyczny, b) wykres momentw zginajcych, c) pierwszy przypadekobcienia, d) drugi przypadek obcienia.Fig. 2. Data for the numerical example a) statical scheme, b) graph of the bending moments, c) the first case of the applied load ,d) the second case of the applied load.

Tabela 1.

Moment krytyczny zwichrzenia w zalenoci od miejsca przyoenia obcienia poprzecznego .Table 1. Comparison of the lateral buckling moment as function of placement of the lateral load

Lp Schemat statyczny C1 C2z[cm] C3 Mcr [1] Mcr[kNm] / bd %

1) Obc. wg rys. 2c eA=e1=194,4 mm 1,628 -16,71 -0,007 2835,1 2824,9 /0,4

2) Obc. wg rys. 2d eA= 194,4 mm,e1=345,6 mm 1,628 4,640 -0,007 5212,0 5250,1 /0,7

Literatura References

[1]Gala Y., (2003), Moment critique de dversement lastique de poutre flchies Prsentation du logiciel LTBEAM. Revue

Construction Mtallique. CTICM, Vol. 2, 2003.[2]Mohri F., Brouki A., Roth JC., (2003), Theoretical and numerical stability analyses of unrestrained, mono symmetric thin-walled

beams, Journal of Constructional Steel Research, Vol. 59, 2003, pp. 6390.

[3]Trahair N.S., Bradford M.A., Nethercot DA., Gardner L., (2008), The behaviour and design of steel structures to EC3 . Furthedition, Taylor & Francis, London and New York.

[4] muda J., (2013),Konstrukcje wsporcze dwignic, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

[5]Bijak R., (2011), Moment krytyczny zwichrzenia niestonych bisymetrycznych belek dwuteowych podpartych widekowo.ICMS2011 Conference, Wrocaw.

[6]Bijak R., (2014), Zwichrzenie niestonych monosymetrycznych belek dwuteowych podpartych widekowo. Submitted toInynieria i Budownictwo.

Moment Krytyczny

Documents

Transcript of Moment Krytyczny