MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ - KULTrend wykładniczy sprowadzamy do postaci liniowej stosując...

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ

Model trendu (tendencji rozwojowej) należy do szczególnej klasy modeli

ekonometrycznych, w których zmienność zmiennej objaśnianej opisywana jest przez

specyficzną zmienną objaśniającą, jaką jest czas. Na ogół modele te nie wyjaśniają

mechanizmu kształtowania się rozpatrywanej zmiennej objaśnianej, lecz obrazują

kształtowanie się tej zmiennej w czasie.

Można powiedzieć, że model trendu w sposób pośredni opisuje ten mechanizm, szczególnie

wtedy, gdy zmienne objaśniające są silnie skorelowane ze sobą i jednocześnie z czasem.

Modele te z powodzeniem wykorzystuje się zarówno do predykcji średniookresowej i

długookresowej, jak i predykcji krótkookresowej, gdy rozważa się model tendencji

rozwojowej z wahaniami periodycznymi.

Wykorzystanie klasycznych modeli tendencji rozwojowej do prognozowania średnio i

długookresowego daje dobre wyniki, gdy rozwój zjawiska w czasie wykazuje bardzo trwałe i

systematyczne zmiany jednokierunkowe, przy jednocześnie ograniczonym oddziaływaniu

losowości. Przykładem takich zjawisk jest kształtowanie się podstawowych wielkości

makroekonomicznych, takich jak: PKB, wydajność pracy, poziom zatrudnienia, liczba ludności i

inne.

Stosowanie modeli tendencji rozwojowej do prognozowania ma szereg zalet:

1. Do budowy odpowiedniego modelu niezbędne są jedynie informacje empiryczne

odnoszące się do zmiennej prognozowanej.

2. Przy budowie prognozy nie występuje kłopotliwy problem znajomości zmiennych

objaśniających w okresie prognozowanym, gdyż zagadnienie sprowadza się do prostej

ekstrapolacji funkcji trendu poprzez nadanie odpowiedniej wartości zmiennej czasowej

w okresie prognozowanym.

3. Klasyczne modele tendencji rozwojowej wykorzystywane do prognozowania są w

przeważającej części liniowe względem parametrów, lub dają się do takich sprowadzić,

stąd nie ma trudności z ich estymacją.

4. Łatwo można także ocenić dokładność budowanych prognoz, wykorzystując mierniki

dokładności prognoz ex ante.

Trzeba także zwrócić uwagę na pewne trudności, jakie mają miejsce w trakcie budowy

prognoz na podstawie modeli tendencji rozwojowej.

Do najważniejszych z nich zalicza się:

1) trafny wybór analitycznej postaci modelu trendu będącego podstawą

prognozowania,

2) występująca często autokorelacja składnika resztowego.





Przydatność poszczególnych modeli tendencji wzrostowej do celów prognostycznych

oceniana jest różnie. Z. Pawłowski uważa, że trendy liniowy i modele wielomianowe mają

ograniczoną przydatność w procesie predykcji. Ograniczoność ta wynika z faktu, że są to

funkcje, które nie posiadają asymptot poziomych. O ile w zaobserwowanym przedziale

zmienności zmiennej czasowej funkcje liniowe i wielomiany dają dobrą zgodność

wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej z jej wartościami empirycznymi, to

po wyjściu poza tę zmienność zgodność jest zwykle gorsza. Nie ma bowiem racjonalnego

uzasadnienia, że poza obserwowanym odcinkiem czasu rozwój zmiennej prognozowanej

będzie odpowiadał przebiegowi określonego wielomianu.

Na tej podstawie większą użyteczność w prognozowaniu mają te modele tendencji

rozwojowej, które posiadają asymptoty poziome, gdyż zjawiska gospodarcze mają swoje

„naturalne granice”. Z tą tezą można się zgodzić, przynajmniej jeżeli analizujemy krótkie lub

średnie okresy. W dłuższych okresach postęp techniczny dość często „łamał asymptoty

poziome”.



Aby użyć określony model tendencji rozwojowej do prognozowania należy założyć:

• stabilność relacji strukturalnych w czasie, tj. postaci analitycznej modelu, jak i

wartości ocen jego parametrów w okresie prognozowanym,

• stabilność rozkładu składnika losowego, co daje możliwość oceny błędu

prognozy ex ante.

Ogólnie model trendu można zapisać:

Y = f(t) + (t = 1, ..., n) , lub

Y = f(t) * ,

gdzie:

f(t) - funkcja trendu,

- zmienna losowa, charakteryzująca efekty oddziaływania wahań przypadkowych na trend,

której wartość oczekiwana jest równa zeru dla modelu pierwszego(addytywnego), lub

jedności dla modelu drugiego (multiplikatywnego), a wariancja zmiennej jest skończona.



Analityczną postać funkcji f(t) można wybierać w różny sposób.

Może się to odbywać przy wykorzystaniu analizy graficznej (wykres).

Niekiedy jej postać wynika z pewnej teorii ekonomicznej lub przyrodniczej, a wtedy naszym

zadaniem jest, poprzez budowę i estymację modeli, jej weryfikacja. Najczęściej jednak postać

analityczną odczytujemy z rozrzutu punktów czyli z wykresów zwłaszcza, że modele

trendu to funkcje z jedną zmienną, które stosunkowo łatwo jest wykreślić.

W zależności od mechanizmu rozwoju zmiennej prognozowanej można zaproponować cały szereg funkcji trendu.

Zadanie wyznaczania funkcji f(t) jest nazywane WYGŁADZANIEM (wyrównywaniem)

szeregu czasowego. Można tego dokonać, określając postać funkcji charakteryzującej

tendencję rozwojową szeregu i wyznaczając jej parametry, tj. stosując tzw. modele analityczne,

lub wykorzystując modele adaptacyjne, w których nie zakłada się a priori postaci analitycznej

modelu, lecz wynika ona z zastosowania pewnych algorytmów wygładzających szereg czasowy

zmiennej prognozowanej.



Jeżeli rozwój zjawiska w czasie charakteryzuje się - ogólnie biorąc - taką prawidłowością, że

przyrosty absolutne zmiennej prognozowanej są stałe, to dobrym modelem opisującym trend

tego zjawiska jest funkcja liniowa

o postaci: Y = + t + ε

Określenie funkcji trendu metodą analityczną polega na znalezieniu funkcji f(t), optymalnie,

w świetle przyjętych kryteriów oceny, pasującej do wyrazów szeregu czasowego zmiennej

prognozowanej.

LINIOWY MODEL TRENDU

jest najprostszym i i najczęściej wykorzystywanym modelem tendencji rozwojowej.

Bez względu na analityczną postać funkcji trendu, przyszłą wartość zmiennej

prognozowanej otrzymuje się wstawiając do funkcji trendu, w miejsce zmiennej czasowej

kolejny numer okresu prognozowania T. Dla funkcji liniowej operację tę zapisuje się w sposób

następujący: yt*= a0 + a1t , gdzie:

yt*- wartość zmiennej prognozowanej w okresie t wynikająca z funkcji trendu,

aj - wartości ocen parametrów j funkcji trendu dla j = 0, 1



LINIOWY MODEL TRENDU

Parametry tego modelu możemy oszacować Klasyczną Metoda Najmniejszych Kwadratów

(KMNK), gdy spełnione są jej założenia:

1. E(ε) = 0

2. D2 (εTε) = σ2 I

3. rzX = k + 1 ≤ n

4. X – macierz obserwacji zmiennych objaśniających (tu zmiennej czasowej).

wtedy za pomocą estymatora: a = (XTX)-1 XTy (postać macierzowa)

można oszacować parametry strukturalne modelu trendu.

W postaci algebraicznej:

)1(

)(12

lub

)(

))((

2

1

1

2

1

nn

ytt

a

tt

ttyy

a

n

t

t

n

t

n

t

t

tayb

nnttgdyż

12

)1()( :

2n

1t

2



LINIOWY MODEL TRENDU Ocenę wariancji odchyleń losowych trendu liniowego otrzymujemy ze wzoru (tzw. wariancja

resztowa):

2n

yXayy

2n

eeSlub

2n

e

STTTT

2

e

n

1t

2

t2

e

Standardowe błędy szacunku (oceny) parametrów oraz wynoszą:

1n

t12

n

S

)1n(n

t12

S

)tt(n

t

S)b(S

12

)1n(n

s

)tt(

s)a(S

2

n

1t

2

e

22

n

1t

2

en

1t

2

n

1t

2

e2

e

n

1t

2

e

i

)1n(n

)1n2(2

,6

)1n)(1n2(nt:

n

1t

2

eSS(b)

:yotrzymujem że wiedząc,



LINIOWY MODEL TRENDU Oceny dopasowania modelu do danych empirycznych dokonujemy obliczając współczynnik determinacji:

n

1t

2

t

n

1t

2

t2

)yy(

e

1R

Następnie należy zbadać istotność parametrów modelu trendu:

)b(S

bt

)a(S

at ba i

korzystając z tablic rozkładu t − Studenta (przy n stopniach swobody oraz na poziomie

istotności γ)



Należy również zbadać czy wstępuje autokorelacja składników losowych obliczając

współczynnik autokorelacji reszt rzędu pierwszego:

a następnie stosując np. test Durbina – Watsona, przy r1 > 0 obliczając statystykę d:

gdy r1 < 0, obliczmy d ’ = 4 - d

W przypadku występowania autokorelacji składników losowych, bądź heteroskedastyczności składników losowych do szacowania parametrów stosujemy Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów (UMNK) i wektor parametrów strukturalnych szacujemy według formuły :

2r1

2nrI

LUB jeżeli test Durbina - Watsona nie da odpowiedzi możemy skorzystać z testu istotności współczynnika korelacji:

Korzystając z testu t-Studenta dla poziomu istotności γ oraz dla m=n-3 stopni swobody



yVX)XVX(a1T1T UMNK

W przypadku trendu liniowego wartości zmiennej prognozowanej można również

przygotować w postaci przyrostów. W ten sposób skracamy o jeden długość szeregu, ale

unikamy zjawiska autokorelacji.

Można również zastosować, do oszacowania parametrów strukturalnych modelu, na przykład

metodę Cochrena – Orcutta, wg której parametry strukturalne modelu obliczamy na

podstawie formuły :

*

T

**

T

* yX)XX(a

n..., 3, 2, torazn ..., 2, 1, 0,j dla

n ..., 2, 1, 0, j dla

n..., 3, 2, tdla

j,1t1j,t

*

j,t

2

1j1

*

j1

1t1t

*

t

2

11

*

1

xrxx

r1xx

yryy

r1yygdzie:



Modele nieliniowe sprowadzalne do postaci liniowej

W przypadku, gdy rozwój zjawiska odbywa się w tempie przyspieszonym

(np. gdy nowy wyrób zdobywa rynek i jego sprzedaż rośnie coraz szybciej), do opisu tendencji

rozwojowej można wykorzystać:

a) funkcję wykładniczą o postaci:

Y = e + t + ε , gdzie > 0,

lub Y = t eε, gdzie > 1,



Trend wykładniczy sprowadzamy do postaci liniowej stosując transformację logarytmiczną:

lnY = lnβ + t lnα + ε lne i dokonując podstawień:

ln Y = V , lnβ = α0 , lnα = α1 otrzymamy - V = α0 + α1 t + ε. 10 αα

eα e Oszacowana wartość parametru α przemnożona przez 100% informuje

o średniorocznym (średniokwartalnym, itp.) tempie wzrostu zmiennej prognozowanej (w

procentach).




b) funkcję potęgową o postaci:

Y = teε, gdzie > 1, kształt trendu zależy od wartości parametru β.

Trend potęgowy sprowadzamy do postaci liniowej stosując

transformację logarytmiczną:

lnY = ln t eε lnY = ln + lnt + ε lne,

dokonując podstawień – lnY = V, ln = 0 , lnt = Z

otrzymamy model liniowy: V = 0 + Z + ε

czy też c) funkcję paraboliczną o postaci:

Y = 0 + 1t + 2t2 + ε , 2 > 0



Funkcję tą sprowadzamy do postaci liniowej przez postawienie:

t = Z1 , t2 = Z2 i otrzymujemy funkcję postaci: Y = 0 + 1Z1 + 2Z2 + ε .

tu 2 < 0




Jeżeli obserwuje się, że w długim okresie wzrost zjawiska jest coraz wolniejszy (np.

kształtowanie się popytu na wybrane dobro gdy zwiększa się nasycenie rynku), do opisu jego

kształtowania się można zaproponować :

a) funkcję logarytmiczną o postaci:

Y = + lnt + ε , gdzie > 0,

(lub potęgową o postaci: Y = t , gdzie 0 < < 1)

Funkcję tą sprowadzamy

do postaci liniowej przez

postawienie:

lnt = Z , co

pozwala otrzymać model

liniowy o postaci:

Y = α + βZ + ε



W praktyce życia gospodarczego występują również takie zjawiska, które charakteryzują się

coraz wolniejszym wzrostem z jednoczesnym dążeniem do pewnego poziomu. W takich

przypadkach analitycznym wyrazem tego procesu może być funkcja liniowo-odwrotnościowa o

postaci:

Y = + t-1 , gdzie < 0, przy czym parametr tej funkcji trendu jest jej asymptotą

poziomą.

Podobny przebieg charakteryzuje funkcja będąca ilorazem dwóch funkcji liniowych. Postać

jej jest następująca:

t

tY

, gdzie , > 0 Również i w tym przypadku parametr wyznacza

asymptotę poziomą tej funkcji.



MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ Modele trendu nie sprowadzalne do postaci liniowej

Bardzo wiele zjawisk ekonomicznych, społecznych czy też demograficznych nie daje się

efektywnie opisać za pomocą modeli liniowych bądź też modeli sprowadzalnych do postaci

liniowej. Stąd też pojawiła się bardzo obszerna klasa modeli nieliniowych nie sprowadzalnych

do postaci liniowej, które wymagają odmiennych niż wcześniej prezentowane modele metod

estymacji.

te1Y

Jedną z szeroko wykorzystywanych funkcji trendu jest tzw. trend logistyczny:

, gdzie , > 0 , > 1



Niekiedy przebieg zjawiska w czasie odbywa się wielofazowo. Jako przykład

można tu przytoczyć rynkowy cykl życia produktu, popyt na określone dobra (np.

dobra trwałego użytkowania) czy wyposażenie gospodarstw domowych na dobra

trwałe. Do opisu tego rodzaju zjawisk proponuje się wykorzystać funkcję

logistyczną, której analityczna postać jest następująca:

gdzie , > 0 , > 1.

Cechą charakterystyczną tej funkcji jest to, że parametr stanowi asymptotę

poziomą funkcji i określa tzw. poziom nasycenia (np. rynku). Ponadto funkcja ta jest

funkcją nieliniową i nie sprowadzalną do liniowej. Nieliniowość nie pozwala na

bezpośrednie zastosowanie metody najmniejszych kwadratów.

te1Y

Modele trendu nie sprowadzalne do postaci liniowej



Często obserwujemy następującą tendencję : na początku wartości zmiennej rosną powoli,

potem coraz szybciej, jednak po uzyskaniu pewnego poziomu prędkość wzrostu słabnie i

następuje stabilizacja. Tak zachowuje się wiele

produktów wchodzących na rynek. W ten sposób zmienia się liczba mieszkańców

wyodrębnionych obszarów. G. Tintner wykazał, że rozwój ludności Szwecji przebiegał zgodnie z

krzywą logistyczną. Stąd też krzywa (trend) logistyczna ma wiele zastosowań do opisu i

prognozowania różnorodnych zjawisk. Istnieje szereg metod estymacji parametrów krzywej

logistycznej. Najstarszą jest metoda estymacji opracowana w 1927 roku przez H. Hotellinga.

Dobrze znana jest również metoda estymacji opracowana w 1958 roku przez

G. Tintnera. Coraz częściej do estymacji prametrów trendu logistycznego

stosuje nieliniową metodę najmniejszych kwadratów (opisaną w materiałach) według

algorytmu Gaussa - Newtona.

te1

tlnY

, gdzie , > 0 , > 1

Jeżeli zjawisko charakteryzuje się stałym, nieograniczonym wzrostem,

z malejącymi przyrostami, to do opisu i prognozowania jego przebiegu można wykorzystać

funkcję loglogistyczną:



Okazuje się bowiem, że niektóre procesy gospodarcze, podlegające tradycyjnie

logistycznemu prawu wzrostu można dobrze opisać funkcją loglogistyczną.


MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ PODSUMOWANIE – TWORZENIE MODELI

Prace zmierzające do znalezienia postaci funkcji trendu rozpoczyna się od przedstawienia

szeregu czasowego w układzie współrzędnych. Analiza wykresu w połączeniu ze znajomością

przebiegu określonych funkcji umożliwia sformułowanie hipotezy dotyczącej postaci

analitycznej funkcji trendu. Sprawdzenie tej hipotezy następuje w toku estymacji

parametrów modelu i statystycznej weryfikacji jego jakości.

!!! Częsta jest, ze względu na niezbyt długie szeregi czasowe, sytuacja, w której w świetle

analizy empirycznej więcej niż jedna funkcja dobrze opisuje kształtowanie się tendencji

rozwojowej prognozowanej zmiennej (brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy o losowym

rozkładzie reszt modelu). Zwykle w takich przypadkach przyjmuje się najprostszą postać

modelu.

Przy wyborze postaci funkcji trendu zawsze powinny być brane pod uwagę przesłanki

empiryczne i dedukcyjne, przy czym przy bardziej złożonych postaciach analitycznych tych

funkcji powinny przeważać przesłanki dedukcyjne, a przy mniej złożonych – empiryczne.

Jeżeli podstawą predykcji nieobciążonej jest liniowy model tendencji rozwojowej,

lub model transponowany do postaci liniowej, bezwzględny, średni błąd prognozy ex

ante wyraża się wzorem o postaci:

n

1t

2

2

T

)tt(

)tT(

n

11SD

gdzie: S - ocena odchylenia standardowego składnika losowego modelu trendu. Jak wynika ze wzoru średni błąd prognozy jest tym większy, im prognoza formułowana jest na dalszy okres.



Średni błąd prognozy może być przedstawiony również w innej postaci. Dla funkcji trendu

zapisuje się go następująco:

)a,acov(T2)a(DT)a(DSD 101

22

0

22

T

gdzie: S2 - ocena wariancji składnika losowego modelu trendu, D2(aj) - wariancje ocen parametrów j modelu trendu dla j = 0, 1, cov (a0, a1) - kowariancja ocen parametrów modelu trendu, T - założona wartość zmiennej t w okresie prognozowanym. Należy pamiętać, że w zależności od transponowanej postaci funkcji trendu, w formule tej muszą następować określone modyfikacje.

Bezwzględny, średni błąd prognozy można zrelatywizować, podając względny błąd

prognozy. Względny błąd prognozy ex ante zadany jest wzorem o postaci:

%100

T

TT

y

DV

Średni błąd prognozy DT daje podstawę do punktowej i przedziałowej prognozy zmiennej Y w

okresie prognozowanym n. Przedziałową prognozę, gdy rozkład składnika resztowego jest

normalny wyznacza się z relacji:

P{yt*- u DT < YT < yt

* + u DT} =

P{yt*- t DT < YT < yt

* + t DT} =

P{yt*- u DT < YT < yt

* + u DT} = gdzie:

t - wartość odczytana z tablic rozkładu t-Studenta, gdy n 30,

u - wartość odczytana z dystrybuanty rozkładu normalnego, gdy n > 30.

- przyjęty z góry poziom wiarygodności prognozy.

Wartość t lub u zastępuje się wartością u (nierówność Czebyszewa) gdy nie znamy rozkładu

składnika resztowego. Budowa prognozy przedziałowej według ukazanej formuły jest jednym

z wielu sposobów otrzymywania prognozy przedziałowej.



Jeśli odchylenia losowe nie mają rozkładu normalnego, to u wyznacza się z nierówności

Czebyszewa:

gdzie:

u - wartość obliczone z nierówności Czebyszewa.

- przyjęty z góry poziom wiarygodności prognozy.



pu

1

1

TTTTT DuYYDuYP **

MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ - KULTrend wykładniczy sprowadzamy do postaci liniowej stosując...

Documents

Transcript of MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ - KULTrend wykładniczy sprowadzamy do postaci liniowej stosując...