Model Konkurujących

Gatunków

Co to jest konkurencja?Konkurencja to jedna z

antagonistycznych interakcji międzypopulacyjnych, w której dwie populacje tego samego lub różnych gatunków, zazwyczaj o podobnych

wymaganiach środowiskowych rywalizują o tę samą niszę ekologiczną. Dochodzi do

współzawodnictwa o ograniczone zasoby środowiska np. pożywienie.

Założenia modelu konkurujących gatunków:

Liczba konkurujących osobników jest proporcjonalna do liczebności każdego z tych gatunków, czyli iloczynu

Konkurencja zewnątrzgatunkowa może w różnym stopniu wpływać na osobniki różnych gatunków, w tym celu należy uwzględnić strategię jaką stosują osobniki w spotkaniu ze sobą.

Jednorodność każdej populacji, zatem wszystkie osobniki danego gatunku zachowują się jednakowo.

Strategie stosowane przez osobniki:

Gołębia• Osobniki stosującego

ją gatunku ustępują przy spotkaniu z osobnikami , które zachowują się agresywnie.

Jastrzębia• Atakowanie

osobników drugiego gatunku i wykazywanie agresji.

Wpływ konkurencji na osobniki:

Jeśli oba gatunki stosują strategię to tracą dużo energii przy spotkaniach na walkę, co przekłada się na duży wpływ tej konkurencji.

Dla osobników stosujących strategię wpływ konkurencji jest nieco mniejszy.

W przypadku strategii jeden z gatunków straci więcej energii niż drugi.

Rozważany model konkurujących gatunków ma

postać:

Oznaczenia:

Znajdźmy rozwiązania dla omawianego modelu:

Ostatecznie :

Wyznaczmy nasze izokliny:

Uwaga!Portrety fazowe zależą od

wzajemnego położenia prostych .Od tego zależy

także liczba rozwiązań stacjonarnych w przestrzeni

fazowej

Uwaga!Wzajemne położenie izoklin

zależy od wielkości współczynników

Przypadek 1

o Prosta znajduje się powyżej (pierwsza ćwiartka układu współrzędnych).

o Proste te przecinają się w .o Istnieją trzy rozwiązania stacjonarne o

nieujemnych współrzędnych: A, B, C.o Występują zarówno rozwiązania

niestabilne ( A i C ) jak i stabilne ( B, które przyciąga

inne rozwiązania ).

Portret fazowy

Rys 1. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Przypadek 2

• Analogiczny do przypadku 1. Za silniejszy gatunek uznajemy , który przeżywa, a jako słabszy , eliminowany ze środowiska

.• Portret fazowy jest symetryczny z

portretem dla przypadku wcześniejszego.

Przypadek 3

Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce.

Istnieją rozwiązania stacjonarne, które nie są stabilne ( D ) i stabilne lokalnie ( B i C ).

Zachowanie rozwiązań zależy od warunków początkowych. Jeśli liczebność początkowa danego gatunku jest duża w stosunku do gatunku konkurencyjnego, to ten gatunek przeżywa.

Interpretacja przypadku

vs.

x3

Strategia jastrzębia

x1

Portret fazowy

Rys 2. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Przypadek 4

Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Występuje czwarte rozwiązanie stacjonarne

( D) do którego zbiegają wszystkie rozwiązania.

Interpretacja przypadku

vs.

Strategia gołębia

Portret fazowy

Rys 3. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Odmianą modelu jest układ zaproponowany przez V. Volterrę :

Funkcja zużycia zasobów

środowiska

Wpływ zużycia zasobów

środowiska na gatunek

Liczebność Współczynnik rozrodczości

Własności funkcji F:

F jest klasy , czyli jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi.

F(0,0)=0;F jest ściśle rosnąca ze względu na

zmienne, czyli dla i=1,2. Dla dowolnych ustalonych

zachodzi:

Zbadajmy własności rozwiązań układu:

Założenia:Układ ma nieujemne rozwiązania dla nieujemnych warunków początkowych , które są określone i ograniczone dla każdego t >0.

Znajdźmy izokliny:

Znajdowanie rozwiązań stacjonarnych.

Istnieje także czwarte rozwiązanie, które spełnia warunek :