Model cyklu realnego

Ramy analizy modelu realnego cyklu koniunkturalnego (RCK).

Podstawowy model RCK.

Implikacje modelu RCK

Kontrowersje co do przyczyn fluktuacji gospodarczych i środków zaradczych

Ekonomia klasyczna: w gospodarce istnieje automatyczny, samoregulujący mechanizm w postaci elastycznych cen, które automatycznie przywracają równowagę zakłóconą przez gospodarcze szoki.

Ekonomia Keynesowska: w krótkim okresie płace i ceny są względnie sztywne i przywracanie równowagi przez mechanizm rynkowy jest niekompletne (rynek nie musi być w równowadze).

Ramy analizy RCK

Podstawą jest model Walrasa bez żadnych niedoskonałości rynku; stałe przychodyAgregaty ekonomiczne są rezultatem wielu decyzji indywidualnych podmiotów (jednostki optymalizują swoje funkcje użyteczności reagując na zmiany gospodarcze otoczenia);Gospodarka obejmuje zestaw identycznych jednostek (gosp. domowych) żyjących w nieskończoność (model Ramseya)

Jednostki maksymalizują użyteczność wynikającą z alokacji czasu między pracę i czas wolny oraz alokację podaży dóbr między bieżącą konsumpcję i inwestowanie w przyszły kapitał;

Ograniczenia bilansowe i brzegowe

Wzrost gospodarczy i cykl koniunkturalnyimplikacje modelu Solowa

badanie trendu i odchyleń od trendu

wiele szeregów czasowych wykazuje cechy procesu „przypadkowego błądzenia”;

proces błądzenia jest generowany przez zmiany technologiczne i przenoszony jest na produkcję, konsumpcję i inwestycje;

w przypadku braku zakłóceń w tempie wzrostu postępu technicznego model osiąga równowagę stacjonarną tzn. zrównoważoną ścieżkę wzrostu

Funkcja produkcji:

Yt = Kt(At Lt)1- , 0 < < 1 (1)

Zasób kapitału:

Kt+1 = Kt + It - Kt = Kt + Yt – Ct – Gt - Kt (2)

Wynagrodzenie czynników produkcji (pierwsza pochodna):

wt = (1-)Kt(At Lt)-At =(1-)[Kt/(At Lt)]At (3)

rt = [(At Lt )/ Kt ]1- - (4)

Maksymalizacja funkcji użyteczności reprezentatywnego konsumenta

U = e-tu(ct,1-lt)Nt/H , (5)

gdzie: e-t 1/(1+)t = dyskonto,

Nt – liczba ludności, H –liczba gospodarstw domowych

ln Nt = N + nt , n < (6)

ut = ln ct +b ln(1-l t ), b > 0 (7)

l – długość czasu pracy

Założenia dot. technologii i zakupów państwowych

ln At = A + gt + Ãt , (8)

gdzie: g - stopa postępu technicznego;

Ãt– efekty zakłóceń (bez zakłóceń: ln At = A + gt)

Ãt = A Ãt-1 + A,t , -1 < A <1 (9)

A,t - „biały szum”, nieskorelowane ze sobą zakłócenia o średniej 0

Założenia dot. technologii i zakupów państwowych cd.

tt Gg)t(nGlnG~

,εGρG tG,tGt ~~11 G

(10)

(11)

Uproszczenie: jednoosobowe gospodarstwo domowe.

Wobec tego funkcja celu:

ln c + b ln(1-l)

oraz ograniczenie budżetowe:

c = w l

Maksymalizacja użyteczności: rozwiązanie programowania liniowego metodą nieoznaczonych mnożników Lagrange’a:

L = ln c + b ln (1-l) + (wl – c) (12)

Wybory gospodarstw domowych

Warunki pierwszego rzędu dla c oraz l :1/c - = 0 (13)- b/(1-l ) + w = 0 (14)

Ponieważ:c = w l, to: 1/(wl ) - = 0

= 1/ (w l)Wobec tego:

-b/(1-l) + 1/l = 0 (15)

Podaż pracy jest niezależna od płacy (użyteczność jest logarytmiczna względem konsumpcji a zatem przy braku majątku wyjściowego efekt substytucyjny płacy i efekt dochodowy równoważą się).

Wybory gospodarstw domowych cd.

Wybory gospodarstw domowych - ujęcie dynamiczne

W ujęciu dynamicznym różnice płacowe mają znaczenie;

Ograniczenie budżetowe:

c1 + c2/(1+r) = w1 l1 + w2 l2/(1+r) (16)

Funkcja Lagrange’a (równanie 12) dla 2 okresów ma postać:

L = ln c1 + b ln(1-l1) + e- [ln c2 + b ln(1-l2)]

+ [w1 l1 + w2 l2 /(1+r) – c1 – c2 /(1+r)] (17)

Wybór dotyczy c1 , c2 , l1, l2.

Wybory gospodarstw domowych - ujęcie dynamiczne cd.

Warunki pierwszego rzędu dla l1 , l2:

b/(1-l1) = w1

(18)

(e- b )/ (1-l2) = w2/(1+r)

(19)

Rozwiązując otrzymujemy:

1

2

2

1

r)(1

1

1

1

w

w

el

l

(20)

Jeśli w1 rośnie w stosunku do w2 , to zwiększa się podaż pracy w 1. okresie w stosunku do 2.

Równanie (20) określa międzyokresową substytucję podaży siły roboczej.

Dodatnie nachylenie krzywej podaży pracy

N

NS

w

Optymalizacja w warunkach niepewności

Niepewność przyszłych płac i stóp przychodów;

Porównajmy koszty i korzyści ze zmniejszenia bieżącej konsumpcji o c a uzyskany przyrost majątku wykorzystany zostanie w następnym okresie do zwiększenia konsumpcji na osobę:

krańcowa użyteczność konsumpcji wynosi [pochodna (5) z uwzględnieniem (7)]:

e- (Nt / H) (1 / ct)

koszt tej zmiany wynosi: e- (Nt / H) (c / ct);

uzyskany dzięki temu przyrost konsumpcji w t+1 na osobę wyniesie: (1+rt+1) c / en (en wzrost liczby osób);

Optymalizacja w warunkach niepewności cdOczekiwany przyrost użyteczności wyniesie:

Et [e- (Nt+1 / H) e-n (1+rt+1 / ct+1) ] c

Z przyrównania kosztów i oczekiwanych korzyści wynika:

ponieważ e- (Nt+1 / H) e-n nie jest niepewne, po

uproszczeniu otrzymujemy:

c)r(c

eH

NeE

c

c

H

Ne t

t

nt)t(t

t

tt

1

1

11 11

Optymalizacja w warunkach niepewności cd

(21)

Zamienność między konsumpcją a podażą siły roboczej:

gospodarstwo domowe dokonuje wyboru nie tylko konsumpcji, ale również podaży siły roboczej;

porównanie powiększenia podaży siły roboczej i wynikającego z tego wzrostu konsumpcji – w sytuacji optymalnej - użyteczność pozostaje bez zmian.

)]r(c

[Eec t

tt

t1

1

11

1

Optymalizacja w warunkach niepewności cd.

Na podstawie (5) i (7) ujemna użyteczność pracy wynosi:

e-t (Nt/H) [b/(1-lt)]

Wzrost pracy o l powoduje więc koszt użyteczności:

e-t (Nt/H) [b/(1-lt)] l

Zmiana ta podnosi konsumpcję o:

wt l, co daje wzrost użyteczności:

e-t (Nt/H) (1/ct) wt l

Optymalizacja w warunkach niepewności cd.

Wobec tego:

e-t (Nt/H) [b/(1-lt)]l = e-t (Nt/H) (1/ct) wtl (22)

Czyli:

(23)

Równania (21) i (23) są podstawowymi równaniami opisującymi zachowanie gospodarstw domowych.

b

w

l

c t

t

t 1

Uproszczone rozwiązanie modelu:

Modelu nie można rozwiązać w sposób analityczny ponieważ stanowi mieszankę składników liniowych (deprecjacja, podział produktu na C, I, G) oraz składników logarytmiczno – liniowych (funkcja produkcji, preferencje); model rozwiązuje się metodą numeryczną: dobiera się odpowiednie wartości parametrów i na tej podstawie bada się ilościowe implikacje modeluPodstawą rozwiązania są dwa warunki optymalizacji: (21) i (23); rozwiązanie koncentruje się na wyznaczeniu l oraz s (zaoszczędzona część produktu)

Uproszczone rozwiązanie modelu, cd:

W uproszczonej wersji przyjmujemy: G = 0 oraz = 1.Z tego wynika:

Kt+1 = Yt – Ct

1 + rt = [(At Lt )/ Kt ]1-

Z rozwiązania wynika, że s (zaoszczędzana część produktu) i l (podaż siły roboczej per capita) są stałe.

Implikacje modelu

Główną implikacją jest twierdzenie, że obserwowane zmiany produktu reprezentują zmieniające się w czasie optima Pareta.

Fluktuacje produktu są wyznaczone przez dynamikę technologii i kształtowanie się zasobu kapitału i stanowią rezultat optymalnych wyborów reprezentatywnego gospodarstwa domowego.

Implikacje modelu: fluktuacje produktu

Ponieważ Yt = Kt (At Lt )

1- to:

ln Yt = ln Kt + (1-) (ln At + ln Lt) (24)

Jednocześnie: Kt = s Yt-1 zaś: Lt = lt Nt , to:

ln Yt = lns + ln Yt-1 + (1-) (ln At + lnl + ln Nt)oraz ponieważ:

ln At = Ā+ gt + Ãt i ln Nt = N + nt , to:

ln Yt = lns + ln Yt-1 + (1-) (Ā + gt)

+ (1-)Ãt + (1-) (lnl + N + nt) (25)


Ponieważ dwa składniki z prawej strony równania nie podążają ścieżkami deterministycznymi: ln Yt-1 oraz (1-)Ãt , to można zapisać:

(26)

gdzie: jest różnicą między lnYt a wartością jaka byłaby gdyby lnAt = A + gt .

Jeśli w równaniu (25) nie byłoby losowych zakłóceń technologii tzn.

ln At = A + gt,

tt

t A~

)(Y~

Y~ 1

1

tY~


co oznacza, że:

Ãt = 0, a także = 0,

wówczas ln Yt podąża całkowicie ścieżką

zdeterminowaną, co oznacza, że Yt rośnie w

tempie (g + n), a także konsumpcja, inwestycje i podaż pracy są na ścieżce zrównoważonego wzrostu.

Jedyną przyczyną fluktuacji są zatem

zakłócenia w technologii.

tY~

Implikacje pełnej wersji modelu

Stan gospodarki jest opisany przez odziedziczony z poprzedniego okresu zasób kapitały i przez bieżące wartości technologii oraz zakupów G;Konsumpcja i zatrudnienie są endogenicznie określone w modelu: z rozwiązania otrzymuje się następujące ich wartości: ( 27)

(28)

a – oznaczają funkcje parametrów modelu, zaś wężyk różnicę między logarytmem tej zmiennej a logarytmem jej wartości na ścieżce zrównoważonego wzrostu

tG~

a A~

aK~

a C~

CGtCAtCK

tG~

a A~

a K~

a L~

LGtLALKt

Implikacje pełnej wersji modelu

ln C i ln L są liniowymi funkcjami K, A i G. Wynika z tego, że są równe swoim wartościom na ścieżce zrównoważonego wzrostu, gdy K,A i G równają się swoim wartościom na tej ścieżce.

Rozwiązanie modelu polega na określeniu a .

Wyznaczone tą metodą L (równanie 28) podstawiamy do funkcji produkcji:

(29)

Wniosek: zakłócenia wynikają z G~

i A~

tLGLKtLK

tttt

G~

aA~

)a)((K]a)([

)A~

L~

)((K~

Y~

111

1

Interpretacja graficzna modelu Y = A K

L1- MPL = (1-) A K

L- = (1-) Y/L

MPK = A K-1 L1- = Y/K

K

Y

Optymalna stopa oszczędności

f(k)

sf(k)

(n+g+)k

k

y,s,i

k0**

y0

Optymalna stopa oszczędności, określająca optymalny poziom k**, przy którym c** = max, przy danej f(k); tzw. „złota reguła”.

Negatywne zakłócenia podażowe

N

Y

F0(N)

Rynek pracy

MPL=ND w=W/P

ND

w0

N0 N

Popyt na pracę i negatywne zakłócenia podażowe

ND0

N

ND,w

ND1

Negatywne zakłócenie podażowe

Podaż pracy

Płace realne i podaż pracyefekt substytucyjny (wzrost płac zwiększa podaż pracy);

efekt dochodowy (wzrost płac zmniejsza podaż pracy)

Jeśli efekt substytucyjny przeważa krzywa podaży pracy NS nachylona dodatnio

Przesunięcia krzywej podaży pracy

N

w NS0

NS1

Zmniejszenie bogactwa lub oczekiwany spadek przyszłej płacy realnej


AD1

1

2

Y*1 Y*2


N N0 N1

Y

Y0

Y’0

Y1

A

B

C

w

w0

w1

N N1 N0

A

B C

Ns0

Nd0

Nd1

F0(N)

F1(N)

Zakłócenie technologiczne: F0 F1; (N

d0Nd

1) ; AB; N (N0N1); Y (Y0Y1); jeśli Ns prostopadła N const. AC; Y (Y0Y’0)

Szoki fiskalne

Wzrost G powoduje wzrost Y, wzrost N, obniżenie MPN i wobec tego także Y/N.

N

Czasowy wzrost G

NS0 NS1

ND

w

w0 w1

N0 N1

Kalibracja modelu RCK cd.

Abel/Bernanke, Macroeconomics, © 2001 Addison Wesley Longman, Inc. All rights reserved

Figure 10.02 Actual versus simulated correlations of key macroeconomic variables with GNP

RCK i rzeczywistośćPrzewidywania fluktuacji produktu są w dużej części prawdziwe;Prawidłowe przewidywania procyklicznych zmian zatrudnienia;Także płace są na ogół wyższe w okresie ekspansji a niższe w okresie depresji;Wydajność pracy jest wyższa w okresie ekspansji, a niższa w okresie depresji;Inflacja nie musi być procykliczna .Szoki podażowe nie są jedynymi przyczynami fluktuacjiPodstawowe słabości: brak wyjaśnienia bezrobocia, RCK eliminuje pojęcie luki dochodowej i najważniejsze: model pomija zakłócenia pieniężne

Model cyklu realnego

Documents

Transcript of Model cyklu realnego