1

2

Moc� chwilow� nazywamy iloczyn warto�ci chwilowych napi�cia i pr�du, czyli p=ui W odró�nieniu od obwodów pr�du stałego, w których energia pobierana ze �ródła jest stała, w obwodach pr�du zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w kolejnych przedziałach czasu ró�na. W zwi�zku z tym, �e napi�cie i pr�d sinusoidalny zmieniaj� w zale�no�ci od czasu swoj� warto�� bezwzgl�dn� i znak, zatem moc chwilowa równie� zmienia si� w funkcji czasu.

Moc chwilowa , jako jedyna z mocy jest funkcj� czasu i definiuje si� j� w postaci iloczynu warto�ci chwilowych pr�du oraz napi�cia w obwodzie

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem, w którym wyst�puje składowa stała i składowa sinusoidalnie zmienna, której cz�stotliwo�� jest dwukrotnie wi�ksza od cz�stotliwo�ci napi�cia i pr�du.

3

Na rysunku obok faza pocz�tkowa napi�cia jest równa zero, a pr�d opó�nia si� wzgl�dem napi�cia o k�t fazowy � (obwód o charakterze indukcyjnym).

Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu, w których warto�� chwilowa napi�cia i pr�du maj� te same znaki.

Je�li p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze �ródła do odbiornika; jesli p<0 to moc chwilowa jest ujemna, zatem energia elektryczna jest zwracana przez odbiornik do �ródła.

Nale�y pami�ta�, �e jedynie elementy rezystancyjne oraz odbiorniki, które s� zdolne do przekształcenia energii elektrycznej w inny rodzaj energii, pobieraj� energi� i jej nie zwracaj�.

Natomiast cewki i kondensatory maj� zdolno�� do gromadzenia energii odpowiednio w polu magnetycznym i elektrycznym oraz jej oddawania w zale�no�ci od warto�ci napi�cia i pr�du zwi�zanego z tymi elementami.

Energia całkowita dostarczona do odbiornika w ci�gu okresu T odpowiada polu ograniczonemu przebiegiem mocy chwilowej w okresie T z uwzgl�dnieniem znaku; pola nad osi� - energia dodatnia, pola pod osi� - energia ujemna.

4

Moc czynna

W przebiegach sinusoidalnych interesuje nas zazwyczaj energia pobrana przez odbiornik w czasie jednego okresu lub jego wielokrotno�ci.

Je�eli energi� obliczon� dla czasu t=T, tzn. jednego okresu, podzielimy przez czas T, to otrzymamy warto�� �redni� mocy chwilowej za okres.

Podstawiaj�c do powy�szego wzoru funkcj� okre�laj�c� moc chwilow� w obwodzie, po wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si�

Moc� czynn� nazywamy warto�� �redni� mocy chwilowej.

Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wi�c wielko�ci� stał� równ� iloczynowi modułów warto�ci skutecznych napi�cia i pr�du oraz cosinusa k�ta przesuni�cia fazowego mi�dzy wektorem napi�cia i pr�du. Współczynnik odgrywa ogromn� rol� w praktyce i nosi specjaln� nazw� współczynnika mocy.

5

Moc czynna stanowi składow� stał� mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RLC a w granicznym przypadku przy jest równa zeru. Moc czynna osi�ga warto�� najwi�ksz� wtedy, gdy to znaczy gdy odbiornik ma charakter rezystancyjny, Warto�� najmniejsz� moc osi�ga w przypadku granicznym, gdy to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, Oznacza to, �e na elementach reaktancyjnych nie wydziela si� moc czynna.

Z przytoczonych rozwa�a� wynika, moc czynn� wydzielan� w rezystorze mo�na opisa� nast�puj�cymi wzorami

w których pr�d oraz napi�cie odpowiadaj� rezystorowi . Jednostk� mocy czynnej jest wat ( , przy czym . W praktyce stosuje si� równie� wielokrotno�ci wata w postaci kilowata lub megawata oraz warto�ci ułamkowe, np. miliwat lub mikrowat

Do pomiaru mocy czynnej słu�y watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrz�dem pomiarowym posiadaj�cym cewk� pr�dow� (o impedancji wewn�trznej bliskiej zeru) do pomiaru pr�du gał�ziowego obwodu i cewk� napi�ciow� (o impedancji wewn�trznej bliskiej niesko�czono�ci) do pomiaru napi�cia mi�dzy punktami obwodu, dla którego mierzymy moc czynn�.

6

W obwodach elektrycznych pr�du sinusoidalnego definiuje si� trzeci� wielko�� energetyczn� b�d�c� iloczynem napi�cia i pr�du oraz sinusa k�ta przesuni�cia fazowego mi�dzy nimi. Wielko�� ta oznaczana jest liter� i nazywana moc� biern�

Jednostk� mocy biernej jest war (var) b�d�cy skrótem nazwy woltamper reaktywny. W przypadku rezystora, dla którego przesuni�cie fazowe jest równe zeru moc bierna jest zerowa Moc bierna mo�e si� wi�c wydziela� jedynie na elementach reaktancyjnych, gdy� tylko dla nich przesuni�cie fazowe pr�du i napi�cia jest ró�ne od zera. Przesuni�cie fazowe pr�du i napi�cia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje warto�� dla cewki oraz dla kondensatora, co oznacza, �e sinus k�ta jest odpowiednio równy dla cewki (moc bierna cewki jest uwa�ana za dodatni�) oraz dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uwa�ana za ujemn�). St�d przy pomini�ciu znaku wzór na moc biern� elementów reaktancyjnych o reaktancji mo�e by� przedstawiony w trzech równorz�dnych postaciach

W ogólno�ci k�t przesuni�cia fazowego uwa�a si� za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napi�cie wyprzedza pr�d) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemno�ciowym (napi�cie opó�nia si� wzgl�dem pr�du). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie moc� indukcyjn�, kojarzona z liczb� dodatni� a moc bierna obwodów o charakterze pojemno�ciowym jest wi�c w sumie moc� pojemno�ciow� i kojarzon� z liczb� ujemn�.

7

Moc pozorna zespolona

Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do warto�ci skutecznych pr�du i napi�cia, i oznaczana liter� . Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu warto�ci skutecznej zespolonej napi�cia i warto�ci skutecznej sprz��onej pr�du .

Zale�no�� na moc pozorn� zespolon� mo�na przedstawi� równie� w postaci wykładniczej W zale�no�ci tej wyra�a moduł mocy pozornej zespolonej, który mo�e by� wyra�ony w postaci iloczynu modułów warto�ci skutecznych pr�du i napi�cia

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku mo�liwe jest wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie

Warto�� współczynnika mocy wyznaczona z powy�szej zale�no�ci jest identyczna z warto�ci� wynikaj�c� z relacji pr�dowo-napi�ciowych zachodz�cych dla wielko�ci bramowych obwodu.

8

9

10

11

12

Energia magazynowana w idealnej cewce

Rozpatrzmy cewk� o indukcyjno�ci zasilon� z generatora napi�ciowego . Obliczymy energi� dostarczon� do tej cewki w czasie od do . Energia ta, podobnie jak w przypadku kondensatora, mo�e by� obliczona jako całka z mocy chwilowej

Uwzgl�dniaj�c wzór na moc chwilow� i dokonuj�c odpowiednich operacji całkowania otrzymujemy

Załó�my, �e czas t0 jest tak� chwil�, w której pr�d cewki jest zerowy. W takim razie wzór na energi� upraszcza si� do postaci

Zasadnicz� cech� cewki idealnej jest jej bezstratno��, co oznacza, �e energia dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa pr�d stały I posiada energi� równ�

W odró�nieniu od kondensatora, w którym energia zwi�zana była z napi�ciem mi�dzy okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzale�niona od pr�du (strumienia magnetycznego). St�d przyjmuje si�, �e kondensator magazynuje energi� w polu elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.

13

Moc magazynowana w cewce rzeczywistej Obliczenia mocy dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmijmy, �e pr�d płyn�cy w dwójniku ma faz� pocz�tkow� równ� zero, czyli

i=Imsint a wobec tego napi�cie na zaciskach dwójnika:

u=Umsin(t+�) napi�cie wyprzedza pr�d o k�t fazowy:

�=arctg(L/R)

W wyniku podstawienia warto�ci chwilowych napi�cia i pr�du otrzymamy moc chwilow�:

p=UI[cos�-cos(2t+�)]

W ci�gu jednego okresu pr�du moc chwilowa czterokrotnie zmienia znak. Energia dodatnia jest wi�ksza od energii ujemnej. O� oscylacji mocy chwilowej jest przesuni�ta wzgl�dem osi czasu o warto�� stał� równ� UIcos�, a amplituda mocy chwilowej wynosi UI.

Moc czynna b�d�ca warto�ci� �redni� mocy chwilowej wynosi P=UIcos�. Z trójk�ta napi�� wynika, �e Ucos�=UR=RI a zatem P=RI2. Moc czynna jest pobierana jedynie przez elementy rezystancyjne.

Moc bierna wynosi Q=UIsin�, z trójk�ta napi�� wynika, �e Usin�=UL=XLI czyli Q=UL=XLI2 moc bierna jest zwi�zana jedynie z elementem indukcyjnym. Moc pozorna wynosi S=UI czyli S=UI2

14

Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy

Współczynnik mocy (cos�) odgrywa du�� rol� w zakresie efektywno�ci wykorzystania urz�dze� elektrycznych. Odbiorniki energii elektrycznej np. silniki elektryczne, urz�dzenia grzejne, o�wietleniowe s� dobierane pod k�tem warto�ci mocy czynnej, której odpowiada energia u�yteczna pobrana przez urz�dzenia i przekształcona w energi� mechaniczn�, ciepln�.

Warto�� pr�du w odbiorniku, a zatem te� w przewodach i urz�dzeniach rozdzielczych ł�cz�cych odbiornik ze �ródłem energii elektrycznej zale�y w tym przypadku od warto�ci współczynnika mocy (cos�). Je�eli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie okre�lonej mocy P przy danym napi�ciu wymaga przepływu pr�du o wi�kszej warto�ci ni� w przypadku du�ej warto�ci współczynnika cos�.

Strata mocy w linii jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy.

Powszechnie d��y si� do tego, aby współczynnik mocy odbiorników energii elektrycznej był bliski jedno�ci. Jedn� z metod jest kompensacja mocy biernej za pomoc� kondensatorów. Załó�my, �e silnik elektryczny o mocy P i współczynniku mocy cos� jest zasilany ze �ródła o napi�ciu U. Schemat zast�pczy silnika to dwójnik równoległy RL.

Poszczególne składowe pr�du to:

IR=IScos�1 IL=ISsin�1 Pr�d płyn�cy przez bateri� kondensatorów wynosi Ic.

Mo�na wi�c dobra� tak warto�� pojemno�ci C, aby pr�d IC=IL uzyskamy wtedy kompensacj� idealn�, czyli moce bierne si� znosz� i mamy współczynnik cos� równy jedno�ci.

Mo�na równie� tak dobra� warto�� pojemno�ci C, aby współczynnik mocy cos�2 układu miał now� warto�� - wi�ksz� od warto�ci współczynnika mocy cos�1 silnika.

15

Zadania sprawdzaj�ce

Zadanie 3.1

Sporz�dzi� bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rysunku. Przyj�� nast�puj�ce warto�ci elementów:

.

Rozwi�zanie

Warto�ci symboliczne elementów obwodu:

Impedancje obwodu:

Pr�dy i napi�cia w obwodzie:

Moc wydawana prze �ródło

Moce elementów

Moc całkowita odbiornika

Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy �ródła.