Opracowanie wyników pomiarów: Metody oszacowania niepewności pomiaru

Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie, w możliwie najbardziej skróconej formie, algo-rytmów oszacowania niepewności pomiaru, zarówno w przypadku pomiaru bezpośredniego pojedyn-czej wielkości, jak i w przypadku pomiaru pośredniego, kiedy otrzymanie wartości pomiarowej dla wielkości mierzonej wymaga wykonania pomiarów pośrednich dla kilku innych wielkości, a następnie zastosowania odpowiedniej formuły obliczeniowej wynikającej z modelu przyjętego dla badanego zjawiska. Przedstawione zostały procedury dotyczące najbardziej typowych sytuacji pomiarowych, a ponadto pominięto przypadki charakteryzujące się dużą złożonością obliczeń. Jest to materiał prze-znaczony do wykorzystania w laboratoriach studenckich, gdzie należy zastosować zalecane reguły, tak prezentacji wyników pomiarów wyrażanych w odpowiednich jednostkach układu SI (wraz z jednost-kami uzupełniającymi układ), jak i podania informacji o wiarygodności wyniku zawartej w oszacowa-niu niepewności pomiaru. Opracowanie zawiera dodatkowe informacje mające na celu ułatwienie ob-liczeń związanych z otrzymaniem wyniku pomiaru oraz oszacowaniem niepewności. Przedstawione algorytmy oszacowania niepewności standardowych oraz niepewności rozszerzonych dla zadanego poziomu ufności są oparte na zaleceniach ogłoszonych przez Międzynarodową Organi-zację Normalizacyjną ISO w przewodniku Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM 1995 - polskie tłumaczenie przewodnika wydane przez Główny Urząd Miar w 1999r.), po-twierdzonych następnie, w zweryfikowanej postaci, w dokumencie Evaluation of measurement data – Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM 1995 with minor corrections: JCGM 100:2008) wydanym przez Joint Committee for Guides in Metrology skupiającym najważniejsze or-ganizacje metrologiczne z różnych dziedzin.

Opracowanie:

Marek Gajdek Katedra Fizyki Politechnika Świętokrzyska Kielce, 2012

Spis treści:

A. Metoda typu A oszacowania niepewności standardowej pomiaru ..................................................................... 3

A.1 Wielokrotne obserwacje tej samej wielkości mierzonej ....................................................................................... 3

A.2 Regresja liniowa � = � ⋅ � (wymuszona wartość � = 0) ................................................................................... 3

A.3 Regresja liniowa � = � ⋅ � + � ............................................................................................................................ 3

A.4 Współczynniki rozszerzenia dla różnych ilości � stopni swobody oraz poziomu ufności � = 95,45% ......... 3

B. Metoda typu B oszacowania niepewności standardowej pomiaru ..................................................................... 4

B.1 Wyniki obserwacji tej samej wielkości mieszczą się w znanych granicach określonych przez �mini�max .......... 4 B.2 Ustalony wynik x pomiaru oraz uznana wartość niepewności maksymalnej Δ� pomiaru .................................... 4

B.3 Wynikiem pomiaru jest wartość z tablic, albo wynik innego dostatecznie wiarygodnego pomiaru. .................... 4

B.4 Ustalony wynik pomiaru oraz równoczesne i niezależne niepewności eksperymentatora oraz przyrządu .......... 4

B.5 Niepewność rozszerzona dla niepewności standardowej typu B .......................................................................... 4

C. Złożona niepewność standardowa pomiaru ........................................................................................................... 5

C.1 Oszacowanie złożonej niepewności standardowej �c(�) dla wielkości, które nie są skorelowane .................... 5

C.2 Niepewności typu A oraz B przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości .................................................... 5

C.3 Niepewność rozszerzona dla złożonej niepewności standardowej: �(�) = ⋅ �c(�) ........................................ 5

C.4 Średnia ważona – pomiary xi tej samej wielkości z różniącymi się niepewnościami standardowymi u(xi) .......... 5

D. Dodatkowe dane dla części A,B i C oraz informacje uzupełniające ..................................................................... 6

D.1 Tablica wartości współczynnika rozszerzenia (�) (oraz uwagi dotyczące rozkładu prawdopodobieństw) ..... 6

D.2 Dodatkowe dane o sposobie obliczania złożonej niepewności standardowej ....................................................... 6

D.3 Sposób zapisu wyniku pomiaru wraz z niepewnością .......................................................................................... 6

E. Przykłady zastosowania reguł A,B i C .................................................................................................................... 7

E.1 Obliczenie niepewności typu A dla serii niezależnych pomiarów tej samej wielkości ......................................... 7

E.2 Obliczanie niepewności typu A dla parametrów określających zależność liniową mierzonych wielkości ........... 7

E.3 Niepewność typu B dla pojedynczego pomiaru wykonanego miernikiem elektrycznym ..................................... 8

E.4 Oszacowanie niepewności metodą typu B (pomiar różnicy ciśnień manometrem cieczowym) .......................... 8

E.5 Obliczanie złożonej niepewności standardowej na przykładzie wyznaczania wykładnika adiabaty .................... 9

E.6 Złożenie niepewności typu A oraz typu B dla tej samej wielkości mierzonej ...................................................... 9

E.7 Przykład obliczenia złożonej niepewności standardowej dla jednokrotnych pomiarów elektrycznych ............. 10

E.8 Średnia ważona pomiarów tej samej wielkości przy różnych niepewnościach standardowych ......................... 10

F. Wykorzystanie kalkulatora lub programów komputerowych do obliczeń typu A ........................................... 11

F.1 Wykorzystanie kalkulatora do obliczeń parametrów regresji liniowej ............................................................... 11

F.2 Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego do obliczeń parametrów regresji liniowej ............................................ 11

F.3 Wykorzystanie innych programów komputerowych........................................................................................... 11

Literatura, materiały źródłowe ...................................................................................................................................... 12

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 3

A. Metoda typu A oszacowania niepewności standardowej pomiaru W metodzie typu A niepewność pomiaru wyznaczana jest w oparciu o analizę statystyczną serii powtarzalnych obser-wacji, o ile rozrzut wartości pomiarowych jest większy od rozdzielczości samego procesu pomiaru. Zakłada się przy tym, że wyniki obserwacji reprezentują wartości zmiennej losowej. Poniżej przykłady zastosowania metody typu A.

Uproszczone symbole dla różnych operacji sumowania, wykorzystywane w dalszych formułach

Σ�� = ∑ �!�"!#$ Σ� = ∑ �!"!#$ Σ�� = ∑ �!�"!#$ Σ� = ∑ �!"!#$ Σ�� = ∑ �!"!#$ ⋅ �!

A.1 Wielokrotne obserwacje tej samej wielkości mierzonej

Dysponując serią n pomiarów %�!&, wynik � pomiaru (estymatę wartości wyjściowej) obliczamy jako wartość średnią wyników obserwacji ', natomiast niepewność standardową określamy jako równą estymatcie () odchylenia standar-dowego średniej - liczba stopni swobody * = + − - . (Przykład E.1)

Wynik pomiaru - wartość średnia

Estymata odchylenia standardo-wego pojedynczego pomiaru

Niepewność standardowa Niepewność rozszerzona

� = � = Σ�. ()/ = 0. ⋅ Σ�� − (Σ�)�. ⋅ (. − 1) �(�) = () = ()/√. �(�) = ⋅ �(�)

A.2 Regresja liniowa 3 = 4 ⋅ ' (wymuszona wartość 5 = 6)

Dla serii n pomiarów %�!; �!& obliczamy metodą najmniejszych kwadratów parametr a dopasowania prostej 3 = 4 ⋅ ' (wymuszony parametr 5 = 6 prostej), współczynnik korelacji 8 oraz niepewność standardową jako równą estymacie (9 odchylenia standardowego - liczba stopni swobody * = + − - . (Przykład E.2)

Współczynnik kie-runkowy

Współczynik korelacji Niepewność standardowa Niepewność rozszerzona

� = Σ��Σ�� : = Σ��√Σ�� ⋅ ;Σ�� �(�) = (9 = �: ⋅ 01 − :�

. − 2 �(�) = ⋅ �(�)

A.3 Regresja liniowa 3 = 4 ⋅ ' + 5

Dla serii n pomiarów %�!; �!& obliczamy metodą najmniejszych kwadratów parametry a, b dopasowania prostej 3 = 4 ⋅ ' + 5, współczynnik korelacji 8 zmiennych x, y oraz niepewności standardowe jako równe estymatom (9 , (= odchyleń standardowych - liczba stopni swobody * = + − > .

Współczynniki dopasowania prostej Współczynnik korelacji zmiennych x, y

� = . ⋅ Σ�� − Σ� ⋅ Σ�. ⋅ Σ�� − (Σ�)� � = Σ� − � ⋅ Σ�. ?= ≅ −?9Σ�. : = . ⋅ Σ�� − Σ� ⋅ Σ�;. ⋅ Σ�� − (Σ�)� ⋅ ;. ⋅ Σ�� − (Σ�)�

Niepewności standardowe Współczynnik korelacji parametrów a i b

�(�) = (9 = �: ⋅ 01 − :�

. − 2 �(�) = (= = (9 ⋅ 0Σ��. :(�, �) ≅ 1�(�) ⋅ A?=?9 ⋅ �(�)B = − Σ�√. ⋅ Σ��

A.4 Współczynniki rozszerzenia CD dla różnych ilości * stopni swobody oraz poziomu ufności D = EF, GF% * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 ∞ CD 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,13 2,05 2,00

Dysponując wynikiem pomiaru ' (estymatą wartości wyjściowej) oraz odpowiadającą jej niepewnością standardową �(�) możemy za pomocą niepewności rozszerzonej I(') = CD ⋅ J(') oszacować przedział wartości, które z zadanym

prawdopodobieństwem (poziom ufności �) można przypisać wielkości mierzonej: ' − I(') ≤ L ≤ ' + I('), albo ujmując to inaczej: przedział wartości, w którym z przewidywanym prawdopodobieństwem p znajduje się hipotetyczna (rzeczywista) wartość wielkości mierzonej. Jeżeli można uznać oszacowanie niepewności standardowej J(') za wy-starczająco wiarygodne (rozkład normalny lub duża liczba stopni swobody), to przy obliczaniu niepewności rozszerzo-nej I(') = CD ⋅ J(') w metodzie typu A zalecane jest stosowanie standardowego współczynnika rozszerzenia CD = >,

by tak oszacowana niepewność pomiaru odpowiadała poziomowi ufności � ≅ 95%.

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 4

B. Metoda typu B oszacowania niepewności standardowej pomiaru Metoda typu B wykorzystywana jest we wszystkich innych przypadkach, kiedy nie jest możliwe, albo jest nieuzasad-nione stosowanie analizy statystycznej wyników obserwacji. B.1 Wyniki obserwacji tej samej wielkości mieszczą się w znanych granicach określonych przez 'minminminminiiii'maxmaxmaxmax Jeżeli dla mierzonej wielkości dostępne jest jedynie oszacowanie wartości dolnej �min i górnej �max granicy wyniku obserwacji, to za wynik pomiaru uznajemy wartość odpowiadającą środkowi przedziału zmienności, a ponadto wybie-ramy niepewność maksymalną pomiaru Δe� określającą taki przedział wartości � ± Δe�, że prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru poza przedziałem jest znikomo małe (przedział zawierający ≈100% wyników obserwacji). Obliczenie niepewności standardowej wymaga przyjęcia rozkładu prawdopodobieństwa dla wyników obserwacji w zadanym przedziale wartości, np. rozkładu prostokątnego, trójkątnego lub innego, znanego eksperymentatorowi.

Wynik pomiaru (estymata wartości wyjściowej)

Niepewność maksymalna Niepewność standardowa dla dwóch rozkładów (do-

myślnie przyjmowany jest rozkład prostokątny) dla prostokątnego dla trójkątnego

� = �max + �min2 Δe� = �max − �min2 �(�) = Δe�√3 �(�) = Δe�√6

B.2 Ustalony wynik x pomiaru oraz uznana wartość niepewności maksymalnej ΔΔΔΔ' pomiaru

Przy ustalonej wartości x wyniku pomiaru dostępna jest jedna lub więcej niepewności maksymalnych Δ� wynikających z wiedzy eksperymentatora o sposobie dokonywania obserwacji, dokładności przyrządów lub inne źródła. Oszacowa-nie niepewności standardowej dokonywane jest identycznie, jak w przypadku B.1 z założeniem rozkładu prostokątnego częstości występowania wyników w zadanym przedziale wartości � ± Δ�, a zatem dla każdej z niepewności maksy-

malnych obliczamy niepewność standardową według przepisu: J(') = ΔΔΔΔ' √Q⁄ . (Przykłady E.3,E.4)

ΔΔΔΔeeee'

Niepewność maksymalna według oceny eksperymentatora (jak w B.1 z rozkł. prostokątnym) Może to być np. uwzględnienie czasu reakcji człowieka przy włączaniu stopera, albo odczy-tana z przyrządu pomiarowego taka zmiana wartości mierzonej x (½ przedziału zmian), przy której, w ocenie eksperymentatora, nie zmienia się stan obiektu poddanego obserwacji.

�(�) = Δe�√3

ΔΔΔΔdddd' Niepewność maksymalna wynikająca z dokładności przyrządu pomiarowego Jeżeli nie są dostępne dane producenta o dokładności przyrządu, to jedną z możliwości jest przyjęcie 2÷3 jednostek Δ�odczytu lub 5÷10 jednostek Δ�jednostka używanego przyrządu.

�(�) = Δd�√3

Przyrządy analogowe Przyrządy cyfrowe Δd� = \ ⋅ ] + Δ�odczytu Δd� = \$ ⋅ � + \�⋅Δ�jednostka gdzie ΔΔΔΔ'odczytuodczytuodczytuodczytu oznacza dokładność odczytu odpowiadają-cą wartości np. połowy podziałki skali, Z oznacza zakres pomiarowy przyrządu, natomiast C jest klasą przyrządu z reguły w procentach (np. C = 1,5% = 0,015).

gdzie ΔΔΔΔ'jednostkajednostkajednostkajednostka oznacza wartość jednostki pomiarowej odpowiadającej jedności w ostatniej cyfrze wyświetla-nego wyniku, x jest wartością odczytu, natomiast C1,C2 są stałymi podanymi w specyfikacji przyrządu.

B.3 Wynikiem pomiaru jest wartość z tablic, albo wynik innego dostatecznie wiarygodnego pomiaru.

Przyjmujemy niepewność standardową podaną z wynikiem, albo dokonujemy własnego oszacowania Δe� (B.2).

B.4 Ustalony wynik pomiaru oraz równoczesne i niezależne niepewności eksperymentatora oraz przyrządu

Jeżeli dla tego samego wyniku pomiaru równocześnie występują niezależne od siebie przyczynki do niepewności opisane w B.1-B.2, to niepewność standardową dla wyniku pomiaru obliczamy jako niepewność złożoną według reguły opisanej w części C.1, co prowadzi do formuły obliczeniowej: (Przykład E.4) Formuła może zawierać więcej, niż jedną niepewność Δe�, Δd� (różne przyczyny).

�(�) = 0(Δe�)�3 + (Δd�)�3

B.5 Niepewność rozszerzona dla niepewności standardowej typu B

Najczęściej niepewność standardowa typu B oszacowana jest w oparciu o więcej niż dwa elementy składowe (niepew-ności maksymalne) zgodnie z B.4 – w takim przypadku dla określenia niepewności rozszerzonej �B(�) gwarantującej poziom ufności D ≅ EF% dobrym przybliżeniem jest współczynnik rozszerzenia CD = > odpowiadający rozkładowi

normalnemu, czyli: IBBBB(') = > ⋅ JBBBB(') . Jeżeli jednak niepewność standardowa typu B oszacowana została w oparciu o jeden tylko składnik niepewności maksymalnej Δ� , to zgodnie z założeniem, dysponujemy przedziałem wartości � ± Δ� zawierającym ≈100% wyników obserwacji (formalnie możliwy współczynnik rozszerzenia = 0,95√3 ).

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 5

C. Złożona niepewność standardowa pomiaru Częstą jest sytuacja, kiedy na wartość wyniku końcowego y pomiaru składają się wyniki wielu cząstkowych pomiarów różnych wielkości (czasem tych samych), które wykorzystane są w formule określającej rezultat końcowy: � = _(�$, ��, … �a) gdzie zbiór N wartości�$, ��, … �a reprezentuje wyniki pomiarów oraz inne wielkości niezbędne do wyznaczenia war-tości y wielkości mierzonej. Formuła powyższa odzwierciedlać może nie tylko prawa opisujące zjawisko, w obrębie którego dokonujemy obserwacji wielkości go charakteryzujących, ale również samą procedurę pomiaru. C.1 Oszacowanie złożonej niepewności standardowej Jcccc(3) dla wielkości, które nie są skorelowane

Zakładamy, że z każdą wartością �! , która może mieć wpływ na niepewność standardową �c(�) wyniku pomiaru y, stowarzyszona jest niepewność standardowa �(�!). Jeżeli możemy przyjąć, że mierzone wielkości reprezentowane wartościami �$, ��, … �a są niezależne (nie są skorelo-wane), to do obliczenia niepewności standardowej �c(�) wyniku pomiaru y wykorzystujemy przybliżoną* formułę:

�c(�) = 0b c!� ⋅ ��(�!)a!#$ , gdzie c! = d_d�!.

Współczynniki c! reprezentują wartości pochodnych cząstkowych funkcji _(�$, ��, … �a) traktowanej jako funkcja zależna od zmiennych �$, ��, … �a , natomiast �(�!) są niepewnościami standardowymi poszczególnych wyników po-miarów�! , niezależnie od tego, którą metodą oszacowane: metodą A lub B. (Przykłady E.5 i E.7) Złożoną niepewność standardową można oszacować numerycznie – w tym celu zastąpić należy wartości c!�(�!) war-

tościami ]! = $� %_f�$, … , �! + �(�!), … , �ag − _f�$, … , �! − �(�!), … , �ag& .

(*) Silnie nieliniowa funkcja f oraz przypadek, kiedy nie można zaniedbać korelacji opisane są w dodatku D.2. C.2 Niepewności typu A oraz B przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości

Dysponujemy wieloma wartościami wyniku obserwacji tej samej wielkości, wykazu-jącymi znaczący rozrzut, pozwalającymi na oszacowanie niepewności standardowej typu A. Ponadto, nie jest zaniedbywalna niepewność standardowa oszacowana meto-dą typu B (z wykluczeniem B.1). Wynikiem x pomiaru jest wartość średnia (jak w A.1), natomiast niepewność standardową obliczamy jako niepewność złożoną (E.6):

�c(�) = h�A�(�) + �B�(�) C.3 Niepewność rozszerzona dla złożonej niepewności standardowej: I(3) = CD ⋅ Jcccc(3) Standardowo zalecany współczynnik rozszerzenia CD = > , co jest dobrym przybliżeniem gwarantującym poziom ufno-ści D ≅ EF% przy ilości elementów składowych j ≥ 3 oraz przy założeniu, że złożona niepewność standardowa �c(�) nie jest zdominowana przez składnik typu A otrzymany przy znacząco małej liczbie stopni swobody.

Jeśli nie jest uzasadnione zastosowanie wartości zalecanej współczynnika rozszerzenia, to można się posłużyć warto-ścią współczynnika rozszerzenia (�eff) odczytaną z tablic (A.4 lub D.1) dla efektywnej ilości stopni swobody �eff obliczonej dla niepewności złożonej, z wykorzystaniem wzoru Welch-Satterthwaite’a dla wielkości nieskorelowanych:

1�eff =b mc!� ⋅ ��(�!)�c�(�) n� ⋅ 1�!a!#$ �c�(�) =b c!� ⋅ ��(�!)a

!#$ �eff = �co(�)

∑ c!o ⋅ �o(�!)�!a!#$

(*) Dla niepewności oszacowanych metodą B przyjmujemy, że odpowiednie �! pqr ∞s�� 1 �!⁄ pqr 0, co jest równoważne przyjęciu ≈100% wiarygodności oszacowania niepewności typu B (zgodnie z B.1, B.2).

Dla mniej wiarygodnego oszacowania 1 − ΔtB()/)tB()/) < 100% można w przybliżeniu przyjąć �!B ≅ $� ⋅ vΔtB()/)tB()/) wx�. (**) Otrzymaną ze wzoru wartość �eff zaokrągla się do najbliższej mniejszej liczby całkowitej. C.4 Średnia ważona – pomiary xi tej samej wielkości z różniącymi się niepewnościami standardowymi u(xi)

Wagi przypisane wynikom różnych pomiarów – tym większe, im mniejsza wartość niepewności

Wynik pomiaru obliczony jako średnia ważona (E.8)

Niepewność standardowa*

y! = 1��(�!) � = �w = ∑ y! ⋅ �!{!#$∑ y!{!#$ �(�) = Ab 1��(�!){!#$ Bx$ �⁄

(*) Inny wybór wag wymaga zastosowania ponownie wzoru (C.1) dla obliczenia złożonej niepewności standardowej.

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 6

D. Dodatkowe dane dla części A,B i C oraz informacje uzupełniające

D.1 Tablica wartości współczynnika rozszerzenia CD(*) (oraz uwagi dotyczące rozkładu prawdopodobieństw)

Wartości współczynnika rozszerzenia (�) otrzyma-ne z rozkładu t-Studenta w zależności od liczby stopni

swobody � przy wybranych poziomach ufności �

Oszacowanie współczynnika rozszerzenia oparte jest na założeniu, że w uproszczeniu pewnym rozkład zmien-nej | = (� − }~) ��(�)⁄ jest rozkładem t-Studenta, o gęstości prawdopodobieństwa ( −∞ < | < +∞):

�(|, �) = 1√π�Γ �� + 12 �Γ ��2� m1 + |�� n

x(��$) �⁄

Warunek Pr�−|(�) ≤ | ≤ |(�)� = �, gdzie Pr[ ] oznacza ”prawdopodobieństwo, że”, a |(�) wyzna-

czone jest równaniem � �(|, �) d|���(�)x��(�) = � , oznacza,

że Pr�� − |(�)��(�) ≤ }~ ≤ � + |(�)��(�)� = � , co jest podstawą przyjęcia wartości = |(�) przy obliczaniu niepewności rozszerzonej �(�) = ⋅ �c(�)

Stopnie swobody

Poziom ufności wyrażony w procentach

ν 68,27% 95,45% 99,73%

1 1,84 13,97 235,80 2 1,32 4,53 19,21 3 1,20 3,31 9,22 4 1,14 2,87 6,62 5 1,11 2,65 5,51

6 1,09 2,52 4,90 7 1,08 2,43 4,53 8 1,07 2,37 4,28 W granicznym przypadku � pr∞ rozkład t-Studenta prowa-

dzi do rozkładu normalnego dla wielkości y przy wartości oczekiwanej }~ oraz odchyleniu standardowym � ≅ �c(�), co oznacza, że np. przedział wartości }~ ± ⋅ � zawiera wte-dy � = 95,45% rozkładu dla = 2.

9 1,06 2,32 4,09 10 1,05 2,28 3,96

11 1,05 2,25 3,85 12 1,04 2,23 3,76 13 1,04 2,21 3,69 Jeśli x jest opisane przez prostokątny rozkład prawdopodo-

bieństwa z wartością oczekiwaną }) oraz odchyleniem stan-dardowym � = Δ� √3⁄ , gdzie Δ� jest połową szerokości rozkładu, to poziom ufności wynosi 57,74% dla współczynni-ka = 1, natomiast już 100% przy ≥ √3 = 1,73.

14 1,04 2,20 3,64 15 1,03 2,18 3,59

20 1,03 2,13 3,42 30 1,02 2,09 3,27 40 1,01 2,06 3,20 Rozkład prostokątny prawdopodobieństwa jest ekstremalnym

przykładem rozkładu innego niż normalny, dla którego splot (konwolucja) nawet niewielkiej ilości (trzech) takich rozkła-dów o jednakowej szerokości jest w przybliżeniu rozkładem normalnym. (Dla dwóch byłby to rozkład trójkątny)

50 1,01 2,05 3,16 100 1,001 2,025 3,077

∞ 1,000 2,000 3,000

D.2 Dodatkowe dane o sposobie obliczania złożonej niepewności standardowej

(*) W przypadku silnej nieliniowości funkcji f potrzebne jest uwzględnienie składników wyższego rzędu w rozwinię-ciu w szereg Taylora. We wzorze (C.1) na niepewność złożoną uc(y) wystąpi istotny składnik wyższego rzędu:

�c(�) = 0b Ad_d�!B� ⋅ ��(�!)a

!#$ +b b �12m d�_d�!d��n� + d_d�! d�_d�!d���� ��(�!)������

a�#$

a!#$

(**) Przypadek, kiedy niektóre z wielkości reprezentowanych przez wyniki �$, ��, … �a są skorelowane wymaga wyko-rzystania kowariancji, co prowadzi do następującej formuły obliczeniowej dla złożonej niepewności standardowej:

�c(�) = 0b b d_d�! d_d�� ���! , ���a�#$

a!#$ = 0b c!���(�!)a

!#$ + 2b b c!c��(�!)�����:(�! , ��)a�#!�$

ax$!#$

gdzie estymaty kowariancji ���! , ��� wyrażono za pomocą estymat współczynników korelacji :(�! , ��) z wyko-

rzystaniem formuły ���! , ��� = :(�! , ��)�(�!)�����. (Możliwe oszacowanie :��! , ��� ≅ �(�!) ⋅ ?� ��(��) ⋅ ?!�⁄ )

D.3 Sposób zapisu wyniku pomiaru wraz z niepewnością

Wynik pomiaru podajemy wraz z niepewnością w tych samych jednostkach. Niepewność pomiaru podajemy z dokład-nością dwóch cyfr znaczących (obliczamy z dokładnością minimum trzech cyfr znaczących, by zaokrąglić do dwóch). Wartość liczbową wyniku pomiaru zaokrąglamy według zwykłych reguł, do takiej ilości cyfr znaczących, by jedność na pozycji ostatniej cyfry znaczącej wyniku i niepewności odpowiadała tej samej wartości w jednostkach wyniku i niepewności. Przy podawaniu niepewności rozszerzonej powinno się również określić przyjęty poziom ufności oraz zastosowany współczynnik rozszerzenia. Przykładowo, dysponując obliczonymi z pomiarów � = 9,874m/s2 oraz �(�) = 0,2076m/s2 ≅ 0,21m/s2, przyjmując D ≅ EF% podajemy wynik: � = (E, �� ± 6, G>)mmmm////ssss2222 dla CD = > .

Współczynniki korelacji powinny być podane z dokładnością trzech cyfr znaczących, jeżeli ich bezwzględne wartości są bliskie jedności.

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 7

E. Przykłady zastosowania reguł A,B i C

E.1 Obliczenie niepewności typu A dla serii niezależnych pomiarów tej samej wielkości

Wielokrotnie zmierzono czas ruchu przyspieszonego ciężarków zawieszonych na nici przełożonej przez bloczek, przy tej samej przebywanej drodze � = 50cm. Różnica mas ciężarków zawieszonych po obu stronach bloczka wynosi ok. � ≅ 3,48g. Pomiaru czasu dokonywano za pomocą elektronicznego stopera uruchamianego ręcznie – zarejestrowano . = 10 pomiarów czasu, po odrzuceniu wyników skrajnych, zbyt znacząco odbiegających od pozostałych i ocenionych jako pomyłkowe. Wyniki zarejestrowanych pomiarów są następujące: � 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |! fsg 4,34 4,02 4,22 4,39 4,12 4,18 4,28 4,43 4,32 4,13

Obliczone w oparciu o procedurę A.1 estymaty: wartość średnia oraz odchylenia standardowe:

| = 1. ⋅b |!"!#$ = 4,2430s,(�/ ≅ 0,1314� ≅ 0,13s,(� = (�/√. ≅ 0,04156s ≅ 0,042s.

Jako wynik pomiaru przyjmujemy | = | = 4,243s oraz niepewność standardową �(|) = (� = 0,042s . Niepewność rozszerzoną obliczamy (zgodnie z A.4 i D.1) dla poziomu ufności � ≅ 95% oraz liczby stopni swobody � = . − 1 = 9 otrzymując z tablic współczynnik rozszerzenia = 2,32, a zatem �(|) = ⋅ �(|) = 2,32 ⋅ 0,04156s ≅ 0,096s. Wynik pomiaru czasu wraz z niepewnością rozszerzoną (dla � ≅ 95%i = 2,32): � = G, >GQssss ± 6, 6E ssss.

E.2 Obliczanie niepewności typu A dla parametrów określających zależność liniową mierzonych wielkości

x [mm]

m [g]

W najprostszym modelu liniowym siła obciążająca wywołuje proporcjonalne do niej wydłużenie sprę-żyny ¡obciaz = ⋅ �, gdzie k jest współczynni-kiem sprężystości sprężyny. Dla wzrastających mas zawieszanych na sprężynie otrzymujemy róż-ne wartości siły obciążającej ¡obciaz = � ⋅ � i tym samym różne wydłużenia – wyniki takich pomia-rów zamieszczono w tabeli obok. Zgodnie z przyjętym modelem, zależność pomię-dzy masą i wywołanym przez nią wydłużeniem jest następująca:

� = � ⋅ � liniowazależnośćpqqqqqqqqqqr � = � ⋅ �,

gdzie� ≡ �,� ≡ �,� =�

0 0 57 20

134 40 185 60 258 80 316 100 386 120 451 140 502 160

Już sama prezentacja wyników pomiaru na wykresie pokazuje, że wynikająca z modelu fizycznego zależność liniowa potwierdza się w tym doświadczeniu, przy stosowanej precyzji pomiarów. Obliczenia przeprowadzone zgodnie z A.2 (z pomocą F.1 lub F.2) pozwalają określić współczynnik korelacji : = 0,99986 ≅ 1,00, oznaczający bardzo dobrą zgodność modelu liniowego z wynikami pomiarów, a ponadto obliczyć możemy wartość współczynnika kierunkowego

oraz odpowiadającą mu niepewność standardową: � = 0,314214kg⋅m-1 , ���� = (9 = 0,0018914kg⋅m-1 przy liczbie stopni swobody � = . − 1 = 8.

Jeśli zadanie polega jedynie na wyznaczeniu współczynnika kierunkowego, to dla znanej liczby stopni swobody oraz przy poziomie ufności � ≅ 95% wyznaczamy z tablic (D.1 lub A.4) wartość współczynnika rozszerzenia, który w tym przypadku wynosi = 2,37, a następnie obliczamy (A.2) niepewność rozszerzoną ���� = ⋅ ���� otrzymując war-

tość ���� = 0,004483kg⋅m-1 ≅ 0,0045kg⋅m-1 , aby w rezultacie podać wynik (wg. D.3):

4 = �6, Q-G> ± 6, 66GF�kg⋅kg⋅kg⋅kg⋅mmmm----1111�dla = 2,37przy� ≅ 95%�

Jeżeli celem dodatkowym doświadczenia jest wyznaczenie współczynnika k sprężystości sprężyny, to przyjmując

wartość przyspieszenia ziemskiego � = 9,811m⋅s-2, obliczamy zgodnie z modelem = � ⋅ � oraz stosujemy regułę

C.1 dla złożonej niepewności standardowej ��� = ;�� ⋅ ����� + �� ⋅ ����� , przyjmując niepewność standardową

���� ≅ �0,005m⋅s-2� √3⁄ . W rezultacie otrzymujemy: = 3,08275N⋅m-1 , ��� = 0,018557N⋅m-1 oraz (przy

= 2,37 dla � ≅ 95% i � = 8) obliczoną niepewność rozszerzoną ��� = 0,04399N⋅m-1 ≅ 0,044N⋅m-1.

Ostatecznie podajemy wyznaczony współczynnik sprężystości sprężyny (zgodnie z D.3): C = �Q, 6�Q ± 6, 6GG�N⋅N⋅N⋅N⋅mmmm----1111�dla = 2,37przy� ≅ 95%�

y = 0,314·x

0

50

100

150

200

0 100 200 300 400 500 600

m[g

]

x [mm]

Masa obciążająca dla różnych wydłużeń sprężyny

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 8

E.3 Niepewność typu B dla pojedynczego pomiaru wykonanego miernikiem elektrycznym

Przyrząd analogowy Przyrząd cyfrowy ] = 200μA ] = 200μA Zakres pracy przyrządu określający wartość mierzonej wielkości w sytuacji, kiedy wskazówka przyrządu zajmuje najwyżej oznaczone (numerowane) miejsce na skali – jest to zarazem maksymalna dozwolona wartość dla wybrane-go trybu pracy. Klasa przyrządu \ = 1,5% = 0,015 ,

Zakres pracy przyrządu określający największą wartość mierzonej wielkości, która może być zarejestrowana i wyświetlona w wybranym trybie pracy urządzenia. Dla danego zakresu parametry szacowania niepewności maksymalnej pomiaru: \$ = 0,01, \� = 3 , Δ�¬­�®~�t = $� ⋅ 4μA = 2μA Δ��¯­"¬°�±9 = 1μA

dokładność odczytu odpowiadająca wartości np. połowy podziałki skali, czyli połowie zmiany wartości przy prze-mieszczeniu wskazówki przyrządu o jedną podziałkę.

jednostka pomiarowa oznaczająca wartość odczytu odpowiadającą jedności na pozycji ostatniej cyfry wy-świetlanego wyniku (w tych samych jednostkach). ² = --GμμμμAAAA Wartość odczytana – wskazana na skali ² = --QμμμμAAAA Wartość odczytana na wyświetlaczu

Zgodnie z procedurą opisaną w B.2 obliczamy niepewności maksymalne, a następnie niepewności standardowe: Δ­³ = 0,015 ⋅ 200μA + 2μA = 5μA, J(²) = ΔΔΔΔ´² √Q = (FμμμμAAAA) √Q⁄ ≅⁄ 2222,,,,9999μμμμAAAA Δ­³ = 0,01 ⋅ 113μA + 3 ⋅ 1μA ≅ 4,1μA, J(²) = ΔΔΔΔ´² √Q =⁄ (4444,,,,1111μμμμAAAA) √Q⁄ ≅ 2222,,,,4444μμμμAAAA

E.4 Oszacowanie niepewności metodą typu B (pomiar różnicy ciśnień manometrem cieczowym)

Różnicę ciśnień Δ� = � − �9 = µ ⋅ � ⋅ ℎ możemy obliczyć po wyznaczeniu wysokości ℎ słupa cieczy, którą z kolei wyznaczyć możemy jako różnicę ℎ = ℎ· − ℎ·· dokonując w tym celu pomiaru położeń ℎ·, ℎ′′ słupa cieczy w obu gałę-ziach manometru. (µ oznacza gęstość cieczy w rurce manometru, natomiast � jest przyspieszeniem ziemskim)

Przyjmijmy, że pomiar górnego położenia słupa cieczy ℎ· = ℎ′¬­�® + ℎ′¹¯" jest sumą dwóch elementów: odczytu bezpośredniego ℎ′¬­�® na skali manometru o podziałce 1 mm oraz wielkości odzwierciedlającej dowolność ℎ′¹¯" wyboru miej-sca odczytu na skali, który to składnik zależny jest od wysokości menisku cieczy wynoszącej ok. 3 mm. Przeciętną, oczekiwaną wartość tego drugiego czynnika w procesie pomiaru oceniamy na równą zeru (ℎ′¹¯" = 0) , jednakże nadal pozostaje niezerowa niepewność, jaką wnosi ten czynnik do wyniku naszego pomiaru. Oce-niamy niepewność maksymalną dla tego czynnika, jako równą np. połowie wyso-kości menisku, czyli Δℎ·¹¯" = Δ¯ℎ = 1,5mm Niepewność maksymalną związaną z dokładnością odczytu wartości ℎ′¬­�® oce-niamy, jako równą połowie najmniejszej działki skali Δℎ·¬­�® = Δ­ℎ = 0,5mm

Zgodnie z B.2 dla każdego ze składników obli-czamy niepewności standardowe:

Zgodnie z B.4, albo ściślej w/g C.1, niepewność standardowa pomiaru górnego położenia ℎ′ słupa cieczy wynosi:

�(ℎ·¬­�®) = Δºℎ√� ; �(ℎ·¹¯") = Δ»¼√� �(ℎ·) = ;��(ℎ·¬­�®) + ��(ℎ·¹¯") = h(Δºℎ)23 + (Δ½ℎ)23

Analogiczne rozważania prowadzą do obliczenia niepewności standardowej dla pomiaru położenia dolnego słupa cieczy ℎ·· = ℎ′′¬­�® + ℎ′′¹¯" �(ℎ··) = h(Δºℎ)23 + (Δ½ℎ)23

Niezbędną do obliczenia różnicy ciśnień Δ� wysokość ℎ słupa cieczy, po przyjęciu wartości ℎ′¹¯" = 0�ℎ′′¹¯" = 0, obliczamy na podstawie pomiarów jako ℎ = ℎ· − ℎ·· = ℎ′¬­�® − ℎ′′¬­�® , natomiast niepewność standardową �(ℎ) dla wyniku pomiaru obliczamy zgodnie z procedurą C.1, a zatem:

¾¼¾¼· = 1, ¾¼¾¼·· = −1 �(ℎ) = h�¾¼¾¼·�� ��(ℎ′) + � ¾¼¾¼··�� ��(ℎ′′) = h2 (Δºℎ)23 + 2 (Δ½ℎ)23

Przyjmujemy, że wartości gęstości cieczy w manometrze oraz przyspieszenia ziemskiego znamy dokładnie, czyli zakła-damy, że nie wnoszą udziału do obliczanej zgodnie z C.1 niepewności standardowej dla wyznaczonej różnicy ciśnień: �(Δ�) = µ ⋅ � ⋅ �(ℎ) natomiast niepewność rozszerzoną dla � ≅ 95% obliczamy zgodnie z B.5 przyjmując = 2, czyli �(Δ�) = 2�(Δ�). Dla przykładowych wyników pomiarów pośrednich ℎ· = ℎ′¬­�® = 32,4cm,ℎ′· = ℎ′′¬­�® = 7,5cm, przy znanych

wartościach µ = 0,998 ⋅ 10�kg/m3, � = 9,811m/s2, możemy wykonać niezbędne obliczenia oraz przedstawić wynik końcowy pomiaru różnicy ciśnień Δ�z uwzględnieniem wyznaczonej niepewności pomiaru (wg. D.3):

ℎ = 249,00mm, ��ℎ� = 1,291mm ≅ 1,3mm, Wynik końcowy z niepewnością przy � ≅ 95%

Δ� = 2438,05Pa, ��Δ�� = 12,73Pa ≅ 13Pa ΔΔΔΔD = �>GQ� ± > �PaPaPaPa

dla � ≅ 95% CD = > , ��Δ�� = 25,46Pa ≅ 26Pa

h

p

pa

h´

h´́

0

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 9

E.5 Obliczanie złożonej niepewności standardowej na przykładzie wyznaczania wykładnika adiabaty

Wartość wykładnika adiabaty dla powietrza wyznaczamy doświadczalnie metodą Clementa Desormes’a w oparciu o pomiary pośrednie oraz będący dobrym przybliżeniem wzór: ¿ = ℎ$ − ℎÀℎ$ − ℎ� Wielkość ℎÀjest różnicą poziomów cieczy w rurkach w chwili zamknięcia zaworu, gdy ciśnienie gazu w zbiorniku podczas rozprężania (w przybliżeniu adiabatycznego) wyrównuje się z ciśnieniem otoczenia. Z założenia przyjmujemy w obliczeniach wartość ℎÀ = 0, jednakże ze względu na wymagany jak najkrótszy czas otwarcia zaworu wielkość ta obarczona jest znaczącą niepewnością, której nie można zaniedbać przy oszacowaniu niepewności standardowej wy-znaczanej wartości wykładnika adiabaty. Wartości manometryczne ℎ$, ℎ�odpowiadają zmianie ciśnienia gazu przy rozprężaniu adiabatycznym i ogrzewaniu izochorycznym. Dysponujemy wynikami pomiarów pośrednich oraz oszacowanymi metodą typu B niepewnościami standardowymi dla tych pomiarów ( przykład E.4 – do oszacowania �(ℎÀ) przyjęto Δ¯ℎÀ = 4,0mm ): ℎÀ = 0,�(ℎÀ) = 3,291mm ℎ$ = 237,0mm ℎ� = 67,0mm �(ℎ$) = �(ℎ�) = �(ℎ) = 1,291mm

Zgodnie z procedurą C.1 obliczamy odpowiednie pochodne cząstkowe dla każdej ze zmiennych, otrzymując:

¾Á¾¼Â = − $¼Ãx¼Ä ;

¾Á¾¼Ã = − ¼Ä(¼Ãx¼Ä)Ä ; ¾Á¾¼Ä = ¼Ã(¼Ãx¼Ä)Ä , gdzie dla uproszczenia wykorzystano już ℎÀ = 0, a na-

stępnie wykorzystujemy formułę C.1 do obliczenia złożonej niepewności standardowej dla wynikowej wartości ¿: �(¿) = 0A d¿dℎÀB

� ��(ℎÀ) + A d¿dℎ$B� ��(ℎ$) + A d¿dℎ�B

� ��(ℎ�) = ¿ℎ$ ⋅ 0��(ℎÀ) + ¿� ⋅ m1 + ℎ��

ℎ$�n ⋅ ��(ℎ) gdzie widać, że wstępne przekształcenia wyrażeń algebraicznych mogą znakomicie ułatwić późniejsze obliczenia. W oparciu o posiadane wartości liczbowe pomiarów pośrednich i trzech niepewności standardowych oszacowanych metodą typu B oraz wyprowadzony wzór dla złożonej niepewności standardowej wykonujemy obliczenia, przyjmując zgodnie z C.3 współczynnik rozszerzenia CD = > dla poziomu ufności � ≅ 95% oraz zgodnie z D.3 podajemy wynik:

¿ = 1,3941 �(¿) = 0,0223 ≅ 0,022 �(¿) = 0,0445 ≅ 0,045 Å = -, QEG ± 6, 6GF

(*) Do obliczeń wykorzystujemy więcej niż dwie cyfry znaczące niepewności standardowej (wskazówka D.3), aby uniknąć niedoszacowania niepewności rozszerzonej przy mnożeniu przez współczynnik rozszerzenia.

Przy wyznaczaniu tą metodą wykładnika adiabaty nie jesteśmy w stanie oszacować np. efektu systematycznego wyni-kającego stąd, że proces rozprężania gazu, w warunkach doświadczenia, nie jest ściśle adiabatyczny, co prowadzi do zaniżenia oczekiwanej zmiany ciśnienia w procesie izochorycznym. Efektu tego nie uwzględnia wzór zastosowany do obliczenia wykładnika adiabaty, dając w rezultacie wartość niedoszacowaną. Nie jest to jedyny efekt systematyczny mający wpływ na wynik pomiaru (obecność pary wodnej w powietrzu, zmiana objętości związana ze zmianą poziomu cieczy w manometrze), ale są one znacznie mniej istotne w porównaniu do wspomnianego wcześniej. Należy również pamiętać, że sam wzór będący podstawą do obliczenia wykładnika adiabaty, jest wyprowadzony w oparciu o równanie stanu gazu doskonałego, a nie rzeczywistego. E.6 Złożenie niepewności typu A oraz typu B dla tej samej wielkości mierzonej

Jest ważne, by nie doprowadzać do podwójnego uwzględniania w obliczeniach tych samych składników niepewności. Jeżeli składnik niepewności wynikający z określonego efektu otrzymano z oszacowania typu B, to powinien on być włączony jako niezależny składnik niepewności przy obliczaniu złożonej niepewności standardowej, ale tylko w takim przypadku, kiedy efekt ten nie wnosi wkładu do obserwowanej zmienności obserwacji (dotyczy C.2). Powodem ogra-niczenia jest to, że niepewność związana z tą częścią efektów, które wnoszą wkład do rejestrowanej zmienności, jest już zawarta w składniku niepewności otrzymanym z analizy statystycznej wyników obserwacji (metodą typu A). Jako przykład rozważmy rezultaty oszacowań dla pomiaru czasu spadania kulki metalowej z wysokości ℎ = 50cm . Włączenie i wyłączenie liczenia czasu przez miernik cyfrowy odbywa się poprzez mechaniczne wyzwalanie przełącz-ników elektrycznych przez spadającą z zadanej wysokości kulkę metalową. Wielokrotnie powtarzany pomiar czasu spadania kulki z tej samej wysokości daje wyniki charakteryzujace się znaczącym rozrzutem. W doświadczeniu wyzna-

czono (zgodnie z A.1) wartość średnią serii niezależnych odczytów � = Q-�, Qmsmsmsms oraz niepewność standardową dla

wartości średniej �Æ�|� = 1,2ms. Zakładamy, że niepewność standardowa �Æ�|� związana jest jedynie z przyczynami

niezależnymi od miernika, a powodującymi rozrzut w wynikach niezależnych pomiarów czasu spadania kulki. Zasadne wydaje się zatem przyjęcie, że wartość średnia z wielu odczytów jest nadal obciążona niepewnością typu B wynikającą z dokładności wskazań przyrządu określonej przez producenta. Dla danego miernika stałe \$ = 3 ⋅ 10x�, \� = 5 oraz najmniejsza odczytywana wartość Δ�jednostka = 0,1ms, co (zgodnie z B.2) pozwala na oszacowanie niepewności stan-

dardowej dla wartości | traktowanej jako odczyt: �Ç�|� = (3 ⋅ 10x� ⋅ 317,3ms + 5 ⋅ 0,1ms) √3⁄ = 0,84ms. Zgod-

nie z C.2 niepewność standardowa pomiaru czasu spadania | = |: J(�) = ;(-, >msmsmsms)> + (6, �Gmsmsmsms)> ≅ -, Fmsmsmsms

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 10

E.7 Przykład obliczenia złożonej niepewności standardowej dla jednokrotnych pomiarów elektrycznych

Przykład uproszczonej procedury wyznaczania wartości rezystancji poprzez pojedynczy pomiar natężenia prądu stałego oraz napięcia w takim układzie elektrycznym, kiedy mierzone napięcie jest sumą spadków napięć na mierzonym opor-niku i na oporze wewnętrznym amperomierza przez który przepływa ten sam prąd, co przez badany opornik (wiemy, że wartość mierzonej rezystancji jest dużo większa od oporu wewnętrznego amperomierza È ≫ :A). Wynik pomiaru oraz niepewności standardowe oszacowane metodą typu B (wg. B.2, analogicznie jak w przykładzie E.3) są następujące: Ê = 2,8V, �(Ê) = (0,2V) √3 ≅ 0,116V⁄ , ³ = 1,35mA , �(³) = (0,055mA) √3 ≅ 0,0318mA⁄ , natomiast rezy-stancja wewnętrzna amperomierza :A = 70Ω znana jest z dokładnością 5%, co pozwala na oszacowanie (wg. B.2)

niepewności standardowej �(:A) = (0,05 ⋅ 70Ω) √3 ≅⁄ 2,02Ω . (Mierniki analogowe o klasie \ = 1% = 0,01) W zerowym przybliżeniu korzystamy z założenia, że wartość rezystancji możemy wyznaczyć stosując wprost prawo Ohma dla mierzonych wartości:

ÈÀ = ʳ ,natomiastpouwzględnieniurezystancjiamperomierzaÈ = ÈÀ − :A = ʳ − :A

Niepewności oszacowane metodą typu B towarzyszące mierzonym wartościom napięcia i natężenia prądu odzwiercie-dlają jedynie łączną precyzję odczytu i wskazań przyrządów, toteż nie możemy uznać, że wiążą się ze współzależnymi zmianami natężenia i napięcia, a zatem powinniśmy przyjać, że niepewności te nie dotyczą istotnie skorelowanych wielkości decydujących o mierzonych wartościach, mimo zależności Ê = ÈÀ ⋅ ³ . Stosujemy proponowaną w C.1 pro-cedurę wyznaczenia złożonej niepewności standardowej dla obliczonej wartości È:

��È� = 0AdÈdÊB� ⋅ ���Ê� + AdÈd³ B

� ⋅ ���³� + AdÈd:AB� ⋅ ���:A�,

aby po obliczeniu odpowiednich pochodnych cząstkowych i kilku przekształceniach algebraicznych otrzymać:

dÈdÊ = 1³ ,dÈd³ = − ʳ� , dÈd:A = −1,��È� = ÈÀ ⋅ 0A��Ê�Ê B� + A��³�³ B� + A��:A�ÈÀ B�. Obliczone wartości: ÈÀ = 2074,1Ω, a stąd È = ÈÀ − :A = 2004Ω z niepewnością standardową ��È� = 98,9Ω (można zauważyć, że niepewność ��:A� ma znikomy udział w całkowitej niepewności). Wynik pomiaru podajemy (zgodnie z C.3 i D.3) z niepewnością rozszerzoną (dla � ≅ 95% oraz = 2): Î = �>, 66 ± 6, >6�kkkkΩΩΩΩ

Odmiennie przebiegałaby analiza i oszacowanie niepewności dla seriii pomiarów w tym samym układzie doświadcza-lym, kiedy wartości mierzonego napięcia i natężenia pradu wykazywałyby znaczący rozrzut wokół wartości przecięt-nych. Możliwe byłoby wtedy założenie, że zmienność w mierzonych wartościach jest zwiazana z efektami decydują-cymi o zmianie np. wartości rezystancji (efekt termiczny podczas przepływu prądu), albo np. fluktuacjami napięcia zasilającego obwód elektryczny – zmienność jednej z tych wielkości decydowałaby np. o zmienności natężenia prądu, a w konsekwencji o zmianach w rejestrowanym napięciu – koniecznym byłoby przeanalizowanie korelacji pomiędzy mierzonymi wielkościami. Procedura oszacowania niepewności pomiaru wymagałaby oszacowania z eksperymentu współczynników korelacji, aby można było posłużyć się algorytmem proponowanym w D.2**.

E.8 Średnia ważona pomiarów tej samej wielkości przy różnych niepewnościach standardowych

Jako przykład rozważmy wyniki pomiaru stałej siatki dyfrakcyjnej otrzymane w różnych warunkach doświadczenia z wykorzystaniem wiązki laserowej: dwa pomiary wykonane dla do pierwszego i drugiego rzędu widma (przy tej samej odległości siatki i ekranu) oraz jeden pomiar w oparciu o pierwszy tylko rząd widma, ale przy znacznie większej odle-głości siatki od ekranu. Obliczone w oparciu o wyniki pomiarów wartości stałej siatki oraz oszacowane metodą typu B niepewności standardowe wynoszą: º$ = 4,836μm ��º$� = 0,075μm Widoczne jest, że wyniki tych pomiarów mają różną wiarygodność, co

odzwierciedla trzykrotnie mniejsza niepewność standardowa dla pomiaru º� w porównaniu do pomiaru º$. Zasadne jest zatem obliczenie średniej ważonej (zgodnie z C.4) zamiast zwykłej średniej arytmetycznej.

º� = 4,923μm ��º�� = 0,039μm º� = 5,043μm ��º�� = 0,024μm

Obliczenie niepewności standardowej dla średniej ważonej według procedury C.4 wygląda następująco:

��º� = Ab 1���º!��!#$ Bx$ �⁄ = A 1�75nm�� + 1�39nm�� + 1�24nm��B

x$ �⁄ ≅ 19,7nm ≅ 0,020μm, a następnie obliczenie średniej ważonej:

º = ���º� ⋅b 1���º!� ⋅ º!�!#$ = �19,7nm�� ⋅ Ï4,836μm�75nm�� + 4,923μm�39nm�� + 5,043μm�24nm��Ð = 4,998μm.

Wynik pomiaru wraz z niepewnością rozszerzoną (dla � ≅ 95% oraz = 2): ́ = �G, EE� ± 6, 6QE�μμμμmmmm .

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 11

F. Wykorzystanie kalkulatora lub programów komputerowych do obliczeń typu A

F.1 Wykorzystanie kalkulatora do obliczeń parametrów regresji liniowej

Regresja liniowa w postaci 3 = Ñ + Ò ⋅ ' (w kalkulatorach innymi symbolami oznaczone są parametry prostej)

Współczynnik korelacji: : = (. ⋅ Σ�� − Σ� ⋅ Σ�) (.� ⋅ �� ⋅ ��)⁄ Obliczenie niepewności standardowych trzeba wykonać samodzielnie za pomocą reguł:

� = Ó)" �� = $" ⋅ ;. ⋅ Σ�� − (Σ�)� �� = h ""x$ ⋅ �� Ô = : ⋅ Õ~Õ) �(Ô) = (Ç = ÇÖ ⋅ h$xÖÄ"x�

� = Ó~" �� = $" ⋅ ;. ⋅ Σ�� − (Σ�)� �� = h ""x$ ⋅ �� × = Ó~xÇ⋅Ó)" �(×) = (Æ = (Ç ⋅ hÓ)Ä"

Dla regresji liniowej 3 = Ò6 ⋅ ' (dla × = 0) wy-korzystujemy rejestry do samodzielnych obliczeń:

:À = Ó)~√Ó)Ä⋅;Ó~Ä ÔÀ = Ó)~Ó)Ä �(ÔÀ) = (ÇÂ = ÇÂÖÂ ⋅ h$xÖÂÄ"x�

(*) Uproszczone symbole sumowania zdefiniowane zostały w części A (**) Jeżeli kalkulator wyposażony jest jedynie w funkcje obliczania statystyk jednej zmiennej, to po wprowadzeniu

serii %�!& danych dostępne będą tylko niektóre rejestry pamięci kalkulatora: Σ�, Σ��, ., ��, ��, �̅ - niepewność

standardową dla przypadku A.1 obliczyć możemy według wzoru J(') = Ù' √+⁄ . (***) Wi ęcej informacji w instrukcji @msg_CASIO_STAT.pdf, na przykładzie CASIO fx-570ES .

F.2 Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego do obliczeń parametrów regresji liniowej

Przy wyznaczania (w oparciu o wyniki pomiarów) niezbędnych parametrów a i b poszukiwanej zależności liniowej (regresji liniowej) oraz odpowiadających im estymat odchyleń standardowych można posłużyć się funkcją regresji liniowej REGLINP w arkuszu kalkulacyjnym typu MS Excel lub innym. Przykładowo, dla prostej 3 = 4 ⋅ ' z wymu-

szonym punktem (0, 0) jest to funkcja REGLINP(znane_Y;znane_X;0;1), natomiast dla prostej 3 = 4 ⋅ ' + 5 podobna

funkcja REGLINP(znane_Y;znane_X;1;1) – REGLINP jest funkcją tablicową, czyli dającą w odpowiedzi tablicę warto-

ści wynikowych. Odwołanie do wartości parametrów w tablicy wyników funkcji REGLINP można zrealizować za po-

mocą funkcji INDEKS(tablica;nr_wiersza;nr_kolumny). Obliczenie niepewności standardowych: u(a)=Sa , u(b)=Sb .

A B C D Po wprowadzeniu wyników pomiaru %�! , �!& do wybranych kolumn w arkuszu znamy wy-magane w funkcji REGLINP zakresy danych – w przykładzie obok są to: znane_Y=C2:C6;

znane_X=B2:B6 . Dla regresji liniowej 3 = 4 ⋅ ' + 5 przywołanie parametrów wyznaczo-nych za pomocą funkcji REGLINP może wyglądać następująco:

1 X Y 2 x1 y1 3 x2 y2 4 x3 y3 � = =INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);1;1) Tablica wynikowa REGLINP 5 x4 y4 � = =INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);1;2) � � 6 x5 y5 (9 = =INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);2;1) (9 (= 7 (= = =INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);2;2) :� (

Aby wyznaczyć wartość współczynnika korelacji : ∈ f−1;+1g , oprócz obliczenia pierwiastka kwadratowego z :�, trzeba uwzględnić znak współczynnika kierunkowego �: r = =ZNAK.LICZBY(INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);1;1))*PIERWIASTEK(INDEKS(REGLINP(C2:C6;B2:B6;1;1);3;1))

W przykładzie powyższym ograniczono się do przypadku jednowymiarowego, a ponadto pominięto inne statystyki wyznaczane przez funkcję REGLINP. Pominięto również opis przypadku prostszego, a mianowicie regresji 3 = 4 ⋅ ' .

F.3 Wykorzystanie innych programów komputerowych

Przytoczone powyżej dwa przykłady F.1 i F.2 nie wyczerpują wszystkich możliwości, ponieważ analogiczne obliczenia wykonać można np. za pomocą programu MATHCAD, albo arkusza kalkulacyjnego z pakietu OPEN OFFICE.

W odpowiednim trybie pracy kalkulatora (statystyka dwóch zmiennych, regresja liniowa) oraz po wprowadzeniu serii danych %�! , �!& dostępne są wyniki obliczeń zawarte w następujących rejestrach kalkulatora:

1 : Û'> 2 : Û'

3 : Û3> 4 : Û3

5 : Û'3 6 : Û'Q

7 : Û'>3 8 : Û'G

1 : + 2 : 'Ü

3 : Ý' 4 : Ù'

5 : 3Ü 6 : Ý3

7 : Ù3

1 : Ñ 2 : Ò

3 : 8 4 : 'Þ

5 : 3Þ

msg Opracowanie wyników pomiarów – oszacowanie niepewności pomiaru str. 12

Literatura, materiały źródłowe 1. Wyrażanie Niepewności Pomiaru, Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa 1999, (polskie tłumaczenie prze-

wodnika ISO: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), Switzerland 1995)

2. Dokument EA-4/02: Wyrażanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu, Tłumaczenie i wydanie: Główny Urząd Miar, Warszawa 2001, http://bip.gum.gov.pl/pl/bip/px_ea_4_02.pdf

3. H. Szydłowski, Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarowych, Postępy Fizyki tom 51 zeszyt 2 rok 2000, str. 92 H. Szydłowski, Niepewności w pomiarach. Międzynarodowe standardy w praktyce, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.

4. A. Zięba, Natura rachunku niepewności pomiaru a jego nowa kodyfikacja, Postępy Fizyki tom 52 zeszyt 5 rok 2001, str. 238 Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej AGH, skrypt pod redakcją A.Zięby, Część I, Wyd.3, Wydawnictwa AGH, Kraków 2002

5. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty, http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html

6. Evaluation of measurement data – Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement GUM 1995 with minor corrections: JCGM 100:2008 http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html , http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_E.pdf Document produced by Working Group 1 of the Joint Committee for Guides in Metrology (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAC and OIML)

Opracowanie: Marek Gajdek Katedra Fizyki Politechnika Świętokrzyska Kielce, 2012