Metody Monte Carlo w finansach

Piotr BochniaKatarzyna Cybulska

Piotr GońdaMagdalena Hubicz

Karol KlimasPaweł Marcinkowski

Maria PawłowskaPatrycja Pol

Marcin SosnowskiMikołaj Stelmach

Marcin WcisłoPiotr Wiązecki

Natalia Włodarczyk

4 września 2013

Spis treści

I Redukcja wariancji w metodach Monte Carlo 3

1 Przegląd głównych sposobów redukcji wariancji dla metod Monte Carlo 41.1 Antithetic variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Stratified sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Zmienne kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Warunkowe Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Metody redukcji wariancji - Importance Sampling 112.1 Value-at-Risk - wartość zagrożona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Obliczanie VaR-u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Aproksymacja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Delta-Gamma aproksymacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Symulacje Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Importance Sampling - Losowanie istotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Losowanie z nowej miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Algorytm Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Wybór parametru zmiany miary - θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Important Sampling w Monte Carlo jako sposób estymacji kwantyli 163.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Podstawowy pomysł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Kandydat Important Sampling na dystrybuantę . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Analiza asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Asymptotyczna reprezentacja estymatorów Importance sampling dlaValue-at-Risk oraz Conditional Value-at-Risk 204.1 Value-at-Risk, Conditional Value-at-Risk i ich estymatory . . . . . . . . . 204.2 Asymptotyczna reprezentacja estymatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Zastosowanie metod Monte Carlo: wycena opcji amerykańskich 25

5 Symulacyjna wycena opcji amerykańskich - algorytm Longstaffa-Schwartza 265.1 Prosty przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Algorytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1

6 Analiza algorytmu Longstaffa-Schwartza do wyceny opcji amerykań-skich 336.1 Zagadnienie wyceny opcji amerykańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Algorytm Longstaffa-Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Zbieżność algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.5 Tempo zbieżności algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Wycena opcji amerykańskich przy pomocy metod Monte Carlo: przy-bliżanie ceny opcji od góry 377.1 Cena opcji amerykańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Symulacje Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Obliczanie górnego ograniczenia ceny opcji amerykańskich bez symulacjizagnieżdżonych 418.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Przedstawienie problemu wyceny amerykańskiej opcji . . . . . . . . . . . 418.3 Teoretyczne podstawy dla obliczenia upper bound . . . . . . . . . . . . . . 438.4 Własności martyngału z rozkładu Dooba-Meyera . . . . . . . . . . . . . . 43

8.4.1 Czas ciągły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.4.2 Czas dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.5 Algorytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.6 Analiza błędów i złożoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III Zastosowanie metod Monte Carlo: estymacja wrażliwości 48

9 Estymacja współczynników greckich metodami Monte Carlo 499.1 Metoda różnic skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Metoda różnic po trajektoriach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3 Metoda ilorazu wiarygodności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10 Parametry greckie 5410.1 Rozpatrywany przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.1.1 Wycena opcji call z barierą górną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2 Estymacja parametrów greckich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.2.1 Różnice skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.2 Różnice skończone z importance sampling . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.3 Różniczkowanie po trajektoriach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.4 Współczynnik wiarygodności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.3 Wyniki symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.3.1 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.3.2 Wyniki symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2

Część I

Redukcja wariancji w metodachMonte Carlo

3

Rozdział 1

Przegląd głównych sposobówredukcji wariancji dla metodMonte Carlo

Natalia Włodarczyk, Mikołaj Stelmach

Rozdział opracowany na podstawie pracy J. S. Dagpunar Simulation and Mon-te Carlo: With applications in finance and MCMC, John Wiley & Sons, Ltd,pp. 79-105, 2007

Powszechnym problemem przy stosowaniu metod Monte Carlo jest fakt, iż błąd stan-dardowy maleje w tempie 1√

n, gdzie n to wielkość próbki. Przykładowo, jeśliX1, X2, . . . , Xn

to zmienne i.i.d. o wartości oczekiwanej µ i wariancji σ2, to standardowy estymator war-tości oczekiwanej pod postacią X = 1

n

∑ni=1Xi ma odchylenie standardowe równe 1√

nσ.

Czynnika 1√nnie jesteśmy w stanie przeskoczyć. Poniżej zostały przedstawione metody,

które starają się zmniejszyć stałą znajdującą się przy nim.

1.1 Antithetic variatesNajprostsza ze stosowanych przy redukcji wariancji metod to zmienne antytetyczne (an-tithetic variates). Jej istota polega na znalezieniu dwóch estymatorów tego samego para-metru θ o tej samej wariancji σ2, nazwanych powiedzmy θ1 i θ2, o ujemnej korelacji ρ.Wtedy oczywiście θ = θ1+θ2

2 również jest estymatorem szukanego parametru, ponadto:

Var(θ)

=14

(σ2 + σ2 + 2ρσ2

)=

12σ2 (1 + ρ) ,

skąd widać, że v.r.r. = 11+ρ > 11 i nasz cel redukcji wariancji został osiągnięty. Estymator

o ujemnej korelacji do danego powstaje najczęściej na bazie tych samych zmiennych, które1v.r.r to variance reduction ratio, wielkość określająca, ile razy wariancja estymatora została zmniej-

szona przy użyciu metod redukcji wariancji w porównaniu z estymatorem standardowym, zbudowanymna bazie próbki takiej samej wielkości.

4

zostały wykorzystane przy pierwotnym estymatorze. Poniższy przykład wyjaśnia działa-nie metody.

Powiedzmy, że chcemy za pomocą metod Monte Carlo obliczyć całkę θ =∫∞

0 x0.9e−xdx.Szukaną całkę możemy przedstawić jako wartość oczekiwaną zmiennej Y = (− lnR)0.9,gdzie R ∼ U(0; 1). Oto algorytm klasycznego Monte Carlo:

for i = 1, 2, ..., N do

sample Ri ∼ U(0; 1)

Yi = (− lnRi)0,9

θ1 = 1N

∑Ni=1 Yi

Zauważmy, że także 1−R ∼ U(0; 1). To podpowiada nam pomysł na stworzenie zmien-nej przeciwstawnej Z = (− ln (1−R))0.9, ujemnie skorelowanej z Y , i drugą estymację najej podstawie. Stąd, algorytm używający antithetic variates będzie następujący:

for i = 1, 2, ..., N do

sample Ri ∼ U(0; 1)

Yi = (− lnRi)0,9

Zi = (− ln (1−Ri))0,9

θ1 = 1N

∑Ni=1 Yi

θ2 = 1N

∑Ni=1 Zi

θ = θ1+θ22

Uzyskany wskaźnik redukcji wariancji to v.r.r. = 3.373.

1.2 Stratified samplingPrzejdziemy teraz do kolejnej metody, opierającej się na losowaniu próbek z warstw zmien-nej losowej (ang. stratified sampling). Podobnie jak poprzednio, będziemy stosować me-todę Monte Carlo do estymacji θ = E(Y ), gdzie Y jest funkcją zmiennych losowych Wj .Aby skorzystać z metody warstwowej, wprowadzamy dodatkową zmienną losową, zwanądalej warstwową, X, która także jest funkcją zmiennych Wj . Zmienna ta powinna miećnastępujące własności:

• istnieje silna zależność (niekoniecznie liniowa) pomiędzy X i Y ,

5

• gęstość X jest znana i można z niej łatwo wylosować próbkę,

• możemy łatwo wylosować próbkę z rozkładu Y pod warunkiem X = x.

Gdy zmienna warstwowa jest już dobrze dobrana, dzielimy jej wartości na rozłączne war-stwy S(i), i = 1, . . . ,M. Ustalamy liczby ni, będące liczbami par (X,Y ), dla którychX ∈ S(i). Losujemy z poszczególnych warstw określoną liczbę próbek. Można to zrobićw sposób oczywisty: losując Wj , obliczając X i Y , i biorąc tylko te pary, dla którychX ∈ S(i), po czym powtórzyć całość dla każdego i. Jednak widzimy, że ta metoda jestwysoce nieefektywna - po drodze odrzucamy bardzo dużą liczbę par i tracimy mnóstwoczasu na ich policzenie. Dlatego znacznie lepszym sposobem jest wylosowanie ni próbek zgęstości X obciętej do X ∈ S(i) i odpowiednio przeskalowanej, następnie wylosowanie pró-bek z rozkładu warunkowegoWj dla każdego X = x i na koniec obliczenie Y na podstawiezmiennych Wj . Gdy mamy już nasze próbki, możemy wprowadzić oznaczenia:

• θi = E(Y |X ∈ S(i)) - wartość oczekiwana zmiennej Y dla i-tej warstwy,

• σ2i = Var(Y |X ∈ S(i)) - wariancja zmiennej Y dla i-tej warstwy,

• pi = P(X ∈ S(i)) - prawdopodobieństwo, że X jest z i-tej warstwy,

• σ2 = Var(Y ) - wariancja Y ,

• (Xij , Yij) - j-ta próbka z i-tej warstwy.

Średnią z próbek dla i-tej warstwy jest

Y i =1ni

ni∑j=1

Yij ,

a naturalnym, nieobciążonym warstwowym estymatorem θ jest

θW =M∑i=1

piYi.

Ponieważ Yij są i.i.d. dla ustalonego i, to łatwo sprawdzić, że

Var(θW ) =M∑i=1

p2i

σ2i

ni.

Najczęściej stosujemy tę metodę dobierając ni proporcjonalnie do wielkości całej prób-ki (ang. proportional stratified sampling), tj. ni = Npi, gdzie N jest liczbą wszystkichobserwacji. W takim przypadku wariancja estymatora θ wyraża się wzorem:

Var(θPW ) =1N

M∑i=1

piσ2i .

Sprawdzimy teraz, czy i jak bardzo ta metoda obniżyła nam wariancję w porównaniu dometody naiwnej. Przekształcamy wariancję zwykłego estymatora:

Var(θ) =σ2

N=

E(Y 2)− θ2

N=

1N

[M∑i=1

piE(Y 2|X ∈ S(i))− θ2

]

=1N

[M∑i=1

pi(σ2i − θ2

i )− θ2

]=

1N

M∑i=1

piσ2i +

1N

M∑i=1

pi(θi − θ)2.

6

Teraz łatwo obliczamy:

Var(θ)−Var(θPW ) =1N

M∑i=1

pi(θi − θ)2,

co jest liczbą, o którą udało nam się pomniejszyć wariancję, stosując metodę próbkowaniaproporcjonalnego z warstw. Jednak zauważmy, że wynik ten można teoretycznie polepszyć,rozwiązując zagadnienie minimalizacji wariancji przy ograniczeniu

∑Mi=1 ni = N . Wynik

dla i-tej warstwy jest następujący:

n∗i =Npiσi∑Mj=1 pjσj

,

Var(θOPT ) =1N

(M∑i=1

piσi

)2ozn.=

σ2

N.

Z równości:M∑i=1

pi(σi − σ)2 =M∑i=1

piσ2i − σ2

wynika, że:

Var(θPW

)−Var

(θOPT

)=

1N

M∑i=1

pi(σi − σ)2.

Możemy teraz zapisać naiwny estymator jako sumę trzech składników:

Var(θ) =1N

[1N

M∑i=1

pi(θi − θ)2 +M∑i=1

pi(σi − σ)2 + σ2

].

Dzięki próbkowaniu z warstw proporcjonalnych pomniejszamy wariancję o pierwszy skład-nik, natomiast dzięki podziałowi optymalnemu o pierwszy i o drugi.

1.3 Zmienne kontrolneMetoda zmiennych kontrolnych (ang. control variates) przypomina nieco metodę zmien-nych warstwowych, gdyż również w niej wykorzystuje się dodatkową zmienną losową X.W poprzednim przypadku wystarczała jednak zależność między Y a X, w tym - potrzebnajest korelacja, czyli zależność liniowa. Przejdźmy do samego opisu metody.

Zakładamy znowu, że w trakcie symulacji otrzymujemy dwie zmienne losowe: Y orazX, przy czym wartość oczekiwaną pierwszej chcemy estymować, zaś wartość oczekiwanadrugiej zmiennej jest znana i wynosi µX . Oznaczmy także elementy macierzy wariancji-kowariancji wektora (X,Y ) jako: (

σ2X σXY

σXY σ

)

Estymatorem zmiennych kontrolnych nazywamy estymator postaci:

θb = Y − b(X − µX),

który, jak łatwo zauważyć, jest nieobciążony dla każdego ustalonego b ∈ R. Obliczmy jegowariancję:

7

Var(θb)

= σ2 + b2σ2X − 2bσXY .

Jest to funkcja kwadratowa zmiennej b i przyjmuje ona swoje minimum w punkcieb∗ = σXY

σ2X. Minimum to wtedy jest równe:

Var(θb∗)

= σ2 − σ2XY

σ2X

= σ2(1−R2

),

gdzie R2 = σ2XYσ2Xσ

2 oznacza, ile procentowo wariancji zostało usuniętej za pomocą estyma-tora zmiennych kontrolnych w porównaniu z estymatorem naiwnym. Ponieważ najczęściejzarówno σXY , jak i σ2

X są nieznane, to zamiast b∗ używa się jego estymatora pod postacią:

b∗ =SXYS2X

=1

N−1∑Ni=1

(Xi −X

) (Yi − Y

)1

N−1∑Ni=1

(Xi −X

)2 .

Z tym wiąże się jednak pewien problem, gdyż estymator θb∗

= Y − b∗(X − µX) nie musibyć nieobciążony, jako iż b∗ zależy od danych otrzymanych w symulacji. Proponowane wliteraturze są dwa rozwiązania. Pierwsze, mówiące o zignorowaniu obciążenia, gdyż jestono jedynie rzędu O

(1N

), co jest niższym rzędem niż samo odchylenie estymatora, będące

oczywiście rzędu O(

1√N

). Drugie wyjście mówi o wykonaniu najpierw krótszej symulacji,

na jej podstawie otrzymanie b∗, będącego estymatorem b∗, a następnie użycie tej - jużustalonej - wartości do metody zmiennych kontrolnych.

1.4 Warunkowe Monte CarloMetoda ta opiera się na wykonaniu możliwie największej liczby obliczeń analitycznychprzed właściwym losowaniem. Chcemy estymować θ = E(X). Zauważmy, że zachodzi rów-ność θ = E(E(X|Y )) dla Y o znanym rozkładzie. Załóżmy, że znamy też rozkład X podwarunkiem Y . Możemy więc losować, dzięki gęstości warunkowej θi = E(X|Yi) (gdzieYi są i.i.d. o rozkładzie takim, jak Y ) i wziąć średnią jako nasz estymator. To powinnozredukować wariancję, jednak nie jesteśmy w stanie tego wykazać teoretycznie. Dlategoprzejdziemy do przykładu, na którym pokażemy działanie owej metody.

Niech X ∼ N (µ, σ2) będzie czasem trwania projektu, gdzie µ ∼ N (100, 16), σ ∼Exp(1

4). Za każdy dzień opóźnienia po K dniach płacimy 1000. Chcemy znaleźć ocze-kiwaną zapłatę C = E

(1000 (X −K)+

)= E

(E(1000 (X −K)+ ∣∣ (µ, σ)

)). Wewnętrzną

wartość oczekiwaną obliczamy analitycznie dla ustalonych µ i σ. Zajmiemy się teraz prze-kształceniem tego składnika:

E(1000 (X −K)+ ∣∣ (µ, σ)

)= 1000

∫ ∞K

(x−K)1√2πσ

exp

(−1

2

(x− µσ

)2)dx

= 1000∫ ∞K−µσ

(σv + µ−K)1√2π

exp(−1

2v2)dv

= 1000−σ exp

(−1

2v2)

√2π

∣∣∣∣∣∞

K−µσ

+ 1000(µ−K)Φ(µ−Kσ

)

= 1000[σφ

(K − µσ

)+ (µ−K)Φ

(µ−Kσ

)]

8

W związku z tym algorytm dla warunkowego Monte Carlo jest następujący:

for i = 1, 2, ..., N do

sample Ri ∼ U(0; 1), Zi ∼ N (0; 1)

σi = −4 lnRi

µi = 100 + 4Zi

Ci = 1000σi(φ(K−µiσi

)+(K−µiσi

)Φ(µi−Kσi

))

C = 1n

∑Ni=1Ci

Var(C)

=∑N

i=1(Ci−C)2N(N−1)

1.5 Importance samplingOstatnią metodą, która zostanie przedstawiona, jest importance sampling. Polega ona nazmianie gęstości w całce tak, by otrzymać rzeczywistą redukcję wariancji. Przypuścmy, żemamy do obliczenia wielkość

θ =∫Rh (x) f (x) dx, (1.1)

gdzie funkcja f jest pewną gęstością prawdopodobieństwa. Oznacza to oczywiście, że jeśliX będzie zmienną losową o gęstości f , to szukana wielkość jest równa także Eh (X).Powiedzmy, że mamy dodatkowo jeszcze inną gęstość prawdopodobieństwa g. Prawdziwabędzie wtedy równość:

θ =∫R

h (x) f (x)g (x)

g (x) dx = Eh (X) f (X)

g (X),

dla X będącego zmienną losową o rozkładzie zadanym tym razem gęstością g. Oczywi-stym estymatorem jest zatem średnia z wartości h(Xi)f(Xi)

g(Xi)dla Xi będących niezależnymi

realizacjami tej zmiennej losowej. Ten pozornie niewiele zmieniający manewr może wrzeczywistości w znaczny sposób zredukować wariancję estymatora. Jeśli mamy bowiempróbkę wielkości N , to wariancja estymatora jest równa:

1N

Var(h (X) f (X)

g (X)

),

dla X o gęstości g. Widać stąd, że jeśli stosunek g do hf jest w przybliżeniu stały, wa-riancja naszego estymatora jest bardzo niska. To właśnie pokazuje, skąd wzięła się nazwametody importance sampling - należy losować z konkretnego rozkładu, takiego, dla które-go częściej losujemy x, gdy h(x)f(x) jest duże i rzadziej w przeciwnym przypadku.

Postaramy się teraz oszacować wariancję estymatora importance sampling, dokładniej

9

wielkość Var(h(X)f(X)g(X)

). Załóżmy dodatkowo, że zamiast g mamy pewną rodzinę rozkła-

dów prawdopodobieństwa gα do wyboru. Przekształćmy nasze wyrażenie:

Var(h (X) f (X)gα (X)

)= E

(h2 (X) f2 (X)

g2α (X)

)− θ2 =

∫R

h2 (x) f2 (x)gα (x)

dx− θ2

¬ supx∈R

h (x) f (x)gα (x)

∫Rh (x) f (x) dx− θ2 = M (α) θ − θ2

= θ (M (α)− θ) ,

gdzie definiujemy M (α) = supx∈Rh(x)f(x)gα(x)

. Można wobec tego minimalizować samo

M (α). Nie musi to koniecznie dać optymalnej gęstości gα, ale często jest łatwiejsze niżminimalizacja wyjściowego wyrażenia Var

(h(X)f(X)gα(X)

), które może być podobnej postaci,

co nasza wyjściowa całka (1.1).

10

Rozdział 2

Metody redukcji wariancji -Importance Sampling

Magdalena Hubicz

Rozdział opracowany na podstawie rozdziału "Applications in Risk Manage-ment" książki Paula Glassermana "Monte Carlo Methotds in Financial Engi-neering", pp. 481-500, Springer, 2004

Stosowanie symulacji Monte Carlo (MC) jest powszechne przy wycenie skompliko-wanych instrumentów pochodnych, jest jednak równie ważne przy zarządzaniu ryzykiemportfela. Dla dużych i rozbudowanych portfeli, zawierających szereg zupełnie róznych in-strumentów finansowych, obliczenie miary ryzyka może być poważnym wyzwaniem. Nasząuwagę skierujemy na problem estymacji prawdopodobieństwa dużych strat, co w gruncierzeczy sprowadza się do symulacji rzadkich, lecz ważnych zdarzeń.

2.1 Value-at-Risk - wartość zagrożonaNa samym początku usystematyzujmy oznaczenia:

V (S, t) = wartość portfela w chwili t z cenami SS = wektor długości m, zawiera ceny lub stopy zwrotu

∆t = horyzont czasowy, zazwyczaj =1

252∆S = zmiana cen/stóp w przedziale czasowym ∆t

L = −∆V = V (S, t)− V (S + ∆S, t+ ∆t), strata w przedziale czasowym ∆t

FL(x) = P (L < x), dystrybuanta straty L

Wartość zagrożoną portfela (VaR) można zdefiniować jako maksymalną stratę rynkowejwartości portfela lub instrumentu finansowego możliwą do poniesienia w konkretnym ho-ryzoncie czasowym i przy założonym poziomie ufności.

V ar0.01L = infxx : P (L ­ x) ¬ 0.01 = infxx : FL(x) ­ 0.99

11

Z powyższego równania wynika, że VaR jest funkcją kwantyla rozkładu straty. Mianowicie,jeśli dystrybuanta jest ciągła i ściśle rosnąca, to V aR0.99L = F−1

L (0.99), w przeciwnymprzypadku definiujemy go jako lewy kwantyl.VaR w prosty sposób podsumowuje informacje o ogonie rozkładu i jest postrzegany jakonajwiększa strata, jaką można ponieść przy zadanym poziomie ufności.

2.2 Obliczanie VaR-uJest wiele sposobów obliczania i aproksymowania rozkładu straty i VaR-u, każdy różnisię realizmem założeń i stopniem skomplikowania. Wyboru możemy dokonać na podstawieskładu portfela i wymaganej dokładności. Spośród wielu dostępnych metod P. Glassermanskupia się na delta-gamma aproksymacji, która dobrze wpasowuje się w metodę Impor-tance Sampling.

2.2.1 Aproksymacja liniowa

Jak dotąd najprostszym podejściem są założenia, że ∆S ma wielowymiarowy rozkładnormalny, a ∆V zależy od ∆S liniowo:

S ∼ N(0,ΣS) (2.1)

∆V = δT∆S (2.2)

dla pewnego wektora wrażliwości δ. Wówczas L ∼ N(0, σ2L) gdzie σ2

L = δTΣSδ, orazV aR0.99 = 2.33σL ponieważ Φ(2.33) = 0.99.

2.2.2 Delta-Gamma aproksymacja

Założenie o liniowości ∆V względem ∆S zachodzi na przykład dla portfela złożonegoz samych akcji. Jednak dołożenie do tego portfela opcji całkowicie burzy to podejście.Prostym sposobem na rozszerzenie wzoru 2.2 jest dodanie kolejnych wyrazów z rozwinięciaTaylora, co nazywamy delta-gamma aproksymacją.

∆V ≈ ∂V

∂t∆t+ δT∆S +

12

∆STΓ∆S (2.3)

gdzie

δi =∂V

∂Si, Γij =

∂2V

∂Si∂Sj.

Ponieważ δ i Γ są standardowo obliczane przy wycenie, traktujemy jako dane.Aby znaleźć rozkład przybliżenia ze wzoru 2.3, przedstawmy je najpierw w wygodniejszejdo przeprowadzenia symulacji formie. Niech ∆S = CZ gdzie Z ∼ N(0, 1), a CCT = ΣS .Wówczas

L = −∆V = a− (CTγ)TZ − 12ZT (CTΓC)Z (2.4)

gdzie a = −∆t∂V∂t . Aby zdiagonalizować czynnik kwadratowy podstawmy C = CU , gdzieC pochodzi z rozkładu Choleskiego, a U to macierz ortogonalna (UUT = I), której ko-lumny są wektorami własnymi macierzy −1

2 CTΓC. Wynika stąd, że

−12CTΓC = −1

2UT (CTΓC)U = UT (UΛUT )U = Λ

12

jest macierzą diagonalną z wartościami własnymi λj macierzy −12 C

TΓC na przekątnej.Ustalalając b = −CT δ, możemy zapisać wzór 2.4 jako:

L ≈ a+ bTZ + ZTΛZ =m∑j=1

(bjZj + λjZ2j ) ≡ Q. (2.5)

Analityczny wzór rozkładu Qmożna policzyć wykorzystując jej funkcję generującą mo-menty oraz funkcję charakterystyczną, co jest dokładniej opisane w sekcji "Delta-Gamma:Moment Generating Function" omawianego rozdziału książki P. Glassermana.

Wykorzystanie delta-gamma aproksymacji ma na celu przyspieszenie metody MC. Na-wet w przypadkach gdy metoda ta nie pozwoli osiągnąć precyzyjnego przybliżenia, możebyć potężnym narzędziem do zmniejszenia wariancji.

2.3 Symulacje Monte CarloZgodnie z podstawowym modelem MC obliczenie rozkładu straty i VaR-u jest prostekoncepcyjnie:

1. Powtarzamy n razy niezależnie:

• generowanie wektora zmiany cen ∆S

• ponowna wycena portfela i obliczenie straty L = −∆V

2. Estymujemy rozkład straty P (L < x) ≈ FL,n(x) = 1n

n∑i=1

1lLi < x

3. Obliczamy przybliżenie VaR-u na poziomie p jako xp = F−1L,n(1− p)

Wąskim gardłem tego algorytmu jest krok ponownej wyceny. Dla rozbudowanych port-feli każda wycena może wymagać tysięcy numerycznych procedur (np. rozwiązywaniarównań różniczkowych cząstkowych, albo zagnieżdżonych symulacji). Dlatego tak ważnejest zmniejszenie liczby scenariuszy potrzebnych do osiągnięcia wymaganej dokładnościestymatora.

2.4 Importance Sampling - Losowanie istotneTechniki omawiane niżej są wynikiem pracy Glassermana, Heidelberga i Shahabuddina(2000,2002). Dzięki metodzie Importance Sampling możemy użyć Delta-Gamma aprok-symacji do kontrolowania doboru próby scenraiuszy jeszcze przed wyceną portfela. Do-kładniej, możemy użyć naszej wiedzy o rozkładzie Q aby zwiększyć prawdopodobieństwoważnych z naszego punktu widzenia zdarzeń generujących dużą stratę.

Zgodnie z założeniami Importance Sampling, gdy chcemy obliczyć

Eh(X), gdzie X ∼ f

możemy, dobierając odpowiednią funkcję g, korzystać z innego rozkładu:

Eh(X) =∫h(x)f(x)dx =

∫h(x)

f(x)g(x)

g(x)dx = Egh(Y )f(Y )g(Y )

, gdzie Y ∼ g

W jaki sposób dobrać funkcję g? Według autora najlepszym sposobem będzie wy-korzystanie wykładniczej zmiany miary (Exponential Twisting), która prowadzi do

13

efektywnego zredukowania wariancji.Dokładniej mówiąc, definiujemy rodzinę miar prawdopodobieństwa poprzez iloraz:

dPθdP

= expθQ−ψ(θ) , (2.6)

gdzie ψ jest funkcją generującą kumulanty (log(expθQ)), a θ jest dowolną liczbą rzeczywistądla której ψ(θ) <∞. Stąd zaś

P(Q > x) = Eθ[exp−θQ+ψ(θ) 1lQ > x]

Jeśli θ jest dodatnia, to Pθ daje większe prawdopodobieństwo dużych wartości Q, niżdawała miara pierwotna P. Ściślej mówiąc, drugi moment estymatora IS, to

Eθ[exp−2θQ+2ψ(θ) 1lQ > x] = E[exp−θQ+ψ(θ) 1lQ > x] ¬ exp−θx+ψ(θ) , (2.7)

który maleje wykładniczo względem x, gdy θ > 0.Powyższy pomysł zmiany miary przenosi się również na problem estymacji P(L > x).

2.5 Losowanie z nowej miaryAby użyć zaprezentowanej metody IS musimy umieć wygenerować niezależnie exp−θQ+ψ(θ) 1lL >x w nowej mierze Pθ. Innymi słowy, musimy umieć wygenerować pary (Q,L) względemPθ. Przypomnijmy jednak, że zgodnie z naszymi przekszałceniami nie generujemy (Q,L)bezpośrednio. Bazujemy na Z ∼ N(0, I), a (Q,L) = f(Z) dla pewnej deterministycznejfunkcji f . Skoro w ten sposób otrzymujemy rozkład (Q,L) dla wyjściowej miary P, to abyotrzymać (Q,L) względem Pθ, wystarczy losować Z ze zmodyfikowanego rozkładu. Zgod-nie z wynikami GHS (2000, Variance reduction techniques for estimating value-at-risk))opartymi na analizie delta-gamma aproksymacji

Z ∼ N(µ(θ),Σ(θ)),

gdzie Σ(θ) jest macierzą diagonalną z σ2j (θ) na przekątnej, oraz

µj(θ) =θbj

1− 2λjθ, σ2

j (θ) =1

1− 2λjθ. (2.8)

Pamiętając o nałożonym warunku ψ(θ) <∞ wymagamy, by 2λjθ < 1.

Aby pokazać, że jest to właściwy rozkład, spójrzmy ogólniej.Dla dowolnych µ i Σ iloraz gęstości N(µ,Σ) i N(0, I) jest dany przez

|Σ|−1/2exp(−12 (Z − µ)TΣ−1(Z − µ))

exp(−12 Z

TZ).

Podstawiając wartości ze wzoru 2.8 i odpowiednio upraszczając, iloraz redukuje się doexp(θQ + ψ(θ)), z Q zależnym od Z zgodnie ze wzorem 2.5. Ponieważ jest to iloraz zapomocą którego definiowaliśmy miarę Pθ, rzeczywiście możemy wnioskować, że Z w tejmierze ma parametry podane we wzorze 2.8.

14

2.6 Algorytm Importance Sampling1. Wybierz wartość θ > 0 dla której ψ(θ) <∞

2. Dla każdej z n replikacji:

• generuj Z z rozkładu N(µ(θ),Σ(θ)) z parametrami określonymi we wzorze 2.8.• oblicz Q bazując na Z zgodnie ze wzorem 2.5• ustal ∆S = CZ

• wyceń portfel V (S + ∆S, t+ ∆t) i oblicz stratę L• oblicz

exp−θQ+ψ(θ) 1lL > x

3. Oblicz estymator 1n

n∑i=1

exp−θQ+ψ(θ) 1lQ > x

2.7 Wybór parametru zmiany miary - θPierwszy krok algorytmu IS wymaga od nas wyboru parametru θ. Ponieważ brak namdodatkowych informacji, wybierzemy wartość θ efektywną w obliczaniu P(Q > x), a otrzy-many wynik zastosujemy do estymacji P(L > x). Zgodnie z nierównością 2.7 możemyzminimalizować ograniczenie górne drugiego momentu estymatora IS wybierając dla każ-dego x, θ minimalizujące ψ(θ)−θx. Funkcja ψ jest wypukła (gdyż jest funkcją generującąkumulanty), skąd wynika fakt iż wyrażenie osiąga minimum w punkcie θx, będącym pier-wiastkiem równania

ψ′(θx) = x.

Dodatkowo θx posiada interpretację, która rzuca więcej światła na wykorzystanie gow metodzie IS.Różniczkując wyrażenie definiujące ψ(θ) = logE[exp(θQ)] dostajemy:

ψ′(θ) =E[Q expθQ]E[expθQ]

= E[Q expθQ−ψ(θ)] = Eθ[Q]

zgodnie z równaniem 2.6 definiującym rodzinę nowych miar prawdopodobieństwa. Wybie-rając θ = θx generujemy próbki z rozkładu w którym

Eθx [Q] = x.

Podczas gdy w oryginalnym rozkładzie x był w ogonie rozkładu, po zastosowaniu Im-portance Sampling jest on blisko środka nowego rozkładu. Pozwala nam to w znacznymstopniu zmniejszyć liczbę symulacji wymaganych do osiągnięcia żądanej dokładności es-tymatora.

Aby policzyć wartość VaR-u przy pomocy metody prostego MC musimy wygenerowaćróżne scenariusze cen, wyznaczyć straty i obliczyć kwantyl empiryczny rozkładu straty.Brzmi prosto, lecz policzenie straty wymaga obliczenia wartości przyszłej portfela, co mo-że prowadzić do wewnętrznych symulacji MC lub innych złożonych metod numerycznych.Chcielibyśmy zatem zredukować liczbę scenariuszy, lecz to może spowodować utratę pre-cyzji estymacji. Z pomocą przychodzi metoda redukcji wariancji - Importance Sampling.

15

Rozdział 3

Important Sampling w MonteCarlo jako sposób estymacjikwantyli

Patrycja Pol

Rozdział opracowany na podstawie pracy "Importance Sampling for MonteCarlo estimation of Quantiles ", autorstwa Petera W. Glynna

3.1 WstępPraca Glynna skupia się na zastosowaniu techniki redukcji wariancji znanej jako metodaImportant Sampling jako narzędzia do obliczenia kwantyli. Przedstawione zostanie wypro-wadzenie Centralnego Twierdzenia Granicznego dla dwóch proponowanych estymatorów.Dla zdefioniowania problemu przyjmijmy dalsze założenia: niech X będzie zmienną losowąo wartościach rzeczywistych z dystrybuantą F (). Dla 0 < p < 1, wielkość:

F−1(p) = infF (x)­p

x

nazywana jest p kwantylem X. Główny problem estymacji tej wartości zależy od efektyw-ności metody. Sama estymacja kwantyli jest w sobie interesująca, ponieważ znajduje za-stosowanie w bardzo wielu obszarach. Przykładem może być liczenie wartości krytycznychwymaganych w testach statystycznych, gdzie niemożliwm jest tam policzenie analitycznie.Drugim ciekawym zagadnieniem jest związek estymacji kwantyli z przemysłem. Chodzimianowicie o udoskonalenie sposobu określania daty ważności towaru, tak by firmy mogłygwarantować z jak najwyższym prawdopodobieństwem, że trafi on do klientów w dobrymstanie.

3.2 Podstawowy pomysłZasadniczym celem jest obliczenie wartości α = F−1(p) ( szczególnie dla p bliskiemu 0lub 1). Stndardowa estymacja α metodą Monte Carlo wiąże się z generowaniem nieza-leżnych zmiennych losowych X1, X2, ... posiadających wspólną dystrybuantę F . Wówczas

16

estymator α ma następującą postać:

αn = F−1n (p) = inf

Fn(x)­px

gdzie Fn nazywana jest dystrybuantą empiryczną: α ma następującą postać:

F−1n (x) =

1n

∑1lt(Xi ¬ x)

Chcąc zastosować metodę important sampling (losowanie istotne), wybieramy dystrybuan-tę F dla której potrafimy wygenerować zmienne i takiej, że rozkład prawdopodobieństwapowiązany z F jest absolutnie ciągły w odniesieniu do rozkładu F . To implikuje istnieniegęstości p(·) takiej, że

F (dx) = p(·)Fdla każdego x ∈ R. Zakłada się, że p(·) jest znaną funkcja. Niech P (·) (P (·)) i E(·) (E(·))będą odpowiednimi funkcjami prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej. Ze wzoru 3.2wynika:

P (Xi ¬ x) = ELi1l(Xi ¬ x)

P (Xi > x) = ELi1l(Xi > x)

gdzie Li = p(Xi). Niech L = n−1∑Li. Daje to następujące estymatory dla F (·):

F1n(x) =1n

∑1l(Xi ¬ x)

F2n(x) = 1− 1n

∑1l(Xi > x)

Pozwala to zdefiniować następujące estymatory dla α:

αin = infFn(x)­p

x

dla i = 1, 2. Głównym rezultatem tej części jest Centralne Twierdzenie Graniczne dlaprzedstawionych dwóch estymatorów.

Twierdzenie 3.1. Niech EL2+δi <∞ i F różniczkowalna w α = F−1(p) oraz F ′(α) > 0.

Wtedy, dla i = 1, 2n12 (αin − α) =⇒ σiN(0, 1)

dla n −→∞, gdzie

σ21 =

(E[L211l(X1 ¬ α)]− p2)

F ′(α)2 ,

σ22 =

(E[L211l(X1 > α)]− (1− p2))

F ′(α)2

(Dodatkowo zbieżność dystrybuant jest jednostajna.)

Warte zauważenia jest, że jeśli F = F , wówczas Li = 1 i w twierdzeniu 3.1 otrzy-ma się Centralne Twierdzenie Graniczne dla umownego estymatora kwantyla αn. Majączbiór symulacji (X1, L1), . . . , (Xn, Ln) wygenerowany z rozkładu P , oblicznie αin przebie-ga podobnie jak dla αn. Najpierw należy posortować wartości Xi w porządku rosnącymotrzymując (X(1), . . . , X(n)). Teraz α1n = Xσ(i1) gdzie i1 jest najmniejszym takim, by∑i1j=1 p(X(j)) ­ pn, natomiast αin = Xσ(i1) gdzie i2 największym takim, dla którego∑nj=i2 p(X(j)) ­ (1 − p)n. Wówczas problemem staje się znalezienie dobrego estymatora

F ′(α).

17

3.3 Kandydat Important Sampling na dystrybuantęW teori prawdopodobieństwa Large Deviations theory koncentruje się na asymptotycznymzachowaniu "ogona" dystrybuanty. Efektem jest wzór:

P (X > x) ≈ exp(−xθx + φ(θx))

spełniony dla x EX, gdzie θx jest pierwiastkiem równania φ(θx)′ = x, a φ(cdot) jestgeneratorem X. Aproksymacja ogona sugeruje aproksymacje kwantyli. Niech zatem θpbędzie rozwiązaniem równania:

−θpφ′(θp) + φ(θp) = log(1− p). (3.1)

Wtedy dla p bliskich 1:P (X > φ′(θp)) ≈ 1− p. (3.2)

Sugeruje to, że φ′(θp) może byc użyte jako aproksymacja kwantyla α(p) = F−1(p). Zauważ-my, że jeśli F = exp(θpx − φ(θp))F (dx) to średnią dla dystrybuanty important samplingjest φ′(θp). Relacja 3.2 dowodzi, że losowanie dla F z właściwej częsci ogona powiązanegoz kwantylem α(p) nie jest więc rzadki, co sugeruje możliwość redukcji wariancji. Ta drogajest możliwa, kiedy φ(cdot) jest znana i zmienne powiązane z F mogą być generowane wprosty sposób. Należy zauważyć, że x(θ) = −θφ′(θ) + φ(θ) ma pochodną równą −θφ′′(θ).Ponieważ φ jest wypukła to x(θ)jest malejąca oraz rozwiązanie dla 3.1 jest jednoznaczne.Rozpatrzmy teraz problem estymacji kwantyla rzędu p dla rozkładuN(0, 1) dla p bliskiemu1. Wtedy θp = (−2log(1− p))

12 oraz F jest dystrybuantą rozkładu normalnegi ze średnią

µ = (−2log(1 − p))12 i jednostkową wariancją. Każdy z kwantyli F ′(α)2σ2

i (dla i=1,2)może zostać przedstawiony w terminach EL2

1 oraz EL211l(X1 > α). Niech N ∼ N(0, 1).

Zauważmy, że p(x) = exp(−(2xy − y2)/2), a zatem:

EL21 = E exp(−(2(N + y)y − y2)) = exp(y2) = (1− p)−2

Podobnie można pokazać, że

EL211l(X1 > α) = exp(µ2)P (N > α+ µ)

Korzystając z odpowiednich twierdzeń dla α ∼ µ, gdy p −→ 1:

P (N > x) ∼ exp(−x2

2)/(x√

2π)

dla x −→∞ wtedylog EL2

11l(x1 > α) ∼ 2log(1− p).

To dowodzi, że dla p ∼ 0:F ′(α)2σ2

1 ∼ (1− p)−2

oraz dla p ∼ 1:F ′(α)2σ2

2 ∼ (1− p)2.

18

3.4 Analiza asymptotRzekomo α i F mogą zostać użyte jako redukcja wariancji. Pokażemy, że faktycznie takjest. Będziemy rozważaćX = Sm = Y1+. . .+Ym, gdzie Yi są niezależnymi zmiennymi loso-wymi. Szukamy kwantyla p dla Sm, gdzie p = 1−exp(−βm). Niech φY (θ) = logEexp(θYi)i θp będzie pierwiastkiem

−θpφ′Y (θp) + φY (θp) = −β (3.3)

Za gęstość bierzemy exp(θpSm −mφY (θp)). Chcemy teraz porównać wariancję α2n i αnprzy n −→ ∞. Mamy wtedy:nfrac12(αn − α)⇒ σN(0, 1) gdy n −→ ∞, gdzie σ2 = p(1−p)/F ′(α). Do porównania granicznych zachowań σ2 i σ2

2 zostanie wykorzystane poniższetwierdzenie.

Twierdzenie 3.2. Niech 3.3 ma dodatnie rozwiązanie i φY (·) będzie różniczkowalne wotoczeniu θp. Wówczas

limm→∞

logF ′(α)σ2

m= β (3.4)

limm→∞

logF ′(α)σ2

m¬ −2β (3.5)

19

Rozdział 4

Asymptotyczna reprezentacjaestymatorów Importancesampling dla Value-at-Risk orazConditional Value-at-Risk

Marcin Sosnowski, Piotr Wiązecki

Rozdział opracowany na podstawie pracy L. Sun, L. J. Hong A general fra-mework of Importance Sampling for Value-at-Risk and Conditional Value-at-Risk, Winter Simulation Conference, pp. 415-422, 2009

Value-at-Risk oraz Conditional Value-at-Risk są popularnymi miarami ryzyka. Zazwyczajnie wyznacza się ich analitycznie, za to korzysta się z metod Monte Carlo. Ze względu naspecyficzną postać estymatorów naturalną metodą polepszenia ich wiarygodności jest Im-portance Sampling. Okazuje się, że estymatory te mają szereg dobrych własności, takichjak mocna zgodność i asymptotyczna normalność.

4.1 Value-at-Risk, Conditional Value-at-Risk i ich estyma-tory

Niech X oznacza przyszłą wartość danej pozycji finansowej. Zakładamy, że X jest zmiennąlosową o skończonej wartości oczekiwanej. Niech F oznacza dystrybuantę zmiennej X.Value-at-Risk (VaR) na poziomie ufności α dla zmiennej losowej X jest zdefiniowana jako

να = infx : F (x) ­ α,

z kolei Conditional Value-at-Risk (CVaR) definiujemy jako

cα =1α

∫ α

0νtdt

lub równoważniecα = να −

1αE(να −X)+.

20

Naturalne stymatory Monte Carlo dla VaR i CVaR, obliczane przy użyciu n niezależnychpróbek X1, . . . Xn z rozkładu X mają następującą postać:

νnα = infx : Fn(x) ­ α,

cnα = νnα −1nα

n∑i=1

(νnα −Xi)+,

gdzie Fn jest dystrybuantą empiryczną rozkładu X obliczaną w następujący sposób:

Fn(x) =1n

n∑i=1

1lXi¬x

Te estymatory są nieobciążone, mocno zgodne, asymptotycznie normalne. Problem polegana tym, że w zastosowaniach α jest przeważnie bliskie 0, zaś wkład do otrzymania tychestymatorów mają tylko próbki z ogona rozkładu, przez co do wyprodukowania wiary-godnego wyniku liczba n powinna być być bardzo duża. Importance sampling pozwalaalokować więcej próbek do lewego ogona rozkładu, co powinno poprawić efektywność es-tymatorów.Wprowadzamy rozkład o dystrybuancie G, z którego będziemy losować. Zakładamy, że jestto rozkład absolutnie ciągły względem F i niech L(x) = F (dx)

G(dx) będzie gęstością rozkładuF względem G. Wówczas estymatory IS przyjmują postać:

Fn(x) =1n

n∑i=1

1lLi¬xL(Li),

νnα = infx : Fn(x) ­ α,

cnα = νnα −1nα

n∑i=1

(νnα − Li)+L(Li),

gdzie Li są iid próbkami z rozkładu G. Aby wyprowadzić asymptotyczną postać powyż-szych estymatorów, czynimy natępujące założenia:

Założenie 1. Istnieje ε > 0, taki że zmienna L ma niezerową, różniczkowalną gęstośćf w przedziale (να − ε, να + ε),Założenie 2. Istnieje stała C > 0, taka że L(x) ¬ C dla x < να + ε

Założenie 1 implikuje F (να) = α oraz cα = E(X|X ¬ να). Ostatnia równość stanowiinterpretację miary CVaR jako średniej wielkości naszej pozycji finansowej w α najgor-szych przypadków. Zwróćmy uwagę, że założenie 2 nie jest zbyt restrykcyjne - gęstość Gbędziemy wybierać tak, aby alokowała więcej próbek do lewego ogona rozkładu, zatemzapewne na lewo od να będziemy mieli G(x) > F (x), czyli L(x) < 1. Założenie 2 możnateż osłabić do następującego:

Założenie 2a. Istnieje stała C > 0, taka że L(x) ¬ C dla x ∈ (να + ε, να + ε), po-nadto istnieje stała p > 2, taka że E(1lL¬να+εLp(L)) <∞,

wpływa to nieznacznie na pogorszenie pewnych oszacowań, jednak wnioski dotyczące moc-nej zgodności i asymptotycznej normalności obu estmatorów pozostają te same.

21

4.2 Asymptotyczna reprezentacja estymatorówBędziemy potrzebować pewnego oznaczenia. Niech Yn będzie ciagiem zmiennych losowych,an niech będzie ciagiem liczbowym. Wówczas notacja

Yn = O(an) p.n.

oznaczać będzie, że

P(∃C>0 |Yn| ¬ C|an| dla dostatecznie dużych n) = 1.

Możemy teraz sformułować

Twierdzenie 4.1. Przy założeniach 1 i 2 dla każdego α ∈ (0, 1)

νnα = να +1

f(να)(α− 1

n

n∑i=1

1lLi¬ναL(Li)) +An,

gdzie An = O(n−34 (log n)

34 ) p.n.

Zauważmy, że w oryginalnej pracy Sun’a i Hong’a w analogicznym twierdzeniu (Twier-dzenie 3.1 tamże) podany jest rząd zbieżności An = O((n−

34 (log n)−

34 ). Jest to błąd, co

wynika z późniejszej pracy tych samych autorów1.Powyższe Twierdzenie pozwala przedstawić estmator jako sumę zmiennych niezależnych otym samym rozkładzie plus składnik szybko zbiegający do zera prawie na pewno. Poniżejszkic dowodu:Ze wzoru Taylora otrzymujemy dla νnα dostatecznie bliskich να:

F (νnα) = F (να) + f(να)(νnα − να)−A1,n,

gdzie A1,n jest residualnym składnikiem, o którym spodziewamy się, że jest w pewnymsensie mały. Przepisując inaczej dostajemy

νnα = να +F (νnα)− F (να)

f(να)+

1f(να)

A1,n.

Oznaczając terazA2,n = F (νnα) + Fn(να)− Fn(νnα)− F (να),

A3,n = Fn(νnα)− F (να)

możemy napisać

F (νnα)− F (να) = F (να)− Fn(να) +A2,n +A3,n.

Wstawiając do wzoru na νnα dostajemy

νnα = να +F (να)− Fn(να)

f(να)+A1,n +A2,n +A3,n

f(να).

1L. Sun, L. J. Hong Asymptotic Representations for Importance-Sampling Estimators of Value-at-Riskand Conditional Value-at-Risk, Operations Research Letters, vol. 38, no. 4, pp. 246-251, 2010

22

We wspomnianej pracy "Asymptotic Representations for Importance-Sampling Estima-tors of Value-at-Risk and Conditional Value-at-Risk" autorzy obliczają rzędy zbieżnościposzczególnych członów (Lemma 1):

A1,n = O(n−1 log n) p.n.,

A2,n = O(n−34 (log n)

34 ) p.n.,

A3,n = O(n−1) p.n.Dowód jest bardzo techniczny, ale wymaga jedynie znajomości prostych nierówności zpodstawowego kursu rachunku prawdopodobieństwa: nierówności Azumy-Hoeffdinga oraznierówności Bernsteina.Po przyjęciu An = A1,n +A2,n +A3,n otrzymujemy postać νnα taką jak w Twierdzeniu. Wszczególnym przypadku L ≡ 1 otrzymujemy asymptotyczne rozwinięcie dla CMC estyma-tora VaR.Z Twierdzenia reftwierdzenie1 płyną dwa ważne wnioski:

Wniosek 4.1.νnα → να prawie na pewno gdy n→∞

Wniosek 4.2.

√n(νnα − να)→

√V ar[1lL¬ναL(L)]

f(να)N (0, 1) według rozkładu.

Pierwszy wniosek wynika z Mocnego Prawa Wielkich Liczb, drugi jest konsekwencjąCentralnego Twierdzenia Granicznego oraz faktu, że

√nAn → 0 prawie na pewno.

Asymptotyczna reprezentacja V aR pomaga również uzyskać asymptotyczną postać est-matora CV aR. Przypomnijmy:

cnα = νnα −1nα

n∑i=1

(νnα − Li)+L(Li),

co możemy zapisać w postaci

cnα = να −1nα

n∑i=1

(να − Li)+L(Li) + (νnα − να)− 1nα

n∑i=1

[(νnα − Li)+ − (να − Li)+]L(Li).

Korzystając z rezultatów osiągniętych dla estymatora νnα Sun i Hong obliczają rząd zbież-ności rezydualnych członów, otrzymując następującą asymptotyczną postać estymatoracnα:

cnα = να −1nα

n∑i=1

(να − Li)+L(Li) +Bn,

gdzie Bn = O(n−1 log n) p. n.Po przegrupowaniu wyrazów, otrzymujemy następujące

Twierdzenie 4.2. Przy założeniach 1 i 2 dla każdego α ∈ (0, 1)

cnα = cα + (1n

n∑i=1

[να −1α

(να − Li)+L(Li)]− cα) +Bn,

gdzieBn = O(n−1 log n) p. n.

23

Biorąc L ≡ 1, otrzymujemy w szczególności, że powyższze Twierdzenie zachodzi takżedla zwykłego estymatora MC.Z Twierdzenia 4.2 płyną dwa ważne wnioski:

Wniosek 4.3.cnα → να prawie na pewno gdy n→∞

Wniosek 4.4.

√n(cnα − cα)→

√V ar[(να − Li)+L(L)]

αN (0, 1) według rozkładu.

Pierwszy wniosek wynika z Mocnego Prawa Wielkich Liczb, drugi jest konsekwencjąCentralnego Twierdzenia Granicznego oraz faktu, że

√nBn → 0 prawie na pewno.

Widzimy zatem, że estymatory Importance Sampling dla VaR oraz CVaR są nie tylkonieobciążone, ale także mocno zgodne oraz asymptotycznie normalne. Dzięki tym wła-snościom estymatory te mogą być z powodzeniem stosowane w obliczeniach VaR i CVaR,gdzie, jak pokazano w jednym z poprzednich rozdziałów, działają niesamowicie efektywnie.

24

Część II

Zastosowanie metod Monte Carlo:wycena opcji amerykańskich

25

Rozdział 5

Symulacyjna wycena opcjiamerykańskich - algorytmLongstaffa-Schwartza

Katarzyna Cybulska, Maria Pawłowska

Rozdział opracowany na podstawie pracy Francis A. Longstaff, Eduardo S.Schwartz "Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-SquaresApproach", Review of Financial Studies, 2001, pp. 113-147

Jednym z najważniejszych problemów w teorii wyceny opcji jest wycena oraz znaj-dowanie optymalnego momentu wykonania opcji typu amerykańskiego. Opcje tego typupojawiają się na wszystkich większych rynkach finansowych. Wycena opcji typu amery-kańskiego staje się jeszcze bardziej skomplikowana, gdy na wycenę opcji wpływa kilkaczynników. W takim wypadku metody drzewka dwumianowego i różnic skończonych sta-ją się trudne w implementacji i przez to niepraktyczne. Artykuł Longstaffa i Schwartzaprzedstawia symulacyjne podejście do problemu wyceny opcji typu amerykańskiego. Znaj-duje zastosowanie przy wycenie nawet bardzo skomplikowanych opcji egzotycznych, przyróżnych modelach aktywa bazowego oraz stóp procentowych.

5.1 Prosty przykładNa prostym przykładzie prześledzimy działanie algorytmu. Rozważmy opcję amerykań-ską o terminie wykonania T . W chwili T wykonamy opcję amerykańską jeśli będzie ona wpieniądzu. W każdej poprzedzającej chwili czasu będziemy musieli dokonać wyboru: czyopłaca nam się wykonać opcję od razu, czy lepiej poczekać i wykonać ją później. Pod-czas podejmowania takiej decyzji porównujemy faktyczny przepływ jaki możemy otrzymaćw przypadku natychmiastowego wykonania opcji ze zdyskontowaną warunkową wartościąoczekiwaną przyszłych przepływów, jakie możemy otrzymać wykonując opcję później. Dla-tego kluczowym zadaniem na które natykamy się podczas wyceniania opcji amerykańskiejjest szacowanie owej warunkowej wartości oczekiwanej. Algorytm Longstaffa-Schwartza(zwany dalej algorytmem LSM) wykorzystuje dane ze wszystkich wygenerowanych ście-żek do odnalezienia warunkowej wartości oczekiwanej.

26

Rozważmy amerykańską opcję sprzedaży na akcję nie płacące dywidendy. Cena wykona-nia opcji wynosi 1.1 w chwilach T = 1, 2, 3, gdzie T = 3 to ostateczny termin zapadalnościopcji. Stopa bezryzykowna wynosi 6%. Dla prostoty prześledzimy działanie algorytmu dla8 ścieżek, generowanych przy pomocy miary martyngałowej:

Rysunek 5.1: Ścieżki wartości akcji

Poruszając się od chwili T = 3 wstecz będziemy ustalać optymalny moment stopu dlakażdej ze ścieżek. Przepływy pieniężne z wykonania opcji w chwili T = 3 pod warunkiem,że nie wykonaliśmy opcji w T = 1, 2 przedstawia tabela:

Rysunek 5.2: Przepływy w chwili T = 3.

Jeżeli opcja jest w pieniądzu w chwili T = 2 posiadacz opcji musi zdecydować czywykonać opcję natychmiast, czy poczekać do chwili T = 3. Jak widać w tabeli 5.1 jesttylko 5 ścieżek spełniających ten warunek. Oznaczmy przez Y zdyskontowane przyszłeprzepływy wynikające w wykonania opcji w chwili T = 3 a przez X wartość akcji w chwiliT = 2. Do estymacji wartości oczekiwanej używamy tylko ścieżek, dla których opcja wchwili T = 2 jest w pieniądzu, ponieważ pomaga to lepiej oszacować warunkową wartośćoczekiwaną tam, gdzie jest ona nam potrzebna oraz poprawia to znacznie wydajnośćalgorytmu.

27

Rysunek 5.3: Zdyskontowane przyszłe przepływy i wartość akcji w chwili T = 2

W dalszej części algorytmu rzucamy Y na przestrzeń liniową stworzoną ze stałej, Xoraz X2. Jest to bardzo prosty typ wielomianów bazowych, w dalszej części referatu zo-stały omówione inne możliwe wybory wielomianów bazowych. Korzystając z metody naj-mniejszych kwadratów otrzymujemy rozwiązanie: E[X|Y ] = −1.070 + 2.983X − 1.813X2.Kolejna tabela przedstawia wartośći przepływów wynikających z natychmiastowego wyko-nania opcji (pierwsza kolumna) i warunkową wartość oczekiwaną przyszłych przepływów(druga kolumna).

Rysunek 5.4: Porównanie przepływów z chwili T = 2 z warunkową wartością oczekiwanąprzyszłych przepływów

Porównując przepływy z chwili T = 2 z warunkową wartością oczekiwaną przyszłychprzepływów podejmujemy decyzje: wykonujemy opcję teraz, gdy wartość przepływu znatychmiastowego wykonania opcji jest wyższa, lub nie wykonujemy opcji, gdy warunkowawartość oczekiwana jest wyższa. Tabela poniżej obrazuje uzyskane przepływy w wynikukierowania się taką strategią:

28

Rysunek 5.5: Przepływy wynikające z kierowania się strategią algorytmu

Postępując rekursywnie zastanowimy się, czy algorytm powinien być wykonany w chwi-li T = 1. W tabeli ścieżek wartości akcji widzimy tylko 5 ścieżek, w których opcja jest wpieniądzu w chwili T = 1. Tabela 5.6 przedstawia nowo zdefiniowane wartości X i Y : Yoznacza zdyskontowane przyszłe przepływy wynikające w wykonania opcji w chwili T = 2lub T = 3 (ale tylko w jednej z tych chwil) a X wartość akcji w chwili T = 1.

Rysunek 5.6: Zdyskontowane przyszłe przepływy i wartość akcji w chwili T = 1

Podobnie jak w poprzednim kroku postaramy się wyrazić Y przy pomocy stałej,X orazX2. Wyestymowana przy pomocy metody najmniejszych kwadratów warunkowa wartośćoczekiwana przyjmuje postać: E[X|Y ] = 2.038 − 3.335X + 1.356X2. Posiadając wzór nawarunkową wartość oczekiwaną możemy porównać przepływy jakie wynikną z wykonaniaopcji w chwili T = 1 z warunkową wartością oczekiwaną przyszłych przepływów:

29

Rysunek 5.7: Porównanie przepływów z chwili T = 1 z warunkową wartością oczekiwanąprzyszłych przepływów

Na podstawie wartości z tabeli 5.7 możemy znów podobnie jak w poprzednim krokupodjąć decyzje czy opłaca nam się wykonać opcję w chwili T = 1 czy poczekać z jejwykonaniem do chwili T = 2 lub T = 3. Zbierając decyzje z pierwszego i drugiego krokualgorytmu w całość otrzymujemy optymalny moment stopowania dla każdej ścieżki:

Rysunek 5.8: Optymalne momenty stopowania

Podążając za regułą stopowania wyznaczoną przez tabelę 5.8 otrzymujemy następująceprzepływy:

30

Rysunek 5.9: Przepływy wynikające ze stosowania reguły stopowania

Ostatnim krokiem algorytmu jest zdyskontowanie przepływów z 5.9 na chwilę T = 0w celu uzyskania ceny opcji amerykańskiej. Cena ta wynosi 0.1144 za jednostę nominału.

5.2 AlgorytmRozpatrzmy zupełną przestrzeń probabilistyczną (Ω,F ,P) i skończony horyzont czasowy[0,T ], gdzie Ω to zbiór możliych realizacji stochastycznej ekonomii, F jest σ-ciałem rozróż-nialych zdarzeń w chwili T , a P jest miarą probabilistyczną zdefiniowaną na elementachF . Zgodnie z teorią o braku arbitrażu, zakładamy tez istnienie miary martyngałowej Q.Chcemy wycenić opcję amerykańska o losowych wypłatach, które są elementami prze-strzeni funkcji całkowalnych z kwadratem lub o skończonej wariancji.Śćieżkę przepływów pieniężnych generowanych przez opcję, która nie jest wykonana przedlub w chwili t, będziemy oznaczać przez C(ω, s; t,T ). Algorytm zakłada, że opcję możemywykonać tylko w skończonej ilości momentów K. Do opcji, które mogą byc realizowanekażdej chwili również można zastosować algorytm, wystarczy dobrać odpowiednio dużeK.W każdym momencie t1, . . . , tK inwestor decyduje czy zrealizować opcję czy trzymać jądalej, przy czym realizacja następuję gdy tylko wartość oczekiwana z dalszego trzymaniaopcji jest niewiększa niż wypłata z jej natychmiastowgo wykonania. Znamy wypłatę z re-alizacji w danym momencie tk, natomiast wartość oczekiwana z dalszego trzymania opcjibędzie wyrażona wzorem:

F (ω; tk) = EQ[K∑

j=k+1

exp(−∫ tj

tk

r(ω, s)ds)C(ω, tj ; tk, T )|Ftk ]

gdzie r(ω, t) jest bezryzykowną stopą dyskontową, a wartość oczekiwana jest obliczanapod warunkiem zbioru Ftk (informacji w chwili tk). Wówczas problem optymalnego mo-mentu stopu sprowadza się do porównywania wartości z natychmiastowego wykonaniaopcji i warunkowej wartości oczekiwanej oraz realizacja opcji gdy tylko ta pierwsza jestdodatnia i większa lub równa warunkowej wartości oczekiwanej. Algorytm wykorzystu-je metodę najmniejszych kwadratów, żeby aproksymować funkcję warunkowej wartościoczekiwanej, zaczynając od tK−1 i przesuwając się rekurencyjnie dalej aż do t1. Zakłada-my, że F (ω; tk) może być przedstawiona jako kombinacja liniowa przeliczalenego zbioru

31

funkcji bazowych. Autorzy wymieniają tu m.in.:wielomiany Laguerre’a, Hermite’a orazLegendre’a. Implementacja algorytmu polega na wybraniu M < ∞ funkcji bazowych, aprzybliżenie F (ω; tk) w tej bazie nazywamy FM (ω; tk). Nastepnie estymujemy FM (ω; tk)korzystając z rzutów lub regresji zdyskontowanych wartości C(ω, s; t,T ) na funkcje bazo-we. Bierzemy pod uwagę jedynie ścieżki w kórych opcja była w chwili tK−1 "in the money",ponieważ tylko wtedy realizacja opcji jest sensowna. Następnie możemy porównać esty-mator warunkowej wartości oczekiwanej i wartości z natychmiastowej realizji i podjąćdecyzję co do wykonania opcji. Teraz możemy przejść do chwili tK−2 i tak dalej. Cenęopcji wyliczamy wtedy zaczynając w chwili zero i poruszając się wzdłuż każdej ścieżkiaż do napotkania pierszego momentu stopu, dyskontując przepływ pienieżny z realizacjiopcji do chwili zero, a następnie obiczając średnią po wszystkich ścieżkach ω.

32

Rozdział 6

Analiza algorytmuLongstaffa-Schwartza do wycenyopcji amerykańskich

Piotr Bochnia, Paweł Marcinkowski

Rozdział opracowany na podstawie pracy E.Clement, D. Lamberton, P. Prot-ter An analysis of the Longstaff-Schwartz algorithm for American option pri-cing, Cornell University Operations Research and Industrial Engineering, 2001

Algorytm zaproponowany w 2001 roku przez F. A. Longstaffa i E. S. Schwartza jestjedną z metod symulacyjnej wyceny opcji amerykańskich. Opiera się on na przybliżaniuwartości oczekiwanej wypłaty z opcji pod warunkiem jej niewykonania za pomocą estyma-tora najmniejszych kwadratów. Praca skupia się na udowodnieniu zbieżności algorytmu,a także zawiera wyniki dotyczące tempa tej zbieżności.

6.1 Zagadnienie wyceny opcji amerykańskiejNiech (Ω,A,P) będzie przestrzenią probabilistyczną z dyskretną filtracją (Fj)j=0,1,...,L,gdzie L oznacza horyzont czasowy, zaś niech (Zj)j=0,1,...,L oznacza ciąg zdyskontowanychwypłat z opcji amerykańskiej, będących zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadra-tem. Zakładamy tu dla uproszczenia, że opcja może być wykonana jedynie w skończonejliczbie momentów czasu 0, 1, . . . , L, a więc w istocie przybliżamy wartość opcji amery-kańskiej za pomocą opcji bermudzkiej. Wycena takiej opcji polega na obliczeniu wielko-ści U0 = supτ∈T0,L EZτ , gdzie Tj,L jest zbiorem momentów zatrzymania o wartościachw j, j + 1, ..., L. Korzystając z klasycznej teorii optymalnego stopowania można łatwopokazać, że U0 = EZτ0 , gdzie τ0 jest momentem stopu wyznaczonym rekurencyjnie:τL = L

τj = j1Zj­E(Zτj+1 |Fj) + τj+11Zj<E(Zτj+1 |Fj)

Problem wyceny opcji sprowadziliśmy więc do problemu obliczenia momentów zatrzy-mania τj , tj. momentów optymalnego wykonania opcji, pod warunkiem, że nie wykonanojej przed chwilą j.

33

6.2 Algorytm Longstaffa-SchwartzaNiech (Xj)j=0,...,L będzie ciągiem cen instrumentu bazowego, który jest (Fj) łańcuchemMarkowa na przestrzeni stanów (E, E). Pierwszym krokiem algorytmu jest przybliżeniewarunkowych wartości oczekiwanych E(Zτj+1 |Fj) = E(Zτj+1 |Xj) za pomocą rzutu ortogo-nalnego na przestrzeń generowaną przez skończoną liczbą zmiennych z ciągu (ek(Xj))k­1,gdzie (ek)k­1 są funkcjami mierzalnymi E → R, spełniającymi następujące warunki

• A1: (ek(Xj))k­1 tworzą układ zupełny w L2(σ(Xj)) dla j = 1, ..., L− 1

• A2: dla j = 1, ..., L − 1 oraz m ­ 1, jeżeli∑mk=1 λkek(Xj) = 0 wtedy λk = 0 dla

k = 1, ...,m

Wybierając m pierwszych funkcji bazowych oraz oznaczając przez Pmj rzut ortogonalnyna podprzestrzeń generowaną przez e1(Xj), ..., em(Xj) dla j = 1, ..., L − 1 możemyzdefiniować momenty zatrzymania τ [m]

j :τ

[m]L = L

τ[m]j = j1Zj­Pmj (Z

τ[m]j+1

) + τ[m]j+11Zj<Pmj (Z

τ[m]j+1

)

Wówczas Um0 = max(Z0,EZτ [m]1) jest przybliżoną wartością opcji.

Drugim krokiem algorytmu Longstaffa-Schwartza jest symulacyjne oszacowanie EZτ[m]1

.W tym celu generujemy pewną liczbę N ścieżek procesu cen i powiązanego z nim proce-su wypłat (X(1)

j , ..., (X(N)j )), Z(n)

j = f(j,X(n)j ), gdzie f jest pewną funkcją borelowską.

Przybliżone optymalne momenty zatrzymania przedstawiają się następująco:τn,m,NL = L

τn,m,Nj = j1Zj­α

(m,N)j ·em(X(n)j )

+ τn,m,Nj+1 1Zj<α

(m,N)j ·em(X(n)j )

,

gdzie α(m,N)j = argmina∈Rm

∑Nn=1(Z(n)

τn,m,Nj+1−a ·em(X(n)

j ))2 są estymatorami najmniejszych

kwadratów współczynników rzutu ortogonalnego, zaś em = (e1, ..., em). Ostatecznie przy-bliżona symulacyjnie wartość opcji wyraża się wzorem Um,N0 = max(Z0,

1N

∑Nn=1 Z

(n)τn,m,N1

).

6.3 OznaczeniaW celu wyrażenia kluczowych twierdzeń dotyczących zbieżności algorytmu Longstaffa-Schwartza konieczne jest wprowadzeniu kilku oznaczeń. Po pierwsze oznaczmy przez αmjwektor współczynników rzutu ortogonalnego wypłaty z opcji na przestrzeń funkcji bazo-wych (tj. Pmj (Z

τ[m]]j+1

) = αmj · em(Xj)). Wyraża się on wzorem:

αmj = (Amj )−1E(Zτ[m]]j+1· em(Xj)),

gdzie Amj = (E(ek(Xj)el(Xj)))k,l=1,2,...,m jest macierzą m ×m. Ponadto oznaczmy przezαm,Nj estymator najmniejszych kwadratów wektora współczynników rzutu, oraz zapisz-my wszystkie wektory w jednej macierzy (m × L − 1): αm = (αm1 , ..., α

mL−1), α(m,N) =

(α(m,N)1 , ..., α

(m,N)L−1 ). Następnie dla j = 1, 2, . . . , L zdefiniujmy funkcje Fj (analogicznie do

definicji momentów stopu):

34

FL(am, z, x) = zL

Fj(am, z, x) = zj1zj­amj ·em(xj) + Fj+1(am, z, x)1zj<amj ·em(xj)

Zauważmy, że wówczas Fj(αm, Z,X) = Zτ[m]j

, oraz Fj(α(m,N), Z(n), X(n)) = Z(n)τn,m,Nj

.

Wreszcie, niech φj(am) = EFj(am, Z,X).

6.4 Zbieżność algorytmuZagadnienie zbieżności algorytmu Longstaffa-Schwartza należy rozpatrywać w dwóch sen-sach

• Zbieżność wraz ze zwiększaniem liczby funkcji bazowych tj. Um0 −→m→∞ U0

• Zbieżność wraz ze zwiększaniem liczby symulacji tj. Um,N0 −→N→∞p.n. Um0

Jeśli chodzi o zbieżność w pierwszym sensie, jest ona konsekwencją następującegotwierdzenia:

Twierdzenie 6.1. Przy założeniu warunku A1 dla każdego j = 0, 1, . . . , L mamy

E(Zτ[m]j

|Fj)m→∞−→ E

(Zτj |Fj

)w L2

Istotnie, z twierdzenia 6.1 wynika, że:

EZτ[m]1

= E(E(Zτ[m]1|F1

))m→∞−→ E (E (Zτ1 |F1)) = EZτ1

Ponadto wiemy, żeUm0 = max(Z0,EZτ [m]1

), oraz

U0 = max (Z0,E (Zτ1 |F0)) = max (Z0,EZτ1)

Zatem istotnie Um0m→∞−→ U0.

O zbieżność algorytmu wraz ze zwiększaniem liczby symulacji świadczy następującetwierdzenie:

Twierdzenie 6.2. Załóżmy A1 i A2, oraz że dla j = 1, 2, . . . , L−1 P (αj · e(Xj) = Zj) =0. Wówczas

limN

1N

N∑n=1

F1

(α(m,N), Z(n), X(n)

)= φ1(αm),

a zatem Um,N0 −→N→∞p.n. Um0 .

Dowód twierdzenia 6.2 opiera się na następujących dwóch lematach.

Lemat 6.1. Dla j = 1, 2, . . . , L mamy

|Fj(a, Z,X)− Fj(b, Z,X)| ¬L∑i=j

|Zi|L−1∑i=j

1|Zi−bi·e(Xi)|¬|ai−bi||e(Xi)|

Lemat 6.2. Jeżeli dla j = 1, 2, . . . , L− 1 P (αj · e(Xj) = Zj) = 0 to α(m,N)j zbiega prawie

na pewno do αmj

35

6.5 Tempo zbieżności algorytmuW ostatnim podrozdziale zbadano tempo zbieżności algorytmu LS, po przez analizę cia-sności oraz granicy według rozkładu ciągu zmiennych losowych 1

N

∑Nn=1 Zτn,Nj

, przy para-metrze m ustalonym. Dla sprawdzenia powyższych właśności zaproponowano następującedodatkowe założenia:

• H1: zmienna losowa Z oraz funkcje e1, ..., em są ogarniczone.

• H2: lim supε→0P(|Zj−αje(Xj)|¬ε)

ε = 0 dla j = 0, ..., L− 1

• H∗2 : Dla j = 0, ..., L − 1 istnieje otoczenie Vj wektora αj t. że dla αj ∈ Vj , Zj −αj · e(Xj) posiada funckję gęstości fαj w otoczeniu 0, taką że, dla pewnego η ¬ 0,supαj∈Vj ,|z|¬η fαj (z) < +∞

• H3 Dla j = 0, ..., L− 1, φj i ψj są klasy C1 w otoczeniu α

Można zaobserwować, że warunek H∗2 jest silniejszy od H2.

Twierdzenie 6.3. Jeśli założenia H1 i H2 są spełnione, rodziny zmiennych losowych( 1√

N

∑Nn=1(Fj(α(N), Z(n), X(n)) − φj(α)))N­1 dla j = 1, ..., L oraz (

√N(α(N)

j − αj))N­1

dla j = 1, ..., L− 1 są ciasne.

Dużo ważniejszym faktem mówiącym o tempie zbieżności jest poniższe twierdzenie,które wskazuje, że zbieżność według rozkładu do rozkładu normalnego można uzyskać dlaciągu 1√

N.

Twierdzenie 6.4. Przy założeniach H1, H∗2 oraz H3 wektor

(1√N

N∑n=1

(Z(n)τn,Nj

− EZτmj ),√N(α(N)

j − αj))j=1,...,L−1

zbiega według rozkładu do wektora gaussowskiego, gdy N −→∞

Po rozpisaniu definicji ciągów z twierdzenia 6.4 jego dowód opiera się na poniższymtechnicznym twierdzeniu.

Twierdzenie 6.5. Przy założeniach takich samych jak w twierdzeniu 6.4 zmienne losowe

1√N

N∑n=1

(Fj(α(N), Z(n), X(n))− Fj(α,Z(n), X(n))− (φj(α(N))− φj(α)))

oraz

1√N

N∑n=1

(Gj+1(α(N), Z(n), X(n))−Gj+1(α,Z(n), X(n))− (ψj+1(α(N))− ψj+1(α)))

zbiegają do 0 w L2, dla j = 1, ...L− 1

36

Rozdział 7

Wycena opcji amerykańskich przypomocy metod Monte Carlo:przybliżanie ceny opcji od góry

Natalia Włodarczyk, Mikołaj Stelmach

Rozdział opracowany na podstawie pracy L. C. G. Rogers Monte Carlo valu-ation of american option, Mathematical Finance, 3 (2002) 271-286

W poniższym rozdziale przedstawiony został sposób otrzymania górnej granicy dlaceny opcji amerykańskiej przy pomocy metod Monte Carlo. W pierwszym podrozdzia-le zaprezentowana zostanie teoretyczna podstawa do stosowania metod wyceny, zaś wnastępnym podrozdziale - wyniki symulacji przy pomocy opisanych wcześniej metod.

7.1 Cena opcji amerykańskiejW standardowym modelu z czasem ciągłym Blacka-Scholesa pokazuje się, że cena arbi-trażowa większości wypłat amerykańskich w momencie t jest zadana wzorem

Y ∗t = ess supτ∈T[t;T ]E(Zτ∣∣Ft) , (7.1)

gdzie Zt stanowi zdyskontowaną wypłatę w momencie t, otrzymywaną w przypadku wy-konania opcji, T[a;b] jest zbiorem momentów zatrzymania τ przyjmujących wartości wprzedziale [a; b], zaś ess supα∈AXα to supremum istotne rodziny zmiennych losowych Xα.W szczególności, podstawiając t = 0 we wzorze (7.1), otrzymamy

Y ∗0 = ess supτ∈T[0;T ]E (Zτ |F0) = supτ∈T[0;T ]EZτ .

W dalszej części postaramy się przekształcić właśnie ten wzór w inną, łatwiejszą do sy-mulacji, formułę.

Twierdzenie 7.1. Przy powyższych oznaczeniach, jeśli zachodzi sup0¬t¬T |Zt| ∈ Lp dlapewnego p > 1 oraz Z jest procesem prawostronnie ciągłym, to

Y ∗0 = infM∈H10

E(sup0¬t¬T (Zt −Mt)

),

37

przy czym H10 to zbiór martyngałów M , dla których zachodzi sup0¬t¬T |Mt| ∈ L1 oraz

M0 = 0.

Warto zwrócić uwagę, że założenie sup0¬t¬T |Zt| ∈ Lp nie jest zbyt wygórowanymzałożeniem - dla standardowego rynku Blacka-Scholesa z jednym aktywem ryzykownym inp. opcją kupna jest ono spełnione dla p = 2.

Dowód. Żeby pokazać równość supτ∈T[0;T ]EZτ = infM∈H10 E(sup0¬t¬T (Zt −Mt)

), poka-

żemy nierówności w obie strony. Najpierw weźmy dowolny M ∈ H10 , wtedy korzystając

m.in. z twierdzenia Dooba, otrzymujemy:

supτ∈T[0;T ]EZτ = supτ∈T[0;T ]E (Zτ −Mτ ) ¬ E(

sup0¬t¬T

(Zt −Mt)

).

Przykładając obustronnie infimum po wszystkich M ∈ H10 , otrzymujemy pierwszą

nierówność:

supτ∈T[0;T ]EZτ ¬ infM∈H10

E(sup0¬t¬T (Zt −Mt)

).

Do dowodu drugiej nierówności potrzebnych będzie nam kilka dodatkowych faktów zanalizy stochastycznej. Po pierwsze, ze wzoru (7.1) wynika, iż proces Y ∗t jest obwiedniąSnella dla procesu Zt, czyli najmniejszym nadmartyngałem majoryzującym ten proces(wszelkie wartości oczekiwane wyliczane są, jak zazwyczaj w przypadku rynku Blacka-Scholesa, względem miary martyngałowej dla tego rynku). Do dalszych rozważań będzienam potrzebna dodatkowa definicja.

Definicja 7.1. Proces (Xt)t∈[0;T ] nazywamy procesem klasy (D), jeśli rodzina zmiennychlosowych Xτ : τ ∈ T[0;T ] jest jednostajnie całkowalna.

Istnieje twierdzenie mówiące, iż dla procesu klasy (D) jego obwiednia Snella takżejest procesem klasy (D). Tak jest istotnie w naszym przypadku: można łatwo pokazać, żeprzy założeniu sup0¬t¬T |Zt| ∈ L1 (wynikającym stąd, iż sup0¬t¬T |Zt| ∈ Lp dla pewnegop > 1) proces Zt faktycznie jest klasy (D). Otrzymujemy więc, iż Y ∗t jest procesem klasy(D). Jest to także - z samej definicji obwiedni Snella - nadmartyngał. Kolejnym ważnymtwierdzeniem z analizy stochastycznej, z którego skorzystamy, jest twierdzenie mówiące, iżpod tymi założeniami (bycie nadmartyngałem klasy (D) na odcinku [0;T ]) istnieje rozkładDooba-Meyera:

Y ∗t = Y ∗0 +M∗t −At,

gdzie M∗t jest martynagałem prawostronnie ciągłym, At - procesem niemalejącym,prognozowalnym i całkowalnym oraz M∗0 = A0 = 0. Pokażemy teraz, że M∗ ∈ H1

0 .Zdefiniujmy w tym celu Nt = E

(sups∈[0;T ] |Zs|

∣∣Ft). Z nierówności Jensena otrzymujemy

(dla p > 1 z założeń twierdzenia) Npt ¬ E

(sups∈[0;T ] |Zs|

p ∣∣Ft), a stąd biorąc obustronniewartość oczekiwaną:

ENpt ¬ Esups∈[0;T ] |Zs|

p =: N < +∞,

z założenia iż sup0¬t¬T |Zt| ∈ Lp. Stąd otrzymujemy także, iż

supt∈[0;T ]ENpt ¬ N,

38

co z kolei prowadzi do następnych szacowań, w których skorzystamy z nierówności mak-symalnej Dooba:

Esupt∈[0;T ]Npt ¬

(p

p− 1

)psupENp

t ¬(

p

p− 1

)pN,

skąd w końcu otrzymujemy, iż Esupt∈[0;T ]Nt < +∞. Łatwo zauważyć także, iż mamyY ∗t ¬ Nt, więc wykorzystując ten fakt i rozkład Y ∗t otrzymujemy:

|M∗t | ¬ |Y ∗t |+ |Y ∗0 |+ |At| ¬ Nt + |Y ∗0 |+At.

Przykładając obustronnie supremum, a następnie wartość oczekiwaną, dostaniemy z kolei:

Esupt∈[0;T ] |M∗t | ¬ Esupt∈[0;T ]Nt + E |Y ∗0 |+ EAT ,

co ostatecznie pokazuje, że M∗ ∈ H10 , gdyż we wcześniejszych akapitach ukazaliśmy, iż

wszystkie elementy po prawej stronie nierówności są skończone.Całe powyższe rozważania umożliwią nam teraz pokazanie nierówności w drugą stronę:

infM∈H10Esupt∈[0;T ] (Zt −Mt) ¬ Esupt∈[0;T ] (Zt −M∗t ) ¬ Esupt∈[0;T ] (Y ∗t −M∗t )

= Esupt∈[0;T ] (Y ∗0 −At) = Y ∗0 ,

przy czym druga nierówność wynika z faktu, iż Y ∗t z definicji obwiedni Snella majoryzujeZt.

Twierdzenie to pokazuje, w jaki sposób można wysymulować górną granicę ceny opcjiamerykańskiej w chwili 0. Należy wziąć dowolny martyngał M ∈ H1

0 , następnie wygene-rować serię ścieżek zarówno Z, jak i M , po czym uśrednić wielkość supt∈[0;T ] (Zt −Mt). Zdowodu twierdzenia wynika, iż optymalnym (tj. zadającym infimum) martyngałem był-by M∗ wzięty z rozkładu Y ∗; nie zawsze jednak da się taki martyngał znaleźć, więc wnastępnym podrozdziale przedstawione zostaną inne możliwe wybory martyngału.

7.2 Symulacje Monte CarloNa początku opiszemy ogólne postępowanie, prowadzące do otrzymania żądanego oszaco-wania.

Pierwszym krokiem jest wybór martyngałów. Ponieważ nie da się ściśle określić, któ-re martyngały będą lepsze, a które gorsze, co więcej nie mamy zbyt dużych możliwo-ści - w końcu musimy znać jawną postać, aby móc je symulować, to ograniczymy się donajprostszego wyboru, czyli ceny opcji europejskiej. Gdy już mamy jeden lub więcej mar-tyngałów zaczynamy od symulacji stosunkowo małej (¬ 1000) liczby ścieżek każdego znich na ok. 40 odcinkach czasowych. Bierzemy wektor M wysymulowanych martyngałówi znajdujemy λ∗ = minλ E(sup0¬t¬T (Zt − λMt)), otrzymując martyngał λ∗M , który jestlepszy od każdego z pozostałych. Mając już odpowiednie wagi symulujemy większą liczbęścieżek (∼ 104) tego martyngału i liczymy średnią wartość wyrażenia sup0¬t¬T (Zt−λ∗M)po wszystkich ścieżkach, co daje nam górne oszacowanie ceny opcji amerykańskiej. Zoba-czymy teraz, jak wygląda to w praktyce.

39

Przykład użycia Monte Carlo do uzyskania ceny opcji amerykańskiej

Działanie metody przedstawimy na przykładzie stanardowej amerykańskiej opcji put najedno aktywo zadane rozkładem log-normalnym:

St = S0 exp (σWt + (r − σ2

2)t)

o procesie wypłaty zadanym wzorem:

Zt = (K − St)+,

z parametrami K = 100, σ = 0.4, r = 0.06, T = 0.5. Jako martyngał została wziętazdyskontowana cena europejskiej opcji put, mającej tę samą funkcję wypłaty. Martyngałten zadany jest wzorem:

Mt = St exp(−rt)Φ(−d1) + exp(−rT )KΦ(−d2),

gdzie d1 =ln(St/K)+r(T−t)+ 12σ

2(T−t)σ√T−t , d2 = d1 − σ

√T − t, a Φ jest dystrybuantą rozkładu

N (0, 1). Do optymalizacji zostało użytych 300 ścieżek, a do właściwej symulacji 5000,wszystkie ścieżki miały 50 odcinków czasowych. W poniższej tabeli prezentujemy otrzy-mane wyniki (wartości w kolumnie „Cena” pochodzą z pracy F. Ait-Sahalia, P. Carr,American options: a comparison of numerical methods, w: L. C. G. Rogers, D. Talay ed.,Numerical methods in finance, Cambridge University Press, pp. 67-87, 1997):

Tabela 7.1: Symulacja cen amerykańskich opcji put. Martyngałem jest zdyskontowanacena odpowiadającej europejskiej opcji put. Parametry: K = 100, σ = 0.4, r = 0.06,T = 0.5.

S0 Cena Cena MC Błądstandardowy

80 21.6059 21.6953 0.003785 18.0374 18.1008 0.004090 14.9187 14.9692 0.003895 12.2314 12.2685 0.0027100 9.9458 9.9703 0.0027105 8.0281 8.0439 0.0024110 6.4352 6.4757 0.0054115 5.1265 5.1363 0.0016120 4.0611 4.0761 0.0036

Zgodność jest do 0, 63% w każdym przypadku, a średni błąd standardowy to 0, 34%,czyli nasza metoda daje dosyć dokładne górne oszacowanie.

40

Rozdział 8

Obliczanie górnego ograniczeniaceny opcji amerykańskich bezsymulacji zagnieżdżonych

Magdalena Hubicz i Patrycja Pol

Rozdział opracowany na podstawie pracy "Fast Computation of Upper Boundsfor American-style Options without Nested Simulation", autorów Yang Wang,Russel Caflisch, 2010

8.1 WstępArtykuł pezentuje szybki i efektywny sposób estymacji ceny amerykańskiej opcji upper bo-unds bez wykorzystywania symulacji zagnieżdzonych. Wyprowadzona zostanie analitycznapostać dla martyngału, niezbędna dla przedstawienia dualnej potaci wzoru na cenę. Wpóźniejszej części zaproponowana zostananie symulacja algorytmu zbudowanego na pod-stawie skonstruowanego martyngału. Pozwoli to w znaczny sposob przyspieszyć wycenęopcji w stosunku do poprzednich sposobów symulacji. Na koniec przytoczonych zostaniekilka potwierdzających przykładów.

8.2 Przedstawienie problemu wyceny amerykańskiej opcji

Ogólne założeniaRozpatrujemy rynek zupełny z czasem skończonym (t ∈ [0, T ]) w standardowej prze-

strzeni propabilistycznej z określoną filtracją (Ω,F , Ft0¬t¬T ,P). Przestrzen stanów jestzbiorem wszystkich realizacji na rynku finansowym, F jest sigma algebrą zdarzeń w czasiet, a P jest miara propabilistyczną zdefioniowaną na F . Filtracja F0¬t¬T jest generowa-na przez d−wymiarowy standardowy ruch Browna a stan gospodarki reprezentowany jestprzez d−wymiarowy Ft-adaptowalny proces Markowa St = (S1

t , S2t , . . . , S

dt ), 0 ¬ t ¬

T.

Wycena opcji

41

Niech Xt = X(St) będzie nieujemnym adaptowalnym procesem reprezentującym wy-płatę z opcji. Definiujemy również bezryzykowny rynek pieniężny reprezntowany przezproces Bt = e

∫ t0rsds, gdzie rs jest ciągłą stopą zwrotu wolną od ryzyka. Zakłada się,

że używając Bt jako proces numeryczny istnieje miara Q równoważna P dla której cenyaktywów są martyngałami.

Problem dualnyCena amerykańskiej opcji może zostac sformułowana za pomocą problemu dulanego.

Niech Vt oznacza rozwiązanie w chwili t, zależne od momentu w czasie i stanu St. Możnazatem przedstawić problem za pomocą optymalnego momentu zatrzymania:

Pierwotne: V0 = supτ∈Γ[0,T ]

EQ0

[Xτ

Bτ

]. (8.1)

Dla zdyskontowanego procesu cen przedstawienie ogólne ma postać:VtBt

= supτ∈Γ[t,T ]

EQ0

[Xτ

Bτ

], (8.2)

gdzie Γ[t, T ] oznacza zbiór momentów zatrzymania spełniających:

t ¬ τ ¬ T. (8.3)

W ogólnościXt zależy od ścieżki aktywów do czasu t. Bezpośrednio można zdefioniowaćcenę amerykańskiej opcji lower bounds w chwili t przez Lt, wykonanej w momencie τ ∈Gamma[t, T ]:

LtBt

= EQ0

[Xτ

Bτ

]¬ VtBt

(8.4)

W celu znalezienia optymalnego momentu wykonania użyto metodę NajmniejszychKwadratów z wykorzystaniem Monte-Carlo z pracy Longstaffa i Schwartza (2001). Jestto mniej bezpośredni sposób na określenie gornego ograniczenia estymatora dlaa wartościopcji amerykańskiej. W pracach Rogersa z 2002 roku oraz Haugha i Kogana z 2004 możnaznaleźć dowód na to, że ograniczenie górne można uzyskać przez policzenie wartości kilkuopcji lookback dla dowolnie wybranego procesu martyngałowego. Główne wnioski i dowodydla dualnej reprezentacji problemu podsumowuje w poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 8.1. Niech Π oznacza przestrzeń adaptowalnych martyngałów, wtedy za-chodzi poniższy wzór na dualną reprezentację dla amerykańskiej opcji:

Dualny: VtBt

= infπ∈Π

(πt + EQ

t

[maxu∈[t,T ]

(Xu

Bu− πu

)]). (8.5)

Wówczas infimum jest osiągane dla π = M , gdzieVtBt

= Mt −At (8.6)

jest rozkładem Dooba-Meyera dla nadmartyngału VtBt, M jest martyngałem a A jest rosną-

cym procesem z A0 = 0.

Głównym wnioskiem z twierdzenia jest to, że dla dowolnie wybranego martyngału pra-wa strona 8.5 definiuje ograniczenie górne dla opcji amerykańskiej oraz to ograniczenie bę-dzi prawidłowe o ile wybrany proces jest bliski martyngałowi z rozkładu Doooba-Mayera.Wybierając zatem π jako ten prawidłowy martyngał dostanie się wartość bliską Lt

Bt.

42

8.3 Teoretyczne podstawy dla obliczenia upper bound

Dalsze założeniaW tej części zostaną zaprezentowane teoretyczne podstawy dla bezpośredniej kon-

strukcji prawiłowego martyngału. Przedstawione podejście różni się w swej istocie od do-tychczasowych badań, gdyż stara się wykorzystać analityczna właściwości przybliżanegomartyngału.

Przed dokładnym określeniem metody, potrzeba wprowadzić kilka dodatkowych zało-żeń. Po pierwsze, zakładamy, że w odniesniu do neutralnej miary Q, d-wymiarowy procesMarkowa St = (S1

t , S2t , . . . , S

dt ) określany jest przez d różnych procesów Wienera w taki

sposób, iż spełnione są następujące stochastyczne równania różniczkowe:

dSit = µi(t, St)dt+ σi(t, St)dW it dla każdego i = 1, . . . , d.

Powyższe procesy Winera mogą być skorelowane, a ich ewentualne korelacje będziemyoznaczali przez ρij . Dodatkowo, własność Markowa implikuje, że funkcje µi oraz σi zależnesą jedynie odd czasu t oraz obecnego stanu St (czyl nie są losowe). Co więcej, zakładamy,że cały zbiór: (t, St) : 0 ¬ t ¬ T, Sit ­ 0 można podzielić na dwa obszary:

S = (t, St) : V (t, St) = X(St) (stopping region)

C = (t, St) : V (t, St) > X(St) (continuation region)

Dla ścisłości, przyjmujemy, że (0, S0) ∈ C (czyli decyzja w momencie 0 nigdy nie jestoptymalna) oraz (T, ST ) ∈ S, gdy V (T, ST ) = X(ST ) = 0 (czyli opcja jest bezwartościowąw dniu wykupu). Przy takich założeniach prawdziwe jest twierdzenie 8.2

Twierdzenie 8.2. Niech V (t, St) oznacza proces opisujący wartość opcji amerykańskiej wmomencie t, wtedy ’prawidłowy’ martyngał Mt, tzn. martyngal z rozkład Dooba dla V (t,St)

Bt, który jest potrzebny, by osiągnąć minimum w (8.5), można przedstawić jako:

Mt = V0 +∫ t

0

1Bu

d∑i=1

∂V

∂Si(u, Su)σi(u, Su)dW i

u. (8.7)

8.4 Własności martyngału z rozkładu Dooba-Meyera

8.4.1 Czas ciągły

Już na pierwszy rzut oka widać powiązanie wzoru 8.7 z formułą na zabezpieczenie deltyopcji. W standardowym modelu Blacka-Scholesa procesMt pokrywa się z doskonale delta-zabezpieczonym portfelem o kapitale początkowym V0. Rozpatrzmy opcję amerykańską nad instrumentów bazowych Sitdi=1 nie wypłacających dywidendy, spełniających równaniedSit = rtS

itdt+ σi(t, St)dW i

t . Teraz możemy zapisać Mt jako:

Mt = V0 +∫ t

0

1Bu

d∑i=1

∂V

∂Si(u, Su)σi(u, Su)dW i

u = V0 +∫ t

0

d∑i=1

∆i(u, Su)d(∂Siu∂Bu

), (8.8)

gdzie ∆i = ∂V∂Si

jest wektorem wrażliwości. Jak pokazuje prawa strona równania 8.8, "po-prawny" martyngał z rozkładu Dooba-Meyera zabezpieczający opcję amerykańską, składa

43

się z kapitału początkowego V0 i ∆i akcji Sit dla każdego czasu t. Co dokładnie pokrywasie z definicją delta-hedgingu.

Niestety bezpośrednie zastosowanie Twierdzenia ?? byłoby bezowocne. KonstrukcjaMt zgodnie ze wzorem ?? wymaga ewaluacji wektora wrażliwości dla każdej chwili czasu,co jest w każdym calu tak trudne jak poradzenie sobie z wyjściowym problemem wyce-ny opcji. Dlatego skupmy się na własnościach jakie posiada Mt, co przyda nam się dokonstrukcji martyngału.

Twierdzenie 8.3. Ciągły martyngał Mt ma następujące własności:

1. Jeśli (u, Su) ∈ C dla s ¬ u ¬ t, wówczas Mt = Ms − VsBs

+ VtBt.

2. Jeśli (u, Su) ∈ S dla s ¬ u ¬ t, wówczas Mt = Ms +∫ ts

1Bu

d∑i=1

∂X∂Si

σidW iu.

3. maxu∈[0,T ]

(XuBu −Mu) jest zawsze osiągane w jakimś (u, Su) ∈ S.

Własności 1. i 2. pokazują nam, że konstrukcja maryngału w obszarze stopu i obszarzekontynuacji wygląda zupełnie inaczej. W obszarze kontynuacji, Vu

Bujest martyngałem, a

przyrost Mu jest identyczny z przyrostem VuBu

. W obszarze zatrzymania, przyrost Mu

jest wyrażony jako całka stochastyczna z bezpośrednio podanej funkcji podcałkowej. Cowięcej, z własności 3. wnioskujemy, że nie ma potrzeby szukać maksimum w obszarzekontynuacji, co prowadzi do znacznej redukcji ilości obliczeń.

8.4.2 Czas dyskretny

W praktycznym zastosowaniu nie jesteśmy w stanie przeprowadzać obliczeń dla wyko-nania opcji w dowolnej chwili czasu, jak pozwala opcja amerykańska. Dlatego rozważy-my opcję bermudzką, która będzie mogła być wykonana w określonych chwilach czasu,Γ = t1, t2, . . . , tn, 0 < t1 < t2 < . . . < tn = T . Dodatkowo zakładamy, że opcja nie możebyć wykonana w chwili 0.

Zanim zagłębimy się w szczegóły dotyczące implementacji algorytmu, popatrzmy jakzmieniły się własności martyngału w czasie dyskretnym (indykator 1lt określa czy chwilat jest optymalnym momentem wykonania).

Twierdzenie 8.4. Zdyskretyzowany martyngał πt ma następujące własności:

1. Jeśli 1ltj−1 = 0, wówczas πtj = πtj−1 −Vtj−1Btj−1

+VtjBtj

.

2. Jeśli 1ltj−1 = 1, wówczas πtj = πtj−1 +∫ tjtj−1

1Bu

d∑i=1

∂V∂Si

σidW iu.

Jak widać powyższe własności niewiele różnią się od obowiązujących dla czasu ciągłego1. i 2., lecz aby pokazać własność analogiczną dla 3. musimy skonstruować nowy proces.

Dla dowolnej strategii suboptymalnej τ , niech Lt oznacza odpowiadające mu ograni-czenie dolne procesu wartości, zdefiniowane jako

LtBt

= EQt [Xτt

Bτt],

44

gdzie τt = infu ∈ Γ ∩ [t, T ] : 1lτu = 1 oraz 1lτu jest indykatorem wykonania związanym zestrategią τ . Dla opcji bermudzkiej, ograniczenie dolne możemy zapisać również jako:

Ltj = max(Xtj , Qtj ),

gdzie Qtj := EQtj [BtjBtj+1

Ltj+1 ] oznacza wartość kontynuacji opcji w czasie tj . Zgodnie zpowyższym zapisem i strategią suboptymalną, obszar (t, St) : t ∈ Γ, Sit ­ 0 może byćpodzielony na obszar stopu

S = (t, St) : L(t, St) = X(St)

oraz obszar kontynuacjiC = (t, St) : L(t, St) > X(St).

W świetle twierdzenia 8.4, możemy aproksymować zdyskretyzowany martyngał πt używa-jąc ograniczenia dolnego Lt w następujący sposób:

π0 := L0, πt1 :=Lt1Bt1

, (8.9)

πtj :=

πtj−1 −

Ltj−1Btj−1

+LtjBtj

, jeśli 1lτtj−1 = 0

πtj−1 +∫ tjtj−1

1Bu

d∑i=1

∂X∂Si

σidW iu , jeśli 1lτtj−1 = 1

dla 2 ¬ j ¬ n. (8.10)

πt jest martyngałem, a powyższa specyfikacja pozwala ominąć zbędne i czasochłonnesymulacje wewnętrzne.

Teraz możemy przedstawić własność martyngału πt analogiczną do 3. z Twierdzenia8.3.

Twierdzenie 8.5. maxu∈Γ

(XuBu − πu) jest zawsze osiągane w pewnym (u, Su) ∈ S.

Wynika stąd jak poprzednio, że szukamy maksimum tylko w obszarze zatrzymania.

8.5 AlgorytmDo estymowania wartości L0 autorzy używali algorytmu Longstaffa-Schwartza, dlategoprzypomnimy oznaczenia: αj = (αlj , 1 ¬ l ¬ k) ∈ Rk - zbiór współczynników regresjiobliczany dla każdego kroku czasu tj , 1 ¬ j ¬ n − 1, gj = glj , 1 ¬ l ¬ k) ∈ Rk -baza regresji. Dla każdej ścieżki cen akcji Stj0¬j¬n niezależnej od tych używanych walgorytmie Longstaffa-Schwartza, strategia suboptymalna jest definiowana jako:

τt = infu ∈ Γ ∩ [t, T ] : Xu > Qu,

gdzie Qtj = 〈αj , gj〈 (Stj ) jest aproksymowaną wartością kontynuacji opcji dla chwili tj .Ustalamy również dalej, że Lt = max(Xt, Qt).

Górne ograniczenie jest obliczane w następujący sposób:

1. Symulujemy trajektorie d instrumentów bazowych:

St1 = (S1t1 , . . . , S

dt1), . . . , Stn = (S1

tn , . . . , Sdtn);

45

2. Ustalamy π0 = L0, MAX = X0B0− L0; następnie dla każdego 1 ¬ j ¬ n:

(a) Jeśli 1lτtj−1 = 0, to

πtj = πtj−1 −Ltj−1Btj−1

+LtjBtj

(b) Jeśli 1lτtj−1 = 1, to

πtj = πtj−1 +∫ tj

tj−1

1Bu

d∑i=1

∂X

∂SiσidW i

u

orazMAX = max

(Xtj

Btj− πtj ,MAX

);

3. Powtarzamy kroki 1.-2. dla Ndual niezależnych trajektorii, by obliczyć

∆0 =1

Ndual

Ndual∑i=1

MAXi

oraz górną granicę Lu = L0 + ∆0.

8.6 Analiza błędów i złożonościPowyższy algorytm bazuje jedynie na zdyskretyzowaniu własności martyngału Mt opisa-nych w Twierdzeniu 8.3. Wraz z zagęszczaniem podziału przybliżenie będzie zbiegało doceny opcji amerykańskiej, pod warunkiem, że wartości Lt są wystarczająco bliskie praw-dziwym wartościom Vt, oraz strategia suboptymalna jest wystarczająco bliska strategiioptymalnej. Dowód zbieżności został przez autorów pominięty, ze względu na analogię dodowodu zbieżności schematu Eulera.

Porównując zaś złożoność przedstawionego algorytmu do istniejących już procedur,widzimy jak wiele obliczeń oszczędzamy unikając symulacji zagnieżdżonych.

Algorytm Andersena i Broadiego (2004) wymaga, by w każdej chwili t ∈ Γ, wykonaćN2 (dla 1lt = 1) lub N3 (dla 1lt = 0) wewnętrznych symulacji, z których każda wymagasymulowania potencjalnie do n ścieżek. Daje nam to złożoność rzędu

d×Ndual ×max(N2, N3)× n2.

W ulepszonym algorytmie Boadiego i Cao (2008) wewnętrzne symulacje są ograniczonetylko do obszaru w którym 1lt = 1, lecz nie zmienia to jego złożoności. Haugh i Koganowi(2004) udało się zredukować złożoność do poziomu liniowej zależności od ilości momentówwykonania

d×Ndual ×N2 × n,

lecz jak sami mówią, wymaga to wiedzy o funkcjach aproksymujących cenę opcji.W podejściu proponowanym przez autorów nie ma wewnętrznych symulacji w żad-

nym z regionów, a algorytm opiera się na ograniczeniu dolnym otrzymanym z algorytmuLongstaffa-Schwartza. W związku z tym złożoność redukuje się do

d×Ndual × n.

46

Chociaż w wielu źródłach powtarza się, by do celów wyceny stosować niezależne zbioryścieżek dla każdego z trzech etapów: ewaluacji współczynników regresji, estymacji ogra-niczenia dolnego oraz górnego; to autorzy zapewniają, po wielu intensywnych ekspery-mentach, że używanie tego samego zbioru ścieżek dla różnych etapów prowadzi do niemalidentycznych rezultatów. Ponadto zauważają oni, że liczba ścieżek potrzebna do właści-wego estymowania ograniczenia górnego jest mniejsza ok. 10-krotnie, od liczby ścieżekpotrzebnych do estymacji ograniczenia dolnego. Poczyniona przez nich obserwacja pozwa-la ponownie zmniejszyć złożoność obliczeń.

47

Część III

Zastosowanie metod Monte Carlo:estymacja wrażliwości

48

Rozdział 9

Estymacja współczynnikówgreckich metodami Monte Carlo

Karol Klimas, Marcin Wcisło

Rozdział opracowany na podstawie pracy P. GlassermanMonte Carlo Methodsin Financial Engineering, Stochastic Modelling and Applied Probability, pp.379-420, 2000

Pojęcie wrażliwości dotyczy pochodnych wartości instrumentów pochodnych, głównie opcji,względem parametrów będących argumentami funkcji wyceniającej, związanych z aktywa-mi bazowymi. W żargonie finansowym pochodne te określane są jako współczynniki greckie(ang. Greeks). Estymacja wrażliwości jest niezbędna m.in. do delta hedgingu, zarzadza-nia ryzykiem, spełnienia wymogów regulacyjnych. Przedstawiono trzy metody estymacjiwrażliwości: metoda różnic skończonych, różnic po trajektoriach oraz ilorazu wiarygodno-ści. Wszystkie metody opierać się na następującym założeniu:Niech zdyskontowana wartość instrumentu pochodnego Y zależy od parametru θ. W me-todach Monte Carlo generujemy Y (θ), a następnie wyznaczamy ich średnią uzyskującestymator ceny α(θ) = E[Y (θ)]. Zakładamy dodatkowo, ze θ ∈ Θ, gdzie Θ jest przedzia-łem na prostej rzeczywistej.

9.1 Metoda różnic skończonychW metodzie różnic skończonych dokładna zależność miedzy Y , a θ nie jest istotna. Ważne,aby możliwa była generacja wartości Y dla różnych argumentów z przedziału Θ. Pierwszyestymatorem α′(θ) jest estymator różnic wprzód (ang. forward), odnoszący się do ilorazuróżnicowego:

∆F ≡ ∆F (n, h) ≡ Yn(θ + h)− Yn(θ)h

.

Naturalnym rozszerzeniem estymatora wprzód jest estymator różnic centralnych central):

∆C ≡ ∆C(n, h) ≡ Yn(θ + h)− Yn(θ − h)2h

.

Estymator centralny wymaga wykonania dwukrotnie większej liczby symulacji, gdyż za-zwyczaj generowanie Y (θ) jest także konieczne. Zakładając, ze α jest trzykrotnie różnicz-

49

kowalna w punkcie θ korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, aby wyznaczyć obciążenieestymatora różnic centralnych:

Bias(∆C) = E[∆C − α′(θ)] =16α′′′(θ)h2 + o(h2).

Jest to wynik lepszy niż w przypadku estymatora różnic wprzód, dla którego rząd wielkościh jest o jeden większy. Dla innych modyfikacji estymatorów różnic skończonych zmniej-szanie przyrostu argumentu h powoduje zmniejszenie obciążenia estymatora.Kolejnym aspektem jakości estymatora jest jego wariancja. Wracając do estymatora różnicwprzód, jego wariancja wynosi:

V ar[∆F ] =Yn(θ + h)− Yn(θ)

h2 .

Konieczne jest ustalenie zależności miedzy zmiennymi Y (θ) oraz Y (θ + h). Rozpatrzmytrzy przypadki, dla których V ar[Y (θ + h)− Y (θ)] =

i O(1), gdy Y (θ) oraz Y (θ + h) są niezależne,

ii O(h), gdy Y (θ) oraz Y (θ + h) są wspólnymi liczbami losowymi (ang. common randomnumbers,

iii O(h2), gdy Y jest ciągła funkcja w otoczeniu θ.

Dalsza analiza dotyczy pierwszych dwóch przypadków, dla których wariancja wzrasta wrazze zmniejszaniem h. Chcąc minimalizować błąd średniokwadratowy (ang. MSE) należyustalić odpowiednia zależność miedzy h oraz n.Zarówno dla estymatorów wprzód jak i centralnych oraz dwóch pierwszych przypadkówrząd błędu średniokwadratowego zależy od n oraz h:

MSE(∆(n, hn)) = b2h2βn +

σ2

nhηn,

gdzie stała b zależy od postaci funkcji α(θ), a pozostałe stale od wyboru estymatora orazzależności miedzy Y (θ) oraz Y (θ+h). Zakładając, ze hn = hn−γ otrzymujemy, ze parame-try, które maksymalizują spadek MSE wraz ze wzrostem n to γ = 1

2β−η oraz h = ( ησ2

2βb2 )γ .

Na rysunku 9.1 przedstawiono wyniki, w szczególności tempo zbieżność mierzone pier-wiastkiem z błędu średniokwadratowego (ang. RMSE).

W przypadku wspomnianego wcześniej przypadku 3, błąd średniokwadratowy maleje wrazze zmniejszaniem h, co oznacza, ze nie jest konieczny wybór pomiędzy wariancja, a ob-ciążeniem.Estymator różnic skończonych można poprawiać zakładając różniczkowalność coraz wyż-szej krotności α w punkcie θ. Dzięki temu, estymator 4

3∆C,ii(n, h) − 13∆C,ii(n, 2h) ma

pierwiastek z błędu średniokwadratowego rzędu O(n−49 ).

Dzięki różnicom skończonym można także estymować pochodne wyższego rzędu. Pomimowykorzystania wspólnych liczb losowych estymowane parametry maja gorsze własności,zbieżność RMSE wynosi O(n−

27 ). Możliwa jest także estymacja pochodnych cząstkowych,

jednak metoda różnic skończonych nie jest w tym przypadku optymalna.

50

Rysunek 9.1: Zbieznosc estymatorów różnic skończonych. W kolumnach od lewej: rodzajestymatora, wariancja, obciążenie, optymalny rząd h, RMSE, optymalna cześć stała h.

9.2 Metoda różnic po trajektoriachMetoda różnic po trajektoriach stanowi alternatywę dla poprzednio omawianej metodyróżnic skończonych. Polega ona na bezpośredniej estymacji pochodnej, bez przeprowadza-nia osobnych symulacji dla wielu parametrów. Metoda korzysta z dodatkowych informacjidotyczących dynamiki i zależności symulowanego procesu od parametrów wejściowych.W przypadku iii (gdy Y jest funkcja ciągła w otoczeniu θ) MSE zmniejsza się wraz z h.Zatem do wyznaczenia pochodnej funkcji α(θ) = E[Y (θ)] można użyć:

Y ′(θ) = limh→0

Y (θ + h)− Y (θ)h

Wartością oczekiwana tego estymatora jest E[Y ′(θ) i jest on nieobciążonym estymatoremα′(θ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:

E[

limh→0

Y (θ + h)− Y (θ)h

]= lim

h→0

E[Y (θ + h)]− E[Y (θ)]h

Warunkiem koniecznym i wystarczającym tej równości jest jednostajna całkowalność ilo-razów różnicowych h−1(Y (θ + h) − Y (θ)). Zajmiemy się przedstawieniem warunków do-statecznych, które są łatwiejsze do zweryfikowania w zastosowaniach praktycznych. Zaj-miemy się wyłącznie wypłatami zależnymi od cen aktywów bazowych w skończonej liczbieustalonych dat. Przyjmijmy, ze zdyskontowana wyplata instrumentu jest funkcja wektoralosowego X(θ) = (X1(θ), ..., Xm(θ)) bedacego funkcja parametru θ, czyli:

Y (θ) = f(X1(θ), ..., Xm(θ)),

dla pewnej funkcji f : Rm → R, zależnej od postaci instrumentu. Warunkami dostatecz-nymi są wtedy:

A1 Dla każdego θ ∈ Θ, X ′i(θ) istnieje z prawdopodobieństwem 1, dla każdego i = 1, ...,m.

51

A2 Dla każdego θ ∈ Θ,P(X(θ) ∈ Df ) = 1, gdzie Df inRm jest zbiorem punktów różnicz-kowalności funkcji f.

A3 Istnieje stała kf taka, ze dla dowolnych x, y inRm,

|f(x)− f(y)| ¬ kf‖x− y‖;

czyli f jest lipszycowska.

A4 Istnieją zmienne losowe κi, i = 1, ...,m takie, ze dla dowolnych θ1, θ2 ∈ Θ,

|Xi(θ2)−Xi(θ1)| ¬ κi|θ1 − θ2|,

oraz E[κi] <∞, i = 1, ...,m.

Warunki A3 oraz A4 implikują, ze funkcja Y (θ) jest prawie na pewno lipszycowska.Zachodzi nierówność:

|Y (θ2)− Y (θ1)| ¬ κY |θ1 − θ2|,

κY = kf

m∑i=1

κi.

Z drugiej części warunku A4 wynika, ze E[κY ] <∞. Stad∣∣∣∣Y (θ + h)− Y (θ)h

∣∣∣∣ ¬ κY .Korzystając twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej można zatem przejść do granicyh→ 0 otrzymując

dE[Y (θ)]dθ

= E[Y ′(θ)]

Przyklad 9.1. Delta opcji call w modelu Black’a-Scholes’a.

Y = e−rT [S(T )−K]+,

S(T ) = S(0)er−12σ2)T+σ

√TZ , Z ∼ N (0, 1)

W tym przykładzie θ = S(0), X(θ) = θe(r− 12σ2)T+σ

√TZ , f(x) = e−rT [x−K]+ Warunek A1

jest spełniony, gdyż X jest funkcja liniowa θ. Warunek A2 jest spełniony, gdyż funkcjaf jest różniczkowalna wszędzie poza K a P(S(T ) = K) = 0 i f ′(x) = e−rT1x > K.Łatwo również sprawdzić, ze f jest lipszycowska ze stała e−rT . Ze względu na równość:|X(θ2)−X(θ1)| = e(r− 12σ

2)T+σ√TZ |θ2 − θ1|, zachodzi również warunek A4. Korzystając z

reguły łańcuchowej otrzymujemy:

dY

dS(0)=

dY

dS(T )dS(T )dS(0)

Z tej postaci pochodnej łatwo wynika, ze:

dY

dS(0)= e−rT

S(T )S(0)

1S(T ) > K.

52

9.3 Metoda ilorazu wiarygodnościW ostatniej z omawianych metod zakłada się, ze θ jest parametrem gęstości zmiennejlosowej X, od których zależy wyplata Y . Niech wartość oczekiwana względem parametruθ będzie oznaczona Eθ. Aby wyznaczyć estymator wrażliwości należy zmienić kolejnośćróżniczkowania z całkowaniem:

d

dθEθ[Y ] =

∫Rm

f(x)d

dθgθ(x)dx.

W powyższym równaniu gθ jest gęstością zmiennej losowej X, od której poprzez funkcje fzależy zdyskontowana wyplata Y . Zapisując dgθ/dθ jako gθ prawa stronę równania możnazapisać jako: ∫

Rmf(x)

d

dθgθ(x)dx = Eθ[f(X)

gθ(X)gθ(X)

].

Wyrażenie f(X) gθ(X)gθ(X) jest estymatorem ilorazu wiarygodności poszukiwanej pochod-

nej.Aby estymator był nieobciążony musza zostać spełnione dwa główne warunki:

• Gęstość gθ+h musi być absolutnie ciągła względem gθ.

• Zasadna jest zmiana kolejności całkowania i różniczkowania. Zapewnia ja przykła-dowo absolutna ciągłość gθ.

W przeciwieństwie do metody różnic skończonych, w metodzie ilorazu wiarygodności niemożna w ogólności określić wariancji estymatora. O ile gęstości są zazwyczaj funkcjamiodpowiednio gładkimi, to w przypadkach gdy powyższe warunki są spełnione "granicznie",to wariancja znacznie wzrasta.

Przyklad 9.2. Metoda ilorazu wiarygodności jest bardzo elastyczna ze względu na swobodęokreślenia zależności Y od θ. Niech X ∼ N (θ, 1) oraz Y = f(X) dla mierzalnej funkcji f .Wtedy można zapisać gęstość X jako gθ(x) = φ(x− θ), gdzie φ jest standardowa gęstościąrozkładu normalnego. Estymator ma postać:

−f(X)φ′(X − θ)φ(X − θ)

= f(X)(X − θ)

W przypadku metody różnic po trajektoriach estymator ma postać:

Y ′(θ) = f ′(X)dX

dθ= f ′(X)

W zależności od postaci funkcji f należy wybrać metodę, które zapewnia mniejszy błądśredniokwadratowy estymatora.

Problemem metody ilorazu wiarygodności jest najczęściej nieznajomość postaci gęsto-ści albo duża wariancja estymatora.

53

Rozdział 10

Parametry greckie

Piotr Gońda

Rozdział opracowany na podstawie książki Peter Jackel: Monte Carlo Me-thods in Finance, rozdział 11 - Greeks.

Parametry Greckie są jednymi z najczęściej spotykanych tworów a matematyce finan-sowej. Ich głównym zadaniem jest odpowiedź na pytanie jak bardzo dany portfel jest wraż-liwy na zmiany np. ceny instrumentu bazowego lub stopy procentowej oraz do kontrukcjiodpowiedniej strategii zabezpieczającej. Współczesne uwarunkowania rynkowe prowadządo sytuacji, w których parametry te muszą być wyznaczane dynamicznie, dlatego takważna jest umiejętność doboru odpowiednich algorytmów, pozwalających na uzyskaniedobrej jakości wyników, przy jednoczesnym zachowaniu w miarę "rozsądnego" czasu ob-liczeń. Opracowanie to przedstawia metody wyznaczania współczynników greckich przyużyciu metod Monte Carlo.

10.1 Rozpatrywany przykładWszystkie metody będziemy prezentować na przykładzie europejskiej opcji call z barierągórną. Główną motywacją tego wyboru jest fakt, iż opcja rzeczywiście wystepuje na rynkuoraz, że znamy przybliżone formuły na wycenę tej opcji. Jej wypłata jest identyczna jakwypłata ze zwykłej opcji waniliowej call, pod warunkiem, że cena instrumentu bazowegonigdy nie przekroczy określonej bariery. Przyjmujemy ponad to, nastepujące założenia:

• Cena instrumentu bazowego zachowuje się jak geometryczny ruch Browna S(t) =S(0)e−

12σ2t+σW (t), gdzie Wt jest standardowym procesem Wienera;

• Stała zmienność σ = 30%;

• Brak dywidendy;

• Zerowa stopa procentowa.

54

Przez S będziemy oznaczać zbiór trajektorii S = (S1, S2, ..., Sn) Oczywiście każda tra-jektoria może być skonstruowana ze zbioru n zmiennych losowych zi o rozkładzie N(0, 1).Związek pomiędzy Si a Si−1 przedstawia się następująco:

Si = Si−1e− 12σ∆ti+σ

√∆tizi = S0e

− 12σ∆ti+σΣik=1√

∆tizi

10.1.1 Wycena opcji call z barierą górną

Aby wycenić tę opcję generujemy m trajektorii S1, S2, ..., Sm. Trajektorię Sj możemyzapisać jako funkcję:

Sj = S(zj ;S0, H,K, σ, T, n)

Dla każdej z zasymulowanych trajektorii możemy obliczyć wypłatę π(Sj) (pamiętająco tym, że opcja ma barierę górną). Cenę obliczoną algorytmem Monte Carlo możemy za-pisać jako:

v(S0, H,K, σ, T, n) = 1m

∑mj=1 π(Sj)

10.2 Estymacja parametrów greckich

10.2.1 Różnice skończone

Pierwszym i najprostszym podejściem, do wyznaczenia parametrów greckich jest metodaróżnic skończonych. Dla każdego parametru mozna by podać wiele jej wersji, my jednakna początek użyjemy jednego z najprostszych wzorów na Deltę:

Delta = ∂v∂S0≈ v(S0+∆S0)−v(S0)

∆S0

Inny sposób obliczenia Delty przedstawia się następująco:

Delta = ∂v∂S0≈ v(S0+∆S0)−v(S0−∆S0)

2∆S0

Z kolei wzór na gammę możemy zapisać następująco:

Gamma = ∂2v∂S20≈ v(S0+∆S0)−2v(S0)+v(S0−S0)

2∆S20

Najważniejszą rzeczą w tej metodzie jest dobór odpowiedniej wielkości ∆S0. W przy-badku wybrania ∆S0 zbyt dużego zaczniemy obserowwać efekt wyrazów trzeciego rzędu- im większe ∆S0 tym większa korelacja pomiędzy v(S0) i v(S0 + ∆S0). Gdy wybierzemy∆S0 zbyt małe pojawia się problem z różniczkowalnością oraz coraz większą rolę zaczy-nają grać błędy zaokrągleń. W literaturze proponuje się ∆S0 o następującej postaci:

∆S0 = 4√

12 vv′′′′ ε

Gdzie:

ε - precyzja komputera.

55

Aby zobaczyć skąd się wziął ten wynik, trzeba wziąć pod uwagę, że każda numerycz-na interpretacja jest obarczona błędem zaokrągleń:

v(S0 + ∆S0) ≈ v + v′∆S0 + 12v′′∆S2

0 + 16v′′′∆S3

0 + 124v′′′′∆S4

0 +O(∆S50) + εv

Ostatni składnik reprezentuje nieunikniony błąd.

Możemy teraz wyznaczyć estymator:

Gamma(S0; ∆S0, ε) = v′′ + 112v′′′′∆S2

0 + εv∆S20

+ ε2v′′;

W praktyce jednak nie mamy wystarczająco dużo informacji, aby aby określić ∆S0. Mu-simy zatem poczynić następujące założenie:

O(v) ≈ O(v′′′′S40)

Co prowadzi ostatecznie do wzoru:

∆S0 ≈ 4√εS0

Używając powyższej propozycji na ∆S0, otrzymujemy wzór na Delta i Gamma:

Delta = v(S0+∆S0)−v(S0−∆S0)2∆S0

= 12m∆S0

∑mj=1[π(S(zj ;S0 + ∆S0))− π(S(zj ;S0 −∆S0))]

Gamma = v(S0+∆S0)−2v(S0)+v(S0−S0)2∆S20

= 1m∆S20

∑mj=1[π(S(zj ;S0 + ∆S0))− π(S(zj ;S0) + π(S(zj ;S0 −∆S0))]

W praktyce nie korzystamy z tego sposobu wyznaczania parametrów greckich.

10.2.2 Różnice skończone z importance sampling

Obliczenie Gammy przy użyciu metody Monte Carlo jest tak trudne ponieważ funkcjawypłaty nie jest elementem przestrzeni C2. Co więcej - funkcja wypłaty nie należy nawetdo klasy C0. Weźmy więc pod uwagę tylko taki obszar, w którym funkcja wypłaty π(S)należy do klasy C∞.Idea użycia algorytmu różnic skończonych z importance sampling polega na próbkowaniutylko tam, gdzie funkcja wypłaty jest niezerowa. W pierwszym kroku losujemy liczby z roz-kładu jednostajnego U(0, 1) i przez odwrócenie dystrybuanty (zi = N−1(ui))przekształcamyje rozkład Gaussa.

Teraz zakładamy, że skonstruowaliśmy pojedyńczą trajektorię aż do kroku Si−1 i chce-my znaleźć następną wartość Si na podstawie równania:

Si = Si−1e− 12σ∆ti+σ

√∆tizi = S0e

− 12σ∆ti+σΣik=1√

∆tizi

56

Jednak konieczne jest pamiętanie o nieprzekraczaniu bariery. Zapewni nam to współ-czynnik:

hi = N(ln HSi−1

+ 12σ2∆ti

σ√

∆ti)

Teraz nie przekształcamy wprost wartości ui, tylko:

zi = N−1(uihi)

Co więcej musimy zapewnić, że trajektoria kończy się in-the-money w momencie zapa-dalności. A oznacza to, że ostatnostatnia zmienna losowa zi pochodząca z rozkładu nor-malnego dla tej trajektorii musi być zostać skonstruowana:

zn = N−1(un(hn − k) + k) gdzie:

k = N(ln KSn−1

+ 12σ2∆tn

σ√

∆tn)

Oprócz uważnej konstrukcji trajektorii trzeba również wziąć pod uwagę, że próbkujemy zpodprzestrzeni wszystkich możliwych trajektorii.

Na koniec konieczne jest jeszcze oczywiście zmodyfikowanie wzoru na cenę Monte Carlopoprzez pomnożenie jej przez czynnik p = (hn − k)Πn−1

i=1 hi:

vis = 1m

∑mi=1 p(S

jis)π(Sjis)

Importance sampling jest niezwykle pomocna dla metody ilorazów skońćzonych. Możebyć równiez użyta w różniczkowaniu po trajektoriach.

10.2.3 Różniczkowanie po trajektoriach

Przy tej metodzie najpierw spojrzymy nieco inaczej na Deltę:

Delta = ∂v∂S0

= ∂∂S0

[ 1m

∑mj=1 π(S(zj ;S0))]

Infinitezymalna zmiana ceny początkowej S0 może powodować jedynie infinitezymalnywzrost ceny instrumentu bazowego w każdej z punktów czasowych w którym go monito-rujemy.

Dla Lipszycowskich funkcji wypłaty, czyli takich, które są ciągłe w każdym punkcie wek-tora S, wszystkie pochodne cząstkowe są ograniczone: |∂π/∂S0| <∞.

Dla takich funkcji możemy przyjąć współczynnik Delta równy zero dla trajektorii, któreprzekraczają barierę oraz Delta równe ∂ST /∂S0.

Metodę tę można wprost wykorzystać do obliczania takich parametrów jak Vega. Jed-nak do obliczania Gammy nadal koniecznie jest użycie schematu różnicowego dla dwóchoddzielnie wyznaczonych Delt.

57

Metoda ta nie może być jednak wykorzystana do rozważanej opcji ponieważ funkcja wy-płaty nie jest nawet ciągła. Możliwe jest jednak wykorzystanie tej metody do trajektoriipowstałych przy użyciu importance sampling (poprzednia metoda). Konstrukcja trajek-torii opisana przy importance sampling odpowiada transformacji zmiennych na całkę pokostce (0, 1)n, takiej że funkcja podcałkowa jest Lipszycowsko ciągła.

vis =∫

(0,1)n p(Sis(u))π(Sis(u))dun

Gdy obliczamy ∂vis/∂S0 możemy zmienić kolejność całkowania i różniczkowania. Ko-nieczne jest obserwowanie dokładnej zależności poszczególnych składników od parame-trów, względem których chcemy estymować greckie współczynniki. W przeciwieńśtwie dometody różnic skońćzonych metoda ta nie wymaga żadnej ciągłości funkcji wypłaty.

10.2.4 Współczynnik wiarygodności

Problem wyceny opcji jest numeryczną aproksymacją Monte Carlo całki:

v =∫π(S)ψ(S)dS

Konstrujemy trajektorie instrumentu bazowego reprezentanwego przez zmienną losowąS o zadanej gęstości prawdopodobieństwa ψ(S). Konstruujemy trajektorie przy pomocystandardowego rozkłądu normalnego, co możemy zapisać jako:

v =∫π(S(z;α))φ(z)dz

Wszystie parametry w tym równaniu reprezentuje α. Wyznaczanie pochodnych po α jestproblematyczne tam, gdzie występuje nieciągłość π.

Głównym pomysł tego sposobu wyznaczenia parametrów greckich polega na doprowa-dzeniu do sytuacji w której zależność od parametrów będzie ukryta w funkcji gęstości.Innymi słowy - trzeba dokonać transformacji funcji gęstości. Wyznaczanie greckich para-metrów oznacza wtedy:

∂v∂α =

∫π(S) ∂

∂αψ(S;α)dS =∫π(S)∂ψ(S;α)/∂α

ψ(S;α) ψ(S;α)dS

Wyznaczanie greckich parametrów jest analogiczne do problemu wyceny opcji, ze zmo-dyfikowaną funkcją wypłaty:

χ(S;α) = π(S)ω(S;α)

gdzie:

ω(S;α) = ∂ψ(S;α)/∂αψ(S;α)

Używając powyższych oznaczeń możemy estymację greckich parametrów zapisać jako:

∂v∂α =

∫χ(S;α)ψ(S;α)

Funkcje gęstości, których zazwyczaj używamy powodują, że funkcja χ(S;α) należy do

58

klasy C∞ względem parametru α .

Następne kroki polegają na wycenieniu opcji dla każdej trajektorii, wy znaczeniu funkcjiwypłaty oraz wreszcie - wyznaczenia współczynnika wiarygodności. Wzór na aproksyma-cję Delty przedstawia się następująco:

Delta = 1m

∑mj=1[π(Sj ;S0)ω

Delta(Sj ;S0)]

Ta metoda jest szczególnym przypadkiem stosowania ogólniejszej teorii. W dość prostysposób można pokazać, że da sę wybrać więcej funkcji ważących ω. Ostatecznie, w wy-niku zastosowania metody współczynniak wiarygodności trzymujemy następujące postaciwspółczynników:

ωDelta

= ziS0σ√

∆ti

ω Gamma = z2i−z1σ√

∆t1−1S20σ

2∆ti

10.3 Wyniki symulacji

10.3.1 Przykłady

Przykłady zostały sporządzone przy następujących założeniach:

• Cena wykonania: 100;

• Bariera: 150;

• Monitorowanie co miesiąc;

• Zmiennośc instrumentu bazowego σ = 30%;

Będziemy rozpatrywali dwa scenariusze:Scenariusz a:

• T = 1 rok;

• Cena obecna: 100;

Scenariusz b:

• T = 0.52 rok (5 dni przed datą monitorowania);

• Cena obecna: 160;

59

10.3.2 Wyniki symulacji

Cena opcji

Delta

60

Delta w innej skali

Gamma

61

Gamma w innej skali

Wszystkie rysunki pochodzą z książki Monte Carlo Methods in Finance, z rozdziału11 - Greeks.

62