Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Rozwiązywanie równań Rozwiązywanie równań różniczkowychróżniczkowych

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Metody klasy Rungego-Kutty

Zalety metod klasy Rungego-Kutty

Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych

Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

00 , yx 11, yx kyhx 00 ,

.......!4

1

!3

1

!2

1 40

40

30

20 yhyhyhyhk

01 yyk

Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka hh na na NN części i wykorzystaniu części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędutylko pochodnych 1-go rzędu z z zachowaniem założonej dokładności.zachowaniem założonej dokładności.

Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów

.......!4

1

!3

1

!2

1 40

40

30

2001 yhyhyhyhyy

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

21 bkakK

Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowiezależnej od rzędu metody R-K

Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać:

1002

001

,

,

nkymhxhFk

yxhFk

w którym:

Parametry: a, b, m, na, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3

3hOKk Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

F(x0,y0) to środek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2:

2001

0000100

,,,, hO

y

yxFnk

x

yxFmhyxFnkymhxF

I ostatecznie do wzoru na K

Po podstawieniu do wzoru na k2:

3001

002002

,,, hO

y

yxFnhk

x

yxFmhyxhFk

3001

002001

,,, hO

y

yxFbnhk

x

yxFbmhyxbhFakK

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

Ponieważ:

30000

20020000

,,

,,, hO

y

yxFyxFbnh

x

yxFbmhyxbhFyxahFK

001 , yxhFk

Aby wyznaczyć parametry a, b, n, ma, b, n, m trzeba porównaćz rozwinięciem k

000 , yxFy

y

yxFyxF

x

yxFy

00

0000

0

,,

,

30000

200

2

00

,,

2

,

2, hO

y

yxFyxF

h

x

yxFhyxhFk

.......!4

1

!3

1

!2

1 40

40

30

20 yhyhyhyhk

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

30000

200200

,,

,, hO

y

yxFyxFbnh

x

yxFbmhyxhFbaK

30000

200200

,,

2

1,

2

1, hO

y

yxFyxFh

x

yxFhyxhFk

2

12

1

1

bn

bm

baMożna „dowolnie” przyjąć 1 wartośćPrzyjmijmy m=1otrzymamy:b = ½a= ½n = 1

Zasada metod klasy Rungego-Kutty

21

1002

001

2

1

2

1

,

,

kkK

kyhxhFk

yxhFk

Ogólnie:

31

21

12

1

2

1

2

1

,

,

hOKyy

kkK

kyhxhFk

yxhFk

ii

ii

ii

Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

51

4321

34

23

12

1

26

1

,

2

1,

2

1

2

1,

2

1

,

hOKyy

kkkkK

kyhxhFk

kyhxhFk

kyhxhFk

yxhFk

ii

ii

ii

ii

ii

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

Kyy

kkkkK

kyFk

kyFk

kyFk

yFk

ii

ii

ii

ii

ii

hxh

hxh

hxh

xh

1

4321

34

23

12

1

26

1

,

2

1,

2

1

2

1,

2

1

,

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

Mi

i

i

i

y

y

y

,

2,

1,

.....

.....y

Wektor wartości w kroku i -tym

dx

dyy ii

12

dx

dyy ii

23 ..............3

4 dx

dyy ii

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

MiiiiM

Miiii

Miiii

ii

yyyxF

yyyxF

yyyxF

x

,2,1,

,2,1,2

,2,1,1

,....,,,

.....

.....

,....,,,

,....,,,

,yF

Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

Mk

k

k

,1

2,1

1,1

1

.....

.....k

Wektory współczynników

Mk

k

k

,2

2,2

1,2

2

.....

.....k

Mk

k

k

,3

2,3

1,3

3

.....

.....k

Mk

k

k

,4

2,4

1,4

4

.....

.....k

MK

K

K

.....

.....2

1

4K

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

yy 1

dx

dy

dx

dyy 12

Podstawmy

21

212 ,,

ydx

dy

yyxfdx

dy

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

2

21,,,

y

yyxfx yF

Funkcja wektorowa:

2,

1,

i

i

i y

yy

i-ty wektor wartości

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

2,

2,1,

2,1

1,1

1

,,

i

iii

hy

yyxhf

k

kk

Wektory współczynników:

2,12,

2,12,1,11,

2,2

1,2

2

2

1

2

1,

2

1,

2

1

kyh

kykyhxhf

k

k

i

iii

k

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

Wektory współczynników:

2,22,

2,22,1,21,

2,3

1,3

3

2

1

2

1,

2

1,

2

1

kyh

kykyhxhf

k

k

i

iii

k

2,32,

2,32,1,31,

2,4

1,4

4

,,

kyh

kykyhxhf

k

k

i

iiik

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

2,42,32,22,1

1,41,31,21,1

43212

1

26

1

26

1

26

1

kkkk

kkkk

K

KkkkkK

22,

11,

1 Ky

Ky

i

i

ii Kyy

1

1

i

i

y

y

Metoda Rungego-Kutty algorytm1. Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n 2. h=(xk - x0)/n.3. Przyjmij i=04. Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1),

k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3)5. Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) 6. Oblicz yi+1=yi+K7. xi+1 = xi+h8. Zwiększ i o 19. Jeżeli i<n idź do punktu 410.Przyjmij i=011.Drukuj xj, yj

12.Zwiększ i o 113.Jeżeli i<=n idź do punktu1114.Koniec