UntitledWprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawd si Dla nauczyciela
Pierwsze ukady równa rozwizywali  ju kilka tysicy lat temu  matematycy yjcy w staroytnym Babilonie. Na znalezionych glinianych tabliczkach, archeolodzy odkryli ukady równa zapisane pismem klinowym. Nie przypominaj uywanych przez nas symboli matematycznych, jednak metody ich rozwizywania, uywane przez staroytnych Babiloczyków, s bardzo zblione do tych, które stosujemy obecnie.
Twoje cele
Przeksztacisz ukad równa tak, aby otrzyma ukad równowany. Rozwiesz ukad równa liniowych metod podstawiania.
ródo: Antoine Dautry, dostpny w internecie: www.unsplash.com.
Metoda podstawiania rozwizywania ukadów równa z dwiema niewiadomymi
Ukadem równa liniowych z dwiema (tymi samymi) niewiadomymi nazywamy koniunkcj dwóch równa pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Ukad taki przyjmuje posta:
gdzie: oraz –  niewiadome, , , oraz – wspóczynniki przy niewiadomych odpowiednio  oraz , i  –  wyrazy wolne.
przy czym przynajmniej jedna  liczba z pary liczb i  oraz i  jest róna od zera.
Definicja: Rozwizanie ukadu równa
Rozwizaniem takiego  ukadu równa jest kada  para liczb speniajcych jednoczenie  kade równanie danego ukadu równa.
Przy czym taki ukad równa moe mie jedno rozwizanie, nieskoczenie wiele rozwiza lub nie mie rozwizania.
Definicja: Równowane ukady równa
Dwa ukady równa  liniowych z tymi samymi niewiadomymi  nazywamy równowanymi, gdy maj ten sam zbiór rozwiza.
Twierdzenie: Równowany ukad równa
Jeli z jednego ukadu równa wyznaczymy jedn niewiadom  i otrzymane wyraenie podstawimy do drugiego równania, to ukad równa zoony z pierwszego równania i tak przeksztaconego drugiego równania jest równowany danemu.
Aby otrzyma równanie równowane, moemy wykona kade z przeksztace:
uproszczenie wyraenia znajdujcych si po kadej stronie równania;
{ ,
c
1
c
2
a
1
a
2
b
1
b
2
javascript:void(0);
dodanie do obu stron danego równania takiej samej liczby (tego samego wyraenia).
Przykad 1
Rozwiemy równanie .
Mnoymy obie strony równania przez .
Przenosimy niewiadome na lew stron równania, a wyrazy wolne na praw stron (dodajemy do obu stron równania tak sam liczb/takie samo wyraenie).
Dzielimy obie strony równania przez liczb znajdujc si przy niewiadomej.
Otrzymalimy rozwizanie równania.
Przykad 2
Aby wyznaczy z równania jedn z kilku niewiadomych, postpujemy podobnie jak podczas rozwizywania równa z jedn niewiadom. Moemy zatem mnoy lub dzieli obie strony równania przez to samo niezerowe wyraenie, czy te przenosi wyraenia na drug stron równania. Chcemy, aby wyznaczana zmienna znajdowaa si po jednej stronie równania, a wszystkie pozostae zmienne oraz liczby – po drugiej stronie.
Przeksztacimy równanie liniowe z dwiema niewiadomymi tak, aby wyznaczy z niego wskazan niewiadom.
Wyznaczymy niewiadom .
2 ⋅ (3 + x) + 4 =
x
Dzielimy obie strony równania przez .
Wyznaczylimy z równania niewiadom .
Dodajemy do obu stron równania wyraenie .
Dodajemy do obu stron równania wyraenie .
Dzielimy obie strony równania przez .
Wyznaczylimy z równania niewiadom .
wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równa ukadu,
podstawieniu tak uzyskanego wyraenia do drugiego z równa w miejsce wyznaczonej niewiadomej,
rozwizaniu otrzymanego równania z jedn niewiadom,
podstawieniu otrzymanej wartoci niewiadomej do pierwszego równania.
3x+ 2y = 5x+ 5y+ 4
(−2y)
(−5y)
(−3)
y
y = −
2
3
x−
4
3
javascript:void(0);
Warto zastanowi si, któr z niewiadomych wyznaczy. Ma to wpyw na stopie trudnoci rozwizywanego równania z jedn niewiadom.
Przykad 3
Wyznaczymy niewiadom z pierwszego równania.
Wyznaczymy z pierwszego równania niewiadom .
Wyznaczymy teraz niewiadom z drugiego równania.
Wyznaczymy z drugiego równania niewiadom .
Moemy atwo zauway, e najlepszym wyborem jest wyznaczenie niewiadomej z drugiego równania. W pozostaych pojawiy si uamki, co bdzie podnosi stopie trudnoci rozwizania równania otrzymanego po podstawieniu tego wyraenia.
Przykad 4
{
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej .
Rozwizujemy pierwsze równanie.
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
Wyznaczamy niewiadom z pierwszego równania. (Moglibymy te wyznaczy z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiza ukad w ten sposób).
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej .
Rozwizujemy drugie równanie.
y = −2x+ 4
Otrzyman warto podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy warto niewiadomej .
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
Rozwiemy metod podstawiania ukad równa .
Wyznaczamy wyraenie z pierwszego równania.
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do drugiego równania w miejsce wyraenia .
Rozwizujemy drugie równanie.
{
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
ukad równa postaci:
równowane ukady równa
ukady równa  liniowych  - ukady z tymi samymi niewiadomymi, które maj ten sam zbiór rozwiza
metoda podstawiania
metoda polegajca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyraenia do drugiego z równa w miejsce wyznaczonej niewiadomej
y
x
Film dostpny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D5gXbKsrv
Film nawizujcy do treci lekcji dotyczcy rozwizywania ukadów równa liniowych metod podstawiania.
Polecenie 2
{
Rozwizujc ukad równa metod podstawiania moemy wyznaczy niewiadom tylko z pierwszego równania.
Rozwizujc ukad równa metod podstawiania moemy wyznaczy niewiadom tylko z drugiego równania.
x
y
3x+ y = 2  ⇒ y = ⋅x+
5x+ 15y = 5  ⇒ x = ⋅y+
−10x+ 2y = 12  ⇒ y = ⋅x+
1
2




{
1
3
x+
2
3
{
.{
{
2y = 7x+ 3
wiczenie 7
4x− 2y = 12
x+ y = m
2x− y = 3
Grupa docelowa:
Podstawa programowa:
Ucze:
Ksztatowane kompetencje kluczowe:
Cele operacyjne:
przeksztaca ukad równa tak, aby otrzyma ukad równowany rozwizuje ukady równa liniowych z dwiema niewidomymi metod podstawiania tworzy algorytmy rozwizywania ukadów równa liniowych
Strategie nauczania:
Formy pracy:
praca caego zespou klasowego praca w grupach praca w parach
rodki dydaktyczne:
komputery z gonikami i dostpem do Internetu, suchawki zasoby multimedialne zawarte w e–materiale tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda
Przebieg lekcji
Faza wstpna:
1. Nauczyciel podaje temat i cele zaj oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu. 2. Uczniowie bd pracowa metod stacji eksperckich. 3. Omiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie, które   przygotowuj informacje na
temat metod rozwizywania równa. 4. Eksperci prezentuj w dowolnie wybranej formie, przygotowane przez siebie
wiadomoci. Przygotowuj cztery stacje eksperckie.
Faza realizacyjna:
I. Równowane przeksztacanie równa. Uczniowie mog wykorzysta Przykad 1 z czci „Przeczytaj”.
II. Wyznaczanie z równania wskazanej zmiennej. Uczniowie mog wykorzysta Przykad 2 z czci „Przeczytaj”.
III. Równowane przeksztacanie ukadów równa liniowych. Uczniowie mog wykorzysta Przykad 3 z czci „Przeczytaj”.
IV. Rozwizywanie ukadów równa liniowych z dwiema niewiadomymi metod postawiania. Uczniowie mog wykorzysta Przykad 4 i Przykad 5 z czci „Przeczytaj”.
2. Pracujc w parach, uczniowie zapoznaj si animacj i wykonuj polecenie 2. 3. Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodz do stacji informacyjnych.
Kada z grup zadaniowych, rozwizuje przygotowane przez ekspertów zadania.
4. Eksperci wspieraj pozostaych uczniów, wyjaniaj wtpliwoci. Nauczyciel nadzoruje prac grup.
5. Po wykonaniu zada z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodz do kolejnej stacji. 6. Uczniowie w parach rozwizuj zadania z wicze  14. Rozwizania zada uczniowie
zapisuj w zeszycie, sprawdzajc w materiale ich poprawno.
Faza podsumowujca:
1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczce wicze. Nauczyciel i uczniowie – eksperci wyjaniaj wtpliwoci.
2. Nauczyciel omawia przebieg zaj, omawia prac ekspertów oraz wskazuje mocne i sabe strony pracy uczniów, udzielajc im tym samym informacji zwrotnej.
Praca domowa:
Materiay pomocnicze:
Wskazówki metodyczne:
Animacja moe by wykorzystana przez uczniów do utrwalenia wiadomoci z lekcji oraz podczas lekcji powtórzeniowych z dziau „Ukady równa liniowych”.