METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Zagadnienia termiczne · 2009-10-10 · Warunek brzegowy Dirichleta V...

1

Paweł Witczak, Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych PŁ

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO

Termokinetyka


Matematyczny opis ruchu ciepła (1)

Zasada zachowania energiiWa – Ciepło akumulowane, [J]

Pwe – Moc wejściowa, [W]

Pwy – Moc wyjściowa , [W]

t – przedział czasu, [s]

q – gęstość mocy cieplnej, [W/m3]

Y – gęstość strumienia mocy cieplnej, [W/m2]

– gęstość masy, [kg/m3]

c – ciepło właściwe, [J/kg deg]

– przyrost temperatury względem otoczenia

V

S(V)

V

dSq

Y

2



Przewodzenie ciepła

l

1 0

S

Prawo Fourier’a - Kirchoff’a

0 x=l

x

W ogólnym przypadku



Równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji)

Objętość V jest dowolna

Dla ciał izotropowych x= y= z=

Do rozwiązania jest niezbędna znajomość warunku brzegowego (S)

oraz początkowego (t=0)

3



Dowolność temperatury odniesienia

Niech podstawiając do równania dyfuzji mamy

Wniosek:

Niezależnie od rzeczywistego, czasoprzestrzennego rozkładu

temperatury w analizowanym obiekcie, można ustalić za zerową

(odniesienia) temperaturę dowolnego jego punktu.

Różnice temperatur pomiędzy dowolnymi punktami obiektu,

decydujące o rozpływie strumienia mocy cieplnej, nie ulegają

zmianie.


Matematyczny opis ruchu ciepła (5)Naturalne warunki brzegowe

1. Warunek brzegowy Dirichleta

V

SD(V)

VdS

q

Y

Zwykle ustala się

Otoczenie o bardzo dużej pojemności cieplnej

2. Warunek brzegowy Neumanna (dla części brzegu SN S)

VVdS

q

Y

SN

Zwykle ustala się

Brak wymiany ciepła poprzez część brzegu SN

4



Płaszczyzna

jednoczesnej symetrii:

- geometrycznej,

- materiałowej,

- żródeł ciepła.

Y

Yn=- n SN)=0

SD)=0

q

Wykorzystanie symetrii obiektu do redukcji modelu obliczeniowego

Y

q

SD)=0

Yn=- n SN)=0



Oddawanie ciepła poprzez konwekcję i promieniowanie

V

SKP(V)

V

dSq

Y3. Warunek brzegowy Hankela

KP= K+ P – współczynnik konwekcji i promieniowania

K = K0(1+1.2 v) v – prędkość strugi powietrza

Konwekcja naturalna

K0 W/m2degY

Dla odprowadzania w kierunku

horyzontalnym i pionowym do góry

K0 W/m2deg

Dla odprowadzania w kierunku

pionowym do dołu

Promieniowanie

Y

Dla temperatur S= (80-120) oC

P W/m2deg

Powierzchnie matowe

P W/m2deg

Powierzchnie błyszczące

5


Własności fizyczne wybranych materiałów

Materiał

Przewodność

cieplna

[W/m deg]

Gęstość

masy

[kg/m3]

Ciepło

właściwe

[J/kg deg]

Miedź 385 8930 398

Aluminium 230 2700 900

Stal 25 - 50 7850 500

Blacha elektrotechniczna 45 - 65 7800 500

Żywica poliamidowa 0.16 1040 1500

Żywica poliestrowa 0.17 – 0.24 1230 1250

Żywica poliuretanowa

modyfikowana0.6 1200 1500

Powietrze ( =75 oC) 0.023 – 0.030 1.1 1170


Przykładowe obliczenia

x/ y=10

x/ y=0.1

x/ y=1

=100

=100

=100

=0

=0

=0

6


Analiza w przestrzeniach liniowych

Przestrzenią liniową rzeczywistą Y nazywamy pewien niepusty zbiór elementów y,

dla których określono operacje dodawania, mnożenia przez liczbę rzeczywistą

oraz wyróżniono element zerowy 0, jeśli dla dowolnych yk Y i i są spełnione

następujące aksjomaty:

• yk+ym= ym+ yk

• yk+ (ym+ yn) = (yk+ ym)+ yn

• yk+ 0 = yk

• (yk+ ym) = yk+ ym

• ( i j yk = i yk j yk

• ( i j yk = i ( j yk


Przykłady przestrzeni liniowych

1. Zbiór wektorów na płaszczyźnie E2

y1

y2

(y1 +y2)

2. Zbiór funkcji liniowych y(x) w przedziale [a,b]

a b

y1

y2y

x

(y1 +y2)

7


Wymiar i baza przestrzeni liniowej

Elementy yk (k=1...N) nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli żaden z

tych elementów nie może być przedstawiony za pomocą kombinacji

liniowej z pozostałych. N

kii

iik yy1

Liczbę N nazywamy wymiarem przestrzeni

Bazą przestrzeni liniowej {ei} Y nazywamy zbiór N liniowo niezależnych

elementów należących do przestrzeni Y, za pomocą którego można

przedstawić dowolny element y z tej przestrzeni.

N

i

ii

1

ey


Przykłady baz przestrzeni liniowych

Dla każdej przestrzeni liniowej rzeczywistej można znaleźć dowolnie

dużo układów elementów bazowych.

1. Przestrzeń wektorów na płaszczyźnie E2

y = e1 + e2 = f1 + f2

2. Przestrzeń funkcji liniowych na przedziale [a, b]

a b

f1 f2

e1

e2

y

y = e1 + e2 = f1 + f2

e1

e2

f1

f2y

f1

f2

8


Iloczyn skalarny i norma przestrzeni liniowej

Iloczynem skalarnym dwu elementów y, z należących do przestrzeni

liniowej rzeczywistej Y nazywamy funkcję < y, z > o wartościach

rzeczywistych, jeżeli spełnione są warunkiŁ

• y, z+w = y, + y, w

• y, w = w, y z

• y, z = y, z

• y, y > 0 dla y 0

Norma przestrzeni i iloczyn skalarny są powiązane definicyjnie jako


Przestrzeń Euklidesowa n-wymiarowa

Bazą ortogonalną przestrzeni n-wymiarowej nazywamy taki zbiór

jej elementów{ek }jeżeli dla dowolnej pary zachodzi

2

1

2)( yyy,N

i

i

Jeśli dodatkowo norma każdego z wektorów bazowych jest równa jedności

to bazę taką nazywamy ortonormalną.

Jeżeli iloczyn skalarny jest określony wyrażeniem

to normę indukowaną przez ten iloczyn nazywamy Euklidesową

9


Cosinusy kierunkowe

Element przestrzeni liniowej nazywamy unormowanym oznaczając go

przez yN, jeżeli jego norma jest równa jedności.

Amplitudę i-tej składowej wektora yN nazywamy

i-tym cosinusem kierunkowym uni z własnością

e2

e11

2

y


Iloczyn skalarny w przestrzeniach funkcyjnych L2

Jeżeli dane są funkcje u, w określone i całkowalne nad pewną

dziedziną V (objętością, powierzchnią, odcinkiem), to iloczyn

skalarny tych elementów wynosi

Zadanie aproksymacji:

Wyznaczyć najlepsze przybliżenie ua funkcji u za pomocą

zbioru funkcji bazowych ei , i=1,2...N

10


Przykłady zadań aproksymacji/interpolacji

1. Szereg Fouriera.

Dana jest funkcja okresowa f(t) o okresie T.

Wyznaczyć jej rozwinięcie fa(t) w szereg funkcji cos , sin .


i

iia xyxy )()(

ya(x)

Przykłady zadań aproksymacji/interpolacji

2. Uogólnienie linii łamanej.

Dany jest zbiór punktów yi(xi), wyznaczyć funkcję ya ciągłą,

odcinkami liniową przechodzącą przez te punkty.

x1 x2 x3

x4 x5

x

y

1

11


Podstawy matematyczne metody elementu

skończonego (pole skalarne)

1. Poszukujemy przybliżonego rozwiązania pola temperaturowego (x),

x=[x1, x2, x3] w pewnym obszarze V o brzegu S spełniającego równanie

przewodnictwa cieplnego

z warunkiem brzegowym (x S)= S.

2. Zakładamy rozwiązanie w postaci

o nieznanych amplitudach yi

3. Równanie przewodnictwa cieplnego

mnożymy obustronnie przez każdą z funkcji

i(x) i całkujemy nad obszarem V.


Podstawy matematyczne metody elementu

skończonego (pole skalarne)

4. Otrzymana tożsamość całkowa, będąca formalnie iloczynem skalarnym

funkcji i i równania przewodnictwa, przekształca się do

i=1 ... N

5. Przedstawiając poszukiwany rozkład temperatury w postaci kombinacji

liniowej funkcji bazowych otrzymujemy układ N równań względem

nieznanych amplitud funkcji bazowych yj

i=1 ... N

12


Kształty elementów skończonych i funkcji bazowych (pierwszego rzędu)

Zagadnienie 1D – elementem jest odcinek

Zagadnienie 2D – elementem jest trójkąt

lub czworokąti

i

i i+1i-1

i

Zagadnienie 3D – elementem jest czworościan

lub sześciościan

(intensywność koloru pokazuje

wartość funkcji)

i


Przekształcenie tożsamości całkowej MES

do postaci macierzowej

1. Całkowanie odbywa się oddzielnie dla każdego elementu ek, k=1...M(dla uproszczenia zapisu wprowadzono izotropową przewodność )

i=1 ... N

2. Analityczne wyrażenia dla poszczególnych funkcji bazowych są znane,

całki obliczane są na drodze numerycznej. Operatory sumowania

i całkowania mogą być wymienione miejscami.

i=1 ... N

13


Wektor wymuszeń równania macierzowego

1. Źródła mocy cieplnej

i=1 ... N

2. Warunki brzegowe

a. Dirichleta - znana jest temperatura brzegu yj SD

Jeśli temperatura brzegu jest równa zeru - yj SD = 0 ,to QSDi = 0

i=1 ... N


Wektor wymuszeń równania macierzowego

2. Warunki brzegowe

b. Neumanna - znany jest na brzegu strumień mocy cieplnej YSe

Jeśli strumień cieplny nie przenika brzegu Yk SN = 0 ,to QSNi = 0,

temperatura brzegu nie jest znana a’priori.

i=1 ... N

c. Hankela - znana jest na brzegu intensywność wymiany ciepła przez konwekcję

i=1 ... N

14


Układ równań liniowych

równoważny tożsamości całkowej wymiany ciepła

Tożsamość całkowa

i=1 ... Njest równoważna układowi równań

SD – część brzegu z warunkiem Dirichleta,

SN – część brzegu z warunkiem Neumanna,

SH – część brzegu z warunkiem Hankela.

i=1 ... N

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Zagadnienia termiczne · 2009-10-10 · Warunek brzegowy Dirichleta V...

Documents

Transcript of METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Zagadnienia termiczne · 2009-10-10 · Warunek brzegowy Dirichleta V...