Mechanika relatywistyczna (RM) a mechanika klasyczna (CM)

c = 300 000 km/s

mechanika klasyczna: u << c

mechanika relatywistyczna: u = [0,c]

dla m>0: u = [0,c)

dla m=0: u = c

Zasada zgodności: RM dla u << c CM

masa m m(u)

masa? a ~ F a=(1/m)F

22

0

1 cu

mm

...)8

3

2

11( 4422

0 cucumm

Składanie prędkości

Dwa zbliżające się ciała:

1 u=0.8c u=0.8c 2

u1 = 0.5c A u2 = 0.5c

221

21

1c

uuuu

u

),( 21 uufu ),0( 22 ufu ),( 2ucfc

Czas, długość

Wydłużenie:

Skrócenie:

220 1/ cutt

220 1 cull

Energia, energia kinetyczna

Energia: bilans (masy+energii)

energia kinetyczna

2mcE

20

2 cmmcEk

...)4

31(

2

1 2220 cuumEk

Pęd, prawo Newtona

Pęd: , gdzie

...ale Ek = m0u2/2 Ek = m.u2/2 (?)

...oraz F = m0a F = ma (?)

ump

22

0

1 cu

mm

dt

pdF

Energia (kinetyczna) i pęd

Definicje: energia E to skalar który jest zachowany,

pęd p to wektor który jest zachowany

Każde równanie ruchu, np. równanie Newtona, Schrödingera, ..., prowadzi do zależności E(p)

światło:

cząstki swobodne (CM):

pEpckchEpE ,:)(

2

0

22

0 ,22

1:)( pE

m

pumEpE

Energia (kinetyczna) i pęd

cząstki swobodne (RM):

limit (CM): pc << m0 c2, E = const + p2/2m + ...

limit (ultra-RM): pc >> m0 c2, E = pc + ...

2220 )()(:)( pccmEpE

Teoria względności (u=0..c)Teoria względności (u=0..c)a Mechanika klasyczna (u<<c)a Mechanika klasyczna (u<<c)

... i użyteczne rozwinięcie funkcji

teoria względności należy zidentyfikować: x = -u2/c2, n = -1/2

wniosek: odtwarzamy wyniki mechaniki klasycznej

22

0

1 cu

mm

...)

8

3

2

11( 4422

0 cucumm

20

2 cmmcEk ...)4

31(

2

1 2220 cuumEk

1...,6/)2)(1(2/)1(1)1( 32 Rxnnnxnnxnx n

Szeregi: TAYLORSzeregi: TAYLORPrzykład

Przykład

Przykład

Rxxxxx ...,5040/120/6/)sin( 753

0998.00002.01000.00998.0)1.0sin( 8414.00002.00083.01667.00000.18414.0)0.1sin(

1,,11

12)(/)()(

2

2

R

c

vx

xxCMKRMKvr

0076.10000.00001.00075.010076.1)01.0(1.0 rcv

8794.11434.02560.04800.010833.2)64.0(8.0 rcv

...6/2/1 32 xxxe x

Przykład: spadek z tłumieniem Przykład: spadek z tłumieniem nie ma osobliwości dla b=0nie ma osobliwości dla b=0

(nie swobodny) spadek z tłumieniem:

prowadzi do rozwiązania

które wydaje się zawierać osobliwość w granicy spadku swobodnego gdy tłumienie b=0,gdy oczekujemy odtworzenia znanych wzorów dla spadku swobodnego. ISTOTNIE, w granicy b0, rozwiwięcie w szereg Taylora daje

i teraz wszystko się zgadza; a nawet uzyskaliśmy poprawkę jako człon proporcjonalny do b.

zbmgzm

tm

b

eb

mgz

b

mt

b

mgztz 1)0()0()(

22 )0(22

1)0()0()( tz

m

bgttzztz

Przykład: przewodnictwo diody Przykład: przewodnictwo diody dla półprzewodnikowejdla półprzewodnikowej

(naturalny) półprzewodnik należy zidentyfikować: x = eU/kBT,

dla x << 1 otrzymujemy

uwaga:

wniosek: prawo Ohma jest odtworzone dla małych napięć U

1)/( TkeU Bei

TkeUi B/

KeV 116041