Matura 2010 z matematyki

na poziomie rozszerzonym

PLANIMETRIA

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta .

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

DOWÓD:Niech:

Na mocy twierdzenia sinusów ( Snelliiusa ) zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy:

a także

otrzymujemy tezę:

Zad. 1. Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC │AB│= c, │BC│= a, │AC│= b, a CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie, to │AD│= i │BD│= . DOWÓD:

D

C

BA

x x

b

c

a

Zad. 2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość a i b. Oblicz długość odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego.DOWÓD:

C

A

B

D a

b

Zad. 3. W trójkącie ABC │BC│= a, │AC│= b oraz │CD│= d, gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie. Oblicz długość boku │AB│ tego trójkąta.DOWÓD:

Zad. 4. Wykaż, że jeżeli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt jest równoboczny.DOWÓD:

Zad. 5. Trójkąt ABC ma pole równe P. Utworzono trójkąt A'B'C' w taki sposób, że A' = SB( A ), B' = SC( B ) i C' = SA( C ). Oblicz pole trójkąta A'B'C'.DOWÓD:

A B

C

C’

A’

B’

PABC = S

PA’AC’ = 2S

PA’BB’ = 2S

PC’CB’ = 2S

Stąd pole PA’B’C’ = 7S

Zad. 6. W trójkącie poprowadzono środkowe boków. Podzieliły one trójkąt na sześć mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe.DOWÓD:

Zad. 7. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta.DOWÓD:

Zad. 8. Wyznacz długość boku c trójkąta, jeśli dane są długości a i b boków trójkąta oraz wiadomo, że ha + hb = hc, gdzie ha, hb, hc są długościami wysokości opuszczonych na odpowiednie boki trójkąta.DOWÓD:

Zad. 9. Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają zależność , to trójkąt ten jest równoramienny.

DOWÓD:

Zad. 10. Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.DOWÓD:

Zad. 11 Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC obrano punkty C1 oraz C2 takie, że │AC1│= │AC│ oraz │BC2│= │BC│. Wykaż, że miara kąta C1C C2 jest równa 45o.DOWÓD:

A

B

C

C1

C2

Jeżeli kąt CAB ma miarę x, to kąt CC2A ma miarę 90o – ½ x.Wówczas kąt CBA ma miarę 90o – x a co zatem kąt CC1B ma miarę 45o + ½x.

Mamy zatem: miara kąta C1CC2 = 180o – 90o + ½ x – 45o – ½ x = 45o

LICZBY RZECZYWISTE

Zad. 1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi nierówność: a2 + b2 + 2 2 ( a + b )

DOWÓD:

Mamy pokazać, że a2 + b2 + 2 2 ( a + b )ale a2 + b2 + 2 2 a + 2b

a2 – 2a + b2 – 2b + 2 0

a2 – 2a + 1 + b2 – 2b + 1 0

( a – 1 )2 + ( b – 1 )2 0

Zad. 2. Wykaż, że liczba 318 – 218 jest liczbą podzielną przez 19.

DOWÓD:

318 – 218 = ( 39 – 29 )(39 + 29 ) =

=(33 – 23 )( 36 + 33 33 + 26 )(39 + 29 ) =

=19 (36 + 33 33 + 26 )(39 + 29 )

Zad. 3. Udowodnij, że trzy liczby a, b, c tworzące ciąg geometryczny spełniają warunek: ( a + b + c )( a – b + c ) = a2 + b2 + c2,DOWÓD:

Dane są liczby; a, b = aq, c = aq2 wówczas( a + b + c )( a – b + c ) = a2 (1 + q + q2 )( 1 – q + q2 ) =

= a2 (1 – q + q2 + q – q2 + q3 + q2 – q3 + q4 ) =

= a2 (1 + q2 + q4 ) = a2 + a2 q2 + a2 q4 = a2 + b2 + c2

Zad. 4. Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu.DOWÓD:

Zad. 5. Udowodnij, że jeśli różne liczby a2, b2, c2 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby

też tworzą ciąg arytmetyczny.

DOWÓD:

Zad. 6. Wykaż, że:

gdzie a b, b c i a cDOWÓD: