Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Wszechświata nie da się poznać dopóki nie nauczymy się języka i nie poznamy znaków, za

pomocą których został napisany. Został on napisany językiem matematyki a literami są

trójkąty, okręgi i inne figury geometryczne, co oznacza, że po ludzku nie można zrozumieć

ani jednego słowa. ”

Galileo Galilei (Galileusz)

POLA FIGUR PODOBNYCH.Między figurami podobnymi istnieje zawszę silny związek. Dotyczy on nie tylko długości odpowiednich odcinków w tych figurach ale także pól tych figur.

POLA FIGUR PODOBNYCH.Przyjrzyj się poniższym prostokątom. W każdym z nich większy prostokąt jest podobny do prostokąta zamalowanego a pod rysunkiem podana jest skala podobieństwa. Co zauważasz?

k = 2 k = 3 k = 4

POLA FIGUR PODOBNYCH.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

P – pole figury FP’ – pole figury F’ podobnej do Fk – skala podobieństwa figury F’ do figury F

PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 1.Trójkąt DEF jest podobny trójkąta ABC w skali k = 2, a więc stosunek pola trójkąta DEF do pola trójkąta ABC jest równy k2 czyli 4.

PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 2.Trapez II jest podobny do trapezu I w skali k = 0,5, a więc stosunek pola trapezu II do pola trapezu I jest równy 0,25.

PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 3.Prostokąt F2 jest podobny do prostokąta F1 w skali k. Stosunek pól tych prostokątów wynosi k2.

PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 4.Trójkąt F2 jest podobny do trójkąta F1 w skali k. Stosunek pól tych trójkątów wynosi k2.

PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 5.Koło F2 jest podobne do koła F1 w skali k. Stosunek pól tych kół wynosi k2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Romb A’B’C’D’ jest podobny do rombu ABCD w skali k = 3. Pole rombu ABCD jest równe 13 cm2. Jakie jest pole rombu A’B’C’D’?

Pole rombu A’B’C’D’ możemy obliczyć mnożąc pole rombu ABCD przez kwadrat skali podobieństwa:

PA’B’C’D’ = 32 13 cm∙ 2 = 9 13 cm∙ 2 = 117 cm2.

Odpowiedź: Pole rombu A’B’C’D’ jest równe 117 cm2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Figury F i F’ są podobne. Pole figury F jest równe 20 cm2. Jakie jest pole figury F’ jeśli figura F jest podobna figury F’ w skali k = 0,4?

Skoro figura F jest podobna do figury F’ w skali k = 0,4, to figura F’ jest podobna do figury F w skali odwrotnej do k, czyli s = 2,5. Aby obliczyć pole figury F’ mnożymy pole figury F przez s2:

PF’ = 20 2,5∙ 2 = 20 6,25 = 125 (cm∙ 2).

Odpowiedź: Pole figury F’ wynosi 125 cm2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3.Dwie figury o polach 95 cm2 i 3,8 cm2 są do siebie podobne. Jaka jest skala podobieństwa większej z tych figur do mniejszej?

Aby obliczyć kwadrat skali podobieństwa dzielimy pole większej figury przez pole mniejszej. Po wyciągnięciu pierwiastka otrzymamy skalę podobieństwa.

Odpowiedź: Skala podobieństwa większej figury do mniejszej jest równa 5.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4.Jakie długości mają przekątne rąbu o polu 320 mm2, który jest podobny do rombu przekątnych długości 5 mm i 8 mm?Aby znaleźć długości przekątnych tego rombu musimy znaleźć skalę podobieństwa tych rąbów. Obliczamy pole drugiego rąbu, a następnie postępujemy jak w zadaniu 3:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.

Obliczamy długości przekątnych:

d1 = 4 5 mm = 20 mm∙d2 = 4 8 mm = 32 mm∙

Odpowiedź: Przekątne tego rąb mają długość 20 mm i 32 mm.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 5.Ściany pokoju są prostokątami podobnymi w skali k = 2. Na pomalowanie większej ściany zużyto 22 litry farby. Ile litrów farby należy kupić aby pomalować mniejszą ścianę?Farba pokrywa całą ścianę a więc rozpatrujemy tutaj pola figur podobnych. Aby obliczyć ile farby potrzeba na pomalowanie mniejszej ściany, wystarczy podzielić ilość farby zżytej na większą ścianę przez kwadrat skali podobieństwa.22 l : 4 = 5,5 lOdpowiedź: Na pomalowanie mniejszej ściany potrzeba 5,5 litra farby.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 6.Skala podobieństwa dwóch kół wynosi 5. Oblicz długość promienia każdego z tych kół, jeżeli różnica ich pól jest równa 384π cm2.

Korzystając z faktu, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa możemy ułożyć układ równań. Oznaczmy:

P1 – pole większego kołar1 – promień większego kołaP2 – pole mniejszego kołar2 – promień mniejszego koła

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 6 – ciąg dalszy.

25P2 – P2 = 384π

24P2 = 384π | : 24

P2 = 16π

P1 = 25 16∙ π = 400π

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 6 – ciąg dalszy.Mamy zatem:

Promienie możemy teraz wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na pole koła.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 6 – ciąg dalszy.

Odpowiedź: Promień większego koła jest równy 20 cm, a promień mniejszego koła jest równy 4cm.