Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

PRAWA DZIAŁAŃ NA

ZBIORACH

-4 10 411 8

Już wiemy, że na zbiorach – a konkretnie na ich elementach można wykonywać różne działania.

Działania te zapiszemy w postaci praw matematycznych,

a niektóre z nich udowodnimy.

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DOTYCZĄCE ZBIORÓW:

A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = AA ∪ A = AA ∩ A = A

(1)I prawo de Morgana dla zbiorów: „Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B jest iloczynem dopełnień tych zbiorów”

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(2) II prawo de Morgana dla zbiorów: „Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów A i B jest sumą dopełnień tych zbiorów”

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

PRAWA DZIAŁAŃ:

(3) przemienność sumy zbiorów A i B:

A ∪ B = B ∪ A(4) łączność sumy zbiorów:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(5) przemienność iloczynu zbiorów A i B: A ∩ B = B ∩ A

(6) łączność iloczynu zbiorów : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(7) rozdzielność iloczynu zbiorów względem ich sumy: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(8) rozdzielność sumy zbiorów względem ich iloczynu: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Przeprowadźmy dowód wybranych praw:

(1) Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ (A ∪ B)’ ⇔ ∽[x ∈ (A ∪ B)] ⇔ ∽[x ∈ A ∨ x ∈ B] ⇔ [∽(x ∈ A)] ∧ [∽(x ∈ B)] ⇔ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇔ x ∈ A’ ∩ B’

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(3)Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ (B ∪ A)

A ∪ B = B ∪ A

(6)Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:x ∈ [(A ∩ B) ∩ C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x ∈ C] ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)]

Pozostałe prawa spróbuj sam udowodnić.

[(A ∩ B)∩ C] = [A ∩ (B ∩ C)]

Zadanie 1. Zapisz matematycznie zbiory i wypisz elementy należące do niego.A – zbiór liczb całkowitych, których wartość bezwzględna jest mniejsza od 4.B – zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest niewiększy od 30.C – zbiór liczb naturalnych, których liczba 4 jest dzielnikiem.

ROZWIĄZANIE: A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 4, 8, 12, 16, ……}

Zadanie 2.W klasie I jest 40 osób, wśród których:14 osób lubi matematykę,6 osób lubi matematykę i język polski,7 osób lubi język polski i język obcy,2 osoby – wszystkie trzy przedmioty,21 osób język polski, reszta tylko język obcy.

Narysuj i uzupełnij graf i odpowiedz:a) ile osób lubi tylko język obcy,b) ile osób lubi dokładnie jeden przedmiot,c) ile osób nie lubi języka obcego,d) ile osób lubi dokładnie dwa przedmioty.

ROZWIĄZANIE:

Zbiory podpiszmy nazwami przedmiotów. Z grafu odczytamy rozwiązania i zapiszemy ilość uczniów:

a) 11b) 29c) 22d) 9

język obcy

matematykajęzyk polski

5 2

48

10

11

Zadanie 3.Narysuj i uzupełnij graf jeżeli:X = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 }; Y = { 1, 2, 3, 6, 7, 8 }; Z = { 1, 2, 5, 6 }X ∩ Y ∩ Z = { 1, 2 }X ∩ Y = { 1, 2, 3 }X ∩ Z = { 1, 2 }Y ∩ Z = { 1, 2, 6 }

ROZWIĄZANIE przedstawione będzie na grafie.

(zaczynamy od uzupełnienia części wspólnej trzech zbiorów, potem części wspólnej dwóch zbiorów, a na końcu

uzupełniamy zbiory: X, Y i Z)

X

Z

Y

5

9

4 10

7 8

6

31 2

Zadanie 4.Wiedząc, że:A = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 } B = { 1, 2, 3, 6, 7 }C = { 1, 2, 5, 6 }wyznacz: (A ∩ B) \ C (A ∪ B) \ C A \ (B ∩ C) A \ B(A \ B) ∩ C B \ (C ∪ A)

ROZWIĄZANIE: (A ∩ B) \ C = { 1, 2, 3 } \ C = { 3 } (A ∪ B) \ C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10 } \ C = { 3, 4, 7, 9, 10 }A \ (B ∩ C) = A \ { 1, 2, 6 } = { 3, 4, 9, 10 } A \ B = { 4, 9, 10 }(A \ B) ∩ C = { 4, 9, 10 } ∩ C = ∅ B \ (C ∪ A) = B \ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 } = { 7 }

Zadanie 5.Ze słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i spółgłoski. Wypisz elementy należące do zbiorów:A – zbiór samogłosekB – zbiór spółgłosekWyznacz zbiory:A \ B ; B \ A; A ∩ B; A ∪ B

ROZWIĄZANIE: wypiszmy najpierw elementy zbioru A i B.A = { e, i, o, y }B = { b, c, l, r, w, z } A \ B = { e, i, o, y } = AB \ A = { b, c, l, r, w, z } = BA ∩ B = ∅A ∪ B = { b, c, e, i, l, o, r, w, y, z }

Zadanie 6.Co będzie częścią wspólną zbiorów A i B jeżeli:A – zbiór czerwonych bluzeczekB – zbiór czerwonych spódniczek

ROZWIĄZANIE: Częścią wspólną tych zbiorów będzie zbiór pusty. A ∩ B = ∅.

Zadanie 7.Dane są zbiory:A – zbiór czworokątówB – zbiór kwadratówC – zbiór trójkątów równobocznychD – zbiór prostokątówE – zbiór trójkątówX – zbiór figur płaskich

Narysuj zbiory, podzbiory do treści zadania.Wyznacz zbiory: A’, E’, A ∩ E, A\ E, D ∩ A, A ∩ B, E ∩ C

XE

D

C

B

A

ROZWIĄZANIE A’ = EE’ = AA ∩ E = ∅A \ E = AD ∩ A = DA ∩ B = BE ∩ C = C