Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

FraktaleFraktale

Co to jest fraktal?

Fraktal, według definicji encyklopedycznej to obiekt, dla którego wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od wymiaru topologicznego.

Według definicji „potocznej” fraktal jest obiektem samopodobnym – tzn. takim, którego części są podobne do całości – lub „nieskończenie subtelny” czyli taki, który ukazuje subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu danego obrazu.

Co to jest fraktal?

Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

ma nietrywialną strukturę w każdej skali

struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej

jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to w przybliżonym lub stochastycznym

jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny

ma względnie prostą definicję rekurencyjną

ma naturalny wygląd („poszarpany”, „kłębiasty”, itp.)

Historia fraktali

Pojęcie fraktali zostało wprowadzone do matematyki, za sprawą francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia, przez Benoita Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Uczony ten odkrył znany zbiór, nazwany na jego cześć zbiorem Mandelbrota. Jednakże nie był to pierwszy fraktal, bowiem już wcześniej istniało wiele zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory’ego i Felixa Hausdorffa.

Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze.

Benoit Mandelbrotur. Warszawa 1924

Co to jest fraktal?

Benoit Mandelbrot twierdzi, że fraktalem jest wszystko. Nie jest to typowa, ścisła matematyczna definicja, ale jednak wyrażona przez wybitnego matematyka, więc musi mieć jakieś podstawy. Oglądając każdy obiekt (fizyczny, materialny) w pewnym momencie zauważamy, że ma ona strukturę fraktalną. Wszystko zależy od skali w jakiej dany obiekt oglądamy, a w przypadku obiektów matematycznych także od przybliżenia. Tak jak przyglądając się najzwyklejszemu plasterkowi żółtego sera, nie zdajemy sobie sprawy z faktu, że białko które jest jego podstawą ma strukturę fraktalną tak i oglądając zbiór Mandelbrota w błędnej skali możemy sobie nie zdawać sprawy z jego fraktalności. Słowo fraktal (ang. fractal) pochodzi z łaciny od słowa "fractus", które oznacza złamany. Zostało ono wprowadzone przez Mandelbrota, który tłumaczy, że powinno się przez nie rozumieć nieregularność, "fragmentowość" fraktali, a także konieczność "złamania" ich w celu uzyskania powyższej nieregularności.

Przykłady fraktaliZbiór Cantora

Georg Cantor (1945-1918) był wybitnym niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883 roku.

Jego konstrukcja jest bardzo prosta. Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.

Georg Cantor1845-1918

Zbiór Cantora

Wymiar fraktalny:Szukamy takiej skali, w której cały zbiór się powtarza. W skali 3 zbiór powtarza się dwukrotnie.

2=34

d=log32

d=log2 / log3 = 0,6309

Trójkąt i dywan Sierpińskiego

Wacław Sierpiński (1882-1969) urodzony w Warszawie. Wybitny polski matematyk mający na swoim koncie liczne sukcesy w różnych dziedzinach matematyki, od teorii liczb do geometrii fraktalnej.

Fraktale Sierpińskiego, są jednymi z najbardziej znanych. Ich konstrukcja jest podobna do zbioru Cantora, jednakże ich reprezentacja graficzna jest znacznie ładniejsza.

Mając na płaszczyźnie wypełniony trójkąt dzielimy go na cztery mniejsze. Aby to zrobić, wyznaczamy trzy punkty będące środkami boków pierwotnego trójkąta, przeprowadzamy proste łączące te punkty. Teraz mając cztery trójkąty, usuwamy środkowy, a pozostałe dzielimy w identyczny sposób jak na początku.

Wacław Sierpiński (1882-1969)

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego można stworzyć używając do tego trójkąta Pascala. Jest to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny jest tworzony w ten sposób, że na początku i końcu wiersza znajdują się liczby 1, a każda liczba znajdująca się pod dwoma innymi jest ich sumą. Zakładając, że wiersze i kolumny liczymy od zera. Najpierw rysujemy trójkąt, początkowo jedynie z 8 wierszami. Teraz zamalowujemy pola z liczbami nieparzystymi na czarno, pozostałe na biało.

Wymiar fraktalny:

Cały trójkąt jest podobny do siebie w skali 2, a powtarza się trzykrotnie:

d=log3/log2=1,5849

Dywan Sierpińskiego

Wymiar fraktalny:

Cały dywan jest do siebie podobny w skali 3, powtarza się 8 razy:

d=log8/log3=1,8928

Trójkąt i dywan Sierpińskiego

Przyglądając się obu obiektom stworzonym przez Sierpińskiego widoczne jest ich podobieństwo. Główną różnicą jest figura początkowa, z jakiej powstaje fraktal. Drugą istotną różnicą jest topologiczny niezmiennik - rząd rozgałęzień.

Aby go obliczyć, trzeba wziąć możliwie małe koło, zawierające dany punkt i policzyć ilość przecięć z odcinkami wychodzącymi z tego punktu. W trójkącie Sierpińskiego istnieją punkty o rzędzie rozgałęzienia równym 2, 3 lub 4. Natomiast w dywanie Sierpińskiego znajdują się punkty o dowolnym rzędzie rozgałęzienia, z czego wynika, że zawiera on topologiczną wersja trójkąta Sierpińskiego.

Innymi rzadziej pokazywanymi konstrukcjami są piramida Sierpińskiego i gąbka Mengera. Zbiory te, to przeniesienie trójkąta i dywanu Sierpińskiego w przestrzeń trójwymiarową. Gąbkę stworzył Karl Menger w 1925 roku.

Piramida Sierpińskiego

Wymiar fraktalny:

Piramida powtarza się 4 razy w skali 2:

d=log4/log2=2

Gąbka Mengera

Wymiar fraktalny:

Powtórzenie następuje w skali 3, ilość wystąpień oryginału wynosi 20:

d=log20/log3=2,72683

Gąbka Mengera to trójwymiarowy odpowiednik dywanu Sierpińskiego.

Krzywa i płatek Kocha

Twórcą tego fraktala jest Helge von Koch, szwedzki matematyk.

Krzywa ta jest specyficzna, ze względu na fakt, iż nie posiada żadnych prostych, ani odcinków.

Mając dany kawałek, podobnie jak w przypadku zbioru Cantora, dzielimy go na trzy części i usuwamy środek. Tym razem jednak w powstałą „dziurę”, wstawiamy trójkąt równoboczny, któremu usuwamy podstawę. Tak postępujemy dla każdego z czterech powstałych elementów. Płatek Kocha powstaje po połączeniu trzech krzywych Kocha pod kątem 60°, „chropowatą” stroną na zewnątrz.

Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha

Helge von Koch1870 – 1924

Krzywa i płatek Kocha

Wymiar fraktalny:

Krzywa powtarza się w skali 3 czterokrotnie:

d=log4/log3=1,2618

Przestrzeń zespolona

Najpiękniejszą grupą fraktali, są fraktale stworzone na płaszczyźnie zespolonej. Tutaj także obraz jest uzyskiwany przez iteracyjne przekształcanie wcześniej uzyskanych wyników, jednakże tym razem operujemy na liczbach zespolonych, a zamiast przekształceń afinicznych korzystamy z wielomianów zespolonych.

Rozważmy funkcję:f(z)=z2+c

tyle, że tym razem z przebiega po liczbach zespolonych zaś c jest zespolonym parametrem. Własnościami tego przekształcenia zajmował się w latach 30 XX wieku Gaston Julia - francuskiego matematyka (urodzonego w Algierii), który badał układy dynamiczne, w szczególności iteracje funkcji kwadratowej na płaszczyźnie zespolonej.

Gaston Maurice Julia1893 – 1978

Zbiory Julii - przykład

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny jeżeli c należy do zbioru Mandelbrota.

Zbiór Mandelbrota

Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów c, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.

Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980 r., a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat.

Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbiorowi Julii.

Zbiór Mandelbrota a zbiór Julii

Zbiór Mandelbrota jest nie tylko samopodobny, ale lokalnie jest podobny do odpowiedniego zbioru Julii. To niezwykły rezultat dowiedziony niedawno przez chińskiego matematyka Tan Lei.

Przestrzeń hiperzespolona

Bardzo ciekawym rodzajem fraktali, są fraktale czterowymiarowe. Liczby zespolone można rozszerzyć do 4 wymiarowej struktury algebraicznej zwanej kwaternionami.

Rachunki na kwaternionach są dość skomplikowane, w dodatku mnożenie kwaternionów nie jest przemienne. Można tworzyć 4 wymiarowe zbiory Julii według tego samego przepisu co w liczbach zespolonych. Takie 4 wymiarowe fraktale następnie rzutuje się na przestrzeń 3 wymiarową, aby uzyskać obrazy.

Przestrzeń hiperzespolona - przykłady

Zastosowanie fraktali w informatyce

Kompresja fraktalna to system kompresji stratnej opierający się na wykorzystaniu fraktali do reprezentacji danych. Używany jest prawie wyłącznie do kompresji obrazów. Najpopularniejszym zestawem fraktali są systemy funkcji iterowanych (IFS - Iterated Functions System). Kompresja fraktalna daje dobre wyniki zarówno przy bardzo wysokim stopniu kompresji (czyli niskiej jakości) jak i wtedy gdy chcemy zachować wysoką jakość, jednak w tym drugim przypadku skompresowanie obrazu jest operacją bardzo czasochłonną.

Tworzenie grafiki komputerowej - przy pomocy algorytmu możemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złożone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe, całe wyspy, góry czy chmury. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, możemy zapamiętać dowolną łamaną używając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci.

Powiększanie obrazów – dzięki zastosowaniu algorytmu wykorzystującego fraktale, możemy powiększać dany obraz, ponieważ obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.

Pomimo, iż fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale także nowoczesnej technologii. Oto najważniejsze zastosowania fraktali:

badanie nieregularności powierzchniopis procesów chaotycznych zachodzących w układach

dynamicznychprzetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych - kompresja

fraktalnamodelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki

komputerowejbadanie struktury łańcuchów DNAbadanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących

w muzyce

Inne zastosowania fraktali

Bibliografia

Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos. WNT, Warszawa, 2004 S. Mozaffari, K. Faez, M. Ziaratban, Character Representation

and Recognition Using Quadtree-based Fractal Encoding Scheme, IEEE Computer Society, ICDAR, 2005

Piotr Pierański, Fraktale, Od geometrii do sztuki, Wydanie 1, Instytut Fizyki Molekularnej PAN, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992

Michał Tempczyk, Fraktale czyli poszarpana geometria, 1995 http://www.gap-system.org/~history/Biographies http://pl.wikipedia.org/ http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/

Koch.html