Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Nie można oprzeć się wrażeniu, że formuły matematyczne mają niezależny od nas byt i inteligencję, że są mądrzejsze niż my sami,

nawet mądrzejsze niż ich odkrywcy, i że możemy wywnioskować z nich więcej niż

poprzednio w nich zawarto.”

Heinrich Rudolph Hertz

WYKORZYSTANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ

TEKSTOWYCH

Układy równań służą nam do rozwiązywania praktycznych problemów, a te najczęściej formułuje się w postaci tzw. zadań tekstowych. W tej lekcji przedstawiliśmy kilka przykładów rozwiązywania zadań tekstowych z użyciem układów równań.

CO NALEŻY ZROBIĆ ABY ROZWIĄZAĆ ZADANIE TEKSTOWE.

1. Przeczytaj uważnie treść zadania2. Oznacz niewiadome w zadaniu3. Przeanalizuj treść zadania4. Ułóż równania5. Rozwiąż układ równań6. Sprawdź poprawność rozwiązania i jego zgodność z

treścią zadania7. Sformułuj odpowiedź

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12. Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby, to otrzymalibyśmy liczbę o 18 większą. O jakiej liczbie mowa?

Analiza zadania:a – cyfra dziesiątek szukanej liczby b – cyfra jedności szukanej liczby10a + b – szukana liczba10b + a – liczba otrzymana po przestawieniu cyfr szukanej liczbya + b = 12 – „ Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12”

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1 – ciąg dalszy.10b + a = 10a + b + 18 – „ Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby, to otrzymalibyśmy liczbę o 18 większą”Układ równań i jego rozwiązanie:

Niewiadome w drugim równaniu przenosimy na lewą stronę i porządkujemy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

18b = 126 |: 18b = 7

a + 7 = 12a = 12 – 7 = 5Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: a = 5, b = 7. Szukana liczba to 57.

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Sprawdzenie rozwiązania z treścią zadania.5 + 7 = 1275 – 57 = 18

Odpowiedź: Szukana liczba to 57.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Jacek i Paweł zbierają znaczki. Jacek ma o 30 znaczków więcej niż Paweł. Razem mają 350 znaczków. Ile znaczków ma Paweł?Analiza zadania:J – ilość znaczków JackaP – ilość znaczków PawłaJ = P + 30 – „ Jacek ma o 30 znaczków więcej niż Paweł”J + P = 350 – „ Razem mają 350 znaczków”Układ Równań i jego rozwiązanie:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2 – ciąg dalszy.

P + 30 + P = 3502P = 350 – 302P = 320 |: 2P = 160 J = 160 + 30 = 190Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:160 + 190 = 350190 – 160 = 30Odpowiedź: Paweł ma 160 znaczków.

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania

Ilość znaczków Pawła

Ilość znaczków Janka

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 3.Woda królewska powstaje przez zmieszanie kwasu solnego i kwasu azotowego w stosunku 3 : 1. Jest to bardzo silnie żrąca substancja potrafiąca rozpuścić nawet metale szlachetne. Ile kwasu azotowego a ile solnego znajduje się w 20 litrach wody królewskiej?

Analiza zadania:s – ilość kwasu solnego w 20 l wody królewskieja - ilość kwasu azotowego w 20 l wody królewskiejs + a = 20 – po zmieszaniu mamy 20 l wody królewskiejs : a = 3 – stosunek zawartości kwasu solnego do zawartości kwasu azotowego wynosi 3 : 1 (co daje nam liczbę 3)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3 – ciąg dalszy.Układ równań i jego rozwiązanie:

3a + a = 204a = 20 | : 4a = 5s + 5 = 20s = 20 – 5 = 15

Układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania. Zaczynamy od wyznaczenia s z drugiego równania. Założenie a ≠ 0 wynika z treści zadania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3 – ciąg dalszy.Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: s = 15, a =

5.Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:15 + 5 = 20

Odpowiedź: W 20 litrach wody królewskiej jest 15 litrów kwasu solnego i 5 litrów kwasu azotowego.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4.Pan Jan ulokował na giełdzie 1000 zł, kupując aukcje firm Zysk i Super zysk. Po roku ta inwestycja przyniosła 10% zysku przy czym wartość akcji firmy Zysk wzrosła o 20%, a wartość akcji firmy Super Zysk spadła o 20%. Ile pieniędzy pan Jan ulokował w akcjach firmy Super Zysk?

x – wartość akcji firmy Zysk w momencie zakupu1,2x – wartość akcji firmy Zysk po roku (100% z x + 20% z x to 120% z x, czyli 1,2x)y - wartość akcji firmy Super Zysk w momencie zakupu0,8y - wartość akcji firmy Super Zysk po roku

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.1000 + 0,1 1000 = 1000 + 100 = 1100 – wartość ∙wszystkich akcji po rokux + y = 1000 – wartość akcji przy zakupie1,2x + 0,8y = 1100 – wartość akcji po rokuUkład równań i jego rozwiązanie:

-0,4y = -100 |: (-0,4y)

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.y = 250x + 250 = 1000x = 1000 – 250 = 750Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 750, y = 250.Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:750 + 250 = 1000250 – 0,2 250 = 250 – 50 = 200∙750 + 0,2 750 = 750 + 150 = 900∙900 + 200 = 1100Odpowiedź: Akcje firmy Super Zysk kosztowały 250 zł.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 5.Ile należy wziąć trzydziestoprocentowego roztworu kwasu, a ile sześćdziesięcioprocentowego, aby po zmieszaniu otrzymać 200 g roztworu czterdziestoprocentowego.

Analiza zadania:x – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 30%y – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 60%x + y = 2000,4 200 = 80 – ilość substancji rozpuszczonej w ∙roztworze o stężeniu 40%

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 5 – ciąg dalszy.0,3x – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o stężeniu 30%0,6y – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o stężeniu 60%0,3x + 0,6y = 80Układ równań i jego rozwiązanie:

0,3y = 20 | : 0,3

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 5 – ciąg dalszy.

y = ≈ 67

x + = 200

x = 200 - = ≈ 133

Odpowiedź: Aby otrzymać 200 g roztworu czterdziestoprocentowego, należy zmieszać około 133 g roztworu trzydziestoprocentowego i około 67 g roztworu sześćdziesięcioprocentowego.