Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

JEDNOMIANY

Funkcje, o których będziemy mówić to jednomiany-

funkcje postaci y=ax2 a≠0.

Przykłady jednomianów:

f(x)=-4x2 g(x)=8x2

h(x)=-7x2 f(x)=x2

h(x)=-9x2 g(x)=10x2

Wykresem jednomianu jest parabola skierowana

ramionami do góry (jeżeli współczynnik a jest dodatni)

lub w dół (jeżeli współczynnik a jest ujemny).

Na podstawie wykresu jednomianu można omówić

różne własności funkcji.

PRZYKŁAD 1:Naszkicuj wykres i na podstawie wykresu omów własności funkcji:a)f(x)=2x2

x -2 -1 0 1 2 3y 8 2 0 2 8 18

y

x -2

Własności funkcji f(x)=2x2

1)D=R

2)Zw=<0, +∞)3)f↘ dla xϵ(-∞, 0 >4)f↗ dla xϵ<0, +∞)5)x0 = 0 6)ymax - nie istnieje

7)ymin = 08)y > 0 ⇔ xϵ R\{0}

9)wykresem funkcji jest parabola skierowana

ramionami do góry, jej wierzchołek znajduje się w

punkcie W=(0,0)

10) funkcja nie jest różnowartościowa.

b) f(x)=-2x2

x -2 -1 0 1 2 3y -8 -2 0 -2 -8 -18

y

x -2

Własności funkcji f(x)=-2x2

1)D=R

2)Zw= (-∞, 0 > 3)f↘ dla xϵ <0, +∞)4)f↗ dla xϵ (-∞, 0 >5)x0 = 0 6)ymax = 07)ymin - nie istnieje

8)y < 0 ⇔ xϵ R\{0}

9)wykresem funkcji jest parabola skierowana

ramionami w dół, jej wierzchołek znajduje się w punkcie

W=(0,0)

10) funkcja nie jest różnowartościowa.

PRZYKŁAD 2:Sprawdź, czy podane niżej punkty należą do wykresu funkcji f(x)=-4x2

a)A=(-2,4)b)B=(1,4)c)C=(-1,-4)

A=(-2,4) B=(1,4) C=(-1,-4) f(x)=-4x2

4=-4·(-2)2

4=-4·44=-16L ≠ PA ∉ f

Spośród podanych punktów do wykresu funkcji f należy punkt C.

f(x)=-4x2

4=-4·12

4=-4·14=-4L ≠ PB ∉ f

f(x)=-4x2

-4=-4·(-1)2

-4=-4·1-4=-4L = PC ϵ f

PRZYKŁAD 3:Do paraboli która jest wykresem funkcji f(x)=ax2 należy punkt A=(-3,18). Wyznacz współczynnik a tej funkcji.

A=(-3,18) f(x)=ax2

W miejsce niewiadomych x i f(x) podstawiam liczby -3 i 18.

18=a·(-3)2

18=9a

2=a

f(x)=2x2

Szukanym wzorem funkcji jest: f(x)=2x2

PRZYKŁAD 4:Dla funkcji f(x)=-3x2 uzupełnij tabelkę:

f(-1)=-3·(-1)2=-3·1=-3 f(x)=27 ⇔ -3x2=27 ⇔ x2=-9 ⇔ xϵ∅f(0)=-3·02=0 f(x)=0 ⇔ -3x2=0 ⇔ x2=0 ⇔ x=0

f(√2)=-3·(√2 )2=-3·2=-6

x -1 0 √2y 27 0

x -1 0 -- 0 √2y -3 0 27 0 -6

PRZYKŁAD 5:Dana jest funkcja: f(x)=x2

a)naszkicuj wykres i omów własności funkcji,b)rozwiąż równania: f(x)=x+2, f(x)=-4c)rozwiąż nierówności: f(x)< x2+2x+4 f(x)≥-x

Ad.a) f(x)=x2

x -2 -1 0 1 2 3y 4 1 0 1 4 9

Własności funkcji f(x)=x2

1)D=R2)Zw=<0, +∞)3)f↘ dla xϵ(-∞, 0 >4)f↗ dla xϵ<0, +∞)5)x0 = 0 6)ymax - nie istnieje7)ymin = 08)y > 0 ⇔ xϵ R\{0}9)wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,0)10) funkcja nie jest różnowartościowa.

-2 1

y

Ad.b)

f(x)=x+2 x2=x+2 x2-x-2=0 a=1 b=-1 c=-2Δ=b2-4acΔ=(-1)2-4·1·(-2)Δ=1+8Δ=9 Δ>0 - równanie posiada dwa rozwiązania

f(x)=-4 x2=-4 x2+4=0 a=1 b=0 c=4Δ=b2-4acΔ=0-4·1·4Δ=-16Δ<0 - równanie nie

posiada rozwiązań

xϵ∅

ZR=∅

Ad.c)

f(x) < x2+2x+4

x2<x2+2x+4 x2-x2-2x-4<0 -2x-4<0 -2x<4 x>-2rozwiązania przedstawimy

na osi liczbowej

xϵ(-2,+∞)ZR= (-2,+∞)

f(x) ≥ -x x2≥-x x2+x≥0 x(x+1)≥0

x1=0 lub x2=-1

xϵ(-∞, -1 > ∪ <0, +∞)ZR= (-∞, -1 > ∪ <0, +∞)

.-1

. 0 o

-2

x

x

PRZYKŁAD 6:Dane są funkcje: f(x)=x2+1 g(x)=-x2+9a)naszkicuj wykresy i omów własności funkcji,b)rozwiąż równanie: f(x)=g(x)c)wyznacz zbiór argumentów x, dla których wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.

Ad.a) f(x)=x2+1 g(x)=-x2+9

x -2 -1 0 1 2 3y 5 2 1 2 5 10

x -2 -1 0 1 2 3y 5 8 9 8 5 0

-2 2

5

9

y

x

A B

Własności funkcji: f(x)=x2+1

1)D=R

2)Zw=<1, +∞)3)f↘ dla xϵ(-∞, 0 >4)f↗ dla xϵ<0, +∞)5)x0 - nie istnieje 6)ymax - nie istnieje

7)ymin = 1

8)y > 0 ⇔ xϵ R

9)wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami

do góry, jej wierzchołek znajduje się w punkcie W=(0,1)

10) funkcja nie jest różnowartościowa.

Własności funkcji: g(x)=-x2+9

1)D=R

2)Zw= (-∞, 9 > 3)f↘ dla xϵ <0, +∞)4)f↗ dla xϵ (-∞, 0 >5)x0 ϵ {-3,3} 6)ymax = 9

7)ymin - nie istnieje

8)y > 0 ⇔ xϵ (-3,3)

9)wykresem funkcji jest parabola skierowana

ramionami w dół, jej wierzchołek znajduje się w

punkcie W=(0,9)

10) funkcja nie jest różnowartościowa.

Ad.b)

f(x)=g(x) x2+1=-x2+9 x2+1=-x2+9 x2+x2=9-1 2x2=8 x2=4 x=-2 lub x=2 x ϵ {-2,2}

f(-2)=g(-2)=5f(2)=g(2)=5

Wykresy funkcji przecinają się w dwóch punktach: A i B

o współrzędnych:

A=(-2,5)B=(2,5)

Ad.c)

f(x)>g(x) x2+1>-x2+9 x2+1>-x2+9 x2+x2>9-1 2x2>8 x2>4 x1=-2 lub x2=2 x ϵ (-∞,-2) ∪ ( 2 ,+∞)ZR = (-∞,-2) ∪ ( 2 ,+∞)

Wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g dla:

x ϵ (-∞,-2) ∪ ( 2 ,+∞)

o-2 x

o 2

+

- +