Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

CIĄG ARYTMETYCZNY

Zapiszmy kilka różnych ciągów:

(a) ( -1, 7, 10, 17, 105, ….)

(b) ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…)

(c) ( -5, 0, 5, 11, 12, 40, ….)

(d) ( 105, 100, 95, 90, 85, ….)

O każdym ciągu niewątpliwie powiemy, że jest nieskończony. Zauważmy, że w ciągu (b) każdy następny wyraz wzrasta o 2, czyli różnica ( którą będziemy oznaczać literką r ) pomiędzy kolejnymi wyrazami jest taka sama ( r = 2 ).

( 2, 4, 6, 8, 10, 12, .…)

matematycznie zapiszemy:r = a2 – a1 = 4 – 2 = 2r = a3 – a2 = 6 – 4 = 2 r = a6 – a5 = 12 – 10 = 2 r = const W ciągu (d) pomiędzy kolejnymi liczbami różnica jest taka sama; ciąg jest malejący więc różnica r = -5. ( 105, 100, 95, 90, 85, ….)

matematycznie zapiszemy:r = a2 – a1 = 100 – 105 = -5r = a3 – a2 = 95 – 100 = -5r = a4 – a3 = 90 – 95 = -5 r = const

DEFINICJA:

Ciąg, w którym różnica pomiędzy dowolnym

wyrazem, a wyrazem bezpośrednio

go poprzedzającym jest stała

nazywamy ciągiem arytmetycznym.

(an ) jest ciągiem arytmetycznym jeżeli:

r = an+1 – an = const

Zadanie.1Sprawdź czy ciąg an = 10n + 2 jest ciągiem

arytmetycznym.

Obliczmy kolejne wyrazy powyższego ciągu:a1 = 10 · 1 + 2 = 12a2 = 10 · 2 + 2 = 22a3 = 10 · 3 + 2 = 32a4 = 10 · 4 + 2 = 42

r = a2 – a1 = 22 – 12 = 10r = a3 – a2 = 32 – 22 = 10 r = 10r = a4 – a3 = 42 – 32 = 10 r = const

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie.2Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg bn = -11n + 4 jest ciągiem arytmetycznym.

bn = –11n + 4 bn+1 = –11(n+1) + 4 = – 11n – 11 + 4 = – 11n – 7

wyznaczamy różnicę r:

r = bn+1 – bn = = -11n – 7 – [– 11n + 4] = = -11n – 7 + 11n – 4 = – 11

otrzymaliśmy stałą wartość, więc wykorzystując warunekdefinicji możemy zapisać że ciąg (bn) jest arytmetyczny.

Zadanie.3Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg cn = n2 + 2 jest ciągiem arytmetycznym.

cn = n2 + 2 cn+1 = (n+1)2 + 2 = n2 + 2n + 1 + 2 = n2 + 2n + 3

wyznaczamy różnicę r:

r = cn+1 – cn = = n2 + 2n + 3 – [n2 + 2] = = n2 + 2n + 3 – n2 – 2 = 2n + 1

Otrzymaliśmy wartość, która zależy od n. Wyrażenie to może się zmieniać bo n jest liczbą naturalną. Dlatego ciąg (cn) niejest arytmetyczny.

Zadanie.4Pomiędzy liczby 5 i 72 wstaw taką liczbę, aby otrzymany w ten sposób ciąg był arytmetyczny.

Liczby, o których mowa ustawmy ciąg: ( 5, x, 72 ) gdzie x jest szukaną liczbą.

Wykorzystując definicję otrzymujemy:r = a2 – a1 = x – 5 r = a3 – a2 = 72 – x W ciągu arytmetycznym różnica r musi być stała, więc możemy zapisać równanie: x – 5 = 72 – x x + x = 72 + 5 2x = 77 x = 38,5Ciąg: ( 5; 38,5; 72 ) jest ciągiem arytmetycznym.

W ciągu arytmetycznym pomiędzy jego wyrazami zachodzązależności; dzięki temu możemy zapisać wzór na ogólny wyraz ciągu:

an = a1 + ( n - 1 ) · r a1 – pierwszy wyraz ciągu

n – liczba wyrazów n ∈ N1r – różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem

go

bezpośrednio poprzedzającym

an – dowolny wyraz w ciągu

Zadanie.5Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; r = -5. Oblicz wyrazy a10, a100.

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru:

an = a1 + ( n – 1 ) · r an = 4 + ( n – 1 ) · (-5)

an = 4 – 5n + 5

an = 9 – 5n - wzór ciągu arytmetycznego

a10 = 9 – 5 · 10 = 9 – 50 = - 41 a100 = 9 – 5 · 100 = 9 – 500 = - 491

Zadanie.6Pomiędzy wyrazy 2 i 101 wstaw dwie liczby x i y tak, aby powstały ciąg ( 2, x, y, 101) był ciągiem arytmetycznym.

Z treści zadania: a1 = 2 a4 = 101

Zapiszmy wzór na ogólny wyraz ciągu:an = a1 + ( n – 1 ) · r a4 = a1 + ( 4 – 1 ) · r

a4 = a1 + 3r 101 = 2 + 3r3r = 101 – 2

3r = 99r = 33

Mając różnicę wypiszemy liczby w ciągu: (2, 35, 68, 101) Szukanymi liczbami są: 35 i 68.

Zadanie.7Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a1 = 4; a5 +a7 = 68.

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru:an = a1 + ( n – 1 ) · r a5 = 4 + ( 5 – 1 ) · r a7 = 4 + ( 7 – 1 ) · r a5 = 4 + 4r a7 = 4 + 6r z treści zadania: a5 + a7 = 68 4 + 4r + 4 + 6r = 68 10r + 8 = 68 10r = 68 – 8 10r = 60 r = 6 an = 4 + ( n – 1 ) · 6an = 6n - 2 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Z ciągiem arytmetycznym związać można ważne pojęcie sumy początkowych wyrazów ciągu, wyrażonej wzorem:

Sn – suma n-początkowych wyrazów ciągu

arytmetycznego

a1 – pierwszy wyraz ciągu

an – n-ty wyraz ciągu

n – liczba wyrazów ciągu

Zadanie.8Wyznacz sumę 50 – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego przedstawionego wzorem: an = 4n – 7

Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru na

sumę:

Suma 50 początkowych wyrazów wynosi 4750.

Zadanie.9Karol oszczędza na zakup roweru, który kosztuje 638zł. Pierwszego tygodnia odłożył 52zł, drugiego o 20 zł więcej i tak każdego następnego tygodnia. Ile tygodni musi oszczędzać Karol? Jaka jest wielkość pieniędzy zaoszczędzonych w ostatnim tygodniu?

Sytuację w zadaniu zapiszmy za pomocą wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, w którym: (52, 72,………….)

a1 = 52 – pieniądze odłożone pierwszego tygodniaa2 = 52 + 20 = 72 – pieniądze odłożone w drugim tygodniur = 20 - różnica Sn = 638

SZUKAMY:

n – liczbę tygodni przez które musi oszczędzać Karol

an – wielkość oszczędności w ostatnim tygodniu

an = 52 + ( n – 1 ) · 20 an = 52 + 20n – 20 = 20n + 32

- rozwiązanie ujemne odpada

(52, 72, 92, 112, 132, 152,….)Oszczędzając 6 tygodni Karol uskłada 612 złotych. W ostatnim tygodniu musi dołożyć 26zł, aby kupić rower.