Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Temu, kto nie zna matematyki, trudno spostrzec głębokie piękno

przyrody.”

Richard Feynman

TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych jest najpopularniejszym narzędziem służącym do określania położenia punktu na płaszczyźnie, czy też w przestrzeni. Dzięki własnością trójkątów prostokątnych w łatwy sposób możemy obliczyć długość odcinka narysowanego w układzie współrzędnych w oparciu o współrzędne jego końców.

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.Przypomnijmy sobie jak odczytujemy dane z układu współrzędnych:

Punkt A ma współrzędne (-3; 5). W skrócie zapisujemy to tak: A = (-3; 5) .W nawiasie podajemy współrzędne zawszę w tej samej kolejności: najpierw oś X, potem oś Y.

Punkt = (x; y)

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

Łatwo jest podać długość odcinka równoległego do którejś z osi układu – wystarczy policzyć ile kratek zajmuje (przez ile podziałek przechodzi)

Długość odcinka oznaczamy pionowymi kreskami:|AB| = 3|CD| = 4|EF| = 5

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.Możemy także obliczyć długość na podstawie

współrzędnych końców.A = (3; 5) , B = (3; 2)

|AB| = |5 – 2| = 3

UWAGATe same współrzędne osi X świadczą o tym, że odcinek

jest równoległy do osi Y. Te same współrzędne osi Y świadczą o tym, że odcinek jest równoległy do osi X.

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

C = (-3; 3) , D = (-3; -1)|CD| = |3 – (-1)| = |3 + 1|= 4

E = (-6; -4) , F = (-1; -4)|EF| = |-6 – (-1)| = |-6 + 1| = |-5| = 5

W obliczeniach symbol |…| oznacza wartość bezwzględną. Długość nie może być ujemna.

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

A jak obliczyć długość tego odcinka?

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

Wystarczy umiejętnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. A gdzie tu trójkąt prostokątny? A tutaj:

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

Oznaczmy sobie:x = |BC| = 3 – odcinek równoległy do osi X

y = |AC| = 4 - odcinek równoległy do osi Y

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy więc:|AB|2 = x2 + y2

|AB|2 = 32 + 42

|AB|2 = 9 + 16|AB|2 = 25|AB| = 5

DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.

Pytanie: jak sobie poradzić gdy nie mamy rysunku? Spójrzmy inaczej na bieżący przykład. Współrzędne punktów A i B to: A = (4; -1) , B = (1, -5). Aby obliczyć długość odcinka oznaczonego przez nas przez x, wystarczy odjąć od siebie współrzędne „iksowe” i wyciągnąć z nich wartość bezwzględną:x = |4 – 1| = 3Analogicznie możemy obliczyć y, z tym, że odejmujemy współrzędne „igrekowe”:y = |-1 – (-5)| = |-1 + 5| = 4Dalsze obliczenia są takie same jak wcześniej.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Oblicz długość odcinka którego końcami są punkty:

A = (2; -3) , B = (-1; -7).Postępujemy zgodnie ze wskazówkami z poprzedniej

planszy.x = |2 – (-1)| = |2 + 1| = 3

y = |-3 – (-7)| = |-3 + 7| = 4|AB|2 = 32 + 42

|AB|2 = 9 + 16 = 25|AB| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Oblicz długości boków narysowanego trójkąta.

Wypiszmy najpierw współrzędne punktów:A = (-2; 4) , B = (1; -3) ,C = (4; 2).Dla boku AB mamy:x = |-2 – 1| = |-3| = 3y = |4 – (-3)| = |4 + 3| = 7|AB|2 = 32 + 72

|AB|2 = 9 + 49 = 58|AB| = 58

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Dla boku AC mamy:x = |-2 – 4| = |-6| = 6y = |4 – 2| = 2|AC|2 = 62 + 22

|AC|2 = 36 + 4 = 40|AC| = = 240 10

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1. – ciąg dalszyDla boku BC mamy:x = |1 – 4| = |-3| = 3y = |-3 – 2| = |-5| = 5|BC|2 = 32 + 52

|BC|2 = 9 + 25 = 24|BC| = 6224

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Oblicz odległość punktu A = (12; -5) od początku układu

współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt O = (0; 0)

mamy więc dla odcinka AO:x = |12 – 0| = 12

y = |-5 – 0| = |-5| = 5 – do obliczeń wystarczy więc wziąć wartość bezwzględną ze współrzędnych

|AO|2 = 122 + 52

|AO|2 = 144 + 25 = 169|AO| = 13

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3. Czy punkt A = (-6; 8) leży na okręgu o promieniu 10 i początku w układzie współrzędnych?Aby punkt leżał na takim okręgu jego odległość od początku układu współrzędnych musi wynosić 10. Sprawdźmy dla punktu A:x = |-6| = 6y = |8| = 8|AO|2 = 62 + 82

|AO|2 = 36 + 64 = 100|AO| = 10A więc ten punkt leży na danym okręgu.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4.Znajdź współrzędne punktów z rysunku.

Z rysunku można odczytać współrzędne x oraz promień koła. Mamy:r = 5A = (2; …) , B = (2; …)Współrzędną y znajdziemy korzystając z tego, że:|AO| = r = 5|BO| = r = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.Mamy więc:52 = 22 + y2

25 = 4 + y2

25 – 4 = y2

y2 = 21W takim razie y = dla punktu A i y = - dla punktu

B. Zatem:A = (2; )B = (2; - )

21 21

21

21

WZÓRJeśli ktoś woli mieć gotowy przepis na obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych w oparciu o podane już informacje może wyprowadzić wzór.Oznaczmy współrzędne dwóch punktów:P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)

Wtedy długości odcinków oznaczonych przez nas przez x i y obliczymy tak:x = |x1 - x2 |

y = |y1 - y2 |

A więc :|P1 P2 |2 = x 2 + y 2 = |x1 - x2 |2 + |y1 - y2 |2

WZÓRP1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)

Wzór ten można nieco udoskonalić. Wiesz jak?

221

22121 yyxxPP