Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

TWIERDZENIE COSINUSÓW

W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego

boku równa się sumie kwadratów dwóch

pozostałych boków pomniejszonej o

podwojony iloczyn tych boków

i cosinusa kąta zawartego między nimi.C

B

Aα

γ

βa

c

b

Oznaczenia trójkąta w rozwiązywanych zadaniach są takie same: naprzeciw wierzchołka A jest bok długości a; naprzeciw wierzchołka B bok długości b; naprzeciw wierzchołka C jest bok długości c.

Przykład 1.Oblicz długość nieznanego boku w trójkącie ABC jeżeli:a)

lub - odpada

Długość nieznanego boku równa się

b)

lub - odpada

Długość nieznanego boku równa się

c)

lub - odpada

Długość nieznanego boku równa się

Przykład 2.Wyznacz miary kątów trójkąta, wiedząc, że: a=10cm, b=8cm, c=6cm.

Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami b i c.

Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami a i c.

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°. Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie.

Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą: 90°, 53°, 37°.

Przykład 3.Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A=(-2,3) B=(1,0) C=(6,3). Wyznacz długości boków i miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC.

A

B

Cc

b

a

Obliczamy długości boków trójkąta ABC, wykorzystując wzór na długość odcinka.

Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miary kątów wewnętrznych w trójkącie.

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°. Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie.

Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC wynoszą: 45°, 104°, 31°.

Przykład 4.Znajdź kąt między prostymi k i l o równaniach:k: y=xl: y=-x+4

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego obydwu prostych. Tworzymy układ równań:

Wybieram dowolne dwa punkty – jeden należący do jednej prostej, drugi należący do drugiej prostej.

Łącząc te punkty otrzymujemy trójkąt ABC, w którym kąt wewnętrzny α jest jednocześnie kątem między prostymi k i l. Obliczam długości boków trójkąta ABC.

Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miarę kąta przy wierzchołku A.

Odp: Kąt między prostymi ma miarę 90˚.